（基础数学专业论文）关于smarandache函数及一类dedekind和的性质研究.pdf

中文摘要 关于各种算术函数及特殊数列的性质的研究一直是数论研究的核心内容 1 9 9 3 年，美籍罗马尼亚数论专家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 在美国研究出版社出 版了只有问题，没有解答! 一书在书中，他提出了1 0 5 个关于算术函数、 特殊序列等未解决的数学问题及猜想此后，许多学者进行了深入的研究和探 索，取得了很多具有重要理论意义的研究成果另一方面，由于d e d e k i n d 和自 身的重要性以及它在其它数论问题中的重要应用，近几年来对此和式的研究一 直是数论研究的热点与此同时，许多学者定义了各种形式的类d e d e k i n d 和， 对它们进行了合理的、有趣的推广 基于对以上问题的兴趣，本文利用初等及解析的方法，对s m a r a n d a c h e 函 数及其对偶函数的算术性质进行了研究，从而给出了一些特殊方程的正整数解； 定义了一个类d e d e k i n d 和，并研究了它的相关性质具体地阐述为： 1 运用初等方法并借助勾股数，研究了一个包含s m a r a n d a c h e 函数的 特殊方程的可解性，并给出了方程的所有正整数解应满足的条件，解决了m b e n c z e 提出的问题 2 设佗为任意的正整数，砂( 佗) 和( n ) 分别表示欧拉函数与s m a r a n d a c h e 对偶函数，利用初等方法研究了方程( d ) = 砂( ，) 的可解性，并给出了方程 的所有正整数解 3 定义了一个新的类d e d e k i n d 和 砌= 壹( ( ；) ) ( ( 警) ) ，a = l 砌，p ) = ( ( 引( ( 等) ) ， 、 、f 其中，n 却表示a 为模p 的二次剩余并利用初等及解析的方法得出了其 与c o c h r a i l e 和之间的关系以及相关的阶估计 关键词 s m a r a n d a c h e 函数，方程，正整数解，类d e d e k i n d 和，阶估计 a b s t r a c t ( 英文摘要) t h ep r o p e r t i e so fa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n sa n ds p e c i a ls e q u e n c e sa r ea l w a y s t h ek e r n e lo ft h es t u d yi nn u m b e rt h e o r y i n1 9 9 3 ，f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e ，w h oi s af a m o u sa m e r i c a n - r o m a n i a nn u m b e rt h e o r i s t ，p u b l i s h e dab o o kn a m e d “o n l y p r o b l e m ，n o ts o l u t i o n s ! ”i nx i q u a np u b l i s h i n gh o u s e i na m e r i c a i nt h i sb o o k ， h ep r o p o s e d1 0 5u n s o l v e dp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e sa b o u ta r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s a n ds p e c i a ls e q u e n c e s t h e nm a n ys c h o l a r sm a d ei n t e n s i v es t u d i e so ft h e m ，a n d o b t a i n e ds o m ei m p o r t a n tv a l u e dr e s u l t so nt h e o r y b e s i d e st h e s e ，b e c a u s eo ft h e