（基础数学专业论文）minkowski空间中给定平均曲率旋转曲面.pdf

东北大学硕士学位论文摘要 摘要 微分几何的发展一直与物理学的发展交织在一起。r i e m a n n 几何为 e i n s t e i n 创建并发展广义相对论提供了有效的数学工具，反过来，广义相 对论也大大促进了r i e m a n n 流形和l o r e n t z 流形的研究。而l o r e n t z 流形 中研究最广泛的是具有一个负指标的m i n k o w s k i 空间。 欧氏空间中常平均曲率曲面，已得到了广泛的研究，特别是三维空间 中的常平均曲率曲面。18 4 1 年c d e l a u n a y 详细的讨论了三维欧几里得空 间中具有常平均曲率的旋转曲面的轮廓曲线 1 。1 9 8 0 年k k e n m o t s u 讨论 了三维欧氏空间中给定平均曲率的旋转曲面的轮廓曲线【2 。本文将在三维 m i n k o w s k i 空间中讨论具有给定平均曲率的旋转曲面的轮廓曲线。 由于在m i n k o w s k i 空间中有三类旋转轴：类空轴，类时轴，类光轴， 本文将详细的讨论当平均曲率给定时，在这三类转轴下的旋转曲面的轮廓 曲线所满足的方程。最后，还运用数学工具m a t h e m a t i c a 画出一些相应的 旋转曲面。 关键词：轮廓曲线旋转曲面m i n k o w s k i 空间类空轴类时轴 类光轴 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ed e v e l o p m e n to fd i f f e r e n t i a l g e o m e t r ya l w a y s i n t e r a c t sw i t ht h e p h y s i c s i t i sr i e m a n n i a n g e o m e t r y t h a t p r o v i d e s w i t ht h ee f f e c t i v e m a t h e m a t i c a lm e t h o dt oe i n s t e i nw h of o u n d e da n de x t e n d e dt h et h e o r yo f r e l a t i v i t y a l s o ，t h et h e o r yo fr e l a t i v i t ya c c e l e r a t e st h es t u d y o fr i e m a n n i a n m a n i f o l da n dl o r e n t z i a nm a n i f o l d i nt h er e s e a r c ho f l o r e n t z i a nm a n i f o l d ，t h e m o s t p o p u l a r o n ei sm i n k o w s k is p a c ew i t ht h ei n d e xo n e f o rt h es u r f a c e sw i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r ei ne u c l i d e a ns p a c e ，t h e r e a r em a n y p r o f o u n da n dp e r f e c tr e s u l t s t h ep r o f i l ec u r v e so f r o t a t i o ns u r f a c e s w i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r ei nr 3 a r ec l a s s i f i e db yd e l a u n a yi n18 4 1 【1 i n19 8 0 ，k k e n m o t s us h o w e dan e wm e t h o dt os t u d ys u c hp r o f i l ec u r v e s 2 i nt h i sw o r kw ew i l ld i s c u s st h e p r o f i l e c u r v e so fr o t a t i o ns u r f a c e sw i t h p r e s c r i b e dm e a nc u r v a t u r ei nt h r e ed i m e n s i o n a lm i n k o w s k is p a c e s i n c ew ek n o wt h a tt h e r ea r et h r e ek