（基础数学专业论文）padic亚纯函数及其导数的分担值问题.pdf

二虬 4 7 ”，、 4 、 ，： r 一：。尊c 、 f ，、f 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方 式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 凌：鑫霪 日期： 趁z 2 ：丝主翌 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：乃搬导师签名：【 日期：鲨丝! 竺! 乡 目录 中文摘要i 英文摘要i i 第一章预备知识1 1 1 复数域上的n e v a n l i n n a 婵论1 1 2p - a d i c 域上的亚纯函数值分布论4 第二章p - a d i c 亚纯函数及其导数的分担值问题5 2 1 问题介绍与本文结果5 2 2p - a d i c i l l ；纯函数6 2 3 引理及证明9 参考文献1 7 致谢1 9 c o n t e n t c h i n e s ea b s t r a c t i e n g l i s ha b s t r a c t i i c h a p t e ri p r e l i m i n a r i e sr e s u l t 1 1 2p - a d i cm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s 4 c h a p t e ri i v a i 。u es h a r i n gp r o b l e mf o rm e r o m o r p h i cf u n c - t i o n sa n dt h e i rd e r i v a t i v e s 5 2 1 i n t r o d u c t i o na n ds o m er e s u l t s 5 2 2p - a d i cm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s 6 2 3 m a i nr e s u l t sa n dp r o o f o f m a i nr e s u l t s 9 r e f e r e n c e s 1 7 a c k n o w l e d g e 1 9 p - a d i c 亚纯函数及其导数的分担值问题 李春霖 ( 山东大学数学与系统科学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) ( 指导教师：扈培础教授) 中文摘要 亚纯函数的分担值问题是复分析的一个重要课题，国内外许多学者对此做 出了大量卓越的贡献，研究出了许多重要的成果。本文主要研究p - a d i c 域上的 亚纯函数及其导数的分担值问题。在本文中，我们主要研究p - a i d e 域上的亚纯 函数及其导数的分担值问题，并证明了以下定理： t h e o r e ml ，9 是两个非常数p - a d i c i 7 纯函数，如果满足毋n ，( n ) = e 9 n 矿( n ) ，a q ，岛吖，( 6 ) = 岛m 9 ，( 6 ) ，b q ，a 0 , b 0 , n 1 0 ，m 1 0 ，( m + 1 ，l + 1 ) = 1 ，那么有，= g 关键词皿纯函数，导数：分担值，p - a d i c 山东大学硕一l 二学位论文 a b s t r a c t s h a r i n gp r o b l e mo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o ni si m p o r t a n ts u b j e c ti nc o m p l e x a n a l y s i s ，m a n ys c h o l a r sh a v em a d eak g en u m b e ro fo u t s t a n d i n gc o n t r i b u t i o n s t ot h i sa n dd e v e l o p e dan u m b e ro fi m p o r t a n tr e s u l t s i nt h i sp a p e rw es t u d yt h e u n i c i t yf o rp - a d i cm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sa n dt h e i rd e r i v a t i v e sa n dp r o v