（工程力学专业论文）自然单元法在固体力学中应用的研究.pdf

武汉理【人学硕十学位论文 摘要 自然单元法是最近提出的种新的求解偏微分方程组，处理不同工程领域 和应用科学晌边界值| 、u 题的数值方法。本文研究了自然单元法( n e m ) 在处理 二维弹性力学问题方而的应用。 假定区域q 采用市点组n 作为离散模型，区域边界记为a q 。a 然单元法利 用求解点的自然邻接点，自然邻接插值和v o r o n o i 结构米构造整体近似位移函 数，并在求解区域的d e l a u n a y 二角形子域上采用g a l e r k i n 过程建立整体求觯 的系统平衡方程，其积分可在背景三角形网格采用数值积分得到。节点位移向 量d 则由线性方程组k d = f 求得。 自然单元法中插值函数一自然邻接插值是一种多元数据插值方式，最初被 用于数据插值和模拟地球物理学现象。自然邻接插值以节点组n 的v o r o n o i 结构为基础，插值函数除了在节点c o 连续外，在其它地方均为c 。连续。根据 基本边界条件，自然邻接插值在凸体边界相邻节点之间是严格线性的，丁是可 以用自然单元法柬模拟非凸体表面裂纹。对于给定的一系列平面节点，其自然 邻接插值唯一，d e l a u n a y 三角则用于自然邻接插值的数值计算。不同于有限元， 为使结果收敛，在三角形单元中加入角约束；在自然单元法中，节点的分布是 任意的，不受“单元”形状、大小以及角度约束，因此窄问节点分布不受限制。 近年来在自然邻接插值以及模拟复合流体结构楣互作用的应用，方_ 面所作的研 究表明这种方法不仅在求解偏微分方程组问题具有优越性，而且在固体力学领 域，它将是一种非常有用的数学工具。 本文对自然单元法进行分析研究，并将其应用于固体力学的不同问题，其 中包括静力裂纹问题、位移试验、平衡试验、悬臂梁、带孔平板等。将结果与 有限元计算结果进行比较，证明其理论正确，方法有效，并对其今后在其它方 面如裂纹扩展，板，有限变形以及流体力学等方面的应用有着一定的推动作用。 关键词：自然单元法，自然邻接插值，一二阶v o r o n o i 结构，d e l a u n a y 三角 弹性力学 武汉理【。大学硕十学位论文 a b s t r a c t t h en a t u r a le l e m e n tm e t h o d ( n e m ) i sar e c e n t l yp r o p o s e dn o v e ln u m e r i c a l ， w h i c hh a sb e e n a p p l i e d f o rt h es o l u t i o no f p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ， b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s i nd i f f e r e n tf i e l d so f e n g i n e e r i n ga n dt h ea p p l i e ds c i e n c e s i nt h i sw o r k ，t h ea p p l i c a t i o no ft h en a t u r a le l e m e n t m e t h o d ( n e m ) t o t h e p r o b l e m s i nt w o - d i m e n s i o n a le l a s t o s t a t i c si sp r e s e n t e d w ea s s u m ead i s c r e t em o d e lo ft h ed o m a i nqc o n s i s t so fas e to fd i s t i n c t n o d e sn a n dap o l y g o n a ld e s c r i p t i o no ft h eb o u n d a r ya q i nt h en a t u r a le l e m e n t m e t h o d ，t h e w h o l e i n t e r p o l a n t s a r ec o n s t r u c t e dw i t h r e s p e c t t ot h en a t u r a l n e i g h b o u r n o d e s a n dv o r o n o it e s s e l l a t i o no ft h e g i v e np o i n t ，a n d as t a n d a r d d i s p l a c e m e n t - b a s e dg a l e r k i np r o c e d u r e o v e rt h ed e l a u n a yt r i a n g u l a rs u b - d o m a i ni s u s e dt oo b t a i nt h ed i s c r e t es