（流体力学专业论文）感潮河流水环境容量总量控制的反问题方法及应用研究.pdf

摘要 根据上游污染物的排放情况和河流的水文环境，推算下游监测断 面的污染物浓度，判断该水域的水质是否符合规定的标准，这种方法 可以定量地描述河流污染物的运动情况，但不便控制河流的污染程 度，而控制河流的污染程度恰是环境保护的关键所在。 基于这一点，将下游污染物浓度控制在国家或地方规定的标准之 内，以控制为出发点，运用反问题的研究方法，求解污染源的排量限 定值，方便了对环境容量的控制。 本文针对感潮河流点污染源总量控制的要求，采用变尺度一脉冲 谱优化法求解对流扩散方程的源项，成功地得到感潮河段点污染源总 量控制的优化结果，并通过算例进行了验证；然后根据有关资料计算 黄浦江干流从米市渡到吴淞口的点污染源最大容许排量情况，并给出 了水环境容量总量控制的评价和建议。 关键词：反问题；感潮河流；变尺度一脉冲谱优化法；点污染源 a b s t r a c t a c c o r d i n gt ot h ed i s c h a r g i n gp o l l u t i o no fu p s t r e a m ，t h ep r o c e s st h a tp r e d i c t i n g t h ew a t e rq u a l i t yo ft h er i v e rd o w n s t r e a mf l o wi sap o s i t i v ep r o b l e m t h em e t h o do f t h ep o s i t i v ep r o b l e mc a nf o r e c a s tw a t e re n v i r o n m e n t ，b u ti sd i f f i c u l tf o rt h ec o n t r o lo f r i v e re n v i r o n m e n t a lc a p a c i t y b a s e do nt h e v i e w p o i n t ，t h e r ei s an e wm e t h o df o rt h ec o n t r o lo fw a t e r e n v i r o n m e n t a l c a p a c i t y ，t h a ti s ，s o l v e t h e d i s c h a r g i n gp o l l u t i o n v a l u e t h r o u g h l i m i t i n g t h er i v e r p o l l u t a n t s c o n c e n t r a t i o ni nt h en a t i o n a lo rl o c a l g o v e r n m e n t s t a n d a r d so fw a t e re n v i r o n m e n t a l c a p a c i t y i nt h i sp a p e r ，am o d a lf o rt i d a lr i v e rw a t e re n v i r o n m e n tc a p a c i t yg l o b a lc o n t r o l w a sm a d ea n da ni m p r o v e dm e t h o df o r s o l v i n g t h et i d a lr i v e ri n v e r s ep r o b l e m ，t h a ti s t o t a l c a p a c i t y c o n t r o lo fp o i n ts o u r c e p o l l u t i o nw a sp r e s e n t e d t h en e wm e t h o d c o m b i n e d 、a r i a t i o n a ls c a l eo p t i m a lm e t h o d ( b f g s ) a n dp u l s e s p e c t r u mt e c h n o l o g y ( p s t ) b a s e do nt h em o d a la n dm e t h o d ，ac o m p u t i n gs u p p o r t i n gs y s t e mh y d r a n t oi s c r e a t e db yu s b y u s i n gt h es y s t e m ，w ec o m p u t a t e dt h eh u a n g p ur i v e r sm a i n s t r e a m m a x i m a i z e dc a p a c i t yo f p o l l u t i o nd i s c h a r g i n ga n dc o m p a r e dt h er e s u l tw i t ht h ed a t