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河北工业大学硕士学位论文 一类时变系统部分变元稳定性及其在混沌同步中的应用 摘要 本文研究了一类时变系统部分变元稳定性以及在混沌同步中的应 用在简单介绍这个领域研究的历史背景和发展现状之后，主要工作 为以下两个方面t lj 理论结果基于拉格朗日常数变易法，给出这类系统全局指 数稳定的一个充分条件。这一结果包含和改进了已有文献相对于同样 问题的结果。 2 ) 应用将上述理论结果分别应用到研究如下著名的混沌系统 的同步；( 1 ) l m 系统的反馈和自适应同步；( 2 ) 原声重力波方 程的高阶级联同步；( 3 ) l o r e n z 系统的鲁棒同步进一步，数值模 拟结果分别表明所用控制技术的有效性 本文的结果为这类问题的工程设计和应用提供了重要的指南 关键词：部分变元全局指数稳定，混沌同步，l d 系统，原声重力波 方程，l o r e n z 系统 一类时变系统部分变元稳定性及其在混沌同步中的应用 s t a b i l i t yw l t hr e s p e c tt op a r t i a lv a r j l a b l e so fac l a s s ( ) f1 1 仆e v a r y i n gs y s t e m sa n di t sa p p l i c a t l 0 n si nc h a o s s y n c h r o n i z a t i o n a b s t r a c r t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h ei n v e s t i g a t i o no fs t a b i l i t yw i t hr e s p e c tt o p a r t i a lv a r i a b l e so fac l a u so ft i m e - v a r y i n gs y s t e m sa n di t sa p p l i c a t i o n si n j 小l f 、f7 关于学位论文版权使用授权的说明 本人完全了解河北工业大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。同意如下各项内 容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和 电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文：学校有权提供目录检索 以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务：学校有权按有关规定向国家有关部门或者 机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的 部分或全部内容用于学术活动。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名 导师签名 只期：) d 岁、，7 f 1 期：2do 岁、6 、i7 卿睁 河北工业大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 关于动力系统部分变元稳定性简介 非线性科学是2 0 世纪科学发展史上光辉的一页，它面临着最严峻的挑战，但它有着灿 烂的未来非线性科学的研究，为认识和改造自然界拉开了新的帷幕，因为就其本质而言， 自然界应是l 线性的非线性系统涉及到数学、物理学、化学、天体力学、流体力学、生物 学、生态学和金融经济及社会科学等许多领域，具有较强的可开发性 众所周知，稳定性问题是人们研究各类动态系统( 包括各种工业系统，自然界存在的 各类系统以及社会经济系统等) 所面临的最基本最重要的问题之一上世纪3 0 年代以来， 由于科学技术日新月异的发展，特别是自动控制、空间技术、大系统理论、生物数学等的出 现，稳定性理论得到了蓬勃的发展，引起了自然科学工作者和工程技术人员的更加广泛的兴 趣。美国著名数学家l a s a l l e 早在上世纪6 0 年代就说过：“稳定性理论在吸引着全世界数 学家的注意，而且李雅普诺夫直接法现在得到了工程师们的广泛赞赏”，“稳定理论在美国 正迅速地变成训i 练控制论方面的工程师们的一个标准部分”我国著名科学家钱学森、宋健 在工程控制论中说过：“对于控制系统的第一个要求是稳定性，从物理意义上说。就是要求 控制系统能稳妥地保持预定的工作状态，在各种不利因素的影响下不至于摇摆不定，不听指 挥，”这些都说明稳定性的重要意义从方法论的角度讲，有些问题，往往可以遵 循用1 ：同的方法解决不同的变元的稳定性的原则，综合起来，便促进了全体变元稳定性问题 的顺利解决。 