i m p o r t a n c eo fd e d e k i n ds u ma n dt h ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o n s ，t h es t u d yo ft h i s s u mi saf o c u si nn u m b e rt h e o r yt h e s ed a y s m a n yr e s e a r c h e r sd e f i n e dv a r i o u s s u m sa n a l o g o u st od e d e k i n ds u m ，a n dm a d ew o r t h ya n di n t e r e s t i n gs t u d yo n t h e m b a s e do nt h ei n t e r e s t si na b o v ep r o b l e m s ，w em a k eu s eo fe l e m e n t a r ya n d a n a l y t i cm e t h o d s t os t u d yt h es m a r a n d a c h ef u n c t i o na n dt h es m a r a n d a c h ed u a l f u n c t i o n w ea l s od e f i n eas u ma n a l o g o u st od e d e k i n ds u ma n ds t u d ys o m e p r o p e r t i e so fi t s p e c i f i c a l l y , t h ef o l l o w i n gr e s u l t sa r eo b t a i n e d ： 1 u s i n ge l e m e n t a r ym e t h o d sa n dp 3 r t h a g o r e a nt r i p l e s ，t h es o l v a b i l i t yo fa s p e c i a le q u a t i o ni n v o l v i n gt h es m a r a n d a c h ef u n c t i o ni sd i s c u s s e da n dn e c e s s a r y c o n d i t i o n sf o rt h ee q u a t i o nh a v i n gs o l u t i o n sa l eg i v e n a tt h es a m et i m e ，a p r o b l e mp r o p o s e db ym b e n c z ei ss o l v e d 2 l e tnb ea n yp o s i t i v ei n t e g e r ，( 几) a n ds n ) b et h ee u l e rt o t i e n ta n d t h es m a r a n d a c h ed u a lf u n c t i o n ，t h es o l v a b i l i t yo ft h ee q u a t i o n i ss t u d i e db ye l e m e n t a r ym e t h o d s s ( d ) = ( n ) m 3 as u ma n a l o g o u st od e d e k i n ds u m ， p d ( h ，p ) = n = 1 o 邱 ( ( ；) ) ( ( 警) ) ， i si n t r o d u c e da n dc a l l e dl i k e w i s ed e d e k i n ds u m ，w h e r ea r pd e n o t e sai st h e q u a d r a t i cr e s i d u er o o dp t h er e l a t i o nb e t w e e nd ( h ，p ) a n dc o c h r a n es u ma n d t h er e l a t e do r d e re s t i m a t i o na r eg