（基础数学专业论文）强fclean环fclean环的注记拟clean环的扩张.pdf

。， l ： ，。 。弋 蛀谨种妊m；聱；io i_lj ； 屯 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：弓4 钆 指导教师签名：亟盗尘 签名日期： 年r 月斗日 产 壤 _|- 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 本硕士论文分为四部分： 第一部分：介绍c l e a n 环的研究概述及本文的主要工作。 第二部分：推广c l e a n 环的概念，提出了强f c l e a n 环的概念，并且研究了强 厂一c l e a n 环上的一些性质，主要结果： 性质2 2 1 3 强正则环是强f - c l e a n 环。 性质2 214 如果尺是强f - c l e a n 环，且幂等元是中心幂等元，v = r ，对于任意的 v v ，存在w r ，使，+ w = 0 ，则尺通过y 的平凡扩张r 俄，y ) 是强f - c l e a n 环。 性质2 215 若交换环尺是强f - c l e a n 环，贝, l j r 是强f - c l e a n 环。 性质2 2 1 6 如果尺是任意交换环，则多项式环尺m 不是强一c 加以环。 性质2 217 如果l = e l + e 2 + + e n ，n 1 ，其中e i 是正交幂等元，且e jr e j 是强 厂一c l e a n 环，则尺是强厂一c l e a n 环。 性质2 2 1 8 设r 是强厂一c l e a n 环，并且- - e e r 是中心幂等元，则e r e 也是强 f - c l e a n 环。 第三部分：研究f c l e a n 环与e x c h a n g e 环之间的关系，主要结果有： 性质3 1 2 设环r 的每个极大左理想是g w 一理想，如果r 是e x c h a n g e 环，则尺是 f - c l e a n 环。 性质3 1 3 设环r 的每个极大左理想是拟理想，如果r 是e x c h a n g e 环，则尺是 f - c l e a n 环。 性质3 1 4 设环尺的每个极大左理想是弱右理想，如果r 是e x c h a n g e 环，则尺是 f - c l e a n 环。 性质3 1 5 设环尺的每个补左理想是理想，如果尺是e x c h a n g e 环，则尺是f - c l e a n 环。 第四部分：对拟c l e a n 环的研究扩张。主要结果有： 性质4 5 如果r 是拟一c l e a n 环，w = r ，对于任意的w r ，存在t w ，使 f + w + w t + v t + 删，：0 ，则r 通过w 的理想扩张，( r ，形) 是拟一c l e a n 环。 性质4 6e 2 = e r ，并且e 是中心幂等元，如果a e r e 在e r e 中是拟一c l e a n 的， 则a 在r 中也是拟一c l e a n 的。 关键词：强f - c l e a n 环；拟一c l e a n 环；f c l e a n 环 t ， ，j 。，哆? 产 霹 哆謦勘凑。谬 ： t 4 强f - c l e a n 环，f - c l e a n 环的几点注记，拟- - c h m n 环的扩张 t h ee x t e n s i o no fs t r o n g l yf - c l e a nr i n g sa n dq u a s i c l e a nr i n g s a b s t r a c t w eh a v et h r e ep a r t si nt h i sp a p e r t h ef i r s tp a r t ：w ei n t r o d u c et h eg r a n dr e s u l t si nt h ec l e a nt i n g sa n dm ym a i nw o r ki n t h ep a p e r t h es e c o n dp a r t ：w eg e n e r a l i z et h ec o n c e p to f c l e a nr i n g s ，a n dp o s et h ec o n c e p to f s t r o n g l yf c l e a nr i n g s ，a n di n v e s t i g a t es o m ep r o p e r t i e sa b o u ts t r o n g l yf c l e a n t i n g s t h e f o l l o w i n gs t a t e m e n ta re t h em a