（基础数学专业论文）一致凸banach空间中渐进非扩张映射的弱强收敛定理.pdf

摘要 摘要 设x 是一致凸的b a n a c h 空间，占是石的非空闭子集，t ：b _ b 是一个具有非空不 动点集的渐进非扩张映射。若盖满足o p i a l 条件，则可以证明三重( m a n n 和i s h i k a w a ) 迭代过程弱收敛于r 的某一不动点，若r 对某一m n 有丁“是紧的，或r 具有全连续 性，则三重( m a n n 和i s h i k a w a ) 迭代过程强收敛。这样m a n n 和i s h i k a w a 迭代就变成 了三重迭代的特殊情形。 关键词：三重迭代；渐进非扩张映射；一致凸的b a n a c h 空间；o p i a l 条件； 全连续。 a b s t r a c t a b s t r a c t xi sau n i f o r m l yc o n v e xb a n a c hs p a c e ，0 bcxc l o s e da n dc o n v e xs u b s e t , a n d t ：b 寸bi sa na s y m p t o t i 9 a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n gw i t han o n e m p t yf i x e d p o i n ts e t i f xs a t i s f i e so p i a l sc o n d i t i o n ，t h e nw e a kc o n v e r g e n c et h e o r e m st os o m ef i x e dp o i n t so ft f o rt h et h r e e - s t e p ( m a n na n di s h i k a w a ) i t e r a t i o np r o c e s sc o n v e r g e sa r ep r o v e d a n di f2 - ”i s c o m p a c tf o rs o m em n ，o rt i sc o m p l e t e l yc o n t i n u o u s ，t h e ns t o n gc o n v e r g e n c et h e o r e m s f o rt h et h r e e s t e p ( m a n na n di s h i k a w a ) i t e r a t i o np r o c e s sa r ep r o v e d t h u sm a n na n di s h i k a w a i t e r a t i o np r o c e s sb e c o m eas p e c i a l t i e ss i t u a t i o no f t h r e e s t e pi t e r a t i o np r o c e s s k e y w o r d s ： i l l f e o - s t e pi t e r a t i o n ，a s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n g s ，u n i f o r m l yc o n v e x s p a c e s ，o p i a l sc o n d i t i o n ，c o m p l e t e l yc o n t i n u o u s i i 河北大学 学位论文原剑性声明 本人郑燕声明：掰呈交的学位论文，照本入在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰霹的研究或粜，也不包含为获零粤河北大学或其德教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一嘲工作的同志对本研究所做的任何 贡献均巴在论文中嚣了明礁的说明著表示了致落。 作者签名： 萄妻缉 日期：麓! 望年且月兰l 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，h 口：学校有权保姆 弗国鹫家有关灏门或麟梅送交论文魏复印传蠢逝子叛，兔诲论文鼓套阂秘氆阗。 