a o b s m v e dac e r t a i ny e a r ，t h ec o m p u t a t i n gr e s u l ts h o w st h a tt h em e t h o di s e a s ya n d e f f e c t i v e ，h a sg o o de f f i i c i e n c ya n de x p e n d sl e s st i m e a tt h ee n do ft h i sp a p e r ， d e v i c eo f fh o wt oc o n t r o l lt h et o t a l c a p a c i t yo ft h eh u a n g p nr v i e r sp o i n ts o u r c e p o l l u t i o n w a s p r o p o s e d ，w h i c h i sf o rt h ed e c i s i o no fr e l a t e d g o v e r n m e n t a l d e p a r t m e n t k e yw o r d s ：i n v e r s ep r o b l e m ；t i d a lr i v e r ；b f g s p s tm e t h o d ；p o i n ts o u r c e p o l l u t i o n 上海大学 x6 7 8 0 7 8 本论文经答辩委员会全体委员审查，确认符合上海大学硕士学位 论文质量要求。 答辩委员会签名： 主任：是都葛 羰：硒 竞毅土矧电承乏 趱、丘与桴 谢少名别厄瑶7 上两夭芬 导师： 乏童以 答辩日期：一 ，宁9 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期型二! ：! y 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：，堑巡童导师签名：丕迄量望日期：2 丝! ：三：! 兰 上海大学硕士学位论文 第一章前言 第一章前言 1 1 研究背景和意义 随着社会发展和科技的进步，环境问题正在得到越来越多的关注，环境保护 得到了各国政府的大力支持。在各种环境问题中，水环境容量闽题是一个比较活 跃且有重大意义的环保问题。水环境容量是指水体在规定的环境目标下所能容纳 的最大污染物量，它反映了污染物在环境中的迁移、转化和积存规律，也是水环 境在满足可持续发展条件下对污染物的承受能力，其容量大小与水体特征、水质 目标及污染物特性有关。 目前，一般采用枯水期9 0 保证率的设计流量来计算水环境容量，关于这方 面的研究成果已有很多，发挥了很好的效益，并已获得一致公认和广泛应用。相 应水环境容量是一个稳态水环境容量，能够保证在较小的流量条件下，河流水质 达到要求的水质标准值。但是，关于感潮河流水环境容量计算方法方面的研究国 内尚不多见，多为研究河流的稳态水环境容量【1 】。 因此，随着人们剐环境保护和可持续发展的认识不断提高，已经不再满足于 水流中污染物扩散规律的单纯预测和分析，而希望能够控制污染源的总体排放 量，以期更好地服务于生存环境和建立可持续发展的机制。 1 2 研究内容 我们要研究的问题是：对直排点污染源给出总量控制及评价方案。所谓总量 控制，就是求解感潮河流水质达到国家水质标准的情况下，河段所有直排口的排 放总量最大值，也就是要求一个水质达标下的最大排放总量。这实质是一个最优 化问题( o p t i m a lp r o b l e m ) 。 感潮河流水流运动复杂，流态不稳定，流向多变。水位、流量、水质受潮汐、 径流、污染源、水文水质边界和水利工程运行等因素的多重影响河流稳态水环 境容量的计算，只有在河流实行全控制，才符合实际，没有周密考虑水量水质调 控、边界水质和河道水质目标之间的相互联系和影响。如果在河流中各河段规定 的水质目标不一致，那么水环境容量的计算会园非恒定的水流运动，受多种因素 制约而变得相当复杂。为此，本文根据感潮河流水环境的特点，建立了适应性强、 上海大学硕士学位论文 第一章前言 快速高效、有实用推广价值的河流水环境容量计算方法。 本文以感潮河流为研究对象，研究河流水质达到国家标准的情况下，点 污染源容许排放的最大污染物总量即水体的最大环境总容量。这是计算感潮河流 点污染源排量总体控制的一种新方法，它可以为改善水环境提供科学依据及供有 关部门决策参考。 1 3 国内外研究现状 1 3 1 水环境容量及水质控制方面的研究 唐亮等( 2 0 0 0 ) 1 2 1 就水环境控制规划问题提出了解决方案，他们认为水环境形 势恶化，未来有加剧趋势，其根本原因在于十分有限的水环境容量与逐年加重的 水污染负荷之间的矛盾。针对这一根本原因，提出了水环境控制规划的两点基本 思路；一是削减污染负荷，二是调整负荷的空间分布，确定了控制规划的基本思 想，采用生态工程与二级污水处理厂相结合而以生态为主导的污水多元集中处理 原则，环境容量跨水域平衡原则。从动态规划的角度提出了控制方案。 