（基础数学专业论文）wilson框架和gabor框架的若干问题研究.pdf

河南大学硕士学位论文 中文摘要 框架通常是指由h i l b e r t 空间中的满足某种特性的一列向量所组成的集合框 架足标准正交基的推广，它在小波分析的发展中起到了极为重要的作用它广泛应 用于信号处理、图像处理、数据压缩、采样理论等许多学科；并随着小波分析的发 展，框架理论又得到了不断的完善 框架的研究一般集中于g a b o r 框架和小波框架( 仿射框架) 但对w i l s o n 框架的 研究则较少本论文主要对w i l s o n 框架进行研究，也讨论了g a b o r 框架的一些问 题全文由三章组成 第一章简要介绍f o u r i e r 分析、小波分析、框架的产生背景 第二章给出了w i l s o n 框架恒等式；并分别在时域和频域上得到了w i l s o n 框架 的几个充分条件；最后得到了w i l s o n 框架的必要条件和当w i l s o n 序列构成紧框架 时的一个充要条件 第三章建立了l 2 ( r ) 上g a b o r 框架的新判别准则，并说明新的判别准则比原来 的准则更具优越性 关键词：小波分析；w i l s o n 框架；w i l s o n 框架恒等式；g a b o r 框架 一旦壹盔堂堡主堂垡笙塞 - _ _ _ _ - - - - _ _ _ - _ _ - _ - _ - - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ 一一 a b s t r a c t f r a m eu s u a l l yr e f e r st os a t i s t yc e r t a i nc h a r a c t e r i s t i c so fas e to fv e c t o r si nh i l b e r t s p a c e n 卸1 ei 8t h ee x t e n t i o n o ft h eo r t h o n o r m a lb a s i s ，a n dp l a y sa ni m p o r t a n tp a r ti nt h e d e v e l o p m e n to fw a v e l e ta n a l y s i s i ti sw i d e l yu s e di ns i g n a lp r o c e s s i n g ，i m a g ep r o c e s s i n g ， d a t ac o m p r e s s i o n ，s a m p l i n gt h e o r ya n dm a n yo t h e rd i s c i p l i n e s a l o n gw i t hw a v e l e ta n a l y s i s ， f l a m et h e o r yi sp r o g r e s s i n gr a p i d l y m u c hr e s e 盯c hf o c u s e so nt h eg a b o rf l a m e sa n dw a v e l e tf r a m e s ( a f f i n ef l a m e s ) h o w e v e r ，t h es t u d yo fw i l s o ni sv e r yl i t t l e t h i st h e s i si sm a i n l yt os t u d yw i l s o nf l a m e ， a n dd i s c u s s es o m eo ft h ep r o b l e m sf o rg a b o rf l a m e t h et h e s i s i sd i v i d e di n t ot h r e e c h a p t e r s c h a p t e r1b r i e f l yi n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n do ff o u r i e ra n a l y s i s ，w a v e l e ta n a l y s i sa n d t h ef r a m e c h a p t e r2f i r s t l y , o b t a i n st h ew i l s o nf l a m ei d e n t i t y s e c o n d l y , s e v e r a ls u f f i c i e n t c o n d i t i o r l si nt i m e d o m a i na n df r e q u e n c y d o m a i na r eg i v e n f i n a l l y , t h en e c e s s a r y c o n d i t i o n sf o rw i l s o nf r a m ea n dan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rw i l s o nw h e n w i l s o nt i g h tf l a m ea r ee s t a b l i s h e d c h a p t e r3p r e s e n t san e w c r i t e r i o nf o rg a b o rf l a m ei nl 2 ( r ) ，a n di l l u s t r a t e st h en e w c r i t e r i o ni sm o r ea d v a n t a g et h a nt h eo r i g i n a lo n e k e y w o r d s ：w a v e l e ta n a l y s i s ；w i l s o nf l a m e ；w i l s o nf l a m ei d e n t i t y ；g a b o rf r a m e i i 河南人学硕士学位论文 符号说明 1 氕) 表示厂的f o u r i e r 变换，其定义为：氕 ) = a 厶厂( z ) e 一洳和d x ， ，l 2 ( r ) ； 2 ( 厂，9 ) 表示厂( z ) ，夕( z ) 的内积运算，定义为：( 厂，9 ) = af r f ( x ) g ( x ) d x ， 其中f ，g l 2 ( 冗) ； 3 咒：l 2 ( r ) 一l 2 ( r ) ，其中死( 厂) 定义为：死( ) = a 厂( 一n ) ，o r ， l 称为平移算子( t r a n s l a t i o no p e r a t o r ) ； 4 现：l 2 ( r ) _ l 2 ( r ) ，其中玩( ，) 定义为：反( ) = ae i 2 1 r a j r ( ) ，n r ， 玩称为调制算子( m o d u l a t i o no p e r a t o r ) ； 5 d 口：l 2 ( r ) _ l 2 ( r ) ，- 其6 f d n ( ，) 定义为：d o ( ) 全i 口l ；f ( a ) ，n 0 ， d 口称为伸缩算子( d i l a t i o no p e r a t o r ) ； i i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位中请。本人郑重声明：所呈交的学住论文是 本人在导师的指导下独立完成的。对所研究酌课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加以说明、标注和致谢酌地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学住或证书而 使用过酌材料。与我一同工作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示7 谢意。 学位申请人( 学位论文作者) 簦名： 童b年月 目 关于学位论文著作权使用授权书 本人经河南大学审核批准授予硕士学位。作为学位论文的作者，本人完全 了解并同意河南大学有关保留、使用学位论文的要求，即河南大学有权向国家 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文( 纸质文 本和电子文本) 以供公众检索、查阅。本人授权河南大学出于宣扬、展览学校 学术发展和进行学术交流等目的。