（基础数学专业论文）关于完全0单半群的若干研究.pdf

关于完全o - 单半群的若干研究 基础数学专业 研究生张润石指导教师喻秉钧 本文利用完全o 一单半群的r e e s 结构定理和完全o - 单半群上真同余的“关联三 元组”理论，对以下三个基本问题进行了研究： 一、刻画完全o - 单半群的真同态像结构i 二、刻画完全o _ 单半群的极大真同余、幂等元纯同余、幂等元分离同余 和o - 群同余以及与这些同余对应的同余格或同态像的结构； 三、刻画完全( o _ ) 单弱逆半群的结构。 全文共分三章。 在第一章中，我们首先对有正规r e e s 矩阵表示的完全m 单半群s = m o g ；，a ；p 】上的真同余给出了一个新刻画，它与群上同余用其正规子群的 陪集刻画相当接近，在此基础上我们证明了完全m 单半群的任一真同态像仍是完 全0 _ 单半群，进而我们还用r e e s 矩阵表示给出了真同态像的结构。 在第二章中，我们运用完全0 单半群的同余格与关联三元组的格之间存在的格 同构，研究了完全0 单半群上的几种特殊同余并用r e e s 矩阵研究了与这些同余对 应的同态像的结构。 我们首先提出了“0 - 限制矩形带”的概念，证明了任一完全o - 单半群的最小 真同态像必是0 - 限制矩形带。进而，利用这一刻画，我们还证明了任一有0 和本 原幂等元的半群s 是无同余半群的充要条件是s 同构于一个0 - 限制矩形带；接着， 我们刻画了完全o - 单半群上幂等元纯同余的结构，证明了完全o - 单半群上存在最 第i 页，共3 1 页 中文摘要 大幂等元纯同余，因而其上所有幂等元纯同余组成s 的同余格c ( s ) 的一个完备子 格；同时我们还给出了完全o _ 单半群上最大幂等元分离同余的一个简单刻画；最 后，我们证明：完全o - 单半群s 有0 - 群同态像的充要条件是趴 o 是一个完全单 半群，此时，其所有o 群同态像在同态关系下成功一个完备格，它们都是s 的结 构o _ 群g o 的同态像，最小元是二元半格，而最大元是( g o ) o ，其中a 是由集 合( g p 巧：i ，j i ， ，芦a 生成的g 的正规子群。 在第三章中，我们利用完全o - 单半群的正规r e e s 矩阵表示中的夹心阵p 的特 点分析，证明了判断一个完全o 单半群是否为弱逆半群可以用比定义较弱的条件。 在此基础上，我们对使得s = m o 【g ；i ，a ；p 成为弱逆半群的夹心阵p 须满足的充 分必要条件给出了一个简洁的刻画。 关键词：完全o _ 单半群真同余关联三元组 ( 正规) r e e s 矩阵表示无同 余半群0 - 限制矩形带幂等元纯同余幂等元分离同余o _ 群同余同余格完 备子格弱逆半群完全0 - 单弱逆半群 第i i 页，共3 l 页毕业论文 s o m er e s e a r c h e so nc o m p l e t e l y0 - s i m p l es e m i g r o u p s p u r em a t h e m a t i c s w r i t e r - z h a n gr u n - s h is u p e r v i s o r ：y ub i n g - j u n i nt h i st h e s i s ，b yu s i n go ft h er e e sm a t r i x - r e p r e s e n t a t i o no fc o m p l e t e l y0 - s i m p l es e m i g r o u p sa n d “l i n k e dt r i p l e ”c h a r a c t e r i z a t i o no fp r o p e rc o n g r u e n c e s o l lt h e m ，w ei n v e s t i g a t et h ef o l l o w i n gt h r e eb a s i cq u e s t i o n s ： 1 c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e s t r u c t u r eo f p r o p e rh o m o m o r p h i c i m a g e so f ac o r n - p l e t e l y0 - s i m p l es e m i g r o u p ； 2 c h a r a c t e r i z a t i o no ft h em a x i m u mp r o p e rc o n g r u e n c e i d e m p o t e n t - p u r e c o n g r u e n c e s ，i d e m p o t e n t - s e p a r a t i n gc o n g r u e n c e sa n do - g r o u pc o n g r u