（基础数学专业论文）与高阶谱问题相联系的孤子方程的分解与有限维可积系统.pdf

摘要 本文的前几章对几个高阶的连续谱问题和一个离散谱问题进行了研究，得到 了几个新的孤子族，并利用迹恒等式给出了其中两个方程族的h a m i l t o n 结构，然后 借助于原谱问题及其伴随谱问题，通过非线性化方法，找到了位势与特征函数之 间适当的约束关系( b a r g m a n n 约束或n e u m a n n 约束) ，进而导出了几个新的有限维 系统( b a r g m a n n 系统或n e u m a n n 系统) 和一个辛映射( 离散的有限维系统) 随后，利 用l a x 矩阵给出守恒积分的母函数，进一步证明了所得到这些有限维系统的l i o u v i l l e 可 积性最后作为应用，孤子方程的求解问题被分解成求解两个相容的常微分方程系 统( 对于离散情形，被分解成求解一个常微分方程系统和一个可积辛映射的简单迭 代过程) 在论文的最后一章中，我们对耦合可积无散射方程进行了研究，利用相应的驻 定演化方程和椭圆坐标，将方程的解用两个相容的常微分系统的解所表出，随后， 弓l 入超椭圆r i e m a n n 面与a b e l - j a c o b i 坐标，拉直相应的流作为应用，流的相容解 在a b c l - j a c o b i 坐标下被精确给出 关键词：高阶谱问题，非线性化，新可积系统，流的拉直 a b s tr a c t s e v e r a lh i g h - o r d e rc o n t i n u o u ss p e c t r a lp r o b l e m sa n dad i s c r e t eo n ea r es t u d - i e di nt h ep r e c e d i n gs e c t i o n so ft h i st h e s i s s o m en e ws o l i t o nh i e r a r c h i e sa s s o c i - a t e dw i t ht h e ma r eo b t a i n e df i r s t l y t h e nb a s e do nt h e s es p e c t r a lp r o b l e m sa n d t h e i ra d j o i n to n e s ，s u i t a b l ec o n s t r a i n tr e l a t i o n s h i p s ( b a r g m a l mc o n s t r a i n t so rn e u - m a i u lc o n s t r a i n t s ) b e t w e e np o t e n t i a l sa n de i g e n f u n c t i o u sa r ed e r i v e dt h r o u g ht h e t h en o n l i n e a r i z a t i o na p p r o a c h s o m en e wf i n i t e - d i m e n s i o n a ls y s t e m s ( b a r g m a n n s y s t e m so rn e u m a n ns y s t e m s ) a n dan e ws y m p l c c t i cm a p ( ad i s c r e t ev e r s i o no f f i n i t e - d i m e n s i o n a ls y s t e m ) a r eo b t a i n e ds u b s e q u e n t l y t h e ya r cf u r t h e rs h o w nt o b ei n t e g r a b l ei nt h el i o u v i l l es e n s et h r o u g hat e c h n i q u eo fg e n e r a t i n gf u n c t i o n s o fc o n s e r v e di n t e g r a l sw h i c hg e n e r a t e df r o ml a xm a t r i x a sa na p p l i c a t i o n ，t h e c a l c u l a t i o no fs o l u t i o n sf o rt h o s eh i e r a r c h i e so fs o l i t o ne q u a t i o n sa r ed e c o m p o s e d i n t os o l v i n gt w oc o m p a t i b l eh a m i l t o n i a ns y s t e m so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( f