（基础数学专业论文）散射分解的若干研究.pdf

墼塑蟹塑堑! 壅篁! ! ! ! ? 3 摘要 【摘要】 本论文主要是对散射分解进行了较为系统的研究，通过对散射分解的 开膨胀进行约束，得到几个可数仿紧，可数几乎仿紧，可数广义仿紧空间及可数几 乎广义仿紧的刻画，这主要体现在本文的第一章和第二章的内容中，这些结论是文 2 】的丰富和充实接着作者在第三章利用散射分解这一工具，结合完全遗传仿紧 空问，获得完全遗传仿紧空间类似j u n n l i a 的等价刻画，这结果是文 4 】的一大进步 在第四章中作者继续借助散射分解，获得了遗传亚紧空间的等价刻画，并且通过反 例说明了遗传次仿紧空间不具有类似j u n n l i a 的等价刻画同时在文【5 的基础上得 到遗传强仿紧空间的等价刻画最后，在第五章中，作者对散射分解与单位分解的 关系作了探讨，获得了一些等价刻画 【关键词】 散射分解；可数仿紧；次仿紧( 次亚紧，次中紧) ；完全遗传仿紧：遗传亚 紧遗传强仿紧：单位分解 l 一一一 散射分解的若干磺究 a b s t r a c t 【a b s t r a c t 】 i n t h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h es c a t t e r e dp a r t i t i o n ，b yr e s t r j c t i n g t h eo p e ne x p a n s i o no ft h es c a t t e r e dp a n i t i o n ，w eo b t a i n e ds o m eg r o u p so fe q u i v a l e m c h a r a c t e r i z a t i o n so ft h ec o u n t a b l yp a r a c o m p a c t s p a c e s 、 t h ec o u n t a b l yn e a r l y p a r a c o m p a c t 、 t h ec o u n t a b l yw i d l yp a r a c o m p a c ta n dt h ec o u n t a b l yn e a r l yw i d l y p a r a c o m p a c tw h i c he m b o d i e dm a i n l yi nc h a p t e ro n ea n dt w ot h e s er e s u l t sa r e a b u n d a n to ft h ec o u n t e r p a nr e s u l t so ft h ep a p e r2c o m i n gu pn e x ti nt h ec h a p t e r t h r e e ，t h ea u t h o ro f t h ep a p e ri l s et h et o o lo f t h es c a n e r e dp a r t i t i o n ，a c c o m p a n i n gw i t h t h ep e r f e c th e r e d i t a r i i yp a r a c o m p a c ts p a c e ，o b t a i n e dt h ee q u j v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o no f p e r f e c th e f e d i t a r i l yp a r a c o m p a c ts p a c ew h i c hi ss i m i l a ra sj u n n l i a s ，t h er e s u l ti st h e b i ga d v a n c e do ft h ep a p e r 4 】i nt h ec h 印t e rf o u r ，t h ea u t h o ro b t a i n e dae q u i v a l e n t c h a r a c t e r i z a t i o no ft h eh e r e d i t a r 订ym e t a c o m p a c ts