y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n s a sar e s u l t ，t h en u m e r i c a l i n t e g r a t i o n o ft h e e q u i l i b r i u me q u a t i o n s c a nb e a n a l y t i c a l l y c a l c u l a t e da tt h e t r i a n g u l a rq u a d r a t u r e m e s h e s t h es o l u t i o no ft h ed i s c r e t e s y s t e m o fl i n e a r e q u a t i o n s ( k d = f ) i sc a r r i e d o u tt oo b t a i nt h en o d a ld i s p l a c e m e n tv e c t o rd n a t u r a ln e j 学b o u ri n t e r p o l a n t si sam u l t i v a r i a t ed a t a i n t e r p o l a t i o ns c h e m e ， w h i c hh a sp r i m a r i l yb e e nu s e di nd a t ai n t e r p o l a t i o na n dm o d e l i n go fg e o p h y s i c a l p h e n o m e n a t h ei n t e r p o l a n t s a r eb a s e do nt h ev o r o n o it e s s e l l a t i o no ft h es e to f n o d e sn t h ei n t e r p o l a n t sa r es m o o t h ( c 。) e v e r y w h e r e ，e x c e p ta tt h en o d e sw h e r e t h e ya r e e o t h en e m i n t e r p o l a n ti ss t r i c t l yl i n e a rb e t w e e na d j a c e n tn o d e s o i lt h e b o u n d a r yo ft h e c o n v e xh u l l ，w h i c hf a c i l i t a t e si m p o s i t i o no fe s s e n t i a lb o u n d a r y c o n d i t i o n s am e t h o d o l o g yt om o d e ln o n c o n v e xb o d i e s ( c r a c k s ) u s i n gn e mi s a l s od e s c r i b e d t h en e m i n t e r p o l a n ti su n i q u ef o rag i v e ns e to fd i s t i n c tp o i n t s ( n o d e s ) i nt h ep l a n e t h ed e l a u n a yt r i a n g l e sa r eu s e di nt h en u m e r i c a lc o m p u t a t i o n o ft h en e m i n t e r p o l a n t h o w e v e r ，u n l i k et h e f i n i t ee l e m e n tm e t h o dw h e r ea n g l e r e s t r i c t i o n sa r ei m p o s e do nt h et r i a n g l e sf o rt h ec o n v e r g e n c eo ft h em e t h o d ，t h e r e a r en os u c hc o n s t r a i n t so nt h es h a p e ，s i z e ，a n da n g l e so ft h et r i a n g l e si nn e m t h i s f a c i l i l a t e sr a n d o m c o n f i g u r a t i o n o fn o d e si n s p a c e ，r e c e n t w o r ko nn a t u r a l i i 武汉理【人学硕： 学位论文 n e i g h b o u ri n t e r p o l a n t s a n di t s a p p l i c a t i o n t ot h e m o d e l i n g o f c o m p l e x f i u i d