可以采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手 段保存、汇编学位论文( 纸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内睿的学位论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 釜名： 2 0 学位论文指导教师釜名： 2 0 1o 年6 月2 ，日 左灯i ；j 匕呈 帚一早月京 小波分析足上世纪8 0 年代中后期逐渐发展起来的一个重要的数学分支它的出 现受到数学界及工程界的极大重视它不仅为数学的研究开辟了新的方向，而且为 信息处理等方面提供了有力的工具 1 1f o u r i e r 分析到小波分析 自1 8 2 2 年f o u r i e r 发表他的热传导解析理论以来，f o u r i e r 分析便成了最为完美 的数学理论和应用最j “泛的数学方法之一 经典f o u r i e r 分析主要讨论两个方面的内容：一足f o u r i e r 变换；二是f o u r i e r 级数众所周知，f o u r i e r 分析足现代工程应用最广泛的数学方法之一，特别在信号 及图像处理方面具有重要的应用利用f o u r i e r 变换可以把信号分解成不同尺度上 连续重复的成分，使得对各种不同的实际问题可以采取统一的处理方法 f o u r i e r 分析之所以能成为强有力的研究工具，其原因在于( 见) ： ( 1 ) e 记礼茹) 七z 是l 2 ( 丁7 ) 的标准正交基展开系数c k 是，( z ) 在这组基上的坐标， c k 的大小在l 2 ( 丁7 ) 内完全刻画了， ) ，其中丁7 = 0 ，1 】； ( 2 ) c k 与，( z ) 的f o u r i e r 变换，( ) 有着极其重要的物理意义，并由此得到f o u r i e r 分析的又一名称一频谱分析； ( 3 ) 导数运算在c 七与7 恁) 方面的表现，变成了乘子运算这给f o u r i e r 分析在方 程中的应用带来了极大方便 然而，它不适合于表示突变信号，且在分析信号的瞬时特性方面，f o u r i e r 分析 也显得无能为力为了弥补这方面的不足，1 9 4 6 年，g a b o r 提出了时一频局部化分 析方法，即g a b o r 变换此方法在应用中不断完善，后来形成了加窗f o u r i e r 变换， 有时也称作短时f o u r i e r 变换加窗f o u r i e r 变换在一定程度上解决了时域、频域分 析的问题，但由于窗口大小足固定的，因而无法适应非平稳信号小波变换的出现使 得此问题迎刃而解，这足小波变换的一个重要性质，即“变焦距”特征 】 河南大学硕士学位论文 小波分析与f o u r i e r 分析有很大的相似性，因为它们基本的数学思想都来源于 经典的调和分析其雏形形成于上世纪5 0 年代的纯数学领域，但此后3 0 年来一直未 受到研究者的青睐在上世纪8 0 年代才引进并使用了小波( w a v e l e t ) ： 区- - 术语“小 波”顾名思义就足小的波形所谓“小”是指它具有衰减性；“波”则指它的波动性， 其振幅正负相问的震荡形式 虽然f o u r i e r 变换和小波变换有异同，小波变换在某些方面优于f o u r i e r 变换， 但小波函数存在性的证明依赖于f o u r i e r 分析，其思想来源于f o u r i e r 分析在处理 渐变信号时，f o u r i e r 分析或加窗f o u r i e r 分析l l d , 波分析更为有效因此，小波分 析与f o u r i e r 分析相辅相成，它不能取代f o u r i e r 分析，只是f o u r i e r 分析发展的新 阶段 1 2小波分析的背景及应用 小波足最先在工程中被地球物理学家用来分析通过爆炸方法产生的人造地震 数据，以便找油、探矿等，通过分析便可得到地表下岩层的“图像”实质上，地球物 理学家们只是再一次地发现小波而已，数学家们已在几十年前用它来解决一些抽象 的问题但是，在信号处理领域，很久以来小波并没有得到应有的重视 用地震法探测的关键足对收集来的信息是否有适合的信号分析方法f o u r i e r 分析在此不是一个好方法它仅能提供频率信息( 组成信号正弦波) ，并没有给出某 个正弦波发生的时刻另外一个方法一一短时f o u r i e r 变换( s t f t ) 会好一些，整个 时间域被分割成一些小的等时间间隔，然后分别用f o u r i e r 变换分析之，结果显然包 含了时间和频率信息然而，该方法还存在一些问题，由于时问间隔不可调，所以那 些持续时间非常短的、频率很高的脉冲信号的发生时刻难以检测到而小波可以跟 踪时间和频率信息它可以“近看”前面提到的短时脉冲，或者“远眺 以检测长时 慢变波 小波分析作为- f 新的数学学科，包含了丰富的数学内容，并推动了泛函分析 和调和分析理论的发展同时，在诸多领域如图像压缩、信号去噪、自适应滤波、数 2 河南火学硕士学位论文 