i n d so fr o t a t i o n si nt h r e ed i m e n s i o n a l m i n k o w s k i s p a c e ，w e h a v et h r e ek i n d so fr o t a t i o n m a t r i c e s r e s p e c t t o s p a c e l i k e ，t i m e l i k ea n dl i g h t l i k er o t a t i o na x e s i nt h i sp a p e rw ew i l lg i v et h e e q u a t i o n s o fp r o f i l ec u r v e so fr o t a t i o ns u r f a c e s w i t ht h e p r e s c r i b e d m e a n c u r v a t u r e i nt h el a s tp a r to ft h i sp a p e r ，t h ef i g u r e so fs o m er o t a t i o ns u r f a c e s a r ed r a w n k e yw o r d s ：p r o f i l ec u r v e ，r o t a t i o ns u r f a c e ，m i n k o w s k is p a c e s p a c e l i k ea x i s ，t i m e l i k ea x i s ，l i g h t l i k ea x i s i i i 声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。 论文中取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得 其它学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 作的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本人签名：寸受彳 日 期：争卯弓饵f 2 日，7 0 东北大学硕士学位论文第一章引言 第一章引言 数学，这门基础学科，已经越来越多的渗透到各个领域，成为各种科 学技术、生产建设、以至日常生活所不可缺少的有力工具。就科学来说 数学又是通向一切科学大门的钥匙，不仅所谓精确科学，如物理学、化学 等己越来越需要较深较多的数学，甚至过去以描述为主，与数学关系不大 的生物学、经济学等，也处于日益“数学化”的过程之中。这正像马克思 早就指出过的那样，“一种科学只有在成功的运用数学时，才算达到了真 正完善的地步”。 第一节对数学的认识 正如有人所说，数学是一种科学，也同样是一种文化。一个民族是 不能只有功利主义的技术而脱离了基础学科的，基础学科是研究的平台和 应用科学出发的基点。从某种意义上说，它类似于一个社会的人文氛围 人文精神不能直接带来“生产力的发展”。可是，一个没有人文精神的国 家，最终会沦为精神的废墟而丧失前进的动力。数学是研究现实世界中数 量关系和空间形式的，简单的说，数学是数和形的科学。这两个基本概念 是整个数学的两大柱石。整个数学就是围绕着这两个概念的提炼、演变与 发展而发展着的。数学在各个领域中千变万化的运用也是通过这两个概念 而进行的。社会的不断发展，生产的不断提高，为数学提供了无穷源泉与 新颖课题，促使数与形的概念不断深化，由此推动了数学的不断前进，在 东北大学硕士学位论文 第一章引言 数学中形成了形形色色、多种多样的分支学科。这不仅使数学这一学科日 益壮大，蔚为大观，而且使数学的应用也越来越广泛与深入了。 大体来说，数学中研究数量关系或数的部分属于代数学的范畴。研究 空间形式或形的部分，属于几何学的范畴。近代函数概念与微积分方法的 出现，在数学中形成了系统研究形、数关系的分析学，成为近代数学中发 展最迅速的部分。几何、代数、分析三大类数学，构成了整个数学的整体 与核心。在这核心周围，由于数学通过数与形这两个概念与其它领域的 相互渗透而出现了许多边缘学科与交叉学科。这是整个数学王国的一个总 的轮廓。 数 最简单最基本的也是从远古时期人类就不得不与之打交道的数，乃是 正整数或自然数。1 9 世纪中期，数学家把整数概念大大扩大了，创立了理 想数或简称“理想”的理论。这种整数的理论已发展成为一个当前很活跃 的数学分支，叫代数数论，“理想”也已成为现代抽象代数学中最基本的 概念之一。数的概念是不断发展的，人们逐步引进了分数、小数、正负数、 无理数等概念而形成了实数系统。由于解代数方程的需要，又引入了负数、 虚数而形成了复数系统。随着数学的发展，人们又引进了与通常的数很不 相同的量，但却具有与数相类似的运算，如向量、张量以至更抽象的元素 都不妨视之为某种广义的“数”。