p a c eb yc o n t i n u eu s i n gt h es c a t t e r e d p a n i t i o n ，a n ds h o w i n gt h a tt h e r ei sn os u c hs i m i l a rc h a r a c t e r i z a t i o na sj u n n l i a sf o r s o m eh e r e d i t a r 订ys u b p a r a c o m p a c ts p a c eb ya nc o u m e re x a m p l es i m u l t a n e o u s l yw e o b t a i n e dae q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o no ft h eh e r e d i t a r 订ys t r o n g l yp a r a c o m p a c ts p a c e o nt h eb a s eo f t h er e s u l t so f t h ep a p e r5 f i n a l l yi nt h ec h a p t e rf i v ew ed op i l o ts t u d yo f t h er e l a t i o nb e t w e e nt h es c a t t e r e dp a r t i t i o na n dp a r t i t i o no fu n i t ya n do b t a i n e ds o m e e q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n s 【k e yw o r d s 】 s c a t t e r e dp a r t i t i o n ；c o u n t a b l yp a m c o m p a c t ；s u b p a r a c o m p a c t ；( s u b m e s o c o n l p a c t ；s u b m e t a c o m p a c t ) ；p e r f e c th e r e d i t a “l yp a r a c o m p a c t m e r e d i t a r i l ym e t a c o m p a c th e r e d i t a r i l ys t r o n 9 1 yp a r a c o m p a c t ：p a n i t i o no f u n i t y i i 散射分解的若干研究 引言 我们知道对覆盖性质的刻画是一般拓扑学研究的重要课题，很多数学家已经 在这一领域取得了显著成果自1 9 8 6 年，j u n n i l a 等在文 1 中引进散射分解并证 明了：一个空间是遗传亚紧的当且仅当它的每个散射分解有个点有限的开膨胀， 朱培勇在文 3 、文 4 ，燕鹏飞在文 2 分别利用散射分解这一工具，给出了可数 仿紧( 中紧，亚紧) 空间，遗传次亚紧空间，遗传盯一亚紧空间的类似j u n n i l a 的等 价刻画特别是朱培勇在文 4 中例3 2 从反面证明了：遗传仿紧空间不与空间的 每个散射分解有局部有限的开膨胀等价，同样燕鹏飞在文 2 中例1 用反例说明 了遗传中紧空间不具有类似j u n n i l a 的刻画在本文中，作者利用散射分解这一 工具，通过对其开膨胀进行约束，获得了可数仿紧空间、可数几乎仿紧空间及广义 可数仿紧空间的几个等价刻画，大大丰富和充实了文 2 的定理l 的结果，并在正 则完全的限制条件下，获得了完全遗传仿紧空间的等价刻画，这是文【4 结果的一 大突破作者还对文 5 进行了专门研究，在该文基础上得到了遗传强仿紧的一组 等价刻画在本文中，作者利用朱培勇的文 4 、燕鹏飞的文 2 构造遗传仿紧空 间，遗传中紧空间不具有类似j u n n 儿a 的等价刻画的反例的方法，获得了遗传次 仿紧空间不具有类似j u n n i l a 的等价刻画的反例，同时在燕鹏飞的文 2 定理2 基础上得到了遗传亚紧空间的另一个等价刻画最后，作者将散射分解与单位分 解相结合，获得了几个与单位分解有关的等价刻画结论 本文用x ，y 表示拓扑空间，厂：z j ，是连续满的映射，f x l 表x 的邻域 系，c ，( 4 ) 表示4 的相对于整个空间的闭包，d ，y 等表示序数，珊表示非负整数 集或最小无限基数，表示集合a 的基数 本文主要是对散射分解这一拓扑概念进行了研究，文中的每个结论都与散射 分解有关，各章结论所需相关概念已分别在各章的第一节列出，本文中所涉及的 其他有关概念、性质及记号和表示方法都可参见文 6 、文 7 和文 1 5 墼! ! 