（基础数学专业论文）pontrjagin空间上的算子代数.pdf

摘要 本文考虑p o n t r j 8 9 i n 空间上的算子代数，讨论了退化算子代数的分类问题；算子代数理 想的对称性问题：算子代数的导子问题以及算予代数的交换性问题全文分四章 第一章中简要介绍p o n t r j a 舀n 空间上算子代数问题的背景与研究现状，及以后各章涉及 到的主要概念和结果， 第二章利用对称理想给出k 空间上退化算子代数分类的概念说明空间上退化算子 代数分为六类并通过算子代数的分解以及对称理想的结构给出各类退化算子代数的一般 形式此外还给出了矗! 间上退化算子代数是弱闭和一致闭的等价条件及算子代数交换性 的等价条件，证明b 空间上第0 、i i 。和i 。类退化算子代数中二次交换定理成立最后给出 一个第1 类算子代数的例子 第三章证明了k 空间上非退化j v n 一代数和非退化的j g 4 一代数的理想都是对称的对 退化的j 驴代数给出了一类对称和非对称理想说明了1 空间上第0 、i 、i i 类j c 一代数 中没有非对称理想而第类代数中存在非对称理想最后给出关于理想对称性的两个例 子 第四章利用算子代数内导子是一个酉等价不变的概念，给出n k 空间上非退化j v n 一代 数的导子是内的等价条件对。空间上退化算子代数说明了第0 、i i 。和i 。类j v n 一代数的 导子必是内的通过例子说明第1 、6 和b 类j v n - 代数的导子一般不是内的 关键词：p o n t r j a g i n 空1 h q ；算子代数；退化；非退化；对称理想；分类定理；内导子；二次 交换定理 中图分类号：0 1 7 7 5 m r ( 2 0 0 0 ) = f 题分类：4 6 c 2 0 ；4 7 8 5 0 ；4 7 d 2 5 索经作者、导妤同霉 j 野垒文公布 一 a b s t r a c t w ec o n s i d e rt h eo p e r a t o ra l g e b r a so nt h ep o n t r j a g i ns p a c e s ，a n d s t u d yt h ec l a s s i f i c a t i o n p r o b l e mo fd e g e n e r a t eo p e r a t o ra l g e b r a s ，t h ed e r i v a t i o n sp r o b l e mo fo p e r a t o ra l g e b r a s ，a n d t h es y m m e t r i cp r o b l e mo fi d e a l si no p e r a t o ra l g e b r a s t h ep a p e rc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es i m p l yt h eb a c k g r o u n da n ds t u d ya c t u a l i t yo fp r o b l e m so f o p e r a t o ra l g e b r a so n t h ep o n t r j a g i ns p a c e s ，a n du s e f u lm a i n c o n c e p t sa n dr e s u l t sf o rf o l l o w i n g c h a p t e r s i nc h a p t e r2 ，w eg i v et h ec l a s s i f i c a t i o nc o n c e p to fd e g e n e r a t eo p e r a t o ra l g e b r a so nt h er i k s p a c e sb ys y m m e t r i ci d e a l s ，a n ds h o w t h a tt h u so p e r a t o ra l g e b r ac o n s i s t so fs i xc l a s s e sa n d g i v eg e n e r a lf o r m so fe v e r yc l a s so fd e g e n e r a t eo p e r a t o ra l g e b r a sb yt h er e p r e s e n t a t i o n so f t h i sa l g e b r aa n dc o n s t r u c t i o n so fs y m m e t r i ci d e a l s f u r t h e r ，g i v et h ee q u i v a l e n c ec o n d i t i o n s f o rw e a