i v e nb yu s i n ge l e m e n t a r ya n da n a l ) t i cm e t h o d s k e y w o r d s s m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，e q u a t i o n ，p o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n s ，l i k e w i s e d e d e k i n ds u m ，o r d e re s t i m a t i o n n l 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人 允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构 将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 盔童塑丑指导教师签名： 魏爻鸭 p 口年占月，弓日 矽r 年易月f 弓日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：蘩立翔习 o 年厶月，弓日 西北大学硕七学化论文 1 1 数论简介 第一章绪论 数的概念的产生可以追溯到原始社会，在原始人长期的狩猎与分配的过程 中逐渐产生了1 ：2 ，3 ，4 等概念，人们的生产生活从此都离不开数而数学恰 是研究空间形式和数量关系的科学h 闵可夫斯基说过：“整数是全部数学的 基础”在数学中，研究数的规律，尤其是研究整数性质的数学，称为数论 数论发展的历史源远流长，它真正的起源可以归结为希腊数学对整数的研 究，早在公元前6 世纪，毕达哥拉斯学派就对整数进行了深入的研究，首次将整 数分为奇数、偶数、素数、合数公元前3 0 0 年左右，在数学史上发生了一件 非常重要的事件一一欧几里得的著作几何原本的问世他在几何原本 中给出了数论的相关内容：陈述了著名的欧几里得算法，给出了关于整数的一 些性质和结论，特别是证明了素数的个数无穷，素数分解的唯一性，一个关于完 全数的定理等等约公元前后，中国九章算术中给出了类似欧几里得算法 的辗转相除法，还给出了勾股数的一种求法约公元3 世纪，中国的孙子算 法提出了“孙子问题”公元2 5 0 年，著名数学家丢番图在其著作算术中 对大量的不定方程问题进行了广泛且较为系统的研究现在将具有整系数的不 定方程称为“丢番图方程，”它已成为数论的一个分支近代意义的数论开拓是 从被誉为数论之父的法国数学家费马开始的，他提出了很多著名的猜想，像著 名的费马大定理、费马小定理、费马数问题在后来的一个世纪的数论研究中 很多都是围绕着费马提出的猜想展开的，并且在费马大定理的解决过程中产生 了代数数论1 8 世纪数学家提出了一些著名的数论猜想，其中最著名的就是哥 德巴赫猜想不过，1 9 世纪之前，虽然关于整数的性质定理已经非常丰富，但是 这些知识还没被统一起来形成一门完整的学科直到1 8 0 1 年，高斯发表了著作 算术研究，使得数论这个现代数学的重要分支成为- - i - 系统的学科1 8 3 7 年，狄利克雷利用分析的方法证明了欧拉和勒让得提出的一个猜想：每个算术 】 第一章绪论 序列 a ，a + b ，a + 2 b ，a + 3 b ，a + n b ， 中都有无穷多个素数，这里a 和b 是互素的，从而为解析数论奠定了基础从 此解析数论开始迅速发展，成为2 0 世纪最为活跃的数论分支之一1 9 世纪末， 数论开始与几何深刻联系起来，最终形成几何数论 到了2 0 世纪，数论已经广泛的应用于计算机科学、密码学、代数编码、 组合数学、计算方法等领域特别是随着计算机科学和通信技术的发展，数论 领域的许多研究成果在实际应用中得到了更加广泛的发展在现实生活中，人 们希望很多重要的信息在秘密的环境中保存或传送，例如，军事情报、金融消 息、商业秘密、私人文件、计算机文件等这就对信息安全提出了较高的要求， 因此使得密码问题与数论难题的求解联系的更加紧密相信随着数论与其他学 科的不断结合，新的数论分支一定会在未来的实际应用中发挥巨大的应用 1 2 研究背景与课题意义 数论是一门研究数的规律，特别是整数性质的科学，其有着丰富的内容数 学王子f g 高斯曾经说过：“数学，科学的皇后；数论，数学的皇后数论既 