i nr e s u l t s ： p r o p e r t i o n 2 2 1 3s t r o n g l yr e g u l a rr i n g sa r es t r o n g l yf c l e a nr i n g s 一p r o p e r t i o n 2 2 1 4i f ri ss t r o n g l yf - c l e a nt i n g s ，a n di d e m p o t e n t s a r ec e n t e r , 矿= r ， v v v ，3 w r ，m a l ( e ，+ w = 0 ，s 0t h eo r d i n a r y e x t e n t i o no fz 忸，v ) i ss t r o n g l y f - c l e a nr i n g s p r o p e r t i o n 2 2 1 5 i fa b e lr i n g sri sf - c l e a nr i n g s ，s ori ss t r o n g l yf c l e a n t i n g s p r o p e r t i o n 2 2 1 6i f ri sa r b i t r a r ya b e lt i n g s ，s op o l y n o m i a lr i n g s i sn o ts t r o n g l yf c l e a n r i n g s p r o p e r t i o n 2 2 1 7 i f1m e l + 吃+ + 乞，n 1 ， a n d 白a r eo n h o g o n a li d e m p o t e n t s ， a n d e fr e f a r es t r o n g l yr i n g s ，s ora r es t r o n g l yf c l e a nr i n g s p r o p e r t i o n 2 2 1 8 l e tri ss t r o n g l yf - c l e a nt i n g s ，a n de 2 = e ri s c e n t e r i d e m p o t e n t s ，e r ei sa l s os t r o n g l yf - c l e a nr i n g s t h et h i r dp a r t ：s t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ef 。c l e a nr i n g sa n de x c h a n g er i n g s - t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n ta r et h em a i nr e s u l t s ： p r o p e r t i o n 3 12l e tt h er i n gr ，a n de v e r ym a x i m a ll e f ti d e a l i sg w i d e a l , i f ri se x c h a n g e r i n g s ，s o ri s f - c l e a nt i n g s p r o p e r t i o n 3 13l e tt h er i n gr ，a n de v e r ym a x i m a ll e f ti d e a l i sq u a s ii d e a l ，i f ri se x c h a n g e r i n g s ，s o ri s f - c l e a nr i n g s p r o p e r t i o n 3 14l e tt h er i n gr ，a n de v e r ym a x i m a l l e f ti d e a li sw e a k l yr i g h ti d e a l ， i f ri se x c h a n g er i n g s ，s ori sf c & a nr i n g s p r o p e r t i o n 3 15l e tt h er i n gr ，a n de v e r ys u p p l yl e f ti d e a li si d e a l ，i f ri se x c h a n g er i n g s ， s o ri s f - c l e a nr i n g s i i 一 杉 善 fi；i 、 t h ef o r t hp a r t ：w ei n v e s t i g a t es o m ep r o p e r t i e so nq u a s i - c l e