k l yc l o s e da n d u n i f o r m l yc l o s e do fd e g e n e r a t eo p e r a t o ra l g e b r a so u t h en ks p a c e s a n d e q u i v a l e n c ec o n d i t i o n sf o rc o m m u t a t i v i t y o f e v e r y c l a s so f o p e r a t o ra l g e b r a s ，a n db i c o m m u t i t y t h e o r e mo fd e g e n e r a t eo p e r a t o ra l g e b r a so fc l a s s0 ，i i 口a n dh i do nt h e ks p a c e s i nc h a p t e r3 w ep r o v et h a tt h ei d e a l si nt h en o d e g e n e r a t ej v n a l g e b r a sa n dj c - a l g e b r a so i lt h e ks p a c e sa r es y m m e t r i c f o rt h ed e g e n e r a t ej 9 一a l g e b r a s ，g i v es o m ei d e a l s o fs y m m e t r i ca n dn o s y m m e t r i c a n de x p l a i nt h a ti nt h ej c + a l g e b r a so fc l a s s0 、ia n di i h a v en o tn o s y m m m e t r i ci d e a l ，h o w e v e r ，i nt h ea l g e b r a so fc l a s si i ih a v es o m e n o s y m m m e t r i c i d e a l f i n a l l y ，g i v et w oa x a m p l e so n t h ei d e a ls y m m e t r y i nc h a p t e r4 ，w ep r o v et h a tt h ei n n e rd e r i v a t i o no fo p e r a t o ra l g e b r a si sai n v a r i a n t c o n c e p to nt h eu n i t a r ye q u i v a l e n c et r a n s f o r m a t i o n s ，a n dg i v et h ee q u i v a l e n c ec o n d i t i o nf o r i n n e rd e r i v a t i o n so f n o d e g e n e r a t e j v n a l g e b r a so nt h e s p a c e s f o rt h ed e g e n e r a t ej ，v n a l g e b r a so fc l a s s0 ，i ib 。a n dh i do nt h ei i ls p a c e s ，t h ed e r i v a t i o n so nt h e ma r ei n n e r a n d e x p l a i nt h a tt h ed e r i v a t i o n so nt h ej v n a l g e b r a so fc l a s si ，i i6a n dh l ba r en o t ，g e n e r a l l y ，i n n e rb ye x a m p l e s k e yw o r d s ：p o n t r j a g i ns p a c e s ，o p e r a t o ra l g e b r a s ，d e g e n e r a t e ，n o d e g e n e r a t e ，s y m m e t r i c i d e a l ，c l a s s i f i c a t i o nt h e o r e m ，i n n e rd e r i v a t i o n ，t h e o r e mo fb i c o m m u t a n t 2 a m s s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ( 2 0 0 0 ) ：4 6 c 2 0 ，4 7 d 2 5 ，4 7 8 5 0 引言 