带有某种运算的数的集体统称为代数系 统。依据运算规律的不同而有各种不同的代数系统，并具有种种个别的名 东北大学硕士学位论文第一章引言 称，如群、环、域等。而在各种理论与应用中出现的问题，最后往往归结 为各种代数系统的研究，代数系统的一般理论发展成了分支繁多( 如群论、 环论等) 的代数类数学，或所谓近代抽象代数学，它已成为整个数学最基 本的工具之一。 形 形的研究属于几何学的范畴。形之成为数学对象是由工具的制作与测 量的要求所促成的。中国几何学以测量与面积、体积的度量为中心，古希 腊的传统则重视形的性质与各种性质间的相互关系。欧几里得的几何原 本，建立了用定义、公理、定理、证明构成的演绎体系，成为近代数学 公理化的楷模，影响及于整个数学的发展。特别是平行公理的研究，导致 了1 9 世纪非欧几何的发展。1 8 世纪，g 蒙日应用分析方法于形的研究 开微分几何的先河。c f 高斯的曲面论与b 黎曼的流形理论开创了脱离 周围空间以形作为独立对象的研究方法。1 9 世纪f 克莱因以群的观点对 几何学进行统一处理。此外，g 康托尔的点集论扩大了形的范围。h 庞 加莱，又创立了拓扑学，使形的连续性成为几何研究的对象。这些都使几 何学面目一新。 数与形的联系 在现实世界中，数与形，如影之随形、难以分割。中国古代数学反映 了这一客观实际，数和形从来就是相辅相成，并行发展的。我国宋元时期 系统地引进了几何代数化的方法，把一些几何特征用代数式来表达，几何 型鲨堕壁丝生一一堑= 主韭 关系则表达为代数式削的关系，成为解析几何的先驰。使空问形式的研究 归结为较成熟也容易驾驭的多的数量关系的研究。例如，在拓扑学中，通 过引进一些数( 如贝蒂数) 或代数系统( 如同调群，同伦群等) 来表达拓 扑空问的连续性与连通性，然后用代数方法对这些数与代数系统进行分析 而获得拓扑空间几何性质方面的信息。依据这种思想，在1 9 世纪末开始 建立起来的代数拓扑学，成为拓扑学中最有活力的分支，在本世纪中有着 极大的发展，对整个数学也有着不小的发展。 不仅几何学出于代数化而获得了有力武器，而且代数学( 以及分析学) 也往往由于借用了几何术语，运用几何类比而得到了新的生命力，促进了 它们的发展。例如，早在1 8 世纪中期，法国数学家拉格朗同就把时问因 素作为与三个空间坐标并列的第四个坐标而引入了四维空间，推动了力学 的研究。同样，力学家与物理学家往往把各种物理参数作为不同坐标而弓 进了高维的相空间等概念，使几何方法得以在物理学中发挥作用。现代的 相对论，即在这种方法下与四维时空流形的几何学研究不可分离。现代数 学中还有一个常用的方法，即把一个个函数看作一个个“点”。而把某类 函数的全体看作一个空间”，函数问的相异程度看作“点”之间的r 距 离”，由此得到了各种无穷维的函数空间。这样，不仅分析的问题具有了 几何“直观”的意义，而且可以运用近代几何拓扑，以至抽象代数的有力 方法。由此在分析类数学中产生了泛函分析这一活跃的分支，在现代自然 科学甚至工程技术的应用中起着极其重要的作用。 d 一 东北大学硕士学位论文 第一章引言 数学发展的未来 展望未来，数学科学丰富多彩的广阔天地曰新月异，为了使庞大的数 学知识变得简而且精，数学家们经常依据数学各领域间潜在的共性，提出 统一数学各部分的新观点新方法。例如，在1 9 世纪后期，德国厄兰格的 数学家克莱因提出用“群”的观点来统一当时杂乱的各种几何学的方案。 本世纪2 0 年代，美国伯克霍夫又提出了“格”的概念，以统一代数系统 的各种理论与方法。本世纪3 0 年代，法国的一个数学学派布尔巴基，提 出了结构概念。与此同时，美国麦克莱思与艾伦贝格又提出了范畴与函子 的概念，数学的分门别类即以研究所属范畴为依据，以此统一数学的基础。 随着科学技术的不断发展和深入，以及各学科之间的相互渗透，将对数学 提出大量的千差万异的新课题，使数学研究的更深入。 2 0 世纪是数学大发展的世纪。数学的许多重大难题得到完满解决，如 费尔玛大定理的证明，有限单群分类工作的完成等，从而使数学的基本理 论得到空前发展。对数学未来发展具有决定性影响的一个不可估量的方面 是计算机对数学带来的冲击。计算机的出现是2 0 世纪数学发展的重大成 就，同时极大推动了数学理论的深化和数学在社会和生产力第一线的直接 应用。在不久的将来，计算机之于数学家，势将相当于显微镜之于生物学 家、望远镜之于天文学家。回首2 0 世纪数学的发展，数学家们深切感谢 2 0 世纪最伟大的数学大师大卫希尔伯特。希尔伯特在1 9 0 0 年8 月8f | 于巴黎召开的第二届世界数学家大会上的著名演讲中提出了2 3 个数学难 题。希尔伯特问题在过去百年中激发数学家的智慧，指引数学前进的方向， 东北大学硕士学位论文第一章引言 其对数学发展的影响和推动是巨大的，无法估量的。