（基础数学专业论文）具有奇异积分项的boussinesq方程的cauchy问题.pdf

摘要 本文分五章；第一章为引言；第二章研究一类具有奇异积分项的b o u s 8 i n e s q 方程的 c a u c h y 问题的局部解的存在惟一性；第三章通过积分估计证明第二章所述问题的整体解 的存在惟性；第四章用凸性原理讨论第二章所述问题的解的爆破；第五章在小初值的条 件下通过h i l b e r t 变换得出一些振荡积分的估计，利用这些估计得到解的衰减性质，从而 证明了解的整体存在性，这是一些新的结果具体情况如下： 在第二章中，我们研究如下一类具有奇异积分项的b o u s s i n e s q 方程的c a u c h y 问题 u “+ a 。一卢h ( u 。) 一7 “。= ，( “) 。，( 0 1 ) “( z ，o ) = 妒( 茹) ， t ( z ，o ) = 砂( t )( o 2 ) 的局部解的存在惟一性，其中u ( z ，t ) 为未知函数，a 0 ，卢o ，1 o 为常数，h 为 h i l b e r t 算子，定义为 即，= 恕江她。等虻拦劫， ，( s ) 为给定的非线性函数，妒( z ) 和妒( z ) 为已知的初始函数，下标，。分别表示对t ，z 求 偏导数 为此，我们先研究对应线性方程的c 吐l y 问题 u “十n 。一p h ( u 。；) 一7 u 。= 9 ( ，t )( o 3 ) u ( 茁，o ) = 妒( 善) ，“t ( z ，o ) = 砂( 茁)( o 4 ) 在证明了( o3 ) ，( 0 4 ) 的解的存在惟一性后，利用压缩映射原理，得到非线性问题局部解的 存在惟一性，其主要结果如下 定理1 假设s ；，妒伊，妒h 8 ，且，g h + 1 ( r ) ，则问题( o 1 ) ，( o 2 ) 有惟一的 局部解“a ( o ，乃) ，h 5 ) 几g 1 ( 【o ，孔) ，h ”2 ) ，其中【o ，) 是解的最大存在区间进一步， 若 1 1 鼍! “p 川“( 圳舻+ 慨怯一2 】 o 是问题( o 1 ) ，( o2 ) 的解的最大存在时间，则t 0 使得对任意的“_ r 有 ，( 钍) “2 ( 2 七+ 1 ) f ( “) + 2 七7 “2 ( o 7 ) 若初值满足下列条件之一： ( 1 ) e ( o ) o ， ( 3 ) f ( o ) o ，( f j1 妒，i f i 一1 妒) 、，丽j l 妒| j 曹。， 则e a u c h y 问题( 1 1 ) ，( 12 ) 的广义解( z ，) 在有限时间内发生b l o w - u p 第五章讨论了在小初值的条件下问题( 1 1 ) ，( 12 ) 的整体解的存在性，我们首先研究线 性问题 钍n + 杜一。一卢h ( t k 。) 一7 u 。= 9 ( z ，t ) 。 ( o 8 ) “( z ，o ) = 妒( z ) ，让c ( ，o ) = 妒( z )( o9 ) 得到解的一些估计式，然后利用压缩映射原理，得到( o 1 ) ，( o ，2 ) 的整体解的存在性，其主 要结果如下 l l 定理5 假定妒研n 三1 ，妒圻2 ，9 l 2 ( o ，卅，研n 上1 ) ，1 o ，则问题( o - 8 ) ，( o 9 ) 有唯一广义解u ( t ) g ( o ，t i ，研) n e l ( o ，t ，l 1 ) ，并且有： j ”t j 。l l + l l “( ：) l j 矗。( 1 _ ：) 一5 ( | | 妒| ! ” + i l 妒| | + i i 妒i j 日i 2 + f | 妒| | ，) f o 1 0 ) + q - 石 一r ) 一 + ( 一7 - ) 一 川g ( ，r ) | j 。d r 、7 i | “( ，f ) i i 片 + lj “t ( ，) | | l 。( 矗2 ( j | 妒| 耳 + i l 妒i i l ，+ i i g ( ，7 - ) | | 日 d 丁) ( o1 1 ) 定理6 假定“ 4 是一个正整数，a 2 ( r ) 满足当一。