（基础数学专业论文）cn中单位球上的qk空间和bloch型空间.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以。求实、创新”的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经 发表或撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢 意。 作者签名 日期 学位论文使用授权声明 本人完拿了解南京师范大学有关保留使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆被查阅；有权将学位论文的内窖编入有关数据厍进行段索；有权j 海 学位论文的标题和摘要汇编山版，保密的学位沧文在解密后适用本规定。 作者签名 a c k n o w l e d g e m e n t r ti sm yh o n o rt oh a v ea no p p o r t u n i t yt oe x p r e s sm ys i n c e r eg r a t i t u d ea n d a p p r e c i a t i o nt om ya d v i s o r ，p r o f e s s o rh u a i h u ic h e n ，f o rh i se x c e h e n tg u i d a n c e ， s u p p o r ta n dg e n e r o u se n c o u r a g e m e n t w h i c hg a v em et h ea b i l i t yt od oac h a l l e n g - i n gr e s e a r c ht h a tip e r s o n a l l yc o n s i d e r e di tar i c ho p p o r t t m i t y ，t h i sw o r k w o u l d n o th a v eb e e np o s s i b l ew i t h o u th i sc a r e f u lt e n d i n ga n di m p r o v i n ga d v i c e m yi n d e b t e d n e s si sa l s oo w n e d t oo t h e rt e a c h e r so ft h ed e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c sf o rp r o v i d i n gm et h e i rt i m ea n dv a l u a b l es u g g e s t i o n s ，e s p e c i a l l yt op r o l e s s o rj i n g x u a mf a n ga n dp r o f e s s o rh o n g j u ng a o 1w o u l dl i k et oa e k n o m e d g e s o m ep e o p l ew h om a d em yl i f ei nn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t yl i v e l i e r t h a n k s a r ea l s od u et om i n g z h uz h a n ga n dj i a n m i n gc h a n gf o rt h e i rh e l p ，c o u r a g e ，a n d s u p p o r t f i n a l l y 1w o u l dl i k et oe x p r e s sm yd e e p e s ta p p r e c i a t i o nt om yp a r e n t sw h o g i v em eag r e a ti n s p i r a t i o na n da l w a y st h e r ew h e nin e e ds o m e o n e t ot a l kt o r e l lx u a p r i l2 ，2 0 0 5 摘要 本文中，我们引入c n 中单位球上m s b i u s 不变的b a n a c h 空间 魄= ，即) 砌s u p ，f bi v f ( 圳2 郴n ) ) 州水o 。) 和空间 q k , o = f 日( b 、l i r a 上i v f ( z ) f 2 k ( g ( z ，。) ) d n z ) = 。) ， k 是( o ：o o ) 到( o ，。) 的非减函数，亏、g 和姒( ：) 分别是m 6 b i u s 不变的 方向导数、格林函数和体积测度。我们发展了这些空间的一般理论，证 明了： ( 1 ) q 是非平凡的当且仅当 ，l r 2 n - i ( 1 一r 2 ) 一k ( o ( o ) 打 0 3 j 0 f 2 ) 令召记单位球上b l o c h 空间q c 日；q k = 1 3 ，如果 rl 7 t 2 n - i ( 1 一r 2 ) “一k ( g ( r ) ) d r o ，使得k 1 ( ) g ( z ) ，0 t 0 ) 日。： f | v ( b ) ：s u p ( 3 一i z l2 ) 。i v f ( z ) l 0 ，给出了舀。的一个等价定义，同时证明了伊cq k 0 ，如 果i o t 1 且 厂lr 。州( 1 一r 2 ) 一( 2 a - i - n i ) ( 口( r ) ) 永。 j 0 关键词：m s b i u s 不变，q k ，b l o c h 空间，尽。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w ei n t r o d u c eac l a s so fm s b i u s - i n v a r i a n tb a n a c hs p a c e sq o f a n a l y t i cf u n c t i o n so nt h eu n i tb a l lo fc “ q 耳：f ，日( b ) = s 。；u 。p 1 亏，( z ) 1 2 k ( g ( z ，n ) ) 以( z ) o 。 