坌坚塑董王型塞 第一章散射分解与可数仿紧空间的关系 第一节定义及相关概念 定义1 1 1 1 1 空间j 的一个散射分解( s c a u e r e dp a n i t i o n ) 是指肖的两两不相交的子集构 成的覆盖f k ：口 ，) 并且满足v 瑾 y ，u 厶：占 d 开于 定义1 1 2 旧 空间爿的子集族 4 ：s s ) 是遗传闭包保持的，如果协s ，v 皿c 4 族 县：j s l 是闭包保持的 定义1 1 3 设u = 以：口 y ) 是空间x 的子集族，称u = 屹：d y 是u 在中 具有局部有限( 紧有限、点有限、内部保持) 的开膨胀，如果满足条件： ( 1 ) u 是x 中的局部有限( 紧有限、点有限、内部保持) 的开集族： ( 2 ) v 口 ，心 k 定义1 1 4 设u = 心：口 y 是空间j 的子集族，称一列开集族 v ( 船，a ) ：口 ，) ) 二。是q 的曰一亚开膨胀，如果满足条件 ( a ) v n ，v 口 一心cv ( 一，口) ( b ) v x 爿，j ( x ) 彩，使得，1 在x 是点有限的 定义1 1 5 同 x 称为可数仿紧空间，如果x 的每个可数开覆盖有局部有限的开加细 定义1 1 6 旧设善，仉0 国) 是x 的覆盖，( 仉) 是亭的臼一加细序列( 局部口一加细序 列) ，如果每个仉是善的加细且v x x ，3 胛( 苴) 卯，使得叩“，1 在z 是点有限的( 局部有限的) 定义1 1 7 空间x 的集族 吒：口 y ) 的一个局部曰一膨胀序列 “2 ( 即，口) ：口 ，) ) 。指它满足如下两个条件： ( i ) v x z ，l 刀( 茸) 卯，使得叩以1 在j 是局部有限的； ( i i ) v 胛国，v d ( 2 ) 由引理l22 知，( 2 ) = ，( 3 ) 显然，下证( 3 ) = ( 1 ) ：设 甜。：力 是x 的任意可 数上升开覆盖，令厶= ，厶= h 。一u ，。甜。，则 l ：仃| v 是x 的一个可数散射分解，从而它 有局部有限目一开膨胀序列( k = v 。：七) ) ，使得v n ，j 有厶cv 。，且对 垤x ， 订( x ) ，屹( ，) 在x 处局部有限令w 。= n ，则( 矾= w 。：后) ) 是 ( ：j | 的局部有限臼一加细序列，从而由引理1 26 知x 是可数仿紧的证毕 散射分解的若干研究 这一结论是文【2 】的定理l 的丰富和充实下面结论是关于可数几乎仿紧空间的 定理1 2 8 设是可数几乎仿紧的( 可数几乎亚紧的) 当且仪当x 的每个可数散射分解有 开膨胀w ，使得存在x 中一个稠密子集d ，对垤d ，j o ( z ) ，( w ) 。是有限的 ( 讥j 9 ，( w ) 。是有限的) 证明：仅就可数几乎仿紧情形证明，可数几乎亚紧类似可证 ( j ) 设 厶：门) 是x 的任意可数散射分解，令乩= u 厶：尼”) ，则= 乩：疗 是x 的一个开覆盖，那么存在x 的一个稠密子集d 和的精确开加细v = k ：弹) 使得 对d ， d ( x ) 使得( v ) 。是有限的令= u kn u ：j i ) ，由于 睨 u ( ：七疗) ，则w = 比：” 也合乎条件：v r d ， o ( z ) 使得( w ) 。是有 限的，由于 t ：力 是散射分解，kc 眠j w ，” 工k n ，= j u 圪n 七j ) u 嘲( 圪n ) = 眵jw = ：疗 是 厶：门e ) 的 开膨胀，使得存在x 的一个稠密子集d ，对v r d ， o ( x ) ，( w ) 。是有限的 ( 仁) ：设= 氓：胛) 是的一个可数开覆盖，令厶= u ，厶= 乩一u 。阢，则 ( 匕：门 是x 的一个可数散射分解，从而存在z 中的开膨胀v = k ：门) 使得存在 z 中一个稠密子集d ，对弧d ，j o ( x ) ，( v ) 。