第一章问题的背景与研究现状 本章简要介绍p o n t r j a g i n 空间上算子代数问题的背景与研究现状，同时介绍以后各章 节涉及到的主要概念和结果 1n 空间及其上的算子代数 p o n t r j a g i n 空间简称为n 空间它是负指标为k 的不定度规空间不定度规空间是一种 具有明确物理背景的空间该种空间最初是出现在p a m d i r a c 的有关量子场论方面的文 章 d i r l l 中后来，在上个世纪四十年代，前苏联数学家p o n t r j a g i n 也是从力学问题研究的 需要中开始，首先从数学上讨论了不定度规空间及其上的算子理论 p o n l 再如，爱因斯 坦的相对论中“时一空”空间其实就是负指标为1 的四维不定度规空间，即四维的- 空间 有关不定度规空间上的几何理论及算子理论虽然远不象h i b e r t 空间中相应理论那样丰富完 善，但也取得很多比较成熟的理论这些内容可在文献 b o g l ，x i a l ，i o h 2 】中找到 不定度规空间是复数域上的线性空间，且带有一个非退化的度规( ，) ，即双 线性h e r m i t e 泛函，若z ，且( z ，z ) = 0 ，则称z 为零性向量零性向量构成的子空 间称为零性子空间类似地有正( 半正) 、负( 半负) 子空间如果不定度规空间 的正则分解= 肌on 中负性子空间的维数为k o 。，则称之为p o n t r j a g i n 空间， 或n 空间n k 空间上的度规( ，) 也称为不定内积，而由正则分解诱导出的正定内积 为f ，1 = ( 、) + 一( ，) 一，相应的度规算子为j ，k 空间上的算子关于不定内积的共轭算 子记为小，而关于正定内积的共轭算子记为a 带，并且有a + = j a # j 引言 第一章问题的背景与研究现状 本章简要介绍p o n t r j a g i n 空间上算子代数问题的背景与研究现状，同时介绍以后各章 节涉及到的主要概念和结果 1n 空间及其上的算子代数 p o n t r j a g i n 空间简称为n 空间它是负指标为k 的不定度规空间不定度规空间是一种 具有明确物理背景的空间该种空间最初是出现在p a m d i r a c 的有关量子场论方面的文 章 d i r l l 中后来，在上个世纪四十年代，前苏联数学家p o n t r j a g i n 也是从力学问题研究的 需要中开始，首先从数学上讨论了不定度规空间及其上的算子理论 p o n l 再如，爱因斯 坦的相对论中“时一空”空间其实就是负指标为1 的四维不定度规空间，即四维的- 空间 有关不定度规空间上的几何理论及算子理论虽然远不象h i b e r t 空间中相应理论那样丰富完 善，但也取得很多比较成熟的理论这些内容可在文献 b o g l ，x i a l ，i o h 2 】中找到 不定度规空间是复数域上的线性空间，且带有一个非退化的度规( ，) ，即双 线性h e r m i t e 泛函，若z ，且( z ，z ) = 0 ，则称z 为零性向量零性向量构成的子空 间称为零性子空间类似地有正( 半正) 、负( 半负) 子空间如果不定度规空间 的正则分解= 肌on 中负性子空间的维数为k 0 ，扎n c 3 ) 代数日( 日) ( 一) ，其中腥有限维空问，r ，m n ，称之为奇异的 由于空间与h i l b e r t 空间的区别之一是它有零性子空间，因此k 空间上的退化算子代 数更具有一般性然而关于退化的算子代数的研究却很少文献 s h u l 仅给出了n 。空间上的 对称退化算子代数的分类概念，并给出每类代数的一般形式下面介绍这个分类的定义及主 要定理 令a 是1 7 1 空间上的退化算子代数，z 是一4 的零性不变子空间，则z 的维数是1 对a a ， 设a ( a ) 是代数a 的特征泛函，是其核令h = z 1ez ，则投影p ：z 1 一日可确h 中的内 积 【p ( x ) ，p ( ) 】= ( z ，可) ，。，y z 1 1 1 第一章问题的背景与研究现状 对任意a a ，定义有界线性算子a 为 a ( p ( z ) ) = p ( a x ) 映射a + 五的核记为曲a 该映射的象记为五 定义1 2 1 s h u l 】1 空问上退化的算子代数分为以下六类? ( 1 ) a 是第0 类的，： f f c h a = 吣： ( 2 ) a 是第1 类的? 若 吣c h f l t c 吣； 倒a 是第上f 。类的， f f c h a o = , a o n 出a = 蝣nc h a ； “j a 是第6 类的，若 o ) 4 0 n c h a = 残nc h a c h a ； 俐4 是e # i i i 。