o rd i s c r e t es i t u a t i o n ，i n t os o l v i n gas y s t e mo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o np l u sa s i m p l ei t e r a t i v ep r o c e s so ft h es y m p l e c t i cm a p ) i nt h el a s ts e c t i o n ，t h ec o u p l e di n t e g r a b l ed i s p e r s i o n l e s se q u a t i o ni ss t u d i e d t h ee q u a t i o ni ss e p a r a t e di n t os o l v a b l eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yt h ea i d o fc o r r e s p o n d i n gs t a t i o n a r ye v o l u t i o ne q u a t i o na n dt h ee l l i p t i cc o o r d i n a t e s t h e h y p e r c l l i p t i cr i e m a n ns u r f a c ea n da b e l - j a c o b ic o o r d i n a t e sa r ef u r t h e ri n t r o d u c e d t os t r a i g h t e no u to ft h ea s s o c i a t e df l o w s a sa na p p l i c a t i o n ，t h ec o m p a t i b l es o l u t i o n s o ft h e s ef l o w si na b e l - j a c o b ic o o r d i n a t e sa r ee x p l i c i t l yo b t a i n e d k e y w o r d s ：h i g h - o r d e rs p e c t r a lp r o b l e m ，n o n l i n e a r i z a t i o n ，n e wi n t e g r a b l es y s - t e r n s ，s t r a i g h t e no u to ff l o w s 原创性声明 本人郑重卢明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者：鹰易 日期：砌7 年占月日 i 学位论文使用授权声明 本人在导师指导下完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属郑州大学。根 据郑州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权郑州大学可以将 本学位论文的全部或部分编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或者其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该学位 论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为郑州大学。保密论文在解 密后应遵守此规定。 学位论文储磊多 日期。7 年6 月砂日 第一章前言弟一早月| j 苗 非线性在现实生活中无处不在河流中突起的障碍物旁边有一圈圈的水纹，飞 机轰鸣着从天空中飞过，酒杯掉到地上碎成几片，公园里木制的长椅上裂纹在慢慢 加深，这些自然的现象都和非线性过程有关与线性过程相比，非线性过程似乎复杂 而难以确定线性关系足互不相干的独立关系，而非线性则是相互作用正是这种 相互作用，使得整体不再足简单地等于部分之和，而可能出现不同于“线性叠加”的 增益或亏损2 0 世纪后半叶兴起的非线性动力学的研究使人们认识到，在一个复杂 系统中，非线性相互作用，可能会引起许多现有力学和物理定律未曾揭示的新现象， 非线性被认为足复杂性的本质和来源如何从貌似不确定的非线性现象中寻找确定 的自然规律，就是非线性科学所研究的内容每一门科学有它自己的非线性问题，并 形成各自的非线性学科分支非线性科学不足各门非线性学科的简单综合，它研究 出现于各种具体的非线性现象中的那些共性这些共性有的已可以用适当的数学工 具描述，表现为一些数学定律，但有的还难找到相应的数学描述，没有严格的数学理 论非线性科学着眼于定量的规律，主要用于自然科学和工程技术而孤立予理论， 就足非线性科学中重要的一部分 1 