对于动力系统 面d x = m ) ，z = ( z 1 ，x 2 , z 。) ， 早在1 8 9 3 年，a m j ih 玎yh0b 论述x l x 2= z 。= 0 对全体变元的稳定性 时，写了一个注记：“可以研究更一般的问题：这一运动的稳定性不是对所有变元，而仅是 对其中某些变元，例如对z 1 ，一，z 。( m n ) 而言”h f manhkhn 在1 9 3 8 年 文中指出j irnyi t os 关于稳定、渐近稳定及第一不稳定性定理中的加在y 函数上 的条件做适当修改，便可以得到关于部分变量的相应定理，但未加证明。 1 9 5 7 年，pyunhueb 在文f 2 】中，对于部分变元的李雅普诺夫稳定性给出了严 格的数学论证，引进函数关于部分变元定号、有无穷小上界、无穷大下界等定义，并且证明 r 第一批稳定性判别定理此后，关于部分变元稳定性的研究，源源不断 1 9 7 2 年，a c o3 bpahep 与b b pym - thueb 发表了一篇很长的综 述文章，概括了当时国内外学者的3 1 个定理，且采用k 类函数方法，给了重新证明，但未 包括我国学者的成果 1 ， 一 堡j ! 三些塞兰塑圭芏些丝苎 第一章引言 l 一1 关于动力系统部分变元稳定性简介 非线性科学是2 0 世纪科学发展史上光辉的一贾，它面临着最严峻的挑战，但它有着灿 烂的未来非线性科学的研究，为认识和改造自然界拉开了新的帷幕。因为就其本质而言， 自然界应是非线性的非线性系统涉及到数学，物理学、化学，天体力学、流体力学、生物 学、生态学和金融经济及社会科学等许多领域具有较强的可开发性 众所周知稳定性问题是人们研究各类动态系统( 包括各种工业系统，自然界存在的 各类系统鲥及社会经济系统等，所面临的最基本最重要的问题之一i ：世纪0 年代以来， 由于科学技术日新月异的发展，特别是自动控制空问技术、大系统理论、生物数学等的山 现，稳定性理论得到了蓬勃的发展，引起了自然科学工作者和工程技术人员的更加广拦的兴 趣美国著名数学家l a s m l e 早在上世纪6 0 年代就说过：“稳定性理论在吸引着金世界数 学家的注意，而且李雅普诺夫育接法现在得到丁工程师们的广泛赞赏”，“稳定理论在美国 正迅速地变成训练控制论方面的工程师们的一个标准部分”我国著名科学家钱学森、米健 在工程控制论中说过；“对于控制系统的第一个要求是稳定性，从物理意义上说，就是要求 控制系统能稳妥地保持预定的工作状态，在各种不利因索的影响下不至于摇摆不定，不听指 挥，- ”这些都说明稳定性的重要意义从方法论的角度讲，有些问题，往往可以遵 僭不例的方法解央不同的变元的稳定性的原则，综合起来，便促进了全体变元稳定性问题 的顺利解决 对于动力系统 塞圳乩z 邛- ，训， 早在1 8 9 3 年，a m 月yhob 论述2 ：1 = z 2 一= z 。= 0 对全体变元的稳定性 时，写了一个注记：“可以研究更一般的问题：这一运动的稳定性不是对所有变元，而仅是 对其中某些变无，例如对z 1 、 ，x m ( n i 扎) 而言”h r mgmkmh 在1 9 3 8 年 文1 1 中指出j 1nny1 i o b 关千稳定、渐近稳定及第一不稳定性定理中的加在v 函数上 的条件做适当修政，便可以得到关于部分变量的相应定理，但未加证明 1 9 5 7 年，pyhnhueb 在文【2 j 中，对于部分变元的李雅普诺夫稳定性精出了严 格的数学论证，引进函数关于部分变元定号有无穷小上界、无穷大下界等定义，并且证明 r 第批稳定性判别定理此后，关于部分变元稳定性的研究，源源不断 1 9 7 2 年，a co3 日pahep 与b bpymhhueb 发表了一篇很长的综 述文章，概括了当时国内外学者的3 1 个定理，爿采用k 类卤数方法，给了霞新证明，但未 包括我国学者的成果 包括我国学者的成果 1 一类时变系统部分变元稳定性及其在混沌同步中的应用 关于部分变元的稳定性，陈孝秋收集了1 0 0 多篇文献，写了一篇很好的十分详尽的综 述报告，但定理都没证明谢彦麟在他的学位论文中研究了更广泛的部分变元的稳定性，推 f 1 了前人的好些结果。 关于部分变元稳定性的研究，基于大量实际问题的需要。有些实际问题，人们只对一部 分变元感兴趣，或因技术上的困难，只对一部分变元控制和测定在文献 3 1 中第九章进而 看到关 部分变元稳定性问题，是研究l u r i e 型控制系统绝对稳定性的关键 在文献 4 中，由部分变元全局指数稳定性和相应的条件推导出全体变元的指数稳定性 的结论，并在l o r e n z 系统和c h e n 系统中，分别以部分变元为驱动信号研究了混沌同步， 从而验证了可由部分变元的稳定性得到全体变元的稳定性的结论，为研究动力系统的稳定 性开辟了新的路径 5 1 2 混沌控制和同步的简介 1 - 2 1 混沌的简介 长期以来，人们在描述系统的运动时，总是将其分为两类：确定性运动和随机性运动。 