值分析和物理学领域得到了广泛的应用，是当前最为活跃的研究领域之一，并逐渐 形成一门极具生命力的新学科 小波分析的原始思想形成于2 0 世纪初，即用一个函数的伸缩及平移构成l 2 ( 冗) 函数空间的一组基，此函数称为小波第一个小波是由h a a r 在1 9 1 0 年提出的，他 在一篇描述抽象h i l b e r t 空间特性的论文中给出了一个由核函数产生的l 2 ( r ) 函 数空间的一组正交基1 9 3 6 年，l i t t l e w o o d 和p a l e y 开发出一种利用八度音阶将频 率分组的方法，这足按二进制对频率成份进行分组的f o u r i e r 分析思想的最早起源 1 9 4 6 年，g a b o r 提出加窗f o u r i e r 变换，可以反映信号在任意局部范围的频率特性 经过数学家、物理学家、地理学家半个世纪的共同努力，h a a r 系已发展成为统 一的理论框架，使小波分析成为f o u r i e r 分析发展史上的一个新的里程碑直到2 0 世 纪8 0 年代中期由一批数学家领导的“f r e s hs c h o o l ”小组为小波分析奠定了坚实的数 学基础并且d a u b e c h i e s 很好的总结了小波分析的发展历史( 见【2 ) 随着小波理论的深入发展，小波应用和产业的建立也成为一种趋势各种以小 波理论研究和应用为主的公司和研究小组相继成立，例如，以d a u b e c h i e s 为首的 b e l l 实验室小波小组( 早期) 、d o n o h o 领导的s t a n f o r d 大学的小波和统计学中心、 g o p i n a t h 和b u r r u s 领导的r i c e 大学的小波与多滤波器组中心以及w i c k e r h a u s e r 等的小波包应用研究中心而“w a v e l e td i g e s t 成为i n t e r n e t 网上发行最广的专 业期刊之一现在，有关小波理论的文献遍布当代信息科学的所有学科所有这些充 分显示了小波分析自身的优势和强大的生命力 小波分析优于f o u r i e r 变换的地方在于它在时域和频域同时具有良好的局部化 性质小波变换是一种信号的时间一一尺度( 时间一一频率) 分析方法，它具有多分 辨率分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特 征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可以改变、时间窗和频率窗都可以改 变的时频局部化分析方法它在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨 率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号 夹带的瞬间反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的“显微镜” 3 河南大学硕士学位论文 虽然小波分析从诞生到现在不过足二十几年时间，但已取得了巨大的进展，显 示出了强大的生命力，形成了较完备、成熟的小波理论其独特之处丰要表现在以 下几个方面： ( 1 ) 时一频分辨率特征； ( 2 ) 多尺度分析； ( 3 ) 小波包； ( 4 ) 突变信号检测； ( 5 ) 快速小波变换 小波变换是近十几年信号处理领域研究的一个热点，许多学者将在小波理论上 的研究成果应用到诸如图像压缩、特征提取、信号滤波和数据融合等方面，而且小 波变换的应用领域还在不断的发展当中小波之所以在信号处理领域具有很大的优 势，在于小波变换可以获得信号的多分辨率描述，这种描述之符合人类观察世界的 一般规律同时，小波变换具有丰富的小波基可适应具有不同特性的信号 1 3 框架的背景 连续小波变换( o w t ) d p ，参数都是连续变化的值但在实际应用中，信号一般 都是一个离散序列，要求参数也必须离散化，成为离散小波变换( d w t ) ，离散小波 变换中的重要问题是是否存在逆变换讨论这个问题需要涉及框架( n a m e ) 理论 1 9 4 6 年，g a b o r 在进行信号处理时，引入了一个信号关于基本信号的分解，当 时，g a b o r 的思想很快成为时一频分析方法联系起来的谱分析范例1 9 5 2 年，d u f f m 和s c h a e f f e r ( 见 3 】) 在研究非调和f o u r i e r 级数( 见【4 】) 时进一步提炼了g