s t r u c t u r ei n t e r a c t i o np h e n o m e n ad o e si n d i c a t et h em e r i t so f t h em e t h o df o rt h c s o l u t i o no fp d e sa n ds u g g e s t st h a ti tc o u l db eap r o m i s i n gn u m e r i c a lt o o li nt h e r e a l mo fs o l i dm e c h a n i c s a p p l i c a t i o no fn e m t ov a r i o u sp r o b l e m si ns o l i dm e c h a n i c s ，w h i c hi n c l u d e ，a s t a t i cc r a c kp r o b l e m ，t h ed i s p l a c e m e n tp a t c ht e s t ，t h ee q u i l i b r i u mp a t c ht e s t ，t h e c a n t i l e v e rb e a m ，a n dp l a t ew i t hah o l ep r o b l e ma r ep r e s e n t e da n dc o m p a r i s o n s m a d et or e s u l t so b t a i n e du s i n gf i n i t ee l e m e n t sa sw e l la st or e f e r e n c es o l u t i o n st o v a l i d a t et h ea c c u r a c ya n dc o n v e r g e n c eo fn e m e x c e l l e n ta g r e e m e n tw i t he x a c t ( a n a l y t i c a l ) s o l u t i o n si so b t a i n e d ，w h i c he x e m p l i f i e st h ea c c u r a c y a n dr o b u s t n e s so f n e ma n ds u g g e s t si t sp o t e n t i a la p p l i c a t i o n ，p r o v i d e si m p e t u sf o ri t sa p p l i c a t i o nt o o t h e rc l a s s e so fp r o b l e m ss u c ha sc r a c kg r o w t h ，p l a t e s ，a n dl a r g ed e f o r m a t i o n si n s o l i da sw e l la sf l u i dm e c h a n i c s k e y w o r d s ：n a t u r a ln e i g h b o u r i n t e r p o l a n t s ，n a t u r a l e l e m e n tm e t h o d ，1 s t a n d 2 r i d o r d e rv o r o n o id i a g r a m s ，d e l a u n a yt r i a n g l e ，e l a s t o s t a t i c s 1 1 1 武汉理i 。人学硕十学位论文 1 1 问题的提出 1 1 1 有限元方法 第1 章绪论 随着计算技术的发展，有限元法在土木工程及其它许多工程领域 中得到了越来越广泛的应用。它是一种比较完善的数值方法，采用分 片插值的思想来构造位移函数和离散求解域，研究对象广泛，不仅町 解决杆系结构分析问题，而且能进行平而、空间连续体、板壳及各种 复杂组合结构的计算；不仅可分析结构的弹性性能，而且能应用于弹 塑性等复杂力学性能问题；不仅适用于静力分析，而且适用于动力分 析。有限元法在许多领域取得了巨大的进展，利用它成功的解决了一 人批有重大意义的实际问题。目前，有许多成熟、通用的商用有限 软件，如a n s y s ，s a p ，m a r c 等。但是，由于许多工程问题的复杂性 和特殊性，即使使用目前弓称前处理功能完善的通用或专用有限元软 件，要完整的建立一些复杂的有限元分析模型，仍需要很长时间繁琐 而枯燥的前处理工作1 3 3 l ；同时，还要求技术人员有较高的力学素质和 丰富的网格划分经验，而且常规有限元方法在处理材料裂缝或人变形 问题时，局部可能出现计算网格扭曲造成的计算结果严重失真。虽然 提出了一些改进的有限元方法能够在计算过程中不断重构单元网格， 但普遍存在着前处理工作计算量增大、计算结果震荡等问题。特别涉 及到三维结构分析，网格重构与细化成倍的消耗计算资源，使大型结 构断裂或大变形计算分析以及细观结构裂纹损伤计算分析以及细观结 构裂纹损伤计算分析等工作难以进行。