时， j _ 厂( ) i = o ( 川”1 ) ，则存在一个d 一 o ，使得对任何妒研nl l ，妒町2n 上。，当 j 妒| | 哪十i l 妒| | l + j | 妒ij 日i z + j | 1 】f l l 1 0 ，卢0 ，7 oa r ec o m t a n t s ，hi s h f k 订t r a n s f o r m i t sd 曲n i t i o ni s 啦胪露托北；当咖= 仁当咖， ，( s ) i st h eg i v e nn o n l i n e a rf u n c t i o n ，妒( z ) a n d 妒( z ) 龃eg l v e nl n i t i a l 砌u e s 1 1 b s c r i p tt ，z i n d i c a t e st h ep 射t i dd e r i v a t i v ew i t hr e s p e c tt ot ，z f 缸t h i sp 砒p o s e ，w e6 r 8 tc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gl i n e 雏p r o b l e m 札n + 口札船；。一p 仃( 让。) 一，y “瓣= g ( ，) f 1 1 n e t i o n s a n d ( o 3 ) “( z ，o ) = 妒( z ) ，u c ( 茁，o ) = 妒( 。)( o 4 ) a f t e rt h ee ( i 8 t e n c ea n du n i q u e n e 8 8o ft h el o c 出8 0 l u t i o nt ot h ep r o b l e m ( o 3 ) ( o 4 ) 甜c p r 删，u 8 i n gt h ec o t r 神t i o nm a p p i n gp r i n c i p l ew ec a i lp r o v et h ee x i s t 锄c ea n du n i q u e n e s s o ft h el o c a l8 0 l u t i o nt ot h en o n l i n e a rp r o b l e m t h ei n a i nr e 8 u l t 8a r et h ef o l l o w i n g ： i v t h e o r e m1a s 8 u m et h a ts ，妒h 5 ，妒h 5 ，a n d ，g 【s 】十1 ( 兄) ，t h e nt h e p r o b l e m ( 11 ) ，( 1 2 ) h a 8au n i q u e1 0 c 8 ls o l u t i o n “e ( o ，) ，日8 ) n a l ( 【o ，) ，h 。_ 2 ) ，w h e r e 【0 ，) i sam 敞i m a lt h n ei n t e r v a l m o r e a v e t ，i f l i m s u p 【 札( t ) 0 片s + f f 毗1 1 日a 一。】 oi sam a x i m “t i 】m ei n 七e r 谳t ot h es o l u t i o no f t h em o b l e m ( o 1 ) ，( o2 ) h e nt os u c h t h a t f o ra i l r ，( “) 钍2 ( 2 七十1 ) f ( u ) + 2 ，y u 2 ( o ，7 ) t l l e nt h es o h i t i o no fp r o b l e m ( o 1 ) ，( o 2 ) b l 佣8 _ u pi 1 1n n i t e 恤1 ei fa i l d 衄1 yi ft h ef 0 1 1 0 w i n g c o n d i t i o l l sh o l d s ： ( 1 ) e ( o ) o ， v ( 3 ) e ( o ) o ，( j l 一1 妒，j 一1 妒) 、，僵 丽i i 妒j i 膏 i “七h 86 此hc h 印t e r ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c e0 ft h eg l 。