是古老的数学分支，又始终活跃在数学研究领域有许多古老的数论难题至今 仍没解决，但同时又有更多的数论难题产生 当自变量n 在某个整数集合中取值时，我们将因变量取实数或者复数值 的函数y = 厂( 他) 称为算术函数或者数论函数它是数论研究中最基本的、应 用最广泛的概念之一，因为对许多数论和组合数学问题的研究最终均可转化为 一些算术函数来探讨数论研究的一个主要内容就是研究算术函数的各种性质， 例如算术函数的值分布情况但是很多算术函数的取值却是极其不规律的，因 此它们的阶估计、均值估计成为数论研究的核心课题之一 关于一些算术函数及特殊数列的性质研究在数论研究中具有十分重要的地 位，许多著名的数论难题都与之密切相关，因此在这个领域取得任何实质性的 2 西北大学硕十学f 妒论文 进展都会推动数论的发展 美籍罗马尼亚数论专家f s m a r a n d a e h e 在只有问题，没有解答! 1 1 中，提出了1 0 5 个关于算术函数、特殊序列等未解决的数学问题及猜想，随着 问题的提出? 许多学者进行了深入的研究，并获得了很多具有重要理论价值的 研究成果1 2 - w a n gy o n g x i n g 8 】研究了s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 的均值，得到渐近公式 三跏，= 笔盖+ 。( 鑫) ， 和 三掣= 笙6 三i n x + 。( 壶) 白n。l n 2z 。 n 气z x u es h e j i a 0 1 9 研究了s m a r a n d a c h e 对偶函数s + ( n ) 的均值性质，给出了 如下的渐近公式： 三掣乩叫( 啬) 此外，由于d e d e k i n d 和自身的重要性和它在其它数论问题中的重要应用， 近几年来许多学者对此和式进行了深入的研究 1 0 - 1 2 1 例如，张文鹏教授【1 3 】得 到： ) = 去d j k 旦咖( d ) x 三d 姗肛( 1 ，x ) | 2 ， x ( - 1 ) ：- i 其中则) 是欧拉函数，l ( 1 ，x ) = 圣掣是d i r i c h l e tl 函数，x 是模d 的d i r i c h l e t 特征 ，一 在文献【1 4 】中张教授还给出了广义d e d e k i n d 和的定义： s ，= 妻瓦( 丢) _ n ( 警) ， 一伊呻u = ； 第一章绪论 是定义在0 p ，则s ( n ) i ，有 ( 跏) - p ( 蝴2 ：警33 - + 。( 熹) ， n 1 ，且zld 2 ； ( i i i ) s ( c ) = 学； 其中g c d ( s ( a ) ，s ( 6 ) ) 表示s ( a ) 和s ( b ) 的最大公因数 从上面的定理可以得到古程( 2 1 ) 的许多正整数解例如，如果有璺粤： 3 ，_ s ( 广b ) ：4 ，j z ：5 ，d ：5 j ，, , a - s - j ( 4 c ) i l ：1 2 ，那么可以得到口：5 3 ，6 ：5 4 ，c ：姜如 果将上面的d 取为1 0 ，那么可以得到a = 5 7 ，b = 5 9 ，c = 3 1 0 。 7 第一：章关于s m a r a n d a c h e 函数 2 2 定理证明 在这一部分中，将给出定理的完整证明首先，需要下面的引理： 引理2 1 ：对于任意的正整数m ，方程s ( n ) = m 有正整数解 证明：从s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 的定义以及文献 2 8 可以很容易的证明该引 理 下面将利用这个引理来证明定理2 1 为了方便，记s ( a ) 为。，s ( b ) 为y ， s ( c ) 为那么方程( 2 1 ) 就变形为 1 + 1 = 一1 - 7 w 2 ( 2 2 ) + 。