（基础数学专业论文）一类分形集的维数.pdf

类分形集的维数 摘要 我们主要研究了与压缩自共形函数迭代系统( i f s ) w j 圮相关的 子自共形集证明了对任意一个子自共形集f ，存在符号空间 ：= 1 ，2 ，m “ 中的一个对左移算子封闭的紧子集k 使得石( 世) = f ，其中丌：寸r 一 是如下定义的连续映射： z ( ，) 2 1 塑- q ，。k 。( ：) ， v ze r ” 通过映射z 我们建立了予白共形集，与符号空间中的紧子集置之问 的联系从而我们可利用符号空问来研究，的h a u s d o r f f 维数与b o x 维数具体地说，我们证明了存在唯一的s 使得 i m ( u z l b 吖乩 并且在函数迭代系统h 汜满足歼集条件的假设下，我们证明了 d i m hf = d i m 8 f = s 文章的另一部分讨论了类齐次c a n t o r 集的多重维数，证明了 该集合类中的元紊的多重维数为d ：( o ，0 ，! ) c 关键词：自共形集；子自共形集；符弓空j = 1 j ；h a u s d o r f f 维数；b o x 维数；齐次c a n t o r 集；多重维数 一类分形集的维数 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yc o n t r a c t i v ec o n f o r m a ti f s w f 乜a n dt h e c o r r e s p o n d i n gs u b s e l f - c o n f o r m a ls e t s w es h o wt h a tf o ra n y s u b s e l f c o n f o r m a ls e tft h e r ee x i s t san o n e m p t yc o m p a c ts u b s e tko ft h es y m b o l i cs p a c e ：= 1 ，2 ，m ) ns u c ht h a t 万( k ) = f ，w h e r e 万：- - - r ”i s d e f i n e db y 万( ，) 2 l 受飞。，。心( z ) ，v z r ” b yu s i n gt h ec o n t i n u o u sm a p7 ，w es e tu pac l o s e dr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es u b - s e l f - c o n f o r m a ls e tfa n dt h ec o m p a c ts u b s e tko fs y m b o t i c s p a c e t h e nw ec a ns t u d yt h eh a u s d o r f fd i m e n s i o na n db o xd i m e n - s i o no fs u b s e l f - c o n f o r m a ls e tf w es h o wt h a tt h e r ee x i s t sau n i q u e n a m b e rss u c ht h a t f ( j ) l i mu fz l b 咿 m o r e o v e r ，w ep r o v et h a td i m f = d i m 8 f = s ，i f t h ei f s w f 乜s a t i s f i e s t h eo p e ns e tc o n d i t i o n i nt h es e c o n dp a r to ft h i st h e s i s ，w es t u d yt h em u l t i - d i m e n s i o no f ac l a s so f h o m o g e n e o u sc a n t o rs e t ，a n dw ep r o v et h a tt h em u l t i - d i m e n s i o n 。f t h es e ti nt h ec l a s si sd ：( o ，0 ，! ) k e y w o r d ：s e l f - c o n f o r m a ls e t ；s u b s e l f - c o n f o r m a ls e t ；s y m b o l i cs p a c e ；h a u s d o r f fd i m e n s i o n ；b o xd i m e n s i o n ；h o m o g e n e o u sc a n t o rs e t ；m u l t i d i m e n s i o n 华南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名劾卉 日期：跏口占年f 月牛日 学位论文使用授权声明 本人完全了解华南师范大学有关收集、保留和使用学位论文的规 定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华南师 范大学。