其后出现的无网格方法3 4 】， 为这一困难问题的解决提供了一个新的思路。 1 1 2 无网格方法 1 1 2 1 无网格方法简介 武汉婵。l 一人学硕士学位论文 无网格方法是近年米形成的种与有限元法相类似的数值力法。 由于无网格方法仅仅采用基于点的近似，而不需要节点的连接信息， 小仅避免了繁琐的单元洲格生成，而且提供了连续性好、形式灵活的 场函数，在处理弹塑性、裂纹扩展、移动界面、高速碰撞以及具有人 变形特征的工业成形问题时具有广阔的发展前景。 无网格方法包括光滑粒子法s p h ( s m o o t hp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s m e t h o d ) ”、扩散单元法d e m ( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ) “、无网格伽j 辽 会方法e f g ( e e m e n t f r e eg a l e r k i n m e t h o d ) l3 1 、重构核质点法 r k p m ( r e p r o d u c i n g k e r n e lp a r t i c l em e t h o d ) “、单位分解法( p u ) 及局部 伽辽金无网格方法m l p g ( m e s h l e s s l o c a lp e t r o v g a l e r k i n m e t h o d ) i 5 i 等。它们的共同特点是整个求解域由一系列点离散而成，无须生成单 元或网格，从而大大减少了计算的前处理工作。 1 1 2 2 无网格伽辽金方法e f g 和重构核质点法r k p m 在无网格方法中，无网格伽辽金方法e f g 和重构核质点法r k p m 被证明最适合结构计算 6 1 。它们是与有限元相似的一种数值方法，属 于域类型的无网格方法。与有限元或边界元相比，这类方法，只是在 场内插值或边界变量上是“无网格的”，由于积分需要，使得这些方 法并不是“真正的”无网格。 下面对这两种方法目前的研究情况与有限元法进行对比分析： 同有限元方法一样，无网格伽辽金方法和重构核质点法都是利用最 小势能原理的一类变分方程求解近似位移。这些方法的不同之处主要 在于场函数的近似方式。 有限元方法位移场函数近似为 35 1 ， “例= 罗，俐“， ( 1 1 ) ，( x ) 为节点j 的形函数，u ，为节点j 位移值。这样单元内任一点位 移通常以单元节点位移插值形式描述。 无网格伽辽金方法位移场函数近似为【7 】 “俐2 p ，俐n ，例= p 7 n ( 1 - 2 ) j 2 武汉理1 。大学硕 ，学位论文 p 7 为基函数向量，根据对问题的分析选取。如三维分析中选用二阶基 函数q 量为 p 7 = 【，x ，y ，z ，x2 ，x y ，y2 ，y z ，z2 ，就( 1 3 ) a 为待定系数函数向量。在局部意义下位移场函数近似为 “伍，z j = p ，r 工j a j 俐 ( 1 - 4 ) 采用计算予域内离散点权函数意义下最小二乘解的方法确定口，从 而定义一个局部意义的位移场函数。 重构核质点法的位移场函数描述为1 6 1 “例2 c 伍 x - - x 1 j v 伍一算，且，( 1 - 5 ) 其中v 向一x ，j 为核函数，也可称为权函数。c ( x ：z 一耳，j 为修i 卜函数 一般取为 c ( x ：x x i ) = h t ( x x i ) b x )t 1 6 、 h 1 伍一x ，j 一杠工一工，伍一工，j ” 为n 阶基函数向量，矗俐为待定系数函 数。重构核质点法是通过严格满足位移场函数的阶t a y l o r 级数展开 式确定修正函数。 以卜述两种方法为代表的无网格方法与有限元法主要不同点在于： 1 ) 有限元方法以事先离散的单元定义求解子域，无网格方法是通过定 义核函数在计算过程中确定求解子域。2 ) 在位移场近似方式描述上， 有限元单元中任一节点的形函数在该节点处值为1 ，在其他节点值为0 ， 在节点处位移场函数值等于节点位移，即u ( x ，) = u ，。这样，计算单元 内任一插值点的位移时，各节点位移变量可看成独立贡献插值点位移 值；在无网格方法中，一般节点处位移场函数值不等于节点位移。求 解域内各离散点位移对任一点的位移贡献不是独立的，而是通过直接 影响和在核函数覆盖范围内通过其他离散点间接影响进行贡献的。 虽然上述两种方法在位移场近似方式上不同，但同样是采用离散点 核函数覆盖意义下局部位移场近似。所以在应用同样的核函数并选取 武汉理1 ：人学硕十学位论文 同阶的基函数时，计算结果是一致的。 伽辽金方法和重构核质点法计算 掣“) ；兰妒( 苎) ，妒( z ) 为立方b 样条函数 aa 墓， 州 2 ， o 一 图1 1 中( a ) 和( b ) 分别以无网格 的近似位移场( 核阑数采用 一鼍求璃 ( a ) 无网格伽辽金方法 ( b 1 重构核质点法 图1 1无网格方法对位移场的近似 f i g u r e1 - 1d i s p l a c e m e n tf u n c t i o na p p r o x i m a t i o nb ye f g m a n dr k p m 1 1 2 3 核函数覆盖尺寸的选取对位移场近似的影响 核函数覆盖尺寸是确定无网格方法中求解子域大小重要的参数。