一 ( 2 2 ) 显然，当s ( 口) ，s ( 6 ) 和s ( c ) 其中任意一个为1 时，( a ，b ，c ) 不满足方 程( 2 1 ) 因此，不失一般性假设x 2 ，y 2 ，埘2 可以知道方程( 2 1 ) 的可 解性等价于方程( 2 2 ) 的可解性，并且只要求出方程( 2 2 ) 的解再结合引理2 1 就可以求出方程( 2 1 ) 的解下面将考虑方程( 2 2 ) 的正整数解从方程( 2 2 ) 可以得到 x 2 y 2 = ( x 2 + y 2 ) 叫2( 2 3 ) 和 嘉甜 z 2 + y 2 ( 2 4 ) 假设方程( 2 1 ) 有正整数解，则存在z ，y ，w 满足方程( 2 3 ) 注意到z 2 ， y 2 ，w 2 ，从方程( 2 3 ) , - 7 p l 得到护+ 圹是完全平方数：也就是说，存在一 个正整数z 使得z 2 + y 2 = z 2 ，因此z ，y ，z 是勾股数这样得到 ( 孚) 2 = 矿 ( 2 5 ) 设g c d ( z ，y ) = d ，观察等式( 2 5 ) 可以得到g c d ( x ，y ) = g c d ( x ，z ) = g c d ( y ，z ) = d 设z = d x 7 ，y = d y ，z = d 7 ，可将等式( 2 5 ) 写为 ( 等) 2 甜 8 ( 2 6 ) 西北大学硕七学 妒论文 在等式( 2 6 ) 中，w 是整数，因此z 7id x y 注意到g c d ( x 7 ，) = a c d ( y 7 ，2 ，) = 1 和g c d ( x 7 矿：7 ) = 1 ，可以得到2 ，id 和d z 7 2 因为z ：d 7 ，zid 2 ，通过等式( 2 5 ) 可以得出加：x y ，即s ( c ) ：璺型 石z 最后，解出了方程( 2 2 ) 的正整数解，并且x 和y 使得z 2 + 可2 为一个完全平 方数，也就是说，存在一个正整数z 使得z 2 + y 2 = z 2 ，并且g c d ( x ，y ) = d 2 ， z d 2 ，w = 一j o y 再根据引理2 1 可以得到方程( 2 1 ) 的正整数解因为存在无 z 数对的勾股数让z ，y ，z 满足上面的条件，所以方程( 2 2 ) 有无数对正整数解 并且由方程( 2 1 ) 与方程( 2 2 ) 的可解性相等价，可以得出方程( 2 1 ) 也有无数 对正整数解这就完成了定理的证明 9 第二章一个包含s m a r a n d a c b e 对偶函数的方程 第三章一个包含s m a r a n d a c h e 对偶函数的方程 3 1 引言及结论 对于任意正整数扎，设( 佗) 表示欧拉函数，即在序列o ，l ，2 ，一一， n 一1 中与佗互质的正整数的个数关于欧拉函数性质的研究是初等数论中非 常重要和有意义的课题，许多学者对它进行了研究，参阅文献 2 9 】， 3 0 及 3 1 】 当n = 1 时，( n ) = 1 ；当他 1 且n = 衍1 p 呈2 p 暑为n 的标准分解式时， ( n ) = 矸x - 1 0 l 1 ) p 呈2 - 1 2 1 ) p 暑p 1 ( p 七一1 ) 我们将定义域为正整数的函 数称为数论函数或算术函数，美籍罗马尼亚数论专家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授给出了s m a r a n d a c h e 对偶函数的定义对于任意正整数n ，s m a r a n d a c h e 对偶函数9 ( n ) 定义为最大的正整数m ，使得r e ! i n ，即 s + ( n ) = m a x m ：r e ! i n ，仇) 其中表示所有的自然数的集合由以上定义不难算出它的前几个值为： s + ( 1 ) = 1 ，s 幸( 2 ) = 2 ，s ( 3 ) = 1 ，s + ( 4 ) = 2 ，s 4 ( 5 ) = 1 ，s + ( 6 ) = 2 ，s 宰( 7 ) = 1 ，伊( 8 ) = 2 ，s ( 9 ) = 1 ，s 。( 1 0 ) = 2 ，s ( 1 1 ) = 1 ，s ( 1 2 ) = 3 ，9 ( 1 3 ) = 1 ，s + ( 1 4 ) = 2 ，关于此函数算术性质的研究，引起了不少学者的重视，并取 得了一系列的研究成果f 3 2 - 3 3 1 在文献【3 4 】中，应用初等方法得出方程 矿( d ) = n d i n 有且仅有n = 1 ，1 2 两个正整数解以及给出方程 矿( d ) = u ( n ) q ( n ) ， d i n ( 其中u ( n ) 为n 的所有不同素因子的个数，q ( n ) 是佗的所有素因子个数和) 有 且仅有以下三种形式的解： 1n 西北大学硕十学化论文 1 佗= p 宁p 2 或者n = p l p 善，其中2 p l p 2 ，口1 ：p 1 ； 2 佗= p i p 2 p 3 或者n = p i p p 3 或者n = p 1 耽p ； 3 礼= p l p 2 p 3 p 4 ，其中p l p 2 p 3 矽( n ) d i n 那么有多少正整数亿使得( 3 1 ) 式成立? 