e n c e so fa c o m p l e t e l yo - s i m p l es e m i g r o u pa n dt h ec o r r e s p o n d i n gc o n g r u e n c e - l a t t i c e so rh o - m o m o r p h i ei m a g e s ； 3 c h a r a c t e r i z a t i o no ft h es t r u c t u r eo fc o m p l e t e l yo - s i m p l ew e a k l yi n v e r s e s e m i g r o u p s t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ef i r s tg i v ean e wc h a r a c t e r i z a t i o no f p r o p e rc o n g r u e n c e s o i lac o m p l e t e l y0 - s i m p l es e m i g r o u pw i t hn o r m a lr e e sm a t r i xr e p r e s e n t a t i o ns = 朋o 【g ；j ，a ；p 】t h i sc h a r a c t e r i z a t i o ni sq u i t ec l o s et ot h ec h a r a c t e r i z a t i o no f c o n g r u e n c e so nag r o u pb yt h ec o s e t so fan o r m a ls u b g r o u p t h e nw ep r o v e t h a ta n yp r o p e rh o m o m o r p h i ci m a g eo fac o m p l e t e l y0 - s i m p l es e m i g r o u pi sa l s o c o m p l e t e l yo - s h n p l ea n dw eg i v et h e i rr e e sm a t r i xc o n s t r u c t i o n s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，b yu s i n go ft h ei s o m o r p h i s mb e t w e e nt h ec o n g r u e n c e - l a t t i c ea n dt h el a t t i c eo fa l ll i n k e dt r i p l e so na c o m p l e t e l y0 - s i m p l es e r a i g r o u p ，w e 第i i i 页洪3 l 页 e n g l i s ha b s t r t i n v e s t i g a t es e v e r a | ls p e c i a lk i n d so fc o n g r u e n c e so nac o m p l e t e l yo - s i m p l es e m i - g r o u pa n dt h es t r u c t u r eo ft h e i rh o m o m o r p h i ci m a g e s w ef i r s td e f i n eac o n c e p to fao - r e s t r i c t e dr e c t a n g u l a rb a n d ，p r o v et h a tt h e m i n i m u mp r o p e rh o m o m o r p h i ci m a g eo fac o m p l e t e l yo - s i m p l es e m i g r o u pm u s tb e a0 - r e s t r i c t e dr e c t a n g u l a rb a n d a sac o n s e q u e n c eo ft h i sr e s u l t ，a n ys e m i g r o u ps w i t h0a n dp r i m i t i v ei d e m p o t e n t si sc o n g r u e n c e - f r e ei fa n do n l yi fsi si s o m o 蛳c t oa0 - r e s t r i c t e dr e c t a n g u l a rb a n d m o r e o v e r ，w ed e s c r i b et h es t r u c t u r