（工程力学专业论文）板状纳米材料的拟连续介质力学模型及其在弯曲中的应用.pdf

申请同济大学硕士学位论文 摘要 摘要 本文提出了一个分析具有立方晶体原子排列的超薄板型纳米结构的拟连续 介质力学模型。该模型假设板型纳米结构沿厚度方向( z 方向) 保持离散的特性， 而面内方向( x 和y 方向) 具有连续的特性，并且考虑了厚度方向原子层间距变 化的表面效应。推导得到了纳米材料弹性模量以及面内和面外泊松比的解析表达 式，并进行了数值计算。结果表明，纳米板的弹性常数具有尺寸效应，并当原子 层数趋向无穷时，达到他们的b u l k 值。 采用本文提出的拟连续介质力学的模型，基于变分原理获得了板状纳米材料 变形的一般控制方程，并具体应用于具有柱状变形的纳米板弯曲问题的分析中， 获得了问题的解析解。该解与有限元数值解和运用经典m i n d l i n 板理论的解比较 表明，本文模型具有足够的计算精度。 本文所提出和运用的拟连续介质力学模型是一种相对简单却又能反映纳米 材料尺度性能的有效模型，它可进一步应用于该类结构的屈曲问题的分析中。 关键词：板状纳米材料，立方晶体，拟连续介质力学模型，表面效应，尺寸相关， 弹性常数，弯曲 申请同济大学硕士学位论文摘要 a b s t r a c t d e t e r m i n a t i o no ne l a s t i cc o n s t a n to fu l t r a - t h i n p l a t e t y p e c u b i c c r y s t a l n a l l o m a t e r i a l sw i t hi sp r e s e n t e db a s e do naq u a s i c o n t i n u u mm o d e l t h em o d e li s b a s e do nt h ea s s u m p t i o nt h a td i s c r e t ep r o p e r t yi s k e ：p ta l o n gt h et h i c k n e s sw h i l e c o n t i n u o u sp r o p e r t i e sa r et r e a t e di nt w oi n - p l a n ed i r e c t i o n so ft h ep l a t es t r u c t u r eu s i n g c l a s s i c lc o n t i n u u mm e t h o d t h ee f f e c to fs u r f a c ei si n c l u d e db ya s s u m i n ga c h a n g i n g d i s t a n c eb e t w e e nt w oa n ya d j a c e n ta t o m i cl a y e r s t h ee x p r e s s i o n sf o rt h ee l a s t i c m o d u l u s ，i n p l a n ea n do u t o f - p l a n ep o i s s o n sr a t i o sa r ed e r i v e da n a l y t i c a l l ya n d n u m e r i c a lr e s u l t sa r e g i v e n t h e r e s u l t si n d i c a t et h a te l a s t i cc o n t a n t sa r e s i z e d e p e n d e n t ，a n dt h e ya r r i v ea tt h e i rb u l kv a l u e sw h e nt h en u m b e ro fa t o m i cl a y e r a p p r o a c h e si n f i n i t y a na p p l i c a t i o no ft h ea b o v em o d e ll e a d st of u n d a m e n t a lg o v e m i n ge q u a t i o n s w i t ht h ea i do fv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e s p e c i f i c a l l y , c y l i n d r i c a lb e n d i n go ft h es t r u c t u r e u n d e ru n i f o r mp r e s s u r ei sa n a l y z e da n da ne x a c ts o l u t i o ni sa c q u i r e dt od e t e r m i n et h e d e f