效法希尔伯特，许多 当代世界著名的数学家在过去几年中整理和提出新的数学难题，希冀为新 世纪数学的发展指明方向。这些数学家知名度是高的，但他们的这项行动 并没有引起世界数学界的共同关注。2 0 0 0 年初美国克雷数学研究所的科学 顾问委员会选定了七个“千年大奖问题”，克雷数学研究所的董事会决定 建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万 美元的奖励。克雷数学所“千年大奖问题”的选定，其目的不是为了形成 新世纪数学发展的新方向，而是集中在对数学发展具有中心意义、数学家 们梦寐以求而期待解决的重大难题。2 0 0 0 年5 月2 4 日，千年数学会议在 著名的法兰西学院举行。会上，9 8 年费尔兹奖获得者伽沃斯( g o w e r s ) 以“数 学的重要性”为题作了演讲，其后，塔特( t a t e ) 和阿啼亚( a t i y a h ) 公布和 介绍了这七个“千年大奖问题”。克雷数学研究所还邀请有关研究领域的 专家对每一个问题进行了较详细的阐述。克雷数学研究所对“千年大奖问 题”的解决与获奖作了严格规定。每一个“千年大奖问题”获得解决并不 能立即得奖。任何解决答案必须在具有世界声誉的数学杂志上发表两年后 且得到数学界的认可，才有可能由克雷数学研究所的科学顾问委员会审查 决定是否值得获得百万美元大奖。这七个“千年大奖问题”是：n p 完全 问题，郝治( h o d g e ) 猜想，庞加莱( p o i n c a r e ) 猜想，黎曼( r i e m a n ) 假设，杨 米尔斯( y a n g m i l l s ) 理论，纳卫尔一斯托n ( n a v i e r s t o k e s ) 方程，b s d ( b i r c h a n d s w i n n e r t o n - d y e r ) 猜想。“千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产 生了强烈反向。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将 东北大学硕士学位论文第一章引言 对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究“千年大奖问 题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。可 以预期，“千年大奖问题”将会改变新世纪数学发展的历史进程。 第二节本文的主要内容、研究目的和意义 在几何中，研究曲面的平均曲率是有意义的。最初，人们研究平均曲 率为零的曲面( 即极小曲面) 。这一方面主要应用在物理学上。著名的柏 拉图( p l a t e a u ) 1 = 7 题“以给定曲线为边界的曲面中，求面积为最小者”所代 表的极小曲面论有着悠久历史。不论过去，现在，也许将来，极小曲面论 经常给微分几何提供新问题。从面积最小的曲面出发，联带极小曲面、循 环极小曲面和螺极小曲面在随后几十年中得到了详细的研究。某领域的 研究总是从简而难的。在平均曲率为零的探索道路上，平均曲率为非零常 数的曲面也引发了数学家的兴趣。于是情况变得越来越复杂，而新问题也 随之而生：平均曲率为某一给定的连续函数时的曲面又具有什么性质呢 若该连续函数又为周期函数呢? 当然，这些问题在欧氏空间中大多数已获 得圆满地解决。如三维欧几里得空问中常平均曲率的旋转曲面的轮廓曲线 的研究已在1 8 4 1 年由c d e l a u n a y 给出了详细的结论 1 】。随后，k k e n m o t s u 在1 9 8 0 年讨论了三维欧氏空间中给定平均曲率的旋转曲面的轮 廓曲线【2 】。继而，他在这一方面进行了推进，将上述结论推广到周期平均 曲率的旋转曲面 3 。 东北大学硕士学位论文 第一章引言 欧几罩得几何原本第一卷的第5 公设是平行公理，从希腊时代到 1 8 世纪两千余年间，许多学者试图证明它，但都无劳而获。直到1 8 2 3 年 匈习：利数学家波尔约构造了“新几何学”，即非欧几何，才使数学进入一 个发展的新时代。德国数学家克莱斟在1 8 7 1 年首次认识到从射影几何中 可推导度量几何，并建立了非欧平面几何的模型；希尔伯特给出欧氏几何 学完备的公理体系，证明了平行公理对其它公理是独立的，因而明确了非 欧几何学成立的逻辑基础；爱因斯坦根据相对论证明了把我们所在的时空 看作非欧氏空间的合理性。这些研究最终使非欧几何获得普遍的承认和应 用，从根本上革新了人们的几何学观念。非欧几何对于2 0 世纪初关于空 间和时间的物理观念的变革也起了重要作用，非欧几何首次提出了弯曲空 间，它为更广泛的黎曼几何的产生创造了前提，而黎曼几何后来成了爱因 斯坦( e i n s t e i n ) 广义相对论的数学工具。人们在广义相对论的基础上研究了 宇宙的结构，认识到宇宙结构的几何学是接近于非欧几何的。