a n r i n g s t h ef o l l o w i n g s t a t e m e n ta r et h em a i nr e s u l t s ： p r o p e r t i o n 4 5i fr i s q u a s i - c l e a nr i n g s ，w = r ，v w 尺，3 t w ，m a k e f + w + 们+ w + m 7 = o ，s o x ( r ，v ) i sr i n g s p r o p e r t i o n 4 6 e 2 = eer ，a n d e i sc e n t e ri d e m p o t e n t s ，i f a e r e i s g “a s f c l e a 刀i n e r e ， $ o a i s q u a s i - c l e a ni n r k e yw o r d s ：f - c l e a nr i n g s ；q u a s i - c l e a nr i n g s ；c l e a n r i n g s i i i ， 强f - c l e a n 环，f - c l e a n 环的几点注记，拟- - c l e a n 环的扩张 目录 摘要i a b s t r a c t i i 1 弓i言1 1 1c l e a n 环的研究概述l 1 2 本文的主要工作3 2 强厂一c l e a n 环：4 2 1 强厂一c l e a n 环的定义4 2 2 强环上的一些结果4 2 2 1 强厂一c l e a n 环的扩张4 2 2 2 强厂一c l e a n 矩阵环8 3f c l e a n 环的几点注记。：k 9 4 拟一c l e a n 环的扩张。l1 结 论。15 参考文献1 6 至炙谢。1 8 ： -3 辽宁师范大学硕士学位论文 1 引言 1 1c l e a n 环的研究概述 本文中所提到的环都是指有单位元的结合环。 c l e a n 环的概念是n i c h o l o s o n 在研究e x c h a n g e 环的时候提出的，在 1 】中n i c h o l s o n 定义了s u i t a b l e 环，在研究s u i t a b l e 环的一些性质的过程中发现了s u i t a b l e 环的中心元可 以写成一个单位和一个幂等元的和，这样n i c h o l s o n 称可以写成一个单位和一个幂等元 的和的元素为c l e a n 元，从而有了c l e a n 环的概念。如果环尺中的一个元素a 可以写成一 个幂等元和一个可逆元的和，我们就称a 为c l e a n 元；如果环尺中的每一个元素都是 c l e a n 元，我们就称r 为c l e a n 环。 设a r 是r 的一个左理想，若对于任意的x x 2 a ，存在幂等元e 尺使得 e x a ，我们就称幂等元可以通过左理想么提升。 在各种文献中，得出了很多关于e x c h a n g e 环和c l e a n 环的关系，每一个c l e a n 环都是 e x c h a n g e 环，【2 】如果环r 中的幂等元都是中心幂等元，则每一个e x c h a n g e 环都是c l e a n 环。【3 i j e 明了每一个左( 右) 极大理想都是双侧理想的e x c h a n g e 环是c l e a n 环。 4 i 1 正明了 具有a r t i n i a n 本原因子的e x c h a n g 占环是c l e a n 环。 对自同态环， 5 】证明了域f 上的任意向量空间矿的自同态环肋d p y 是c l e a n 环。 6 】证明了除环d 上的可数维向量空间上的自同态环是c l e a n 环。 n i c h o l s o n 7 提出了强c l e a n 环的概念。 称环r 中的元素a 都是强c l e a n 元，如果a = e + u ，其中e 是幂等元，u 是可逆元，并且 e u = u e 。如果环尺中的每一个元素都是强c l e a n 元，我们就称尺为强c l e a n 环，显然，单 位元和幂等元都是强c l e a n 元，容易证明尺中的元素a 都是强c l e a n 元当且仅当1 一口) 是 强c l e a n 元，因此j ( r ) 中的元素是强c l e a n 元，从而局部环是强c l e a n 环，由于它与强7 1 一 正则环和有密切的联系近年来强c l e a n 环被广泛的研究。 关于强万一正则环，称环尺中的元a 素是右7 一正则的，如果满足下列等价条件： ( 1 ) 存在自然数n 1 使得a ”a 斛1 r ( 2 ) 存在自然数n l 使得a ”= a 斛1 r ( 3 ) 降链a r2 a 2 r2 是稳定的 类似的，我们可以定义左万一正则元。 