学校有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版，允许学位论文被检索、查阅和借阅。学校可以公布学 位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印、数字化或其他 复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在年后解密适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权 书。 论文作者签名 日期：溯年 月中日 一类分形集的维数 第一章前言 自从1 9 7 5 年m a n d e l b o r t 在( t h ef r a c t a lg e o m e t r yo fn a t u r e 一书中提出了“分形”这一概念后，分形几何便引起了人们的广泛 兴趣其中的一些分形更是引起了特别的关注，比如函数迭代系统 ( i f s ) 所产生的不变集在对这些分形的研究中，维数的研究是极为 重要的而在被使用的各种分形维数中，由于几乎所有分形维数值 都介于h a u s d o r f f 维数与上盒维数之间，故h a u s d o r f f 维数与b o x 维数特别让人感兴趣我们在本文中主要讨论一类分形集的h a u s d o r f f 维数与b o x 维数 为此，我们首先介绍一些背景知识设x r “是非空紧集，称 w ：x 专x 是压嚣励射，如果存在常数0 c 1 使得： i “工) 一叫y ) i c k y l ，v x , y ex 若每个w ( 1 i s m ) 都是从j 到x 的压缩映射( 其中m 2 ) ，则称 味，v 0 为压缩函数迭代系统l i f s j 下面我们介绍符号空间中的一些记号我们称无穷乘积空间 = 1 ，2 ，m ) “为符号空间，即= ( ，2 ，) ：l 州) 记 q = 鬯 l ，2 ，脚卜 n 卸 对j = ( ，i 2 ，) z 和正整数k ，记i l t = ( ，i 2 ，) ，卅= ( i k 卅 + 2 ，) ， 又设。= ，k ：，) 中的左移算子口如下定义： o ( i ) = 川 对j = ( ，之，- ) ，j = ( ，五，) ，我们定义符号空问中的距离d 如下： d ( 1 ，j 3 = e 一，其中k = m a x ：，i ，- j | ，) ， 一类分形集的维数 显然，当l = j 时，d ( 1 ，) = 0 ；当 时，d ( i ，刀= 1 设 w ) 二。如上定义，b 是r ”中足够大的闭球，使得 w f ( 口) b ，( f = l ，2 ，m ) ， 由于每个m 是压缩的，故对每个j z ，有当七j o 。时，集合列 w ，k ( 占) k 。k ( b ) 趋于一点于是我们定义2 ：j r ”为 或 t t ( z ) = f 1h 。w j 2 。( b ) ， 万( ，) 2 l i m ；w ，l 。k 。k ( z ) ， v z e r “ 1 9 8 1 年h u t c h i n s 。n 1 证明了对压缩函数迭代系统( x ， w ：。) 存 在唯一的非空紧集e c r ”，使得 e = u 叫( e ) 称e 为函数迭代系统 ： 二的不变集为了研究这类分形集e 的维数， h u t c h i f l s o f l 引入了开集条件( o s c ) ：假若存在一个非空有界开集 u c r ”，使得w ( u ) c _ u ，且w ( u ) n 一( u ) = 矿( f _ ，) ，则称 w - 。满足 丌集条件( o s c ) 这种分离性质被深入研究( 1 - 8 】，【1 4 】，【1 7 】，【1 8 】) 若映射w ：x j z 满足 1 w ( x ) - w ( y ) = c x - y i ，x , y z 其中0 0 ，j 0 记 巧( ，) - 砒饽 删万一覆盖) l l = -j 定义 h ( f ) = l j i m 碟( f ) ， 称h ( ，) 为f 的s 维h a u s d o r f f 删蘑 又存在s 的一个临界点使得h ( ，) 从o 。”