类的，若山nc h s 坞nc h a ，c h a n 4 0 f q 残= 0 ) 俐4 是第6 类的，若- 凡nc h a 残nc h a ，c h a n 4 0 f q 戍 0 1 定理1 2 2i s “1 】n 1 空间上娼化的算子代数分为六类，各类代数的形式如下 c 1 ) o 类： j h + ml ： a c m 甜 其o b i n f f z h _ i = t f j 单位算于且垴譬“，弘是耻的算子代数 c 2 ) 1 1 8 、nb 、m q 和mb 类分剐是： c m 甜 fa m 圆f ”。1 ：，, , t ec , me l i , y , zer 1 2 、_lli_l，i_ij 、_l-i、ill， lilj 一 m 一 ，fl 、_itl、_ij 第一章问题的背景与研究现状 i 弘j ”署。妻。1 ：a , p , t ec me l i , y 僦姻 一1 j a ，t c m “，y ，zer ，u d ) 其中l h 圣u ，q 是甜到h 的线性映射r 是h 中直交于q 似) 且辩“不变韵子空间，d 是k e r 似) 中 直交于只的线性流形，睫d 上共轭线性算子且y 2 = b 由于上述分类定义方法直接依赖于1 空间的特性，且定义本身过于复杂，不适合于n 女空 间上算于代数的情况，从而不易深入研究因此k 空间上退化算子代数分类问题的研究，至 今已有三十多年，但一直进展缓漫 1 3 、l，j “mc p 厂。i ，lllj i i l l ，。l ，1_l_j i，lll j +z+ ) m “o矸 第一章问题的背景与研究现状 3n 菇空间上算子代数研究的问题 3 1i i k 空间上退化算子代数的分类 对于取空间上的算子代数a ，从是否有零性不变子空间的角度看，分为非退化的和退化 的两类定理1 2 1 给出了非退化的j v n 一代数的结构如果退化的算子代数的结构清楚了， 那么按此途径的研究就比较彻底了 在第二章中，将利用算子代数的理想把k 空间上退化算子代数分为六类这种分类 当k = 1 时与定义1 2 1 是一致的并给出分类定理和每类代数的一般形式还给出了每类代 数是弱闭和一致闭的等价条件，及非退化算子代数的交换性条件至此，空间上退化算子 代数( 包括j v n 一代数和j 口代数) 的分类与结构问题得到彻底解决 在经典的弱闭算子代数，r l j h i l b e r t 空间上的v o nn e u m a n n 代数中，二次交换定理成立 这一重要结论在p o n t r j a g i n 空间上的j v n 一代数中是否总是成立，并不明显文 l i b l i i e 明 了在空间上非退化的j v n 一代数中类似的二次交换定理成立；文 t o n 6 h 正明了n 1 空间上 有限个可交换的自共轭算子组，当相应于它们的广义临界点的根子空间都是非退化时，它 们生成的弱闭算子代数中二次交换定理成立近来在 b e n l l 中又证明了在可分的。空间 上交换对称算子代数中二次交换定理也成立在第6 节中，证明在n 空间上退化的第0 、 i i 。i i i 。类j v n 一代数中二次交换定理成立，从而对第0 、i i 。h i 。类j v n 代数，推广了 文 b e n l l 中的结果 3 2 算子代数理想的对称性 通常的9 代数，e o h i l b e r t 空间上的一致闭算子代数，它的任意理想都是对称 的 p e d l , s a r l 3 t o n l 指出p o n t r j a g i n 空间上的3 c + 一代数的理想一般不是对称的并证 明当j c + 一代数理想中元素相应于零的特征子空间非退化，而且零不是该理想中自伴元的 非完全正则临界点时，该理想必对称由此可见，空间上的j c + 一代数理想的对称性问题 与h i l b e r t 空间上 ，口代数的情况有本质区别， 在第三章中将讨论算子代数理想的对称性问题证明了非退化的j c 4 代数和非退化 1 4 第一章问题的背景与研究现状 3n 菇空间上算子代数研究的问题 3 1i i k 空间上退化算子代数的分类 对于取空间上的算子代数a ，从是否有零性不变子空间的角度看，分为非退化的和退化 的两类定理1 2 1 给出了非退化的j v n 一代数的结构如果退化的算子代数的结构清楚了， 那么按此途径的研究就比较彻底了 在第二章中，将利用算子代数的理想把k 空间上退化算子代数分为六类这种分类 当k = 1 时与定义1 2 1 是一致的并给出分类定理和每类代数的一般形式还给出了每类代 数是弱闭和一致闭的等价条件，及非退化算子代数的交换性条件至此，空间上退化算子 代数( 包括j v n 一代数和j 口代数) 的分类与结构问题得到彻底解决 在经典的弱闭算子代数，r l j h i l b e r t 空间上的v o nn e u m a n n 代数中，二次交换定理成立 这一重要结论在p o n t r j a g i n 空间上的j v n 一代数中是否总是成立，并不明显文 l i b l i i e 明 了在空间上非退化的j v n 一代数中类似的二次交换定理成立；文 t o n 6 h 正明了n 1 空间上 有限个可交换的自共轭算子组，当相应于它们的广义临界点的根子空间都是非退化时，它 们生成的弱闭算子代数中二次交换定理成立近来在 b e n l l 中又证明了在可分的。