et h e f o l l o w i n gt h e o r e m ： t h e o r e m l 1l e tl ，9b et w on o n - c o n s t a n tp - a d i cm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sa n d 研n ，( n ) = 局“g ，( n ) ：a q ，毋m ，( 6 ) = 岛m 矿( 6 ) ，b c p w i t h a 0 ，b o ，佗 1 0 ，m l o ，( m + 1 ：扎+ 1 ) = 1 t h e n ，三g k e yw o r d sm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，d e r i v a t i v e s ，v a l u es h a r i n g ，p - a d i c 第一章n e v a n l i n n a 理论的基本知识 1 1 复数域上的n e m l i n n a 理论 n e v a n l i n n a 建立的弧纯函数值分布理论是2 0 世纪最杰出的成果之一f i l 我们说明下在本文中用到的亚纯函数值分布理论的记号和定义详细的内容 可在w k h a y m a n ，l y a n g 和c c y a n g 与h x y i 的书中找到 我们用n ( r ，8 j 表示方程，( ：) = n 在h r 中的根的数目，重根记重数 用瓦( r ，) 表示方程f ( z ) = 口在h r 中的不同的根的数目，重根不记重数 相应的我们定义 i v ( r ，o - ( n 击) = z 掣d 堋帆n 矾坝r ，击) = z 掣出悄州o s r 我们用( r ，) 和丙( r ，) 表示( r ，0 0 ，f ) 和l n ( r ，o 。，f ) 我们定义 m ( r = 芴1z 孙l o g + i f ( ) l d o ， 嘶，志，= 去z hb g 南硼一c 这里l o g + z = m a x l o g x ，0 称 t ( r ，f ) = n ( r ，f ) + 仇( n f ) 为，( z ) 的特征函数 定理1 1 ( 第一基本定理) f 是e i z i r 上的亚纯函数如果n c 是 任意复数，0 r r ，则 t ( ，击) = t ( 吖) + 1 0 9 川州。，r ) ， 其中c r 是击在原点的洛朗展式第一个非零的系数，( 口，r ) l o g + l a l + l 0 9 2 定理1 - 2 ( 对数导数引理) ，是h r 上的亚纯函数，七n 如果，( o ) 0 ，0 0 ，0 r p r ，则 m ( r ，等) 0 ，我们便n - - ip a 唯一地定义，的极大项为 础 ，) - 绷 下面我们定义关于，的近似函数如下： m ( p ，f ) ：= l o g + p ( p ，f ) = m a x 0 ，l o g # ( p j r ) ) 按照惯例，定义，的特征函数如下： r ( p ? f ) ：= m p ，f ) + n ( p ，) ， - 其d p n ( p ，) = n ( p ，去) 表示关于，的极点的价函数。 根据p - a d i cj e n s e n 公式，p - a d i c 第一基本定理指出，对于一个属于托的有穷 值n 以及p p o 0 ，我们有下述估计 t ( n ，) = m ( 岛丁笔) + ( p ，丁三) + d ( 1 ) 3 山东大学硕t 学位论文 此外，对于两个互异的且属于代u ( o o ) 的值棚6 ，我们有下述冗上所独有的 等式 m = 一 ( 肛击) 川风南) + d ( 1 ) 现在，p - a d i c 对数导数引理表明，对于一个正整数七( 1 ) ，我们有 ，t ( ，) ，了f ( k ) js 歹i 而上述估计必将进一步意味着 嘶，等l o g + 丢：0 ( 1 ) m ( p ，彳) 七+ 去2 o ( 1 ) 依此可知，p a d i c 第二基本定理指出，对于q ( 2 ) 个两两互异的且属于，c 的有穷 值o l ，眈，以及p 伽 0 ，我们有下述估计 ( 口- 1 脚 1 的情况，c l u n i c 证明了扎1 的情况。这个结果和相关问题引发了大家对亚纯函数及其导数分担值问题的兴 趣。 1 9 9 7 年，y a n g 和h u a 1 7 研究形如广，7 的亚纯函数及其导数的唯一性问 题，当分担一值时得到了下面的定理 t h e o r e mb f ，g 是两个非常数亚纯函数，令n 1 1 ，a c 是一个非零 有限数。