学校可以公窍捻文的全部或帮分走褰，霹以采翅影印、缝印或共佳笈剃手段镙存 论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月曰解密后适用本授权声明。 2 、不像密曩。 ( 请教以上提应方格内打“4 ”) 作者签名： 导师签名： 目期：超年l 鼹上鼹 目裳：二嫂年且月且霹 引言及预备知识 1 引言及预备知识 近些年，一重迭代和二重迭代框架( 包括m a n n 迭代和i s h i k a w a 迭代作为最重要的 迭代) ，已经被许多作者广泛研究，用来解h i l b e r t 空间或b a n a c h 空间中非线性算子方 程。参考 1 - - 4 。n o o r 7 、8 】提出和分析了三重迭代方法，用修正解技术和辅助原理来 研究h i l b e r t 空间中变分包含( 不等式) 的近似解。相似的思想可以追溯到由g l o w i n s i k i 和l et a l l e c 3 中介绍的应l a g r a n g i a n 算予来找两个或( 更多个) 极大单调算子和的零 点0 一框架。g l o w i n s i k i 和l e t a l l e c 3 1 用三重迭代框架来求弹塑性问题，液体结晶理论 和特征值计算的近似解，在这些迭代中三重迭代表现出更加好的数值性。h a u b r u g e 【4 提出了g l o w i n s i k i 和l e t a l l e c 在 3 中的用三重框架的收敛分析，并且应用三重框架得 到了新的、可分凸规划和凸函数和的极小值的分裂型算法。他们也证明了在特定条件下 三重迭代导致更高级的平行算法。 基于以上各事实，x u 和n o o r 5 提出了在b a n a c h 空间中解非线性方程t x = x 的三 重迭代框架。其中丁是渐进非扩张的，则三重迭代可以看作g l o w i n s i k i 和l e t a l l e c 3 、 n o o r 7 、8 和i s h i k a w a 6 的一重和二重迭代的推广。x u 和n o o r 在【5 中证明了若t 是完全连续的，则三重( m a n n 和i s h i k a w a ) 迭代强收敛。 在本论文中我们将证明若x 满足o p i a l 条件，则三重( m a n n 和i s h i k a w a ) 迭代弱 收敛。若对某m n ，丁“是紧的，则三重( m a n n 和i s h i k a w a ) 迭代强收敛。 定义1 1 ：设b 是赋范空间j 的非空子集，t ：b 斗b 是一个映射，对于给定的 b ，由下面迭代框架计算序列 z 。 ，( y 。) ，和 矗) z 。= ( 1 一，。) x 。+ 7 t “x 。 h n ) 0 = ( 1 一展) 工。+ 卢：丁“z 。 甩n ( 1 ) x 。十l = ( 1 一a 。) 工。+ 口。t ”y 。 n n 这里， 口。) 田_ ， 展) 二和杪。) ：是 o ，1 】中的三个实序列，我们称迭代框架( 1 ) 为三重 迭代。 若y 。= 0v ”n ，由定义1 1 推导出以下的 定义1 2 ：设b 是赋范空间j 的非空子集，t ：b - - + b 是一个映射，对于给定的 l 河北大学理学坝士学位论文 b ，由如下迭代框架算序列 y 。) 和缸。) 儿2 1 1 - 成p 一+ 成! 毛 ”6 ( 2 ) x 。+ l = ( 1 一d 。) x 。+ d 。t 4 y 。 n n 。 ) = ， 尾) ：，c o ，l 】。定义1 2 被称为i s h i k a w a 型迭代过程。 若以= 0 ，以= 0v n n ，由定义1 1 推导出 定义1 3 ：设b 是赋范空间盖的非空子集，t ：b _ b 是一个映射，对于给定的 b ，由如下迭代框架算序列 x 。) x 。+ l = ( 1 一a - 。) z 。+ 口。t 4 y 。 n n ( 3 ) ( 口。) 二匕 o ，1 。定义1 3 被称为m a i l l l 型迭代过程。 在 5 中，x u 和n o o r 证明了如下结论：如果工是一致凸的b a n a c h 空间，r 是b 上 一致连续的渐近非扩张的自映射，则由( 1 ) 产生的序列 z 。) 强收敛于t 的不动点。在 本文中我们将证明如果z 是一致凸的满足o p i a l 条件的b a n a c h 空间，是曰上渐近非扩 张的自映射，则由( 1 ) 定义的 以) 弱收敛于t 的不动点。 