n e w t o n 和l a p a c e 曾指出，只要建立了系统的运动方程，在输入确定时，该系统的输出必 然具有确定性但是，随着混沌现象的发现f 5 】，这种观念迅速被打破 混沌的发现有着不平凡的历程从m a x , e l l 认识到物理系统可能对初值具有敏感性【6 l 到法拉第发现f o 2 的成分【7 】，即2 分频和v a nd e rp o l 发现二分频和四分频【8 一百多年 间，许许多多的物理学家都与混沌现象的发现失之交臂1 9 6 1 年1 1 月2 7 日，第一个通过 计算机进行数值计算发现混沌现象的人，日本人上田脘亮对如下形式的方程进行研究： i 一卢( 1 一r v 2 ) 0 + 3 = b c o s v t ， 收“一0 2 ，= o 8 ，口= 0 3 ，观察到了边沿类似破鸡蛋壳的图形，这是第一次在计算机 e 观察到的混沌图形，但是被当时十分保守的日本科学界弃之而去1 9 6 3 年，美国数学家 ha l o r e n z 在论文决定论的非周期流中提出了著名的l o r e n z 方程f 9 】： i 土= - c r ( x 一) ， j = p z 一可一z 。 i j = x y 一卢z ， 与一= 1 0 ，p = 2 8 ，卢= 8 3 时存在混沌现象，并发现系统初始值微小变化会导致轨道在长 h ? i ；j 后出现较大变化，即解对初始值的极端敏感性这一混沌现象的基本性态，从此人们开始 更深入地关注混沌，研究混沌。 ) 河北工业大学硕士学位论文 混沌是指确定性系统中出现的类似随机的过程，其基本特征是对初始条件的极端敏感 性，即初始条件的微小差别经过一段时间后会迅速扩大。混沌必须是局部不稳定，但总体有 界，也即往复的非周期运动，系统的运动限定在一定的范围内而不会无限游荡 由于研究手段和研究方法等的限制，目前对于混沌尚无一个统一的数学定义。混沌的定 义主要有如下两种： 定义1 1 设连续自映射，：q - - - - - - - 4qcr ，q 是一个闭区间设存在点x q 使得： 产1 ( z ) z 产 ， 则 ( 1 ) ，存在所有正整数的周期； ( 2 ) 存在q 的不可数子集s ，满足： ( i ) 对任意z ，y s ，当z y 时有 l i ms u pi f l “l ( x ) 一，( ) l 0 一o o ( i i ) 对任意z ，y s ，有 l 。i m i n fl，h(。)一，砷l(口)i=000 n 一 ( i i i ) 对任意z s 和，的任一周起点y 有 l i m s u p1 ，【n 】( 。) 一，【n l ( y ) l 0 则称，在q 上混沌 上述的混沌称为李一约克混沌，除了李一约克的混沌定义外，美国数学家狄万尼在如下 两个概念的基础上从拓扑的角度给出了一个更为全面地的定义。 设( x ，p ) 是一个度量空间，是x 上的一个映射 概念1 1f ：x 一x 是拓扑传递的，如果对任何两个开集v ，ycx ，存在自然数k ， 使得： 产 ( u ) a v 。 概念1 2 ，：x f + x 是对初值敏感依赖的，如果存在d 0 ，对任何zex 与z 的一 个邻域口，存在y b 和自然数，使得： p ( ，吼z ) ，恍) ) 5 3 = 耋堕銮型坌变垂塑塞堡垒基壅堡鎏旦生妻墼鏖星 定义12 设，：x _ + x ，如果满足下列条件 ( 1 ) 映射，是拓扑传递的； ( 2 ) 映射，是初值敏感的； ( 3 ) 映射，的周期在x 上是稠密的； 则称，在x 上是混沌的。 1 - 2 2 同步的基本分类及方法 p o c o r a 和c a r r o l i “i 在混沌同步方面所作的开创性工作，极大地推动了混沌同步的理 论研究。就我们目前所知，混沌同步可分为完全同步【1 1 】、相同步、滞后同步和广 义同步f 1 4 】，分别定义如下： 考虑如下系统 1 5 1 ： 忙篙乳毗 ， i 雪= 厂2 ( z ，可) 十 ( 。，掣) ， 、7 其中z r ”，y r ”，u ( z ，y ) 是控制器 定义1 , 3 对系统( 1 1 ) ，若有 。当i i x ( o y ( t ) l l = 0 ， 其中，( ) “( f ) 分别对应( 1 1 ) 的两个子系统的解，称( 11 ) 的两个子系统的轨道在t 一十。 时达到完全同步。 定义14 对系统( 11 ) ，若有 。当i n 九一m 9 l l = 0 ， 其中九，九分别对应系统( 11 ) 的两个子系统的解所对应的相角，n ，m z + ，称( 1 1 ) 的两个子系统的轨道在t 一+ 。时达到相同步 定义15 对系统( 1 1 ) ，若存在一正常数r ，使得下式成立： t 。l i + r a 。i l z r ( t ) 一y ( t ) l l = 0 ， 其中z r ( t ) = x ( t t ) ，称( 1 1 ) 的两个子系统的轨道在一+ 。