（基础数学专业论文）受极大子群影响的群的若干基本性质.pdf

受极大子群影响的群的若干基本性质 学科专业：基础数学研究方向：无限群论 指导教师：段泽勇教授研究生：王兆浩( $ 2 0 0 4 0 7 9 6 ) 摘要 用极大子群来刻划群的结构是群论研究中很重要也是很有效的方法之一文献 【2 0 】研究了含极大子群为单群的非单有限群的结构受其影响，本文主要通过对含极 大子群为单群的群的研究。探讨了群的单性另外。也通过群的某些特殊极大子群 对群的可解性作了一些研究值得说明的是，我们这里并不限定群的有限性 本文的主要结论如下t 关于群的单性的结论 定理3 1 设群g 的任一极大干群都是单群，若g 中存在一个非正规极大子群满 足性质p ，那么g 是单群( 我们称群g 满足性质p 是指存在x g ，使得g = ) ， 且存在x 0 x ，使得1 似跏) g ) 定理3 2 设g 为有限生成群，如果群g 的任一极大子群都是非正规的单群，那 么g 是单群 定理3 3 设群g 的极大子群都非正规，且极大子群要么为单群要么为幂零群。 并且两者都存在，如果其中有一个幂零极大子群为有限群，那么g 为单群 定理3 4 设群g 的极大子拜都非正规，且极大子群要么为单群要么为幂零群， 如果其中有一个幂零极大子拜为有限生成群、有一个单极大子群为周期群，那么g 为单群 定理3 5 设群g 的极大子群都非正规，且极大子群妥么为单群要么为幂零群， 如果其中有一个幂零极大子群m 和一个单极大子群r 使得r n mp e rm ，那么g 为单群 注；t a r s k i 群是一个二元生成的无限单群且其任一极大子群都是素数阶群( 当 然非正规) 不难验证t a r s k i 群是满足定理3 3 ，3 4 ，3 5 的一个例子 推论3 3 群g 的每一个极大子群都是素数阶群的充要条件是g 为t a r s k i 群或 朋阶群r 允许p = 一 定理3 6 日是群g 的非正规单极大子群，如果日中存在非平凡的元素 l ，b 在 g 中共轭但在日中不共轭，那么g 为单群 定理3 7 日是群g 的单极大子群且h 非正规，如果i g ：h i m 伽 i g g i 1 9 g ，那么g 是单群 关于群的可解性的结论 定理4 1 设g 恰有n 个极大子群且都是g 的正规子群，那么g 只能是有限群， 当然g 为幂零群 定理4 2 群g = 0 l ，9 2 ，鲰) ，那么拜g 的极大子群均正规且砷每个吼而言与 其在g 中共轭的元在其所在的极大子群中也共轭的充要条件是g 为a b e l 群 定理4 3 若群g 是有限生成的，且群g 的每个极大子群均可解，则g 可解的 充分必要条件是， j ，g 仅有一个极大子群；或者纠f r a t ( c ) 不是极大正规子群 定理4 4 有限群g 的所有极大子群均可解，如果g 有一个正规子群满足； 存在素敷p 使得f g f p = i n i ，那么群g 可解 定理4 5 群g 的任一极大于群均幂零，如果存在一个极大子群为有限指数，那 么g 可解 我们试图利用一些特殊子群将有限群中的经典结论“奇阶群可解”和矿扩阶群 可解推广到无限群中去，得出如下结论。 定理5 4 取”为所有奇数构成的集合，群g 是一个 一群。如果其存在一个有 限指数的可解子群，那么群g 可解 定理5 5 取口= p q ) ，其中p ，口为素数，群g 为”一群，如果其存在一个有限 指数的可解子群，那么群g 可解 关键词：极大子群单群可解群 s o m eb a s i cp r o p e r t i e so fg r o u p si n f l u e n c e d b yt h e i rm a x i m a ls u b g r o u p s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s t u t o r ：p r o lz e y o n gd u a n a u t h o r ：z h a o h a ow a n g ( s 2 0 0 4 0 7 9 6 ) a b s t r a c t o n eo ft h em o s ti m p o r t a n ta n de f f e c t i v ew a y si st h a tt h es t r u c t u r eo fg r o u pi se s - t a b l i s h e db ym a x i m a ls u b g r o u p i nd o c u m e n t 2 0 l ，t h ea u t h o rs t u d i e dt h es t r u c t u r eo ft h e f i n i t en o n - s i m p l eg r o u pw h i c hp o s s e s s e sas i m p l em a x i m a ls u b g r o u p i n f