定义1 4 ：设是b a n a c h 空间，占是j 的子集，映射t ：b 斗b 称为在b 上渐近非 扩张的，若存在序列碱) ：，t 1 ，并r l i m k 。= 1 ，使得 i t x - t “y l l k 。 _ y 0 ( 4 ) 对vz ，ye b 并口vh 成立。 定义1 5 ：个b a n a c h 空间盖称为满足o p i a l 条件，若对任意弱收敛于点x b 序 歹0 x n ) ：，c b ，我竹 有 l i m i n f l l x n 一工j l l i m i n f l l x n y l f ，v y b ( 5 ) 定义1 6 ：设盖是b a n a c h 空间，具有定义域d ( f ) 和值域r ( ，) 的映射t 称为在点 p d ( r ) 是半闭的，若x 中的序列 ：，弱收敛于点x 石，t x 强收敛于p ，则 t x = p 。 1 引言及预备知识 定义1 7 ：r 称为致l l i p s c h i t z i a n ，若 妒工- t y l l c - l l l x y | | 对所礴的n n 和x ，y b 。 定义1 8 ：丁称为令连续的，若对任意的x 。弱收敛于x ，则有致。呻a 。 弓f 瑾1 1 ：若f 嫩其有序猁瓴) 函的渐邋非扩张映射，姗r 也是致l - t i p s c h i t z i a n 葶 理l 。2 ：f 9 ，雩l 理1 3 】设盖是致凸的b a n a c h 空潺，0 垂 。 l ，辑警跨，# l ， v n t ，并且设 蠢) 刍，t y 。) 二c x ，设x i m s u p l l x i ! _ _ 口，l i m s u p l l y 。8 口，并且 l i r n 。0t n _ + ( 1 - t 。) 咒1 l = d 其中口o 为一常数，则l i m 。i i x 。一y 。l l = 0 。 弓f 理1 3 ： 1o ，弓i 理4 】设盖怒满足o p i a l 条件的b a n a e h 空阔，嚣是x 盼菲空闭 凸子集，设映射t ：b 哼b 是渐近非扩张映射，则r 在零点是半闭的。 弓i 理1 4 ： 1 1 ，引理1 】设和。) ：。和 瓦) ：。魁非负数列，使得口。蔓( 1 + 疋) 4 。对 v 符成立。如果二嚷。，那么l i m 。& 存在。特殊逮，辩缸。 考一个子翔 强收敛予零点，煲| j l i r a 。= 0 。 河北大学理学硕士学位论文 i 2 三重迭代的收敛性分析 21 相关的引理 在本文中我们主要讨论渐近非扩张自映射t ：b - - ) b 的三重迭代法弱收敛和强收敛 于不动点的条件，为此我们首先证明一系列引理。这些引理在证明我们的主要结果巾起 着首要作用。 引理2 1 ：设置是一赋范空间，o 是x 的非空凸子集，t ：b - - - ) , b 是一致l i p s c h i t z i a n 映射。设皿。) 二， 卢。) 二，驴。) = c o ，1 。对任意固定点x 。b ， t ) 由如下序列产 生 z 。= q y n ) x n + y 5 x ， n n y 。= ( 1 成) x 。+ 风f “2 。 ”n j 。1 = ( 1 一盯。) z 。+ 口。t ”y 。 n n 驯 k ，一巩+ t 吲h 一 n - l x n + i 三口+ 2 l z + 2 三+ 2 ) k t n x n0 ( 7 ) 证明：设五= l 矗一，“8 ，则 。一t x 。】| - + s 。+ l + 三阱。+ ( + 1 ) f p 。一x n + l 粕 “+ 三 _ + + 1 。忙4 y 。一n - - a , “+ + + 1 ) a 。( j p “矗一z 。1 1 + 1 1 丁”y 。一r 4 矗l 五+ 上限+ + 1 ) 吒( a 。+ q y 。一【 - a 。“+ l 2 。+ 上( 上+ 1 ) 口。k 十三0 尼r 4 z 。+ ( 1 - 成) 。一x 。1 1 ) - 0 j l l i m i n f 一p 。 0 ，则对所有的x + f ( d ，l i m 。+ 。怫一x + | | 存在。 证明：设x + f ( r ) ，由于 k + 1 ) 二有界，设m o f 吏彳导( k 。+ 1 ) m ，v n n 。我 们得到 i l 工。+ 。一工i i = 1 1 ( 1 一口。) x 。