如果广，7 ，9 “矿分担a c m ，那么f = 由，d 是l 的n + 1 次方根，或 者f = c l e c z 夕= c 2 e - c - z 其中c 1 ，c 2 ，c 是三个非零常数，且满足( c l c 2 ) ”+ 1 c 2 = 一a 2 令k 是一个特征为0 的代数闭域，对非阿基米德绝对值完备。我们用 a ( k ) 来表示k 上的整函数环，用f 1 4 ( k ) 表示哑纯函数域，k = k u o 。 。 f 1 1 ，f 6 1 最早对k 上的亚纯函数的分担值问题进行研究。在最近几年里，得到了 许多有意义的结果( f 1 6 ，f 1 1 】) 在这篇文章里，我们主要考虑p - a d i c 域上的亚纯函数及其导数的分担值问 题，证明了类似于y a n g h u a 的结果。 让我们首先回顾一下一些基本定义。对，f a 4 ( k ) ，sck ，我们定义 研( s ) = 【j ( z ，m ) l f ( z ) = n ) a e s 令厂是a 4 ( k ) 的一个非空子集，厂上的两个函数，夕，如果满足研( n ) = 局0 ) ，我们就说lgc m 分扭集合s 。 在这篇文章里我们主要证明：两个非常数p a d i c 亚纯函数，g 如果满足条件 毋n ，( n ) = e 9 n 9 ，( n ) ：e t n ，( 6 ) = e g n g ，( 6 ) ，n 1 0 m 1 0 ，( m + l ，7 i 十1 ) = 1 ，我们 可以得出f = 夕 o 山东大学硕t 学位论文 证明定理的主要工具是p - a d i c 域卜的n e v a n l i n 舳理论( 睁l o l ，f 1 3 】) ：因此，我 们首先介绍一些p - a d i c 域上的高阶业纯函数的一些性质。 2 2p - a d i c 亚纯函数 ，是c p 一卜的非常数亚纯函数。对任意的n c p ，把，在口点展开为 ，= 只( z 一。) ，多项式只次数为i 。我们定义 v f ( a ) = m i n i ：p o ) 对点d c p ，我们定义函数t 哆：c p 寸n ： 实数p , 0 p r ，定义 t ( n ) = 嘶一d ( n ) 帅川= 击掣如 其中n s ( a ，z ) 表示方程f ( z ) = a 在z l z 】内的根的个数( 计算重数) 如果a = 0 ，那么v ，( r ) = m ( o ，r ) 给定一个正整数2 ，令 这里， m = 击半竽 m ，小：r ) = m i n 叼。( z ) ，f i z l r 令k 为一正整数，定义函数亏七 定义 御= 舅然爹七 佗尹( r ) = 矿( z ) ， l z l _ r n 手( n ，r ) = 扎芦。( r ) 6 山东大学硕十学位论文 哦，= 志z 7 掣缸 如果o = 0 ，那么吁知( r ) = 吁南( o ，r ) 令 这里 n y 2 t 、l ：r ) + 略2 ( 0 ，r ) 一嚣( o ，r ) sm ，( o ，r ) n o , 9 ( r ) + 鼋( 1 ，r ) 1 ，g ( 。o ，r ) + l ，g ( o ，) + d ( 1 ) 这个不等式和( 3 8 ) ，( 3 9 ) ，我们可以得到l 情况2 。l 三0 ，那么 芳一2 告1 兰堂9 t 一2 禹( 3 埘，。，一 一 9 1r “ 1 l 山东大学硕上学位论文 通过( 3 1 0 ) ，我们可以得到 因此 pg l f 一g t ，三筹- i - ， c 口d 这里o ，b ，c d c p ，满足口乒6 c 0 。所以有乃( r ) = l ( 7 ) + d ( 1 ) 下面我们考虑下面两种子情况： 子情况1 。0 于是 由引理2 3 ，一兰三而b a d c o c+ d t i ( r ) l ，( o o ，r ) + l ，卜：( 0 ，r ) + l ，( o ，r ) + 0 ( 1 ) = a r l ，( ，r ) + n i ，g ( ，r ) + n i ，f ( o ，) + d ( 1 ) 我们得到1 子情况2 。口0 ，c = o 因此，三丁a g + b 如果6 o 。由引理2 3 ， 乃( r ) l ，f ( o o ，r ) + 1 ，一3 ( 0 ，r ) + 啊，( o ，r ) + 0 0 ) = l ，s ( o o ，r ) + l ，9 ( o ，7 ) + 1 ，f ( o ，r ) + o ( 1 ) 我们得到l 。 如果b = 0 ，那么f 三了a y 如果3 = l ，那么f 三9 我们得到2 如果：1 ，通 过毋( 1 ) = 岛( 1 ) ，和引理2 3 ，我们得到 ，1 ，三， t i ( r ) s l ，f ( o o ，r ) + l ，( 三，r ) + 1 f ( 1 ，t ) + d ( 1 ) = l ，( o 。