（基础数学专业论文）关于量子环面李代数的结构.pdf

量子环面李代数的结构 摘要 c 口：- - - c g p 1 ，z 手1 】为复数域上的量子环面，其中q 0 是个非单位 根记刃( c g ) 为c g 的导子李代数，c ；= c 口c 定义厶= c ；o d ( q ) ，则在 通常的李运算下岛成为个李代数且李代数厶就同构于由符号e ( m ) ， z m 及d l ，d 2 生成的无穷维李代数，其中m r = z 2 o ) ，其李运算由 以下反交换的关系式给出s 陋( m ) ，e c n ) 】= g ( m ，n ) e ( m4 - n ) ， 【e ( m ) ，z n 】= g ( m ，n ) x m + n = 陆m ，z n 】， 【d i ，e ( m ) 1 = m e ( m ) ，( 1 1 ) 陋，z m 】= l t z m ， d l ，d 2 】= 0 ， 其中m = 沏1 ，m 2 ) ，n = ( 礼i ，7 1 2 ) r l ，g ( m ，n ) = q m 2 忭t q - 瑚我们在第一 章讨论l g 的自同构群令磁为厶的导出子代数，在第二章、第三章和 第四章里我们分别研究了这个代数的自同构群、泛中心扩张和导子李代 数 关键词。李代数，量子环面，自同构群，泛中心扩张，导子 量子环面李代数的结构 a b s t r a c t l v l e tqb eag e n e r i c ，c q ：= c 口陋 l ，z 手1 】b et h ec o r r e s p o n d i n g q u a n t u mt o r u s z ) ( c q ) t h es e to fd e r i v a t i o n so fc ga n d q = c g c s e tl q = c ；o d ( c q ) ，t h e nu n d e rt h eu s u a ll i ep r o d u c tl 口b e c o m e s al i ea l g e b r a i n d e e dt h i sl i ea l g e b r ai s i s o m o p h i ct ot h el i e a l g e b r ag e n e r a t e db yt h es y m b o l se ( m ) ，x ma n dd l ，d 2s u b j e c tt o t h ef o l l o w i n ga n t i - s y m m e t r i cr e l a t i o n s ： 【e ( m ) ，e ( n ) 】= g ( m ，n ) e ( m + n ) ， e ( m ) ，z n 】= g ( m ，n ) x m + n = x mz n 】， 陋，e ( m ) 】= m e ( m ) ， 【d i ，x m l = 跳z m ，【d l ，4 2 】= 0 ， ( 1 1 ) w h e r em = ( m l ，m 2 ) ，n = ( n l ，n 2 ) f 事= z 2 o ) ， g ( m ，n ) = q m 2 m 一口m m 2 l e tl 0b et h ed e r i v e dl i es u b a l g e b r ao fl q i nt h i sp a p e r ，w e s t u d yt h ea u t o m o r p h i s mg r o u p ，u n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o na n d d e r i v a t i o n so ft h el i ea l g e b r a q k e y w o r d s ：l i ea l g e b r a ，q u a n t u mt o r u s ，a u t o m o r p h i s mg r o u p ， u n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n ，d e r i v a t i o n 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成 果，均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担由此论 文而产生的权利和责任 责任人( 签名) 。酶方匕囱 词年上月彳日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量 复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 本学位论文属于 l 、保密() ，在年解密后适用本授权书 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打一 ”) 作者签名：关争方匕铂 熟签名：佝泓一，t 。 