顾珏蓉，徐祖信，林卫青( 2 0 0 2 ) 3 1 在m i k e l l 模型的基础上立了以苏州河及 其支流为重点的全市感潮河网水动力数学模型，模型在天然河网的基础上、以骨 干河道为基础、进行合理的河道和湖泊概化，并将上海市河网水系划分为1 4 个 水利片，分片考虑区域降水径流对河网水量的影响。模型可应用于水系水量调度 分析及非点污染源分析，并对对苏州河沿岸泵站雨天溢流进行模拟计算。结果表 明，建立的苏州河水系水动力模型可为苏州河整治工程提供科学决策工具。从水 动力学模型的角度对控制进行了探讨。 徐贵泉，吴祖扬等( 2 0 0 0 ) 1 】对感潮河网水环境容量和污染物允许排放量的概念 进行了分析，考虑了感潮河网水环境容量的时空动态变化及其影响因素，提出了 基于感潮河网水质模型的水环境容量数值计算方法。该方法不仅反映了在感潮河 网地区水流运动复杂、流态不稳定，流向多变的特点，而且反映了感潮河网水环 境容量受边界水质变化、河段水质目标不一致、水利工程运行等多种因素影响下 的时空变化规律。该方法经过实例计算验证，效果良好。 1 3 2 感潮河流方面的研究 国内外以感潮河流为研究对象的文献很多，这些研究从各个不同的角度阐述 上海大学硕士学位论文 第一章前言 了感潮河流的水动力学特征或水环境容量规律。例如有研究泥沙运动规律的，如 邓志强，褚君达( 2 0 0 2 ) 4 】阐述水环境系统中泥沙污染的研究进展，总结泥沙颗粒 的组成及其物理化学性质，水环境系统中污染物在泥沙颗粒及底泥中的吸附解吸 机理，定量计算，及水动力学模型，并对今后的研究方向进行展望。 1 3 3 反问题方面的研究 西安理工大学的闵涛等于2 0 0 3 年下半年发表了2 篇文章。一篇发表于水 利学报2 0 0 3 年1 0 月期的河流水质多参数识别反问题的演化算法，做的是 参数识别反问题，用演化算法识别参数流速u 、弥散系数d 、自净系数k 。另一 篇发表在水动力学研究与进展a 辑第1 8 卷第5 期，2 0 0 3 年9 月的河流水 质纵向弥散系数反问题的迭代算法，做的还是参数识别反问题，用算子识别摄 动法识别参数纵向弥散系数e 。 王佳鹤，金忠青( i 9 9 7 ) 5 】提出了一种求解流体力学参数控制反问题的新思路 控制论方法。将流体力学参数控制反问题纳入控制论范畴，提为分布参数系统的 最优控制问题，并提出应用计算机辅助优化法实现求解。并以一个矩形坝非均质 渗透系数反演问题为例，用所提方法进行了求解。研究结果表明，应用控制论方 法求解参数控制反问题是合理可行的，是研究反问题的新思路。与其它参数控制 反问题求解方法相比，用计算机辅助优化法求解参数控制反问题简单易行，且适 应性强，为拓广流体力学参数控制反问题的工程应用提供了可能。将控制论引入 流体力学反问题求解中。 金忠青等原来对无支流非感潮河道的一维点源控制反问题求解方法进行了 探讨【2 】，也做过河流糙率的参数率定反问题【6 。韩龙喜等关于河流反问题的主要 有3 篇，属源项控制反问题类型。1 水利学报2 0 0 1 年1 0 月期的河流地区 水环境规划中的污染源控制方法，用简约梯度法求解河流的单元水质模型的源 项；2 河海大学学报2 0 0 1 年9 月组合单元水质模型中的边界条件及污染源 项反问题采用局部基本解展开算法对水质边界浓度( 或污染源源强) 反问题进 行了求解。3 水科学进展2 0 0 1 年3 月河道一维污染源控制反问题，用遗 传算法求解了一个以污水处理费用最小的源项控制反问题。 王佳鹤，金忠青，膦- ( 1 9 9 7 ) 6 1 作为应用控制论思想研究流体力学反问题 的一个起步，提出将控制论中积分方程描述的分布参数系统的最大值原理，推广 上海大学硕士学位论文 第一章前言 应用于反问题的求解中，从而得到一种求解反问题的新方法。并以一个地下水污 染控制问题为例，用所提方法进行了求解研究结果表明，与其它反问题求解方 法相比，该方法具有简单易行的优点，且适合于一大类可由积分方程描述的分布 参数系统反问题的求解，是从控制论角度研究反问题的一个好的开端。 武汉水利电力大学的李兰等发表了5 篇关于反问题的文献。1 水科学进展 1 9 9 8 年9 月，水质反问题模型的时域频域算法，比较了时域、频域两种算法 计算出来的分布参数m 、( 就是弥散系数) ；2 水利学报1 9 9 8 年6 月，水质 多参数辨识与反演算法，超定方程最小二乘法和正则化方法用于参数识别；3 武汉水利电力大学学报1 9 9 8 年第4 期，动态水质模型中e ( x ) 和k ( x ) 的反 演算法，用p s t ( 脉冲谱方法) 方法识别了两种分布参数纵向弥散系数e 、自 净系数k ；4 武汉水利电力大学学报1 9 9 6 年1 2 月，一维对流离散方程反 问题的数值解法与应用，用差分、p s t 、正则化方法识别参数纵向弥散系数e ： 5 水电能源科学1 9 9 5 年1 2 月，河流水质常微分方程反问题模型与参数识别， 在常微分反问题理论的基础上建立水质常微分反问题理论和模型，还是一种参数 识别反问题。他们最新的一篇文章是2 0 0 0 年3 月水电站设计，三峡工程施 工期坝下游河段水质评价与自净规律研究，做长江自净规律的。 