1孤立子与孤立子理论的发展 孤立子是非线性动力系统中的色散与非线性两种作用相互平衡的结果，具有波 粒二象性一般来说，波可以视为空间中传播的扰动而在传播中不改变形状、大小 和方向的，称为孤波具有相互作用仍不改变形状、大小和方向的粒子性孤波，就是 孤子孤子居然能同时具有波和粒子的双重性质，这引起了物理学家们的很大兴趣 而孤立子理论为理解物质的波动性与粒子性的相互联系，搞清物质的本质，也提供 了新的线索在研究的初期，人们猜测虽然单个孤立波在行进中保持非常稳定的形 2第一章前言 态，但在碰撞后波形会发生改变因为对一般的非线性波碰撞的研究理论和实验结 果都表明，通常情况下非线性波在碰撞后的波形都会发生变化然而后来通过高速 计算机对孤立波进行模拟计算研究的结果却大大出乎人们的意料：两个孤立波相互 碰撞后，仍然保持原来的波形和速度不变，而且它和实物粒子一样具有质量、动量 和能量特征，在外力作用下服从牛顿第二定律由此人们确信，孤立子具有波动和粒 子特性决非偶然，它一定存在深刻的物理根源现在，孤立子吸引着越来越多的物 理学家和数学家的注意在星系中的密度波、光纤通讯、飓风等现实生活中，都有孤 子的出现，而孤立子理论已经渗透到晶格理论、非线性光学、等离子体物理、分子 生物学、基本粒子理论、海洋学、凝聚态物理、导电塑料、激光和光纤通讯、电磁导 弹等诸多领域 提到孤立予理论的起源，就不能不说说关于英国科学家j s c o t t r u s s e l l 的故事 了1 8 4 4 年，在英国科学促进防会第十四届会议上，r u s s e l l 发表了一篇题为论水 波的论文f 1 】，生动地描述了他十年前沿河道追逐一个水波的故事，大意是：“我看 到两匹马沿河道拉着一只船迅速前进船忽然停下了，被船所带动的水团却没有停 下来，而是急剧地聚集在船头周围，并形成了一个巨大的圆而光滑的孤立水峰水 峰离开船头，以很快的速度向前行进它约有三十英尺长，一到一英尺半高，在河 道中行进时一直保持着开始的形状和速度我骑着马紧紧跟着，发现它大约以每小 时八至九英尺的速度前进后来，高度逐渐减小了，在我整整追逐了一两英里以后， 水团才在蜿蜒的水道中消失了这一情景是我第一次有幸遇见的奇特而又优美的壮 观”r u s s e l l 认为，这绝不是一个普通的水波，而应该足流体力学方程的一个解，并 将其命名为“孤立波”r u s s e l l 当时已经知道了孤立波的一些重要性质，如：孤立波 在传播过程中保持波形和速度不变，两个孤立波碰撞时以维持原来的波形和速度的 姿态“互相穿透”等等他认为自己发现了一个新的物理现象，批评数学家和物理学 家们从来没有从理论上提出这种波的存在这在当时一度引起了激烈的争论，但大 部分权威科学家们仍然对此持怀疑态度，认为自然界不可能存在这样的水波 1 8 9 5 年，荷兰数学家d j k o r t e w e g 和他的学生g d ev r i e s 在研究浅水中小振 幅长波运动时，导出了单向运动浅水波k o r t e w e g - d ev r i e s 方程( 也就足著名的k d v 方 程) 2 1 ，通过分析方程的解析解，他们发现得出的波的表面形状与r u s s e l l 所描述的孤 波表面形状十分相似，孤波的存在这才第一次从理论上得到了证实k d v 方程的发 现在孤立子理论的发展过程中足一个重要的里程碑，直到今天，k d v 方程仍然足最 常见的研究孤立子理论的模型之一 然而从1 9 世纪末n 2 0 世纪中期的几十年问，关于孤立波及其性质的研究工作一 直处于静止时期，并没有明显的进展尽管在非线性电磁学、固体物理、流体动力学 等一些学科中相继出现了一些与孤立波有关的问题，但当时由于孤波的稳定性等非 常重要的性质并未被解决，利用有关孤立波的已有知识，并不能很好地解释这些新 的问题，孤立波好像慢慢被人们遗忘了 经过了大约6 0 年的平静后，1 9 5 5 年由三位美国物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 所 做的著名的f p u 实验3 ，1 1 3 f f 匡新燃起了人们对孤立波的兴趣，使对孤立波的研究又 活跃了起来f p u 实验采用数值分析的方法计算用非线性弹簧联结的6 4 个质点组成 的弦的振动，原本目的是从数值实验上验证统计力学中的能量均分定理他们对少 数质点进行激发，按照能量均分原理，由于弱的非线性相互作用，经长时间以后，初 始的激发能量应该均衡地分布到每个质点然而实验结果令人意外，长时间以后能 量几乎全部回到了初始的少数质点上这个结果预示着这个非线性系统有可能出现 孤立波1 9 6 5 年，美国数学家k r u s k a l 和z a b u s k y 对f p u 结果的进一步研究发现【4 】，若 用弦的位移表示，它们正好满足k d v 方程两个k d v 孤立波的碰撞，可以看到三个 特点：孤立波在碰撞前后保持高度不变，像是“透明地”穿过对方；碰撞时两个孤立 波重叠在一起，其高度低于碰撞前孤立波高度较高的一个( 这表明在非线性过程中， 