跳跃”到0 ，这个临界值 称为f 的h a u s d o r f f 维我，记为d i m h f 即 d i m 。f = i n f ：日( f ) = o ) = s u p ：日( f ) = o 。) 定义2 1 2 1 3 1 对r ”的一个非空有界子集f ，设n r ( ，) 是覆盖f 的直径 为，的集合的最少个数，f 的上、下盒维数分别定义为： 蕊口，：l i m s u p 攀， r 呻。 一l o g r 和 d i m b f = l i m i n r 等笋 如果它们相等，我们就称这个相等的值为f 的盆维我，记作： a i m 序l ，i 。m 等 6 一类分形集的维数 我们也称之为计盒维数或熵维数或容量维数等 记 现在我们介绍其他定义和记号设p 是定义在石上的正连续函数， t t ( p , t ) = m a x l p ( 力- p ( y ) l ：d 瓴y ) f ) 称p c ( j ) 是d i n i 连续的，如果 j ：挚 o ，使得对任意五y c x ，有 i 嵋( 功l c 3 l 叫( 功1 | 彬( 功l 对任意1 , j q 证明：( i ) 不失一般性，我们设防l 1 ，e a = m a x 。m a x ，i v ( 功| 由于 l o g ( 力l 满足d i n i 条件，故有 窆m a x 加g i ( z ) i - l o 引_ f ( y ) p 瓴y ) a k ) m ，1 f 埘 这样，对，= ( ，) ，1 s 埘，有 i l o g 删= 珈。州州y ) l | 主窆s u p l l 。g i v ) i _ l 。g i 叫( v ) i i ：i “一v isd 女：ii - o 使得对任意x , y j ，如果l x - y 艿，则有x , y a ( x ，以，) ， 其中一是肖中某点对这样的x , y x ，我们有嵋( 破w ，( y ) b ( y ，t ，) ， 其中y 是x 中某点由m 的自相似性质，有 1w j ( x ) 一( y ) 阵弓l x y 1 另外，设 坼( 曲：= 嵋1 ( 功v 石b ( y ，) n ( 曰( x 7 ，正一) ) 同样由嵋的自相似性质知道工b ( y ，每，) nw ，( 一，0 ) ) ，后者是凸连通 的，进而有 l “，( w ，( 曲) 一“，( 叶( _ ) ，) ) 喀彳1i ( 曲一m ( y ) l 这样我们有 i x - y i 1 w a x ) 一m ( y ) | 墨i 工一，i 由( i ) 可知( i i ) 成立 ( i i i ) 由链式法则及( i ) 可知( i i i ) 成立 口 引理2 2 2 设( x ， ： ， 只 ) 是满足条件 f 1 塑堕型匕 。，l i s m ， j0t 的压缩系统设e 是自共形集，p 是丁的谱半径则存在唯一的0 h c ( d 及唯一的概率测度m ( e ) 使得 t h = p h ，t + = p u ， = 1 0 一类分形集的维教 且对任意f c ( d ，p 1 t ”，一致收敛到 h 下面我们给出自共形集的h a u s d o r f f 维数公式 定理2 2 3 4 1 设自共形i f s ：。满足开集条件，e 是它的不变集，s 是 使算子 z 厂( 曲= i 卅( 工) i 厂( w ( 工) ) 的谱半径为1 的正数，则e 的h a u s d o r f f 维数为j 证明：前面已指出了s 的存在唯一性对任意固定x ，设= l 嵋( 工) i 由 引理2 2 1 ( i i ) 有1 w ，( e ) l c 巧，因此 1 w , ( e ) l c 彳 i ，j ；i i = n 又注意到 艘丕彳= l i m r , 1 ( 力叫力， ( 2 4 ) 这里注意到在( 2 3 ) 中记卅( 工) = 吖( 町1 ( q ( 曲) ) 可将( 2 3 ) 转换成( 2 2 ) 的形式，又由引理2 2 2 有( 2 4 ) 中第二个等号成立所以h ( d 0 若有一个支撑在e 上的测度a ，并且t 满足 ( e ) c t ，这罩e 表示一个半径为t 的球，则由质量分布原理d t 有 0 c 一1 0 ，使得每一个包含一个半径为a t 的球， 一类分形集的维数 这意味着存在一个与f 无关的整数，使得对任一球e 至多与u ，中的， 个相交这样，对一个固定的球舅，用矿表示这些，的集合，于是 我们有 7 1 - 1 ( 忍) u 吒：i e v ， 这里柱集q = 上，：，q ) 对，j q ，以上，表示将j 和j i g 接起来所 以 ( 置) 。