l u e n c e db yd o c u - m e n t1 2 0 , i nt h i sp a p e rw ed i s c u s ss i m p l i c i t yo fg r o u p sm a i n l yb ys t u d i n gg r o u p sw h i c h p o s s e s ss i m p l em a x i m a ls u b g r o u p s i na d d i t i o n , w ea l s os t u d ys o l u b i l i t yo fg r o u p sb yt h e i r s o m ee s p e c i lm a x i m a ls u b g r o u p s ，i ti sw o r t hn o t i c i n gt h a tt h eg r o u ps t u d i e di nt h i sp a p e r i sa na l b i t a r yg r o u p f i n i t eo ri n f i n i t e w eg e tt h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ： a b o u ts i m p l i c i t y t h e o r e m3 1 l e tt h em a x i m a ls u b g r o u p so fg r o u pgb ea l ls i m p l e i ft h e r ei sa n o n n o r m a lm a x i m a ls u b g r o u po fgw h i c hp o s s e s s e sp r o p e r t yp ，t h e ngi ss i m p l e t h e o r e m3 2 l e tgb ef i n i t e l yg e n e r a t e d i ft h em a x i m a ls u b g r o u p so fg r o u pga l e a l ln o n n o r m a l a n da l es i m p l e t h e ngi ss i m p l e t h e o r e m3 3 l e tt h em a x i m a ls u b g r o u p so f g r o u pgb ea l ln o n n o r m a l a n db ee i t h e r s i m p l eo rn i l p o t e n t ，i fb o t ho ft h et w oc a 8 a x ee x i s t e n t ，a n do n eo fm a x i m a ls u b g r o u p so f gi sf i n i t e t h e ngi ss i m p l e t h e o r e m3 4 l e tt h em a x i m a ls u b g r o u p so fg r o u pgb ea l ln o n n o r m a l ，a n db e e i t h e rs i m p l eo rn i l p o t e n t i fo n eo fm a x i m a ls u b g r o u p si sn i l p o t e n ta n df i n i t e l yg e n e r a t e d a n do t h e ro n eo fm a x i m a ls u b g r o u p si ss i m p l ea n dt o r s i o n t h e ngi ss i m p l e t h e o r e m3 5 l e tt h em a x i m a ls u b g r o u p so fg r o u pgb ea l ln o n n o r m a l ，a n db e e i t h e rs i m p l eo rn i l p o t e n t ，i ft h e r ee x i s t sam a x i m a ls u b g r o u pmb en i i p o t e n ta n dm a x i v h a l s u b g r o u prb es i m p l ea n ds a r i s f yr nmp e rm t h e ngi ss i m p l e r e m a r k ：t h et a r s k ig r o u pi sg e n e r a t e db yt w oe l e m e n t sa n di n f i n i t e l ys i m p l e t h e m a x i m a ls u b g r o u p