北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》中的《双曲线的几何性质》PPT课件.ppt

1,双曲线的几何性质,北师大版高中数学选修2-1第三章圆锥曲线与方程,2,一、教学目标：、掌握双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴、离心率；、掌握双曲线标准方程中a、b、c、e之间的关系。二、教学重点：双曲线的几何性质；难点：双曲线的渐近线。三、教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导启发讨论探索结果，引导学生直观观察归纳抽象总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力四、教学过程,3,我们利用双曲线C的标准方程来研究双曲线的一些几何性质.,1范围：,由方程可得，双曲线C上任意一点的坐标(x，y)都适合不等式,4,即xa，或xa.,因此双曲线C位于两直线x=a和x=a所夹平面区域的外侧。,2对称性：,类似于对椭圆对称性的讨论，可知双曲线C分别以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，双曲线的对称中心又叫做双曲线的中心。,5,3顶点：,在方程中，令y=0，得x=a，可知双曲线C与x轴有两个交点，分别是A1(a，0)，A2(a，0)，如果令x=0，得y2=b2，这个方程没有实数根，说明双曲线C与y轴没有公共点，双曲线与它的对称轴的两个交点叫双曲线的顶点。,6,如图，双曲线C的顶点是A1(a，0)，A2(a，0)，这两个顶点是双曲线两支中相距最近的点。,线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，同时在y轴上作点B1(0，b)，B2(0，b)，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b.相应的a，b分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长。,7,4渐近线,观察图中方程所表示的双曲线C，在直线x=a的右侧，当x逐渐增大时，双曲线的右支向右上和右下逐渐延伸；在直线x=a的左侧，当x逐渐减小时，双曲线的左支向左上和左下逐渐延伸。,我们再进一步分析双曲线的这一变化趋势，不妨先考虑它在第一象限内的那一部分，,8,这一部分的曲线的方程可以表达为,由于xa0，可知,又因为b0，所以,这说明在第一象限内，双曲线C上的任意一点M(x，y)总是位于直线的下方.,过点M作平行于y轴的直线，设它与直线相交于点P，则,9,因为当xa时，,随着x的增大而增大，,可知当x越来越大时，|PM|越来越接近于0.这说明当点M以双曲线C的顶点A2开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点A2时，点M和直线就越来越接近。,10,由此可见，此双曲线右支向右上方无限延伸时，它总在直线的下方，且与直线越来越接近，但不会相交。,根据双曲线的对称性可知，双曲线C向外无限延伸时，总是局限在由直线和直线相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个区域内，并与这两条直线无限接近，但永远不会与这两条直线相交。,11,直线和直线叫做双曲线的渐近线。,5离心率,双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率。,因为ca0，所以e1，e越趋近于1，由等式c2a2=b2，可得,12,因此e越大，也越大，即渐近线的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，,双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔。,13,例1已知双曲线的焦点在x轴上，中心在原点，如果焦距为8，实轴长为6，求此双曲线的标准方程及其渐近线的方程。,解：由已知，得2c=8，2a=6，因此c=4，a=3，b2=c2a2=7.,又因为双曲线的焦点在x轴上，因此双曲线的标准方程是,双曲线渐近线方程是,14,例2求双曲线16x29y2=144的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标及渐近线方程。,解：把双曲线方程化为标准方程,由此可知，实半轴长a=3，虚半轴长b=4，半焦距c=5，,因此实轴长2a=6；虚轴长2b=8；顶点坐标是(3，0)，(3，0)；,焦点坐标是(5，0)，(5，0)；,渐近线方程是,15,例3一双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为24m，上口直径为26m，下口直径50m，高为55m，在所给的直角坐标系中，求此双曲线的近似方程(虚半轴长精确的0.1m)。,16,解：在给定的直角坐标系中，设双曲线的标准方程为,由已知冷却塔的最小直径AA=24m，上口直径CC=26m，下口直径BB=50m，可知a=12，点B、C的横坐标分别为25，13.,设B、C的纵坐标分别为y1，y2，其中y10，因为B(25，y1)，C(13，y2)在双曲线上，,17,所以,因为塔高为55m，所以y2y1=55，即,因此双曲线的近似方程是,解得b24.5，,18,例4已知双曲线的渐近线方程为y=,并且焦点都在圆x2+y2=100上，求双曲线的方程。,解：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程是,因为焦点都在圆x2+y2=100上，所以c=10，,又双曲线的渐近线方程为y=,19,所以,由,解得,所以双曲线的方程是,20,当焦点在y轴上时，设双曲线的方程是,因为焦点都在圆x2+y2=100上，所以c=10，,又双曲线的渐近线方程为y=,所以,解得,所以双曲线的方程是,由,21,例5双曲线(a1，b0)的焦距为2，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(1，0)到直线l的距离之和sc，求双曲线的离心率e的取值范围。,解：直线l的方程为,即bx+ayab=0，,22,由点到直线的距离公式，且a1，得到