l 7 9 j 少， i ， ， t 吣 j 7 、 l 一气 强f - c l e a n 环，f - c l e a n 环的儿点注记，拟- c l e a n 环的扩张 元素a 称为强7 一正则元，如果它同时是左7 - 一正则和右7 一正则，称r 为强万一正 则环，如果r 中的每一个元素都是强万一正则元，【8 】证明了每一个强万一正则元都是强 c l e a n 元。 n i c h o l s o n 在2 0 0 2 年提出了唯一c l e a n 环的概念，若存在e 2 = 岛”u 纽) 使得a = g + u 并且e ，u 是由a 唯一确定的，那么环r 中的元素口称为唯c l e a n 元；称环r 为唯 c l e a n 环如果尺中的每一个元素都是唯c l e a n 元，这类环和b o o l e a n 环有密切的联系，中心幂 等元和中心幂零元都是唯一c l e a n 元，因此所有的b o o l e a n 环都是唯一c l e a n 环。唯一 c l e a n 环的商环仍然是唯一c l e a n 环，因此，唯一c l e a n 环的同态像仍然是唯一c l e a n 环。 在唯一c l e a n 环里幂等元的提升有了新的定义，设么尺是尺的一个左理想，若对 于任意的石一z 2 a ，存在唯一的幂等元e r 使得e 一工a ，我们就称幂等元可以通过 左理想彳唯一提升。那么对于任意环r 下列条件等价： ( 1 ) r 是唯一c l e a n 环： ( 2 ) 州，( r ) 是b o o l e a n 环，并且幂等元可以通过( r ) 唯一提升； ( 3 ) 州j 似) 是b o o l e a n 环，幂等元可以通过像) 提升，并且r 中的所有的幂等元 都是中心元。 【1 0 把c l e a n 环的概念推广到了未必含单位元的环，我们把未必含有单位元的结合环 称为一般环。对于一个一般环尺以及任意的a 6 r 定义a * b = 口+ 6 + a b q 似) = g r l 存劫r 使得q * p = p * q = o 如果r 带有单位元l ，则作为群( q 俅卜) 兰p q ) ，) ，其中是r 中的乘法运算。如果对于 任意的a r 有a = e + g 其中e = e 2 , q q 0 ) 我们就称一般环r 为c l e a n 环。 对于c l e a n 环近年来国内外很多专家还做了很多推广，【1 1 】称环尺是半c l e a n 的，如 果尺中的每一个元素x 都可以表示成z = f + u ，其中u e v ( r ) 。f 是一个周期元，即存 在两个正整数p ，q 使得f p = 厂，p q 。 1 2 】称环尺中的元素x 是n c l e a n 元，如果x = e + u l + “2 + + u 。其中 e 2 = e r ，u 似) 汪 1 ，2 ，l ，刀z 。如果对于某一个固定的n ，r 中的所有元素都是 n c l e a n 元，我们称r 是n c l e a n 环。 1 3 】提出了f - c l e a n 环的概念，令k 似) = k i3 s ，t r 使得删= 1 ，我们称k ( r ) 中的 元素为尺中的满元素，称环尺中的元素z 是厂一c l e a n 元，如果x = e a rk ，其中 e 2 = e r ，k k ( 尺) 。环r 是f c l e a n 环，如果r 中的所有的元素都是厂一c l e a n 元。 r v 毫 滞 一；。朝u v d l o 一谢吾毋审v 翠移哂 明u v a l a 一僻瞽审o d a 翠o d a 弓移酱蹲些翕当叼，中瞢a 百冀2 i r 弓a = z a9 步驾科 磊。虹“移a 7 了一僻瞽( 刎v ) ，濉鼻醉丽碉刎轻藓v 哂0 。- m + 矾+ 肌+ 小+ ， 翦刎j ，翠掣：v 弓m 朝晕丑士鞑“v = 刎虹u d a l a 一博晋v 酱蹲s 钞驾科 。 ，；。鬈 ：阜酱勒益千。滟鼻延拉明虹u w l a 一群牲：髟衅励髯 一。虹u v a l o 一瞽v 哂虹勰u m l o x a 瞢v 酱蹲醉醢吾群蕊罩、 少鸯朝v 虹穰s i 。醢犁 ：i 。虹u v a l a 一 ：囔 ； 。蛆一 鲁v 晰虹概打l f 黝瞽v 酱蹲醉蕊擘鹱吾醉醢罩￥弹少鸯明v 虹稹穸i 驻军 萋i 。逝“打刀a 一 ；、吾v 晰虹砒移l ，册瞢v 酱蹲醉蕊群瞽醉馥覃￥獐少鸯明v 虹楔i 。e 蕊犁 黔j ，j j 。虹u v s l o - f 霍 普v 哂。虹觑护誓黝瞽v 凿蹲醉醯一倒9 吾母蕊覃￥狲少每朝v 监礁z i 盈犁 雾 _ ，_ 阜酱彩益干。拱艇身狭显* 朝虹觑移妒妨与虹u v s l o 一挺：髟僻三髫 j 奄 ，r ， 。虹 ；，如刀。