so ft h et a r s k ig r o u pa r ep r i m eo r d e r c o r o l l a r y3 3 t h eo r d e ro fa n ym a x i m a ls u b g r o u po fg r o u pgi sp r i m ei fa n do n l y i fgi sa nt a r s k ig r o u po rag r o u po fo r d e rp c t h e o r e m3 6 l e thb ean o n o r m a la n ds i m p l ea n dm a x i m a ls u b g r o u po fg r o u pg ，i ft h e r ee x i s tn o n t r i v a le l e m e n th la n dh 2i n 日，s u c ht h a th ia n dh 2a r ec o n j u g a t ee a c h o t h e ri ngb u tn o ti n 日t h e ngi ss i m p l e t h e o r e m3 7l e t 日b ean o n o r m a l ，s i m p l e ，a n dm a x i m a ls u b g r o u po fg r o u pg ，i f l g ：日i m i n i g c i l l g g ，t h e n g i ss i m p l e a b o u t8 0 l u b i l i t y t h e o r e m4 1l e tt h em a x i m a ls u b g r o u p so fg r o u pgb ea l ln o r m a l ，i ft h e r en r eo n l y 疗m a x i m a ls u b g r o u p sf o rg r o u pg ，t h e ngi sf i n i t e ，a n dc e r t a i n l y , gi sa l s on i l p o t e n t t h e o r e m4 2 l e t g = 0 l ，9 2 ，t 一，鲰) ，t h e ne v e r y m a x i m a ls u b g r o u p o f g i sa n o r m a l s u b g r o u pa n dt h ee l e m e n t so fgw h i c ha x ec o n j u g a t ee a c ho t h e ri nga x ea l s oc o n j u g a t ei n t h em a r t i a ls u b g r o u p sw h i c ht h e ya r ec o n t a i n e di fa n do n l yi fgi sa na b e lg r o u p t h e o r e m4 3i fg r o u pgi sf i n i t e l yg e n e r a t e d ，a n dt h e r ea r ea tl e a s tt w om a x i m a l s u b g r o u p si ng ，t h e ngi ss o l u b l ei fa n do n l yi fe v e r ym a x i m a ls u b g r o u po fgi ss o l u b l ea n d f r a t ( g 1i sn o tam a x i m a ln o r m a ls u b g r o u po fg t h e o r e m4 4l e tgb eaf i n i t eg r o u pa n de v e r ym a x i m a ls u b g r o u po fgb es o l u b l e ，i f n 里ga n dt h e r ei sap r i m ep ，s u c ht h a ti g i p = i n i p ，t h e ngi ss o l u b l e t h e o r e m4 5l e te v e r ym a x i m a ls u b g r o u po fg r o u pgb en i l p o t e n t i ft h e r ei sa m a x i m a ls u b g r o u po fgw h o s ei n d e xi sf i n i t e ，t h e ngi ss o l u b l e t h e o r e m5 4l e t b eas e to f o d dn u m b e r sa n dgb ea 丌- g r o u p i f t h e r ei sas o l u b l e