b a l8 0 l u t i o nt 。( o1 ) ，( o 2 ) b y 锄以1i n i t i a ld a t a f i r s t ，w ed i s c u s 8t h ef o l l o w i n gl i n 唧p r o b l e m “+ “7 。一z 一卢h ( “) 一7 “z z = 9 ( z ，) 。 f o8 ) u ( z ，o ) = 妒( z ) ，u t ( 茁，o ) = 妒( z ) ( o 9 ) i 1 l e n ，b yt h ec 。n t r a c t i o nm 印p i n gp r i n c i p l e ，w eg e tt h ee d s t e n c eo ft h e9 1 0 b a l8 0 l u t i o nt o ( 1 - 1 ) ，( 12 ) t h em a i nr e s u l t s 趾et h ef o l l d w i n g ： t h e o 。8 m5s u p p o s et h a t 妒研n l l ，妒酊2 ，9 上2 ( o ，卅，研n 工1 ) ，打 o ，t h e n ( o8 ) ，( o 9 ) h 8 sau n i q u eg l 。b 出s 。1 u t i 。n 乱 ，) e ( o ，明，h ) ne 1 ( 【o ，卅，l 1 ) ，m 。r e a v e r ”啦卜，砷”甜”比 。“篙芝鬻裟瑞燎州+ c i l 启 0 一r ) 一+ ( 一r ) 一川9 ( ，r ) | | l 打 ” m ， 十，毗，q z ( 砰+ l ，+ 一9 ( ，r ) 崎d r ) ( 0 1 1 ) t h 8 0 。e m 6s u p p o s e t h a to 4 j sap o s i t i v e i n t e g e r ，e 2 ( r ) s a t i 8 母a s _ o ， i m ) l = o ( + 1 ) ，t h e nt h e r ee x i s t s6 o ，s u c ht h a tf o r 妒研n 厶，妒日r 2 n 三】， s a t i s f y i g i i 妒 i 聊十f | 妒| | 1 + | | 廿i i 町。+ l 妒f i i 0 ，卢0 ，7 o 为常 数，日为h i l b e r t 算子，定义为 日( “( o ) ) 恕江啦；等劫仁拦咖 ，( s ) 为给定的非线性函数，妒( z ) 和妒( z ) 为已知的初始函数，下标f ，z 分别表示对t ，z 求 偏导数 方程( 1 1 ) 是在研究具有幂律大范围相互作用位势的非线性非谐晶格的振动中出现的 数学模型，参考文献1 1 3 ，14 1 当p = o ，o = 1 时，方程( 1 1 ) 是著名的好b o u s s i n e s q 方程对好”b o u s s i n e s q 方程已有大量的研充例如，b o n a 和s a c h s 在文献1 1 中利用 拟线性发展方程的k a t o 抽象理论证明了“女子，b o u s 8 i n e 8 q 方程c a u c h y 问题光滑解的局 部存在性；t 8 u t s i m i 和m a t a h h i 在【3 中对妒h 1 ( r ) ，妒= x f ，x h 1 ( r ) 证明了 好”b 0 1 1 8 s i n e s q 方程c a u d l y 问题的局部适定性；l i n ”e s 在 4 】中对妒h 1 ( r ) ，妒三2 ( 咒) 证明了好b o l l s 8 i n e s q 方程c a u c h y 问题的局部适定性，并对小初值证明了解在h 1 ( 咒) 中 的整体存在性；l i n a r e s 和s c i a l a m 在【5 中对，( n ) = 一l u i 。