本章完全解决了这个问题具体地说 就是证明下面的定理 定理3 1 ：对任意正整数佗，方程( 3 1 ) 成立当且仅当几= 1 ，3 ，1 4 ，8 4 3 2 几个引理 为了方便定理的证明我们先来证明几个引理： 引理3 1 ：不等式p a - 1 一1 ) q - 4 - 1 成立，且等号成立当且仅当q = 1 ，p = 3 ， 其中p 是奇素数 证明：( i ) q = 1 ，p 一1 2 = 1 + q 且等号成立当且仅当p = 3 ； ( i i ) 口= 2 ，p 一1 ) 2 p 6 1 + 口； ( i i i ) q 2 ，p c 一1 ( p 一1 ) p 口一1 3 a 一1 q + 1 综合上面的分析就完成了引理的证明 引理3 2 ：设m = p 呈1 硝2 p 嚣，其中a 为奇素数，i = 1 ，2 ，则使得不 等式 p 宇l - - 1 0 l 一1 ) p 呈：一1 0 2 一1 ) p 譬一1 ( p 詹一1 ) 8 ( q 1 + 1 ) ( 口2 + 1 ) ( q 七+ i t 3 2 ) 1 1 第三章一个包含s m a r a n d a c h e 对偶函数的方程 成立的m 只可能为下列情况： ( i ) m = 1 1 ，1 3 ：1 7 ，3 1 1 ，3x1 3 ，3 1 7 ； ( i i ) m = 3 q 1 5 口2 7 ，其中q 1 = 0 ，1 ，2 ，3 ；口2 = 0 ，1 ，2 ；q 3 = 0 ，1 证明：分三种情况： ( i ) 当存在p i 5 ：乃7 ，p l 1 1 时， p 一1 ( 戤一1 ) 茑一1 锄一1 ) 茚一1 z 一1 ) 5 q i 一1 4 7 一1 6 1 1 a l 一1 1 0 = 8 2z3 5x5 口i 一1 7 3 ) 一1 1 1 口r 一1 8 ( a i + 1 ) ( + 1 ) ( a l + 1 ) 由上式及引理3 1 可知当k 4 ，不等式( 3 2 ) 必不成立，并且当k = 3 ，p l 5 时也不成立因此，不等式( 3 2 ) 成立必有七3 ( i i ) 当存在p l 1 1 时，若叱2 ，则有p 尹一1 慨一1 ) 8 ( 1 + q ) ； 当啦= 1 时，若存在乃5 ，j 8 ( 1 + ) ( 1 + 口t ) ， 若不满足上述情况，则结合情况( i ) 的结论满足不等式( 3 2 ) 的m 的形式只可 能为m = 3 0 i p 2 ，其中q 1 0 ，易得当a 1 2 时，有 3 口- 一1 2 忆一1 ) 3 。t 一1 2 1 0 8 ( 1 + a 1 ) ( 1 + 1 ) 由此知在这种情况下，要满足不等式( 3 2 ) 的m 的形式只能为m = p ，3 p ，其 中p 是奇素数易知若p 1 9 ，一1 ) 8 ( 1 + 1 ) ，所以这种情况下满足不等式 的m = 1 1 ，1 3 ，1 7 ，3x1 1 ，3x1 3 ，3 1 7 。 ( i i i ) 由上面的分析得知，要满足不等式( 3 2 ) ，m 只可能m = 3 a 5 口2 7 幽，容 易得到： 当q l 4 时，3 q 1 1 2 8 ( 1 + q 1 ) ； 当口2 3 时，5 d 1 4 8 ( 1 + q 2 ) ； 当口3 2 时，7 q 1 1 6 8 ( 1 + a 3 ) 12 西北大学硕士学化论文 所以满足不等式( 3 2 ) 的m 为m = 3 a 1 5 口z 7 口。