在天体大范 围观测和原子论微观世界中有效的应用，充分显示非欧几何的创立有重大 的哲学价值和划时代的意义。爱因斯坦( e i n s t e i n ) 的相对论把新时代的几何 推到了科学的最前沿。四维时空的狭义相对论，产生了m i n k o w s k i 空间几 何( 即非欧几何) 。由于度量的不定性，一些在欧氏空间看起来很容易、 很理所当然的问题，往往在m i n k o w s k i 空间中变得很复杂。这篇论文的主 要内容是在三维的m i n k o w s k i 空间中研究给定平均曲率的旋转曲面的轮廓 曲线。由于在m i n k o w s k i 空间中旋转有三种形式：绕类空轴旋转，绕类时 轴旋转，绕类光轴旋转。本文将详细的讨论当平均曲率给定时，在这三种 一8 一 东北大学硕士学位论文第一章引言 旋转轴下的旋转曲面的轮廓曲线所满足的方程，这即是将c d e l a u n a y k k e n m o t s n 等人的工作的推广。 东北大学硕士学位论丈 第二章预备知识 第二章预备知识 这一章我们介绍本文涉及到的一些基本的数学定义及公式。首先回顾 三维的m i n k o w s k i 空间，然后简单介绍一下旋转曲面的轮廓曲线。 第一节非欧几何 1 1m i n k o w s k i 空间( 伪欧氏空间) 若n 维矢量空间具有对称的度量，则可选取一组标准正交基底0 ，) ( i = 1 , 2 ，n ) ，使得 ( 1 1 1 )p ，) = g u = 6 “，( f ，j = 1 ，2 ，h ) 。 且g i 除i ；j 外均为0 ；当i = ，时有 g f = + - 6 u = - , - 1 ，( f = j = 1 , 2 ，一，n ) 式( 1 1 1 ) 给出的度量称为度量的正则形式。 设g 。中其值为+ 1 的数目为m ，一1 的数目为p ，则m + p 5h 如果选定了度量空间的这种标准基底，其内积形式如下 ( 1 1 2 ) ( 训) 。y 叩2 ，戮叩 对于( 1 1 2 ) 式，若m 和p 中任一个为零，这种空间称为h 维欧氏空间，记为 e n 。若m 和p 均不为零，则称该种空间为n 维伪欧氏空间( 或洛仑兹空间) 记为：。特别的，p = 1 时，称为n 维m i n k o w s k i 空间。记三维m i n k o w s k i 空问为ms 。由上面的讨论可知，对于空间中非常接近的两点 ，z ：，z 。) 和 查! ! 垄兰翌主兰堡丝查 1 + d x l ，x 2 + d x 2 ，x 。+ d x 。) 的距离为 第二章预备知识 ( 1 1 3 ) 出22 善( 出c ) 2 一，篆：出，) 2 把( 1 1 _ 3 ) 式称为e ：空f n q 的度量。 1 2n 维m i n k o w s k i 空间中的向量 定义1 2 1设y 是n 维m i n k o w s k i 空间，任取a e v ，a 0 沁，a ) 0 ，则称口为类空向量； 扛，口) = 0 ，则称口为类光向量； 缸，a ) c0 ，则称a 为类时向量。 我们规定零向量为类空向量。 1 3n 维m i n k o w s k i 空间中的标架 由于m i n k o w s k i 空间中向量的特殊性，在该空间中有两种常用标架。 定义1 3 1正交标架量0 ： ( q ，p ，) = g 。= 6 “= i ? ：了7 = n 定义1 3 2伪正交标架仁) ： f 1 ，i = j = 2 ，一，h 一1 ；i = 1 ，j = n ；i = h ，；1 ( e ，弓) = 占。= ：6 。= 0 ，f ；巾，j = 2 ，n 一1 ) h i ；= 1 ，n 东北大学硕士学位论文第二章预备知识 1 4 三维m i n k o w s k i 空间中的内、外积 任取。，f l c m3 ，设a = 仁，x ：，屯 ，卢= y ，y ：，y ， 其中x 。，y 。c r ，i = 1 , 2 ，3 。 定义1 4 1m3 中的内积定义如下 取正交标架，( c t , 卢) z 筇；x t y l + 工2 y 2 一x 3 y 3 取伪正交标架，缸，卢) = 筇= 一) ，3 + x 2 y 2 + x ，y 1 定义1 4 2m3 中的外积定义如下： 取正交标架，口卢= ( x 2 ：；州妻；：| | ；：i 阡 取伪正交标架，a 卢= ( x l ；圳；：i l ，i 芰；i l 第二节三维m i n k o w s k i 空间中的曲面 2 1三维m i n k o w s k i 空间中曲面的分类 定义2 1 1 m3 中的平面d 分类如下 平面d 称为类空的当且仅当其法向量为类时的 平面d 称为类时的当且仅当其法向量为类空的 平面d 称为类光的当且仅当其法向量为类光的。 