日期：御年上月彳日 日期：如7 年月日 引言 第零章引言 李代数来源于李群，当时它是作为研究群论问题线性化的工具李群 的概念是1 8 7 0 年左右挪威数学家s l i e 在研究微分方程的积分曲线族在 什么变换下不变时发现并且建立起来的当时是受g a l o i s 理论的启发， 数学家们将变换群的思想推广到几何与分析领域，发现几何或分析领域 的自同构变换群通常也具有自然的几何或分析的结构，李群正是这样的 种有机结合体，同时它也有群和可微的结构，而且群的运算保持其可 微性李群就是可微分的群或者连续变换群，它实际上是随着微分方程 用积分求解的可能性问题以及连续变换群的研究而发展起来的最初李 群的研究都是从局部来考虑，随着拓扑学的发展，数学家们开始从整体 e 对李群的结构系统进行研究，从而形成了近代李群论s l i e 在李群 结构理论上的重大成就在于他认识到关于可微群的大量信息已被包含在 它的“群无穷小变换一的纯代数结构中，而且这种代数作为线性对象在 许多方面都比可微群更容易研究当时人们把这种数理模型称之为“群 的无穷小变换嚣或奠无穷小群斗大约在1 9 3 4 年h w e y l 正式把这种数理 模型叫做李代数 十九世纪后期，李代数的经典理论主要在于它对李群的应用早期关 于李群理论的个重大成就就是w k i l l i n g 和e c a r t a n 通过李代数的分 类对单的和半单的李群进行分类分类的核心在于有限根系，有限w e y l 群等此后，李代数的地位随着李群在数学以及古典力学和量子力学的 作用而有断地上升，它不是仅作为研究李群的代数工具，而是成了近世 代数学中个蓬勃发展的独立的分支二十世纪以来，李代数与几乎所 有的数学学科都发生着联系( 见【1 】) ，它能解决线性代数中许多极好而又 困难的问题w k i l t i n g 和e c a r t a n 对于可解李代数、半单李代数及单李 代数等结构的研究获得了丰富的成果经过e c a r t a n 的工作与h w e y l 的完善，特征为0 的域上的有限维单李代数的分类问题已经获得圆满解 决，而特征为p 0 的情形则比较困难，现今仍未完全解决 在研究有限维李代数的同时，数学家们也开始了对无穷维李代数的研 究上个世纪六十年代末，v g k a c 和r v m o o d y 各自独立地引入k a c - m o o d y 代数( 无穷维李代数) 。李代数及其表示理论的研究就进入到了一 个新的阶段，研究结果也层出不穷由于它在组合数学、数论、可积系 统、算子理论、随机过程等数学分支以及物理学的量子场理论中都有重 要的应用，k a c - m o o d y 代数成了众多数学家和物理学家关注和研究的焦 点( 见1 2 】，1 3 】) 到现在为止，大家研究主要集中在仿射李代数，量子仿 射李代数，广义仿射李代数，李超代数和它们的结构与表示理论以及在 共形场理论，可积和无序系统中的应用 对于李代数的自同构群及其结构的研究可以加深人们对李代数自身 结构和它的表示的结构的认识此外，通过对李代数的自同构映射和自同 构群的研究还可以帮助人们构造出更多的更有趣的李代数和表示在这 方面已有许多成功的范例比如，扭的仿射李代数就是通过无扭仿射 李代数在某种特殊的自同构映射下的不动点所构成的李子代数来实现， 而目这种方法还被推广到顶点代数表示的构造中去 李理论中在对导子和中心扩张的研究过程中发现由一些特定的代数 的导子李代数，中心扩张或全形( 即代数与它的导子的半直积) 出发也 可以构造许多有意义的李代数比如，_ 元l a u t a n t 多项式环的全体导子 构成的李代数称为w i t t 代数，而w i t t 代数的维泛中心扩张后形成的 新的李代数称为v i r a s o r o 代数而元l a u t a n t 多项式环与w i t t 代数的 半直积可以看成一阶微分算子全体所构成的李代数【4 1 研究了这个李代 数与丛上的m 空间的二上同调群的联系，证明了这个代数存在个三维 的泛却心扩张t 个_ 维中心和w i t t 代数构成v i r a s o r o 李代数。另个 一维中心和元l a u r a n t 多项式环构成h e i s e n b e r g 代数还有个一维中 心使得v i r a s o r o 李代数和h e i s e n b e r g 李代数的作用奠扭嚣了一下，故泛 中心扩张后的李代数称为扭的一阶h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 李代数【5 1 给出 了一秩h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 李代数的类不可约表示【6 】给出了一种广 义的v i r a s o r o - t o r o i d a l 李代数的不可约模同时通过对个李代数的导子 李代数的研究，既可以由此而得到新的李代数，又可以帮助我们了解该 李代数在原始定义中没有体现出来的许多特性因此，确定和研究李代 数的导子李代数也是李理论中的个重要的课题二十世纪四十年代， 人们推广了完备群概念并引进了完备李代数，这种代数与李代数的导子 和泛中心扩张的关系更加密切对它们的结构和表示的研究也进步推 进了对李代数的导子和泛中心扩张的研究在这方面，孟道骥、姜翠 波、朱林生、a n g e l o p o u l o s 、b e n a y a d i 、f a v r e 和c a r i e s 做了大量工作 ( 参见f 7 】和其中的参考文献) v i r a s o r o 代数的表示在仿射k a c - m o o d y 代数的可积模的构造及其结 构分析和可积模的分类中扮演着重要的角色( 见【8 】，【9 】) 。