不存在线性叠加原理) ；碰撞后孤立波的轨道与碰撞前有些偏离( 即发生了相移) 他 们还首次引入“孤立子”( s o l i t o n ) i , 塞- - 术语，用来描述这种具有粒子性质的孤立波 这个发现引发了科学家们热烈的讨论，也证实了孤立子具有良好的稳定性 从此，孤立子引起了人们极大的兴趣和关注，孤立子理论开始蓬勃发展起来 随着孤立子理论研究的深入，近几十年来，关于研究孤立子性质和求解的方法已经 得到了长足的发展特别要提到的足在求解非线性k d v 方程时，g a r d n e r ，g r c c n c ， k r u s k a l 和m i u r a 于1 9 6 7 年创立了反散射( i s t ) 方法【5 ，6 】，并借此成功地求出了k d v 方 程的精确n 孤子解，奠定了反散射方法的基础这一成果在孤立子理论的发展过程中 具有举足轻重的地位随后，物理学家和数学家们对其作了更多的推广 7 - 1 3 ，直到今 天，仍然有科学家使用反散射方法来对一些非线性方程进行研究在此期间，很多其 他的求解方法也慢慢发展成熟，如b i i c k l u n d 变换与d a r b o u x 变换 1 4 - 2 1 ，p a i n l e v 6 分 析 2 2 2 9 】，双线性化方法 3 0 - 3 4 ，非线性化方法【3 5 4 2 】，代数几何方法 4 3 - 4 8 ，对称与 约化【4 9 5 3 ，穿衣方法1 5 4 5 9 等等，这些方法对无限维分析，代数几何，偏微分方程 4第一章前占 和动力系统理论都产生了深远的影响数学家们和物理学家们应用这些方法研究了 很多有重要应用的方程，给出了它们各种形式的精确解，也为我们深刻理解非线性 问题的本质给予了很大的启发 1 2可积系统与非线性化方法 关于以经典力学为基础建立起来的可积系统的研究是当代非线性科学的主要 方向之一h a m i l t o n 系统的完全可积性在经典力学中占有重要的地位，人们对它的 认识也经历了一个曲折漫长的过程 早期，人们对可积动力系统理论有着极大的兴趣和信心甚至有人曾断言，所有 以经典力学出发，通过h a m i l t o n 方程建立起来的h a m i l t o n 系统都是完全可积的到 十九世纪前期，人们进一步发现了一些以技巧著称的完全可积系统的范例，如j a c o b i 关 于椭球面上测地流的积分，c n c u m a n n 关于受二次位势力作用的球面谐振子，以及 几种类型的可积陀螺等 6 0 6 3 】然而到了十九世纪的后期，可积系统研究遇到了越 来越严重的困难除了最早发现的一批简单的初等可积类型的微分方程外，新可积 模型的发现越来越困难，越来越需要高度的数学技巧同时，能求出显式解的例子 也越来越少到十九世纪末，人们终于意识到多数h a m i l t o n 系统并不可积，可积性 只是个别例外情形，不具备通有性而后，数学家b r u n s 于1 8 8 7 年证明了三体问题也 是不可积的 6 4 】，因为三体问题是由1 8 个二阶微分方程来描述，具有9 个自由度，却 只有1 0 个运动积分，( 其中3 个动量积分，3 个角动量积分，3 个关于质心运动的积分 和1 个能量积分) 这一结论在相当长的一段时间内甚至导致了人们的恐慌1 8 9 2 年， p o i n c a r 6 在他的三卷本天体力学新方法的第一卷第四章中，对这个定理做出了一 般表述 1 1 3 】：在通常的保守问题中，经典力学正则方程除了满足能量积分外，不满足 其它任何解析、一致的积分p o i n c a r 6 的一般性结论实质上是指出可积系统足极少 的，许多行为很规则的系统当受到扰动后可能出现不连续性，其参数或初始条件的微 小变化，就可能引起复杂的、甚至是性质上的变化1 9 0 9 年，美国数学家b i r k h o f f - 宅e 探索哈h a m i l t o n 系统的一般行为时使用p o i n c a r 6 截面方法【6 5 ，6 6 】，他发现微分方程 的性质取决于正则级数的收敛性由于可积系统对微小扰动非常的依赖和敏感，在 ! ：窒卫塑丕堕兰 e 垡丝丝查鎏曼 小的扰动下完全可积性便会受到破坏，所以这一研究成果对完全可积性的研究无疑 是一个重大的打击，使人们对完全可积性的重要性产生强烈的怀疑，以至于白此以 后的很长一段时问内人们对可积系统的研究走入低谷，动力系统的研究重点开始转 向定性理论，这种状态一直持续到二十世纪人十年代 二十世纪中期，孤立子的研究开始兴起1 9 6 0 年前后，前苏联数学家a n k o l - m o g o r o v ，v i a r n o l d 和j m o s e r 发现，在小扰动下，虽然可积性被破坏，但原问题 的一个大子集却保留下来，组成一个复杂的康托集，这就是著名的k a m 理论 6 r ，1 1 3 按照分析力学方法，n 个自由度系统的h a m i l t o n i i i ! i 数是h = ( 9 1 ，q 2 ，q - ，p 1 ，矿，矿) ， 