空间 上交换对称算子代数中二次交换定理也成立在第6 节中，证明在n 空间上退化的第0 、 i i 。i i i 。类j v n 一代数中二次交换定理成立，从而对第0 、i i 。h i 。类j v n 代数，推广了 文 b e n l l 中的结果 3 2 算子代数理想的对称性 通常的9 代数，e o h i l b e r t 空间上的一致闭算子代数，它的任意理想都是对称 的 p e d l , s a r l 3 t o n l 指出p o n t r j a g i n 空间上的3 c + 一代数的理想一般不是对称的并证 明当j c + 一代数理想中元素相应于零的特征子空间非退化，而且零不是该理想中自伴元的 非完全正则临界点时，该理想必对称由此可见，空间上的j c + 一代数理想的对称性问题 与h i l b e r t 空间上 ，口代数的情况有本质区别， 在第三章中将讨论算子代数理想的对称性问题证明了非退化的j c 4 代数和非退化 1 4 第一章问题的背景与研究现状 的j ，v n 一代数的理想必是对称的对退化的j c + 代数给出了两种对称的理想和两种非对称 的理想另外还说明了1 空间上退化的j 口一代数中，第0 、i 和i i 类代数中无非对称理想， 而第i 类代数中存在非对称理想最后通过构造两个例子说明了文【t o n l 】中给出的l ，一代 数理想对称性条件不是必要的条件 3 3导子问题 算子代数a 上的导子d 是4 上的个线性变换，且满足：对任意的x ，y a ，有 6 ( x y ) ；d ( x ) y + x 6 ( y ) ， 一个导子6 称为内的，是指存在a a ，使得6 ( x ) = i a ，圈，这里陋，硼= a x x a 算 子代数的内导子是研究算子代数的重要工具，内导子可以在算子代数中引入l i e 结构，从而 有可能用l i e ( 李代数和李群) 的工具来研究算子代数的性质和结构问题 通常v o nn e u m a n n 代数上的导子必是内的 s a r l l 这里考虑p o n t r j a g i n 空间n k 上j 扩 代数的导予给出非退化j 矿一代数上导子是内的充要条件就。空间上退化的j v 一代数， 证明了第0 、i i 。和i 。类代数上的导子是内的，并通过例子说明第1 、i i6 和i l l 6 类代数上的 导子一般不是内的 1 5 第一章问题的背景与研究现状 的j ，v n 一代数的理想必是对称的对退化的j c + 代数给出了两种对称的理想和两种非对称 的理想另外还说明了1 空间上退化的j 口一代数中，第0 、i 和i i 类代数中无非对称理想， 而第i 类代数中存在非对称理想最后通过构造两个例子说明了文【t o n l 】中给出的l ，一代 数理想对称性条件不是必要的条件 3 3导子问题 算子代数a 上的导子d 是4 上的个线性变换，且满足：对任意的x ，y a ，有 6 ( x y ) ；d ( x ) y + x 6 ( y ) ， 一个导子6 称为内的，是指存在a a ，使得6 ( x ) = i a ，圈，这里陋，硼= a x x a 算 子代数的内导子是研究算子代数的重要工具，内导子可以在算子代数中引入l i e 结构，从而 有可能用l i e ( 李代数和李群) 的工具来研究算子代数的性质和结构问题 通常v o nn e u m a n n 代数上的导子必是内的 s a r l l 这里考虑p o n t r j a g i n 空间n k 上j 扩 代数的导予给出非退化j 矿一代数上导子是内的充要条件就。空间上退化的j v 一代数， 证明了第0 、i i 。和i 。类代数上的导子是内的，并通过例子说明第1 、i i6 和i l l 6 类代数上的 导子一般不是内的 1 5 引言 第二章n 膏空间上退化算子代数的分类 本章首先给$ i i k 空间上退化算子代数的分类概念，说明空间上退化算子代数分为六 类然后通过算子代数的分解以及理想m 。nm 2 与m 。的结构给出k 空间上各类退化算子 代数的一般形式在此基础上，给出砜空间上退化算子代数是弱闭( j v 。