s u b g r o u po fgw h o s ei n d e xi sf i n i t e ：t h e ngi ss o l u b l e t h e o r e m5 5s u p p o s ep ，qa x ed i s t i n c tp r i m e s ，l e t 丌= 弘q ) ，i fgi sn 仃一g r o u pa n d t h e r ei sas o l u b l es u b g r o u po fgw h o s oi n d c xj 8f i n i t e t h e ngi ss o l u b l e k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：m a x i m a ls u b g r o u p ；s i m p l eg r o u p ；s o l u b l eg r o u p 独创性声明 学位论文题目：受查堕立登墅堕亘皇登盟垄士 基本，陧漏 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者：王力 冶 签字日期：阳。7 年午月膳日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：王) j b 浩导师签名 签字日期：加d 7 年年月膳日签字日期 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址 日 电话：! 邮编： 1引言 m 为群g 的极大子群是指，对于群g 的任子群日，如果m h ，那么必然导 致m = 日或者g = 日我们知道，任何有限群都有极大子群；而且，有限群的任何 真子群都包含在其某一极大子群之中然而，对于无限群而言，我们并不能保证其 有极大子群；而且，对有极大子群的无限群，我们也不能保证其任一真子群都包含在 某一极大子群之中这些事实是我们在用极大子群来刻划群的性质时应注意的 用极大子群来刻划群的结构是群论研究中很重要也是很有效的方法之一在历 史上，有过不少用极大子群来刻划群的结构的结论其中不乏经典，如：“有限群g 是幂零群的充要条件是群g 的每个极大子群都正规( 见文献1 的定理5 2 4 ) 群论工作者们感兴趣于用极大子群来刻划群的结构由来已久，也作过许多尝试 比如研究仅含n 个极大子群的群的结构( 其中n 往往是取具体的数字如n = t ) n 一嘲； 研究极大子群的指数对群的结构的影响嘲一【8 】；再比如，用n 一次极大子群来研究群 的结构 9 1 1 1 0 ( 称群g 的极大子群m 的极大子群k 为群g 的2 一次极大子群，n 一 次极大子群的定义依此类推) ；用极大子群的正规指数研究群的结构 “卜 1 6 】；另外，还 有用群的特殊极大子群来研究群的结构【l7 】 1 q ；等等总之，人们对用极大子群来刻 划群的结构做过许多尝试，但是主要的途径就是我们以上所介绍的随着时间的推 移，人们对用极大子群来刻划群的结构的兴趣越来越浓，尝试也越来越多，用极大 予群来刻划群的结构必为我们所关注 通过对一些文献的查询，我们发现，以往，人们更多的是对极大子群与群的可解 性之间的关系感兴趣，而对于极大子群与群的单性、尤其对无限群的单性之间的关 系则关注很少有的也只是用极大子群的指数或阶来刻划某些已知的单群【1 q 例作 者借鉴了前人用群的特殊极大子群来刻划群的可解性的思想。参看了文献【2 0 】对于 含极大子群为单群的非单有限群的结构进行的研究于是，对极大子群为单群的群 进行了一些研究，探讨了群的单性；另外，还通过群g 的某些特殊极大子群对群的 可解性也作了一些研究值得说明的是。我们这里并不限定群的有限性 本文的主要结论如下： 关于群的单性的结论 定理3 1 设群g 的任一极大子群都是单群，若g 中存在一个非正规极大子群满 足性质p ，那么g 是单群( 我w 诩；群g 满足性质p 是指存在x g ，使得g = 伍) ， 1 且存在x o x ，使得1 ( x x o ) g ) 定理3 2 设g 为有限生成拜，如果拜g 的任一极大子群都是非正规的单群，那 么g 是单群 定理3 3 设群g 的极大子群都非正规，且极大子群要么为单群要么为幂零群， 并且两者都存在，如果其中有一个幂零极大子群为有限群，那么g 为单群 定理3 4 设拜g 的极大子群都非正规，且极大子群要么为单群要么为幂零拜， 如果其中有一个幂零极大子群为有限生成群、有一个单极大子拜为周期群，那么g 为单群 定理3 5 设群g 的极大子群都非正规，且极大子群要么为单群要么为幂零群， 如果其中有一个幂零极大子群肘和一个单极大子群r 使得r n mp e rm ，那么g 为单群 注：t a r s k i 群是一个二元生成的无限单群且其任一极大子群都是素数阶群( 当 然非正规) 不难验证t a r s k i 群是满足定理3 3 、3 4 ，3 5 的一个例子 推论3 3 群g 