“q ) v 表示符号空间中相应系统的特征测度【”1 ，即是在石下的映象，故 由引理2 2 1 ( i ) 有 “q ) s c i 叫( 功r = o f ， 所以( 皿) c t 5 定理得证 1 2 口 一类分形集的维数 2 3 符号空间中的一些结论 为了研究子自共形集的h a u s d o r f f 维数及b o x 维数，我们建立子 自共形集与符号空问之间的联系 命题2 3 1 【4 】设石如第二章所定义，则石：z 寸r 一是连续的 与子自相似集的情形类似，我们有下面的结论 命题2 3 2 设 ) 昌是自共形i f s ，f 是非空紧子集，则f 是与 w 乜 相关的予自共形集当且仅当存在的对左移算子封闭的非空紧子集 置，使得f = 石( k ) 证明：设f 是与 w 匕相关的子自共形集，则f u 叫( ，) 定义 扛i k = 缸。，i 2 ，) ：万( ，+ ，) f ，v j | z + ， 显然，对任意，k 有o ( 1 ) k 下证f = 万( k ) 由k 的定义，有 万( 置) f 又对任意：c o f ，由于f u w ( f ) ，故存在某f 和某 i = 1 ：1 m ，使得x 0 = w i 。( 而) ；同样，有 = w f 2 ( 屯) ，其中x 2 f ， 1 i 2 m ；如此继续下去，我们得到- n ) c f 和：1 s 肌满 足条件：对任意k z + ，有 毛一- 2 l i r a 。k “oo * o k ( ) 2 9 ”一。) ， 故x 0 f 反过来，设k 是的紧子集，并且对任意，x 有o u ) k 若 1 3 一类分形集的维数 f = 万( 足) ，下证f uw ，( ，) 事实上，对任意x 石( k ) ，存在某 ，= ( ，i 2 ，- ) k ，使得 x = 万( ，) 2 t l i m k 。w ( z ) ， v z r ” 又因为z 1 1 = ( f 2 ，i 3 ，一) k ，因此 工= w ，l ( x ( 1 l ) w i ( 石( k ) ) uw ( 石) ) ， 所以万( 足) uw ( 石( 足) ) ，即f 是与h ：。相关的子自共形集口 下一节我们将定义符号空日j 中的一个参照测度肘( 爿) ，然后应用 此参删度矾翱加：受( 驴弘川u d i m f _ d i _ m m 口，而口f s 并且，如果m5 ( k ) q 则h 5 ( f ) o 。，这里z r ( k ) = f 最后再利用这 个结论证明第三章中的主要结论：设f 是与 嵋 ：相关的子自共形集， 若沁 ：。满足o s c ，则5 = d i m 。f = d i m 。f ，其中5 是使得 邢h 囊卧b ，鹏 的数 一类分形集的维数 2 4 子自共形集的h a u s d o r f f 维数及b o x 维数 本节我们要考虑一种比自共形集更为晋通的集类子自共形 集的h a u s d o r f f 维数及b o x 维数为了更好地说明子自共形集的定 义及其结构，我们举例子说明之 例1 设 w ：是自共形i f s ，若非空紧集f 满足f = u ( f ) ，其中 i = l 肌2 ，即f 是 w ) ：。的不变集，则f 是与 挺。相关的子自共形集 例2 设f 如例1 中所定义，用o f 表示f 的边界，那么a f 是与 攫。 相关的予自共形集 因为对任意工o f ，有工f ，故存在某i ：1 i 研，使得x 旷) 同时，x 的任意领域万( 工) 中包含w ( ，) 外的点，即 石抛( f ) = w , ( o f ) 因此有 a f t _ w j ( o f ) c _ u w , ( o f ) i f f i l 例3 设f 是与 w l ，w 2 ，w 埘) 相关的子自共形集，e 是与 s 1 ，$ 2 ，矗 相 关的子自共形集，则显然f u e 是与 w l ，w 2 ，w 掰，置，s ：，) 相关的子 自共形集 例4 设，是与“，w 2 ，w 卅) 相关的子自共形集，e 是f 的一个紧子 集，设w 是一个压缩自共形映射，则f u w ( e ) 是与 w i ，w 2 ，w 相 关的子自共形集 下面我们考虑子自共形集的维数如i j f 所设， x = ( ，i 2 ，) ：万( ，) ，v 后e z + ， 一类分形集的维数 设l q 如前对任一固定j ，记_ = ( 功i ，其中j = ( ，) 对 j ，q ，由引理2 2 1 ( i i i ) 知，存在常数c ，使得r u c 1 0 ，那么 其中c 7 是某常数 彳嘭c ( 彳) ( 哼) ， ( 2 5 ) “黔 “b”i 引理2 4 1 1 3 1 设正实数序列概) ：，若对任意正整数七，m 有瓯+ 。喀+ k ， 则l i r a 生存在 4 k 引理2 4 2 极限f ( j ) ：2 艘( i c k t 彳) “存在 证明：由引理2 2 1 ( i i i ) 我们有 c 3 r u ( c 3 ) ( c 3 0 ) 应用( 2 5 ) ，对其取对数并令瓯= l o g 哆+ s l o g g ，由引理2 4 1 知数 歹l | l o 烈荟彳) ；= 争是收敛的，由此可知! 