n 代数) 和一致 闭( j c 一代数) 的等价条件，以及算子代数的交换性条件最后对一般情况，即零性不变子 空间的维数小于k 的算子代数结构进行了讨论，并就结构最复杂的第1 类算子代数给出一个 例子 1 退化算子代数的分类概念 本节先对退化的算子代数在i i k 空间的标准分解下给出三角表示借此表示引入退化算 子代数的双侧对称理想和非对称理想然后利用这些理想给出退化算子代数的分类定义最 后将此分类定义与l 空间上的退化算子代数的分类定义1 2 1 进行比较，说明这里给出的分 类定义当k = l 时与定义1 2 1 是一致的 1 1 对称理想 设a 是k 空间上退化的对称算子代数，则一4 有零性不变予空间令z 是a 的维数最大 的零性不变子空间、由a 的对称性知z 的直交补z 1 也是a 的不变子空间记为z 的对偶 且日= ( z + z + ) 1 ， 1 7 引言 第二章n 膏空间上退化算子代数的分类 本章首先给$ i i k 空间上退化算子代数的分类概念，说明空间上退化算子代数分为六 类然后通过算子代数的分解以及理想m 。nm 2 与m 。的结构给出k 空间上各类退化算子 代数的一般形式在此基础上，给出砜空间上退化算子代数是弱闭( j v 。n 代数) 和一致 闭( j c 一代数) 的等价条件，以及算子代数的交换性条件最后对一般情况，即零性不变子 空间的维数小于k 的算子代数结构进行了讨论，并就结构最复杂的第1 类算子代数给出一个 例子 1 退化算子代数的分类概念 本节先对退化的算子代数在i i k 空间的标准分解下给出三角表示借此表示引入退化算 子代数的双侧对称理想和非对称理想然后利用这些理想给出退化算子代数的分类定义最 后将此分类定义与l 空间上的退化算子代数的分类定义1 2 1 进行比较，说明这里给出的分 类定义当k = l 时与定义1 2 1 是一致的 1 1 对称理想 设a 是k 空间上退化的对称算子代数，则一4 有零性不变予空间令z 是a 的维数最大 的零性不变子空间、由a 的对称性知z 的直交补z 1 也是a 的不变子空间记为z 的对偶 且日= ( z + z + ) 1 ， 1 7 第二章k 空间上退化算子代数的分类 则得到空间k 的标准分解 相应的度规算子为 f i k = ( z o h ) + z + 其中i 为h 上的单位算子，贯= j 3 ， = i z ， 以 = i z 并且对任意的算子x a 有 下述分解 干 x 1 2 x 1 3j 恐。局。l v i a 3 3 ( 2 12 ) 如果记4 p = x 2 2 i x ) ，p 是k 到上的直交投影，则由z 是4 的维数最大的零性不 变子空间知4 p 是h 上的对称非退化算子代数 令 显然有 m 1 = x l x 4 ， m 2 = x l x 4 ， m = x l x 4 ， m = x l x 4 ， 且x 2 2 = o 且x 1 1 = x a 3 = 0 ) 且x l l = o ) 且x a a = 0 ) 朋2cm ，a 4 2 cm ，mn m = m 2 引理2 1 1 者a 是空间上的对称退化算子代数，贝吐m ，m 0 = 1 ，2 ) 是4 的趔侧理 想并且m t 0 = 1 ，2 ) 是对称的 1 8 1l2 ， f 以 。i = j 第二章 空间上退化算予代数的分类 1 2 退化算子代数的分类概念 定义2 1 1 设4 是k 空问上退化的对称算子代数，且i a r j 用诅是第0 类的，若m 1 = o ) 俐称是第j 类鲍若m o ，且m 1c , m 2 佃用“是第类的，若m l o ) ，且m 1 不包含于m 2 ， 者m 1nm 2 = o ) ，则称是第。类的 若m 1nm 2 o ) ，则称a 黾第6 类的 “用是第工类的，若m l o ，且m 1 不包含于m 。 若m 1 n a , t 2 = 0 ) ，则称a 是第用j 类的 荐m 1n 朋2 o ，财称4 是第r h b 类的 n i = n 2 m 肌 1 3 分类概念的比较 现在来验证当= 1 时，定义2 1 1 与定义1 2 1 是一致的设a 是1 空间上退化的对称算 子代数 ( 1 ) 若a 按定义1 2 1 意义( 以下同) 是第。类的，则由于“不含单位元，因此当a 2 2 = o 时， a = 0 即有朋1 = o ) ( 2 ) 若4 是第1 类的：则由第1 类代数的形式知m 1 o ，且m 1c a , t 2 ( 3 ) 若a 黾第1 i 类的，则由第1 i 类代数的形式知朋- o ) ，且m l 不包含于m 2 ，m = ； 当4 是第1 i 。类时，有m ln a , i 2 = o ) 当a 是第1 i6 类时，有m 1na , 4 2 o ) ( 4 ) 若a 黾第类的，则由第i 类代数的形式知m - 1 0 ，且m l 不包含于m 2 ，m 厂2 当4 是第1 i i 。类时，有m 1n m 2 = o ) 当a 是第1 i i b 类时，有m 1n 朋2 1 0 综上知，对1 空间上退化的对称算子代数来说，定义2 1 1 与定义1 2 1 是一致的 注：1 1 1 ( 1 ) 当4 是1 空间上退化的对称算子代数时，定义2 ，1 1 与定义1 2 1 是一致的 1 9 第二章 空间上退化算予代数的分类 1 2 退化算子代数的分类概念 定义2 1 1 设4 是k 空问上退化的对称算子代数，且i a r j 用诅是第0 类的，若m 1 = o ) 俐称是第j 类鲍若m o ，且m 1c , m 2 佃用“是第类的，若m l o ) ，且m 1 不包含于m 2 ， 者m 1nm 2 = o ) ，则称是第。