的每一个极大子群都是素数阶群的充要条件是g 为t a r s k i 群或 p 口阶群阮许p = q ， 定理3 6h 是群g 的非正规单极大子群，如果日中存在非平凡的元素 l ，圯在 g 中共轭但在日中不共轭，那么g 为单群 定理3 7 h 是群g 的单极大干群且日非正规，如果i g ：圳s m i n 1 9 c i l l g g ，那么g 是单群 关于群的可解性的结论 定理4 1 设g 恰有t 1 个极大子群且都是g 的正规子群，那么g 只能是有限群， 当然g 为幂零群 定理4 2 群g = 扫1 q 2 ，舫) ，那么群g 的极大子群均正规且对每个g i 而言与 其在g 中共轭的元在其所在的极大干群中也共轭的充要条件是g 为a b e l 群 定理4 3 若群g 是有限生成的。且群g 的每个极大子群均可解，则g 可解的 充分必要条件是 川g 仅有一个极大子群；或者剀f r a t ( g ) 不是极大正规子群 定理4 4 有限群g 的所有极大子群均可解，如果g 有一个正规子群满足， 存在素数p 使得l g i p = i n i p ，那么群g 可解 定理4 5 群g 的任一极大子群均幂零，如果存在一个极大子群为有限指数，那 2 么g 可解 我们试图利用一些特殊子群将有限群中的经典结论奇阶群可解”和。旷q 4 阶群 可解推广到无限群中去，得出如下结论： 定理5 4 取”为所有奇数构成的集合，拜g 是一个口一群，如果其存在一个有 限指数的可解子群，那么群g 可解 定理5 5 取口= 扫，q ，其中p ，q 为素敷，拜g 为7 1 一群，如果其存在一个有限 指数的可解子群，那么群g 可解 我们先对一些符号和术语作下面的说明； 未经特别说明g 总表示一个一般的群 ，表示在g 中与g 共轭的元构成的集合 ( x ) 表示由集合x 生成的群 f r a t ( g ) 表示群g 的所有极大子群之交构成的f r a t t i n i 子群 z ( g ) 表示群g 的中心 g ，表示群g 的换位子群 n g ( h ) 表示子群日在群g 中的正规化子 c c ( h ) 表示子群日在群g 中的中心化子 g 表示子群日在群g 中的核 其它符号参见【t 1 3 2 预备引理 引理2 1 ，可定理只曼j 钉n 是一个鼻子域，g 是一个q 一群，日是g 的一个 q 子群，如果存在$ g 且zgh ，那么在g 中存在一个n 子群k 是满足性质 h s k 且2 岳k 的最大子拜 引理2 2 脾1 1 定理j 1 1 g 为内幂零群，于是 g 的阶为p o 扩，其中p ，q 为互异素敷 甜g 为正规s y l o w 子群，设为q s y l o w 子拜口，此时g 的p s y l o w 子群p 循环设p = ( d ) ，则f r a t ( p ) = a p ) 含在g 的中心z ( o ) 内 鳓是真含在0 内的g 的极大正规子群，则i q ：n l = 矿，其中b 为q ( m o d p ) 的 指数，则n 之元与n 可换 设c q 于是，c 是q 妨一个生成元的充要条件是c 与口不可交换 纠若c 为q 的生成元，则【c ，a 1 = c - i 一也是q 的生成元 纠设c 为q 的生成元于是q = ( c ，d 矿，“) 从而由甜得口= ( 【c ，叫，【c ，口】4 ，一， c ，卅”“) 刀若q 为a b e l ，则q 为初等a b e l 鲫n = f r a t ( q ) = q ，其中f r a t ( q ) 为印的f r a t t i n i 子群，q 7 为q 的导子群 到若q 不是a b e l 群，则为初等a b e l 群，且n = z ( q ) 当q 2 时，q 的 方指数为0 1 0 ) z ( o ) = f r a t ( g ) = f r a t ( p ) f r a t ( o ) 引理2 3 ，j ，定理s b 1 a 同构单群的直积是特征单群 2 j 至少包含一个极小正规予群的特征单群是一些同构单群的直积 引理2 4 删定理# 1 爿a b e l 群g 是可除群的充分必要条件是它是一些与有理 数加群同构的群和一些与拟循环群同构的群的直和 引理2 5 例定理i ；j 町有限生成的可解周期群是有限群 引理2 0 如果群g 仅有一个极大子群，那么g 是p 0 阶循环群 ( 此引理众所周知，为了严谨，我们给个证明) 证明z 不妨就设g 的唯一极大子群为m ，显然f r a t ( g ) = ，任取9 g m ，那 么g = ( g ，m ) ；缸f r a t ( g ) ) = ( 9 ) ，所以g 是循环群从而显然只能是矿阶循环群口 4 引理2 7 ，j ，定理l s e s 令g = h k ，其中日p e rg ，k = ( ) 是无限循环群， 如果h n k = 1 那么t t 司g 引理2 8 当n 3 时，对任意的n a i + l a 。