o 时达到滞后同步 定义16 对系统( 11 ) ，若存在一微分同胚h ：冗”一r “，满足： t 当m t ) 一h ( z ( 洲 = 0 ， 其中z ( t ) ，( ) 分别对应( 1 1 ) 的两个子系统的解，称( 1 1 ) 的两个子系统的轨道在t 一十。 时达到广义同步 河北工业大学硕士学位论文 随着研究的深入，越来越多的混沌同步方法被涌现出来，并对人们进一步寻找新的同步 方法具有较大的启发作用下面介绍的六种典型的连续型混沌同步方法： 1 驱动一向应同步 此方法由p e o o r a 和c a r r o 提出1 1 6 - 。1 v 1 ，最大特点是响应系统的行为取决于驱动系统， 而驱动系统的行为不受响应系统的影响此方法是用驱动系统中的稳定变元作为驱动信号， 不稳定变元作为响应信号，使不稳定变元的误差渐近地趋于零。 2 鲁捧同步 鲁棒控制同步 1 8 - 1 9 1 是针对系统中存在一定范围的不确定性，设计一个鲁棒控制器， 使得误差系统在保持稳定的同时，保证一定的动态性能的品质。 3 反馈控制同步 此方法1 2 02 2 是把系统的输出信号与输入信号之间自反馈耦合，或者从系统外部强迫 输入一定的周期信号，或者直接把系统本身的输出信号取出一部分，经过时间延迟再反馈 到混沌系统中去，作为控制信号，通过调节控制信号的大小及权重因子，来达到误差系统渐 近稳定。此方法有两种：一是外力反馈控制方法，二是延迟反馈控制方法 4 反步设计同步 此方法 2 3 - 2 4 】利用反步能保证全局稳定、跟踪等特性，通过与l y a p u n o v 函数有直接 关联的递推程序，最终借助过渡变换使误差系统零解渐近稳定，实现同步的目的 5 宣适应同步 当我们对所研究的系统参数知识知道的不多时，利用自适应同步的方法 1 5 , 2 6 - - 2 9 l 是较 适宜的。其基本思想是根据可测系统的信号，估计不确定的系统参数( 或相应控制器的参 数) ，然后，在控制输入操作中运用这一被估计的参数，从而达到同步 6 脉冲控制同步 脉冲控制同步方法理论有一套完整地与普通微分动力系统相类似的控制理论，这一 方法是基于脉冲微分方程理论方面的一种控制方法，在脉冲时刻，通过脉冲控制器使系统轨 线产生“跳跃”，从而得到误差系统的零解渐近稳定。 5 1 _ 3 本文主要工作 在第一章中，首先介绍动力系统部分变元稳定性已有的研究成果；然后介绍混沌的基本 概念以及混沌控制与同步的分类和方法 在第二章列举出本文用到的动力系统的基本定义和稳定性的一些重要结果 第三章给出一类时变系统部分变元全局指数稳定的理论结果 在第四章中，针对第三章中的理论，分别从反馈控制、自适应控制人手研究l 乱系统的 5 混沌同步 第五章基于高阶级联方法，利用第三章中的理论研究原声重力波方程的混沌同步 第六章针对第三章中的理论，研究l o r e n z 系统的鲁棒混沌同步问题 第七章得出结论 河北工业大学硕士学位论文 第二章基本定义和引理 本章给出本文使用的基本定义和一些重要引理 3 , 3 1 - 3 3 。 2 1 基本定义 ( 2 1 ) 满足解的存在唯一性定理的条件，其解z ( t ) = z ( t ，t o ，护) 的存在区间为( 一。，十。) ，( t ，z ) 还满足 ( t ，0 ) = 0 ( 22 ) 注： ( 2 2 ) 保证z ( t ) = 0 是( 2 1 ) 的解，我们称之为零解。 定义2 1 若对任意给定的e 0 ，都能找到6 = 6 ( e ，t o ) 0 ，使得当i i 0 0 t o + t 时，有忙( t ，o o ，：t o | | 0 ，有6 0 ，使得当l l 一1 | 0 ，有 怫0 c i i e 跏e 一。( t - 2 0 ) ，t t o 其中c o = c r ( o ) 形 对于( 31 ) 的第二个方程，由常数变易法得： ， e n r = 0 一，e a ( t - t o ) + e a 一7 9 ( le r ) 打 j t 0 矩阵a 是h u r w i t z 稳定，因此，存在常数m 0 ， 0 ，使 i j 是有 ( ) e ( t - t o ) m e 一1 ( “o ) 。一，i i 曼慨一，。邮响忡，2 桫( h 9 ( 叩，) l l d ，- s 喊1 1 拈一1 ( 嘞) + m e 一1 【c - 7 酬酬。d 丁 j t o 峭 m e 叫。) + 们e 叫h ) ( c 噼j j e - 0 ( r 咄) 4 d r sl i e 。l i m e - ( h 。( 1 + ，嘲e 洲4 1 e ( - e z ) ( h 。) 打) 河北工业大学硕士学位论文 ：l l e 。l l u e - ：q t - t o ) + 臀( e n 口。一t 。) 一e a “幻) ) ，a 。卢 li l e ：i i m e 一1 ( 一t o ) ( 1 + 护| l e ：胪一1 0 一t o ) ) ， ain p 故由定义23 和定义2 5 知，( 3 1 ) 的零解关于部分变元e n 一，是全局指数稳定，显然( 31 ) 推论：设 f 。