_ 氍瞽毋9 a 惭琶翁盏门，串瞢vja = ，百# 螺“w l a j ，氍罾v 麓o i 兽飘+ 。 i 。霉 l 。虹u v s l o j ，氍吾v 哂螺 j u a p - yg9 易百g 岛当疆卫著台七b 髯i 乏“_ + + 吻+ l a = i 酱晒6 1 驾飘 1 ： 。虹“卅了一氍瞽业h v 虹摹啦琴哂虹游蕈晕哥瞢v 凿蹲8 。i 驾飘 ? ；。虹u v s l o - f 氍瞽v 晰虹u v s l o - f 氍瞽v 虹辫莓凳二i 驾飘 。, i qu 护a l a 一氍瞽( 么v 址淝鼻吖士鲷a 裂藓v 晒0 - - - - , 4 4 + 珊y 弓m 犁型a 弓 驹晕哥壬拯v = a 些赫盏叼，串瞽堑翁当百虹u v s l o - f 聚瞽v 酱蹲9 i 驾飘， ” 一 。虹u v s l o - f 氍瞽虹哂卫氍步i 驺飘 ：凿勒益千驺珊而一朝丁虹u v h o j ， 酗上延地百萁夥擗朝虹“1 9 a 1 , 9 一氍上印鬻零瓣朝虹u v a l o - , 1 群：髟烬= 髻 ； 。勤工益千朝茸牢谣娶擗延抱朝虹u v a l o 膨彤：髟勰一髻 霎 勘工蚤_ 丰明革章矿l ! 。舀飘虹 si h l l i u v s l o ( g 上, j n g = f 些哂卫博吾 ( 功嘶d a - - - - ：a 七b 首，l + a = 口科尘擎粥衅护善些少 鸯朝中v 凿蹲虹“移a 7 a 狲瞽v 虹牲零擗朝虹“叼了群上印箭七b 【杪i 翠鬈峰瞠甏王 ； l 女 茸识珥杀千迹杀￥娶尘6 占露 ； _ _ k k + * 。j逸j ， balt。 t i a + o i = 一 卜托= 譬蘩 忡：焉二簪。a m = 彻1 ( o ) 爿弓( 饥) = m 1 ( o ) 咖弓( = a 差 。罗 瓴+ b ：k 魏 德 ， 阜衅i 弓，v 弓( q = z 朝莩壬 士牲哂虹“叼a 一氍瞽蜉暂专每蔡狲( z ) ： 一瑚骈酉瞽( i ) 的丑 i 。j e 4 虹“卅了一 氍瞽解譬妙每亲百杲虹u w p - f 氍晋譬例u = 2 t 礅覃朝弋研虹( 乙) 。虹u w p - f 氍吾田现晕刨朝虹u d o i o - - 氍( i ) i i 。z z 驾飘 滟鼻碉监“吲a 二班l 乙。z ； 凿霸而一明丁虹u t ，a f 9 一j ，氍乙乙 。堑 “移妒一氍瞢衅善堑妙鸳明中v 酱蝉虹u 移o l o 一氍晋v 虹嵫。( 功x m ( 功啪弓a = ：a 审弹枞= 帕饥+ a = 秒酱蹲堑u v o l o 一氍椠矽攀些明出v 监墩i z 百犁 百晕明监u v a l o l f 鞋l 乙 是 争、 妞u v h o t f 氍 乙 i 、；地r 繁辫舞鞲二：= ：f 勘 卜船窄嚣馨= = 熟咿( a 书娟垢 ： 。茸砚珥杀千进秦￥弹蛳牟蕻 ： j ， k 。? “ 一l 一 一 一矿 z 骝璐 亲晋可虹 一士牲 氍瞽v 卸圉 蘼卫瞽；a 紧囡 y 孓= 每y = 饥+ y 豳“锚刍弓7 抄鲷革壬 士牲拍强 冬 j 。虹 桨鼻蜊虹腑i 僻甚瑕掣吖朝蛆u l 吖虹u 盼i 叼酯 侈。薯尹l。的薯寸量萝 辽宁师范大学硕士学位论文 一c l e a n 习、一 证明由于e 是中心幂等元，有映射 a ：，h e r e 对于任意的f i , r 2 ， a ( r l r 2 ) = e r i r 2 e = e r l e e r 2 e = a ( f i ) c t ( r 2 ) 、 所以我们可以把e r e 看作是r 的同态像，故由性质2 2 1 1 ( 1 ) 知，e r e 也是强 f c l e a n 环。 性质2 2 1 9 幂级数环尺队卫是强一c l e a n 环当且仅当尺是强厂一c 加以环。 证明对于任意的厂= 口+ 缸+ a 2 + er 队卫，存在p 2 = ee 尺，w k ) 使得口= e + w 并re w = w e 设s w t = 1 其中s ，f 尺贝t jf = e + w + b x + c x 2 + r 队是f - c l e a n 元，这是 因为对于任意的环，都有u 陋畋d = 缸。+ q x + ：u ) ) 令 f 。= w + k + a 2 + r 吐卫， 则 s f t = s ( w + b x + c x 2 + = s w t + s b t x + s c t x 2 + = 1 + s b t x + s c t x 2 + u 取队d 因此厂辱k 取队m 厂= e + 厂其中p 2 = e e r h ，故尺队卫是强厂一c 砌力环。 反之也成立。这是因为r 是r 盼卫的同态像。 设环尺满足元素2 是可逆元，c a m i l l o 砌在 1 5 】中证明了r c l e a n 环当且仅当r 中的每一个元素都可以写成一个可逆元和一个1 的平方根的和。