a b o r 的思 想，做了更深层次的研究，引入了h i l b e r t 空间上的框架概念但在当时乃至以后 相当长的时间内，人们并没有对它给以足够的重视自从小波分析诞生以来，尤其 在1 9 8 6 年d a u b e c h i e s ，g r o s s m a n ，m e y e r ( 见【5 】) 等发现使用框架可将l 2 ( r ) 中的函 数展开成类似标准正交基的级数后，许多专业人员才开始研究框架及其应用( 见 6 卜 【8 】) 4 河南大学硕士学位论文 定义1 3 1 设 x k k n 为h i l b e r t 空间日的点列( j 7 、，= 【1 ，2 ，3 ) ) 如果存 在0 a b 0 ，g l 2 ( r ) ，如果 【d n 。7 k g ) 仇，n z 构成l 2 ( r ) 上的框架，则称它为小波框架( 仿射框架) ，其中g 称为 生成子( 或窗函数) d ，7 1 分别为伸缩算子，平移算子我们知道，对于g a b o r 框架， 它的对偶框架也是g a b o r 框架，但足小波框架的对偶框架就不一定足小波框架 g a b o r 框架和w a v e l e t 框架的内容已经相当丰富但有一类框架一一w i l s o n 框 架，目前对它的研究则不多本学位论文丰要对其做一些研究，并得到若干结果同 时，对g a b o r 框架也做一些探讨 6 记 第二章w i l s o n 框架 2 1 引言 n 全_ 1 ，2 ，3 ，) ， n o 全 o ，1 ，2 ，3 ，) 1 9 8 7 生1 e ，w 订s o n 提出一种小波基g m n ： 坊n ，n ( z ) = ，mx n ) ，m n ，n z ， ( 2 1 ) 其中，m l 2 ( r ) 且厶具有双峰，位于等和一号附近 氕) = 婊 一虿m ) + 驴烈+ 虿m ) ， ( 2 2 ) 轰和二以0 为中心，完全改变了只有一个主峰的曲线 1 9 9 1 年，d a u b e c h i e s 、j a f f a r d 和j o u m 提出仅用一个函数西构造w 啦o n 基该 构造定义为： 且 ( ) ，2 ( ) ，3 ( ) ( ) ( ) 仍n ，n ( z ) = 厶( z n ) ，m n ，n z ，( 2 3 ) 咖( ) ， 诱1 腓一2 丌 访1 眦一2 丌 击纵一4 丌 击m 一4 丌 7 一 + 2 丌) 】， + ( + 2 丌) 】e + + 4 丌) 】， 一咖( + 4 丌) e f 河南大学硕七学位论文 或 = ) = 11 0 ( f 2 1 +一2 丌f ) + ( 一1 ) 。+ 盯q i 健+ 2 7 r 2 ) 】e 畦2 ，( 2 4 )口 ) =一2 丌f ) + ( 一1 ) 盯咖健+ 2 7 r 2 ) 】e 。武2 ，() vz 其中f n o ，仃= 0 或1 ，但f ，口不能同时为0 所有这些相位因子和替换符号的结果 为 k ( x ) = v ( z ) ， 伽水) = 击叭蚪妒删 e 2 删2 + ( - 1 ) l + a e - 2 7 r i l x 】 如果通过定义g m m ( m n ，n z ) 重新对m 标号，即 则 并且对f 0 ， g o ，n 2g l m ， g f ，2 舛盯= 9 2 1 + 口，n ， g o ，佗( z ) = v ( z n ) ，( 2 5 ) 叫加愀n ，c o s 2 z r l x , 嚣篆 ( 2 6 ) 该构造表明，获得良好的时一频局部化( 选择使矽，万呈指数衰减) 以及f o u r i e r 框架的标准正交性的关键在于使用正弦和余弦( 相应的改变) 而不是复指数函数 w i l s o n 基可看成是对一个( 紧) 框架消冗的结果w i l s o n 的方案可有很多种 1 9 9 0 年，l o e n g 推广了以上方案，使频率空间的正则性要求降低；a u s c h e r 重新总结 了整个方案，直接从( 2 5 ) 和( 2 6 ) 式入手，不用f o u r i e r 变换就得到了所有结果，并构 造了其它的例子特别是，他得到的一些例子，使( 2 6 ) 式意义下的“窗口”函数是 紧支集的，这在实际应用中足很有用的( 频域的衰减不是决定性的，只要适当就可) 特别，w a n g 在2 0 0 8 年给出了另一种形式的定义，我们下节将给出介绍 8 2 2 w i l s o n 框加恒等式 2 0 0 8 年，w a n g 定义了w i l s o n 的一种形式，并且给出了用这种形式展开的充分 和必要条件( 见【9 ) 本论文就足在这种定义下给出w i l s o n 框架的若干结果 w a n g 的定义如下：设g l 2 ( 兄) ，口 0 ，b 0 令 那么由此可以定义 则其f o u r i e r 变换为 妒。