系统的运动由h a m i l t o n 正则方程 g i = 两o h ，p i = 一面o h ，1 i n 确定如果能够找到一系列正则变换，从广义动量p 1 ，p 2 ，矿和广义坐标q 1 ，q 2 ，矿变 到另一套作用角变量，1 ，2 ，p 和妒1 ，矿，矿，使得利用新变量表示的h a m i l t o n 函 数只依赖于前一半变量，1 ，2 ，p ，而与妒1 ，妒2 ，q o ”无关，则这个力学系统就是 完全可解的，即为可积系统因为这意味着这个系统的行为可化简，归结为n 维环面 上的条件周期运动相反，如果找不到一种变换，使得h a m i l t o n 方程只包含作用一角 变量，则系统是不可积的实际上，对于多数保守系统是无法找到这种j 下则变换的 因而人们退而求其次，去研究近可积系统( 即弱不可积系统) k a m 定理是关于近可 积系统的一个重要的一般性结论，有十分重要的意义假定系统的h a m i l t o n 函数分 为两部分： h = h 0 ( 厶) + e v ( i l ，协) ， 其中凰部分足可积的，y 是使h 变得不可积的扰动，只要e i 艮j , ，这就是一个弱不可 积系统k a m 定理断言，在扰动较小，y 足够光滑，离开共振条件一定距离这三个条 件共同成立时，对于系统的大多数初始条件，弱不可积系统的运动图象与可积系统 基本相同可积系统的运动限制在由个运动不变量决定的n 维环面上，而弱不可积 系统的绝大多数轨道仍然限制在稍有变形的j 7 v 维环面上，这些环面并不消失，只有 轻微的变形，称之为不变环面人们进一步弄清了【6 8 】，在w h i t n e y 可微意义下，扰动 系统在上述康托集上仍足完全可积的这应该足特定条件下可积系统的稳定性可 积系统的通有性与稳定性的意义及其成立条件的确立，可以说是二十世纪可积系统 6第一章前言 研究的重大成就这样，对完全可积性的重要意义和深刻背景再一次被提出来，很快 又引起了人们的研究兴趣 随着近年来孤子方程研究的兴起，对可积系统的研究也越来越深入，从常微分 方程情形逐渐扩展到偏微分方程和离散方程情形可积约化，可积离散化，可积高 维推广等一些新的方法也应运而生，用于从已有的可积方程出发寻找新的可积方程 关于可积约化，f l a s c h k a ，a b l o w i t z 与s e g u r 6 9 1 提出过一条原则：可积系统的约化应 该仍是可积的同时求方程的显式解的方法也越来越多，越来越成熟，这在前文中 已经有所介绍 在孤子理论的发展过程中，人们渐渐发现，无穷维可积系统与有限维可积系统之 问存在着某种神秘的联系例如在研究孤子方程的极点解时，人们就发现极点的运动 方程是一个有限维的可积系统等【6 7 ，7 6 ，7 7 f l a s c h l m 也指出【7 0 】，大多数已知的有限 维可积系统，都可以通过无穷维可积系统在有限维不变子流形上的收缩来得到尽 管如此，却始终没能有一个框架性理论来很好地沟通有穷维与无穷维，如c a l o g c r o - m o s e r 系统 7 1 7 5 1 很能说明这一局面长久以来，一直没有人能揭开这层神秘的面 纱，直到上世纪八十年代后期，非线性化方法出现之后，这一工作才有了重大的进 展酋策问教授从反散射理论中孤子方程的无反射位势与特征函数的关系中得到启 发，提出了一个从无穷维可积系统构造有限维可积系统的有效方法，即l a x 对非线 性化方法 3 5 - 3 8 ，7 8 - s 1 非线性化方法通过找出孤子方程的解与其相应的l a x 对中特 征函数间的非线性约束，进而可以得到可积的有限维n c u m a n n 系统或b a r g m a n n 系 统该方法一方面可以被用来获得许多新的有限维可积系统，这些有限维可积系统 继承了原孤子方程的许多良好性质，而且丰富了可积系统自身的理论；另一方面，它 可以将( 1 + 1 ) 维孤子方程分离成相容的常微分方程，为求解孤子方程提供了新的途 径，许多( 1 + 1 ) 维孤子方程的精确解可以由此得到，包括孤子解，周期解，半周期解 等 s 2 1 0 2 近年来，该方法又得到了进一步的发展，它不仅可以用于连续情形，也 可以用于离散情形 1 0 蛋1 0 6 同时，这一方法还被推广到求解( 2 + 1 ) 维孤子方程的代 数几何解，如著名的k p 、m k p 等方程 1 0 7 - 1 1 2 在非线性化方法产生的初期，大家 多用它来处理一些2x2 矩阵的谱问题，随后经过发展，借助于共轭谱问题，结合原 谱问题可以形成一个偶数阶耦合谱问题，进而可以用于3 3 ，4 4 等高阶矩阵谱问 题 1 0 0 ，1 1 3 - 1 1 5 到目前为止，非线性化方法已经被公认为是发现有限维可积系统的 一种好的框架性方法 1 3本文的研究内容 本学位论文的前几章主要是应用l a x 对的非线性化方法( 又称特征值问题的非线 性化方法) ，分别对几个连续和离散的谱问题进行研究，得到相应的有限维b a r g m a n n 系 统和n e