我们将证明对于强 ，一c l e a n 环也有类似的结论。 性质2 211 0 如果2 u ) ，则r 是强f - c l e a n 环当且仅当尺中每个元素都可以写 成一个满元素和一个1 的平方根的和。 证明设尺是强厂一c l e a n 环，则对于任意的a r ，有 ( 1 + a ) 2 = p + w 其中e e 坳伍) ，w k 陋l p w = w e 从而 a = ( 2 e 一1 ) + 2 w 因为 ( 2 9 一1 1 2 = 4 e 一2 e 一2 e + 1 ：1 并且2 w k 伍) ，故r 中每个元素都可以写成一个满元素和一个1 的平方根的和。 反之，如果尺中每个元素都可以写成一个满元素和一个l 的平方根的和，则对于任 x 囊 趋 霉 矿 蕊 蓼 强f - c l e a n 环，f - c l e a n 环的几点注记，拟c l e a n 环的扩张 惫的a r ，我们有 2 口一1 = t + w 其中t 2 = 1 ，w e x ( r ) 所以 a = ( 1 + f ) 2 + w 2 因为 ( 如+ 1 ) 2 ) 2 = g 2 + 2 t + 1 ) 2 = o + 1 ) 2 ，( t + 1 ) 2 叫2 = 叫2 ( t + 1 ) 2 且2 u ) ，也即w 2 k 驭) ，故r 是强厂一c l e a n 环。 性质2 2 1 1 1 对任意的a r 下列条件等价： 。( 1 ) 口= ( 1 一p ) + w ，洲= w e ，9 2 = e ，w k ( r ) ，na 是强厂一c 砌刀元； ( 2 ) 若存在p 2 ：e r ，使阳= 口p 则，g ) 尺( 1 一g ) ； ( 3 ) 若存在p 2 = p r ，使锨= a e 贝t j ，g ) ( 1 一e ) r 。 证明( 1 ) j ( 2 ) ：假设( 1 ) 成立，nr强f - c l e a n 环，存在s ，f r ，使得j w t ：1 ，若 r a = 0 则 ，( 1 一e ) + n 妒= ，一r e + r w = 0 即 门桫= 一r 0 一p ) ，w = 一( 1 一力 而 ，= r ( s w t ) = r s w t = 一瑙( 1 一e x g o e ) ， 所以，g ) r ( 1 一p ) 。 ( 1 ) j ( 3 ) ：同理可证。 2 2 2 强f cie a r l 矩阵环 性质2 2 2 1 若r 是强f - c l e a n 环，则对角矩阵见似) 是强f - c l e a n 环 证明甩= 2 时，考虑d 2 伍) 。令 彳= 一玢喇， 因为r 是强f c l e a n 环，所以 口l = 白+ ，e l 坳q ) ，嵋k ) ，且巳= w l q 口2 - e 2 + w 2 ，e 2 脚识) ，他k 似) ，且巳也= 比乞。 即 一8 一 l 轧 辽宁师范大学硕士学位论文 彳= ( 暑兰) + ( 苫曼) = e + 矿 妻中e = 兰 显然为皿陋，中的幂等元。下面证明矽= ( 苫曼) 为满元素。 因为存在 s = f ，l j 0 1 兰 岛识) ，r = f l f l ot 。2 ) d 2 伍)s 2 j 一 一( 0 球坩1 扎骆， 所以( 苫球k ( d 2 姒并且 ( e 。l 兰x ow o ) = ( q w 。l 乞羔) 三( 苫ox , 0 兰) ， 3f c l e a n 环的几点注记 定义3 1 1 2 2 1 如果左正则模r 尺有有限e x c h a n g e 性质，则称r 为e x c h a n g e 环。 定义3 2 1 2 3 i m 是环r 的一个左理想，如果对于任意的a m ，存在一个非零的正整数n ， 使得口”r 互m ，就称m 是环r 的广义弱理想，简称g w 一理想。同样m 是环尺的一个 右理想，如果对于任意的a r ，存在一个非零的正整数n ，使得r 口“m ，也是环尺的 广义弱理想。 定义3 3 1 2 4 j 是环r 的加法半群，如果对于任意的xel ，总存在正整数n ，使得 ( r x rc _ l y 三) ，则称是弱左( 右) 理想。 定义3 4 1 2 5 1 i 是尺的加法子群，如果对于任意的a ，r ，都有r a r ，a r a i ，则称， 为r 的拟理想。 引理3 5 r 是左拟一d u o 环，则尺是c l e a n 环当且仅当灭为e x c h a n g e 环。 引理3 6 1 2 7 1 设彳为环r 的理想，假设a j ，则尺是c l e a n 环当且仅当r a 是c l e a n ，且幂 等元模彳可提升。 4 氇 霉 ， 强f - c l e a n 环，f - c l e a n 环的几点注记，拟- c l e a n 环的扩张 引理3 7 1 2 8 0 设尺是环，如果r 的每个极大左理想是g w 一理想，那么r 纽) 是约化环。 