鳃磊) 存在 口 i e x “。一k x 下面我们定义符号空日j 中的一个参照测度，通过它来确定子自 共形集的h a u s d o r f f 维数s 定义 m ；( 彳) = i n f f e l r , i j ：彳u 盯，i ，l 后l ， j 其中a ，j o ，k = 1 ，2 ，而柱集q = 上，：，) ，其中k i 与 h a u s d o r f f 测度类似我们定义测度 m 5 ( 爿) 2 舰叫( 爿) 命题2 4 3 【1 7 】【1 9 l f 2 0 】设a 是的一个b o r e l 子集，若0 0 ，使得0 m ( 4 0 ) o 有 曹鲫” 令| - - ) o o ，有 r h “毛+ 钔r k o 故f 连续且严格递减又因为f ( o ) 1 ，而当j 。斗o o 时，有r ( s ) j 0 ， 所以存在唯一的数焉0 ，使得f ( ) = 1 由测度和级数的基本性质可知【7 1 【l 8 1 i n f 5 o ：肘( k ) = o = s u p j o ：m 5 ( k ) = m 及 时卜窆k = l 磊细卜p ：砉磊k k 细) l e k j l = l ， j 我们分别以屯和墨记这两个数 下证s - 岛设m 5 ( k ) 0 ，即此时有j 屯，则存在k 一类分形集的维数 的一个覆盖u 乃，使得 1 ，进而存在f ：o t s ，使得巧 l 由 ，e 口i c - q ，e 口 于k 是紧的，故可取到q 是有限的，记q = m a ) 【 l 巾，q 设 办= i d 2 ：l q ，1 1 1 1 2 o 1 惫 q ，i ，i 表示，的长度设k 为正整数，对，墨，我们可验证 k a y , u ( 足n ) 这样若，e ，则对某j e q ，有上，绞，所以 对任意k ，我们有 一，叫s ， 这样，若m ( k ) 1 ，则对某0 t s ，有 圳琊烛荟g 吣， 所以f ( s ) f ( f ) - 1 ，即有s 置所以 s 屯 屯s 已是显然的我们用柱集盯，来覆盖k ，其中，u 二k k 则 若：，。彳 - - $ 3 时 有s 2 s 2 要证 = 矗，只需注意到若r ( s ) l ，则垆收敛； 则垆发散 综合上述讨论，我们有焉，8 2 ，岛都存在且s l = s 2 = 屯 另外，由 j ：的证明中可知，若m 1 ( k ) 1 ，则有r ( s 。) 1 ，故 对使r ( s ，) = 1 的 ，有m 1 ( k ) 1 口 命题2 4 5 设f 是与 w j ) 三相关的子自共形集，且f ( s ) = l ，则 一类分形集的维数 d i m f 一d i m 口f 一d i m 口f s 并且，若m 3 伍) 0 0 ，则有月( ，) o o 证明：设b 是一个闭球，使得叫( 曰) b ，v l _ i m ，艿满足：o s 万i b i ， 则对任意i = ( ，f 2 ，) e k ，存在相应的k z + ，使得 记 r 3 w r 。( b ) l - i 吒( ：) 1 1 8 1 - 8 ， v f b g = ，墨：r a l 彤( ：) l l a l = 1 w , ( a ) l - s ，有 = - - r 1 1 8 1 l 叫( 孝) i c 2 ，。i b i m s ，有一d i m 口t ，i 孜一d i m 口f t 又因为k u 盯，相应地有f c _ u ( b ) 于是 h 8 ( f ) - c 3 1 a l 峨( k ) ，其中艿2 ，c 3 是某常数 可见，若m ( k ) 0 设a 。为由命题2 4 3 所确定的k 的紧子集，定义支撑在k 上的测度 ：( r ) = m ( 以n r ) ， 其中r z 由命题2 4 3 有 ( 盯j ) 6 ，f ，v i 0 ，k n 设 丘( u ) = j ：石( ，) 【， ， 其中u c r 4 ，则西是一个支撑在f 上的b o r e l 测度设y 是开集条 件中的一个基本开集，且设u c r ”满足o u l v l 对任意固定工v ， 设 q = ( ，f ) ：气乞气i v l l u l - r , , r , 名。i y 0 因为r c 1 v l h ( 矿) i c 4 u i ( c 4 是常数) ，由引理2 4 6 知 酝_ ，q ：u nw ，( 矿) 中至多有b 1 个元素这样，如果万( ，) u ，便有k n ，使得j i 。