+ 盯。r ”y 。一z 0 ( 1 - a 。) l | x 。- - x * 4 + c z 。l i t 4 y 。- - x * ( 1 一口。) l 卜。一x 0 + 口。膏。1 l - y 。一x + i ( 1 一口沸。一x 卜k 水一尾) + f 1 t “乇一工+ 1 | ( 1 一d 。) i 卜。一工i i + o 。( 1 一以) 七。i l x n 一工+ 1 1 + 口。k ：l l z 。一z | i 河北大学理学硕士学位论文 ( 1 一盘。) l p 。一x 0 + 口。( 1 - p ) k 。i i x 。一x + 0 + 口。卢。七： l ( 1 一y 。) x 。+ y t “x 。一x + | l ( 1 一口。) | | x 。一z + i l + 口。( 1 - p ) k 。i k 。一x i | + 口。( 1 己y 。弦：1 1 x 。一x + i + 口。，。后：j k 。一z 。0 2 1 一口。+ 口。( 1 一以) 后。+ 岱。成( 1 一y 。) 七：+ 口。j j ：x 。一x | | ( 9 ) 兰 1 + 口。【( 1 一。) k + 卢。( 1 一九) 足：+ 3 。以七：一1 ) 0 一x + 0 1 + a n ( | j 。一1 ) 0 + 屁七。+ 见以后圳毛一z + i f 1 + d 。( 七。一1 ) ( 1 + 后。) 2 0 z 。一x + j 1 + 口。( i 。一o m 2 0 x 。一z i ( i ) 记口。：1 1 _ 一石+ j i ，瓯= ( 吒一i ) m 2 由于：，( 七。一1 ) 。o ，我们有二，以 o ，我们得到 4 h 一并z 。o + 1 1 一工i i - k n l l y 。一了+ ( 七。一，) m 2 + 1 恃o i i 因为l i m 。忙一工0 存在，设l i m i i x - - x * i l = d ，并且：。( 七。一1 ) m ，我们有 ! 鳃( ( k 。一石+ i i - 峙一工i i ) a 。+ 1 1 x , 一z + j j ) = d 嬲( 尼。一1 ) m2 + 1 j l l 一x ：l l ：d 所以! 受k 1 l y 。一z i i = d ，由l i m 。一吒= 1 黜l i m 。l y 。一x + 1 1 ：d 。 ( i i i ) 由( 9 ) ，得到 峙+ 。一x 1 1 0 ，则 兰竺l 掣+ 旦二铲l l x 。- - x * 8 肛。一t i g 。成群盈 # 一即。| | l 虹 幽十业掣 i x n - - x * 1 1 p kl最 ： j 由于l i m 。8 一茗+ 存在，l i r a 。一8 kx i j = d 并且二：( 乜一1 ) a 。，从上式可知 憋 坚掣产+ 警卜i i x 训 ”。l或照“ “ = 逋坠等产+ 绁豢地峙。卜”。l孱露展 ，“ “ 即 溉 坠兰竺裂+ 坚半i p 。一工+ 1 = di口。鼠碟织 “4 “l 因此憋怫一工6 = d 。 引理2 3 ；设冀楚一个一致凸b a n a c h 窝淹，b 建x 静嚣空凸子集，设t ：蠢斗b 是 一个渐近非扩张映射并且f f ) ，序列魄) 【1 ，c o ) 并且满足l i m 。k 。= 1 和 二，( 屉。一1 ) m 设船。) 刍，( 以) ：，驴。) 函是 o ，1 中的序列。对任意固定点粕b ， 扛 由如下产生 河北大学理学硕士学位论文 z 。= ( 1 一y 。) z 。- i - ，。t ”x 。 n n y 。= ( 1 一户：) 工。+ ：t ”z 。 n n 工肿l = ( 1 一口。) 工。- t - 口。t ”y 。 咒n 则 ( i ) 如果o 6 c 1 挪么l i m n - - - 。o 峙一t y 。i i = 0 。 ( i i ) 如果o 盯成d 1 ，那么l i r a 。肛。一r ”：。i l = o 。 证明：设x f ( t 1 。 ( i i i ) 由引理2 2 l i r a 。u k 一x + 0 存在设l i r a 。一恢一x + i i = d 。 观察到 l i 工。一x 1 1 = 1 1 ( 1 - 口。) 工。+ 口。丁”y 。一x 4 l = 1 1 ( 1 一口。) ( z 。一算+ ) + 口。口”y 。- x * ) i l 因此l i m 。1 1 ( 1 一) 。