（基础数学专业论文）高维空间双特征beltrami方程组.pdf

摘要 高维空间双特征b e l t r a m i 方程组是单特征b e l t r a m i 方程组的推广单特征b e l t r a m i 方程组已经得到了广泛的研究；本文考虑高维空间双特征b e l t r a m i 方程组 f ( x ) h ( x ) d f ( x ) = j ( x ，门2 n g ( z ) 在矩阵h ( z ) ，c ( x ) c l ( n ) 满足一致椭圆型条件的假设下，利用能量和变分方法，得 到了双特征b e l t r a m i 方程组对应的齐次散度型椭圆方程 d i v a ( x ，d 厂( z ) ) = 0 ， 并得到了算子4 满足的l i p s c h i t z 条件，单调性条件和n 1 次齐次性条件。利用所得 到的齐次散度型椭圆方程，得到了双特征b e l t r a m i 方程组广义解分量函数的弱单调性 结果 关键词双特征b e l t r a m i 方程组；散度型椭圆方程；能量泛函；弱单调性；l i p s c h i t z 条件；齐次性 人b 吼1 ，a c t a b s t r a c t b e l t r a m is y s t e mw i t ht w oc h a r a c t e r i s t i cm a t r i c e si nh i g hd i m e n s i o n a ld o m a i n si s ag e n e r a l i z a t i o no ft h eb e l t r a m is y s t e mw i t ho n ec h a r a c t e r i s t i cm a t r i x ，w h i c hh a sa l 。 r e a d yb e e ne x t e n s i v e l yr e s e a r c h e d i nt h i sp a p e r ，w es t u d yb e l t r a m is y s t e mw i t ht w o c h a r a c t e r i s t i cm a t r i c e s d f ( x ) h ( x ) d f ( x ) = j ( x ，厂) 2 n g ( z ) i nh i g hd i m e n s i o n a ls p a c e s w eo b t a i nt h ec o r r e s p o n d i n gh o m o g e n e o u sd i v e r g e n c e - t y p e e q u a t i o n d i v a ( x ，d f ( x ) ) = 0 f o rt h eb e l t r a m is y s t e mw i t ht w oc h a r a c t e r i s t i cm a t r i c e sb yu s i n gt h ee n e r g ya n dv a r i a t i o n a lm e t h o d su n d e rt h eu n i f o r m l ye l l i p t i cc o n d i t i o n so n ( z ) ，c ( x ) c l ( n ) t h e l i p s c h i t z t y p e m o n o t o n ea n dn 一1h o m o g e n e o u sc o n d i t i o n sa r ea l s oo b t a i n e d t h e w e a km o n o t o n i c i t yr e s u l tf o rt h ec o m p o n e n tf u n c t i o n so ft h eb e l t r a m is y s t e mw i t ht w o c h a r a c t e r i s t i cm a t r i c e si so b t a i n e db yu s i n gt h eh o m o g e n e o u sd i v e r g e n c e t y p ee q u a t i o n k e y w o r d s b e l t r a m is y s t e mw i t ht w oc h a r a c t e r i s t i cm a t r i c e s ；e l l i p t i ce q u a t i o no f d i v e r g e n c e - t y p e ；e n e r g yf u n c t i o n a l ；w e a km o n o t o n i c i t y ；l i p s c h i t zc o n d i t i o n ；h o m o g e n e - i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名：壑驰蔓 日期：丝年月一f ：- i 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密。 ( 请在以上相应方格内打“”) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为( 南循空f l i i 双特征驯厥，1 彳劾l 呈鲤 的学位论文，是我个人在导师( 南红巫) 指导并与导师合作下取得的研究成果， 研究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费 资助下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和固为保护知识产权所制定 的各项法律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容。如果违反本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人： 墼豳耋 日期：竺z 年五月l 日 作者签名： 壑姻蔓 导师签名： 髦皤丛星一 日期：丝乏年月l 日 日期：赳年上月7 l 日 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n b e l t r a m is 3 ，s t e mi si m p o r t a n ti nm o d e r ng e o m e t r i cf u n c t i o nt h e o r 3 ra n dn o n l i n e a r a n a l y s i s i ti sc l o s e l 3 rr e l a t e dt oq u a s i c o n f o r m a la n dq u a s i r e g u l a rm a p p i n g s s o m er e - s e a r c h e so fq u a s i r e g u l a rm a p p i n gt h e o r yb e g a nw i t ht h ep i o n e e r i n gw o r ko fr e s h e t n 3 a ki n 19 6 6 ，s e e 1 】w i t ht h e i rt h e o r i e sa n da p p l i c a t i o n sd e v e l o p i n g ，n o wp e o p l ea r ei n t e r e s t e d i nb e l t r a m is y s t e mw i t ht w oc h a r a c t e r i s t i cm a t r i c e si ne v e na n da r b i t r a r y d i m e n s i o n s ， s e e 4 】 f o re x a m p l e ，s o m ep e o p l er e g a r dt h eq u a s i r e g u l a rm a p p i n ga sg e n e r a l i e ds o l u t i o n s o ft h ed i f f e r e n t i a ls y s t e m d 。