，r ) + d ( 1 ) 这样，我们就得到l 的结果。 山东大学硕上学位论文 子情况3 o = 0 ，c 0 ，那么，兰 b c 9 + d 如果d 0 ，通过引理2 3 ， 乃( r ) n i ，( ，t ) + l ，r 一( 0 ，t ) 十l ，( o ，r ) + 0 ( 1 ) = 1 ，( o o ，) + m 母( o ，r ) + ，a o ，r ) + 0 ( 1 ) 我们得到l 的结果。 如果d ：o ，那么，三点如果：b ：l j 那么向三1 我们得到3 c 口c 。 如果i f 兰1 ，通过毋( 1 ) = 岛( 1 ) 和引理2 3 ， f 1 ：f 一b ， 乃( r ) s 1 “o 。，r ) + l “兰，r ) + m “l ，r ) + d ( 1 ) 1 ，i ( o o ，r ) + o ( 1 ) 我们得到1 引理3 2 的证明完成。 定理3 3 ，9 是两个p a d i c 域上的非常数亚纯函数，毋“，( n ) = 岛n 矿( n ) ，n c p ：毋m ，( 6 ) = e g m ，( b ) ，b c p ，n 0 ，b 0 ，n 1 0 ，m21 0 ， ( m + 1 ，l + 1 ) = 1 则，三g 定理3 3 的证明需要用到下面的引理。 引理3 4 。在定理3 3 的条件下，兰句，d 是礼+ 1 次单位根，三e g ，e 是m + 1 次单位根 证明：令 那么， f = ，n + 1 n ( n + 1 ) ： g = 9 舛l a ( n + 1 ) p ：丛，g ，：型， an n f ，( 。o ，r ) = 加十1 ) ，( o 。，r ) + n l ，( o o ，) ， g ，( o 。，r ) = 协+ 1 ) a ，9o o ，r ) + l ，9 ( o o ，r ) ， l ，f ，( 。，r ) = a - f f 2 ，( o o ，r ) = 札，t ( o o ， 7 ) ， l ，o , ( o o ，r ) = 略，( 。o ，r ) = 啊毋( o o ，r ) 1 3 山东大学硕t 学位论文 因为毋n ，( n ) = 岛n 矿( 口) ，这就有 e f ( 1 ) = e c ，( 1 ) ( 3 1 1 ) 我们有l ，f ，( o ，r ) + 略，( 0 ，r ) s2 1 ，a 0 ，r ) + m ，( o ，) 52 乃( ，) + m ，( o ，r ) + 0 0 ) ， l 。g ，( o ，r ) + 皑，( 0 ：川 2 l ，9 ( o ，r ) + 肌，( 0 ，r ) 2 t , ( r ) + 肌，( 0 ，r ) + d ( 1 ) ，( 3 1 2 ) 由引理3 1 ( 扎一1 ) 乃p ) + ，( o ，r ) + ，( o 。，r ) t f ，+ 0 ( 1 ) ( 3 1 3 ) 由定理3 2 ，我们考虑下面几种情况： 情况1 t v , ( r ) l ，p ( o 。，r ) + 嚣，( o o ，r ) + m p ( o ，r ) + 喀，( 0 ，r ) + m ，g ，( o 。，r ) + 嚣，r ) + 1 g ，( o ，r ) + 略，( 0 ，r ) 一l o g r + o ( 1 ) 结合( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) ：( 3 1 3 ) ，我们有 ( n 1 ) 巧( r ) + 斯( o ，r ) + m ( o c ，r ) 2 n , ，l ( o c ，7 ) + 2 乃( r ) + ，( 0 ，r ) + 2 9 l ，g ( 0 0 ，r ) + 2 7 ；( r ) + h ( 0 ，r ) 一l o g r + 0 0 ) 因此 m 一3 ) 乃( r ) + ，( o o ，r ) 2 n 1 ，a o o ，r ) + 2 n i ，g ( ，r ) + 2 t , ( r ) + ( o ，r ) 一l o gr + o ( 1 ) ( 3 1 4 ) 同样 一3 ) 马( r ) + 虬( o o ，r ) 2 l ，g ( o o ，) + 2 l ，i ( o o ，r ) + 2 t s p ) + m ，( o ，r ) 一l o g r + d ( 1 ) ( 3 1 5 ) 1 4 h ( o ，r ) t 9 ( 7 - ) + n i 园( 。