一z ，在小初值情形证明了 解的渐近性；对特殊的非线性项，k d a n t a r o v 和l a d y z h e n s k 归f 8 】及s a 出sf 2 给出了 “好”b o u s s i n e s q 方程c a l l c h y 问题发生b l d u p 的条件；对一般的非线性项l i uy u e 吼 7 】 讨论了“好”b o u s s i n e s q 方程c a u d l y 问题的b l d u p ，衰减性质，小初值解的整体存在性 及耗散性质 本文将讨论问题( 11 ) ，( 12 ) 在第二章我们利用压缩映像原理证明了问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的局部解的存在惟一性，第三章通过积分估计证明问题( 1 ，1 ) ，( 1 2 ) 整体解的存在惟一性， 在第四章用凸性引理讨论问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 解发生b l o w - u p 的条件，第五章讨论了在小初值 的条件下，问题( 1 ，1 ) ，( 1 2 ) 的整体解的存在性 文中将用到如下记号和结论：砬( ) 表示“( z ) 关于空间变量z 的f 0 u 。i 。变换；伊表 示r 上的s o b o l e v 空间，它的范数定义为 j “| | h ，= j j ( ，一理) “j | = l f ( 1 十1 2 ) i n i | 护( r ) 表示通常的p 空间，j ，= 州l j = 恻f 。，咖表示与伊对应的齐次空 问，它的半范数为恻f 小2 f 1 5 刮q = 埤( r ) = ( 一筘) 一 p ( 兄) ，它的范数定义为 雄= 忡一器) 钏， 引理l1 设“工2 ( j r ) ，则u 的h i l b e r t 变换h u 2 ( 置) ，且有 ( i ) 1 1 日u | | = f ； ( i i ) 蕊( f ) = 一她n ) 蚓 引理1 2 ( i ) 对任何u 1 ( r ) 有日( “。) = ( h u ) 。 ( i i ) 对任何u ，u 三2 ( 兄) 有 z 二u ( z ) 日”( 。) a 。= 一z 二日“( 。) ”( z ) 出 2 第二章问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的局部解的存在惟一性 本章我们利用压缩映像原理证明问题( 11 ) ，( 12 ) 的局部解的存在惟一性为此，先证 明相应的线性方程解的存在惟一性，首先我们构造一个b a n a c l l 空间上的映射，它把空间 上的任一元素映为一个线性方程c a u c h y 问题的解，然后证明这个映射是压缩的，从而得 到非线性问题局部解的存在惟一性下面，我们先给出相应线性方程c a u c h y 问题解的存 在惟一陛及估计 引理21 设s r ，对任意t o ，假定妒h 5 ，妒h ”2 ，9 上1 ( o ，t ；伊一2 ) ，则线性 方程的c a u c h y 问题 “+ o u 删。一卢日( 札蹦。) 一，y u 。= 9 ( z ，t ) 札( 。，o ) = 妒( z ) ，札t ( z ，o ) = 妒( t ) 存在惟一解“e ( o ，t 】，h 8 ) ng ( 【o ，卅，。) ，且有估计 肌怕邙怕州属”训一z 币咖川肛z a 0 l l u 州日。一z ：鬲| | 妒i f “。+ | | 1 】 | | h 。z + z i f 9 ( r 川。，一。d r 证明：我们首先考虑如下方程 两边作f o u r i e r 变换，得 解这个常微分方程，得 ( 。，o ) = o ，u t ( z ，o ) = 妒( z ) 乱“+ o i fj 4 疵+ 卢i 1 3 血+ 7 l f f 2 血= o 血( 。，o ) = o ，矗。( z ，o ) = 移 ( 2 1 ) f 22 1 ( 23 ) f 2 4 1 够 根据叠加原理和d u h a m e l 原理，方程( 2 1 ) ( 22 ) 的解在f 0 u r i e r 空间中可以表示为 蛾，垆c o s 川引而m 讣案镖署讯) + z 巡赫勰拶张，枘 j o 以胖+ 卢+ 7 。 其中“表示关于空间变量。