，其中c e i = 0 ，1 ，2 ，3 ； a 2 = 0 ，1 ，2 ：q 3 = 0 ，1 3 3 定理的证明 有了上面的引理，下面直接给出定理的证明 将所有正整数7 , 分为两种情况来讨论： ( a ) 几不能被2 整除 此时由函数( 扎) 的定义，我们很容易推出s ( 佗) = 1 ，这时9 ( d ) 就 是n 的所有正因子的个数，即( d ) = d ( n ) ，则方程( 3 1 ) 可写为d ( n ) = d | n 砂( n ) ( a ) 当n = 1 时，d ( n ) = ( n ) = 1 ，故n = 1 是方程( 3 1 ) 的解 ( b ) 当n 1 时，设佗= 衍1 谚2 ，其中p i 是奇素数且p l p 2 p k ，i = 1 ，2 ，k 由文献 3 5 】得： d ( n ) = ( q 1 + 1 ) ( 口2 + 1 ) ( q 七+ 1 ) ， 于是方程( 3 1 ) 变为 ( e e l + 1 ) ( 口2 + 1 ) ( q 七+ 1 ) = p l - - 1 1 1 ) p 爹2 - 1 ( p 2 1 ) 一1 七一1 x 3 3 ) 现讨论方程( 3 1 ) 的可解性问题： ( i ) 七= 1 ，即n = p o , ，方程( 3 3 ) 可写为( 口+ 1 ) = 矿1 p 一1 ) ，由引理3 1 知只有佗= 3 是解，其它情况有酽( d ) q t + 1 ，i = 1 ，2 ，k 则有 ( q 1 + 1 ) ( q 2 + 1 ) ( q 七+ 1 ) p 1 1 1 1 ) 理2 1 溉一1 ) p 一1 ( p k 一1 ) ， 即矿( d ) ( n ) 因此当n 不能被2 整除时，方程( 3 1 ) 成立当且仅当 d l n 为佗= l ，3 1 3 第二章一个包含s m a r a n d a c h e 对偶函数的方挥 ( b ) 扎能被2 整除，即几为偶数 设n = 2 q p 宇1 p 呈2 p 暑。= 2 口m ，其中p i 是奇素数且p l p 2 p k ， o l21 ，q i 1 ，i = 1 ，2 ，南 ( n ) = 2 a 一1 p 芋1 1 ( p l 一1 ) p 呈：一1 2 1 ) 一1 ( p 七一1 ) s ( d ) = d | 凡 f 2 mf 1 = ( 2 + 2 2 - 4 - + 2 a + 1 ) d ( m ) z 一一 、 i = 0 d i m = ( 2 q + 2 2 ) d ( m ) 0 ，k 0 j b c o n r e y e t ，e f r a n s e n ，r k l e i n 和c s c o t t 3 8 】i s 明了：设整 数a ，q ，h ，尼满足k 0 ，( a ，q ) = 1 以及( h ，k ) = 1 ，并设z = q h a k 且h 竺，则 口 s ( h ，尼) = 丽k + d ( 阢，口) l + h + 1 ) ， 并由此获得s ( h ，k ) 的2 m 次均值 t o d dc o c h r a n e 教授介绍了一个与d e d e k i n d 和非常类似的和式： c ( h = 壹7 ( ( 苫) ) ( ( 了a h ) ) a = l g ) = ，( ( 号) ) ( ( i ) ) 、1 ，、1， 其中的瓦由方程丽兰l ( m o dg ) 定义，表示满足1 nsq 以及( 。，q ) = 1 的所有。求和我们将c ( h ，口) 称为c a o = c h lr a n e 和关于这个和式张文鹏和易媛 1 6 西北大学硕士学 论文 在文献【3 9 】中得到了下面的结论： i c ( h ，g ) l 倒( g ) i n 2q ， 这里d ( g ) 是除数函数 同样的，徐哲峰和张文鹏在文献【2 1 中定义了高维c o c h r a n es n ： = 搴莓q7 ( ( 粉( ( 等) ) ( ( 罕) ) ， 并给出了如下的高维c o c h r a n e 和的阶估计： 设q 2 为整数，h 是满足( ，g ) = 1 的正整数，则对满足( g ，k ( k + 1 ) ) = 1 的 任意正整数k ，有估计 i，g)i而2k+12c(h k g d ( 口) ( 2 七+ 2 七) u ( 口) i n 七+ 1q ， i ，g ) i 而g 亏圳( 2 蚪2 旷w 抖1 ， 其中，u ( q ) 表示q 的不同素因子，d ( q ) 为除数函数 我们定义一个类似于c o c h r a n e 和的新的和式： 砌= 壹( ( ；) ) ( ( 警a n ) ) ， d ( ，p ) = ( ) ( ( i ) ) ， a = l 、o ，、177 其中，口却表示。