l e c t i o no ft h en a n o p l a t e t h er e s u l t i n ga n a l y t i c a ls o l u t i o ni sc o m p a r e dw i t h n u m e r i c a lr e s u l t sf r o mt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) a n dc l a s s i c a lm i n d l i np l a t e t h e o r y , w h i c hi n d i c a t e st h a tt h em o d e lh a sag o o da c c u r a c yi nc o m p u t a t i o n t h ep r e s e n tq u a s i c o n t i n u u mm o d e li sas i m p l ea n dv a l i df o rs i z e - d e p e n d e n t p l a t e - t y p en a n o m a t e r i a l s ，a n dc a nb ee x t e n d e dt oa n a l y s i so fb u c k l i n gb e h a v i o ro f s u c hn a n o p l a t es t r u c t u r e s k e yw o r d s ：p l a t e - t y p en a n o - m a t e r i a l s ，c u b i cc r y s t a l ，q u a s i - c o n t i n u u mm o d e l ，e f f e c t o fs u r f a c e ，s i z e - d e p e n d e n t ，e l a s t i cc o n s t a n t s ，b e n d i n g 1 i 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名： 年月 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 年月 日 申请同济大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 纳米材料概述 纳米技术被认为是本世纪最具发展潜力及挑战性的技术之一，科学界和工程 界已开展了许多工作来研究纳米材料，并在很多领域得到了应用。例如，超薄 p m m p 胶片，它每平方英寸能储存5 0 0 g b it 容量的信息，大约是磁带容量的 4 0 s o 倍叱纳米管则被用来做扫描隧道显微镜( s t m ) 1 2 1 、原子力显微镜( a f m ) 【3 l 的纳米探针、晶体管部件【4 j 以及作为纳米复合材料的高性能增强材料等。 一般认为纳米材料的特征尺寸在l - - - 1 0 0 n m 之间。根据特征尺度的不同， 纳米材料可以分为以下几类1 5j ： ( 1 ) 纳米粉体材料：材料的三维尺度都在l - - - - 1 0 0 n m 之间； ( 2 ) 纳米薄膜材料：材料有一维尺度在l , - 一1 0 0 n m 之间，包括由其构成的复 合多层膜，还包括纳米片状材料以及由其构成的纳米层状结构材料； ( 3 ) 纳米线：材料在两维方向上处于纳米量级，而在长度方向上较长，如纳 米碳管等； ( 4 ) 纳米块体材料：其晶粒或微观特征尺寸在l - - - - 1 0 0 n m 之间，纳米晶金属 或纳米复合材料等； ( 5 ) 纳米孔材料：具有孔径在l - - 一1 0 0 n m 之间的多孔结构材料。 纳米材料与常规材料的区别不仅仅在于尺度的不同，最重要的是在于物理化 学性能的变化，正是由于这些变化，为科学研究开辟了一个崭新的领域，更为产 品开发提供了新的手段和技术。这也是人们之所以重视纳米材料的根本原因。目 前一般认为纳米材料具有表面效应、体积效应、量子尺寸效应和宏观量子隧道效 应等l 引。 1 2 纳米力学 根据材料尺寸的不同，纳米力学包括两个方面的内容：一个是纳米尺度力学， 另一个是纳观力学。前者涉及的是特征尺度为o 1 1 0 0 n m 之间的微细结构所 涉及的力学问题，后者是在纳米的尺度上进行力学的观察研究。纳米力学与适用 1 申请同济大学硕士学位论文 第一章绪论 的特征尺度约为1 0 0 n m 一1 0 0i im 之间的细观力学不同的是，它不仅以连续介质 为载体，而且具有离散描述的特征。同时，它与探讨微观世界、尺度在纳米以下 的单纯量子力学研究也不相同，纳米力学着力于探讨由成千上万原子组成的凝聚 态物质所涌现的带有整体特征的力学行为1 7 j 。 纳米力学的范畴可从不同的视角来考察。从研究的手段上，可分为纳米计算 力学、纳米实验力学和纳米力学理论。