定义2 1 2 m3 中的曲面s 分类如下 东北大学硕士学位论文第二章预备知识 曲面s 称为类空的当且仅当在任意点的切平面为类空的 曲面s 称为类时的当且仅当在任意点的切平面为类时的 曲面s 称为类光的当且仅当在任意点的切平面为类光的。 2 2曲面的基本量 2 2 1 曲面的第一基本量 定义2 2 1设曲面s 的方程为r = r ( “，v ) ，则有 ( 2 2 1 1 ) d r2 = d r d r = f 咖2 + 2 r rd u d v + 寸咖2 称( 2 2 1 1 ) 式为曲面s 的第一基本形式：用 ( 2 2 1 2 ) 表示。其中 ( 2 2 1 3 ) i ：e d u2 + 2 f d u d v + g d v 2 e = 等；f = or u ；g = 寸 称( 2 2 1 3 ) 式为曲面s 的第一基本量。 2 2 2曲面的第二基本量 定义2 2 2设曲面s 的方程为r = r ，v ) ，对于s 上的类空点或类时点，设 n 为单位法向量，则有 ( 2 2 2 1 ) n d 2 r = n r 。d u2 2 n r ，d u d v 十月d v 2 称( 2 2 2 1 ) 式为曲面s 的第二基本形式：用 ( 2 2 2 2 ) i i ；l d u2 + 2 m d u d v + n d v 2 表示。其中 东北大学硕士学位论文第二章预备知识 ( 2 2 2 3 ) l = 月。：m = n r 。；n = n o 称( 2 2 2 3 ) 式为曲面s 的第二基本量。 2 2 3曲面的平均曲率 定义2 2 3设盐面s 的第一、二基本量分别为，f ，g 和，m ，。 令 ( 2 2 3 )h ：l g t - 2 m f + j n e 2 l e g f2 i 则( 2 2 3 ) 式称为曲面s 的平均曲率。 在本文中，h 规定为r 2 上的连续函数。 第三节旋转曲面 定义3 1 设，= ( n ，b ) e r ，令c = 0 0 ) ，y ( s ) ) ( s e l ) 是m 3 中在平面z = o 上以s 为弧长参数的光滑平面曲线。定义域，是包括原点的开区间。不妨假设 _ ) ，( s ) o ( s i ) 。，上的绕类空轴旋转的旋转曲面s 定义为 ( 3 1 )s ； ( x ( s ) ，y o ) c h o ，y o 沁h o ) e m3 p e l ，0 s0s 2 石 称c 为s 的轮廓衄线( 或生成曲线) 。 类似的，可定义绕类时轴旋转的曲面和绕类光轴旋转的曲面。 东北大学硕士学位论文第三章m i n k o w s k i 空间中给定平均曲率旋转曲面 第三章m i n k o w s k i 空间中给定平均曲率 旋转曲面 考虑三维m i n k o w s k i 空间中的旋转曲面，首要的是它的旋转矩阵。在 不定度量空间中，旋转有三种类型：绕类空轴旋转；绕类时轴旋转；绕类 光轴旋转。同时轮廓曲线可考虑为r3 中在平面z ；0 上的光滑曲线；r 3 中 在平面y = 0 上的光滑曲线；r 3 中在平面x ；0 上的光滑曲线。本章就这几 种情况全面讨论当平均曲率h 给定时，旋转曲面的轮廓曲线。设轮廓曲线 为c = 0 ( s ) ，y ( s ) ) ，其中s 为弧长参数。 第一节绕类空轴旋转 此时度量取为幽2 = ( 出。) 2 + ( d x ：) 2 一( d x ，) 2 。 定义3 1 1绕类空轴旋转时，旋转矩阵有两种形式 或 f 1 00 1 g ：1 0c j i l 日s 日i l o 幽日曲口i g = 露 轮廓曲线c ( s ) 在这两种旋转矩阵作用下，生成下面四种旋转曲面 一1 5 东北走学硕士学位论文第三章m i n k o w s k i 空问中给定平均曲率旋转曲面 s ，：r ( s ，0 ) = ( z ( s ) ，y ( s ) c h o ，y ( s ) s h o ) ，c = 0 ( s ) ，y ( s ) ，0 ) s 2 ：r ( s ，口) = ( z o ) ，y ( s ) s ho ，y ( s ) c ho ) ，c = ( 石( s ) ，0 ，y ( s ) ) s 3 ：r ( s ，0 ) = ( x ( s ) c h o ，y 0 ) ，x ( s ) s h o ) ，c = ( x ( s ) ，y ( 5 ) ，0 ) s 。：r ( s ，0 ) = ( y ( s ) s ho ，z ( s ) ，y ( s ) c ho ) ，c ；0 ( s ) ，0 ，y ( s ) ) ， 坤一= f 瑞籍篱静t ( 1 2 )y ( 蹦) ；瓶丽i 再丽丽 ( 1 3 ) 叩o ) = 2 f oh ( t ) d t ，f o ) ；s i n ( 即( f ) ) 如，g o ) ；f c 。s ( 叩o ) ) 出。 