其他的还有一些研究人员，从数学方程的角度即从微分方程反演的数学原理 出发探讨了微分方程反问题求解方法。如湖南大学的彭亚新、中国地质大学的刘 家琦等。 c r a i a n a v a k a ，s s a m a r a s i n g h ea n dd k u l a s i r i ( 2 0 0 2 ) 1 7 l 用a n n 人工神经 网络求解地表水反问题，他们建立了3 种不同的人工神经网络模型并进行数值计 算，比较了各自的优缺点，结果表明a n n 可以精确地模拟非恒定径流的反问题。 r a n j i t h a n e ta 1 ( 1 9 9 3 ) ，r o g e r se ta 1 ( 1 9 9 4 ) ，c o u l i b a l ye ta 1 ( 2 0 0 1 ) 等成功地将a n n 模型做了地表水方面的应用。 a l l a nd w o o d b u r y ( 2 0 0 2 ) 从数学方程的反演方法上进行了探讨，m a n d a c h e 等( 1 9 9 9 ) 对热方程的反问题作了研究，但是有关感湖河流的源项控制反问题方面 的文献较少。 j r c a n n o n ( 19 9 8 ) 8 1 在s i a m 发表有一些关于水流反问题方面的文章对不确定 源项的热方程反问题，非线性扩散方程反问题从数学偏微分方程求解的角度做了 圭童盔兰雯主兰垡堡壅 苎二皇! 童一 研究 射。 总之，从目前的研究现状来看，做河流参数识别反问题的稍多，而源项控制 反问题的较少；针对感潮河流的也很少。理论探讨的居多，实际应用的较少。 1 4 本文的主要工作 针对本文拟研究的问题，我们首先把要求解的优化问题转化为反问题，从目 前的源项控制反问题的研究方法来看，总体思路还是给出控制量的初猜测值，根 据这个猜测计算出要评价的目标量是否满足目标，如果不满足就调整控制量的 值，直至目标满足为止。 以前大部分的方法都是试探性的增减( 试算法) ，但是这种算法的最大弊端 就是增减控制量的时候带有很大的盲目性，一是方向盲目，没有一个指向目标的 明确方向，二是步长盲目，程序实现的时候很难根据评价量离目标的远近动态调 整控制量增减的步长，即如果评价量离要达到的目标的远，不会调大控制量增加 的步长，评价量离目标近，不会调小步长。所以这种方法效率很低，对于稍微复 杂一点的反问题几乎没有实用价值；而且不易达到一个总体控制的目标。 经过多方面的调查研究，文献检索以及向国内外有关专家咨询和交流，确认 采用反问题研究方法，是一种直接研究水环境容量的、极有发展潜力的方法。在 反问题的多种研究方法中，以源项控制反问题的变尺度优化解法较好。变尺度优 化法是从牛顿法改进出来的一种很好的求解反问题的方法。它不仅有明确的寻优 方向，即沿梯度的方向搜索目标，而且变尺度，即步长可以根据目标函数对自变 量梯度的大小动态调整，梯度大，说明控制量的当前值离目标较远，就调大步长， 使控制量的值很快从目标远处调到接近目标值处，如果梯度小，就调小步长，使 控制量的值缓慢变化，整体协调多个自变量之间的比例以达到最优解。这种方法 很好地解决了试错法的弊端，具有很高的效率，在p e n t i u m2 - - 3 0 0 m h z 的计算 机上实际运算耗时只不过3 0 秒( 包括边界条件的输入、水动力学参数的求解和 排量总体控制反问题的求解) 。这种方法从理论上讲也是只要2 3 次迭代就可以 达到目标精度，实际情况可能会多一些，这与计算误差有关。 我们针对黄浦江水环境这个具体问题，经过深入的研究和算例计算，提出了 一套合理的数学模型，并将变尺度优化法和脉冲谱方法巧妙地应用于此问题，得 到了较好的结果和较高的效率。同时开发了一套针对黄浦江点污染源总体控制的 上海大学硕士学位论文 第一章前言 计算支持系统h y d r a u t o ，可联立水动力学方程和水质方程进行求解，为用户使用 和研究提供专业支持，也为进行点源总量控制决策提供依据，还为进一步解决感 潮河流地区水环境容量总体控制奠定了基础。 本文的主要工作如下： 建立了感潮河流水环境容量总量控制的数学模型和控制方程； 建立了改进的脉冲谱方法即变尺度一脉冲谱优化法，通过算例进行了验证； 建立了黄浦江计算模型，应用该模型计算了黄浦江干流从米市渡到吴淞口的 水环境容量总量控制优化问题。 全文共分四章。第一章对本文的研究背景、意义、现状及主要工作做了概述。 第二章探讨了感潮河流点污染源源项控制反问题的一般解法和本文采用的改进 脉冲谱法：变尺度一脉冲谱优化法，并通过算例进行了校核。第三章针对黄浦江 建立了计算模型，并应用该模型对黄浦江点污染源总量在控制问题进行了计算。 第四章给出结论并做了展望。 6 上海大学硕士学位论文 第二章感潮河流水环境容量总量控制反问题 第二章感潮河流水环境容量总量控制反问题 2 1 概化模型 对平原宽浅型的感潮河流，长度尺度相对于宽深两个方向的尺度而言很大， 而且已有的研究表明，污染物在横向和深度方向的扩散很快，因此在研究河道的 总体排量控制问题时，可简化为一维模型。