，m ( z ) = e 孙m k g ( x n o ) ， ( 2 7 ) 滁芝、二笔兰芝坠曲蛐 亿8 ， i ，m ( z ) ：纽垃号笋虹型， j 磊删= e 一2 删哪删，( 2 9 ) 、磊，仇( ) ：翌竺竺啦必号乒翌竺型一 以9 表示l 2 ( r ) 中满足下列条件的函数，全体构成的集合： ( i ) i i 川 0 如果 ( i ) 存在u ，v 0 ，使得u 6 k ，0 g k ( x ) v 6 k ，0 ， ( i i ) ! i 理| ia k ( x ) 怯= 0 ， 则存在b o 0 ，使得v 6 ( 0 ，b o ) ，w i l s o n 序列 ，m 】m n o ，n z 构成l 2 ( r ) 上以 ! 掣和! 掣为界的框架，其中 证明令 g 如) 全9x - - n a ) 9x - - r t , a - - 鲁) ， n e z 乱( z ) 全( 一1 ) n 9x - - n a ) 9x - - 佗a 2 k z + 。1 ) n e z 卢( s ) 钏( 一1 ) n r 。9 死m 列， ( 2 2 2 ) n e z 则对任意l 2 ( r ) 上有界且具有紧支集的函数。厂( z ) ，因为 i 篆工而m 一等黼川 薹加圳i ，”等) i | 酬陋 羡卢( 等) 加圳w 卜筹z 丢薹p ( 等) 肌1 2 + i 他一等汁 如 = 薹p ( 等川州；， 1 5 河南大学硕士学位论文 所以 一篆p ( 等川川；乏上劢卜掣雠邮篆p ( 等) i l 川； ( 2 2 3 ) 由条件( i i ) 知，存在b o 0 ，使得v b ( 0 ，b o ) ，有 一乏p ( 等) 0 肌乏p ( 等) 0 如果定理2 。3 1 1 q b ( i ) 成立且 ( i i i ) i ia k ( x ) 怯 u ， 七z 、 则w i l s o n 序列 ，m m o , n e z 构成l 2 ( r ) 上以丽1 u 一p ( 呈铲) ) 甩么 和磊1 ( y + 卢( 警) ) 为界的框架，其中 g 七( z ) 全9x - - 7 t a ) 夕x n z - - 石k ) ， n e z 七( z ) 全( 一1 ) n 9x - - n a ) gx - - 7 t a 2 k 么+ 。1 ) 证明由w i l s o n 框架恒等式及条件( i ) 和( i i i ) 得 i ( ，m ) 1 2 去( y + p ( 竺茅) ) i if 酽 0 ，b 0 如果定理2 3 1 1 中( i ) 成立且 ( i v ) 存在d o ，使得d 0 ，b 0 如果 ( v ) g k ( x ) = 0 ，k o ； ( v i ) u = i n fg o ( x ) 一ia k ( x ) | | o ； lk e zj r1 ( v i i ) v = s u pg o ( x ) + la k ( x ) i | 0 ，b 0 如果 ( i ) 存在u ，v 0 ，使得u 6 k ，0 g ：( f ) v 6 k ，o ； ( i i ) 1 i 碑j i 雠( z ) 怯= 0 ， 则存在a o 0 ，使得v a ( 0 ，a o ) ，w i l s o n 序列 ，m ) m n o ，住z 构成己2 ( r ) 上的框 架，其中 g 熊) = 绯一删触一m 6 一鲁) ， m z 甜沪( 叫m ( 一m 6 ) 懿+ m 6 一等) m z 一 定理2 3 2 2 假设g l 2 ( 兄) ，a 0 ，b 0 如果定理2 3 2 1 中( i ) 成立且 ( i i i ) i l ：( ) 怯 0 ，b 0 如果定理2 3 2 1 中( i ) 成立且 ( i v ) 存在d 0 ，使得d 0 ，b 0 如果 ( v ) g ：( f ) = 0 ，k 0 ； ( 、r i ) u = i n fg j ) 一i lk e z 0 ： ( v i i ) y = s u p g ：( ) 一el k e z ：( ) 1 1 j 0 ，b 0 则对任意具有紧支集的有界可测函 数，成立下列等式： 2 2 河南大学硕士学位论文 i ( 厂，讥，m ) 1 2 m n o n e z 2 2 - 1 bk e z ，f ( x ) f ( 1 k m + 去薹上而m 一等雠，( 2 3 5 ) 其中 g 七( z ) 全盯x - - 7 1 , a ) 9x - - n a - - 軎) ， n e z 。 