证明：s ，的第一基本量为 f e = x “( s ) + y ”( s ) ( 1 4 ) f = 0 i g = 一y 2 s ) ( 1 5 ) l ；兰：l 兰2 1 f 兰) 兰：f 兰! 二兰! ! 兰! ! 尘! 羔：鱼! m = 0 ：二兰坠塑：垒2 其中：、序气面7 i 万厂百万，( s 。为类空曲面) ， 由m3 中外积的定义，可知 东北大学硕士学位论文第三章m i n k o w s k i 空间中给定平均曲率旋转曲面 ( 1 6 ) h = i 1 ( ) ，( 5 ) 邝) ，一z 7 ( s ) y o ) c h o , - x ( s ) y ( s ) 妫口) 平均曲率为 ( 1 7 ) h = 2 三a 3 ( c l + e n 一2 f m ) ：( 二兰：盟丛! ! ! 坐坐：蛐兰塑二蟹盟蛐! 堡1 2 a 3 由s 为c 的弧长参数可知x t 2 ( s ) + y , 2 ( s ) ；1 则我们有： s ，群弩黜y i 沪z 咖弋沙。卜z i 却 令 ( 1 9 )z ( s ) = y ( s ) y 如) 一i x ( s ) y ( s ) ( 1 8 ) 式化为 ( 1 1 0 )z ( s ) 一2 i h ( s ) z ( s ) - 1 = 0 令 ( 1 1 1 ) 叩o ) = 2 譬h ( t ) d f ，( s ) = j ：s i n ( 叩( r ) ) m ，g ( s ) = j ：c 。s ( 叩( r ) ) 出 解( 1 1 0 ) 式得 ( 1 1 2 )z ( s ) = ( f ( s ) 一c 1 ) + f ( g ( s ) + c ：) ) ( f ( s ) 一i g 0 ) ) 又由( 1 9 ) 式可知 ( 1 1 3 ) l z ( 0 l 2 = y2 ( s ) 解f 1 1 3 ) j 塞个方程，我们得到命题中的结论。 东北大学硕士学位论文第三章m i n k o w s k i 空间中给定平均曲率旋转曲面 定理2当给定平均曲率h 的旋转曲面具有形式s ：时，轮廓曲线为 ( 2 )y 2 ( s ，c ) ；e f ； 一j e 8 f 丢；z ( r ) d r + c 其中 ( 2 3 )z ( 5 ) = ( g ( s ) 十f ( s ) + c ) ( g ( s ) 一f ( s ) ) ( 2 4 ) 叩( s ) = 2 f oh ( t ) d f ，f ( 5 ) = f s h ( r l ( t ) ) d t ，g ( s ) 2 j ：c h ( r l ( t ) ) d t 。 证明：s ：的第一基本量为 眨s ，雕叫“。 ( 2 6 ) ，一x ”0 ) y ( s ) y ( s ) + x7 ( s ) ) ，f ! ! ：! 堕 1 - , 一 m = o 。坐逆盟 其中：饥芦i 死石而( s ：为类时曲面) h = ( z 7 2 ( s ) 一y , 2 0 ) ) 工( s ) z ：( 堕( ! ：盟! 墅! 兰盟兰尘塑羔：盟 2 x 3 同理可得方程组 b ，髅2 h ( s 沪) y ( s y ) ，躺7 i 。叫i 咖i 。卜z i 。0 东北大学硕士学位论文第三章m i n k o w s k i 空间中给定平均曲率旋转曲面 令 ( 2 8 )z ( s ) = - y ( s ) y7 ( s ) + 石( s ) y ( s ) ( 2 9 )z ( s ) + 2 h ( s ) z ( s ) 一1 = 0 令 ( 2 1 0 ) 叩o ) ；2 f oi l ( f ) 出，f o ) = f os h ( n ( f ) ) 出，g o ) = f o c h ( 叩( f ) ) 出 解( 2 9 ) 式得 ( 2 1 1 )z ( s ) = ( a ( s ) + f ( s ) + c ) ( g o ) 一f ( 5 ) ) 又z 如) ；y b ) + 等等，代入x “( s ) 一y 。( s ) = 1 得 ( 2 1 2 )z o ) ( y2 ( s ) ) 一( _ y 2 ( s ) ) 7 + z2 ( s ) 一0 解( 2 1 2 ) 这个方程，我们得到命题中的结论。 定理3当给定平均曲率h 的旋转曲面具有形式b 时，轮廓曲线为 ( 3 1 )z o ，c ) ；瓶丽= 丁玎丽i 了 b z ，郧，沪j ：筹擎挚 其中 ( 3 3 ) 叩( s ) = 2 f oi l ( f ) 出，f o ) = j ：s i n ( 叩( f ) ) 出，g ( s ) = j ：c 。s ( 叩o ) ) 出。 证明：s ，的第一基本量为 墨! ! 垄兰塑主茎堡丝查笙三主竺垫! ! 兰些! 竺塑! 