类的 若m 1nm 2 o ) ，则称a 黾第6 类的 “用是第工类的，若m l o ，且m 1 不包含于m 。 若m 1 n a , t 2 = 0 ) ，则称a 是第用j 类的 荐m 1n 朋2 o ，财称4 是第r h b 类的 n i = n 2 m 肌 1 3 分类概念的比较 现在来验证当= 1 时，定义2 1 1 与定义1 2 1 是一致的设a 是1 空间上退化的对称算 子代数 ( 1 ) 若a 按定义1 2 1 意义( 以下同) 是第。类的，则由于“不含单位元，因此当a 2 2 = o 时， a = 0 即有朋1 = o ) ( 2 ) 若4 是第1 类的：则由第1 类代数的形式知m 1 o ，且m 1c a , t 2 ( 3 ) 若a 黾第1 i 类的，则由第1 i 类代数的形式知朋- o ) ，且m l 不包含于m 2 ，m = ； 当4 是第1 i 。类时，有m ln a , i 2 = o ) 当a 是第1 i6 类时，有m 1na , 4 2 o ) ( 4 ) 若a 黾第类的，则由第i 类代数的形式知m - 1 0 ，且m l 不包含于m 2 ，m 厂2 当4 是第1 i i 。类时，有m 1n m 2 = o ) 当a 是第1 i i b 类时，有m 1n 朋2 1 0 综上知，对1 空间上退化的对称算子代数来说，定义2 1 1 与定义1 2 1 是一致的 注：1 1 1 ( 1 ) 当4 是1 空间上退化的对称算子代数时，定义2 ，1 1 与定义1 2 1 是一致的 1 9 第二章k 空间上退化算予代数的分类 ( 2 ) 定义1 2 1 直接依赖于1 空间的性质，而且过于复杂，不适合于k 空间上算子代数 的情况 2 退化算子代数的分解 首先利用度规算子将k 空间上退化算子代数化为简单情况，即算予代数的最大零性不 变子空间的维数为k 的情况然后证明了一个分解引理该引理将上节中退化算子代数的三 角表示具体化，即给出三角表示中每个元素的般形式该引理在讨论k 空间上退化算子 代数的结构中起重要的工具作用最后给出t 空间上退化算子代数一4 模对称理想m 2 所得到 的商代数。4 m 2 的三种形式 2 1零性不变子空间维数为k 的情况 令a 是k 空间上退化的对称算子代数取z 为一4 的维数最大的零性不变子空间 z + 为z 的对偶，则得i i k 空间的标准分解 k = ( z o h ) + z + 如果d i m z k ，则日也是一个n k 型空间取日的一个正则分解 相应的度规算子为 其中如为匕上的单位算子令 h = h 。+ h l i 。 、 如= i 。i l l j t ，= ，j 、 第二章k 空间上退化算予代数的分类 ( 2 ) 定义1 2 1 直接依赖于1 空间的性质，而且过于复杂，不适合于k 空间上算子代数 的情况 2 退化算子代数的分解 首先利用度规算子将k 空间上退化算子代数化为简单情况，即算予代数的最大零性不 变子空间的维数为k 的情况然后证明了一个分解引理该引理将上节中退化算子代数的三 角表示具体化，即给出三角表示中每个元素的般形式该引理在讨论k 空间上退化算子 代数的结构中起重要的工具作用最后给出t 空间上退化算子代数一4 模对称理想m 2 所得到 的商代数。4 m 2 的三种形式 2 1零性不变子空间维数为k 的情况 令a 是k 空间上退化的对称算子代数取z 为一4 的维数最大的零性不变子空间 z + 为z 的对偶，则得i i k 空间的标准分解 k = ( z o h ) + z + 如果d i m z k ，则日也是一个n k 型空间取日的一个正则分解 相应的度规算子为 其中如为匕上的单位算子令 h = h 。+ h l i 。 、 如= i 。i l l j t ，= ，j 、 第二章k 空间上退化算予代数的分类 ( 2 ) 定义1 2 1 直接依赖于1 空间的性质，而且过于复杂，不适合于k 空间上算子代数 的情况 2 退化算子代数的分解 首先利用度规算子将k 空间上退化算子代数化为简单情况，即算予代数的最大零性不 变子空间的维数为k 的情况然后证明了一个分解引理该引理将上节中退化算子代数的三 角表示具体化，即给出三角表示中每个元素的般形式该引理在讨论k 空间上退化算子 代数的结构中起重要的工具作用最后给出t 空间上退化算子代数一4 模对称理想m 2 所得到 的商代数。4 m 2 的三种形式 2 1零性不变子空间维数为k 的情况 令a 是k 空间上退化的对称算子代数取z 为一4 的维数最大的零性不变子空间 z + 为z 的对偶，则得i i k 空间的标准分解 k = ( z o h ) + z + 如果d i m z k ，则日也是一个n k 型空间取日的一个正则分解 相应的度规算子为 其中如为匕上的单位算子令 h = h 。