f ( x ) d f ( x ) = j ( 。，) 2 n o ( z )( 1 1 ) c o m m o n l yc a l l e dt h en - d i m e n s i o n a lb e l t r a m is y s t e m ，w h e r ec ( x ) ：q s ( n ) i sa m e a s u r a b l ef u n c t i o nw i t hv a l u e si ns y m m e t r i cp o s i t i v em a t r i c e so fd e t e r m i n a n t1 ，a n d s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n 1 7 7 1 2 ( a ( x ) n ，? 7 ) p i 叩1 2 ， w h e r e0 q p ，0 r n 1 w a n i e ct ，m a r t i ng o b t a i n e di n 3 】t h ef o l l o w i n g r e s u l t ：e v e r yc o m p o n e n tf u n c t i o nu = ，( i = 1 ，2 ，n ) o fe q u a t i o n ( 1 1 ) i sas o l u t i o n o ft h ef o l l o w i n gd i v e r g e n c et y p ee l l i p t i ce q u a t i o n d i v a ( x ，v u ) = 0 w h e r ea ( x ，) = ( g 一1 ( z ) ，) 孚g 一1 ( z ) ，t h es o l u t i o no ft h ed i v e r g e n c et y p ee l l i p t i c e q u a t i o nm e a n st h a t ， ( a ( x ，v 让) ，v 妒) d x = 0 ，q f o ra r b i t r a r y 妒咐m ( q ) t h eo p e r a t o ras a t i s f i e ss o m ec o n d i t i o n s b yt h er e g u l t ， w ek n o wt h a tt h e r ei sac l o s er e l a t i o n s h i pb e w e e ns p a c eq u a s i r e g u l a rm a p p i n ga n dt h e s o l u t i o no fd i v e r g e n c et y p ee l l i p t i ce q u a t i o n 1 人i ) i s s ( n 1 ，a t i o nf o rt h ed e g r e eo fm so fh e b e iu n i v e r s i t 3 ， i tc a nb ee a s i l 3 ，p r o v e dt h a ti f 厂i ，l ，1 m ( q jr ) i sag e n e r a l i z e ds o l u t i o no ft h e n d i m e n s i o n a lb e l t r a m is 3 ，s t e m ，t h e n 厂s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gi n e q u a l i t y d 厂( z ) l n k j ( z ，) t h e r e f o r e ，厂i sk q u a s i r e g u l a r r e c e n t l y , s o m ew o r k sc o n s i d e rw e a k l yk q u a s i r e g u l a r m a p p i n g si nqcr 儿，w h i c hc o n t a i ng e n e r a l i z e ds o l u t i o n so f ( 1 3 ) ，s e e 【1 6 】 s o m ep e o p l eh a v eb e e nc o n s i d e r i n gt h ef o l l o w i n gt w ok i n d so fb e l t r a m is y s t e mw i t h t w oc h a r a c t e r i s t i cm a t r i c e s a n d d 。f ( x ) h ( x ) d f ( x ) = g ( x ，厂) 2 扎c ( x ) d f ( x ) d f ( x ) = g ( x ，厂) 2 n c ( x ) + g ( x ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) w h e r es s ( x ) ，c ( x ) g l ( n ) a r et w o 凡nm a t r i c sw i t hv a l u e si ns y m m e t r i cp o s i t i v e m a t r i c e so fd e t e r m i n a n t1 ，a n ds a t i s f yt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o no fu n i f o r me l l i p t i c i t y ：f o r v e ，7 7 r 竹， q ，i 1 2 ( 日( z ) ，) f l , l 1 2 ， ( 1 4 ) q 2 i , 1 2 ( g ( z ) 7 7 ，7 7 ) 仍i , 1 2 ，( 1 5 ) w h e r e0 q 1 7 1 ，0 q 2 仍 o o n o w ，w es e es o m er e s u l t sa s s o c i a t e dw i t h ( 1 2 ) a n d ( 1 3 ) i ti sw e l lk n o w nt h a tt h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o n so f ( 1 1 ) h a v e ( p ( z ) 等) 一f i n i t ed i s t o r t i o n i nf a c e ，f r o m ( 1 1 ) w ec a nd e r i v et h a t ( f ( x ) d 厂( z ) f ，f ) = g ( x ，) 罢( g ( z ) ，) t h u sb yc o n d i t i o no fu n i f o r me l l i p t i c i t y t h i si m p l i e s t h a ti s d i ( x k l 2 g ( x ，) 吾p ( z ) 盱 d f ( z ) 1 2 g ( x ，) 罢p ( z ) d f ( x , ) l 礼f l ( x ) - 量j ( x ，) 参 c h a p t e r1 ， i n h o d u c t i o n b yu s i n gt h es a m em e t h o d ，s o m ea u t h o r sc a no b t a i nf r o m ( 1 3 ) t h ef 0 1 1 帆i n gs i m i l a r i n e q u a l i t 3 ，： t h i si m p l i e st h a t i d f ( x ) 2 j ( x ，厂) 暑1 ( z ) + 仍( a ：) d 厂( z ) i n 2 号一1 ( 1 ( z ) 号j ( z ：厂) + 侥( z ) 号) h e n c e ，w ek n o wt h a ta n 3 , g e n e r a l i z e ds o l u t i o no f ( 1 3 ) h a s ( 2 号一1 p l ( z ) 号，2 号一1 仍( z ) 号) 一 f i n i t ed i s t o r t i o n i ti ss t u d i e dt h a t ( 1 2 ) t r a n s f o r m si n t oa l le l l i p t i ce q u a t i o no fi n h o m o g e n e i t 3 rd i v e r g e n c e d i v a ( x ，d ，) = b ( x ，d n ( z ) ，c ( x ) 萨，。( q ，r n n ) ，k 1 ，0 q 1a n de s t a b l i s hi t sr e g u l a r i t yo fg e n e r a l i z e d s o l u t i o ni n 嵋留( q ，r 礼) ，n a m e l y 厂( z ) c 苗1 6 ( q ，r n ) ，0 6 2 ，i ti sd i f f i c u l tt os t u d yi td i r e c t l ys i n c ei ti so v e r d e t e r m i n e d a n df u l l yn o n l l i e a r w a n gq i n g l iu s e da ne f f e c t i v er e s e a r c hm e t h o d ，w h i c ht r a n s f o r m s b e l t r a m is y s t e mt oa ne l l i p t i ce q u a t i o na n ds t u d i e dt h ee l l i p t i ce q u a t i o nb yu s i n gt h e m e t h o do fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n dt h ea n a l y t i c a lm e t h o do fs o b o l e vs p a c e s h ee v e ro b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t ：s u p p o s et h a tt h es p a c ed i m e n s i o nni se v e n a n df w f 脱l , n 、，r n ) i sag e n e r a l i z e ds o l u t i o no ft h ea b o v ee q u a t i o n ，w h i c hs a t i s f y u n i f o r m l ye l l i p t i cc o n d i t i o n s ，t h e nd f 。= d f a ad f ，1 i l i l n ，l = 詈i s aw e a ks o l u t i o no ft h ef o l l o w i n gp - h a r m a n i ce q u a t i o n d * a ( x ，d f 7 ) = d + 召( z ，d 厂) a n dh a v eo b t a i n e dt h eo p e r a t o r aa n d 屡s a t i s f ) rs o m ec o n d i t i o n s 一3 一 i nt h ep a p e r ，w ea l s os t u d 3 ，b e l t r a m is y s t e ma n dc h o o s et h ea b o v ee f f e c t i v er e s e a r c h m e t h o dt ot r a n s f o r mb e l t r a m is y s t e mt oa ne l l i p t i ce q u a t i o n ，a n ds t u d yt h ee l l i p t i c e q u a t i o nb yu s i n gt h em e t h o do fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n dt h ea n a l y t i c a lm e t h o do f s o b o l e vs p a c e b u tw ew i l l ( 1 2 ) t r a n s f o r m si n t oa ne l l i p t i ce q u a t i o no fh o m o g e n e i t y d i v e r g e n c e d i v a ( x ，d 厂) = 0 日( z ) ，c ( x ) g l ( n ) s a t i s ( vt h ec o n d i t i o n o fu n i f o r m l ye l l i p t i c i t ya n de s t a b l i s hm o n o t o n i c i 毋r e s u l to fg e n e r a l i z e ds o l u t i o no f ( 1 2 ) i nh i g hd i m e n s i o n a ld o m a i n w en o wi n t r o d u c es o m en o t a t i o n st h a tw i l lb eu s e di nt h ep a p e r f o rqab o u n dd o m a i no fr 7 。( 住22 ) ，w ec o n s i d e ram a p p i n g ，= ( 厂1 ，厂2 ，f n ) w 1 ，n ( q ，r n ) ，t h ed i f f e r e n t i a l d ) = ( 望o x j , 蜥 n a n di t si ) a c 。