七( z ) 全( 一1 ) n 夕x - n a ) 夕x - - r i a 2 k 么+ 。1 ) n e z 引理2 4 1 的证明与f 2 1 9 ) 式的证明类似 定理2 4 1 假设g l 2 ( r ) ，a 0 ，b 0 若w i l s o n 序列 ，m ) m n o , n e z 构 成l 2 ( r ) 上以【厂，y 为界的框架，则a e 成立下列式子： 【，2 b g o ( x ) v 2 b ，( 2 3 6 ) 其中 g 岛( z ) 全g ( - h a ) g ( z n 口一鲁) n e z 。 证明( 反证法) 如果g ox ) v 2 b ，则存在具有正测度的可测集e 冗，使得 在e 上有 g o ( z ) = f9 0 n o ) 1 2 2 b v ( 2 3 7 ) 假设e 包含在长度为i 2 b 的区间f 内设 e o = z eg o ( x ) 1 + 2 b v ，( 2 3 8 ) e k - - - - - xee l 南- 62 b v 0 w i l s o n 序列 饥，m ) m o 艇z 构成 l 2 ( r ) 上以u 为界的紧框架当且仅当 ( i ) 去g 0 ( z ) = i ； ( i i ) g k ( x ) = 0 ，k z 一 o ) ； ( i i i ) 对一切的k z ，a 七x ) = 0 ，a e z r ， 其中 所以 g 七( z ) 全夕x - - n a ) 9x - - 孔a - - 石k ) ， n e z 州z ) 全( - 1 ) n 夕( x - - ，2 a ) 9x - n a - - 等) n e z 一。 证明充分性由w i l s o n 框架恒等式成立立即可知 必要性设厂l 2 ( r ) 足支集在长度为1 2 b 的区间f 上的，则 劢( z 一軎) = o m z 一 o ) ，。e z r ， f - 两f ( z 一荨) _ 0 ，v 忌吆伽艇r u l ( x ) 2d z = 饥，m ) 1 2 2 - 1 云，! if ( 圳2 三n ) 1 2 如 = i 1 ? 一。i 他) f 2 g 0 ( z ) 如 ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 因为上式在长为1 2 b 的区间上均成立，所以 g o ( x ) = 2 b u ，a e x r ( 2 4 4 ) 河南大学硕士学位论文 因此 f f t 一一t _ 一 m r o n e z 由w i l s o n 框架恒等式知， i f , 蚓| 2 _ 去仁z ) l 2 g o 妞( 2 4 5 ) 万1 篆丘而m 一洲k 驰+ 去丘而m 一等雠) 如一o ，伽艇兄 又设，是在长度为1 b 的区间，上的紧支集函数，所以有 因此可知 即 7 - 两( z 一石k ) = o ，v k # o ，。e z 冗， 去薹上劢”等雠肛。， 去聂上劢”等雠m 去三二翮z 一等黼胁一o ( 2 4 6 ) 因为 孬1 三上而m 一等m ( 圳z = 去善五而m 一等) - 如， 且有变换 z 一等= y 号z = y + 等， ( 2 4 7 ) z 一可。号z2 + 丁， ( 2 4 。7 ) 2 6 河南大学硕十学位论文 所以 去赢上而m 一掣m 圳z = 去吾加+ 掣小心c 可+ 掣肋 = 去赢胁一筹小z ， f ( _ 1 ) n 9x - - n a 一等) nez。 g ( x n n l 刁 = 去善上而m 一等，瞧m ”n 咖( x - - t , a 一等) ) 出 = 去赢正而m 一百2 k + 1 ) ( 薹c 咖c z 一 因此 酬x - - ，2 a 一等) ) 虹 丽1 乏上莉( z 一等雠) 出 = 扣轰上翮z 一等雠m = 0 ， 即 r e 三二劢( z 一等黼m o ( 2 4 8 ) 固定k o n o ，在长度为l i b 的区间，上定义函数f l 2 ( r ) 为 则由( 2 4 9 ) 式知， 0= f ( x ) = e - j a r 9 a k o ( 引，z ， ，m 一掣) = l ，z ， 、，( z ) ：o ， z 毛， r e k e n of rf ( x ) f ( z 一等) 剐驰) r e nf ( x ) f ( z 一掣( 圳z ) 二u l