是有限的，令呒= k n u ，则 w = 睨：门 是= u ：疗) 的开加细，且满足存在z 的一个稠密子集d ，对 v x d ，3 0 j v ( x ) ，( w ) 。是有限的 第二章散射分解与可数广义仿紧空间的关系 第一节定义及相关概念 定义2 1 1 嘲 ( i ) 设善，仇0 脚) 是x 的覆盖，( 仇) 是善的点星形加细序列，如果 v ，j 一，j u 亭( 甜( z ，仇) c u ) ( i i ) 设基数七2 ，空间x 是j j 一次仿紧的，如果的每个势r 的开覆盖有 开的点星形加细序列 ( i i i ) 印一次仿紧空间又称为可数次仿紧空间 定义2 1 2 吲 ( 1 ) 设善，巩0 国) 是x 的覆盖，( 仉) 是掌的曰一加细序列，如果每个仉 4 散射分解的若干研究 是善的加细且帆z ，j 门( x ) 曲，使得，1 在x 是点有限的 ( 2 ) 设基数| 】 ，空间是七一次弧紧的，如果x 的每个势r 的开覆盖有 开的目一加细序列 ( 3 ) 印一次仿紧空间又称为可数次亚紧空间 定义2 1 3 1 州 ( a ) 空间x 覆盖列( 仉) 是覆盖善的紧式p 一加细序列，如果每个仉是亭的 加细且对每个紧子集kc x ，抽( k ) 印，使得( 町啦) ) 。是有限的 ( b ) 空间x 是次中紧的，如果x 的每个开覆盖有个开的紧式口一加细序列 定义2 1 4 1 3 1 空间是矿一可膨胀的( 离散一可膨胀的) ，如果对卫内每个局部有限 ( 离散) 闭集族以：s s ，爿内有紧有限的开集族( 饥：s s ，使得协s ，只c 乩 定义2 1 5 空间是矽一一开膨胀的，如果对x 内每个局部有限的闭集族 只：j s ) ，x 内有一开集列( = y ( 甩，s ) ：j s ) ) ，满足： ( 1 ) 枷，v s s ，cc 矿( n ，s ) ； ( 2 ) 对中任意紧子集k ， ”，( k ) 足是有限的， 定义2 1 6 1 16 l 空间x 称为几乎次亚紧的当且仅当x 的每个开覆盖，都存在x 的一 个稠密子集d 和的开加细序列( k ) 。，使得对搬d ，j n 国，有 d 耐( 五) 国 第二节主要结论及其证明 引理2 2 1 若空间z 的每个散射分解有一个r 一臼一亚开膨胀( r 一臼一矿开膨胀) ，则 x 是次亚紧的( 次中紧的) 证明：仅就次亚紧情形证明，次中紧类似可证 设= ：口c r ) 是z 的任意开覆盖，v 口 r ，令乞= 一u ： 口) ，则 v 口 r ，u d 。厶= u j ；。开于j ，且v d ，卢 r ，口，则厶n 乙= 矿，因此 k ：口 茁】是x 的一个散射分解，由条件知它有一列x 中的开膨胀 ( 仉= ( 矿( 肝，口) ：盯 r ) ) ：。使得： ( a ) 曲，v a r ，厶c 矿( 打，口) ； 散射分解的若干研究 ( b ) 协， n ( z ) 印， 使 寻 d 在 x是点有 限的 因 kc j kc 巩n 矿( h ，口) ，所咀v 胛 国， 饥n 矿( 即，口) ：口 r ) 均覆盖x 且加细 = u a 茁 ，再结合( b ) 知( 矾= 巩n y ( 一，口) ：口 r 墨。为的毋一加细序列，从而 x 是次亚紧的 定理2 2 2 设x 是可数次亚紧( 可数次中紧1 空间当且仅当z 的每个可数散射分解有 脚一目一亚开膨胀( 国一日一开膨胀) 证明：充分性由引理2 2l 得出，下证必要性 设 l ：”) 是j 的任意可数散射分解，令以= u 4 ：后”) ，则= u ” 是j 的一个可数开覆盖，由条件知在x 中存在一个精确的开的曰一加细序列 ( 巩= 矿( ，卅) ：胁) ) 二。，v r 置3 以( z ) c 棚，使得仉( 。) 在x 是点有限的令 蹄? = u 矿( 埘，i ) n 砜：后胛) ，由于陟。c u 矿( ”( r ) ，七) ：j i 刀) 则 陟“聆e 在 x 点有限由于 l ：) 是散射分解，讹，矿( ，m ) j w ，m ， 矿( 疗，m ) n ，= 庐，从而得到三， u 矿( 打，肼) n ，：删，) c u 。习( 矿( 以，研) n u ，) = 町j 町：疗) 是 厶：刀) 的开膨胀，且 彬” 在苴点有限，依定义 l 1 4 ，( = 吖：力) ) ：。