目前，纳米计算力学方法主要有分子动力 学( m o l e c u l a rd y n a m i c s 简称m d ) 方法1 8 9 j 、盟特卡罗方法【1 0 j 、连续介质 力学以及混合方法。纳米实验力学也有两层含义：一是对特征尺度为( 1 1 0 0 n m ) 之间的微细结构进行的实验力学研究；二是以纳米层次的分辨率来测量力学场。 纳米力学理论的框架可用两种方式来建立：一是混合型或嵌套型，即将固态物质 中较完善、缓时变的区域考虑为连续介质，而将缺陷密度高、快变化的区域用分 子动力学来描述，即考虑可兼容连续介质力学与分子动力学的描述框架。目前刚 刚开始将连续介质力学或分子动力学与量子力学来进行多尺度描述，该描述无法 采用常规的混合或兼容方法。因为除了定解方程的不同外，边界条件的衔接亦提 出新的困难：量子力学的边界条件针对外层电子云，而连续介质力学和分子动力 学的边界条件针对原子核的位置或传递力。 纳观尺度的计算中并存三种物理算法模型，即连续介质力学算法( 适合于纳 米以上的空间尺度和纳秒以上的时间尺度) 、分子动力学算法( 适合于1 0 9 原子 以下的计算规模和纳秒以下的时间尺度) 、量子力学算法( 适合于1 0 0 个原子以 下的计算规模) 。若需计算模拟诸如表面、晶界、位错、纳米晶体、纳米裂纹之 类的行为，需要借助于连续介质力学算法与分子动力学算法的结合。 1 3 纳米材料与结构力学问题的研究进展 自1 9 8 4 年德国学者萨尔兰大学教授g 1e it er 首次人工制备得到块状纳米 晶体，并且提出纳米材料概念以来，纳米材料的力学性能研究得到了全世界 学者的广泛关注。同时，纳米尺度上的多学科交叉展现出巨大的生命力，迅速成 为一个有广泛学科内容和潜在应用前景的研究领域。 随着上世纪9 0 年代初碳纳米管的发现( i ijim a l l 2 】；e b b e s e n 、a a y a n1 1 3 】) 以及有效制备方法的提出( t h e s s ) ，人们做了许多的工作来研究它们独特的 2 申请同济大学硕士学位论文 第一章绪论 结构、力学、电导和化学属性。碳纳米管在厚度方向由单层或多层碳原子组成， 分别定义为单壁碳纳米管和多壁碳纳米管。 碳纳米管在力学属性方面显示出出色的性能，它的杨氏模量能达到i t p a 左 右，约为钢的s 倍；而拉伸强度可以达到2 0 6 3 g p a ，约为钢的一百多倍：理 论预测其断裂应变能达到s o 左右。即使在应变大于4 时，单壁碳纳米管的 变形也完全可逆。一根长6 n m ，直径为l n m 的单壁碳纳米管屈曲前能够承受s 的压缩应变，而在扭转情况下，能承受更大的应变。对碳纳米管的断裂研究表明， 单壁和多壁碳纳米管在断裂前能承受大于1 0 的应变【1 5 j 。 对于碳纳米管的研究，主要分为实验研究和理论研究。 在实验研究方面，碳纳米管的力学属性，如杨氏模量、剪切模量及泊松比， 可以通过原子力显微镜( a f m ) 、射电显微镜( t e m ) 、扫描电子显微镜( s e m ) 和扫描隧道显微镜( s t m ) 进行研究。1 9 9 6 年t r e a c y i l 6 j 等人通过射电显微镜 观察多壁碳纳米管的热振动得到了它的杨氏模量，变化范围为0 4 0 4 1 5 t p a ，平均1 8 t p a 。1 9 9 8 年k r is h n a n 等人同样运用t e m 对碳纳米 管在室温下的热振动进行了观察，得到的杨氏模量范围为o 9 0 一1 7 0 t p a ，平 均1 2 5 t p a 。而w o n g 【1 8 】、s a l v e t a t l l 9 】和t o m b l e r 【2 0 】分别通过a f m 对多壁 碳纳米管、单壁碳纳米管组成的纳米绳及单壁碳纳米管的弯曲问题进行了分析， 得到相应的杨氏模量为o 6 9 1 8 7 t p a 、0 6 t p a 和1 2 t p a 。2 0 0 1 年，y u 【2 1 j 对多壁碳纳米管做了纳米尺度下的拉伸测试，得到的杨氏模量的范围为o 2 7 0 9 5 t p a 。除了以上这些通过显微镜进行的研究外，p a n1 2 2 j 于1 9 9 9 年通过对 多壁碳纳米联结起来的很长的纳米绳的拉伸测试，直接测量得到其杨氏模量的范 围为o 2 2 一o 6 8 t p a 。 在理论研究方面，碳纳米管的力学属性主要通过原子论方法建模和连续介质 力学方法建模来模拟。原子论方法建模最典型的就是应用经典的分子动力学 ( m d ) 方法，其关键就是选取合适的势函数，然后通过经典牛顿力学体系的 h a m i1t o n 动力学方程来求解问题。初始结构中诸原子的速度分布满足给定温度 下的波儿兹曼分布，模拟的真实性依赖于原子间作用势的准确程度。采用不同的 原子间作用势，可衍生出不同的分子动力学分支。 