b i a nd e t e r m i n a n t j ( z ，厂) = d e td 厂( z ) i nt h ep a p e r w ea s s u m ej ( x ，) i sn o n n e g a t i v e i no t h e rw o r d s ，厂i s a no r i e n t a t i o n p r e s e r v i n gm a p p i n g l e ta ，b r m 仇，w ed e f i n e ( a ，b ) = t r a c e ( a b ) = t r a c e ( b 月) ，d e n o t e db yl a i = ( a ，a ) 1 2 ，w h e r ea i st r a n s p o s i t i o no faa n da 一1 i s r e s e r v eo fa c o n s i d e rt h eb e l t r a m is y s t e mw i t ht w oc h a r a c t e r i s t i cm a t r i c e si nh i g h d i m e n s i o n a ld o m a i a s d f ( x ) h ( x ) d f ( x ) = j ( x ，) 2 n g ( z ) ， w h e r eh ( z ) ，c ( x ) g l ( n ) a r e 佗xnm a t r i c e sw i t hv a l u e si ns y m m e t r i cp o s i t i v em a t r i c e s o fd e t e r m i n a n t1 ，a n ds a t i s f yt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o no fu n i f o r me l l i p t i c i t y ：f o rvf ，7 7 r n q 1 i 1 2 ( ( 。) ，) p 1 i 1 2 ，( 1 6 ) a 2 1 7 1 2 ( g ( z ) 7 7 ，r ) 仍1 7 1 2 ， w h e r e0 q 1 历 o 。，0 q 2 侥 o o ( 1 7 ) b e l t r a m is y s t e mw i t ht w oc h a r a c t e r i s t i cm a t r i c e sh a v ec l e a r l yg e o m e t r i cm e a n i n g i ffi sag e n e r a l i z e ds o l u t i o no f ( 1 2 ) ，t h e ni tt r a n s f o r m st h ei n f i n i t e s i m a le l l i p s o i da tz w i t ht h ec h a r a c t e r i s t i cc ( x ) i n t ot h ei n f i n i t e s i m a le l l i p s o i da tf ( x ) w i t ht h ec h a r a c t e r i s t i c ( z ) 缸 r e m a r k1i fh ( x ) = i d ，( 1 2 ) b e c o m e st h eb e l t r a m is x r s t e mi nh i g hd i m e n s i o n a l d o m a i n s d 。f ( x ) d f ( x ) = y ( x ，厂) 2 n g ( z ) ， ( 1 8 ) i t sg e n e r a l i z e ds o l u t i o ni sc a l l e dq u a s i r e g u l a rm a p p i n g r e m a r k2l e t 礼= 2 i fw el e tz = x l + i x 2 ，f ( z ) = f ix l ，x 2 ) + i f 2 ( z 1 ，x 2 ) ，t h e n ( 1 8 ) a n d ( 1 2 ) a r ee q u i v a l e n ts e p a r a t e l yt ot h eb e l t r a m ie q u a t i o nw i t hc h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o np ( z ) 厂_ = 肛( z ) 厶，( 1 9 ) p ( z ) i k l 1 ， a n dt h eb e l t r a m ie q u a t i o nw i t ho n ea n dt w oc h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n sp 1 ( z ) a n d 2 ( z ) w h e r e ，_ = p 1 ( z ) 厶+ p 2 ( z ) 万， p 1 ( z ) i + l p 2 ( z ) | 忌2 1 p ( z ) = m ( z ) = m ( z ) = g l l g 2 2 + 2 i g l 2 g 1 1 + g 2 2 + 2 o l i g 2 2 + 2 i g l 2 g l l + g 2 2 + h 1 1 + 凰2 h 2 2 h l l 2 i h l 2 c l l + g 2 2 + h 1 1 + h 2 2 a c c o r d i n gt o ( 1 4 ) a n d ( 1 5 ) ，w eh a v e 肛( z ) l 七1 1 ， 肛1 ( z ) i + i 2 ( z ) j 克2 ， e q u a l i t yo c c u r si fa n do n l y n a m e l y , ( v q t a 九耳) 。( v 乍t a 以耳) = id e t ( v h a 佤河) f i d ， a h a = i d e t a l 2 n g t h i se n d st h ep r o o fo fl e m m a2 1 t h ef o l l o w i n gl e m m a sc o m ef r o m 3 ，l e m m a4 7 2 】 l e m m a2 2s u p p o s eo n eo ft h ec o o r d i n a t ef u n c t i o no fam a p p i n gf = ( f 1 ，f 2 ，竹) 彤1 ，n ( q ，r n ) v a n i s h e so na qi nt h es o b o l e vs e n s e t h e n o = zd 似 o z， 厶 l e m m a2 3 i f ，g 1 i 叱n ( q r ”) a n d 厂= 9o na qi nt h es o b o l e vs e n s e ：t h e n j ( z ，夕) 以z = 乞j ( z ，厂) d z p r o o ff r o mt h ea s s o c i a t e db e l t r a m ie q u a t i o nw ea r g u ea sb e f o r et os e et h a t 【厂】= = n n l 2 d e f i n i t i o n2 3f 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