于是概化出如下水力模型， c o 1f 丘 长l2 图一1 感潮河段概化图 如图- 1 所示，设一感潮河段长为l ，其上分布了q 个点源矗( f i f 2 ，f q ) ，c o 为上游边界断面污染物浓度，c l 为下游边界断面污染物浓度，c b 为初始时刻河 段的污染物浓度( 即本底值) 。对于感潮河流，我们约定1 - 1 断面为上游边界断 面，2 - 2 断面为下游边界断面。求解的问题就是使得该河段达到国家水质标准时 的q 个点源排放总和最大。于是问题就概化为求解每个河段在达到预定水质标准 的情况下，这些点源的排放总量最大。 2 2 控制方程 以上水力模型的控制方程为： 连续陛方程o 矿a 警= 。 7 上海大学硕士学位论文第二章感潮河流水环境容量总量控制反问题 程鲁+ 昙( 矧+ 罢+ 粤= 。 ( 2 ) 扩散方程 _ o c + “篓：e 窑+ ：如。c (3)dtoxo x 一 连续性方程和动量方程即一维非定常圣维南( s a i n t v e n a n t ) 方程组。 其中 a ：过水断面面积1 1 1 2 t：时间s q ：断面平均流量n l 3 s x ：纵向长度m a ： 动量修正系数，无量纲数，取常数1 z：断面平均水位m g：重力加速度m s 2 c ：污染物浓度k g m3 m g 几】 u ：断面平均流速m s e ：纵向离散系数m2 s k i ：降解系数s 。 z ：源项k g ( m 3 s ) m r , ( l s ) j ，实际不是简单求和，而是点源脉冲序列 k ：流量模数m2 s ，选用经验公式k ：1 a r 2 3 r：水力半径m n ：糙率 该控制方程的定解条件如下： 初始条件 f q ( x ，o ) = 妒( x ) z ( x ，o ) = 庐( x ) i c ( x ，o ) = c 6 其中，p ( z ) ，o ( x ) 是初始的流量、水位值；c b 为初始时刻污染物浓度，即本底值。 对于初始水位、流量值，边界上已有实测数据；边界内部的节点，可用l a g r a n g e 8 上海大学硕士学位论文 第二章感潮河流水环境容量总量控制反问题 插值求出。l a g r a n g e 插值法：设两边界点的值为( x l ，y o ，( x 2 ，y 2 ) ，x l ，x 2 分别为位置 坐标数( 节点编号) ，y b y 2 分布为对应节点的水动力学参数如流量q 、水位z 或 者水宽b 等，那么两边界中间点的水位、流量等数据y 就可用如下l a g r a n g e 插 值公式求出： x 为节点编号 ( 4 ) i q ( o ，f ) = q o ( f ) l z ( t ，f ) = z ( f ) j c ( o ，f ) = c o 【c ( l ，f ) = c 其中，q o ，z l 有实测数据：c o ，c l 的选取根据我们假定的达标标准和河道两端 边界实际情况给出，对于不同的河段取值不同。 于是感潮河流水环境容量总量控制问题的提法用数学模型来描述就是在非 定常潮汐流作用下满足河流水环境的水质标准，所容许的最大排放量，即 目标： 排放1 最大m a x ， 约束： c j e 耐：河道水质c j 要达到预定标准c 。t d ，j l i a c + “等：e 石a 2 c + 邮 a舐缸2 。“ c ( x ，o ) = 巴 ( 5 ) c ( o ，f ) = c o c ( l ，f ) = c t 这是一个优化问题，可把它转化为源项控制反问题，然后用解源项控制反问题的 变尺度一脉冲谱优化法进行求解。 目标： m i n i ，= ( c j e h ) 2 - - ( c o 一巳) 2 + ( c 2 一e d ) 2 + + ( c t 一e d ) 2 j e l ( 6 ) 儿 嚣一再 y 件条界边 ：海大学硕士学位论文 第二章感潮河流水环境容量总量控制反问题 约束： 浓度c 满足对流扩散规律即方程式( 5 ) 一般地，如果给出f l ，f 2 ，f 0 的值求解浓度c 的分布规律，进而求j ，进 行水质评价，就是我们通常所说的正问题( 一j ) 。但是现在的问题是：事先并 不知道的值，而是知道j 的取值，通过j 求( j 一) ，这是一个典型的源项 控制反问题。 反问题如果不给定约束条件的话，会有无穷解。这里约束了j 必须最小，这 种约束实质是极值问题( 优化问题) 。所以整体看，这是一个约束条件为优化问 题的源项控制反问题。 这早构造的反问题和前面构造的优化问题是等价的。根据j 的表达式可知， 当j 取最小值的时候，河段不仅满足水质标准，即c j e “，而且保证了求出 的点污染源排量总和最大。这是因为- ，随着g 的变化而变化，= 以g ) ，而g 又 随着万的大小、分布不同而不同，q = 0 ( 国，并且q 随着石的增大而增大，即污 染物排量增大，河流中的污染浓度势必增大；当c ，增大到使l ，最小的时候，任 何一个点源或者说：再也不能增大了，否则超标；如果此时减小任何一个 点源f 的值也即减小g 可以达标，但是排放总量势必减少，所以这样算出来的 是保证河段达标情况下的最大总量。