q 所 以对某i q 有j o x 故 丘( u ) = - ，q 6 哆 0 所以当r ( s ) = 1 时 有s = d i m f = d i m 口f = 一d i m 口f 一类分形集的维数 第三章一类齐次c a n t o r 集的多重维数 3 1 定义与记号 对任意k n ，令 m 。= a = ( d 04 l ，4 t ) ：，a 【o o ，+ o o 】，i = 0 , 1 ，k ) ， 这里当4 的某分量取到一o o 或+ 时，a 中后面的分量均取为0 定义3 1 1 9 1 给出正数r 和正整数m ，我们用i i n r 忆表示，的m 重对数 i l n i n l l l l 小1 | | 即 磊一 陋卜l n i 】i l r h 赢一 我们定义 磁= 产兀怕r p 定义3 1 2 【9 】假定e 为r4 的子集，口m ，定义 m ；( 占) = i n f 阿i o 。：妙，她的万一覆盖 l f lj 和 m 4 ( f ) = l 。i + m 。m ；( e ) - s u p 肘；( d 我们称肘“( e ) 为e 的多重缍2 i l 芗蘑 定义3 1 2 1 9 】对任意e c r ”，记e 的h a u s d o r f f 维数为d i m e = ( d i m e ) 。 定义e 甑多重维数 ( ( d i m e ) o ，( d i m e ) l ，一，( d i m e ) ) m + ， 其中( d i m e ) 。( 1 f | ) 由递归给出 ( d i m e ) i = s u p a t ：4 ；( ( d i m d 。，( d i m e ) 。，q ，o ，o ) ，m 4 ( e ) = + 0 0 ) = i n f a i ：口= ( ( d i m d 。，( d i m e ) 。，q ，0 ，o ) ，m 4 ( e ) = o ， 并且，若有 ( d i m e ) ，= + ( 或一) ，0 f 五， 则规定 ( d i m d _ = ( d i m d i = 0 显然，多重维数是h a u s d o r f f 维数的推广 最后我们回顾一下齐次c a n c o r 集的定义。设 w 。= w 1 ，w 2 ，h ， n k n ，其中w 为r ”中的压缩比为c 的相似映射，即 l ：( 曲一w , ( y ) l - - - c , i x - y l ，x , y e r ”，o q l ，1 f 作如下假设： ( 1 ) _ 。满足开集条件； ( i i ) 记i = 【o ，l 】，厶= l ，括“= 。( 矿) ，有 ! 骢。s 。u ，p m 。ui 虮 记以= ( z ，五，五) ：1 工- n k ，i = l ，2 ，k ，l k = u l 知“，厶= 矿，定义 山 l = n l k 为广义自襁似集 广义自相似集工= n 厶称为由瓴k h ) 确定的芹所c a n t o r 集，如 2 0 果i = o ，1 】，如。) 。为一正整数序列，缸。l 。为一正实数序列，满足 n k 2 ，o n 。q 0 ，后n 设i = 【o ，1 】，= ，巾肛哪：1 j j 3 ，f = 1 ，2 ，后j ，f = 0 畋，矗= i 记 k = 0 q 为只中元素的所有可能并的集合，而 g = u q ， k = 0 m ：( e ) = 1 1 删f 阿t ：e c u , ，阿i 0 ，取k 充分大，使得艿3 - 则 肘；( d = i n f z i u , l ： q ) 是的6 一覆盖 萋忡l 刈一 一类分形集的维数 = o n 3 + 3 一“h a l n 3 ) c 令万一0 ，此时| j 一0 0 ，得 m 4 ( 工) ( 1 1 1 3 ) 。 下证m 4 ( 三) ( 1 1 1 3 ) 一由g i 理3 2 2 ，我们只需证明： 意8 - 覆盖 u j 范，必存在某e ，使得其网线段 “瑶= 以一 ：l - j , - 3 ，i = 1 2 一，后 满足条件：k l = 3 一艿，且有 3 k 刈l ! x t l n l l n l 【，, 1 1 1 对g 中的任 ( 3 1 ) 下面分几种情形进行证明： ( 1 ) 设，r ，、如、是j 生成的3 个子线段，的长度为3 一“， t 的长度为3 “，从而忙i ，i | l = ；壹忪川一，因此，可利用子线段、 j 2 及毛代替，对l 进行覆盖，并不改变( 3 1 ) ( 2 ) 设j e ，、，2 、是，生成的3 个子线段rr = u 之，则 露充分大时 r 瞎勃t n 川， 即利用子线段、厶代替r 对e 进行覆盖，也不会改变( 3 1 ) ( 3 ) 设，e ，、，2 、及、f 2 、毛7 是由，及分割而成， z ，j = t j 6 ，则可用，、代替乃对三进行覆盖，仍然不会改变( 3 1 ) 由l 的紧性，可以假设妙) 是的一个有限占一覆盖，这样，可 以进行有限次替代，使得( 3 1 ) 式右边求和不会小于某e 的所有网 一类分形集的维数 线段求和而 e ：l s i s3 是工的一个8 - 覆盖又当万_ o 时 有k 专，故m 4 ) ( 1 1 1 3 ) c 综上所述，定理得证 口 这样，我们证明了这类h a u s d o r f f 维数为0 的齐次c a n t o r 集 l = - ， ， ， s 一 的多重维数为( 。