竺垦竺塑兰壅生塑亟 f e = x ”( s ) + y “( s ) ( 3 4 ) f = 0 i g = 一x 2 ( s ) ( 3 5 ) ，x ”( s ) 工o ) y ( s ) 一工( s ) z ( s ) y ”( 兰! u 一 m ；0 ：x 2 ( s ) y ( s ) 其中= x 2 0 ) ( x 。o ) + _ ) ，“o ”，( s ，为类空曲面) ， 平均曲率为 h = 0 “o ) + y , 2 0 ) 弦2 ( s ) y7 0 ) - _ ( 兰：尘) 17 尘! 二苎! ! ! ) 羔：尘! 蔓：垒2 2 a 3 同理口 得方程组： c s s ， x 2 n 。o 。) ，x + ( s y ) ，- ：。( 。x ，竺；y ”。+ 工”s y i s 工s 一y 1 5 = 。 令 ( 3 7 )z ( s ) = z o ) x7 ( s ) + i x ( s ) y ( s ) 则( 3 6 ) 式化为 ( 3 8 )z ( s ) 一2 i h ( s ) z ( s ) 一1 = 0 再令 ( 3 9 ) 叩( 5 ) = 2 f , h ( f ) a t ，o ) ；s i n ( 叩( r ) ) m ，g o ) 5 j ：c 。s ( 叩( f ) ) 出 由( 3 7 ) 式可知 ( 3 1 0 )j z ( s ) l2 = x 2 ( s ) 东北大学硕士学位论丈第三章m i n k o w s k i 空问中给定平均曲率旋转曲面 解( 3 1 0 ) 这个方程，我们得到命题中的结论a 定理4当给定平均曲率h 的旋转曲面具有形式s 。时，轮廓曲线为 c 4 ，y 2 c s ，c ，= e f l a s e ，a x e s - f a l s e 查! ! 垄兰堡主堂堡堡查 竺望 2 旋转曲面s 。：s ( f ，5 ) = ( 2 i ，2 f ；，一f 2 i + 尘笋) ，它的轮廓曲线为 ) _ ( 2 以，华( 此时酏“c 2 = 0 , c 3 = 0 ) 同一旋转曲面s ，。在参数微小变化下，图像变化较大( 局部图像) 。 其中m a t h e m a t i c a 语言为 p a r a m e t r i c p l o t 3 d 【 2 s q r t 【s 】，2 * t * s q r t s ，( t 。t ) 8 s q r t s + 4 。s 4 s q r t s 3 ， t ，0 ，5 ， s ，1 ，5 ) ，b o x e d - f l a s e ，a x e s 一 f a l s e 3 1 东北大学硕士学位论丈参考文献 参考文献 1 c d e l a u n a y s u r l as u r f a c ed er e v o l u t i o nd o n t l ac o r b u r e m o y e n n ee s tc o n s t a n t e j ，j m a t hp u r e s a p p l ，s e r 6 2 3 0 9 3 2 0 1 8 4 1 2 k k e n m o t s u s u r f a c e so fr e v o l u t i o nw i t hp e r s c r i b e dm e a n c u r v a t u r e j ，t o h o k um a t h j ，v 0 1 3 2 ：1 4 7 一1 5 3 ，1 9 8 0 3 k k e n m o t s u s u r f a c eo fr e v 0 1 u t i o nw i t hp e r io d i cm e a n c u r v a t u r e j ，t o h o k um a t h j ，v 0 1 3 0 ：卜1 i ，2 0 0 2 4 吴文俊吴文俊论数学机械化 m ，山东教育出版社，l 9 9 5 5 张继平面向新世纪的7 大数学难题 m ，数学公园 h t t p ：9 0 1 1 6 3 c o m m a t h a b c 6 吴文俊主编世界著名科学家传记 m ，北京：科学出版社，1 9 9 2 7 b a y r a ms a h i n e r o l k i l ica n dn i f a tg u n e s n u l lh e l i c e si n r m j ，d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y d y n a m i c a ls y s t e m s ，v o l - 3 n o 2 ：3 1 3 6 2 0 0 1 8 剑持胜卫极小曲面论 m ，沈阳：东北工学院，1 9 8 5 9 m d oc a r m o ，m d a j c z e r r o t a t i o nh y p e r s u f a c eo f c o n s t a n t c u r v a t u