，n 都可表示为tn = ( 士，, n + 1 ) ， 其中1 a n ，z ， 1 ，f i ，r 1 ， 因此： n = ( i l ，i 2 ) ( i l ，i 3 ) ( i l ，i t ) ( 七1 如) ( 岛，b ) ( 詹l ，硒) ( z 1 ，现) ( 善l ，) ( z l z ，) ( z l ，n + 1 ) 当r 1 时。不妨记 7 = ( i l ，i 2 ) ( i l ，i 3 ) ( i l ，i t ) ( 七i ，如) ( 七l ，b ) ( k l ，岛) ( z l ，z 2 ) ( 。i ，z 3 ) ( z l ，：一1 ) ，显 然 a n 且q = 1 ( z l ，善r ) ( z l ，他+ 1 ) = 1 ( z l ，a r ，n + 1 ) 当r = 1 时， q = ( i l ，i 2 ) ( i l ，i 3 ) ( i l ，i t ) ( k l 乜) ( 自1 ，k 3 ) ( k l ，硒) 扛i ，n + 1 ) = ( i l ，i 2 ) ( i l ，i 3 ) ( i l ，i t ) ( l ，k ) ( k l ，b ) ( ，h ) 扫l 硒) 扛l ，k 1 ) ( x l ，n + 1 ) 此时，不妨记；7 = “l ，如) ( f 1 ，如) ( i i ，i l ) ( k l ，乜) 似，b ) ( l 白) ( q ，向) ，显然了 a 。且a = 了( 霉1 ，岛) 扛l ，n + 1 ) = 7 ( z l ，向，n + 1 ) 综上结论得证 口 引理2 9 当n 3 时，a 。是a 。+ i 的极大子群 证明：任取n 如+ l 如，只需证( a 。，n ) = 厶+ l 即可易知( a 。n ) a 。+ l ，故， 只需证a 州( 厶，n ) 任取p 厶+ 1 ，若卢a ，l 则p ( a 。，口) 故令芦厶+ l a 。，由引理2 7 ，不妨设 r ，= 1 ( r ，甜，n + 1 ) ，p = 一r l ( 一，矿，n + 1 ) ，其中1 ，3 1 a 。 ( 1 ) 若z 一，鲈矿或z = 一，f = 矿时，另取他= ( 一，z ) ( 矿饵) a 。，易验证， 1 2 7 “n 忱= ( 一，z f ，n + 1 ) ，所以p = 7 l 加1 1 n 他( 如，口) ( 2 ) 若z = x t , 以可取1 2 = ( 上7 ，矿掣) 如，易验证，7 1 n = ( z ，矿，n + 1 ) ，所以口= 7 1 加7 1 0 ( a 。，n ) 同理可证 得，当z 一，p = 矿时，仍有卢( 如，n ) ( 3 ) z = 以”一时，可取蚀= ( 矿，一，v ) ， 易验证，住1 1 a = ( 以一，l + 1 ) ，因此，口= 饥( 1 2 ，y 一1 n ) 一1 ( a 。，n ) 同理可证得，当 5 。矿，弘= 一时，仍有p 如，8 ) ( 4 ) 若王= 矿，挈= 一，口= 槐( 7 1 口) 一1 厶，8 ) 综上 知，a 。+ ls ( a 。，n ) 综上。结论得证 口 引理2 1 0 ，2 可命题s 1 5 晶的不同共轭类与n 的不同分划之间可建立一一对 应设n l + n 2 + + n 。# n 是n 的一个分划，其中n 1 n 2 t l 。则所有具有 形状( i i 。) ( 如。+ l k 。慨) ( i n - n s + l t 。) 的轮换分解式的置换组成晶的与上 述分划对应的共轭类 引理2 u 艘酬定理7 g 是有限生成群。那么对于g 的任意真子群h ，都存在 g 的极大子群m ，使得h m ， 引理2 1 2 脚定理5 2 j 彳，如果h 是拜g 的有限正规子拜且p 是j j r 的s p f 一p 子群那么g = n c ( p ) h 引理2 1 3 艘可定理4 彰设是g 的正规h a l l 子群，则； r j ，在g 中有补； r 刀若藏g n 可解，符和玩是在g 中的两个补群，则存在n 使 日“= h i 引理2 1 4 ，j ，定理9 1 9 ，假设有限群g 的每一个极大子群均幂零，但g 本身 不是幂零群，那么t 俐g 是可解群； 一 川g l = p “矿，其中p ，口为不等素数； 一t 甜存在唯一的s y l o w p 予群p 和s y l a w q 子群q ，使得g = o r 且p 司g 6 3 极大子群与群的单性 对于含极大子群为单群的非单有限群的结构，文献 2 0 1 已经对其进行了一定的 研究本文进一步就有关问题进行了一些探讨 容易验证，对称群s 3 的任一极大子群都是单群，但是岛本身不是单群由此给 我们启示：要想在条件“群g 的任一极大子群都是单群的前提下讨论群的单性，必 须在此基础上添加条件基于此，我们易得下面结论 定义3 1 我们称拜g 满足性质p 是指存在x g ，使得g = 俩) ，且存在 x o x ，使得1 ( x z o ) g 定理3 1 设群g 的任一极大干群都是单群，若g 中存在一个非正规极大子群 满足性质p ，那么g 是单群 证明：由题设条件可设满足性质p 且非正规的极大子群为日，据题设条件日为 单群 假设g 不是单群，那么g 存在非甲凡正规子群由日的单极大性及非正规 性知日n n = 1 ，从而g = 日由h 满足性质p 可设日= ( x ) 且存在卸x ，使 得1 似知) h 不妨记- 1 = 僻知) ，显然- 1 1 ，立即得h 1 n g ( 否则 日= 何n g = 日n - 1 n = - 1 ( n n ) = l ，矛盾于历日) ，因此x 0g 研n ，否则 将得出风n = ( 研，x 0 ) | v = g 的矛盾由引理2 1 知g 中存在子群k 是满足条件 h l n k 且。