u m a n n 系统，并进一步证明它们足完全可积的然后通过时间变量和空间变 量的分离，将较困难的孤子方程的求解问题化简成求解两个相容的常微分方程组 值得一提的是，我们这里所说的可积指的足l i o u v i l l e 意义下的完全可积，这在a 卜 n o l d 的书里有着很好的阐述 9 9 ，1 1 6 根据a r n o l d 的理论，对于2 n 维的h a m i l t o n 系 统，其l i o u v i l l c 意义下完全可积的关键是寻找个相互独立且两两对合的守恒积分 当守恒积分的水平集足每一个守恒积分流形的不变子流形，若该水平集紧致且连 通，则它与维环面微分同胚在其上存在局部坐标( ，) ，称为作用一角变量，使 得h a m i l t o n 系统可以化为可积形式( 也称为拉直) ，= 0 ，毋= 伽( ，) ， 因而可以明确地表示出解的形式 t ( t ) = ，( o ) ，= ( o ) + w t ， 再对相空间进行坐标反演，即可以给出原问题的显式解所以证明l i o u v i l l c 可积 性的关键是要寻找足够的两两对合且相互独立的守恒积分本文中利用母函数方 法 9 8 ，9 9 】，从l a x 矩阵出发，直接找到可积系统守恒积分的母函数进一步，利用母 函数的性质，证明了守恒积分是两两对合的随后，在证明了守恒积分的独立性后 即完成了l i o u v i l l e 可积性的证明 前文中我们提到，l a x 对的非线性化方法不仅可以处理2x2 矩阵的谱问题，现在 也可以处理更高阶的谱问题然而目前对3x3 矩阵和4 4 矩阵的谱问题的研究仍然 不是太常见，这主要足因为与2x2 矩阵的谱问题相比，它们更需要一些特殊的技巧 及大量的运算因此对于高阶谱问题以及与之相联系的有限维可积系统的研究，还 远远没有像2 2 矩阵谱问题那样丰富而本文的前几章主要就足对几个高阶矩阵谱 问题进行的研究 8 第一章前言 在非线性化方法产生的几十年来，得到了很多的推广耿献国教授和曾策问教 授在此基础上受到启发，进而发展了一个分离技术，可将连续和离散的孤子方程( 包 括2 + 1 维孤子方程) 分解为相容的常微分方程或者相容的常微分方程和离散流的 演化，然后借助特征函数引入适当的椭圆坐标，再应用代数几何理论的相关知识， 在a b e l j a c o b i 坐标下拉直相应的流，最后通过反演，生成由e 函数所给出的显式解 这一方法在文献 9 5 】中有着详尽的叙述本文的第七章中，就利用这种方法对耦合可 积无散射方程进行了研究 本文的具体章节安排如下： 第二章，对一个连续的3 3 矩阵的谱问题进行研究，推出了与其相关的一族孤 子方程随后，利用l a x 对的非线性化方法，从原来的谱问题及其伴随谱问题出发， 找出位势与特征函数之间的约束，从而导出一个有限维的b a r g m a n n 系统，进一步证 明了它的l i o u v i l l e 可积性在最后一节中，将孤子方程的求解问题分离成求解两个 相容的h a m i l t o n 系统 第三章，我们对一个有三个位势的高阶离散谱问题进行研究，在进行了非常繁 琐的运算后，找到了与之相关的离散的微分差分方程族运用屠格式 1 1 7 - 1 1 9 ，进 一步发现了它的h a m i l t o n 结构随后，为了进行非线性化，我们将这个离散谱问题化 成了一个4 4 矩阵的谱问题，然后利用非线性化的程序得到了相关的b a r g m a n n 约 束，并证明了它在l i o u v i l l e 意义下的完全可积性最后，给出了这族微分- 差分方程 中一个典型方程的解的表达式 第四章和第五章的内容与第二章是基本甲行的，所不同的是这两章中位势与 特征函数之问存在着第二类约束，因此我们找到的有限维h a m i l t o n 系统是属于n c u - m a n n 型的系统在随后的l i o u v i l l e 可积性的证明过程中与前面的b a r g m a n n 系统的 处理也有所不同具体内容在这两章中有着详细说明 孤子理论中的一个重要课题是寻找尽可能多的新的孤子族无穷维可积系统 在本文的第六章中，我们引进了一个有三个位势的3 3 矩阵的谱问题，随后导出了 与之相关的一族新的非线性演化方程族最后运用迹恒等式 1 1 7 - 1 1 9 ，我们还找到 了这族非线性演化方程的广义双h a m i l t o n 结构 第七章，第一节中我们导出了与耦合可积无散射方程相关的方程族；在第二节， 借助特征函数所满足l a x 方程的解矩阵，引入椭圆变量，并由此给出孤子方程与相 容的常微分方程之间的直接的关系；第三节中，应用黎曼面和代数曲线的理论，构造 l ! ：圣奎塞笪婴窒盘查垒 出a b e l - j a c o b i 坐标，从而将与耦合可积无散射方程相关的流进行拉直，并进一步给 出该方程在a b e l - j a c o b i 坐标下的精确解 第二章一个新的可积系统 l a x 对的非线性化方法是沟通无穷维可积系统与有限维可积系统的重要方法之 