eo fi d e m p o t e n t - p u r ec o n g r u e n c e so na c o m p l e t e l y0 - s i m p l es e r a i g r o u p ，p r o v et h a tt h e r ee x i s t st h em a x i m u mi d e m p o t e n t - p u r ec o n g r u e n c eo nt h ec o m p l e t e l y0 - s i m p l es e m i g r o u ps ot h a tt h es e to fa l l i d e m p o t e n t - p u r ec o n g r u e n c e so fsf o r m sac o m p l e t es u b l a t t i c eo ft h ec o n g r u e n c e l a t t i c ec ( s ) a tt h es - t i et i m e ，w ea l s og i v eas i m p l ed e s c r i p t i o no ft h em a x i m u m i d e m p o t e n t - s e p a r a t i n gc o n g r u e n c eo ns f i n a l l 孔w ep r o v et h a tac o m p l e t e l y0 - s i m p l es e m i g r o u psh a sao - g r o u p c o n g r u e n c ei fa n do u l yi f 吼 o ) i sac o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p f u r t h e r ， i ft h i si st h ee a s e ，t h e nt h es e to fa l lo - g r o u pi m a g e so fsf o r m sac o m p l e t e l a t t i c e a l lt h ei m a g e sa r et h eh o m o m o r p h i ci m a g e so ft h es t r u c t u r eg r o u pw i t h z e r o0 ，g o ，t h el e a s te l e m e n ti nt h el a t t i c ei st h e2 - e l e m e n ts e m i l a t t i c ea n dt h e g r e a t e s to n e i sk g | n 毋1w h e r en qi st h en o r m a ls u b g r o u pg e n e r a t e db yt h es e t q p 玎：l ，j i ，a ，p a ) i nt h et h i r da n df i n a lc h a p t e r ，b ya n a l y z i n gt h ef e a t u r eo ft h es a n d w i c h m a t r i xpi nan o r m a lr e e sr e p r e s e n t a t i o no fac o m p l e t e l y0 - s i m p l es e m i g r o u p s = m o 【g ；，a ；p 】，w ep r o v et h a tt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ra c o m p l e t e l yo - s i m p l es e m i g r o u pt ob ew e a k l yi n v e r s ec a nb ew e a k e n e dt h a nt h o s e i nt h eo r i g i n a ld e f i n i t i o n t h e nw eg i v eas i m p l ec h a r a c t e r i z a t i o nf o rst ob ea w e a k l yi n v e r s es e m i g r o u p 第i v 页，共3 l 页毕业论文 e n g l i s ha b s t r a c t k e yw o r d s ：c o m p l e t e l yo - s i m p l es e m i g r o u p ；p r o p e rc o n g r u e n c e ；l i n k e d t r i p l e ；( n o r m a l ) r e e s m a t r i xr e p r e s e n t a t i o n ；c o n g r u e n c e - 丘8 。