o g k 的最大子群 另一方面，k 也是g 的极大子群这是因为如果g 中另有子群k i 使得k 1 ，因此1 ( z 1 , z 2 ，。一i ) h 而( z l ，x 2 ，。t ) = 日，这说明日 满足性质p ，由定理3 1 知结论得证 口 实际上，有限群都是有限生成群因此，我们由推论3 1 可得结论，群g 的任 一极大子群都是单群，如果g 中存在一个非正规且非循环的有限极大子群，那么g 为单群 推论3 2 设群g 的任一极大子群都是单群，如果g 中存在一个非正规且非循 环的极大子群日，且日中存在某一非单位元其所在共轭类长是有限的，那么g 为单 群 证明：由h 的极大性知h 为单群，所以，日可被其每个共轭类生成，又因为日 的某一共轭类长有限，所以日为有限生成群由推论3 1 结论得证 口 与定理3 1 给出的思路相同，我们再给一个结论z 定理3 2 设g 为有限生成群，如果群g 的任一极大子群都是非正规的单群， 那么g 是单群 证明：假设g 非单，那么取g 的非甲凡正规子群，由g 的有限生成性和引理 2 1 l 知必包含在某一极大子群m 中。由m 的单性和非正规性可知，必有n = 1 ， 得出矛盾 口 前两个定理都是在条件“任一极大子群皆为单群”的前提下再添加条件得到的 当然。对于一个一般的群来说，其极大子群很可能不只有单群这一种于是，要是我 们的讨论更有意义，我们就要把这个限制条件放开一些基于此，我们给出了如下 一些结论 定理3 3 设群g 的极大子群都非正规，且极大子群要么为单群要么为幂零群， 并且两者都存在。如果其中有一个幂零极大子群为有限群，那么g 为单群 证明：不妨取r 为g 的某一单极大子群假设g 不是单群，那么设为其某 一非甲凡正规子群由r 的单性、非正规性以及极大性可知n r = 1 ，且g = r n ( ) r 不是a k l 群 8 如果r 是a b e l 群，那么由r 的单性立得r 为素数阶群，从而g i n = r n n 是 素数阶循环群。这说明为g 的正规极大子群，矛盾于题设条件因此，r 不是 a b e l 群 ( i i ) 对于g 的任一幂零极大子群m ，都有n m 任取g 的某一幂零极大子群m ，如果n 叠m ，那么由m 的极大性知g = m n 又知g = r n ，因此r 垒r n n = g i n = m n n s m 由m 的幂零性知r 幂零再 由r 的单性立得r 为素数阶循环a b e l 群这矛盾于( ) 故只能有n m ( 埘) g 为有限群 不妨设m 就是题设中的那个有限幂零群，那么由( i i ) 知n m ，这说明是 有限群，因此l g ：r l = i r n ：r l - i n i o 。由此可得l g ：i o 。( 其中r g 为r 在g 中的核) ，显然j 酝璺r ，又知r 是g 的非正规单子群，故只能有如= 1 ，从而 i g ：风：l = i g i 因此g 为有限群 ( 由( 知r 是有限群任取r 的极大子群，由g = r n 可知k n 为群g 的极大子群由于不是极大子群，所以k 只能是g 的幂零极大子群，从而k 幂零由k 的任意性知r 的任一极大子群皆幂零再由r 的有限性，立得r 为有限 内幂零群由引理2 2 知r 可解，从而r 为素数阶循环的a b e l 群最终得出矛盾 综上，结论得证 口 注：我们先来介绍一下t a r s k i 群的构造，t a r s k i 群是一个二元生成的无限单群 且其任一极大子群都是素数阶群( 当然非正规) 下面我们将给出t a r s k i 群的另一描 述 推论3 3 群g 的每一个极大子群都是素数阶群的充分必要条件是g 为无限 t a r s k i 群或p g 阶群阮许p = 鲥 证明：若群g 的任一极大子群都不正规，那么由定理3 3 直接可推得g 为单 群，因此由题设条件知此时g 为t a r s k i 群 若群g 中存在一个极大子群正规，又知g 的任一极大子群为素数阶，则显然g 为p 口阶群( 允许p = q ) 综上，结论得证 口 利用定理3 3 ，我们可推得下面的推论3 4 ，推论3 4 的重要性在于我们是在没 有限定群g 的有限性的前提下推得的 9 推论3 4 设g 不是单群。g 的任一极大子群皆幂零。