bl口bj j a n d q e 。2 ，h ( b = l _ l i m , 亏，( 三) 1 2 ( g ( ：，a ) ) = o j r “ 1 w h e r eka r en o n - d e c r e a s i n ga n dn o n n e g a t i v ef u n c t i o n s ，a n dv ，ga n dd a ( z ) d e n o t et h ei n v a r i a n tg r a d i e n t ，g r e e n sf u n c t i o na n dt h ei n v a r i a n tv o l u m em e a s u r e r e s p e c t i v e l y w ed e v e l o pag e n e r a lt h e o r yo ft h e s es p a c e sa n dp r o v et h a t ： ( 1 ) q ki sn o n - t r i v i a li fa n do n l yi f t 2 n - - i ( 1 一r 2 ) “( 9 ( r ) ) d r o i d j o ( 2 ) l e t 召d e n o t et h eb l o c hs p a c eo n t h eu n i tb a l l ，q kc8a n dq k = 8 ，i f r 2 “- - i ( 1 一t 2 ) - - n - - i ( 9 ( r ) ) d r 0 s u c ht h a t 所( ) ：； 尥( ) ，f o r0 t o ) 。w h i c ha r ed e f i n e db y 舀。= ，h ( b ) ：s u p ( 1 一) 。i v y ( z ) 0 ，a n ds h o w t h a t 日ncq mi fj 删 1a n d 詹t 2 n - - i ( 1 一r 2 ) 一2 血十“一q k ( g ( r ) ) d r o 。- k e y w o r d s ：m s h i u si n v a r i a n t ，q ，b l o c hs p a c e ，8 。 4 p r e f a c e f u n c t i o ns p a c e sh a v eb e e nac e n t r a lt o p i ci nm o d e r na n a l y s i s ，a n ds o m e n e wf u n c t i o ns p a c e sa r en o wo fi n c r e a s i n gu s ei na r e a ss u c ha sh a r m o n i ca n a l y s i s a n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si na d d i t i o nt ot h ec l a s s i c a l 2s p a c e s ，o d e h a sa m o n go t h e r s ：t h ed i f f e r e n t i a b i l i t ys c a l e so fs o b o l e v ，b e s o v ，a n dl i p s c h r z s p a c e s a sw e l la sb m oa n dv m o o nt h eo t h e rh a a d t h e r ea r et h ef u n c t i o n s p a c e sa r i s i n gi nc o m p l e xa n a l y s i s 、s u c h0 8t h eb 1 0 e ha n dd i n c h l e ts p a c e s ，a n d t h eh a r d ys p a c e s t h e r ea r es e v e r a ie q u i v a l e n ts t a t e m e n t sf o ra n a l y t i cf u n c t i o n so fb o u n d e d m e a no s c i l l a t i e n ( b m o a ) o nt h eu n i td i s kdo fc ，t h ef o l l o w i n ge q u i v a l e n t c o n d i t i o na s s o c i a t e dw i t ht h eg r e e n sf u n c t i o n9 d ( 。口) ， b m o a ( d ) 鲁s u p ，协) 1 2 9 d ( ：) 如d y m a i l sd u a l i t yt h e o r e mw e r eo b t a i n e db yi t ，b u ta i s et h ev e r s i o no ff ) o nt h e r i e m a n ns u r f a c e 冠w i t ht h eg r e e n sf u n c t i o ng r ， s u p f 7 ( 札7 ) j 2 g r ( w ，a ) d w d 面 0 0 ， 口h r i su s u a l l yr e g a r d e da 8t h ed e f i n i t i o no fb m o af o rc o n v e n i e n c e i n 【2 1 2 a n d 5 】 t h e s p a c e so fa n a l y c i cf u n c t i o n so nd ，0 p 。 q p ( d ) _ ，h ( d ) ：s u p l ， 2 好( z ，a ) d m d y 0 0 a e dj d a n d 诉o ( d ) 一( ，日( d ) ：i im _ ，( 。) 2 蟊法a ) d z d y = 0 l o l 一1j d w e r ei n t r o d u c e d w h e r e ( d ) d e n o t e st h ec l a s so fa l l h o l o m o r p h i c6 m c t i o n so n d f o r1 p 。