覆 盖尺寸的选取直接影响计算结果精确程度，尤其对非线性变化较大的 。一i + 嘲i ，0 瓣，。j 。 ， j ! jj + 7 ， 。 ： ? 熬泓激- 浏- - i f ii ： 、+ 1 蕊鋈矿一 神佴 址末伯螺 武汉理一l ：人学颂七学位论文 位移核函数场影响更大。下面以一维位移场为例采用重构核质点法说 明尤网格方法的核函数覆盖尺寸选择对位移场近似的影u 向。r k p m 基 ，” 函数选取2 阶，核函数采用v ( x ) = 兰庐( ) ，庐( z ) 为立方b 样条函数，n aa 为覆盖半径。应用重构核质点法选取不同的a 值计算整个求解域位移 场如下图1 2 图1 3 。 图1 2a = 5 2 时重构核质点法对位移场函数近似 f i g u r e1 2d i s p l a c e m e n tf u n c t i o na p p r o x i m a t i o nb yr k p m a ta = 5 2 划 番 争l 2 o 。， ，日t s 推尊髀嘁 图1 3a - - 2 1 时重构核质点法对位移场函数近似 f i g u r e1 - 3d i s p l a c e m e n tf u n c t i o na p p r o x i m a t i o nb yr k p m a ta = 2 1 核函数覆盖半径直接影响计算位移场对实际位移场的近似程度。 核函数覆盖半径值的选取要求为( 1 ) 整体方程有解( 2 ) 求解域覆盖 武汉理上大学硕士学何论义 充分( 3 ) 较高的计算精度和计算效二瞽。较大的覆盖半径易于满足方程 有解和充分覆盖的条件，对于均匀变化的位移场，选用稍大的覆盖半 径也能满足对位移场的近似精度，但对于变化剧烈的位移场，选取较 大的覆盖半径将造成局部位移值的失真( 图1 2 ) ，这种局部失真的原 因在于该求解域内离散点位移在核函数多重覆盖下的位移“均化”。 而选取较小的覆盖半径近似程度明显提高( 图1 3 ) 。这说明在满足整 体方程有解及求解子域覆盖充分的前提下尽可能选取较小的覆盖半径 是提高无网格方法计算精度的有效手段。选取较小的覆盖半径的另 个好处是减少求解域的覆盖“厚度”，减少计算子域内离散点数量， 提高计算效率。核函数覆盖半径的选取是无网格方法中的一个关键一阼 工作，这一参数的选取跟节点离散形式有关。对于节点均匀离散形式， 可根据方程组解存在和求解域覆盖充分的条件确定一个固定的最小覆 盖半径值。对于需要局部节点加密的情况，覆盖半径需要根据求局部 节点疏密情况较小的选取以提高计算精度。但即使如此，对于节点稀 疏极度不均的地方也会发生局部失真( 如图1 4 ，在x = 4 0 附近节点密 集处位移失真严重) 。如何选取合理的覆盖尺寸是上述两种无网格方 法保证稳定计算精度和计算效率面临的一个问题。 一鼍求* 蛾 图1 4a = 2 1 节点分布极度不均时重构核质点法对位移场函数的近似 f i g u r e1 - 4d i s p l a c e m e n tf u n c t i o na p p r o x i m a t i o nb yr k p m a ta = 2 1 f o rn o d e s d i s t r i b u t i o nd i s t o r t e d 虽然无网格方法的实现避免了数值计算中繁琐和复杂的网格重构 。掣轴；，。 武汉埋l 人产硕十学位论文 工作，但仍存在着许多不足使无网格方法难以像有限元方法那样广泛 的应用。主要表现在：计算时间长：求解与+ 程f i 太方便；核函数对求 解精度有明显影晌1 3 9j ，而核函数及其参数的选择又没有具体的、量化 的章法可循。 因此虽然无网格方法不需构造网格，但在计算过程中需要不断构造 离散节点的局部紧支域以建立节点之间的联系，描述局部位移场。紧 支域的大小和形状的选取直接影响整体位移场的分布，尤其在边界、 裂缝等区域选取不同紧支域尺寸可能造成计算较大结果差异：另外兀 网格方法求解变性能的积分问题和边界处理问题等需要进一步研究 4 。而且，现有的各种无网格方法存在着诸如计算时间长、效率低、 不同材料的交界区域或不连续面的处理十分复杂、难以准确地施加边 界条件等缺点，仍需继续完善。 1 1 3 自然单元法概况 无网格方法主要是为了克服有限元在前处理网格划分方面的困难 而提出的，但是它却在计算时间、边界条件和不连续面的处理等方面 付出了极为昂贵的代价。实际上，在有限元法里，如果对结构分析域 完全采用三角形网格来进行计算，无论对于多么复杂的几何形状，用 d e l a u n a y 准则均能自动的生成形状良好的三角形或四面休，根本就不 会存在网格划分的困难，但是遗憾的是有限元法里三角形单元和四面 体单元是常应变单元，计算精度很低，因此般采用较高精度的四边 形单元来进行有限元分析，从而带来了前处理网格划分的巨大困难。 