两组方程式等价。 2 3 反问题求解方法 2 3 1 变尺度优化法 变尺度优化法是一种拟牛顿法，该方法具有牛顿优化法的优点，适合多变量 优化问题，又不需要求解目标函数的二阶导数，因此简化了对复杂目标函数求解 二阶导数的困难，具有更广阔的应用前景。 2 3 1 1 变尺度算法的步骤 选择适当的初始点，即给出的寻优起点 计算搜索方向d = - - h + ( d s d t ) ，其中h 是h e s s i a n 矩阵( 变尺度矩阵) ，初 始化为i ( 单位矩阵) ：! ：塑查兰婴主堂望堡壅 笙三兰壁塑业堡! 塑! 量堂皇耋塑业! 旦堕 计算步长r 根据步长更新矩阵h ( 变尺度) ，更新h 采用b f g s 公式 继续搜索直至满足精度s d 、d j d f 、r 都是q 1 的列向量，每个向量的不同元素分别对应不同点源 的搜索方向、梯度和步长，h 为q x q 的矩阵，用于调整步长尺度。 注：b f g s 公式【13 】形式如下 k 一鬻，筹 s ( 1 1 ( _ y ( 女1 ) r h ( 女+ 日( y ( 女( ) r 7 ( s 。) 7y 上标( k ) 表示k 次迭代值，( k + 1 ) 表示k + 1 次迭代值，s 为两次迭代控制量的差值，y 为梯度差，上 标t 表示矩阵的转置。 两种公式都可以，我们采用b f g s 公式。变尺度优化法有着很高的效率，一般迭 代两、三次就可以收敛到需要的精度，这样的计算效率是传统的试算法无法达到 的，当未知污染源的个数q 增大时尤其如此。 2 3 1 2 应用变尺度法的关键 应用变尺度法的关键是找到目标函数对决定变量的变分c u d f ，这个变分是 用来求解变尺度中需要的搜索方向，而且在计算过程中的需要根据这个方向来调 整步长，如果这个值大，说明当前值距离目标的距离尚远，则步长也大；反之， 如果该值小，说明当前值距离接近目标，则步长变小，这样动态地调整步长，可 以快速而精确的得到目标。由于对流扩散方程是一个二阶偏微分方程，求变分较 困难，本文采用脉冲谱方法。 2 3 2 脉冲谱方法 脉冲谱方法( p u l s es p e c t r u mt e c h n i q u e ) 是t s i e n 和y m c h e n 于1 9 7 4 年 在求解一个流体力学反问题时提出来的，后成功地推广到其它应用领域。实践证 明，该方法不受方程类型和反问题类型的限制，是求解反问题的一种行之有效的 方法【1 4 】。 ! ：塑查兰塑主堂垡堡塞 笙三兰壁塑塑丝堡翌堡薹塑型茎重笙型! ! 旦里 2 3 2 1 脉冲谱方法的原理 时域频域 ，口一 i n p u t 图一2 识别参数a 为了识别某一系统中的某一参数，如图2 所示的参数a ，可以向该系统发射 某种信号( 如振动脉冲) ，信号将通过系统传播开去或者被反射回来，用适宜的 接受装置接受这些输出信号，然后通用数学方法分析这些信号，经演算求出待定 参数a 。 2 3 ，2 2 应用脉冲谱方法的关键 信号( 数据) 在时域中给出，而综合分析则在频域中进行。时域给出的信号通 过l a p l a c e 变换之后，变换到频域空间进行分析处理，根据频域分析的结果修正 时域的信号量，所以不需要进行l a p l a c e 反变换，频域分析的结果满足条件时的 时域信号量即为所求。 2 3 2 3 脉冲谱方法的求解步骤 l a p l a c e 变换，将要求解参数的方程从时域变到频域： 将n + 1 次迭代的未知量u ”分解成r 1 次迭代量u “与1 1 次迭代效率汉，” 之和，即u ”1 = u ”+ o - u ”，然后代入要求解的方程，分解为两组方程：n 次迭代方程和1 1 次小量方程； 从小量方程中解出变分。 2 3 3 变尺度脉冲谱优化法 本3 c ：1 哿变尺度优化法和脉冲谱方法结台，得到改进的脉冲谱优化法，即变尺 度脉冲谱优化法。传统的脉冲谱方法通常没有进行无量纲化，因此在解微分方 程时可能遇到尺度影响带来的求解困难。这里我们首先将微分方程无量纲化，消 除尺度的影响。令 卜海人学顺士学位论文第二覃感潮河流水环境容量总量控制反问题 p 为特征长度u + 为特征流速，c + 为特征浓度；同乘以石毛了后，反问题方程 变为： c 5 c 。箜e0 2 c 。，+ zk i l c 。 十“一= _ ：_ + ! ! o 一一 a f 。a x 。 u + 上a ( z 。) 2 c + u u + c 。 。，o ) = g c 。= q c 。( o ，t 。) = c o c + = g c 。( 只f 。) = c c = c ：( f = l l ) 其中c ：h = c 洲c l a p l a c e 变换采用如下公式： 巾) _ f 邝) e - s t 研 得 s c o c c o 硝等= 舞瓣t 雾 ，1+ c 。( o ，j ) = 三生 ，1。 c 。( r ，j ) = l k 。e c o u + ( 8 ) ( 9 ) ( 1 0 ) 三f 旦 = = p p 兰扩旷f i i | l 妒 一 y 一 g 触 i | ， = ，n m 上海大学硕士学位论文第二章感潮河流水环境容量总量控制反问题 目标函数j 变为 一_ v m i n j = j 。