s e i l l l g r o u p ； o - r e s t r i c t e dr e c t a n g u l a rb a n d ；i d e m p o t e n t - p t t r ec o n g r u e n c e ；i d e m p o t e n t s e p a r a t i n gc o n g r u e n c e ；o - g r o u pc o n g r u e n c e ；c o n g r u e n c el a t t i c e ；c o m p l e t e l y s u b l a t t i c e ：w e a k l yi n v e r s es e m i g r o u p ；c o m p l e t e l yo - s i m p l ew e a k l y i n v e r s es e m i - g r o u p 第v 页，共3 l 页 毕业论文 部分符号说明 s = m o 【g ；，a ；p l e ( s ) p 崩 i 矗 v u n c 冗 h 口 1 1 a u 1 0 9 a l 。 见 c ( s ) p t ( x ) z ( x ) y ( z ) ，( s ) 诈( ) e - ( s ) 完全0 _ 单半群s 的r e e s 矩阵表示 半群s 的幂等元集合 r e e s 矩阵表示中夹心阵p 的a 行t 列处的元素 上的等价关系 a 上的等价关系 对每一个 存在 并 交 属于 包含于 g r e e nc 一关系 g r e e n 冗一关系 g r e e n7 - i 一关系 g r e e n 口一关系 上的恒等关系 a 上的恒等关系 j 上的泛关系 a 上的泛关系 s 上的元素a 所在的c 一类 s 上的元素a 所在的冗类 s 的同余格 非空集x 上的所有部分变换之集 ( 部分交换半群，对称弱逆半群) 非空集x 上的所有1 一l 部分变换之集 ( 1 - 1 部分变换半群，对称逆半群) s 上的元素z 的逆元集 s 上的所有主元集 s 上的元素。的所有主逆元之集 s 上的所有主幂等元集 第、r i i 页，共3 l 页 四j l l l j i 节范大学学位论文独创性及使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师喧丞丝( 煎攫2 指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符 而引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学 拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交 印刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索：2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的 学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、 浏览。 论文作者签名：弘= ；f 词矗 州年j 月曰 引言 众所周知，正则半群是半群代数理论研究的主流，完全( 0 ) 一单半群是其中 最基础的一个子类，它们在正则半群的构作中所起的作用，正像单群在群论中 或f 满足各种有限性条件的) 单环在环论结构中所起到的建筑“砖石”作用因 此，多年来，关于这类半群的结构和同余的研究一直受到许多数学家的重视 早在1 9 2 8 年，俄国数学家cym keb1 4 q 就系统地研究了特殊的完 全( 单半群一有限单半群的结构，可以看作完全o _ 单半群研究的肇始 1 9 4 0 年，r e e s d 提出了一种类似于矩阵( 称为r e e s 矩阵) 的概念( 参见【l 】) ， 利用它解决了任意完全( o - ) 单半群的结构r e e s 的结论由a h c l i f f o r d 和g b p r e s t o n 在其1 9 6 1 年合著的经典名著“t h ea l g e b r a i ct h e o r yo fs e m i g r o u p s ”中 得到了简洁而优美的表述( 参见 2 】) ，a h c l i f f o r d 和g b p r e s t o n 称之为r e e s 定 理，并将其与环论中著名的w e d d e r b u r n - a r t i n 定理媲美 1 9 5 6 年，t t a x n u r a 利用“关联三元组”刻画了完全o - 单半群的同余格并得 出了完全0 _ 单半群的正规化定理自中光世纪六十年代以来，许多知名的半群理 论专家和数学家，如w d m u n n ，t e h a l