同时v i r a s o r o 弓1 言 3 代数的表示在理论物理中也得到了广泛研究( 见【1 0 】) 由此可见，无穷维 李代数的坐标代数的导子李代数及其中心扩张在李代数的表示研究中起 着重要的作用，同时它自身在数学和理论物理中也有许多应用正是这 种广泛的应用，人们自然希望把相关的研究推广到多变元的l a u t a n t 多 项式环的全体导子所构成的李代数然而，令人遗憾的是该李代数不存 在非平凡的中心扩张k i r k m a n 等人在研究多项式环上导子代数的结构 时，讨论了二元l a u r a n t 多项式环上的斜导子，亦一阶微分算子 z m 。l 山2 m 2 ( 抛z - 面0 一m 。z 2 玉) 它们所构成的李代数具有和v i r a s o r o 李子代数极其类似的性质，故称之 为v i r a s o r o - l i k e 代数，或称二阶无中心的v i r a s o r o 李代数1 9 9 4 年，k i r k - m a l l 等人研究了秩为2 的量子环面c 口= ，y 】( 其中y x = q x y ) 在g 为 g e n 鲥c 的情形，得出它的导子d e r ( c 口) 是由内导子以及两个度导子d l ，如 生成，并且得出它的内导子李代数是个单代数，称之为v i r a s o r o - l i k e 代数 的q 类似( 见【1 1 】) ，并发现了它与v i r a s o r o - l i k e 代数之间的关系，证明了 这两种李代数都存在非平凡的中心扩张由此可见，量子环面的导子李 代数与v i r a s o r o 代数的推广存在着密切的联系由于量子环面为扩张仿 射李代数的坐标函数( 见【1 2 1 ) ，使得量子环面在扩张仿射李代数的结构 和表示理论的研究中起很大作用姜翠波和孟道骥进步研究了q 类似 v i r a s o r o - l i k e 代数的结构，在f 1 3 】中证明了它的导子李代数的自同构群同 构于g l 2 ( z ) k ( c c ) 文【1 3 1 中所研究的代数含有半单元d l ，如，这 在研究和确定它们的自同构群的工作起到了关键作用事实上，他们证 得自同构映射是分次的，在此基础上才确定了所研究的代数的自同构群 的结构 下面我们考虑量子环面另类李代数在本文中，我们把量子环面 c q = c g 陋手1 ，砖1 】( g 是g e n e r i c 的情形) 的导子李代数记为矽( c 口) ，c ：= c g c l q 篁c ；od ( c q ) 为了表述的方便，我们规定以下的记号令r = z e loz e 2 ，p = r o ) ，其中e l = ( 1 ，o ) ，e 2 = ( 0 ，1 ) 为欧r l j 里得空间r 2 上的标准基对 于m = ( m l ，m 2 ) = m l e l + m 2 e 2 z 2 ，定义俨= z ? 1 赋产= z ( m l ，m 2 ) c q ， 并用e ( m ) 来表示c g 的内导子础m ，贝! j 李代数厶就同构于由e ( m ) ， 俨及d 1 ，d 2 生成的无穷维李代数，其中m r ，其李运算由以下反交 弓1 言 换的关系式给出： 4 陋( m ) ，e ( n ) 】= g ( m ，n ) e ( m + n ) ， 【e ( m ) ，矿1 = g ( m ，n ) 产+ n = p m ，卅， 【喀，e ( m ) 】= m i e ( m ) ，( 1 1 ) 陋，俨】= m z m ， d l ，d 2 】= 0 ， 其中m = 仲l ，m 2 ) ，n = ( 死l ，n 2 ) r ，g ( m ，n ) = 矿m “i 一矿1 彻 在本文的第章中，首先在r 上定义字典序，利用这个序证得己g 有 且只有两个非平凡理想，再由同构映射将理想映为理想的思想将问题转 化为可利用【1 3 】的方法来证明，证得厶的自同构是分次自同构，且 a u t l q 冬g l 2 ( z ) 口2 ( c “x 口lz 2 z ) 令或为厶的导出子代数，则李代数瑶就同构于由e ( m ) ，z m ，m = ( m t ，讹) r ，生成的无穷维李代数很容易证明是个完全李代数， 因此这个代数在某种意义下比如更有意思在第二章我们讨论的自 同构群由于李代数l q 中不含d l ，d 2 ，因此我们必须采用异于第一章的 方法来证明，得到的自同构不再是分次的自同构结论是 a u t l q 掣z 2 zk ( ( g l 2 ( z ) k ( c c ) ) ( g l 2 ( z ) ( c c ) ) ) 每个完全李代数都有泛中心扩张，在第三章中我们利用互上循环得 出l q 的泛中心扩张是4 