一工) + 口。盯“y 。一工+ ) i l = l i r a k + 。一x i i = d 。我们有 l i r ”y 。一x + i i - k 1 l y 。一x + 0 吒l | ( 1 一成) k + 尾丁”z 。一x + 4 ( 1 一屁) 圳一x i i + e l 乞一x i i ( 1 一成) 七。恢一z 卜，k 2 1 1 ( 1 - y 。) 扎+ n 丁1 _ 一算+ ( 1 一见) 尼。k x 卜。( 1 1 ) 后取一x + i i + p r 。k x + i | 1 一成+ 展( 1 一y 。) 吒+ 成以j 刭矗一x + 0 = 后。 1 + 成( 吒一1 ) ( 1 + 以b ) 鼽一算+ 0 - k 。 1 + ( 七。一1 ) - 1 1 z 。一x + j | 所以l i r a s u p y 。一x + 忙d 。 可由引理1 2 , m l i r a 。一峙- - x * 一口”y 。一z + ) 1 1 = o ，因此l i m 忙一丁”y 。0 = o 。 ( i ) 如果o 口成d 1 ， 由引理2 2 则l i m 。+ 。陟。- - x * i 存在。 设l i m 。l l y 。一x l l = d ，注意到 慨o i i = 忪一p o x + 成r n 2 n - - x * 8 = 忖一尼) ( 一z + ) + s p o ( r 8 毛一x ) j f 我们得到 | i t “矗。陋屯晒o l s 七。i i ( 1 一y 。) x 。+ y 。r “x 。一工+ ( 1 一n ) 素。i 矗工卜扎而列- - x * | | 三屯( 1 + ( 一1 ) ) l l x , 一z 。 詹。( 1 + 呶一1 ) ) k 篇 霞藏l i r a s u p 秒矗善腾菇。 由引理1 2 推出l 弧一睁。一茹+ 一够“毛一x ) l l - - o ，因此l i m 。陋。一t n z i i - - 0 。 引理2 4 ：设x 是一个一致凸b a n a c h 警间，b 魁x 的非空凸予集，设t ：b - - 9 b 是 一个渐近耱扩张浃射并置f ( d 审，亭剜灏 【l ，) 并且l i m 。吒= 1 帮 二( 枣。一移* 。竣积。) 麓， 反袅， 以：，怒融l 】中粒序列，且满足条 拳： 0 6 口。c 1 ，0 口蔓肮d 1 。对任懑固定点x o b ， 扭。) 由如下产生 = 。= ( 1 一y 。) x 。+ y t ”x 。 儿= ( 1 一成) 算。+ a t “z 。 x 。+ l 枯o 一搿。) z 。+ 搿。t ”y 。 受l l i r a i i x 一2 | | 一0 。 让明：由引蠼2 3 得剁 l i m 。胁。一r 8 y 。= o a n dl i m 。肛。一r 8 z 。l = o 。 由姥我囊褥剿 o - l l x 。一t n x , , 1 1 - 1 1 x 。一z ”y 。0 + t 。| i x 。一，。8 s l x 。一r ”y 。0 十丸成f k 。r 4 z 。 i - ，o ( a s 栉* m ) ( 1 1 ) 壶予 枣。j 鸯赛，懋f 是一致l - l i p s c h i t z i a n + 鑫弓；灌2 1 移( 1 ) ，我镅褥爨 | l ，一t x 。+ ，t t - 8 故+ ，一f ”“。e 。i + 五( f + 2 f + 2 三+ 2 ) i 一? ”x 。| | 。( n m ) 推导m 9 吲 联 雌 潮j t 大学鹾掌醺士学位论文 i l l l li , i , 一illsi l i r a 。l l x 。一段。1 t = o 。 2 2 渐近非扩张映射的弱强收敛性分析 定瑷2 1 ：设x 是致凸的b a n a c h 空间且满足o p i a l 条件，b 是并的非空凸子集， 设t ：b b 是一个激遂娑扩张唳羹垂f ) o ，拳歹l 溉 至【l ，) 潢是l 凌k o = 1 帮 二( 克。- 1 ) * ，设 “。) ：， p 。) 二， 以) 蚤是【o ，1 】中的序列，且满足祭件： 0 b 掰。c 1 ，o a 屈曼d 1 。对任意固定点x 0 b ，幽如下迭代产生的 x 。) ， z 。= ( 1 - 7 0 ) x 。+ 7 t 8 并。 口n y 。= ( 1 一展) z 。十成t ”= 。 n x 。+ l = ( 1 一g 。) + k r ”y 。 