如果能够利用成熟的d e l a u n a y 全自动三角化技术，又能使三角形荦元 得求解精度相当于有限元四节点或八节点单元，那无网格方法和有限 兀法所面临的问题也就迎刃而解了。 基于这样的思路，依托求解结构的d e l a u n a y 三角形网格，本文中 介绍最近提出的自然单元法( n a t u r a le l e m e n tm e t h o d ，简称为n e m ) 【8 】。它是结合了有限元和无网格方法特点的种新的数值方法，利用 求解点的自然邻接点和v o r o n o i 结构【1 0j ，采用无网格的思想全域构造 近似位移函数，这种位移函数的构造方法是无单元法的思想，它几乎 克服了移动最小二乘和有限元法的所有缺点，可方便的施加边界条件， 武汉理r 大。学硕十位论文 处理不连续面，能够完成复杂的工程数值分析任务。 自然单元法( n e m ) 在固体力学椭圆边界值问题上求解弹性力学 平衡力程的的应用方面，已经有所研究。自然单元法中插值方案为自 然邻接( n ，n ) 插值。自然邻接插值i “】是一种多元数值插值方法l “l ，起初 被用于数据插值和模拟地球物理学现象。自然邻接插值出计算几何学 中的v o r o n o i 结构以及d e l a u n a y 三角来构造插值单元。近年来存自然 邻接插值模拟复合流体结构的相互作用的应用方面1 1 2j 所作的研究工作 表明了这种方法不仅在求解p d e s ( 偏微分方程组) 问题具有优越性， 而h 在固体力学领域，它将是一种非常有用的数学工具。 自然邻接插值建立在v o r o n o i 结构上，它对于给定的一系列平血 节点是唯一的，d e l a u n a y 三角则用于自然邻接插值单元的数值计算。 不同于有限元，为使方法收敛，在三角形单元中加入角约束i l3 】：在自 然单元法中的节点的分布是任意的，不受“单元”形状、大小以及角 度约束，因此空间节点分布不受限制。自然单元法采用基于位移的 g a l e r k i n 方法求解弹性力学平衡方程，运用自然邻接插值来建立近似 位移场函数。节点位移向量d 则由线性方程组k d = f 求得。 1 2 论文的主要内容 论文研究的主题是对于自然单元法在固体力学中应用的研究，文 中通过自然邻接插值特点，对位移场的近似以及平衡方程的推导，编 写相关程序，分析二维固体力学问题，其中包括：奇异点( 裂纹尖端) ， 齐次形变( 位移试验) ，悬臂梁，平扳圆孔。最后，把自然单元法计算 结果与有限元解或精确解析解进行比较，数据例证了该方法在某些固 体力学问题应用方面的精确性和有效性。主要内容如下： 第1 章简要介绍目前发展中的几种数值方法：有限元法，无网格 法和自然单元法的特点。 第2 章介绍与自然邻接插值有关的v o r o n o i 结构和d e l a u n a y 三角 形，分析自然邻接插值的构造，性质。 第3 章详细讨论自然邻接形函数的数值计算方法，编写形函数程 序，对实例进行分析，计算其形函数值与导数。 武汉理l 人。产碗士。位论文 第4 章给出甲衡方程，分析悬臂梁，平板圆孔等二维吲体力学问 题，把计算结果与有限儿解或精确解析解进行比较分析。 第5 章结论和展望。 1 3 研究的目的，方法和意义 1 3 1 目的 本文提供一种介于有限元法和无网格法之间的新的数值方法一自 然单元法( n e m ) ，并对1 i 同i 维弹性力学小位移边界值问题进行分 析，以验证其理沦、方法的可靠性。同时这种方法的思想可以应用到 比有限元、边界元等其它数值方法更广的领域，有着很强的生命力。 1 3 2 方法 本文采用基于位移的g a l e r k i n 方法求解弹性力学平衡方程，自编 程序，运用自然邻接捅值来建立近似位移场函数，并由线性方程组 k d = f 求出节点位移向量d 、应力及应变。 1 3 3 意义 在应用方面，国内外自然单元法的研究刚刚起步，相关的文献还 不足很多，对于在非线性方面的应用理论还很少。尽管自然单元法存 在着不足，但作为一种有吸引力的数值方法，它有着自己独特的优点， 有更广阔的应用领域。相信随着研究的不断深入，其理论与软件会日 臻完善，能发展成为如有限元法一样的功能强大的数值方法，得到广 泛的应用。 9 武汉理1 ：大学硕l 学位论文 第2 章自然邻接插值 2 1 自然邻接插值概况 在自然单元法中，采用自然邻接插值来构造近似位移蛹数。捅值 以一组节点n 的v o r o n o i 结构为基础。插值蛹数除了在节点c o 连续外， 在其它地方均为c 。连续。自然邻接插值【1 1 】是一种多元数值插值方法 【“l ，最初被用于数据插值和模拟地球物理学现象。对于一些早前的工 作以及自然邻接插值的典型应用参看1 1 “。它运用运计算几何中的 v o r o n o i 结构f “l 以及d e l a u n a y 三角1 7 j 来构造插值单元。自然单元法中 的插值方案称为自然邻接( n ，n ) 插值。v o r o n o i 结构对于给定的一系列平 面节点是唯一的。d e l a u n a y 三角则用于自然单元法插值的数值计算。 自然单元法中的节点数量和分布是任意的，不受“单元”形状、大小 及角度约束。