且g 存在一个素数阶极 大子群的充要条件是g 是有限群且为下列情形之一 f g 为p 2 阶a b e l 群； ( 2 ) g 为p q 债a b e l 群； r 甜g 为p 口4 阶极小非幂零群，且矿= 1m o dp 且g 为内a b e l 的且g 之 s l o w q 子群q 是特征单的 证明：先证充分性，只须验证( 3 ) 的充分性即可由引理2 2 知此时g 可解。 当然非单又因g 内a b e l ，所以其极大子群皆幂零故只须证明g 有素阶极大子群 即可下证s l o w p 子群p 即为极大子群显然g = p o ，任取g g p ，则g = 9 1 9 2 ， 其中g l p 虫口，且由我们取的g 知，9 2 1 所以( p 咖= p , 9 1 9 2 ) = ( p , 9 2 ) 由 于q 是特征单的，所以由引理2 3 可知，0 是初等a b e lq 一群，所以f r a t ( q ) = 1 ， 所以啦是q 的某一生成元因此由引理2 2 ( 6 ) 可知q ( p 9 2 ) ，所以( p 9 2 ) = g ，即 ( p g ) = g ，即证p 为极大子群充分性得证 下证必要性。不妨设m 就是g 的素数阶极大子群由定理3 3 的逆否命题知， g 必存在一个正规极大子群，不妨设为何 ( i ) g 是有限生成群 由于肘是g 素数阶极大子群，即m 是一元生成的，因此g 为2 元生成群 ( “) h 是特征单群 若h 为素数阶群，当然日就是特征单的若日非素阶，则由肘的极大性知， g = m h 且 ，n h = 1 如果日有非甲凡特征子群，当然亦有m n n = 1 那么由 m 的极大性知m = g ，将导致h = h n g = h n m = ( h n m ) n = n 的矛盾 故h 没有非甲凡特征子群，这说明此时日也是特征单群因此，丑是g 的特征单 子群 ( i 托) 若g 幂零，则g 的任一极大子群皆正规，当然也有m 司g ，因此c m 为素 阶，因此g 要么是p 2 阶群，要么是p q 阶群，而这两类幂零群显然是a b e l 群，即此 时g 为( 1 ) 或( 2 ) 情形 ( f u ) 若g 非幂零 如果h 为素数阶群，那么由g 的非幂零性和耳的正规性可知，g 只能是p 口阶 极小非幂零群( 因为c h 为素阶) 当然，此时g 是内a b e l 群，且不妨取g 的s l o w q 1 0 子群就是日，那么自然有q = 1r o o dp ( 由g 的极小非幂零性可得s l o w p 子群不正 规) 并且由( i i ) 知s l o w q 子群日是特征单的所以此时的g 就是( 3 ) 的情形 如果j j r 为非素数阶群，那么g = m h 且m n h = l ( 由m 的极大性可得) 由题 设条件知日幂零，故h c h a rh ，由( i i ) 知只能有h = 1 ，即日是a b e l 群由( i ) 知g 是有限生成群，又知l g h l 为素数，所以月是有限生成群由引理2 4 知，h 不可能是可除a b e l 群，所以存在自然数n ，使得月m 日显然俨c h a rh 所以由 ( i i ) 知只能有h ”= l ，即日又为周期群，显然日有极小正规子群又因为日是特征 单的( 由( i i ) 可知) ，所以由引理2 3 可知日为初等a b e lq - 群又因为日是有限生 成群，所以| h l = 扩，q 是素数我们知道m 是素阶极大子群( 不妨记此素数为p ) ，又 知g = 日m ，所以l g i - 舻 前段已经证明了g 为刖口阶群，由于我们讨论的前提是g 为非幂零群，所以 m 曲g ( 否则，将导致g 幂零的矛盾) ，因此q i = 1m o dp ，且亦证明了s l o w q 子群 日是特征单的故我们只须再证此时的g 为内a b e l 群即证明g 为( 3 ) 的情形所 以下证此时g 为内a b e l 群由前段知g = m 日且i g l = p 矿其中m 是p 阶极大子 群，日是掣阶a b e l 子群所以此时g 的极大子群只能有两类，一类是s l o w q 子 群日且只有这一个，另一类是s l o w p 子群，即与m 共轭的子群而这两类极大 子群都是a b e l 的，所以g 为内a b e l 群 综上，结论得证 口 由推论3 4 立即可以看出含极大子群为素数阶的无限内幂零群是不存在的与 我们给出定理3 3 的思路一样，我们给出下面结论 定理3 4 设群g 的极大子群都非正规，且极大子群要么为单群要么为幂零群， 如果其中有一个幂零极大子群为有限生成群。有一个单极大子群为周期群，那么g 为单群 证明：不妨就设m 是g 的有限生成幂零极大子群，r 是g 的周期单极大子群 假设g 非单，那么设是g 的某一非甲凡正规子群由r 的单性，非正规性 以及极大性可知n r = 1 且g = r n ( t ) r 不是a b e l 群 如果r 是a b e l 群，那么由r