参如r ， ( 3 。) 【簪= g ( t ，e r ) 十a e ， 、。 其中a 是r r 阶h u r w i t z 稳定，a 是m r ) ( n r ) 阶h u r w i t z 稳定，且i i g ( t ，e ，| | s 圳断胪，则( 3 2 ) 的零解全局指数稳定 证明：由a 是h u r w i t z 稳定知，( 3 2 ) 的零解关于部分变元钾全局指数稳定，据上述定理 很容易得到推论口 下面将定理l 推广到时变系数微分动力系统中，将( 3 1 ) 写成： l 鲁_ ，e - , e n - r ) , ( 3 3 ) 【簪= g ( t ，e r ) + a ( t ) e 。 、 与( 3 3 ) 的第二部分组成的子系统对应的线性时变系统为： d e 出n - r = a ( 她一 ( 3 4 ) 定理2 设k ( t ，t o ) 是( 3 4 ) 的标准基本解矩阵，如果系统( 3 3 ) 的零解e 。= 0 关于部分变 元e ，是全局指数稳定 i i k ( t ，t o ) | | h e - , k ( t - t o ) ，1 1 9 ( t ，e r l l 2 怯悒 其中h ，k 2 ，a 和卢是正实数，那么( 3 3 ) 的零解关于部分变元e 。一，也是全局指数稳定，即 ( 33 ) 的零解使全局指数稳定。 证明：由题意，系统( 3 4 ) 的解e 满足 忆 l 一忙( t ，t o ) e ：。1 l 兰i i k ( t ，t o ) l i i l e o 。i l k 1 i l e ，o 一，忙以( t - - t o ) ， 嘲( 3 3 ) 的零解关于部分变元印全局指数稳定知，存在常数c 0 ，n 0 有 唧i l c l 怫| 1 e - 0 ( t - t o ) ，t t o 对于( 33 ) 的第二部分组成的子系统，由l a g r a n g e 常数变易公式知 一，= ( t ，t o ) e ：，+ k ( ，r ) 9 ( r ，e r ) d 丁， r c t o 一。 = 耋! ! 至至堡塑! 坌銮重垒塞丝垦基壅堡鎏塑堡主塑壅星 一i | si 闽一， ji i k ( t ，t o ) | | + 忙( t ，r ) | | fj g ( r ，e ，) f l d r 曼圳e 跏e 。( 卜。+ 七l e 一 ( 圳岛旷d 丁 仿照定理1 的证明过程知， ( 3 3 ) 关于部分变元e 一，全局指数稳定，故( 3 3 ) 的零解全局 指数稳定。口 推论：设 毒三黧+ h 慨s ， 【生铲= 9 ( t ，e ，) + a ( t ) 札， “ 鲁= a ( t ) e r 的标准基本解矩阵k l ( t ，t o ) 满足l i k l _ ( t ，t o ) l l o l l e 一1 ( 。一。w ， ( 3 4 ) 的标 准基本解矩阵k 2 ( t ，t o ) 满足l i k 2 ( t ，t o ) l js0 2 e 一1 ：( t - t o ) 且怕( t ，e ，l i 0 3 l | e ，胪，其中 n i ，n 2 ，0 3 ，a l ，a 2 和口是正实数，则( 3 5 ) 的零解全局指数稳定 证明：据题意，( 3 5 ) 的零解关于部分变元e ，全局指数稳定，由定理2 很容易得到此推论 2 河北工业大学硕上学位论文 第四章混沌l 乱系统的反馈和自适应同步 4 - 1 反馈同步 l n 系统是介于l o r e n z 吸引子和c h e n 吸引子之间，但又不拓扑等价于l o r e n z 吸日 子或c h e n 吸引子的混沌动力系统，表示如下： f 圣= n 国一z ) ， 廿= 一z z + c 可 【窖= z 可一6 。 当o = 3 6 ，b = 3 ，c = 2 0 时，该系统显示复杂的馄沌动力学行为 究 3 4 - - 3 9 1 ，下面从第三章定理2 入手，控制l n 系统 考虑驱动系统： f 叠1 = n ( 1 3 ；1 ) ， 1 f 12 一z l z l + c l 函= z 1 】一6 钆 峦2 = a ( y 2 一x 2 ) + i z l ， 幽= 一x 2 2 2 + c y 2 + u 2 疡= x 2 y 2 一b z 2 + i l 3 ， 其中“l ，“2 ，u 3 为控制器。从而得到误差系统 对其性质已有多篇文章研 ( 4 1 ) ( 4 2 ) e l = a ( e 2 一e 1 ) + “1 ， e 2 = 一z l c 3 一z l e l 一e l e 3 十e e 2 十u 2 ，( 4 3 ) e 3 = x l e 2 + e l e 2 + y l e 一b e 3 + u 3 其中e l = 。2 。1 e 2 = y 2 一1 1e 3 = 7 - 2 一z l 。 定理1 设n l = 0 ，2 2 , 2 = 一k e 2 + z l e l ，u 3 = 一y l e l ，其中 c ，则系统( 4 1 ) 和( 4 2 ) 同 步。 