是 厶：胛) 的脚一目一亚开膨胀证毕 关于括号中情形类似可证，只需将点有限改为紧有限便可、从略 引理2 2 3 1 空间x 是次仿紧的当且仅当肖的每个开覆盖有一列开加细( 仇) ，使得 晰x ，抽( x ) 甜，l ( ) ，l - 1 引理2 2 4 若空间盖的每个散射分解有个f 一目一互外开膨胀l 贝0 是次仿紧的 证明：此引理是引理2 2l 的特殊情形，利用引理223 容易证得 定理2 2 5 设空间x 是可数次仿紧的当且仅当x 的每个可数散射分解有珊一目互外 开膨胀 证明：依定理222 平行可证，略 下面的结论是关于可数几乎次亚紧的 定理2 2 6空间x 是可数几乎次亚紧空间的当且仅当x 的每个可数散射分解有开膨 胀序列( ) 。使得存在x 中的一个稠密子集d ，对垤_ d ，j 门国，使得 。耐( t ) 国 证明：( 七) ：设= 虬：即 r 是石的一个可数开覆盖，令厶= u ，厶= 乩一u 。u 一一一一一一 一 一一 散射分解的若干研究 则i l ：疗 是月的一个町数散射分解，从而存在中的开膨胀序列 ( v 。= ：七) ) 。使得v 咒，v 七有c ，使得存在x 中的一个 稠密子集d ，对坛d ， ”国，使得。耐( j ，k ) 国令陟名= n 氓，则 ( 心= ( 陟幺：j | ) ) 是的一个开加细序列，且满足对坛d ，j 玎国有 d 耐( x ，) 国 ( j ) 设 厶：力 是x 的任意可数散射分解，令= u 丘：七刀) ，则 = 以：弹 是x 的一个开覆盖，那么存在z 的一个稠密子集d 和的精确开加细序 列( v 卅= ( 吁：玎) ) 。使得垤d ， 卅有。耐( j ，v 卅) 国令 陟? = u 曙n 乩：后甩) 由于陟了cu ( 曙：尼门) 则 w 埘= 陟：以) 也合条件：帆d ，使得。耐( 工，k ) 国，因为 v 以， 曙c 乩 则 w ，” ，曙n 0 = 妒 ， 所以 cu ( 曙n ：j | j ) cu 曙n q ：后) = 坤7 从而 ( = 陟了：n ) ) 是散射分解 厶：玎) 的开膨胀序列，且满足存在x 中 的一个稠密子集d ，对比d ，刍胛国，使得d 耐( 工，w 。) 印 第三章散射分解与完全遗传仿紧空间的关系 第一节定义及相关概念 定义3 1 1 1 6 | ( i ) 空间x 的子集4 是x 内的g ；集( c 集) ，如果4 是x 的可数多个开集 的交( 可数多个闭集的并) ( i i ) 空间x 是完全的，如果它的每个开集是e 集等价地，闭集是嘛集 定义3 1 2空间是遗传仿紧的，指它的每个子集是仿紧的 定义3 1 3空间爿是完全遗传仿紧的，指它既是完全的又是遗传仿紧的 第二节主要结论及其证明 引理3 2 1 空间x 是遗传仿紧的当且仅当x 的每个开子集是仿紧的 证明：由遗传仿紧的定义容易证得略 7 散射分解的若干研究 引理3 2 2 1 6 】 仿紧空间工的闭子空间是仿紧的 引理3 2 3 若 ：口 ， 是空间j 中单调递增的开集族，则存在x 中的对应的开 集族 ：a y 使得 虬：口 ， 屹：d y ，并且对v d y ，若口是极限序数，则 圪= u 。 引理3 2 4 设空间x 是个完全遗传仿紧空间，则的每个开子集y 的每个散射分解 ( 厶：d y ) 有个开集族v = 吃：d y ) 满足： ( i ) v 在y 中是局部有限的开集族： ( i i ) v 口 kc 圪c r 证明：设j ，是x 的任意开子集，( 厶：d l ，v y ，则x 的任一开子集r 的任一散射分解 厶：甜 ) 都存在肖的开集族 矿= 圪：口 ) 合于( i ) 和( i i ) 当= y 时，当y 是后继序数，= 五+ ，因为u 。厶开于j ，从而开于x ，由归纳假设， u 。z k 的散射分解 丘：口 五 有集族y = ：口 丑 合于 ( 1 ) y 在y 中是局部有限的开集族： ( 2 ) v d y ，厶 圪c u f ； 岛 特别地，令比= j ，则矿= ：d 五) 合于( i ) 和( i 玑 当y 是极限序数时，对v 口 y ，令o ：= u ，。厶，则( o ：口 y 是r 的单调递增的开覆盖， 从而它有精确的开加细 o ：口 y 又因为肖是完全的，故j ，= u ( 每个l 闭于z ) 并且x 是正规的，则对v 掰，存在e 的邻域既使得 既 c 胴乙c l ，故对 v m 国，d = ( 气n c ，既：d ，) 是c ，呒的开覆盖，因y 是仿紧的，则c 朋0 是仿紧的故 。