1 9 9 2 年r o b e r t s o n l 2 3j 选取t e r s o f f t 2 4j 势函数和b r e n n e r l 2 5j 势函数以及 3 申请同济大学硕士学位论文 第一章绪论 局部密度函数，应用分子动力学方法得到的单壁碳纳米管杨氏模量大约为 1 0 2 t p a 。而o v er n e y 2 6 。、l u z t p r y lu t s k y y 2 8 1 等人通过选取其他的势函 数，得到单壁碳纳米管的杨氏模量分别为1 5 t p a 、0 9 7 t p a 和1 1 - 1 2 t p a 。 1 9 9 7 年l u l 2 7 j 还运用相似的方法得到了多壁碳纳米管的杨氏模量，范围为0 9 7 - - 1 1 1 t p a 。2 0 0 0 年，p o p o v 2 9 , 3 0 】将b o r n 和h u a n g 3 1 】的扰动技术应用于纳 米管的点阵动力学模型，得到了单壁碳纳米管弹性模量的解析解。s h i n t a n i 等1 3 2 j 运用分子动力学方法获得了单壁碳纳米管的泊松比。z h a n g 等人 3 3 j 则研究 了碳纳米管的塑性变形。 相对于分子动力学方法，连续介质力学的方法一般很少应用于碳纳米管的研 究，因为在原子或纳米尺度下，连续理论一般不再适用。在应用连续性方法进行 的研究中，碳纳米管往往被模拟成柱壳、梁或桁架单元。l i 3 4 j 应用结构力学的 方法近似模拟碳纳米管的变形，通过计算单壁碳纳米管的弹性变形得到其杨氏模 量。而r u 3 5 j 则利用连续壳模型研究碳纳米管轴心受压的有效弯曲刚度。另外， h a n 和l u l 3 6 1 通过弹性双壳模型研究了弹性介质中双壁碳纳米管的扭转屈曲。 分子动力学方法由于考虑了原子间的作用力，具有一定的精确性，然而，它 由于计算量巨大，其计算规模很小。传统的连续介质力学方法虽然计算速度快， 规模大，但计算精度偏低，用于纳米尺度有局限性。因此，人们希望能寻求一种 新的模型和方法，使它既具备计算高效的特点又能保证适当的精度，从而可以更 好的处理大规模或跨尺度的纳米力学问题。 t a d m or1 3 7 , 3 8 1 、m - i11er 3 9 , 4 0 1 以及s h e n o y 4 l 4 2 1 等人结合了原子论方法和连续 介质理论，提出了一种拟连续模型，其中把原子模拟应用于相关的非均匀变形范 围，而将连续理论应用于均匀变形的区域。f r ie s e c k e 和j a m e s 4 3 j 针对跨尺 度的纳米结构提出将原子论知识转到连续理论的方法。g a o 4 4 j 分别通过分子动力 学模拟和连续介质力学理论研究纳米尺度下的动力断裂问题，发现两者吻合的很 好。这说明在特定条件下，连续理论是适用于纳米尺度的。z h a n g 4 5 j 提出的纳 米尺度下的连续理论则将原子间势能直接结合在固态结构模型中。最近，s u n 1 4 6 1 提出了一个简单立方结构的纳米板拟连续力学模型。该模型结合了传统连续介质 力学和分子动力学的思想，同时克服了以往方法对多尺度问题处理精度差或效率 4 申请同济大学硕士学位论文第一章绪论 低的不足，获得了该材料弹性模量与微观结构尺寸之间关系的解析表达式。 1 4 论文主要内容 ( 1 ) 、建立超薄纳米板结构的拟连续介质力学模型，模型考虑到板面内连续特性 及厚度方向的离散特性的同时，计及了原子层间距变化的表面效应。推导获得板 状纳米材料弹性模量和泊松比的解析表达式； ( 2 ) 、通过数值计算，分析原子层间距变化及原子层层数对弹性常数的定量的影 响： ( 3 ) 、根据拟连续介质力学模型，运用变分原理推导板状纳米材料在受弯情况下 的控制方程； ( 4 ) 、分别用传统的连续板理论和本文提出的拟连续介质力学模型求解最大挠度 与外载之间的特征关系； ( 5 ) 、进行有限元建模及计算； ( 6 ) 、对用不同方法得到的数值结果进行比较分析。 s 申请同济大学硕士学位论文 第二章板状纳米材料弹性常数的确定 第二章板状纳米材料弹性常数的确定 4 7 】 2 1 拟连续介质力学模型 假设板状结构纳米材料共有2 n + l 层原子，其中n = 1 , 2 ，3 。每一原子层中 两个相邻原子间的距离是a ；相邻原子层，和，+ 1 之间的距离为 a tu = 一n ，一n + 1 ，o ，n l ，) ，其中，= 一n ，n 分别表示下表面和上表面。如图 2 1 所示。每个原子与其最近相邻及次近相邻的原子之间的作用力分别用弹性刚 度为口。 y ) 和口：( 口y ) 的弹簧表示，如图2 2 所示，其中上标丁，b 分别表示上 表面和下表面。 z l 芷n l - 1 l = 0 f 1 1 f - ， 图2 1 仅l 图2 2 2 2 弹性常数表达式 我们从上述模型中选取一个具有代表性的立方体单元，如图2 3 所示。