证明：将“1 ，u 2 ，u 3 代八方程( 4 3 ) 得： 戆篓强叫旬 f 44 1 1 3 ，ij(，l 统系应自和 一 三耋堕至墨丝墅坌銮垂塞窒些墨基壅! 垦鎏垦堂皇塑鏖星 对于( 4 4 ) 中的第二、三个方程，取l y a p u n o v 函数v ( e 2 ，e 3 ) = ( e ；+ e ；) ，则v ( e 2 ，e 3 ) 沿 着( 44 ) 中的第二、三个方程的导数为： i = 一( 一c ) e j b e ； 当m c ，b = 3 时，o 0 其中a ( t ) 是矩阵 ( a ( t ) + a 7 ( t ) ) 的最大特征值，于是 l i 1 ( t ，t o ) l i m e 戚” ( 一c ) ，6 ) ( 。t o ) ，m 0 又2 , 1 和j 有界，方程i l = 一a e l 的标准基本解矩阵k 2 ( ，t o ) 满足 i i k 2 ( t ，t o ) l l o e l ( “， 其中a ，d 均为正实数，满足第三章定理2 的推论的条件，故( 4 5 ) 的零解全局指数稳定， 即系统( 4 1 ) 和( 4 2 ) 同步口 取驱动系统的初值( z 1 ( o ) ，1 ( o ) ，。1 ( o ) ) t = ( 1 2 ，3 ，4 3 ) t 和响应系统的初值( 。2 ( o ) ， 驰( o ) ，2 2 ( o ) ) 丁= ( 2 8 ，1 9 ，7 ，3 4 ) r ，取= 2 1 ，分别在图1 和图2 中得到( 4 1 ) 和 ( 4 2 ) 同步的结果。 ：r ”11 彰蝌以。，? 、vv u 1 5 01 1 5 d 4 图1 ：( a ) 定理1 中状态变量z 1 和z 2 同步 f i g1 ：( a ) s y n c h r o n i z a t i o no fs t a t e v e c t o r ( x l ，x 2 ) 7i nt h e o r e m1 罔1 ( c j 定理1 中状态变量0 1 和2 2 同步 f i g1 ( c ) s y n c h r o n i z a t i o no fs t a t e v e c t o l ( z 1 ，。2 ) 7i nt h e o r e m1 图l ：( b ) 定理1 中状态变量掣1 和y 2 同步 f i g1 ：( b ) s y n c h r o n i z a t i o no fs t a t e v e c t o r ( y l ，口2 ) i nt h e o r e m1 图2 ：( a ) 定理2 中状态变量0 1 和。2 同步 f i g 2 ：( a ) s y n c h r o n i z a t i o no fs t a t e v e c t o r ( x l ，x 2 ) 7i nt h e o r e m2 1 5 类时变系统部分变元稳定性及其在混沌同步中的应用 图2 。( b ) 定理2 中状态变量可l 和抛同步 f i g 2 ：( b ) s y n c h r o n i z a t i o no fs t a t e v e c t o r ( 口1 ，9 2 ) 7i nt h e o r e m2 图2 ：( c ) 定理2 中状态变量0 1 和砘同步 f i g 2 ：( c ) s y n c h r o n i z a t i o no fs t a t e v e c t o r ( z 1 ，z 2 ，i nt h e o r e m2 4 2 自适应同步 参篡 心， 瓦= e 2 y 2 ，( 4 8 ) 其中k c ，磊，分别为如，疋的估计则系统( 4 1 ) 和( 4 7 ) 同步 侄裹墨意( k - 如c ) e 2 也。， 。， 河北工业大学硕士学位论文 取l y a p u n o v 函数 ”( e 。，e 。，面，五) = ；( e ；+ e ；+ 五2 + 嚣2 ) ， 则u ( c 2 ，c 3 ，乱，如) 沿着( 49 ) 的第二、三个方程组成的子系统的导数为 o = 一( 一c ) e l b e ；+ 瓦( 2 e 2 一嚣) 一元( 。2 e 3 + 磊) 由条件( 4 8 ) 中品= 一e 3 2 2 ，五= e 2 y 2 知，o 0 ，当t 7 1 时，有十如 0 且有界，由第三章 中定理2 知， ( 4 ，1 2 ) 的零解全局渐近稳定，即( 4 1 ) 和( 41 1 ) 同步口 取初值z 1 ( o ) = 2 0 ，l ( o ) = 1 3 ，z 1 ( o ) = 2 5 ，z 2 ( o ) = 1 2 3 ，2 ( o ) = 2 7 4 ，。