近年来在自然邻接插值以及模拟复合流体结构的相互作 用的应用方面【12 1 所作的研究_ 作表明这种方法不仅在求解p d e 问题 具有优越性，而且在固体力学领域，它将是一种非常有用的数学工具。 2 2v o r o n o i 结构及d e l a u n a y 三角 v o r o n o i 结构和d e l a u n a y 三角是一种用来定义不规则点的几何构 造。据本文所述，首先考虑二维欧几罩得空间尺2 。r 2 上有一组节点n = n 。，n ：，”。) ，当然，此理论也适用于一般的空间框架结构。一阶 w o r o n o i 结构提出毗邻节点的概念。节点组n 的v o r o n o i 结构把平面细 分成若干个区域t ，其中每一个区域都对应一个节点n ，设x ，x ，为 h ，l ，节点的坐标，则区域是满足下式的x 点的集合【”】 t = x r 2 ：d ( x ，xr ) 1 ) v o r o n o i 结构。本文主要讨论的是二阶v o r o n o i 结构。 节点组二阶v o r o n o i 结构把平面剖分为若干个区域瓦，每一正，都与邻 接节点对( n ，n ，) 对应( k 阶v o r o n o i 结构中有k 对) ，则l ，是所有与 n ，第一邻接，与h ，第二邻接的点的集合，且仅当n ，与n ，邻接h , j ，l ，非 空。二阶v o r o n o i 单元l ，( ，) 定义如下所示【“j ： 乙一 x e r 2 ：a ( x ，x ，) a ( x ，x j ) a ( x ，x x ) ，v k ，( 2 - 2 ) 在区域内任取一动点x ，运用空外接圆准则，若点x 位于三角形 d t ( n ，n j ，n k ) 内，则n ，n ，和n 。为它的自然邻接，其周围节点的 v o r o n o i 结构如图2 - 2 0 ) 所示。点x ( 将其作为虚拟节点) 与它的自然 邻接的垂直平分线构成的v o r o n o i 单元工( 封闭多边形a b c d ) ，为二 阶v o r o n o i 结构( 见图2 - 2 ( b ) ) 。x 有四个( n = 4 ) 自然邻接，为节点1 4 。自然单元法将点x 的形函数定义为其二阶v o r o n o i 结构的某种面积 比，表示为 庐，( x ) - a ，( x ) a ( x )( 2 - 3 ) 式中a ，( x ) 为节点，与点x 的v o r o n o i 结构重叠部分的面积，a ( x ) 为 点x 的v o r o n o i 结构的面积。例如，节点3 的形函数可表示为 币3 l 确= a c d 目 a 。h 。d ( 2 - 4 ) 武汉理。j ：人学硕士学位论文 图2 - 2 ( a ) 点x 周围的v o r o n o i 结构；( b ) 点x 的一阶和二阶v o r o n o i 结构 f i g u r e2 - 2 ( a ) o r i g i n a lv o r o n o id i a g r a ma n dx ；a n d ( b ) 1 s t o r d e ra n d 2 n d o r d e rv o r o n o ic e l i sa b o u tx 对式( 2 3 ) 求导得 啪) = 业学忙1 2 ) ( 2 _ 5 ) 定义了各结点的插值函数后，点x 的位移场函数类似于有限i 法 可写为 u ( x ) 2 荟帕) u ，( 2 - 6 ) 式中u x ( ，= 1 , 2 ，以) 为点x 的自然邻接，的结点位移，妒，( x ) 为对应结点 的形函数。 2 3 2 形函数特点 根据上面所给的形函数定义，显然有以f 性质： 0 蔓办( x ) 9 1 同时，由图2 - 2 ( b ) 可以发现，若点x 与节点，重合 的v o r o n o i 结构全部处于t 内，与丁，j ，的交为空集， 九( x ) - o ，j i 。因此n e m 形函数具有以下性质： 九( x ，) = 6 u 2 3 3 单位划分 ( 2 - 7 ) 即x = x ，则x 故妒，( x ) = 1 ，且 ( 2 8 ) 由形函数构造方程( 2 3 ) ，推得下式： y 九) = 1 i n q ( 2 - 9 ) 缁 n 是自然邻接总数，q 为图2 - 1 中区域。因此，根据方程( 2 7 ) 及上 述性质，称形函数构成了一个单位划分【2 3 1 ，即在形函数基础上构成的 插值单元能形成常值函数，并插入一些来自解空间的增量函数，扩火 位移函数空洲来丰富插值单元。 武汉理l 人学硕士学何论文 2 3 4 线性一致性 在二阶p d e 如弹性力学，线性一致性1 2 4 1 是插值单兀复制常线性位 移场的重要条件。自然邻接形函数也适用于局部坐标，即 x2 荟办( x ) x ，( 2 - 1 0 ) 这说明形函数能准确地重构几何坐标。若( 2 1 0 ) 与方程( 2 - 9 ) 同时成立说 明满足线性一致。 2 3 。5 自然邻接与形函数图示 任选一节点，j v 。设节点i 形函数，( x ) 的定义域为q 。根掘 外接圆准则，若点x 在以节点，为其中一顶点的d e l a u n a y 外接圃内， 则庐，( 对不为零。故q 。