l ，g l a j e m e n t ，m p e t r i c h 和j m h o w i e 等，从不同角度( 如( o - ) 极小理想，组合性质及簇论等) 出发，研究各种完全( o - ) 单 半群的结构和同余，同时也有更多的人不断地将关于完全0 一单半群的研究方法 和结论应用和推广到其它正则或广义正则半群的结构和同余的研究中，得到了 十分丰硕的成果( 参考文献【3 - 8 】) 作者的这篇论文也是这个方向上的一个工作 我们知道，半群的同余在半群理论中所起的作用，正如正规子群在群论中和 理想在环论中所起的作用研究半群的同余和相关的同态像的结构，是揭示半群 的内在性质和结构的主要方法因此在第一、二章中，我们主要讨论完全o _ 单半 群上的同余及与其相对应的同态像 在第一章中，首先对有正规r e e s 矩阵表示的完全0 单半群s = 朋o 【g ；，a ；p 】上的真同余给出了一个新刻画，它与群上同余用其正规子群 第1 页，共3 1 页 引言 的陪集刻画相当接近在此基础上，我们证明了完全o - 单半群的任一真同态像仍 是完全0 - 单半群进而我们用r e e s 矩阵表示给出了真同态像的结构 在第二章中，我们运用完全0 一单半群的同余格与关联三元组的格之间存在 的格同构，研究了完全0 - 单半群上的几种特殊同余并用r e e s 矩阵研究了与这些 同余对应的同态像的结构 我们首先提出了“o 限制矩形带”的概念，证明了任一完全o - 单半群的最 小真同态像必是0 - 限制矩形带利用这一刻画，我们进一步证明了任一有0 和本 原幂等元的半群s 是无同余半群的充要条件是s 同构于一个o _ 限制矩形带接 着，我们刻画了完全o 单半群上幂等元纯同余的结构，证明了完全o - 单半群上 存在最大幂等元纯同余，因而其上所有幂等元纯同余组成s 的同余格c ( s ) 的一 个完备子格：我们还给出了完全0 _ 单半群上最大幂等元分离同余的一个简单刻 画；晟后，我们证明：完全0 - 单半群s 有0 群同态像的充要条件是民f o 是一 个完全单半群，此时，其所有o 群同态像在同态关系下成功一个完备格，它们 都是s 的结构0 - 群g 0 的同态像，最小元是二元半格，而最大元是( g n q ) o ，其 中b 是由集合 弧，d ：i ，j i ，a ，p a 生成的g 的正规子群 在第三章中，我们研究一类特殊的完全p ) 单半群一完全( o - ) 单弱逆半 群弱逆半群的概念是1 9 6 8 年印度的b r s r i n i v a s a n 作为逆半群的自然推 广引入的( 参见【1 3 1 ) s r i n i v a s a n 证明了任一非空集x 上的所有部分变换之 集p t ( x 1 在通常部分变换的合成运算下构成弱逆半群；进而，任一弱逆半 群s 均可嵌入p 丁( s ) 中从上世纪6 0 年代末以来，尽管该类半群受到很多人 的关注( 参考文献 1 4 - 1 8 1 ) ，但对它们结构的了解仍只限于某些特殊类型的弱逆 半群，如双单弱逆半群( 参看 1 6 ，1 7 ) 我们所研究的完全o _ 单弱逆半群，就是一 类0 - 双单弱逆半群 我们首先用完全0 - 单半群的正规r e e s 矩阵表示中的夹心阵p 的特点分析， 证明判断一个完全o - 单半群是否为弱逆半群可以用比定义较弱的条件，在此基 础上，我们对使得s = m o 【g ；i ，a ；p 】成为弱逆半群的夹心阵p 须满足的充分必 要条件给出了一个简洁的刻画，即：设s = m o 【g ；i ，a ；p 】是完全0 - 单半群s 的 一个正规表示，其中群g 的单位元为e 则s 为完全0 一单弱逆半群的充分必要条 件是s 满足 第2 页，共3 1 页毕业论文 引言 ( 1 ) 存在从a 到，的单射i ( ) ：a ，i ，a - 一i ( a ) 使得m ( ) = e ，且y p a ，p a ，有脚( ) = 0 ( 2 ) 如果有i j ，使得( i ，j ) 岛则存在a 卢a ，满 足p ) o ，p u l ，均不为0 ，而弧p 圩= m 耐p 君b 第3 页洪3 l 页 毕业论文 第一章完全0 一单半群的同态像 我们在本章运用o - 单半群和本原幂等元的刻画，根据完全o - 单半群的真同余 与关联三元组之间存在着保序双射，证明完全o 单半群的真同态像仍为完全m 单 半群；进而借助r e e s 矩阵结构给出完全o - 单半群的真同态像的结构 1 1 预备知识 定义1 _ 1 1 【9 】设s 是半群，口l s ，称l 是s 的_ 个左理想，若s 工 l 称l 是s 的一个右理想，若l s l 既左且右的理想就称为双边理想或半 群的理想 定义1 1 2 【9 】有零元0 的半群s 称为0 - 单的，若铲 o ) 且除自身 和 o 之外s 不再含其它理想 命题1 ，1 1f 9 】半群s 是o - 单的，当且仅当vn ，b s o ) ，jz ，y s 使 得x a y = b 我们知道，下述二元关系是e ( s ) 