酉正交变换与正交投影ppt课件

,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材,矩阵论教程国防工业出版社2012,其他辅导类参考书（自选）,课程要求,作业要求,矩阵论网站,2,授课预计(10学时),第二章内积空间与赋范线性空间,欧氏空间与酉空间,标准正交基与向量的正交化,正交子空间,酉(正交)变换与正交投影,向量范数与矩阵范数,向量范数与矩阵范数的相容性,3,教学内容和基本要求,2,理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构造标准正交基；,3,理解正交子空间及其正交补的概念，掌握正交投影的概念；理解正交变换的概念，熟练掌握正交矩阵的性质；,1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质，理解内积空间的概念；,4,5,理解谱半径的概念，掌握谱半径的相关性质；,重点：施密特正交化方法；正交子空间及其正交补；正交投影；酉变换；算子范数；相容性,难点：正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与向量范数的相容性,教学内容和基本要求,4,理解向量范数的概念，知道常用向量范数的几何意义及其性质；理解矩阵范数的概念，掌握算子范数，会求常用的算子范数，并掌握矩阵范数与向量范数的相容性；,5,在第一章中，我们看到线性空间上的线性变换是能够保持向量的加法与数乘两种运算的变换,那么到了酉（欧式）空间中，这种线性变换是否能保持向量的度量性质的不变呢？,由于度量性质是由内积定义的，所以接下来研究保持内积不变的酉（正交）变换。,酉（正交）变换是物理学和一些工程学科中常用到的一种变换，如三维空间中的刚体运动等。,6,设T是酉(欧氏)空间V的线性变换，如果对任意的，均有,则称T是酉(欧氏)空间V的一个酉(正交)变换。,例1设A为n阶酉(正交)矩阵，证明,为Cn(Rn)上的酉（正交）变换,证明：,7,例2设,其中,证明H是Cn上的酉变换。,证明：,豪斯何尔德镜像变换,是酉矩阵,8,(4)T在V的任一标准正交基下的矩阵是酉(正交)矩阵,定理1：设T是酉（欧氏）空间V的线性变换，那么下列命题等价。,(1)T是酉（正交）变换；,(2),设是V的标准正交基，则也是V的标准正交基；,证明：(1)(2)，显然成立。,(2)(3),显然。只需在条件下推出。,9,替换为iy,所以，也是V的标准正交基。,=0,10,(3)(4),设T在V的任一标准正交基下的矩阵是A,即,说明A是从标准正交基到标准正交基）矩阵。的过渡矩阵。,由本章第二节定理4知A是酉（正交）矩阵。,11,(4)(1),设T在V的标准正交基下的矩阵是酉(正交)矩阵A，即,，使得,由于内积在标准正交基下的矩阵为单位阵，故有,为酉变换。,12,例3设，其中,则是R2到L的正交投影。,13,定理2正交投影是幂等（即满足)的线性变换。,证明：设PL是酉（欧氏）空间V到L的正交投影，,使得,14,作为线性变换，经常称正交投影在自然基底下的矩阵为正交投影矩阵，记为P,不发生混淆的情况下，也称为正交投影。正交投影记为,定理3设PL是酉空间Cn到L正交投影，是L的标准正交基，是Cn的标准正交基，记为，则正交投影矩阵为。,证明：记,15,由上面的推导过程，不难得到,因而,16,例4在R2中，,求，(1)R2到L的正交投影矩阵P；,(2)的正交投影。,解答(1)因为L的标准正交基是,(2),17,定理4n阶矩阵P为酉空间Cn正交投影的充分必要条件是,证明必要性