的f o u r i e r 变换由于 和 故得 ( 1 + i f l 2 ) 8 7 2c o s ( t i 引、，4 习i 耳_ 两可干彳) ( ) | | i i ( 1 + i f i2 ) 3 2 p ) j i = i l p l l h 。 ”2 2 鬻需诹， = 小2 ，3 篙糕鬻嘲阳 + 础h 蚓2 ) 5 篙糕瓣闷 9 2 几1 + 蚓2 ) 慨) 陬+ 屯( 1 + 2 ) 。赤阚陬 j 1o 4 。 4 垆丘( 1 + 2 ) 3 - 2 瞅钏2 武+ ：z 阻( 1 + 2 ) ”2 舨钏2 d f j 1 4 ( 1 + ；) ( 1 + t 2 ) 1 1 1 】c l i i 备；一。， 川“怕属”驯b 2 促( 删舢怕一d ， 即( 2 3 ) 成立注意到 啦( = 一蚓以砰i 丽再s i n ( 讧砰可橱i m ) + c o s ( 以蔺耳两而) 谚( ) + j ； c o s ( 0 一r ) 蚓正蔺耳砑丁巧) ( f ，r ) 帆 4 ( 2 5 ) 同理可得 i i u 州”一s 而i | 妒j i ”。+ l l 妒l l 。一十z 。j j g ( r 川。，一：打 下证惟一性设“l ，u 2 是( 2 1 ) ( 2 2 ) 的两个解，则u = “1 一2 满足 u ( t ，o ) = 0 ，咄( z ，0 ) = o 由( 2 3 ) 可知忪( 。，刚m = o ，从而( 置t ) = o ，引理证毕 引理2 2 ( w a n ga n dc h e n 【1 0 】) 假设，( ) c ( r ) ，( o ) = o ，“日snl m ，且 = 【s + 1 ，s o ，则当j i 训i o o m 时， | | ，( ) | | a 茎耳，( f m ) i i | | h 。 其中虬( m ) 是依赖于m 的常数 引理2 3 ( w a n ga n dc h e n 【1 1 ) 假设s o ，m ) g ( 兄) ( e ：【s + 1 ) ，若“， 日5 n l ”，贝0 当i | n f | 。5n f ， f i l o 。朋时， | ，( “) 一，( ”) | | 玎s 配( m ) | | “一”| | h 。 其中( m ) 是依赖于”的常数 下面我们假定，( o ) = o ，否则可以用，( ) 一，( o ) 来代替，( u ) 假设s ，l p 伊 妒h ”2 ，考虑具有范数 x ( r 厂渤( ) 怯+ b 。) 的b a n a c h 空间x ( ) = e ( 【o ，卅，日8 ) ng 1 ( o ，明，h 。一2 ) 的子集 y ( 丁) = ( “x ( t ) 叫m ) m n ) ， 其中 m 2 ( f 互+ 。属+ ，) 一怯州m b 一。 显然对任意的t o ，y ( 丁) 是x ( 丁) 的一个闭凸子集由s o b 0 1 e v 嵌入定理可知对任意的 “x ( t ) ，“l o 。且j u i f pse l i nj i 伊 对y ( t ) ，考虑线性波动方程的c a u d l y 问题 “+ o 一p 口( 一) 十7 u “= ，( ) 。， ( 2 6 ) “( 。，o ) = 妒( 口) ， u t ( z ，o ) = 妒( z ) f 2 7 ) 由引理22 可知，( ) 。：l 1 ( o ，t ；日8 2 ) ，因此由引理2 1 可知问题( 26 ) ，( 2 7 ) 存在惟一解 “2s g ( o ，卅，伊) 下面证明对适当的t o ，s 是y ( 丁) 上的压缩映射 引理2 4 假设s ，妒，妒h 。，且，g + 1 ( r ) ，则当t 充分小时，s 是从 y ( r ) 到y ( 丁) 的一个压缩映射 证明：首先证明当丁充分小时，s 映y ( 丁) 到y ( t ) 设 y ( t ) ，由引理2 2 易知 i f ，( ) 。l i 邪一z - ( n ) f | 叫1 1 日。 于是由引理21 可知“= s g ( o ，卅，8 ) n a l ( o ，卅，h 一2 ) ，且 “俐卅。、，十：( 删m 十z 咄硎，z 打1 s4 妒| | 日5 + 2 、1 + ：( 1 + t ) 川妒i i 。