一，其核心是通过位势与特征函数之间的约束，从而将无穷维可积系统非线性化为 有限维可积系统，进一步进行求解这一方法至少有两方面的重要应用：一足可以 由已知的孤子方程族中获得许多新的有限维可积系统，这些新的有限维可积系统继 承了很多其相应孤子方程的优良性质，而且大大丰富了可积系统本身的理论，揭示 了由孤子方程给出的无穷维可积系统到有限维可积系统之间的内在联系：二足提供 了一个求解孤子方程的方法，即将空问变量与时间变量分离成相容的常微分方程 组在位势和特征函数之间的约束下，l a x 对中的空间部分可以被约化成一个有限 维h a m i l t o n i a n 系统，同时l a x 对中的时问部分也被精确地非线性化为此h a m i l t o n 系 统的一个守恒积分的演化系统这足一种非常美妙的巧合，很多孤子方程的精确解， 如孤子解，周期解，半周期解等，都可以由这种方法得到 最早的l a x 对的非线性化方法主要适用于2 2 矩阵的特征值问题，近年来非线 性化得到了进一步发展，例如，对l a x 对及其伴随l a x 对的非线性化，对高阶特征值 问题的非线性化等等( 详见文献 1 0 0 ，1 1 3 - 1 1 5 及其文中的参考文献) ，现在，它不仅可 以用于连续情形，而且也可用于离散情形，不仅可以处理2 2 矩阵的特征值问题， 对3x3 ，4 4 ，乃至更高阶的特征值问题也同样适用本章中即是使用非线性化方 法来处理一个3 3 矩阵的特征值问题，得到了一个新的b a g m a n n 系统，进而证明它 足l i o u v i l l c 意义下完全可积的 1 2 第二章一个新的可积系统 2 1非线性演化方程族 九= u 咖， = ( 塞) ，= ( 三a 三三) ， c 2 1 1 ， k 一”v j = 0 ，v = ( ) 3 x 3 ，( 2 1 2 ) 它等价于 1 ，霉+ u v l 2 + ( 伽+ 入) v 1 3 一v 2 1 = 0 ， v 1 2 ，$ + u v l 3 + 1 一k 2 = 0 ， m 3 z + 2 一= 0 ， k l 芦+ u ( v 2 2 一1 ) + ( w + a ) v 2 3 一k l = 0 ， v 2 2 声+ u ( v 2 3 一v 1 2 ) + l k 2 = 0 ，( 2 1 3 ) v 2 3 z 一乱k 3 + v 2 2 一v 3 3 = 0 ， v 3 1 一十t 正( v 3 2 一1 ) + ( w + 入) ( v 3 3 一v 1 1 ) = 0 ， v 3 2 声+ u ( v 3 3 一v 2 2 ) 一( 叫+ a ) v 1 2 + v 3 1 = 0 ， v 3 3 声一u v 2 3 一( t o + a ) k 3 + v 3 2 = 0 ， 其中矩阵中的元素= ( a ，b ，c ) 足a ，b 和c 的函数： 1 = c ，v 1 2 = b ，v 1 3 = a ， v 2 1 = g + u b + ( 伽+ 入) a ， v 2 2 = 吃+ c + u a ，v 2 3 = a z + b ， v 3 1 = ；【( 一0 2 t 正一u 0 2 0 u 0 + ( z j + 入) a + 2 u 2 ) a + ( 一0 3 + 2 ( 叫+ 入) ) b 一0 2 q ， 2 = ( 0 u + u 0 + ( t u + a ) ) a + ( 0 2 + 位) b + 2 q ， v 3 3 = 0 2 a + 2 b = + c ( 2 1 4 ) l 兰：! e 垡丝塑丝查壁筮! 兰 且a ，b ，c 之间存在关系式 ( 泸+ o u ) a + 3 0 2 b + 3 0 c = 0 将( 2 1 4 ) 代j k 至u ( 2 1 3 ) 中可以导出l e n a r d 方程： k g a j g = 0 其中g = ( a ，b ) t ，k 和j 定义为 k = 一= ，j = ( 喜三a ( 2 1 5 ) l = ( 一泸- t - o u o + u 0 2 + 2 0 w + 伽a ) ， k 2 1 = ：伊一 泸u 一仳泸一 0 2 u o 一a u 伊+ i o w o + w 0 2 + o u 2 + u 2 0 + ；u o u 令d = a z + b ，方程( 2 1 5 ) 等价于 詹0 一a j 0 = 0 ， ( 2 1 6 ) 其中0 = ( d ，4 ) t ，霞和j 是两个反称算子 露= r 蒜删讹誊) j = 巾0 ) ，、 叫a + j 抛或z 厂一；a厂 觑2 = 石1 沪一百1 护仳一1 伊一三铲u a 一三a t z 铲+ 抛2 + 礼2 a + 亏2 t t 施 a = a j a ，d = d j 一， ( 2 1 7 ) j oj o 并将( 2 1 7 ) 代入( 2 1 6 ) ，则可导出l e n a r d 递推方程 j g o = 0 ，k q = j q + 1 j 0 ， 其中q = ( d j ，a a t 易见 k e r j = q o g o + a o 鲂lv q o ，a o r 】， ( 2 1 8 ) 1 4 第一二章一个新的可积系统 其中 g o = ( 1 ，0 ) t ，h o = ( 0 ，1 ) t 为了导出q 的一般表达形式，我们引入下列两个l e n a r d 递推方程： 詹毋一1 = ， 劬l ( 。