3 q n c ，：口 y ) 有个局部有限精确开加细吒= 吃：口 y ) 使得v 口 ，有 吃c 眈n c ，既，对v 口 ，令吒。= 吃n ，则 ( 3 ) v 卅掰，= 。：口 y ) 是j ，中的局部有限开集族 r 散射分解的若干研究 ( 4 ) u 是j ，的开覆盖，并且 ( 5 ) v 口 y ，u 。c 吨 暂时固定卢 y ，卅m ， 厶n 圪p ：d ) 是匕p 的散射分解，由归纳假设，在j ，中存在局部 有限的开集族w 。p = ( 口，) ：a ) 使得 ( 6 ) v 瑾 ，厶n 吃口 帆( 口，) 口 对v m 国，v a ，令睨。= u 。口。，既心，卢) ，吸= u 阡幺则 ( 7 ) v 口 y ，厶c 睨c j ， 事实上，对v 口c n 如果口，则k n 圪，c 厶n ( 0 k n ( u 。f 厶) = 故k = k n j ，c k n ( u 。u ，。，k 垆) = u u ，。，( l n k 垆) c u u 。f 。，( 口，芦) = u 。陟幺= 睨c y ( 8 ) w = 睨：口 y ) 是y 中的局部有限的开集族 这是显然的略去，证毕 引理3 2 5 吲正则空间x 是仿紧的当且仅当x 的每个开覆盖有盯一离散的函数开加 细 定理3 2 6 正则空间x 是个完全遗传仿紧的当且仅当x 的每个开子集y 的每个散射 分解 厶：口 y 有个在】，中局部有限开膨胀 证明：( 乍) 设= ：口 y 是空间j 的开子集】，的任意开覆盖，v d 扎令 厶= 虬一u ： 口) ，则 厶：瑾 ，) 是y 的一个散射分解，它有个在j ，局部有限的开 膨胀 坂：口 y ) 使得对v 口 ，厶 m 。，令圪= 帆n 虬，v = 圪：口 y ) ，则 v d 一乙c 圪c 从而v = 吃：口 y ) 是= ：d ) 由引理3 2 4 容易得出，略，证毕 定理3 2 7 正则空间x 是完全遗传仿紧的当且仅当的任意开集族= 虬：d y 有个在u 中的局部有限开加细v = ( 屹：口y ) 使得v 口 托厶 圪 叱，其q ， k = u 。一u 。 证明：( j ) 设= 虬：口 y ) 是x 的任意开集族，v 口 y ，令厶= 一u j 。，则 k ：口 ， 是集u 厶：口 y ) 的一个散射分解，即是u 的一个散射分解由引理3 24 知 它有个在u 局部有限的开集族 心：口 y ) 使得对v d ，厶亡帆令圪= m 。n 则 圪：口 y ) 是= ：口 y ) 的在u 的局部有限开加细且v 口 y ，厶 吃c ( 乍) 显然x 是遗传仿紧的，只需证明x 是完全的这可以仿定理326 证x 是完全的的方法 略。证毕 推论3 2 8正则空间x 是完全遗传仿紧的当且仅当的任意开集族有个在u 中 局部有限的开加细矿 说明： 在正则和完全两条件的约束下我们获得了完全遗传仿紧空间x 具有类似 j 血l a s 的等价刻画，这是文 4 】的结果的一大突破 第四章散射分解与几个遗传空间的关系 第一节定义及相关概念 定义4 1 1 旧 空间是亚紧的，指它的每个开覆盖有个点有限的开加细 定义4 1 2 空间x 是遗传亚紧的，指它的每个子空间是亚紧的 定义4 1 3 1 6 j ( i ) 空间z 的子集族善是星形有限( 星形可数) 的，如果亭的每个元至多与孝 的有限( 可数) 多个元相交 ( i i ) 空间是强仿紧的，指它的每个开覆盖有星形有限的开加细 第二节主要结论及其证明 引理4 2 1 空间x 是遗传亚紧的当且仅当x 的每个开子集是亚紧的 这一引理可由遗传亚紧空间的定义直接推得 引理4 2 2 【1 l 空问工是遗传亚紧的当且仅当x 的每个散射分解有一个点有限的开膨 胀 定理4 2 3对正则空间，下列各条等价： ( 1 ) 空间是遗传亚紧的； ( 2 ) 空间x 的每个散射分解有一个点有限的开膨胀： ( 3 ) 空间z 是亚紧的，且x 的每个开子集l ，存在工中一个点有限开集列 眩盯 f 使得 1 0 散射分解的若干研究 j ，= u 畋= u c ， ( 4 ) 空间x 的每个开子集j ，j ，的每个开覆盖有在工中的点有限的开加细； r 5 ) 空间x 的每个开集族存在x 中的点有限的开加细 证明：( 1 ) = ，( 2 ) 由引理4 22 知，( 4 ) = 亨( 1 ) 由引理42 1 易得，而( 4 ) ( 5 ) 是显然的，余下只需 证明( 2 ) j ( 3 ) 和( 3 ) j ( 4 ) 便可，先证( 2 ) j ( 3 ) ： 由引理422 知空间是遗传亚紧的，故空间x 是亚紧的设y 是的任一非空开集，由于爿 是正则空间，则y ，j 玑( r ) ，虬 y 设f 玑：x y = ：口 f j 其中m = r ，则 u ：d r ) 是，的开覆盖令厶= 砜且v d ( o d f ) 令k = 吮一u m t = x y 则 k ：a f ) 是工的一个散射分解，它有个x 中点有限的开膨胀( 睨：口r 使得v 口 厶亡c ，则】，= u 厶c u 呒c u c ，睨 ，则有 y = u 睨= u c ，睨，故( 2 ) ( 3 ) 得证 再证( 3 ) j ( 4 ) ：设y 是空间的任一非空开集，仁：口 y ) 是y 的任意开覆盖，由( 3 ) 知存在 x 中一个点有限开集列 ：盯 r 使得y = u = u c 胴0 则 巩：口 y 覆盖 c ，阡：，又因为亚紧空间闭遗传，从而c ，阡：是亚紧的，因此 ：a y 存在c ，矸0 中点有限的 精确开加细 爵：口 ， ，显然 爵：口 y 也是中的点有限集族，令野= n 爵是 面：口 ，) 在x 中点有限的开加细事实上，因为爵开于c ，从而存在一个矿开于 ， 使得爵：矿n c ，进一步得嘭= n 爵= n 矿n d = n 矿，所以嘭在工 中开令圪= u 孵：盯 f ) 则圪 玑砂y ，j 仃 r 使得y 3 口 ，使得 y 野，故 吃：口 ，) 是y 的覆盖，从而 ：口 y ) 是仁乞：口 y 在x 中的开加细下 证 圪：口 ，) 在x 中点有限：因为 ：盯 f ) 是在中点有限集族和 v 盯 f ， 嘭：口 ，) 也是x 中点有限集族，又u 嘭：d ， 睨，知 略：口 ，盯 r ) 是中点有限集族，从而 吃：口 ，) 在j 中点有限，证毕 引理4 2 4 嘲空间是r 一仿紧的当且仅当x 的每个开覆盖有局部目一开加细( 仇) 使 得v x x ， 玎( x ) 甜，使得；) 在x 处局部有限 引理4 2 5 闸 五仿紧空间是正则的 散射分解的若干研究 引理4 2 6 1 6 】正则仿紧空间是次仿紧的 引理4 2 7 空间j 是遗传次仿紧的当且仅当鼻的每个开子集是次仿紧的 这一引理可由引理424 直接推得 引理4 2 8 若五空间石的每个散射分解有个局部臼一膨胀序列，则x 是遗传次仿紧的 证明：设，是空间x 的任一非空开予空间，( u 。：口 y ) 楚y 的任意开覆盖，v 口 y ，令 丘= 一u ：c 口) ，0 = z j ，则 厶口，) 是的散射分解，它有个局部臼一膨 胀序列( ( g 0 ，口) ：口，) ) 。，不妨设v d ，v ”埘，k g ( 见a ) c 因为 j ，= u ( k ：口 y u g ( 即，口) ：口 ，) u ( ：口c ，) = 】，故“g ( 一，口) ：口c ， ) 。 是j ，的覆盖 ：口 y ) 的局部曰一加细序列，由引理424 至引理4 26 知j ，是次仿紧的再 由引理427 得x 是遗传次仿紧的证毕 下面我们通过一个反例说明：遗传次仿紧空间不具有类似j _ l l i l a 的刻画 例4 2 9 存在正遗传次仿紧空间，它有一个散射分解没有局部臼一膨胀序列 证明：设r 是实直线，q 是有理数集，f = u k ：u 开于足且c 月一q ，由此得到的拓 扑空间记为& ，由文【7 】的例5 12 2 与例5l2 3 知：是五遗传仿紧空间，由五的遗传性及引 理4 2 5 与引理426 得是遗传次仿紧空间，因为i 一q | - c ，故可令q = 口 c 这里c 是连续统的势，v 口 c ，令k = 屯 ，丘= q 则 厶：口c 是吃的散射分解但它 没有局部毋一膨胀序列v x q ，v 矿开于，x 存在u 开于 月，kc q ，x u u 世 形，从而x ( ，u 与 厶：a c 中无数个元相交， k ：口 c 不是局部有限的，从而它没有局部口一膨胀序列 以下结论是建立在文【5 】的结果基础之上的： 引理4 2 1 0 嗍空间是遗传强仿紧的当且仪当它的每个开子空间是强仿紧的 引理4 五1 l 阎设肖是个完全强仿紧空间，则肖的每个开子集j ，的每个散射分解 三。