，( d ) = t h eb l o c hs p a c e ，铝，o ( d ) = t h el i t t l eb l o c hs p a c e ，f o r p = 1 q 1 ( d ) = b m o a ，q 1 ，o ( d ) = v m o a ( d ) f o rt h et r a i tb a l lbo fc “，j sc h a oa n dbr c h a op r o v e di ni 6 】u m t f b m o a ( b ) 车 s u p i v ( z ) 1 2 g ( ：n ) d a ( ：) o 。， 5 w h e r e 亏，ga n dd a ( z ) d e n o t et h ei n v a r i a n tg r a d i e n t ，t h ei n v a r i a n tg r e e n 8f u n c t i o na n dt h ei n v a f i a n tv o l u m em e a s u r e ：r e s p e c t i v e l y l a t e r i nf 9 c ho u y a n g ， w s f a n g ：a n dr h z h a oi n v e s t i g a t et h ec l a s sq po fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n s s a t i s f y i n gt h ec o n d i t i o n s u p i v f ( z ) 1 2 g ( z ，。) d 入( z ) ，0 p o o t h em a i nr e s u l t sa r et h a ta s0 p n f - - 1o rp 元备q ( b ) a r et r i v i a l ，a n d 嬲 1 p 暑i ：q p ( b ) = t h eb l o c hs p a c ea n d 诉，0 _ t h el i t t l eb l o c hs p a c e o nt h eo t h e rh a n d ，r a u l a s k a r i ，y h e ，j p d s t i o j aa n dr ，z h a os t u d yq p s p a c e so nr i e m a n ns u r f a c e si n 1 r e c e n t l y ，i l l 7 m e s s d na n dh s w u l a a li n t r o d u c e dac l a s s o fm 6 b i u s - i n v a r i a n tb a n a c hs p a c eq no ff u n c t i o n sa n a l y t i co nt h eu n i td i s kdo fc ，w h e r ek a r en o n - d e c r e a s i n ga n dn o n - n e g a t i v ef l m c t i o n s t h e yd e v e l o p e dag e n e r a lt h e o r y o ft h e s es p a c e sw h i c hy i e l d sn e wr e s u l t s ，a n df o u n dag e n e r a lc r i t e r i o no r * t h e k e r n e l sk 1a n dk 2 ，i no r d e rt h a tq k i 主q 如 n o w ，i ti sn a t u r a lt og e n e r a l i z et h ec l a s s 臼t ot h eu n i tb a l lb o fc “w e d e f i n e q 一( ，日( b ) ：s u p i v f ( z ) 1 2 k ( c ( z ，。) ) d a ( z ) 0 ，o nt h eu n i tb a l lbo fc “a r e s t u d i e d w eg i v e 帆e q u i v a l e n td e f i n i t i o no f 嚣。a n dd i s c u s st h ei n c l u s i o nb e t w e e n b 。a n dq k 0 7 c h a p t e r1 b a s i ck n o w l e d g e l e tbd e n o t et h eu n i tb a l o fc ，st h eb o u n d a r yo fb ，a n da u t ( b ) t h e g r o l l po fb i h o l o m o r p h i ca u t o m o r p h i s m so fb f o r 。eb ，l e t ea u t ( b ) b e t h e m s b i u st r a n s f o r m a t i o no fb w h i c hs a t i s f i e s 妒。( o ) = 盘a n d 妒。( 8 ) 一0 b yh ( b ) 靴d e n o t et h ec o l l e c t i o no fa l lh o i o m o r p h i cf n n e t j o n si nb f o rf h ( b ) a n d = = ( z 1 ，) b ，l e t v 化) = ( 酉a ，差，差) d e n o t et h ec o m p l e xg r a d i e n to ff ，a n d 冗，( z ) = 勺赢o f j = i “， d e n o t et h er a d i a id e r i v a t i v eo ff l e c d e n o t et h el e b s e g u em e a s u r eo i lc “= 瓞2 n ，s on o r m a l i z e dt h a t ( b ) 5 1a n d 口t h en o r m a l i z e ds u r f a c em e a z m eo nss ot h a t 口( s ) = i ，t h em e a s u r e s a n do - a x er e l a t e db yt h ef o l l o w i n gf o r m u l a 上。