，。) ：o = 0 ， j 1 ， ( 2 1 9 ) k 易一l = 嘞，岛j ( “，埘) ：0 = 0 ，j 1 ， ( 2 1 1 0 ) 其中边值条件的意义是确定递推过程中每一次积分所产生的积分常数为零这就意 味着 缈) 和 鲂 分别被递推方程( 2 1 9 ) 和( 2 1 1 0 ) 所唯一决定容易算得这两个序 列的第一个成员是 9 = 昙( ：) ，多，= ( 。钆：让2 ) 由( 2 1 8 ) 和k e r j = q o g o4 - a o 舶iv a o ，a 0 酞) 可以推出g j 的一般表达式为 ( 2 1 1 1 ) 其中a 七为任意常数 考虑( 2 1 1 ) 的辅谱问题 。= y ( m ，( 2 1 1 2 ) 其中 y ( m ) = ( k p ) 3 3 ，k ( m = v o ( a ( m ) ，d ( m ) ， a ( m ) = a j a m - j ，d ( ”) = 岛a m - j j = o j = o 贝l j ( 2 1 1 ) 与( 2 1 1 2 ) 的相容条件导出零曲率方程 它等价于 若取m = 0 ，o o = 0 ，a o = u 0 一吃m + 【y ( m 】= 0 ( 2 1 1 3 ) = k g m = j g 。+ 1 ( 2 1 1 4 ) 以约化为 t 正t2w z ， w t = 一i l t l 霉霉霉+ 3 u t l 霉 砖一 缈 七 q + 七一 彩 七 口 ，脚 = q m 可，m u 伽 l l l 竺：兰= 全堑丝堡竺g 翌垒旦翌丕丝 ! 曼 它等价于 u 炉一言嚣+ 昙( u 2 k u 扰。一百嚣+ j 【u 。k 若取竹i = 1 ，q o = 一3 ，a o = a 1 = q l = 0 ，( 2 1 1 4 ) 可以约化为 t i t = 一；。z + 2 ( u w ) 霉 w t = “站z 一4 u 。z 一2 u u 霉霉霉+ 萼u 2 u 。+ 2 伽蚍 2 2一个新的b a r g m a n n 系统 ( 耋) 。= ( ：一t ) ( 兰) ， c 2 2 1 ， 其中皿= ( 皿1 ，皿2 ，皿3 ) t ，垂= ( 圣1 ，圣2 ，圣3 ) t 设入l ，a n 足个相异的非零特征值， n - 与( 2 2 1 ) 相联系的系统可以写成下列形式 q j ，谚，窍) z = ( q ；，谚，苗) u ( ) t ，( 露，谚，窍) z = 一( 砖，考，谚) u ( ) ， ( 2 2 2 ) 其中苗= 皿( ) ，谚= ( ) ，( 1 i 3 ，l j n ) 足特征函数 现在我们引进b a r g m a n n 约束 v = g l ， ( 2 2 3 ) z o一 其中v 足特征值关于位势u 和的泛函导数： v = ( 麓h 西搿窍) 仁2 则方程( 2 2 3 ) 可以写为 u = 一3 q 1 , p 3 ) ，7 1 ) = 一3 ( ( 口1 ，p 2 ) + ( q 2 矿) ) ，( 2 2 5 ) 1 6第二章一个新的可积系统 其中( ，) 是r 里的标准内积，q = ( 氨，q 知) t ，p i = ( p i ，p 0 ) t 将( 2 2 5 ) 代 入( 2 2 2 ) ，我们就得到了一个新的b a r g m a n n 系统 畦= q 2 ， 酲= - 3 ( q 1 , p 3 ) 9 1 + q 3 ， 程= ( 一3 ( q 1 ，矿) 一3 ( q 2 ，p 3 ) + a ) q 1 3 ( q 1 ，p 3 ) q 2 ， ( 2 2 6 ) 硅= 3 ( q 1 , p 3 ) 矿+ ( 3 ( q 1 , p 2 ) + 3 ( q 2 ，p 3 ) 一a ) p z ， p ：= p 1 + 3 ( q 1 , p 3 ) p 3 ， p ：= 矿， ( 2 2 7 ) 这里函数的表达式足 h = 一3 ( 9 1 ，p 3 ) ( ( q 1 ，p 2 ) + ( q 2 , p 3 ) ) + ( a 口1 ，矿) + ( q 2 , p 1 ) + ( q 3 , p 2 ) 另外，利用( 2 2 5 ) i 和1 ( 2 2 6 ) ，通过直接计算我们可以证明 ( 霞一j ) v = 0 ， ( 2 2 8 ) 则 在b a r g m a n n 达式是 下面我们引进一个l a x 矩阵 q 譬 q ；1 8 1 q i l 8 2 + 叁 嚣“) 亿2 谱参数入的一个解，其中q 安的表 1 i ，k 3 q + q 妒 q 挚q 碧+ q 3 2 8 1