+ l ( m 口) m n 卅， i f 地l l h 一墨、n + ；+ 7 m l + m h 一+ 硒( m ) m n z 因此 肛恢( f 瓦十z 僻+ ，) 川属z 础伽舭 取? 足够小，使得 1 + 2 甄( m n ) 肘了1 t 1 ， ( 2 8 ) 则得| | s 训| | x ( ? ，) 2 m o ，因此s ( y ( 丁) ) cy ( t ) 下面证明，当t 充分小时，s 是y ( ? ) 上的一个压缩映射，设，西y ( 丁) ，问题 ( 2 6 ) ，( 2 7 ) 对应的解分别表示为“= s ，i = s 面，记u = u 一面，： 一面，则u 满足 以c + 。巩一一卢日( e ，嘉z ) + 7 。= ，( ) ，( 面) 】。，( 29 ) u ( z ，o ) = o ，阢( z ，o ) = o 由引理2 1 和引理2 3 ，可得 f 2 1 0 】 “。 - + ：( - z 咄。，( 毗川，。打 s2 、1 + ：( 1 + t ) 尬( m 。) t 黝h p 2 川m ) 一施) 舶一d r 凰( m n ) 丁普器洲w 协 j u十c n 刊“ 选取丁足够小，使得( 28 ) 式成立，且 厂t， 3 、1 + 言( 1 + 丁) 娲( m n ) t ；( 2 1 1 ) 则s 是y ( 7 1 ) 上的压缩映射引理证毕 利用引理25 和压缩映像原理，可以证明如下定理 定理2 1 假设s j ，妒胛，妒8 ，且，g m + 1 ( r ) ，则问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 有惟一 的局部解“g ( 0 】蜀) ，h 5 ) ng 1 ( 0 ，蜀) ，日8 2 ) ，其中 o ，) 是解的最大存在区间进一步， “等p 叫 怕十b 2 】 0 ，则s 有惟一的不动点 “( z ，) y ( 印，它是问题( 11 ) ，( 1 2 ) 的强解 下面，我们首先证明，对任意的f o ，方程( 1 1 ) ，( 12 ) 在y ( t ，) 上至多有一个解 事实上，设l ( z ，) ，2 ( z ，) y ( t 7 ) 是方程( 1 1 ) ，( 12 ) 的两个解。则 协就：i 竺地k h h 咱k - f ，h z 由引理2 1 和引理2 3 可得， 肌，飞怕删属( 1 + 曲z 叫一m 。k 怕。打 z 弼( 圳z 一划b 打 7 根据g r o n w a l l 不等式可知，i l u l 一2 f 驴= o ae ，即( 11 ) ( 1 2 ) 在l ，( r ) 上至多有一个 解 其次，设f o ，) 是( 1 1 ) ，( 1 2 ) 解的最大存在区间，我们只须证明若( 2 1 2 ) 成立，则 死= o o 设晶 o 是问题( 11 ) ，( 1 2 ) 的解的最大存在时间，则丁 o 。的充要条件是 “1 鲁严 怯2 。 ( 3 1 ) 证明：如果( 3 1 ) 成立，则由s o b o l e v 嵌入定理可知 1 1 巴磐p 川“( 刚伊+ i h | jh s 一。】= o 。， t t t 因此丁 o 。下面我们证明当s “p c 【。，t ) ( 洲p = m o 。时，t ：。事实上，由引理 22 可知 f i ，( n ) 。1 1 日一：托( m ) l l n i l 圩。 从而，由引理2 l 可得 帅川“挑川 z + ：( ，刊( 一z + 厅m ) 圳，。打) 怕怕s + 。 + ：( ，十t ) ( 忡怯一+ ( m ) z 。恤( 州b d r ) ， 利用g r o l l w a l l 不等式可得 胁怕却刚卅。乏”丁川训，z ) e 。衙切剐岬( 3 。) 再由 扣 。+ ：刊挑川一+ z 州k 。打 、。+ ：+ 7 i i 妒i i 。，+ | | 妒i i 。一。+ 凰( m ) ，。f f 。( ，) | | 月，打， 和f 3 2 ) 可知 l 鼍粤p 川“( 圳m + i | | 伊一。j o 。 t r 。 