，d t t = 2 乳i r 2 = - l d r j ( sf ( 酬( ) ( 1 1 ) t 坤i d e n t i t y i sc a l l e di n t e g r a t i o n l e t z ，打一d a ( ( ) 去：骱，( ) 甜 b ys l i c e s t 0 1 ， ( 1 2 ) 酬扣辫 t h e nd a ( z ) i sm s b i u si n v a r i a n t ，w h i c hm e & t i st h a t 上j ( 。) d ( z ) 2 上m ( z ) ) d a ( ：)bb f o rf l 1 ( a ) a n d 妒ea u t ( b ) l e tv ，( 2 ) = v ( o 妒：) ( o ) ，t h e nv _ ，( 。) i st h e i n v a r i a n eg r a d i e n to f ，( c f 【1 1 1 ) ，亏，( z ) a n dv ，( z ) a r er e l a t e db y ( 【8 1 ) f 亏，( 2 ) j 2 = ( 1 一评) ( 1 v ，( 。) 1 2 一j z ( ：) 1 2 ) ( 1 , 3 ) 8 a sac o n s e q u e n c e ( 1 1 ：1 2 ) j v ，( z ) i l 寺，( 。) l ( 1 1 2 1 2 ) 1 雄i v f ( z ) 1 ( 1 4 ) t h em 6 b i u si n v a r i a n tg r e e n sf u n c t i o ni sd e f i n e db yg ( ：) = 9 ( f 。( ：) ) 北) = 等z ( c h a p t e r2 q ks p a c e s 2 10 s p a c e sa n dt h eb l o c hs p a c e t h en o t i o no ft h es p a c e s w a sf i r s tc o n s i d e r e df o rh o l o m o r p h i cf u n c t i o n s d e f i n e di nt h eu n i td i s k o ft h ec o m p l e x p l a n e ( e 1 ( 1 4 1 ， 1 5 i ，随f 5 ja n d 4 ) a n d ， l a t e r ，g e n e r a l i z e dt oh y p e r b o l i cr i e m a n ns u r f a c e sra n dt h eu n i tb a l lo fc “f c f 1 】，阶 9 ) i n 7 1 】m o r eg e n e r a ls p a c e sq 盯w a si n t r o d u c e da n di n v e s t i g a t e d i n t h i sp a p e rw es t u d yq s p a c e so nt h eu n i tb a l lbo fc “ l e t ：( 0 ，。) _ 0 ，。) i sar i g h t - c o n t i n u o u sa n dn o n d e c r e a s i n gm n c t i o n a n dn o te q u a lt oz e r oi d e n t i c a l l y f o r ，h ( b ) ，a b ，d e f i n e t k ( f ：。) ：j 亏f ( z ) 1 2 k ( c ( z ，n ) ) 烈( z ) ， b 厶) = i 亏f ( z ) 1 2 ( ( 1 一f ( z ) 2 ) “j 烈( 。) ， j b w h e r ev ，ga n dd ad e n o t et h ei n v a r i a n tg r a d i e n t ，g r e e n sf u n c t i o na n dt h e i n v a r i a n tv o l u m en q e a s u r er e s p e c t i v e l y w ed e f i n e w 。s 。u p b i k ( f ：a ) ： j l f l l 。= s u p 如( ，n ) ， b q k ( b ) = ，h ( b ) ：l i f l l q 。 o 。) a n d m k ( b ) = ，h ( b ) ：i o 。) t h eb l o c hs e m i n o r mo faf u n c t i o ni nu ( b ) i sd e f i n e db yi l 川口；s u pi v ( z ) l ， a n dt h eb l o c hs p a c eb ( b ) e o n s i s l so fa l lh m e t i o n s ，f o rw h i c h | | f l l 8 。 w h e nk ( ) = 垆，q ( b ) = 秭( b ) i ti sp r o v e di n 9 t h a tq p ( b ) i sn o t t r i v i a li fa n do n l yi f ( n 1 ) n p 凡( 礼一1 ) ，a n dt h a tq p ( b ) cq q ( b ) cb ( b ) i f ( n 1 ) 礼 p 0 t h e n ，f o rf q a n do b ，u s i n g ( 1 3 ) ，w eh a v e ix 舌( z ) t 2 ( g ( 。，凸) ) d a ( z ) 2 f 亏( ，。) ( 。) 2 ( 9 ( z ) ) d a ( 。) j b j b m ( 1 一i z l 2 ) 2 i v ( o 妒。) ( z ) i2 ( ( 9 ( z ) ) ( 1 一i - 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