定义 单元中各原子的坐标为： 6 申请同济大学硕士学位论文 1 ： 3 ： 5 ： 7 ： 其 yj ，z ，) y + i ，z ，) yf ，z ，+ 1 ) y + i ， z ，+ i ) ( xj + l ， ( xj + l ， ( xj + l ， ( xf + l ， 第二章板状纳米材料弹性常数的确定 yj ，z ，) y + l ，z ，) yf ，z ，+ 1 ) y ，+ 1 ，z ，+ 1 ) 中，原子l 一4 在第，层，原子5 8 在第，+ 1 层 最近和次近相邻原子间的弹簧。 z 假设u 一：、u ，、 原子l 和2 、1 和3 、1 弹簧拉伸所引起的变形 u 卜22 u 一5 、 5 x u 一。、 和5 、1 和6 、 能，则有： “，+ l ，厂u i , j , i ) 2 7 图2 3 苎 实线和虚线分别表示 u 一。、u 。一，、一，、一，、乩一，分别表示由 1 和4 、1 和7 、2 和3 、2 和5 、3 和5 之间 = 专口。【“以川，y ) - - i i i ( z 川y ) 】2 叫口掣 2 ( j ，力= ( 扎j ，) j u 。一s = - 墨- - t ：t 。( 1 ，u + 。，厂一 r ) 2 = 士口。【v 加y + 。) - - v i ( x ly 棚2 刊口掣 1 2 i ( x ，y ) = ( “, v j ) j 7 ( 2 - 1 小 ( 2 - x b ) ， ， ， p p p x x x ，l，i、，_一，-一 8 。 口 ，一2 申请同济大学硕士学位论文 u = 号口，( w u t f + t w i , j , i ) 2 = 专口。【w 川( x i y ，) 一w ，( x i y j ) 】2 。剖赤卜厢l 唧 + 赤+ 市l ”引钭 ，：丢口：丁 么 【 + c ，：一，= ：三c z ： 譬 c z o u ，( z ，少) + l ( 一，y j ) + d 第二章板状纳米材料弹性常数的确定 a 甜，+ l ( x ，j ，) “，y j ) + 口掣 ( 耳，y j ) + 口 a u ，( x ，少) ，+ a 掣 “y j ) 。， r lv “l ( 工f ，y _ ，) + 口 l r lm + l ， ) + 日 l a u ，( x ，y ) ( 而，y j ) 斟- 口掣 1f s 2 吉口： l + 一口 ( 而乃， 一甜，( x ，y j ) i ( 而j ，) j ( 2 - 1 c ) 。y j ) 晰乃弘j 埔 “， i 1 1 2 “巧) jj a y ，+ l ( x ，y ) a u ，( x ，y ) ，、+ 口掣 y j ) 。， 南卜 丽- - q i 卜 + ， 一1 ，心，少) l t x l y j 、 1 1 2 一( t ，y 川 ( _ ，y j ) jj 1 2 b t ，d 3 a “，( x ，y ) c o x o w _ ( x ，力 8 一甜，+ l ( x j ，y ) i ( y j ) j 2 一w t + l ( 一，y 川 ( “y j )1j ( 2 - 1 e ) ( 2 - 1 f ) ( 2 - 1 9 ) ( 2 1 h ) 力一 警 一 旧 一 巫2 申请同济大学硕士学位论文第二章板状纳米材料弹性常数的确定 剖南卜彬m 半l 叫 + 商卜p 口掣l ，乃) ) 2 ；， 上面变形能推导中已考虑到每层中从原子到原子其位移变化缓慢，因而关于 位置变化的t a y l o r 级数展开和二项式展开中均忽略了更高阶小量的影响。 对位于上表面和下表面的原子，我们选取如图2 4 所示的单元。同样假设 曙、u i t _ 手、昭、哩；分别表示由原子1 和2 、1 和3 、1 和4 、2 和3 之间弹 簧拉伸所引起的变形能，其中上标丁，b 分别表示上表面和下表面，则同理可得此 单元总的变形能为： u w t , b = 雌乒+ 睹+ 昭+ 噬； 7 1 。t , bl 掣l 卜。l 士半l ， 2 妒懈掣l 协o u n ( x , y ) 吣， + 萼l 掣l + a 饥0 7 ，盟yl ， ) 2 桫阱掣l o u n ( x , y ) i 毗， + 斗掣l ，+ 口学l ， 2 仁2 ， z x 图2 4 9 申请同济大学硕士学位论文第二章板状纳米材料弹性常数的确定 假设第，层的纳米材料在x 、y 和z 方向上的位移分量分别为： 应变分量分别为： 约瓴力= 甜伍力， v ， 力= 1 ，似力， “力= ( ，+ 1 ) w 瓴力 o u g z2 瓦， a ， 占y2 万， a ua ， 厂叫2 万+ 瓦 g z2 w t 。1 一w tw t w w 则，立方体单元a 口h 的应变能可表示为： u 。= ( u 1 2 + u 3 + u 1 4 + u 羔，) + l 暑一n j v l 一l 口， ( 2 3 a ) ( 2 - 3 b ) ( 2 - 3 c ) ( 2 - 4 a ) ( 2 - 4 b ) ( 2 - 4 c ) ( 2 - 4 d ) ( u 幺+ u 1 6 + u ! ，+ u 三，+ u 三，) 1 = 一n j 一l ( u 1 2 + u 1 3 + u 1 4 + u 三3 ) + ，= 一( 一1 ) l = 一n( u ! ，+ u ! 