引理3 8 f 2 9 l 设r 是环，如果尺的幂等元是中心幂等元，那么r 是e x c h a n g e 环当且仅当r 是 c l e a n 环。 引理3 9 1 3 0 j 设尺为环，如果r 的每个极大左理想是拟理想，那么r j ( r ) 是约化环。 引理3 1 0 1 3 1 l 设r 为环，如果尺的每个极大左理想是弱右理想，那么r 伍) 是约化环。 引理3 1 1 1 3 1 j 设尺为环，如果尺的每个补左理想是理想，则尺的幂等元是中心幂等元。 定理3 1 2 设环r 的每个极大左理想是g w 一理想，如果r 是e x c h a n g e 环，则r 是 f - c l e a n 环。 证明假设环尺的每一个极大左理想是g w 一理想，则由引理可知尺，伍) 是约化环，所 以剐j 似) 的幂等元是中心幂等元，因为r 是e x c h a n g e 环，所以r j ( r ) 是e x c h a n g e ， 并且幂等元模j ( r ) 可提升，所以r j ( r ) 是c l e a n 环，则对任意的x r ，x 一= 虿+ 历，其 中e 2 - e ej ( r ) 。由于幂等元可以通过，( r ) 提升，所p 以x = e + u + r ，其中r ej ( r ) ，所以 存在u = s ，l = f r ，使得s ( u + r ) t = s u t + s r t = l + u r ei + j ( r ) eu 似) ，从而存在 v v ( r ) ，使得s + r ) t v = 1 ，可见u + r ) 是满元素，故x 是f c l e a n 元，从而r 是 f - c l e a n 环。 定理3 1 3 设环r 的每个极大左理想是拟理想，如果尺是e x c h a n g e 环，则尺是厂一c l e a n 环。 证明假设r 的每个极大左理想是拟理想，则由引理3 9 知剐，伍) 是约化环，所以r j ( r ) 的幂等元是中心幂等元，因为r 是e x c h a n g e 环，所以r j ( r ) 是e x c h a n g e 环，并且幂等 元模j ( r ) 可提升，所以r j ( r ) 是c l e a n 环，则对任意的x er ，x = 虿+ u 一，其中 e 2 一ee ， ) 。由于幂等元可以通过，取) 提升，所以z = e + u + r ，其中，- j ( r ) ，所以存 在“- 1 = s ，1 = f r ，使得s 0 + ，弦= s u t + s r t = 1 + “- 1 r e l + ) u 陋) ，从而存在，u 伍) ， 使得s ( u + r ) t v = 1 ，可见0 + 厂) 是满元素，故x 是f - c l e a n 元，从而r 是f c l e a n 环。 定理3 1 4 设环尺的每个极大左理想是弱右理想，如果尺是e x c h a n g e，则尺是f c l e a n 环。 证明假设尺的每个极大左理想是弱右理想，则由引理3 1 0 知r ，伍) 是约化环，所以 r j ( r ) 的幂等元是中心幂等元，因为尺是e x c h a n g e t 不，所以a j ( a ) 是e x c h a n g e 环，并 且幂等元模j ( r ) 可提升，所以r j ( r ) 是c l e a n 环，则对任意的z r ，x 一= 石+ 讶，其中 e 2 一口， ) 。由于幂等元可以通过乜) 提升，所以x = e + u + r ，其中，j ( r ) ，所以存 在“- 1 = j ，1 = f r ，使得s 0 + ，= s u t + s r t = l + u - 1 ，l + ，伍) u 似) ，从而存在v v ( r ) ， 辽宁师范大学硕士学位论文 使得j + r 砂= l ，可见0 + 厂) 是满元素，故x ；是f - c l e a n 元，从而r ；是f - c l e a n 环。 定理3 1 5 设环尺的每个补左理想是理想，如果r 是e x c h a n g e 环，贝, t jr 是f - c l e a n 环。 证明假设r 的每个补左理想是理想，则由引理3 11 知r 中的幂等元是中心幂等元。又 由于尺是e x c h a n g e 环，所以r 是c l e a n 环， 即对于任意的a r ， 口= e + “，p 2 = ee a p ( r l u u ) ，因为u ( r ) k 也) ，所以r 是z f - c l e a n 环。 4 拟一c 砌刀环的扩张 定义4 1 1 1 4 i 称环r 中的元素a 是拟一c l e a n 元，如果a = e + v ，其中e 2 = e i d p ( r ) ， 为拟正则元，称环r 是拟一c l e a n 环，如果尺中的每个元素都是拟一c l e a n 元。 