为通过点，的所有d e l a u n a y 外接圆区域。图 2 - 3 ( a 1 ，2 - 3 ( b ) 所示为一2 5 个节点等分的单位正方形及中心点爿的的形 函数值九( x ) ，可以看出x ；x 。时形函数九( x 。) 为最大值。九( x ) 的图形好 似一个收紧的橡胶薄膜。 图2 - 3 自然邻接形函数：( a ) 2 5 节点分布；( b ) 节点彳的形函数九( x ) f i g u r e2 - 3 s u p p o r tf o rn e ms h a p ef u n c t i o n ：( a ) n o d a lg r i d ；a n d ( b ) s h a p e f u n c t i o n 九( x ) f o rn o d ea 武汉理l ：人学硕十学位论文 n e m 单元插值形函数与那些广泛应用的近似方法相比，有其自然性与 内在优点。不论是s h e p a r d 插值i ”】或移动最小乘方法i 26 1 ，其加权均 由距离决定，常为各向同。忖( 二维圆形，三维球形) ，半径固定的非 负值。且与x 越接近的节点，对x 加权越高。而自然邻接插值采取了 完令不同的理论。点x 的加权并非由单纯的长度尺寸决定，而是取决 于l e b e s g u e 空间准则。在无网格方法中，节点呈不规则分布时，加权 由分析域节点密度决定。而在n n 插值巾，由于构造上的特点，点x 的1 ，点加权分配方面，不仅需考虑节点的密度，还需考虑其分布状态。 陶2 4 说明了上述观念。 图2 - 4 虽然有下列关系d ( a ，e ) d ( a ，d ) d ( a ，c ) ，d ( a ， f ) d ( a ，d ) d ( a ，c ) ，但仅节点b ，c ，d 为节点a 的自然邻接，而节点 e ，f 则不是 f i g u r e2 - 4 v o r o n o in e i g h b o u r s b ，c ，a n dda r en e i g h b o u r so fa ，b u te a n dfa r en o t ，e v e nt h o u g hd ( a ，e ) d ( a ，d ) d ( a ，c ) a n dd ( a ， f ) d ( a ，d ) 4 ，形函数是有理四次式 函数1 2 7 。下面分别进行讨论： 2 38 1 三个自然邻接 若点x 自然邻接为3 ( n = 3 ) ，n e m 形函数为重心坐标，或为常应 变三角形有限单元形函数。 证明如卜： 据重心与n e m 形函数唯一的观点，这里我们用线形重构来证明两 者等价性。 设点x = ，y ) 的自然邻接为节点1 ，2 ，3 ，坐标分别为( _ ，y ，) ，= 1 3 ( 见图2 - 7 ) ，根据方程( 2 - 9 ) 和( 2 - l o ) ，n e m 形函数满足以下方程： 酗( x ) “( 2 - 1 3 ) 荟九，( 2 - 1 4 ) 荟咖，叫( 2 - 1 5 ) 写成矩阵形式： 眭1 渊5 i ( 2 - 1 6 ) 陔线性方程组的解为 氟( x ) - 等娩( x ) = 等舭) = 箫 ( ，1 7 ) 武汉理上人学硕+ 学位论文 其巾 3 12 图2 7 重心坐标( n = 3 ) f i g u r e2 - 7 b a r y c e n t r i cc o o r d i n a t e sn - - 3 ) 删= 扣 p 其中d 1 ( x ) = 2 a 。( x ) ，d ：( x ) ；2 , 4 2 ( x ) ，d ，( x ) = 2 a 。( x ) ( 图2 - 7 ) 。爿( x ) 是，日的 面积。故形函数可以写成： 伸) = 等戒( 】【) = 等以( x ) = 等 ( 2 _ 1 9 ) 正好是等于重心坐标。 2 3 82 四个自然邻接( 正则网格) 对一正方形节点网格，若点x 有四个自然邻接m = 4 ) ，则为矩形双 线性插值。本文用自然邻接形函数的定义给出明确计算，以证明其等 价性。证明如下 图2 - 8 为点x 和四个位于单位正方形顶点的自然邻接： 。，y 。) z ( o ，0 ) ，0 ：，y ：) = q o ) ，o 。，y 。) = ( 1 ，1 ) ，0 。，y 。) = ( o ，1 ) ，以及x 的一阶 ( 虚线) 和二阶v o r o n o i 单元。据n e m 形函数定义，有 武汉理l 人学硕十学何沦文 伸) = 等， f 2 2 0 ) a 。( x ) ，a 2 ( x ) ，a ，( x ) 和4 。( x ) 分别为“，a m ，m 以及“的面积，4 ( x ) 为阶v o r o n o i 多边形a b c d 的面积，e 是单位正方形的中心，坐标为 ( 1 2 ，】2 ) 。 7 i d a 图2 - 8 正则网格双线性插值( n - - - 4 1 f i g u r e2 - 8 b i l i n e a ri n t e r p o l a t i o no nar e g u l a rg r i d ( h = 4 ) 下面计算二阶v o r o n o i 单元的面积。显然