= ( c 一巴s ) 2( 1 1 ) j e o 然后将c ( 或f ) 的n + 1 次迭代值分解成c ( 或f ) 的第n 次迭代值和第n 次的小量 6 ( 7 ( 或矿) 之和，即 c ( n + 1 ) ：c ( 门) + 配( 九) 厂( 胛+ 1 ) ：厂( ”) + ( 胛) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 为简便起见，以下用c 代表无量纲数c 。拉普拉斯变换后的c 。，将上式代入拉 氏变换后的方程，并按量阶分为两组方程。一组是n 次迭代方程： 等硝警：订e 研8 z c ( n ) 丢喾每 c ( 胛) ( o ，。) ；鱼 c ( 竹) ( r ，。) ：堕 和n 次小量方程 簪加h 。譬= 南群七喾 a c ( n ) ( o ，j ) = 0 ( 1 5 ) 配( 即) ( r ，s ) ：0 最后从上述小量方程( 1 3 ) 中解出c 对的变分 等= r 。g 点s 砖寿d ； ， 其中0 孝兰l o 为积分变量。格林函数g 满足 4 圭塑查兰婴主兰壁鲨壅 篁兰一型塑堂堕堕塑塑塑垦堡里 f a o g ”+ a l g + 口2 g = 6 ( x 。一善) g ( o ，毒，s ) = 0 l g ( l o ，善，s ) = o 上式中 l 口。 a - i a z ( 1 7 ) 函数万( x ? 一善) 定义为： 万c x 。一善，= 三：；三； 于是 参= 豢雾；詈嘉茎c q - g ) g c 巧s ， c 鼬 这样就计算出目标函数对未知变量的变分，这个变分又作为变尺度的输入， 两个算法连成一体，故有时又被称为脉冲谱一优化法。整个计算过程中，为求解 c 对的变分，要计算格林函数，而利用变尺度优化法，每次要求求解检验断面 处的浓度c 。因此下面就分别对水动力学方程、水质方程及格林函数的求解进行 详细说明。 2 4 方程组的求解 2 4 1 一维非恒定流s a i n t - v e n a n t 方程的求解 有关一维圣维南( s a i n t v e n a n t ) 方程组的求解有很多研究，解法也比较成熟， 这些格式我们采用现有的大家公认较好并得到验证的解法，程序由作者采用新的 面向对象的语言编制而成。 2 4 1 1s a i n t v e n a n t 方程的差分离散 对于一维非恒定流圣维南( s a i n t v e n a n t ) 方程组采用p r e s s i m a n n 四点隐式格式 进行离散，该格式具有很好的稳定性和计算精度。对于这样一个一维问题，我们 南。号 一 “ s 上海大学硕士学位论文 第二章感潮河流水环境容量总量控制反问题 时间步长取5 m i n ，空问步长取1 0 0 0 m 。浓度c 的网格划分与圣维南方程差分格 式网格相同。 p r e i s s m a n n 四点隐式格式在每一个节点上同时求出流量和水位。此格式的差 分形式为： 甲( 列) = 罢( _ + 1 + 一) + j 1 l n ，+ ) 坐：臼垒里! ! 二坐+ a z止 a 甲，一+ i + 一 0 j - 二- _ 二 o t2 a t 鼍k q ： a x 式中、壬，= 、壬，”1 一、壬，”，口为格式系数，当取0 5 到1 之间时该格式无条件稳定。 于是可得： 连续性方程的差分形式： a u a q j + 日1 j 乙+ c u a q j 十1 + d 1 a z j + l = e 1 ， 式中 4 9 t a u 砜酾 b 1 ，= l q j 2 硬翻- r l t z a t d i ，= 1 一南蛾，一饼) 动量方程的差分形式： a 2 j a q j b 2 j z j + c 2 j a q j h + d 2 j z j “= e 2 j 式中 1 6 上海大学硕士学位论文 第二章感潮河流水环境容量总量控制反问题 4 j 防 删研 g b ：眩：+ tz j ) 乞苦矧k ：d z ：1 _ 1 + 坐a x 鬻a j 心驰眷 “ 1 。 k 7 1 2 i e 2 ， = 芸 一2 皆+ 班 删r 铡卜2晖五厂l 。 ：坐l 世+ 2 盟 a x l爿二1彳j 必丁筲 2 4 1 2 离散方程组的求解 二。乜鼻。一刁) + 9 0 二，+ 叫 一g o 二，+ 爿j ) ( z a ，一z j 刈 可采用追赶法( t d m a ) 求解上述流动方程的离散差分方程组。假定如下两个线 形关系式： q j = f j i z j + g i a z j2 h j i + i i i 2 j + t + j l 将s a i n t v e n a n t 方程组的差分形式代入后比较，可得如下关系式 h ： 二鱼 j a 、i f | b 、j 1 7 “川ij 月， 4+ 。一 、二p g 堕略鱼翰 n ，一 blv，堕幻 4 一 ：! ：塑查堂堡圭堂堡笙兰 苎三童壁塑塑鎏! 蟹至堑查里璺里丝型! 