，r ) + o ( 1 ) 结合( 3 1 4 ) ，( 3 1 a ) ，我们有 伽一6 ) ( 乃( r ) + 乃( r ) ) s5 ( n i ，( o o ，r ) + l ，9 ( 0 0 ，r ) ) 一，( o o ，r ) 一n 9 ( o o ，r ) 一2 l o g r + d ( 1 ) 凶此， ( 凡一6 ) ( t i ( r ) + t o ( r ) ) 4 ( n l ，( o 。，r ) + l ，9 ( o o ，r ) ) 一2l o g r + d ( 1 ) ， 所以 ( 7 l 一6 ) ( t i ( r ) + t o ( r ) ) 4 ( 乃p ) + t o ( r ) ) 一2 l o g r + d ( 1 ) ( n 一1 0 ) ( 乃( r ) + t o ( r ) ) + 2 l o g r d ( 1 ) 又因为礼1 0 ，我们得出矛盾 情况2 f g = f n 矿味兰1 我们证明f 0 ，g 0 假设f 有零点o ，且”，( n ) = 舭因为广f 7 9 “矿兰 1 所以n 是g 的极点，且哼( 口) = 肛从而，r t m + m 一1 = n p + p + 1 这样我 t f j j ! 4 n ( 仇一p ) m + 1 ) = 2 因为礼1 0 ，1 t t ，p 是整数所以这是不可能的。 1 5 山东大学硕士学位论文 因此 l 芋0 1 9 牛0 所以可以写成，= 万1 ，9 = 击，其中 ，9 l 是非常数整函数。 因为l l g “夕，三1 ， 兵g ：三斤+ 2 9 ? + 2 ( 3 1 6 ) 又n 1 0 ， g i ( ，) = 强( r ) + 乃i ( r ) 5v i l ( , ) - t - 乃l ( ，) - t - o ( 1 ) 勖+ ：( r ) + 嘞+ z ( r ) ( 3 1 7 ) 其中r 足够大。 从( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ，我们可以得出矛盾。因此，“，三9 ”9 ， 那么我们可以推出，广+ 1 兰g “+ 1 + c 我们进一步证明c = 0 。用反证法， 我们假设c 0 那么方程 z “+ l + c = 0 有佗+ 1 个不同的根z 1 ，z 2 ，+ 1 对每个i = 1 ，2 ，扎+ 1 ，9 一盔的 零点的重数至少是n + 1 从【8 】中的定理3 1 0 ，我们有( n + 1 ) ( 1 一：j 彳) 2 ，进而n 2 ，这是一个 矛盾。所以c = 0 ，所以，1 三g “+ 1 所以，三d 9 ，d 是n + 1 次单位根。 同样的道理，三e 9 ，e 是m + 1 次单位根。 下面我们来证明定理3 3 ：，兰g 因为，兰匆，d 是n + 1 次单位根，三e g ，t ：是( m + 1 ) 次单位根：由三e g 所以d = e 又因为( m + l ，n + 1 ) = l 我们有d = e = 1 所以，三9 1 6 山东大学硕 ：学位论文 参考文献 w w a d a ma n de g s t r a u s ，n o n a r c h i m e d c a na n a l y t i cf u n c t i o n st a k i n g t h es a m ev a l u e sa tt h es a m ep o i n t s ，i l l i n o i sj m a t h 1 5 ( 1 9 7 1 ) ，4 1 8 4 2 4 a a l o t a i b i ，o nt h ez e r o s 巧a f ( f ( 七) “f o rn 2 ，c o m p u t a t i o n a lm e t h o d s a n df u n c t i o nt h e o r y , v 0 1 4 ( 2 0 0 4 ) ：n o 1 ，p p 2 2 7 - 2 3 5 【3 】h h c h e na n dm l f a n g ，o nt h ev a l u ed i s t r i b u t i o no f 广，7 ，s c i c h i n a s e r a ，3 8 ，( 1 9 9 5 ) ，7 8 9 - 7 9 8 【4 】 j c l u n i e ，o na r e s u l to fh a 帅a n ，j l o n d o nm a t h s o c 4 2 ( 1 9 6 7 ) ，3 8 9 - 3 9 2 f g r o 豁a n dc c y a n g o np r e - i m a g e sa n dr a n g es e t so fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n s ，p