+ h l i 。 、 如= i 。i l l j t ，= ，j 、 第二章k 空间上退化算子代数的分类 这里，与r 分别是z 与z + 上的单位算子用i h i 表示h 相应于度规算子矗的h i l b e r t 空间， 则j 4 l ，是k 型空间= ( zol h i ) 4 - z 上退化的对称算子代数，并且j 4 ，的维数最大的零 性不变子空间z 的维数为，于是在讨论空间上退化算子代数一4 时，可不妨设4 的维数最大 的零性不变子空间的维数为k 2 2 分解引理 现在设n k 空间有如下分解 i i k = ( z o h ) + z + ( 2 2 1 ) 其中战m z ：k ，h 是一个h i l b e r t 空间，z + 是引约对偶令 e 1 ，e 2 ，e k ) 是z 的标准正交 基， e i ，吃e ；) 是的标准正交基，且与 e ，岛，e 砖成偶对并且可以要求度规算 子( 2 1 1 ) 中的五，五满足下列条件： e ：= 龟， q = e ：，i = 1 ，2 ，k 于是算子( 2 1 2 ) 中x 1 1 x 3 3 及x 1 3 都是k 矩阵，并且有下面的结论 弓、理2 2 1r a i n k 空闻2 2 j1 ) 上的对称退化算子代数若 属于a 刚有下列结论 ( 1 ) a n = a a ( 玎) ，a j = ( a e l ，e ；) ，i ，j 2 1 ，2 ，k ( 2 ) a = r ( p ”) ，i i = ( a e ；，勺) ， i ，j = 1 ，2 ，一， ( 3 ) a 1 3 = 了_ ( 。o ) 五，t 玎：( a e ：，e ；) ，i ，j = 1 ，2 ，t ，七 ( 4 ) a 1 2 =c r i ( a ) = p a + e ：= a i 2 e ：，i = 1 ，2 ，k 2 l 0j n 砧 船 a a a 锄 a 。i = a e圆 l ) a ，l 。f ：五 第二章k 空间上退化算子代数的分类 这里，与r 分别是z 与z + 上的单位算子用i h i 表示h 相应于度规算子矗的h i l b e r t 空间， 则j 4 l ，是k 型空间= ( zol h i ) 4 - z 上退化的对称算子代数，并且j 4 ，的维数最大的零 性不变子空间z 的维数为，于是在讨论空间上退化算子代数一4 时，可不妨设4 的维数最大 的零性不变子空间的维数为k 2 2 分解引理 现在设n k 空间有如下分解 i i k = ( z o h ) + z + ( 2 2 1 ) 其中战m z ：k ，h 是一个h i l b e r t 空间，z + 是引约对偶令 e 1 ，e 2 ，e k ) 是z 的标准正交 基， e i ，吃e ；) 是的标准正交基，且与 e ，岛，e 砖成偶对并且可以要求度规算 子( 2 1 1 ) 中的五，五满足下列条件： e ：= 龟， q = e ：，i = 1 ，2 ，k 于是算子( 2 1 2 ) 中x 1 1 x 3 3 及x 1 3 都是k 矩阵，并且有下面的结论 弓、理2 2 1r a i n k 空闻2 2 j1 ) 上的对称退化算子代数若 属于a 刚有下列结论 ( 1 ) a n = a a ( 玎) ，a j = ( a e l ，e ；) ，i ，j 2 1 ，2 ，k ( 2 ) a = r ( p ”) ，i i = ( a e ；，勺) ， i ，j = 1 ，2 ，一， ( 3 ) a 1 3 = 了_ ( 。o ) 五，t 玎：( a e ：，e ；) ，i ，j = 1 ，2 ，t ，七 ( 4 ) a 1 2 =c r i ( a ) = p a + e ：= a i 2 e ：，i = 1 ，2 ，k 2 l 0j n 砧 船 a a a 锄 a 。i = a e圆 l ) a ，l 。f ：五 第二章k 空问上退化算子代数的分类 第二章n 店! 问上退化算子代数的分类 jj 1 f a ( 耳j ；) 贯 = i i jr a ( p j ) 一 l l 坠。觑( a ) 以e ： a 耋 坠1 f l i ；( a ) e i a 碧 n ( 幻) j 坠。e ； 啦( a ) i “( 玎) j ( 8 ) 只需证m ，( i = 1 ，2 ) 与零性不变子空间z 的选取无关设昆黾n k 空间上退化算子代 数4 的与z 不同的k 维零性不变子空间，并设z 有标准正交基 e 1 ，e 2 ，e k ，z 的对偶z + 有 标准正交基 e e ；，e ：) ，而r 有标准正交基 e j ，e ：，e ) 若z r ，x o 且z = 坠lq i ，则艇；z j 。，于是有 其中。o z 1 e z ，m 不全为零 对a 4 ，a x r ，j i l l j a x =