上偏序关系： ，se 甘，= e ，= f e ，ve ，f e ( s ) 定义1 1 3 【9 】半群s 的非0 幂等元e 称为本原幂等元，若 v f e ( s ) o ) ，f se = e 2 ， 定义1 1 4 【9 】含本原幂等元的o - 单半群称为完全o _ 单半群 定理1 1 1 【1 ，9 ，r e e s 定理 设g 是群，其单位元为e ，a 是两个非空集 p = ( 似) 是从ax i 到g o = g u o 的映射( 称为g o 上的ax l 矩阵) ，满足： ( v i ，) ( j a a ) p m 0 ， ( v a a ) ( j i ，) p 崩0 即p 中每行每列都有非0 元( 称p 正则) 第4 页，共3 1 页 第一章完全0 一单半群的同态像 令s = ( ，xg xa ) u o ，定义s 上的运算“”为：v ( i ，a ) ，u ，b ，芦) s ， “舶= 护附泛兰 ( i ，a ，a ) - 0 = 0 ( i ，a ，a ) 0 0 0 ， 则s 是一个完全0 - 单半群，记为s = 州o g ；，a 】p 】反之，每个完全o - 单半群都 可以如此构成 口 下述结论容易根据定义直接验证 定理1 1 2 完全o _ 单半群s = 朋o 【g ；j ，a ；p 1 的非0g r e e n 一，冗一类分别 为 s i c = = l = 0 ，a ， ) s ：i ，) ： a ) ； s 冗= f r = “i ，a ，a ) s ：a a ，：i j ) s 是正则半群，其非0 幂等元集合为 e ( s ) o = o ，p 嚣，a ) ：p m 0 ，i j ，a a ) 对任意。= ( i ，a ，a ) s ，其逆元集是 v ( z ) = 0 ，p 吾口一1 p 置，p ) ：p a j 0 ，舢o ；i j ，p a ) 引理1 1 1 【9 ，l a l l e m e n t 引理】 设p 是正则半群s 上的同余，a p 是s i p 的 幂等元则在s 中存在一个幂等元e 使得e p = a p 且r e 吼，l 。l 。 口 设完全o 单半群s = m o 【g ；，a ；p 】v i i ，a a ，记a i = a aip 舡 0 ) ，厶= i i ip , u o ) 易知 西= ( i ，j ) ixija i = a j ) ，靠= ，p ) a ai 厶一) ， 分别是，a 上的等价关系 夹心阵p 称为正规的，若对每个凸类i ，存在 a 使得v i i + ，p m = e ， 且对每个矗一类”，存在i ，使得v a ”，m i = e 其中e 是群g 的单位元 定理1 1 3 【9 ，定理3 4 3 】若s 是完全o - 单半群，则存在正规矩阵p = ( p m ) ， 使得s 竺m o 【g ；j ，a p 】此时，我们称r e e s 矩阵半群朋o 【g ：，几p 是完全o - 单半群s 的一个正规表示 第5 页，共3 1 页 口 毕业论文 第一章完全0 单半群的同态像 设完全0 - 单半群s = 朋o g ；，a 1p 】，p 是s 上的同余，则0 p = o ) 或0 p = s 若0 p = o ，则p 称为s 上的真同余此时，商半群s p 称为s 的真同态像 定义1 1 5 【9 由g 的正规子群，j 上的等价关系s ，a 上的等价关 系丁组成的三元组( ，s ，7 - ) 称为关联的，若满足 ( l 1 ) 5 西，丁矗； ( l 2 ) v i ，j i ，a ，p a ，若p p ”，p t , i ，p t , j 均不为o ，且g ，j ) s 或( a ，肛) 7 - ，则 q 冲蜡= p a i p 孑p 由n ， 定义1 1 6 9 | 完全o 单半群s = m o 【g ；j ，a ；p i ，p 是s 上的真同余，我们 定义j 上的等价关系 p l = 0 ，j ) 凸：0 ，? ，a ) pd ，咳j ，a ) ( v a a ，j h o ) ) 上的等价关系 d a = “a ，肛) 矗：( i ，z 矗，a ) p “，右，p ) ( v a ，p a i o ) ) 定义1 1 7 【9 1 完全。一单半群s = 川o 【谚，a ；p i ，p 是s 上的真同余，我们 定义群g 的正规子群 以= n g ：( 1 ，a ，1 ) p ( 1 ，e ，1 ) ) 其中1 ，n a e 是群g 的单位元 g i 理1 1 2 9 1完全0 单半群s = 州。旧；i ，a ；p l ，是s 上的真同余 v ( i ，a ，a ) ，( j ，b ，p ) s ，若( i ，a ， ) p 0 ，b ，p ) ，则( i ，j ) p 1 引理1 1 3 【9 】完全阻单半群s = m o 【g ；f ，a ；p 1 ，p 是s 上的真同余， v ( i ，d ，a ) ，( j ，b ，p ) s ，若0 ，a ，a ) p ( j ，b ，p ) ，贝( a ，p ) p 定理l _ 1 4 9 设p 为完全0 - 单半群s = m o f g ；，a ；p l 上的真同余那 么( n a ，仃，p a ) 是一个关联三元组 r ：p 一( p ，p ，p a ) 是从s 的真同余之集 ，s ，明到s 的所有关联三元 组集合( ，5 ，卵上的双射，其逆是 r 。