r o c j a p a na c a d ，5 8 ( 1 9 8 2 ) ，1 2 0 h ah u yk h o a i ，o np a d i cm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，d u k em a t h j 5 0 ( 1 9 8 3 ) ， 6 9 5 - 7 1 1 h ah u yk h o a i ，h e i g h to fp - a d i ch o l o m o r p h i cf u n c t i o n sa n da p p l i c a t i o n s ， i n t e r - n a t i o n a ls y m p o s i u m 。h o l o m o r p h i em a p p i n g s ，d i o p h a n t i n eg e o m e t r y a n dr e l a t e dt o p i c s ( k y o t o ，1 9 9 2 ) s u r i k a i s e k i k e n k y 7 u s h ok o k y u r o k un o 8 1 9 ( 1 9 9 3 ) ，9 6 - 1 0 5 h ah u yk h o a ia n dm a iv a nt u p a d i en e v a n l i n n a - c a r t a nt h e o r e m , i n t e r - n a t j m a t h 6 ( 1 9 9 5 ) ，7 1 9 - 7 3 1 h ah u yk h o a ia n dv uh o a ia n ，v a l u ed i s t r i b u t i o nf o rp - a d i ch y p e r s u r f a c e s ， t a i w a n e s ej o u r n a lo fm a t h e m a t i c s ，v 0 1 7 ，n o 1 ，p p 5 1 6 7 ，2 0 0 3 【1 0 1 h ah u yk h o a ia n dm yv i n hq u a n g ：o np - a d i cn e v a n l i n n a t h e o r y , l e c t u r e n o t e si nm a t h 1 3 5 1 ( 1 9 8 8 ) ，1 4 6 - 1 5 8 ，s p r i n g e r - v e r l a g f 11 】q h a na n dp - c h u ，u n i c i t yo fm e r o m o r p h i ef u n c t i o n sr e l a t e dt ot h e i r d e r i v a - t i v e s ，b u l l b e l g m a t h s o c s i m o ns t e v i n ，1 4 ( 2 0 0 7 ) ，9 0 5 - 9 1 8 w k h a y m a n r e s e a r c hp r o b l e m s 讯f u n c t i o nt h e o r y , t h ea t h l o n ep r e s s u n i v e r s i t yo fl o n d o n ，l o n d o n ，1 9 6 7 1 7 山东大学硕l 学位论文 【1 3 】p c h ua n dc - c y a n g ，m e r o m o r p h i cf u n c t i o n so v e r1 1 0 7 1 一a r c h i t n 甜e 口n f i e l d s , k l u w e ra c a d e m i c ，d o r d r e c h2 0 0 0 【1 4 】i l a h i r ia n ds d e w a n ，v a l u ed i s t r i b u t i o no yt h ep r o d u c to l 口m e r o m o r p h i c f u n c t i o na n di t sd e r i v a t i v e ，k o d a im a t h j 2 6 ( 2 0 0 3 ) ，9 5 - 1 0 0 【1 5 】s h n e v o ，x c p a n g a n dl z a l c m a n ，p i c a r d - h a y m a nb e h a v i o ro fd e r i v a 1 i v e so fm e r o m