因此由定理2 1 得到问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的解珏a ( 0 ，邪，日s ) na - ( o j 卅，俨一z ) 是整体解 定理证毕 9 引理3 1 假设，( ) e ( r ) ，f ( u ) = 臂，( s ) d s ，妒h 1 ，砂日_ 1 且f ( 妒) l 1 则 问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的解“g ( o ，t ) ，日1 ) n g l ( 【o ，t ) ，h 。) ，且对任意的t o ，丁) 有 e ( ) 兰“t i i 刍一。+ 删i l 训1 备。+ 卢1 1 钍1 1 备。+ 吖1 1 b + 2 f ( 钍) d z = e ( o ) ( 33 ) 证明利用方程( 1 1 ) ，直接计算可得 爰口( ) = 2 ( 2 血面) + 2 q ( 盱n ，吼) + 2 卢( 脚，吼) + 2 7 ( n ，讯) + 2 ( m ) ，t ) = 2 ( i 引2 由“十o i f 2 砬+ 湾f 也+ 丁a ，吼) 十2 ( ，扣) ，u t ) = 一2 ( ，( “) ，觑) + 2 ( ，( ) ，毗) = o 其中( ，- ) 表示l 2 空间中的内积将等式( 34 ) 在区间 o ，甜上关于积分，即得( 3 3 ) 引 理证毕 定理3 2 假设s l ，妒h 。，妒何4 2n 日一，尸( 妒) l 1 ，( “) g 【卅+ 1 ( 兄) ，且 f ( ) o 或，( ”) 是下有界的，即存在常数月。，使得对u r 有，7 ( u ) a o 则问题 ( 1 1 ) ，( 12 ) 存在惟一的整体解“g ( o ，。) ，伊) ng 1 ( o ，o 。) ，h 3 2 ) 证明，由定理3 1 ，只需证明c a u c h y 问题( 1 1 ) ，( 12 ) 的解u ( z ，t ) 的l 。范数不在有 限时间b l d w _ u p 设u e ( o ，r ) ，8 ) ne 1 ( 【o ，r ) ，h 5 2 ) 是c a u c l l y 问题( 1 1 ) ，( 12 ) 的解， 【o ，t ) 是解的最大存在区问 若f ( “) 兰o ，则由( 3 3 ) 可知 | f 毗i i 刍一。+ q | f 训j 备。+ 卢| j “i | 备。+ 7 f f uj 1 2 。e ( o ) ， o ，t )( 34 ) 若，( ”) 是下有界的，设如( “) = ，( u ) 一“，= m i n a o ，o ( o ) ，刚，j ( o ) = o 矗( n ) 2 厂7 ( “) 一o o ，o ( “) 是单调递增函数，因此( “) = j ；：，0 ( s ) d s o 利用( 3 3 ) 并注意到 f ( “) = z “，。) d s = z “【如。) + s d s = 昂( “) + 鲁“2 ， 1 0 可得 i l 盹i i 刍，十o i i “i i 备，+ 卢i i 训i 备。：+ 7 i i “i l i 。 e ( o ) 一| 2 r e e ( o ) 一a o l l 妒| j 2 2 ( u ，u ，) c 打 ，0 = e ( o ) 一七o ij 妒1 1 2 2 七o ( j f l 也，i i 一1 矗，) d r j 0 r e ( o ) 一| | 妒1 1 2 一、厄 “( r ) i l 刍。+ “i l “，( r ) i i 备。 打， o ，了1 ) 利用g r o n w 出l 不等式可得 | | 毗| i 备一- + a i l “| | 刍，+ 卢| | u i i 备。门+ 7 ij i l 兰。( e ( o ) 一i i 妒1 1 2 ) e h 佃， 【o ，t ) ( 35 ) 不等式( 3 4 ) 和( 3 5 ) 保证了u ( z ，t ) 的日1 范数不在有限时间b l a w - u p 由s o b o l e v 嵌入定 理可知对r o ，j 即) o 时，存在一个1 如= 番裔使得当一l 时，( t ) 一。 ( 2 ) 当a l + a 2 o ，( o ) o ，( 0 ) 一恤，( o ) 时，存在一个1 t 2 使得当一“ 时，( 一o 。，这里饥，2 = 一a l 士钟+ 女a 2 ， 仁孺n 黼幻2 刁丽“1 面万再丽 定理4 1 假设，( ) g ( r ) ，f ( u ) = 譬，( s ) d s ，妒h 1 ，妒日一1 且f ( 妒) 厶1 ，存 在常数 0 使得对任意的咒有 ，( “) “s2 ( 2 七十1 ) f ( 札) 十2 七7 “2 ( 42 ) 若初值满足下列条件之一： ( 1 ) e ( 0 ) o ， ( 3 ) e ( o ) o ，( 1 f f 一1 妒，l r 1 妒) 、，丽f i 妒| | 膏一， 则c a u c i l y 问题( 1 1 ) ，( 12 ) 的广义解“( z ，) 在有限时间内发生b l o w u p 证明：假设问题( 11 ) ，( 1 2 ) 的解的最大存在区间是 o ，o 。) 令 邢) = f i 。n ( 训2 + 岛 + t o ) 2 ，( 4 3 ) 其中岛，如是待定非负常数则 ，m ) = 2 ( - 1 吐，蚓_ 1 也) + 2 岛o + o ) ， ，”0 ) = 2 ( 砬，i 引一2 n “) + 2 f i 一1 佤1 1 2 + 2 风 利用s c 1 w a t t z 不等式可得 ( ，7 ( ) ) 2 4 川f 引_ 1 矗旷+ 阮( + 如) 川f r l m | | 2 + 岛 因此，利用方程( 11 ) 和等式( 3 3 ) 可得 ( 4 4 ) ( 45 ) ，( ) ，”( ) 一( + 1 ) ( ，( ) ) 2 2 ，( t ) ( n ，i 引一2 也。) 一( 2 + 1 ) | | i l 一1 饥0 2 一( 2 + 1 ) 岛1 = 2 ，( ) 一忙，o i f l 2 n + 卢垮l 矗十，y + ，商) 一( 2 + 1 ) e ( o ) 十( 2 + 1 ) ( o i i “i i 刍- + 卢| | “i f 刍m 十7 | i “i | 2 。) 一( 2 女+ 1 ) 阮 + 2 ( 2 七+ 1 ) f ( ) d z f j 一。 j = 2 ，( ) 1 2 女陋| | 训f 斋。+ 卢i | “| i 备。) 一( 2 + 1 ) e ( o ) + 2 ( 2 + 1 ) f ( “) + 2 7 u 2 一，) “】d z 一( 2 女+ 1 ) 岛j j 从而，由条件( 4 2 ) 可得 ，( ) ，”( f ) 一( 七+ 1 ) ( ，7 ( t ) ) 2 一2 ( 2 七+ 1 ) e ( o ) + 阮j ，( ) ( 46 ) 若e ( o ) o ，则( 45 ) 成为 0 ) ，”( ) 一( 七十1 ) ( ，0 ) ) 2 o ， 又7 ( o ) o ，取。充分大使得，( o ) o ，则由引理4 1 可知存在个t 。舀斋使得当 。i 时，7 ( ) _ o o ，这与假定c a l l 曲y 问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 解的最大存在区间为 o ，+ 。) 矛 盾 若e ( 0 ) = o ，取风= 0 ，则( 4 5 ) 同样化为 又根据条件( 2 ) ，7 ( o ) o ，( 0 ) o ，则由引理4 1 可知存在一个2 器使得当。坛 时，( ) _ o 。，这与假定c a u c h y 问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 解的最大存在区间为【o ，+ o 。) 矛盾 1 3 若e ( o ) o ，取阮= o ，则( 4 5 ) 变为 ，0 ) ，”( f ) 一( 七+ 1 ) ( ，7 ( t ) ) 2 一2 ( 2 七+ 1 ) e ( o ) ，( t ) 定义j ( ) = ，“( t ) ，则 j 协) = 一r ( + 1 ( t ) 讹) ， ，”( ) = 一壳，。+ 2 ( 。) ，” ) ，( ) 一( 七+ 1 ) ( ( ) ) 2 f 4 7 1 2 女( 2 + 1 ) e ( o