2 ( 0 ) = 3 72 ，如= 一6 1 ，以= 一8 9 所加控制器和修正律满足定理3 的条件，从图3 中可显示系 统( 4 1 ) 和( 4 7 ) 的同步的情形 图0 ：( a ) 状态变量o j 和物同步 f i g 3 ：( a ) s y n c l l r o n i z a t i o no f s t a l ev e c t o r ( 。l ，。2 ) 7 图3 ：( c ) 状态变量。1 和。2 同步 f i g3 ( c ) s y n c h f o n i z a t i o no f s t a l cv e c t o r ( 。】，z 2 ) 7 困3 ：( b ) 状态变量可1 和y 2 同步 f i g3 ：( b ) s y n c h r o n i z a t i o no f s t a t ev e c t o r ( 叭，v 2 ) 7 河北工业大学硕士学位论文 第五章混沌原声重力波方程的高阶级联同步 下面以三阶系统为例给出二阶级联的混沌同步表示，在文献【4 0 】中，只提及此方法，但 未作证明。 考虑驱动系统： li = ，( u ，t o ) ， 0 ( 5 9 ) ( 5 1 0 ) ( 5 1 1 ) 6 妲n “ z z 】| 一 虮乱 州 ，、l m 9 + 、 m 啦啦 ， a = 、l m啦啦 ， 、 仉骓 ， 、j o 0 0 ：n 玑。 2 ，。 i | 讯 9 、， 0 o 1 i 7，0 0 一 现0 f，i_1、 = a 中其 = 耋堕至至堑墅坌变重塞塞堡垒基壅堡塑垦生皇塑壅旦，。： 据混沌的性质知，二，和”有界，于是有怕t t ，川圳( 裹) “成立，m 为正常数， f 1 第三章中定理2 得： ( 51 1 ) 的零解全局渐近稳定，故系统( 51 ) 可达到二阶级联同步。口 在数值模拟中，我们取初值( 。1 ( o ) ，y l ( o ) ，z 1 ( o ) ，u 1 ( o ) ) 7 = ( o1 ，o 2 1 ，0 4 ，2 3 ) 7 ， t z 2 ( 0 ) ，u 2 ( o ) ，。2 ( o ) ，u 2 ( o ) ) 7 = ( 56 ，o2 1 ，62 ，1 1 ) 7 ，( z 3 ( o ) ，y 3 ( o ) ，z 3 ( o ) ，岫( o ) ) 7 = ( 5 6 ，9 3 ，1 7 ，3 2 ) r ，图4 中显示。l 和。2 、y l 和y 2 、z l ，z 2 和幻以及u l ，u 2 和 u 3 同步的结果。 图4 ：( a j 状态变量z 1 和z 2 同步 f i g 4 ：( a ) s y n c h r o n i z a t i o no f s t a t ev e c t o r ( x l ，。2 ) 7 图4 ：( c ) 状态变量。l ，。2 和z 3 同步 f i g4 ( ( ) s vn ( 1 1 i o l l i z 8 t i o l lo f s t a t ev e c t o r ( 。1 ，砚，幻) 7 图4 ：( b ) 状态变量可l 和驰同步 f i g4 ：( b ) s y n c h r o n i z a t l o no f s t a t ev e c t o r ( y 1 ，蜘) 7 图4 ：( d ) 状态变量t a j l 、6 9 2 和u 3 阿步 f i g4 ：( d ) s y n c h r o n i z a t i o no f s t a t ev e c t o r ( “1 ，。2 ，“3 ) 7 河北工业大学硕士学位论文 第六章混沌l o r e t 。z 系统的鲁棒同步 一般来说，如果一个系统的性质，诸如稳定性、干扰抑制性能、最优性能指标等，对于 系统中存在的不确定性不敏感，就称该系统具有鲁棒性 1 8 4 3 , 4 4 】。粗略地讲，使用任何一种 设计理论设计出来的系统，或多或少都有一定程度的鲁棒性。 非线性系统的不确定性，可以表现为状态方程中参数的或非线性函数的未知摄动。本文 仅以参数摄动作为范例研究l o r e n z 系统的鲁棒同步。 对于l o r e n z 系统； l士= 一口( z 一可) ， 雪= p z 一掣一z z ， ij = x y 一卢z ， 当口= 1 0 p = 2 8 ，卢= s a 时，l o r e n z 系统处于混沌状态。 下面我们考虑口p 卢分别为关于t 的函数，记为口( t ) ，p ( t ) ，卢( t ) 考虑驱动系统 i 茁1 = 一口( t ) ( z 1 一y 1 ) ， 9 1 = p ( t ) z l y l z 1 。1 ， ( 6 1 ) 【矗= 一z ( t ) z l + x l y l ， 和响应系统 l9 2 = 一o ( t ) ( x 2 一y 2 ) + u l ， y 2 = p ( t ) x 2 一y 2 一x 2 2 2 + u 2 ，( 6 2 ) i 如= 一卢0 ) 。2 + x 2 y 2 + u 3 令e l = 。