引理4 2 1 1 8 i 设r 是环，口是环尺上的自同态，如果厂= + 口l x + a 2 2 2 + r 吐；口卫， 则厂v ( r i i x ；口d 当且仅当口。u ( r ) 。 性质4 3 设口是环r 上的自同态，则以下论断等价： ( 1 ) r 是拟一c l e a n 环； ( 2 ) r 上的斜幂级数环r 肚；口卫是拟一c 彪口咒环。 证明( 1 ) j ( 2 ) ：任取厂= 口+ 如+ 蹦2 + r i l 2 ；, , i i 。因为尺是拟一c 砌拧环，所以对 于任意的a r ，有a = e + v ，其中e 2 = e 脚伍) ， ，为拟正则元，v + l u 陋) ，并且存 在，满足( 1 + ，+ 1 ，) = 1 。所以 f = 口+ 如+ c x 2 + = p + 1 ，+ k + 戗2 + ：r b ；口卫。 由引理4 2 知1 + 1 ，+ k + “2 + u 伍吐；口d ，所以v + b x + c x 2 + 是r 队；口卫中的拟正则 元，而e 是尺队；口卫中的幂等元， 听以f = a + b x + c x 2 + r 队；口卫是拟一c l e a n ，也即 r 上的斜幂级数环r 吐；口卫是拟一c l e a n 。 ( 2 ) j ( 1 ) ：r 是斜幂级数环尺b ；口卫的同态像，由 2 】知尺是拟- c l e a n 。 性质4 4 1 1 4 l 已知1 = 白+ e 2 + + 巳，n 1 ，其中q 是正交幂等元，对于任意的 a ，岛r e ，如果qr e ， 找 a - c l e a n，则r 也是拟一c l e a n 。 证明对于任意的a ，色r e j ，因为e ir e j 是拟- c l e a n 环，所以对于每个，令 a f = z + v j ，其中z 2 = z 砷( e ir e i ) ，he ir e j ，并且存在ue ir e i 使得 + q x e ，+ v i 、1 ：岛：( ，岛+ m + u ) 矿霄 ，每x 强f - c l e a n 环，f - c l e a n 环的几点注记，拟- c l e a n 环的扩张 令厂= 彳，因为e i 是正交幂等元，因此 i j = ( e i r e i ( e j e 、= 0 其r , r t e r , f 气f i s3 在尺中令 l + v = z ( e , + v i ) = l + z v a ，1 + v ，= ( q + k = l + 啊 令a = 罗a i ，则 a = + ) = z + m = 厂+ v 从而a 是r 中拟正则元，因此r 是拟一c l e a n 环。 设r 是一个环，双模月形丑是一个结合环，尺通过矽的理想扩张定义为加法a b e l 群 i ( r ，缈) = 尺o w ，它当中的加法按坐标相加，乘法运算满足 ( ，映，f ) = ，一+ 凇+ 们) ， 性质4 5 如果r 是拟一c l e a n 环，w = r ，对于任意的w er ，存在t w ，使 f + w + w t + v t + 删，：0 ，则r 通过w 的理想扩张，伍，形) 是拟一c l e a n 。 证明对于任意的 占= ( ，w ) e ， 存在，= p + 1 ，其中e 2 = e 坳( r ) ，v 是只中的拟正则元，也即存在矿，满足 1 ，+ 1 ，+ w 7 = 1 ，+ 1 ，+ 1 ，v = 0 。从而我们可以把j 表示成 j = p ，w ) = g ，o ) + 0 ， 显然g ，o ) 是，伍，w ) 中的幂等元。下面我们证明o ，w ) 是，似，矿) 中拟正则元。 假 设存在f w ，由已知条件可知，满足 0 ，w ) + p ，f ) + d ，f ，曲= + ，+ w ，w + f + + 们) = ( o 0 ) o ，w ) + o ，f ) + 0 ，b ，f ) = v + v + w ，w + f + v w + 卅= ( o ，0 ) 所以o ，w ) 是尺中拟正则元，所以，驭，) 是拟一如咒环。 性质4 6e 2 = e r ，并且e 是中心幂等元，如果a e r e 在e r e 中是拟一c l e a n 的， 则口在r 中也是拟一c l e a n 的。 证明任取a e r e ，则a = f + v ，其中f 2 = f i d p ( e r e ) ，e r e ， ，为拟正则元， 则存在w e r e ，使得 ( e + 4 e + 曲= p = g + 次+ y ) 下面证明v 也是r 中的拟正则元。 因为1 + v = g + y ) + ( 1 一口) ，所以取1 + w = ( + w ) + ( 1 一e ) ， f k 辽宁师范大学硕士