，o ，：) 一类分形集的维数 参考文献 【1 】j h u t c h i n s o n ，f r a c t a l sa n ds e l f - s i m i l a r i t y ，i n d i a n au n i v m a t h j 3 0 ( 1 9 8 1 ) 7 1 3 - 7 4 7 【2 】a s c h i e f , s e p a r a t i o np r o p e r t i e sf o r5 e i f - s i m i l a rs e t s ，p r o c a m e r m a t h s o c 1 2 2 ( 1 9 9 4 ) 1 1 1 - 1 1 5 【3 】k f a l c o n e r , t e c h n i q u ei nf r a c t a lg e o m e t r y , n e wy o r k , w i l e y19 9 5 4 】a h f a na n dk s l a u ，i t e r a t e d 丘n c t i o ns y s t e ma n dr u e l l eo p e r a t o r ， j m a t h a n a l a p p l 2 3 1 ( 1 9 9 9 ) 3 1 9 - 3 4 4 【5 】c b a n d ta n ds g r a f , s e i f - s i m i l a rs e t sv i i ac h a r a c t e r i z a t i o no f s e t f - s i m i l a rf r a c t a l sw i t hp o s i t i v eh a u s d o ，m e a s u r e ，p r o c a m e r m a t h s o c 1 1 4 ( 1 9 9 2 ) 9 9 5 - 1 0 0 1 【6 】y l y e ，s e p a r a t i o np r o p e r t i e sf o rs e t f - c o n f o r m a ls e t s ，s t u d i am a t h 15 2 ( 2 0 0 2 ) 3 3 - 4 4 【7 】d m a u l d i na n dm u r b a n s k i ，d i m e n s i o n sa n dm e a s u r e si ni n f i n i t e 丘n c t i o ns y s t e m s ，p r o e l o n d o nm a t h s o c 7 3 ( 1 9 9 6 ) 1 0 5 l5 4 8 】k f a l c o n e r , s u b s e l f - s i m i l a r s e t s ，t r a n s a m e r m a t h s o c 3 4 7 ( 1 9 9 5 13 1 2 1 3 1 2 9 【9 1 江惠坤，上分形集钐多重缢茗我数学年刊，1 6 a ( 2 ) ( 1 9 9 5 ) 1 0 6 1 1 2 【1 0 】舒志彪，上分形集多重维我彩务彷f , 福州大学学报，3 0 ( 4 ) ( 2 0 0 2 ) 4 3 5 4 3 7 【1 1 】w a i t e r sp r u e l l ejo p e r a t o rt h e o r e ma n dg m e a s u r e s ，t r a n s a m e r m a t h s o c 2 1 4 ( 1 9 7 5 ) 3 7 5 3 8 7 1 2 】yl y e ，d e c a yo fc o r r e l a t i o n sf o ，w e a k l ye x p a n s i v ed y n a m i c a l s y s t e m ，n o n l i n e a r i t y1 7 ( 2 0 0 4 ) 1 3 7 7 1 3 9 1 【1 3 】叶远灵，班压纺动力系统友菇p e r r o n f r o b e n i u s 第于，华南师范 大学学报3 ( 2 0 0 5 ) 1 0