呈堕 d f ， ，t 2 一i l j f j 旦+ 一8 1 j 中等笺 a i j 十d 1 j + 12 一a h l j + c 2 ： 吨“2 面再瓦一 式中d = a 2 j + 占2 ， j 从上游边界到下游边界上一点。 根据已知的初始条件，再给出边界条件，上游给流量，下游给水位。 q o = 民z o 十g o ，设民= 0 ，则g om a q o ，然后利用上述循环计算式在追 的过程中求得系数q 、，、g j ，然后在赶的过程中求出笏“和z y 。 这样各点的水位流量数据就有了，同时通过q = u a 可算出每个节点不同时 刻的速度值，得到的速度作为水质计算的基础。 2 4 2 对流扩散方程的求解 对于拉普拉斯变换后的n 次迭代一维对流扩散方程( 1 4 ) 簪c 硝警：舞筹+ 喾每 c ( 玎) ( o ，s ) ：曼 c ( 聍) ( r ，j ) ：堕 式中c 为断面平均浓度，e 为纵向离散系数，u 为断面平均流速，k 为降解速率 系数，f 为源汇项。令 海大学硕士学位论文 第二章感潮河流水环境容量总量控制反问题 e 一矿了 a j 2 材。 旷h 等 6 丢喾+ 争 采用中心差分格式，差分方程为 其中 a l c j 。+ p l c j + y l c j “= 6 l j 是节点数，i 是方程个数。 口l2 - a i _ + 日o p | = 妇4a 2 2 a a a ，缸 以2 + a o 4 丢簪矾争血z ( 1 9 ) 利用给定的初始条件和边界条件，采用追赶法求解。 初始条件可根据实测浓度资料进行l a g r a n g e 插值确定。边界条件根据我们 前面的假定给出。 根据相关文献 1 0 1 ，每个节点的纵向弥散系数e 暂定为7 4 3 m 2 s ，自净系数暂 定为0 3 5 天，流速u 分别按照半潮、全潮给出半潮平均值，全潮平均值。 因为感潮河流的断面平均速度u 是时间t 的函数即u = u ( x ，t ) ，将每个节点的 每个时刻的断面平均流速u 代入方程( 1 9 ) ，即可得到每个时刻污染物的浓度值。 2 4 3 格林函数的求解 在整个计算的过程中，为求解c 对的变分，要计算格林函数，关于格林函 数g 的计算采用如下算法。 格林函数g 满足如下偏微分方程( 1 7 ) 即 上海大学硕十学位论文 第二章感潮河流水环境容量总量控制反问题 f a o g ”+ a l g l + 口2 g = 8 ( x 。一亭) g ( o ，亭，s ) = o 【g ( r ，孝，s ) = 0 其中0 善l 。为积分变量。 解： 1 ) 设 望g ! ! 圭! 堕：c c 为常数，将问题转化为柯西问题。 2 ) 用l a p l a c e 变换法关于g 对x 进行变换，得 口。【p 2 6 一p g ( o ) 一g ( o ) + 口l p6 一g ( o ) 】+ 口26 ：e 将边界条件代入 a 0 p 2 g a 0 c + a 1 pg + “2g = e - 和 则 弓：窖! q ! a o p + a l p + 0 2 化简 6 ： ! ：竺 + ! a o ( p r 1 1 ) ( p 一7 7 2 ) ( p 一叩1 ) ( p 一印2 ) 2 志r 1 2c 高p 一士pr 1 2 ，+ 高r l c 击p 一志pr l ， n o ( 7 7 l 一) 、7 7 l 一 。( 材1 2 ) 、一可】一2 l a p l a c e 反变换，得 j 等茅 g 2 lp 吣嘲一纱( 一# ) 【a o ( 叩l 一7 7 2 ) + 其中x 是无量纲化后的x o 的简写。 c ( e 仉。一e 轭u 确一7 7 2 0 xo f f xo l 。 上海大学硕士学位论文 第二章感潮河流水环境容量总量控制反问题 再由边界条件g ( r ，参j ) = 0 来求常数c 。 即 g ( l 。) ：e r a ( l 。- o _ _ e j 7 2 _ ( l 。- 4 ) + a 。( 刁l 一7 7 2 ) 于是 c ( p 一e 1 2 l 。) 仇一砚 p 口l ( 。一翱一e r l 2 ( p f ) c = 一 口o ( p 4 i r 一已口2 。) 将c 代入得 g _ - p 伪( r 一翱一e 7 2 ( 矿) r g , 7 1 z = 0 口o ( g 聃p e 口2 l 。) r l r h p 矾驴一。一e , 7 2 ( l 。- f ( p 们z g _ 2 。)g 矶( x 一种一g 目2 ( * # ) a o ( g 矿一p 晚r ) r l l 一现。a o ( r l l 一砚) 一 0 xo 芒 孝x o l 。 其中x 是无量纲化后的x 。的简写。 对上述分段函数进行适当的化简，上面的式子分子分母同除以纱川e ，下面的 式子通分后分子分母同除以已m 膳 ! ! ! ：竺二型竺：仇鲋( 1 - e ( 一z 训x ) g ：j 口。( e m p 一洲1 一p 优r 一矾讲) ( 1 7 ，一刁z ) e m 。 ：! 二型型! 竺二丝：竺尘 a o ( 7 7 l 一仍) ( p