拜n 弱收敛于z 的不幼点。 证蹋：可宙弓 理2 2 推导出 ) 有界。因此， 工。) 商一弱收敛子剜 蔗。) 。假设p 。，) 弱蝮敛予p ，癌予溉 嚣著_ 旦b 是弱演戆，剩p 芒b 。鑫雩| 理2 4 鸯 l i r a 一。峥奄一炉0 a 又因为( z - d 是程零点半闭魄( 见弓l 理1 1 3 ) 我们有 ( ，一t ) p = p 一矽= 0 ，因此pe ，( r ) 。假设 “) 不弱收敛于p ，则存在) 的其 它子列) ：。弱收敛予某一点g p 。类似于收敛于p 的情况，我们一定有g 曰且 譬f ( ? ) 可囊雩| 理2 3 巷罨蠢l i r a 。一阪一p l 并且l i r a 。| k 硼存在e 设 d ，= l i r a _ , 。t t x 。p l ，d 2 = t i m 。一l 屯- q l l ，由予盖满足o p i a l 条 牛，弼褥 d 。= l i m i n f h v i i 埘h g 护d ： l i m i n f l l 一g l l l i m i n f l k v i i = d ， 推出矛盾。因此，p = q 且 x 。) 弱收敛于p ，定理2 1 证毕。 定理2 2 ：设置是一致凸静b a n a c h 空淹，b 楚盖斡空凸子集，设t ：b 峥b 是 个渐进非扩张映射f ( 丁) 喾中，序列忙。) s 1 ，o o ) 满2 ：l i r a 。+ 。k 。= 1 和二。( 吒一1 ) 0 0 ， 假设对某一自然数m ， z ”是紧的，设扭。) ：。， 风) ：。， n ) 知是 o ，1 中的序列，且 满足条俘：0 b 墨掰。兰c 1 ，0 4 s 最d 1 。对任意固定点而e b ，由如下遮代产 生的 x 。) ，抄。) 和 = 。) z 。= ( 1 y 。) x 。+ y 。t ”x 。 冗n y 。= ( 1 一p o ) x 。+ p t ”。 n n x 肘1 = ( 1 一a 。) 工。+ 口。t ”y 。 n n 强收敛于r 的某一不动点。 证明：由引理2 4 ，我们有l i n l 。一慨一a 。l i = 0 。注意到 i i t ”工。一x , l l l l , ”一a 。1 1 + 1 1 觋。一工。| l 】p ”x 。一r 2 工。i i + i t 2 工。- - x n8 。一1 + 】戤。一x n i i e l i , “x 。一丁7 z 。1 1 + 1 1 a 。一x 。1 1 ( 1 + ) l l r x 。一t x 。0 岭0 当九_ 。 户i 因此l i m 。+ 。伊“x n 一| | = o 。因为 工。) 有界和丁”对某个州是紧的，则口”x ，) 高 有一收敛子列口”，) ；。假设1 i m p 。r ”l ，= p 那么 o _ 1 1 一p l l - l l 一丁、，p ”一p 1 1 , o j - + o o 因此l i m i _ + 。x n j = p ，由于l i m 。1 b 。一a 。i l = 0 ，有t p = p 。所以，p f ( r ) 。由引理 2 3 ，推出l i m 。i i 矗一p l l 存在，又由于l i m ，+ 。忙，一p | i = 0 ，我们得出结论 l i m 。+ 。i i x 。- p l f = 0 。则 l l y 。一p l l - l l y 。一x 1 l + l l x 一p i l 展i p ”乙- - x n i i + t t 工。一p l l - - , o 当n 斗。o i l z 。一p l l - l l z 。一x 1 l + l l z 。一p i t - 以l l r ”工。一x 1 l + l l x 。- p l l - + 0 所以1 i m 。眵。一p 0 = o 且1 i m 。- + 。肛。一p 0 = 0 。定理2 2 证毕。 当n 哼0 0 若令以= 0 ，则我们得到【1 3 、 1 4 给出的i s h i k a w a 迭代过程的相应结果。 推论2 1 ：设z 是一致凸的b a n a c h 空间，b 是工的非空凸子集，设t ：b 斗b 是一 个渐进非扩张映射f ( r ) o ，序列碱) 1 ，。) 满足l i m 。k 。= l 和二。( k 一1 ) 。， 假设对某一自然数r n ， z “是紧的，设杠。) ：。