：d ，j 有一个集族v = 圪：口 ，) 满足： ( i ) y 在x 中是星可数的开集族； ( i i ) v 口 y ，丘c 圪c 】， 引理4 2 1 2 1 5 】正则空间x 是个完全强仿紧空间当且仅当x 的每个开子集y 的每个散 射分解 k ：口 y ) 有一个星可数的开膨胀 1 2 散射分解的若干研究 定理4 2 1 3 正则空间x 是个完全遗传强仿紧空间当且仅当x 的每个开子集l ，的每个 散射分解 k ：口 ) x 是个完全遗传强仿紧空间，则x 是个完全强仿紧空间，由引理4 2l l 得到 x 的每个开子集j ，的每个散射分解 k ：口 ， 有一个星可数的开膨胀 ( 仁) 仿文【5 】定理l 证x 是完全遗传强仿紧空间 引理4 2 “嘲正则空间是个强仿紧空间当且仅当x 的每个开覆盖“有个星可数的 开加细p ；空间x 的每个星可数的开覆盖是盯一离散的 定理4 2 1 5 正则空间x 是个完全遗传强仿紧空间当且仅当x 的任意开集族 = 玑：口 y 有x 中星可数的开加细v = 吃：联 ，) 使得v 口 y ，厶c 屹 玑，其 中厶= 巩一u 。 证明：( 乍) 设y 是x 的任意开子集，= 睨：口 ， 是y 的任意开覆盖，有x 中星 可数的开加细y = 屹：口 y 则由引理4 21 4 得出j ，是强仿紧的，所以x 是遗传强仿紧的 证彳是完全的可参看文【5 】定理l ( = ) 正则空间工是个完全遗传强仿紧空间，则x 是个完全强仿紧空间，仿文【5 】的定理2 证明 x 的任意开集族= 玑：口 y ) 有x 中星可数的开加细v = 屹：d y ) 使得 v 口 o ，于是g 。：x - ，连续x ， g 。( x ) ：“a ) = 1 且g ： ( o ，1 】 = 吃，于是 ：口a ) 是x 上的局部有限单位分解且 甄1 ( o ，l 】：口a ) 为散射分解 ( k ：口a j 的开膨胀证毕 推论5 2 4 若z 的散射分解 厶：口a 有局部有限( 紧有限、点有限) 的函数开加细， 当且仅当上有局部有限( 紧有限、点有限) 的单位分解从属于该散射分解 证明：仿定理523 类似可证 定理5 2 5 x 的散射分解 厶：口a ) 有盯一局部有限( 盯一紧有限、盯一点有限) 的函 数开膨胀当且仅当x 有盯一局部有限( 盯一紧有限、盯一点有限) 的单位分解 g 。” 国，d 人) 使得v 珂 国， 站( o ，l 】：口a ) 是局部有限的且为该散射分解的开膨 胀 证明：( 仁) 显然的，下面证明( = ，) 仅对d 一局部有限情形证明，其余类似 1 4 散射分解的若干研究 设即= u 。仇是的散射分解 k ：口a ) 有盯一局部有限的函数开膨胀，每个 巩= ：口a 是局部有限的，且v 弹 o v n 脚， d a ，令g 。= 厶( x ) 2 ”1 ( 1 + z ( x ) ) g ( 芏) ，帆x ，则g 。：x 专，连续，且x 有 ( o ，l 】 = ，二i ( o ，1 】 = k 。，帆x ( x ) ：拧 脚，口a ) = 1 且 v 国， ( o ，l 】：口a ) 是局部有限的且为该散射分解的开膨胀 推论5 2 6 若工的散射分解( l ：口a ) 有盯一局部有限( 盯一紧有限、矿点有限) 的函数开加细，当且仅当x 上有盯一局部有限( 盯一紧有限、盯一点有限) 的单位分解从属于 该散射分解 证明：仿定理525 类似可证 一一 散射分解的若干研究 参考文献 1 j u n n l i ahj ，s m i t hjc ，t b l a g a r s krc l o u r c - p r c s e r v i n gc o v e r sb ys m a l ls e t s 【j 】却。妞 a p p t i 9 8 6 2 3 ：2 3 7 2 6 2 2 燕鹏飞，涂振坤遗传中紧空间与散射分解【j 】数学杂志，2 0 0 5 ，2 5 ( 1 ) ：1 0 7 1 1 0 【3 】朱培勇遗传盯一亚紧空间及其乘积性质【j 】数学学报，1 9 9 8 ，4 l ( 3 ) ：5 3 1 5 3 8 4 】朱培勇遗传次亚紧空间【j 】数学进展，1 9 9 6 ，2 5 ( 4 ) ：2 9 9 3 0 4 5 】曹金文，胡灿关于完全强仿紧空间的刻画【j 】纯粹数学与应用数学，2 0 0 4 ，2 0 ( 2 ) 1 9 3 1 9 6 【6 】蒋继光一般拓扑学专题选讲【m 】成都：四川教育出版社，1 9 9 l 【7