。+ u ! ，+ u 羔5 + u 羔，) + ( u r 2 + u 乙+ u 二+ u 二。) + ( u 乏+ u 三+ u 二+ u 兰，) 一1 i = - ( n n【_ 墨_ _ a l a 2 2 + 吉1 2 , 1 c 12 ，2 + 吉口：古口2 ( g ，+ g y + 厂叫) z + 虿1 l i t 口2 。2 z 1 t a 2 j ，2 + 吉吁吉口2 ( s z + c y - - 厂叫) 2j + 虿1 u2 t 1 c l2 ( o p x + o e y + 7 砂) 2 + i 1 “2 t a 2 ( f , x + g y - - 厂砂) 2 + 丁1 “l b a2 。2 + 丁1 “l b 口2 占y 2 + 虿1 ：b 吉a2 ( 占，+ s y + y 叫) 2 + 丁1 ：b - 吉a2 ( e x + e y - - 7 矽) 2 + ，艺= - n 卜咖h 吲南伽，+ l o 万百 a ，占：) 2 申请同济大学硕士学位论文第二章板状纳米材料弹性常数的确定 + 扣南伽工+f 瓦 6 z ) 2 ：) 2 a 1 6 = ) 2 1 j = 口2 | ( 一吉) 二。+ 吉( 口f + 口f ) 砖2 + 占；) + 吉【( 一吉) 口：+ 古( 口；+ 口；) j ( 占，+ g y + 厂矽) 2 + 吉k 一吉) 口：+ 吉( 口；+ 口2 r 、j7 e x + e y - - y 叫) 2 ，饕刁 j 一l + 口2 1 = 一n 一1 + 口： ，盆一n南矿南 ( 2 - 5 ) 因此，总厚度为厅的立方单元的应变能密度为叭五y ) = u 。屈2 h 。根据相邻原 子层间的距离分布情况，每层的厚度为h ，( ，= 0 ，1 ，n ) ( 如图2 5 所示) ，它 们定义如下： 五。= a o + 吉口一 h 。= 吉口。+ 吉口，= 吉口一。+ 吉口一： h ：= 吉口。+ 吉口：= i 口- 2 + 吉口一， h 一。= - a n - 2 + 专口一。= 吉q 川，+ 专口一 h = 专口+ 吉口州= 6 1 - n + i 口一 办= 厅o + 2 ( h i + h 2 + + h ，) l l vil一vil，一 如 如 ，。一，。l 申请同济大学硕士学位论文第二章板状纳米材料弹性常数的确定 h 叵n 三三二i 二 韭 匠 q 1 qo q 1 q 2 总厚度为办-i(，笺口，+口一，=(2n 总厚度为办 口，l + 口州= l 、，= 一 一l ，= o 图2 5 i = n i = n - 1 l = 2 l = l t = 0 i = 一1 【：一2 l = 一( n - 1 ) 【= 一n 口， + 口一。= 口五。c ，。 考虑纳米结构沿x 方向的单向拉伸情况，则有仃y = 盯：= 0 ，即： 仃z o y 由方程( 2 7 a ) ，我们可以得到： r ，1 巳p - 因此， 一l t = 一n 7 ) 口ii + 口2 1 + 口2 j 一l 缸，y j r 一 | = 一n 一i i = 一n | 一l l = 一n a u 8 s z a u = 一= a y o o 堡 a f 葡f i 一1 口卜钯： f = 一n 一丽番篙等丽和，4 - ) = 工工- 口1 名2 ( _ ) + 缸2 五4 ( ，) 、。y 7 由方程( 2 - 7 b ) ，我们可以得到： 1 2 ( s ，+ g y ) ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 a ) ( 2 - 7 ” a ，= 0 ( 2 - 8 ) ，。l，。、 谣 一 = = g 申请同济大学硕士学位论文第二章板状纳米材料弹性常数的确定 口2 【( 一吉弦。+ 吉( 口+ 口，) j 勉y 十2 【( 一吉：+ 吉( 口；+ 口多) j ( o x 1 - c y ) + 一l 缸，y z _ 一 将方程( 2 - 8 ) 代入上式，得： 即， ，= 一| 【( 2 厂一1 ) a l + 口- + 口f + ( 2 一1 ) a 2 + 口2 t + 口f + 2 口2 ( 2 一见3 ) s y2 一 十缸：允，( 一习两2 口2 , 3 + c 2 n - 1 ) a 2 + a ；+ 口：b + 2 口：a ，c i 热 ( 2 n - 1 ) 口：+ 口；+ 口：b 一籀 = = 0 = 0 ( 2 n 1 ) 口。+ 口f + 口，+ ( 6 n 一2 2 。一1 ) 口：+ 口彳+ 口；一篇 sx ( 2 - 9 ) 最后，将方程( 2 8 ) ，( 2 9 ) 代入式仃，= 瓦o u ，可得到仃，和s ，之间的关系： 印而1 - ( 2 一l 。+ 口f + 口玳+ 【( 2 一1 ) a ：+ 口；+ 口乒】( s x + 6 y ) | v l + 缸，y 一 ，= 一n = 南 c 小n c “一以3 - 1 ) 6 r 2 + a m 夕一播 ( 2 n - 1 ”咖口：8 哪筹象2 ：五。 ( 2 n 哪一h 6 一2 2 ，1 ) 叫咖夸蔫 1 3 ( 2 - 1 0 ) 申请同济大学硕士学位论文第二章板状纳米材料弹性常数的确定 其中， 记 引水(2n 口，i + 口川l - 划 一 i“l 纵堋= 寺，势舌 叫卜詈南 a 4 ( r ，) = 了1 n - i ，；一n 一l 1 = 0 口? 是吐- g 一3 研“2 一l ，= o ) a ，l + a 一1 1 = ( 2 n - 1 ) 口：+ 口；+ 口：b 一石鹣 彳2 = ( 2 n 一1 ) a l + 口f + 口，+ ( 4 一拟3 ) 口2 小格 ( 2 - 1 l a ) ( 2 - 1 l b ) ( 2 1 l c ) ( 2 - 1 1 d ) ( 2 1 2 a ) ( 2 1 2 b ) ( 2 - 1 2 c ) 利用式( 2 8 ) 、( 2 - 9 ) 、( 2 - 1 0 ) ，可最终得到弹性模量以及面内泊松比和面 外泊松比的解析表达式： 铲2 y x z a l + a2 s z a 2 a 3 占ja l + 彳2 e ：生：上垒垒刍型 占x a 1 口么l + a a 2占x九1 口以l + ( 2 - 1 3 a ) ( 2 - 1 3 b ) ( 2 1 3 c ) 2 3 算例分析 根据原子层间距变化的表面效应1 4 8 】，假设两相邻原子层第，层和第，+ 1 层之 间的距离a t 有如下分布形式， a t = a ( 1 + r e 一) ( ，= 0 ，1 ，n 一1 ；，0 )( 2 1 4 a ) 1 4 申请同济大学硕士学位论文第二章板状纳米材料弹性常数的确定 a t = a o + r e i 。o + 1 ) ( ，= 一l ，一2 ，一n ；，0 ) ( 2 - 1 4 b ) 上式表明， a ti ，：口= 口( 1 + 厂) ( ，0 )( 2 - 1 5 a ) a tl ，枷2a ( 2 - 1 5 b ) 其中，参数，反映了由表面效应所引起的厚度方向上原子间距的变化。计算中各 参数选取如下邮l ：a = 1 3 7 x 1 0 枷m ，呸= 口f j = 2 0 2 n m ，口2 = 口2 t ，口= 1 1 0 n m ， 则参数，在不同取值情况下，纳米材料的弹性模量e 及泊松比，随层数的 变化如图2 6 2 8 所示。 2 8 2 6 2 4 心 昌2 2 2 0 1 8 1 6 o 2 8 0 2 6 h 1 0 2 4 ， o 2 2 02 04 06 08 0 l a y e rn u m b e r ( 2 n + 1 ) 图2 6 弹性模量随原子层数的变化 1 0 0 o2 04 06 0 l a y e rn u m b e r ( 2 n + 1 ) 图2 7 面内泊松比随原子层数的变化 申请同济大学硕士学位论文第二章板状纳米材料弹性常数的确定 0 2 2 0 2 0 1 8 n 0 1 6 0 1 4 0 1 2 o 1 o2 04 06 08 0 l a y e rn u m b e r ( 2 n + 1 ) 图2 8 面外泊松比随原子层数的变化 1 0 0 计算结果表明，当原子层数较小时( 2 + 1 o l = 0 ， p r e p r o c e s s o r e l e m e n t t y p e a d d e d i t d e l e t e 菜单中选取 c o m b i n l 4 弹簧单元作为单元类型，用来模拟最近原子及次近原子间的相互作 用力。然后，利用m a i nm e n u p r e p r o c e s s o r m o d e l i n g 模块建立纳米板的有限元 模型，如图4 1 4 3 所示。 图4 1 n = i 时的纳米板有限元模型( 原子节点数：1 2 0 6 ) 3 0 申请同济大学硕士学位论文第四章纳米板弯曲问题的解与结果比较 图4 2 n = 3 时的纳米板有限元模型( 原子节点数：2 8 1 4 ) 图4 3 n = 5 时的纳米板有限元模型( 原子节点数：4 4 2 2 ) 3 1 申请同济大学硕士学位论文 第四章纳米板弯曲问题的解与结果比较 其中，x 为板的长度方向，且l x = 2 0 0 a ；z 为板的厚度方向；由于我们假设 纳米板在y 方向上相对于x 方向无限长，即考虑纳米板发生柱状变形的情况，因 此建立有限元模型时，我们在y 方向上只取了一个单元的长度，即三，= a 。相应 的，在前后表面0 = o ，y = 口) 上的弹簧单元的弹性常数也应取为实际大小的1 2 。 考虑纳米板两端固定以及在横向载荷作用下发生柱状变形的情况，用m a i n m e n u s o l u t i o n l o a d s _ a p p l y s t r u e t u r a l _ d i s p l a c e m e n t 模块定义边界条件时，令 x = o ，x = 2 0 0 a 处的节点各自由度都为零；同时，前后表面( y = o ，y = 口) 上的原 子在y 方向上的自由度也定义为零。