2x l ，e 2 = y 2 一y l ，e 3 = z 2 一z l ，贝4 id l = - - o ( t ) ( e l e 2 ) + u 1 ， e 2 = p ( t ) e l e 2 一z l e l e l e 3 一x l e 3 + u 2 ，( 63 ) ie 3 = 一z ( t ) e 3 + y l e l + x le 2 + e 1e 2 + “3 ， 定理设l i m t 一十正a ( ，7 - ) d r = 十o 。，) i 茎m l ，i p i t ) l 蔓尬，0 z ( t ) 曼尬，慨为正 常数，让u 1 一一n ( t ) e 2 ，u 2 = 0 ，u 3 = 0 ，则系统( 6 1 ) 和( 6 2 ) 同步 证明：将u 1 一一a ( t ) e 2 ，i , 2 = 0 ，“3 = 0 代入( 6 - 3 ) ，得误差系统： id l = - a ( t ) e 1 ， 如= p ( t ) e l e 2 一z l e l e l e 3 一x l e 3 ， ( 6 4 ) i 西= 一卢( ) e 3 + g le l + x l e 2 + e l e 2 ， 南条件l i n l 一+ 。e a ( r ) d r = + 。得，子系统画一( ) e ，全局指数稳定 将( 6 4 ) 的第二、三个方程组成的子系统重写为： ( 如d 3 ) 叫心) 蚓啦a 一类时变系统部分变元稳定性及其在混沌同步中的应用 唰- x 小2 。一( 础 系统系统fo1 ：坤) f 钝 e 3 陋( f ，t o ) isn 。“ e l 的标准基本解矩阵( ，t o ) 满足 其中n ， 为正实数。又l i g ( t ，e 1 ) 1 1 k l l e l l l ，k 为正常数，由第三章中定理2 的推论知，( 64 ) 零解全局渐近稳定，即系统( 6 1 ) 和( 6 2 ) 同步口 注：这里并不要求口( ) ，p ( t ) 恒正口 取初值x l ( 0 ) = 32 ，y l ( 0 ) = 2l ，z 1 ( 0 ) = 1 5 ，x 2 ( o ) = 1 2 ，y 2 ( o ) 口( ) = 5 + l o s m t ，p ( t ) = 一1 4 + 2 8 v 百c o s t ，p ( ) = 警一! 乒c d s t 所加控制器满足定理条件，图5 ( a ) ，( b ) ，( c ) 显示系统( 6 1 ) 和( 6 2 ) 的同步的情形。 ”f 烈1 叶il1 l jl o l ”ij ，、 ，1 j f 7 1l o i 一 。 l 厂 4j l ! ! 。：! ! ! j s o1 l 2 图5 ：( a ) 状态变量。1 和z 2 同步 f i g 5 ：( a ) s y n c h r o n i z a t i o no f s t a t ev e c t o r ( z 1 ，z 2 ) 7 1 。0，0 02 e 0j 图5 ：( c ) 状态变量。1 和z 2 同步 f i g 5 ：f c ls y n c h r o n i z a t i o no f s t a t ev e c t o r ( z 1 ，钝) 7 图5 ：( b ) 状态变量y l 和9 3 同步 f i g 5 ：( b ) s y n c h r o n i z a t i o no f s t a t ev e c t o r ( y l ，y 2 ) 7 、，、 o 现 时，一牡 口 = ” o 当 中其 河北工业大学硕士学位论文 第七章结论 本文考察了一类时变系统的部分变元与全局变元之间的稳定关系首先给出理论上的 结果，其次，将这一理论结果分别成功地应用到上i 系统、原声重力波方程、l o r e n z 系统 研究混沌同步，数值模拟结果表明所用控制技术的有效性 本文的方法可以推广到研究时变离散动力系统、时滞动力系统 4 a - 4 9 1 、脉冲动力系统 川的混沌控制和同步问题，对复杂网络【5 0 】和广义系统1 5 1 - s 3 i 的稳定性研究也有借鉴之 处。本文的结果对实际的工程统计具有重要的理论意义和参考价值 2 5 二兰墅塑受墼壑墅逝堡塞丝墨苎壅堡塑鱼生主盟壅旦 参考文献 【1 】manhk1 4t t hf matem e5 ( 1 9 3 8 ) t b i 【2 】r r e s s i g g s a n s o n e r c o n t in o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fh i g e r 。r d e r1 9 7 4n o o r d h o f fi n t e r n a t i o n a lp u b l i s h i n g 廖晓昕， 稳定性的数学理论及应用，华中师范大学出版社( 1 9 9 8 ) 川l i a ( ) x i a o x i l l ，c h e n