：( n ，s ，t ) 一【n ，5 ，刁， 第6 页，共3 1 页毕业论文 第一章完全0 一单半群的同态像 其中 【n ，5 ，刁= p u ( o ，o ) ) ， 这里的p 是趴 o ) 上的一个二元关系，使得( i ，n ， ) p0 ，6 ，肛) 的充要条件是 ( 1 ) ( ，j ) 5 ，( a ，p ) 丁； ( 2 ) 对某个( 等价地，对每个) 茹i 和f a ，只要雕“p o ，m 。和p p 都不 为0 ，则有 耿 印脚k - 1 6 。1 暗n 进而，r 是保序双射，即，对s 上任二真同余p ，口有 p 盯铮p l 0 - 1 ，p a 0 a ，二 显然，r 容易扩张为s 的同余格c ( s ) 到s 的所有同余三元组及三元 组( g ，j ，a ) 所成集合在通常包含关系下所成格之间的格同构 口 1 2 完全o - 单半群的真同态像 本节我们讨论完全0 - 单半群的真同态像的结构首先对有正规表示的完 全0 - 单半群的真同余给出二个刻画 命题1 2 1 设完全o _ 单半群s = 朋o 【g ；，a ；p 】，其中p 正规，p 是s 的真 同余对任意( i ，o ，a ) ，( j b ，芦) s ，我们有 ( i ，o ，a ) p ( j ，b ，肛) = 亭0 ，j ) p l ，( ，p ) p ，a 6 1 j 证明为证必要性，设( i ，n ，a ) p b ，芦) ， 由引理1 1 2 和1 1 3 有( i ，j ) p l 岛，( ，l ) p 甄 因p 正规，对i + = j + ，3 a 使得= p o = e ；对”= 旷，jz j 使得 p x z = 趾= e 于是 ( 1 ，e ，f ) 0 ，a ， ) ( z ，e ，1 ) p ( 1 ，e ，f ) ( j ，6 ，p ) ( 茁，e ，1 ) ， 即( 1 ，a ，1 ) p ( 1 ，b ，1 ) 由此 ( 1 ，a b ，1 ) = ( 1 ，口，1 ) ( 1 ，p 寸6 一，1 ) p ( 1 ，b ，1 ) ( 1 ，p 0 6 ，1 ) = ( 1 ，岛1 ) 因此口6 1 也 反过来，假设( ，j ) p ，( ，p ) 肌且n 6 - 1 p 第7 页，共3 l 页毕业论文 第一章完全0 一单芈群的同态像 由定义，v f a ，z i ，若赡i ，p 盯，p k ，p 都不为0 ，则 ( i ，坛1 ，f ) p ( j ，窍，f ) ，( 置硭，a ) p ( z ，硭，p ) 由以上必要性的证明，有暗，p h 瑶 由a b - 1 0 得慨。p v 2 ) ( b - 1 口) 由坼是g 的正觌子群，有 印 ；p b - 1 p 寺印h p - 1 _ 1 p 孑p o p 辛p e i 印k p = 6 _ 1 p 孑婶 由定理1 1 4 对p = 【坼，p l ，肌】的刻画，得( i ，a ) p0 ，6 ，p ) 口 注1 2 1 对非正规表示的完全0 _ 单半群s = 朋o f g ；，a 1p 】中有同余p 关 系的两个元( i ，a ，a ) ，瓴b ，p ) ，我们虽然也有( ，j ) p t 和( ，p ) 肌，但不一定 有a b 一1em 例如，设g = e ，o ，b ，c ) 为克莱因四元群，即有如下乘法c a y l a y 表 的四元群 令j ： 1 ，2 ) ，a ： 1 ，2 ) ，p ：( 。：1 在完全o 单半群s = ” 朋o g ；j ，a ；p 】中，我们有晶= i ， = a a 且v ，j i ，a ，芦a ，q , i j = e 取n = e ) 由上知( ，白，靠) 是关联三元组记p = 【，岛，反1 因 为v z i ，有p 1 ；程= e ，于是v f a ，有艇1 a p l 。p o b _ 1 耐= a a e b _ 1 b - 1 = e ，所以有( 1 ，口，1 ) p ( 2 ，b ，2 ) 但a b - 1 = a b = c 仁n 命题1 2 ，2 完全0 - 单半群的真同态像仍完全o _ 单 证明设p 是完全o - 单半群s = 川o i t ；i ，a ；尸】上真同余记妒是由p 诱导 的从s 到t = 驯p 的满同态由于p 真，t 是一个非平凡半群 任取t ，u t o ) ，由垆满，有a ，b s ，a ，b 0 ，使。妒= t ，6 妒= u 由s 是o _ 单的，据命题1 1 1 ，j 。