为模p 的二次剩余，并研究了此和式的相关性质 本章我们将研究当p 为素数时，d ( h ，p ) 与c ( h ，p ) 的关系以及相关的阶 估计，得到以下的结论： 定理4 1 ：设p - - 3 ( m o d4 ) 是素数，则有d ( ，p ) = 去c ( h ，p ) 定理4 2 ：设p 三l ( m o d4 ) 是素数，则有 i 耋( ( 驯( 警) ) ( 小声5 ， 其中( 暑) 表示l e g e n d r e 符号 1 7 第网章关于类d e d e k i n d 和 4 2 几个引理 为了方便定理的证明，我们先给出几个引理 引理4 1 ：设p 三3 ( r o o d4 ) 是素数，则模p 的二次非剩余必包含在下列数的剩 余类中： - 1 2 , 珥一，一( 孚) 2 中，所有数关于模p 都是互不同余的 欺当p 三3 ( m o d 4 ) 时，( 了- 1 ) = 以及( 署) 乩一，孚 所以可以得到 ( 了_ i 2 ) 叫小，字 这样就证明了引理 ， 引理4 2 ：当p 兰3 ( m o d4 ) 是素数，x ( 一1 ) = 一1 时， 争，( ( 拟；c ) 一o ， 其中x ( c ) 表示模p 的d i r i c h l e t 特征 证明：由引理4 1 以及取整的定义，可以推出： 争，( ( 洲；c ) = 壹c - = - i 绯2 ，( ( 罟) ) ( 罟) + 壹c = l 删，( ( 等) ) ( 等) = 势p - , 2 ，c 罟一讣卜妄小哦c 瓢等一旧一争 = 争2 ，c 罟一阶扩1 妾小呶( c 2 ，c 罟一讣尹1 孚 一 垆 一p一 在证易先： 皿明证 西北大学硕士学伊论文 这就完成了引理4 2 的证明 引理4 3 ：设p 三3 ( r o o d4 ) 是素数，则有 三p ( ( 驯( 警) ) ( ；) = o 证明：利用模p 的特征的正交性及引理4 2 ，可以得到 ；p ( ( 驯( 警) ) ( ；) = 砑1 三p 睁c - - - - 1c ) 堆删，( ( 警) ) ( 罟) ) = 砑1 三p 睁c ) 堆勋m 训( ( 等) ) ( 警) ( 多) = 高x 薹p 睁c ) 舾，( 刍) 幽d = l ) ( 署) = 砑1 x 三p 1 互1 刍p - 1 7 ( ( 驯( 警) ) c 1 + ( ；) ， 荟p - 1 ( ( 驯( 警) ) + 互1 备p - 1 7 ( ( 驯( 警) ) ( ；) 知p ，+ 去薹( ( 驯( 警) ) ( ；) 结合引理4 3 就可以得到：当p 兰3 ( m o d4 ) 是素数时，有 d ( h = 壶c ( h ， 这就证明了定理4 1 对定理4 2 的证明我们应用文献【4 2 】中类似的证明方法，并结合引理4 4 就可以得到相应的结论 2 0 第四章关于类d e d e k i n d 和 总结与展望 本文对s m a r a n d a c h e 函数及其对偶函数的算术性质进行了研究，具体的 说就是：( 1 ) 运用初等方法并借助勾股数研究了包含s m a r a n d a c h e 函数的一 个特殊方程的可解性；( 2 ) 利用初等方法，分类的思想研究了包含欧拉函数 以及s m a r a n d a c h e 对偶函数的方程的可解性问题，并给出了方程的所有正 整数解；( 3 ) 定义了一个类d e d e k i n d 和，并利用初等和解析的方法得到了其 与c o c h r a n e 和之间的关系以及相关的阶估计 围绕本论文还需要进一步研究的问题有： ( 1 ) 第二章中对于任意的正整数m ，方程s ( n ) = m 的解n 的具体表达式 的研究 ( 2 ) 第三章中关于s m a r a n d a c h e 对偶函数s + ( n ) 的其它性质的进一步研 究 ( 3 ) 第四章中关于新定义的类d e d e k i n d 和 叩= 壹( ( ；) ) ( ( 警a n , ) ) a = l d ( ，p ) = ( ( 罢( i ) ) 、， 的更精确的上界估计问题，平方均值问题等性质的研究 2 1 参考文献 参考文献 1 】s m a r a n d a c h ef o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s m c h i c a g o ：x i q u a np u b - l i s h i n gh o u s e ，1 9 9 3 【2 k a s h i h a r ak c o