， 成) 三， 以) 二是 o ，1 中的序列，且 河北大学理学硕士学位论文 满足条件：0 b d 。c 1 。对任意固定点而b ，由如下迭代产生的 工。) ， y 。) y ，= ( 1 一p ，x ，+ p ，t x 。 n n 工舯1 = ( 1 一口。) + 口。t ”，。 n 强收敛于丁的某一不动点。 ， 若令卢。= 0 ，y 。= 0 ，则我们得到【3 】中m a n n 迭代过程的相应结果。 推论2 2 ：设x 是一致凸的b a n a c h 空间，b 是并的非空凸子集，设t ：b _ 曰是一 个渐进非扩张映射f ( 丁) 中，序列伽。) 【1 ，m ) 满足l i m 。尼。= 1 和二 。一1 ) c 。， 假设对某一自然数m ， z “是紧的，设扛。) 二，( 成 二， 以) 二是 o ，1 中的序列，且 满足条件：0 b 瑾。c i 。对任意固定点b ，由如下迭代产生的缸。) x 。“= ( 1 一口。) x 。+ 口。f “x h n n 强收敛于f 的某一不动点。 注2 2 ：在定理2 1 ，如果设n = 0 ( 对所有的n n ) ，我们也可以得到在 1 3 】 和i 1 4 1 中i s h i k a w a 迭代过程的相应结果。同样，若设，。= 0 ，成= 0 ( 对所有的 月) ，我们得到在 3 中m a n n 迭代过程的相应结果。 定理2 3 ：设z 是一致凸的b a n a c h 空间，b 是x 的非空凸子集，设t ：b b 是一 个全连续渐进非扩张映射，( 即中，具有序列( k 。) 1 ，) ，满足l i m 。+ 。k 。= 1 和 二。( 砖一1 ) 0 0 。设以。) ：。， l l ， 以) ：。是 o ，1 中的序列，且满足条件： 0 b 口。c 1 ，0 口屈d 1 。对任意固定点b ，由如下迭代产生的 z 。) ， 抄。 和( 毛 z 。= ( 1 一，。) x 。+ y 。，4 ” y 。= ( 1 一卢。) z 。+ 。t “z 。 n x 。+ 1 = ( 1 一a 。) x 。+ 口。t ”y 。 弗n 强收敛于丁的某一不动点。 证明：由引理2 4 ，我们有1 i m 。i i x 。一t x 。忙0 。再由引理2 2 x 。) ，d 。) 和仁。) 均有 界。注意到7 的全连续性，可知存程子列( x 。) 使得 戤。) 收敛，于是由引理2 4 也有 l i r a t + 。忙。一砜睁0 ，即缸。 收敛。设。l i 。r a 。x 。= p ，再出7 的涟续往肖p = 劢， p f ( 霉。疆蠢弓 爨2 2 ，极羧l 弧。一| k p i i 存a ，戳l i r a 。阪- p l | = 0 。又 | l y 。一黾l = 见妒6 毛一x 。l l - , o ，峨一i = 咒妒“黾- x t l - , o 于是l 妇y 。；p ，l i m z 。= p 。证完。 ”呻hr 定理2 4 ：设x 楚一致醢的b a n a c h 空闯，b 怒盖的非空凸子集，设r ：b 奇b 是 一个全连续濒进錾扩张驶射f ( d 毋o ，具有序列畿 主器，。) ，满是l i r a 。一寿。一1 昶 二，( 南。一1 ) o 。设 口。) 二， l l 是f o ，1 中的序列，且满足条件：0 b 鹾口。c 1 ， l i r a s u p f t ，满足l i m 。吒= l 郴 二，( 露。- 1 ) 。设k 。 是 o ，l 】中的序列，且满足条件：0 6 口。 b 是一个渐进非扩张映射f ( 7 ) ，序列弘。) 1 ，0 0 ) 满足l i m k 。= 1 和 二，( 后。- 1 ) m ，设缸。 2 - ， 展) 二， 以) ：。是 o ，1 中的序列，且满足条件： 0 b 口。c 1 ，0 a 尼d 1 。对任意固定点b ，由如下迭代产生的( x 。 ， ：。= ( 1 一y 。) x 。+ ，。t 4 工。 n n y 。= ( 1 一尾) x 。+ 属丁“z 。 n n x 州= ( 1 一口。) 工。+ 口。t 4 y 。 n n 弱收敛于丁的不动点。 定理2 2 ：设z 是一致凸的b a n a c h 空间，b 是x 的非空凸子集，设t ：b 斗b 是一 个渐进非扩张映射f ( 丁) 巾，序列豫) 1 ，m ) 满足1 i i n 。k = 1 和二。( _ j 。一1 ) 。， 假设对某一自然数m ， z ”是紧的，设缸。) ， 屈 二， 以) 二是【o ，1 q 6 的序列，且 满足条件：0 b 口。