，y s 使得a = z 蜥于是 t = d 妒= ( z 妒) ( 6 _ p ) ( 掣妒) = ( f 妒) u ( 可妒) 这证明了t 是m 单的 为证r 完全0 - 单，设e 是s 的本原幂等元我们只需证明e 妒是t 的本原 第8 页，共3 l 页毕业论文 第一章完全0 一单半群的同态像 幂等元 事实上，若，l 妒是t 的非o 幂等元s ) 且危妒e p 有 妒= 妒e 妒= e l p 妒= e 妒 妒e 妒= ( e h e ) 妒 由l a l l e m e n t 引理，jg 目( s ) o ) 使9 妒= ( e h e ) 妒，且l g 茎l e h 。，岛r 出 由此易得g e = e g = g ，即g e 由e 是s 的本原幂等元，有g = e 于是 e 妒= q c p = ( e h e ) 妒= 妒 t 完全0 - 单，完全0 - 单半群的真同态像仍完全o - 单 口 下 借助完全o - 单半群的真同余的刻画，其真同态像的r e e s 矩阵结构可描述如 定理1 2 ，1 设完全o - 单半群s = m o 【g ；，a ；p l ，p 正规，p = f 5 ，卅是 s 的真同余，则 s p 鬟m o g n ；z s ，a t ；_ 】， 鼽h 两，而瓣= p “关竺，渤所在的碱碱所 在的s 类，蹁是p m 的右陪集 证明首先证明f 确为s i sxa t 到g 的映射，且是0 - 群g n 上 的z s a 7 乙正则矩阵 设五= 卢，i = j ，贝00 ，j ) s = p z 凸，( a ，p ) t = p a 矗， 于是弛，p m ，p t , i ，p 灯四者同时为0 或同时不为0 若p 岫p ，m ，p 酊同时不为0 ，由( i ，j ) p l ，有( i ，p 寻，a ) p ( 耐，a ) 由( a ，p ) 肌，有0 ，对， ) p p 孑，p ) 于是( t ，p 嚣，a ) p ( j ，p 孑，p ) 因p 正规，由命题1 2 1 ，有p 孑p “p = n ，则p i 耐p = n 所以p m n = p 阿，即瓣= 豆面 若孤i ，脚，舢，p 撕同时为0 ，则乒雨= 0 = 翰因此若天= 口，i = j ， 则乒雨= 毛i 由p 的每行每列都含非0 元可知，芦的每行每列也都含非0 元， 即f 正则 其次证明m o i v n ；z s ，a 正司是完全o _ 单半群 第9 页洪3 1 页 毕业论文 第一章完全0 一单半群的同态像 令t = ( i s c l v a 丁) u o ) 我们只需证r e e s 矩阵乘法在t 中有意 义 若( 矛，n 7 n ，膏) = ( i ，n ，工) ，驴，b n ，口) = ( j ，b n ，皿) ，贝u i = 矛，a n = ，贾= j ，于= j ，b n = b n ，口= 皿 于是a - l o p b b - 1 n ，孵= 霸 若p 可0 ，则 萤哥 = 争霸= p 撕n = p w j n 即p 吾p x ，n 于是 ( ；，a n ，j ) 0 ，b n ，卢) = ( i ，( o ) 乒蔚( 6 ) ，卢) = ( ，( n p j 6 ) ，豇) ， ( 矛，0 ，n ，牙) 咿，b 7 n ，口) = ( ，( 口m ，6 ，) | v ，口) 由是g 的正规子群，我们有以下推导过程： a - - 1 n ，b b 一n ，p 寸m ，j ，n = b b p 君以，n = p 川一b b 一1 p 寻n 号口a t p , j ，b b _ 1 p 君n 辛a l p x ，b b 一1 p 暑n - 1 = o t 鼢- i 一6 ( 叩舻) 一1 n 号( a p , b ) n = ( n i ：，6 ，) 于是 ( i ，( a p i s h ) n , # ) = ( 矿，( o 饥76 ，) 】口) ， 即 ( 矛，a n ，膏) 口，b n ，口) = ( i ，a n ，i ) 仃，b n ，皿) 若p = 0 ，则嘶= 0 即( 矿，d n ，刃) 口，b n ，p ) = 0 = ( i ，o ，j ) 6 ，b n ，皿) 最后证明s p 掣3 , t o g n ；，5 ，a 7 - ；_ 】 作映射l p ：s p 一朋o g ；i s ，m t ；- 定义：( 0 ，n ，a ) p ) 妒= ( - ，o ，天) ，v0 ，8 ，a ) s ， ( 叩) 妒= 0 妒有意义设( i ，a ) p = 0 ，b ，p ) n 由命题1 2 1 ，有0 ，j ) p l = 5 ，( a ，p ) p a = 7 - ，n 6 1 r p = n ， 即i = j ，a n = b n ，五= 皿因此 f ( i ，q a ) 纠妒= ( 1 ，a n , a ) = d ，b n , 皿) = 0 ，b ，p ) 捌妒 第1 0 页，共3 l 页毕业论文 第一章完全0 一单半群的同态像 驴是单射设o ，x ) p l v = 【( j ，b ，p ) p 】妒 则( t 口，五) = ( j ，b n ，皿) 于是i = j ，a n = b n , 天= 乒，即“，j ) s = p j ，n b - 1 n = 0