由于纳米板受垂直板面方向的面力g 作用， 我们在用m a i nm e n u s o l u t i o n l o a d s 模块定a p p l y s t r u c t u r a l f o r c e m o m e n t 义载荷时，使有限元模型上下表面的每一个节点上都加载沿z 轴负方向的大小 为2 0 0 q a 2 8 0 4 的作用力。如图4 4 4 6 所示。 图4 4 n = i 时纳米板有限元模型的边界条件及载荷分布 3 2 申请同济大学硕士学位论文第四章纳米板弯曲问题的解与结果比较 图4 5 n = 3 时纳米板有限元模型的边界条件及载荷分布 图4 6 n = 5 时纳米板有限元模型的边界条件及载荷分布 申请同济大学硕士学位论文第四章纳米板弯曲问题的解与结果比较 经a n s y s 运算后，通过m a i nm e n u g e n e r a lp o s t p r o c p l o tr e s u l t s d e f o r m e d s h a p e 模块，我们可以得到纳米板有限元模型的变形如图4 7 4 9 所示。 图4 7 n = 1 时纳米板有限元模型的变形情况 图4 8 n = 3 时纳米板有限元模型的变形情况 申请同济大学硕士学位论文 第四章纳米板弯曲问题的解与结果比较 图4 9 n = 5 时纳米板有限元模型的变形情况 4 4 三种方法的结果比较与分析 计算中，选取纳米板沿x 方向的长度为l = 2 0 0 a ，各参数选取如下1 4 6 1 ： a = 1 3 7 x 1 0 一o m ，= a r ，占= 2 0 2 n m ，口2 = 口y = 1 i o n m ，则间距参数，及 参数在不同取值情况下，三种方法所得到的最大中心挠度与均布载荷q 的关系 如下所示： 申请同济大学硕士学位论文第四章纳米板弯曲问题的解与结果比较 3 5 0 e - 1 4 3 o o e - 1 4 2 5 0 e - 1 4 畲2 o o e 一1 4 毒1 5 0 e - 1 4 i o o e - 1 4 5 o o e - 1 5 0 o o e + 0 0 1 4 0 e - 1 5 i 2 0 e - 1 5 i o o e - 1 5 ，、8 o o e - 1 6 s e 富6 o o e 一1 6 4 o o e - 1 6 2 o o e - 1 6 0 o o e + 0 0 oo 2o 4o 6o 8 q ( p a ) 图4 1 0r = on = 1 00 20 4 0 60 8 1 q ( p a ) 图4 1lr = on = 3 申请同济大学硕士学位论文第四章纳米板弯曲问题的解与结果比较 3 0 0 e - 1 6 2 5 0 e - 1 6 2 o o e - 1 6 髫i 5 0 e - 1 6 良 1 o o e - 1 6 5 o o e - 1 7 0 o o e + 0 0 i 2 0 e - 1 5 1 o o e - 1 5 8 o o e 一1 6 售 ￥6 o o e 一1 6 善 4 o o e - 1 6 2 o o e - 1 6 0 o o e + 0 0 0 o 20 4o 6o 8 q ( p a ) 图4 1 2r = on = 5 0o 2o 4o 6o 8 q ( p a ) 图4 1 3r = o 1n = 3 3 7 申请同济大学硕士学位论文 第四章纳米板弯曲问题的解与结果比较 信 、- 藿 2 5 0 e _ 1 6 2 0 0 e - 1 6 1 5 0 e - 1 6 1 0 0 e - 1 6 5 o o e - 1 7 0 o o e + 0 0 1 2 0 e - 1 5 1 o o e - 1 5 8 o o e - 1 6 6 o o e 一1 6 良 4 o o e - 1 6 2 o o e - 1 6 0 o o e + 0 0 oo 2o 4o 6o 8 q ( p a ) 图4 1 4r = o 1n = 5 00 20 4o 6 0 8 q ( p a ) 图4 。1 5r = o 2n = 3 3 8 申请同济大学硕士学位论文第四章纳米板弯曲问题的解与结果比较 信 、 藿 、 昌 、- 吕 富 2 5 0 e - 1 6 2 o o e - 1 6 1 5 0 e - 1 6 i o o e - 1 6 5 o o e - 1 7 0 o o e + 0 0 1 o o e - 1 5 8 o o e - 1 6 6 o o e - 1 6 4 o o e - 1 6 2 o o e 1 6 0 o o e + 0 0 0o 20 40 6o 8 q ( p a ) 图4 1 6r = o 2n = 5 oo 20 40 60 8 q ( p a ) 图4 1 7r = o 3n = 3 3 9 申请同济大学硕士学位论文第四章纳米板弯曲问题的解与