c 1 ，0 a 成d 1 。对任意固定点z 。b ，由如下迭代产 生的 x n ) ，抄。) 和 乙) 二。= ( 1 一，。) x 。+ y 。t “x 。 n n y 。= ( 1 一卢：) x 。+ 卢：t ”z 。 n x 。+ l = ( 1 一口。) x 。+ 口。t ”y 。 以n 强收敛于r 的某一不动点。 定理2 3 ：设丑是一致凸的b a n a c h 空间，曰是x 的非空凸子集，设t ：b 斗b 是一 个全连续渐进非扩张映射f ( r ) 西，具有序列溉) 1 ，。) ，满足l i r a 。+ 。k 。= 1 和 二，( 尼。一1 ) 。设 a 。) ：， 成) ：。，帆) 二是 o ，1 中的序列，且满足条件： 0 b 口。c 1 ，0 a 屁d 1 。对任意固定点b ，由如下迭代产生的 x 。) ， 1 5 河北大学理学硕士学位论文 y 。 和 z 。 z 。= ( 1 一y 。) b + ，。r ”x 。 ，z n y 。= ( 1 一卢：) x 。+ t i n t ”z 。 n x 。“= ( 1 一口。) x 。+ 口。丁”y 。 玎n 强收敛于丁的某一不动点： 定理2 4 ：设x 是一致凸的b a n a c h 空间，b 是x 的非空凸子集，设r ：b 斗嚣是一 个全连续渐进非扩张映射f ( r ) 中，具有序列眠 1 ，o o ) ，满足l i m k 。= 1 和 二。( 吒一1 ) o 。设缸。 ：。， 卢。 ：。是【o ，1 中的序列，且满足条件：0 6 口。c 1 ， l i m s u p f l 。 1 。对任意固定点b ，由i s h i k a w a 迭代产生的 z 。) ， y 。 y 。= ( 1 一以) x 。+ 风r ”k n n x 。+ l = ( 1 一a 。) x 。+ 口。t ”y 。 ，z n 强收敛于丁的某一不动点。 这些结果完善和发展了非线性方程解的迭代法，为实际工作者提供了有力的数学工 具。 4 参考文献 4 参考文献 1 s cb o s e ，w e a kc o n v e r g e n c et ot h ef i x e dp o i n to fa na s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n x i v em a p ，p r o c a m e r m a t h s o c ( 1 9 7 8 ) 6 8 ，3 0 5 3 0 8 2 】c e c h i d u m ea n dc h i k am o o r , f i x e dp o i n ti t e r a t i o nf o rp s e u d o c o n 订a c t v em a p s ，p r o c a m e r m a t h s o c ( 1 9 9 9 ) 1 2 7 ，1 1 6 3 1 1 7 0 f 3 】r g l o w i n s k ia n dpl et a l l e c ，a u g e m e n t e dl a g r a n g i a na n do p e r a t o r - s p l i t t i n gm e t h o d si n n o n l i n e a rm e c h a n i c s ，s i a m ，p h i l a d e l p h i a , 1 9 8 9 【钳s h a u b r u g e ，vhn g u y e n ，a n dj js t r o d i o t ，c o n v e r g e n c ea n a l y s i sa n da p p l i c m i o n so ft h e g l o w i n s k i l et a l l e cs p l i t t i n gm e t h o df o rf i n d i n gaz e r oo f t h es u mo f t w om a x i m a lm o n o t o n es p e r a t o r s ，j o p t i m t h e o r y a p p l ( 1 9 9 8 ) 9 7 ，6 4 5 - 6 7 3 5 b l x u & m a n o o lf i x e d - p o i n ti t e r