维的，它同构于巧：- - - l qok ，其中k = ，且瓦的李运算如下t 扛m ，z n l = 9 ( m ，n ) z m + n + 6 + n ，o q m 1 钧( m l c l + m 2 c 2 ) ， 酽，e ( n ) 】= g ( m ，n ) z m + 矗+ k + n ，o q m z m 2 ( 宿t l c l + 他c 2 ) ， 【e ( m ) ，e ( n ) 】= g ( m ，n ) e ( m + 1 1 ) + k + n ，o q m 1 肋( m l c 3 + 仇2 c 4 ) ， 匠，吲= 0 其中m ，n r 在第四章中我们证明了 d e r ( 瑶) = h d e r ( l ：) oc d lo c d 2oc moc 6 2 在整篇文章里我们用c ，r ，z 分别表示复数域，实数域和整数环 兰主堑重皇堡鳌刍塑鱼璺塑墨 5 第一章李代数l 口的自同构群 记a 乱t 岛为李代数厶的自同构群，a ，b 为李代数厶的两个子空 间，其中 a = 8 舯n c x m l m r ) ，b = s 舯m ： e ( m ) i m r ) 另外记l q ( o ，0 ) = c d loc d 2 则l q = a + b + l j o ，0 ) ，其中a ，b 为李代 数岛的李子代数，并且李代数厶有如下的z 2 一分次，l q = o ( 己) m ， 其中分次空间为 lc e ( m ) - i - c 俨，m r ( k ) m = ic d l4 - c c i 2 ， m = 0 设7 r b ：l q _ 口为自然投射，注意到映射；r r b 不是李代数同态为了后面 论证的方便，我们约定所有形为l 。 l 况e ( 驰) 和l s 雄最z 呻的求和表 达式都已按字典序从小到大排列，即在r 上规定。m n 当且仅当m t n l ，或m l = n 1 且r n 2 n 2 另外我们再引入个子空间 d = s p a n c e ( m ) 一z m i m r ) 显然d 和a 为李代数厶的两个理想 引理1 1 若0 ica o b 为厶的理想，则i = a 或i = d 或1 = a o b 证明：由于a ，b 都为单李代数( 见f l a d ，则当理想ica 且i 0 时。 显然i = a 另外若j 垡a ，我们分两种情形来讨论 情形1 。若在理想j 中存在个元素，使得对某个元素2 m a 有0 l 厂，俨】a 成立则由a 为单理想得aci ，所以存在0 已氐e ( 驰) i ，其中磊c 又因为b 为单李代数得bci ，进 而a o b ci ，所以i = aob 情形2 ，若对所有的，及z m a 都有i f , z m 】= 0 任取0 ， j ，我们可设 ，= 5 i e ( m t ) + 纷z 脚 量子环面李代数k 的自同构群 6 其中t ，r 1 且所有系数氐和纷都不为0 则由z 1 ，o 】= 0 及x 0 , 1 】= 0 可得t = t ，驰= 珥，i = 1 ，t ，且 ( 盈+ 胁) 夕( i 啦，e 1 ) = 0 ，( 最+ 肌) 9 ( 驰，e 2 ) = 0 但是由驰f 知9 ( 驰，e 1 ) = 0 与9 ( 驰，e 2 ) = 0 不能同时成立，故( 6 1 + 4 ) = 0 ，i = 1 ，t 所以，d 因而i = d e l 引理1 2 若妒a u t l q 。则妒( a ) = a 且妒( d ) = d 或妒( a ) 窖d 且 妒( d ) = a ，妒( 口) ca o b ，且对于任意的m f ，砌妒( e ( m ) ) n b o ， 证明；对于任意的m ，n f 且n k m ，由 妇( z m 一4 ) ，妒( z n ) 】= g ( m n ，n ) 妒( z m ) 及 即( e ( m n ) ) ，妒( e ( n ) ) 】= 9 ( m n ，n ) 妒( e ( m ) ) ， 且，l q l = aob ，我们得到妒( z m ) 及妒( e ( m ) ) 不含l o ( o ，0 ) 中的元素 项因此妒似ob ) cao 曰因为妒为岛的自同构，且a 和ao b 是厶 的非平凡的理想，所以妒( a ) 和妒( a o b ) 为两个包含于a o b 的岛的非 平凡的理想由引理1 1 ，a ，d 和a o b 为仅有的包含于aob 的非 平凡的理想，所以妒似) = a 或d ，妒( aob ) = a ob 且当妒( a ) = a 时，妒( d ) = d ；当妒( a ) = d 时妒( d ) = a 接下来我们分两种情形证明 本引理的最后部分为此反设有m r 使得知妒( e ( m ) ) n b = o ，亦 有妒( e ( m ) ) = 。 的锄z 脚，我们将推出矛盾 情形1 。当妒( a ) 盘a 且妒( d ) 篁d 时，则有妒( e ( m ) 一俨) a n d = 0 ， 这与汐为同构映射矛盾 情形2 ，当妒似) ；d 时，存在矿a 且n 胁有 妒( 护) = b ( e ( n j ) 一z 码) 1 5 j s l 但方面妒( 四( m ) ，护】) = 9 ( m ，n ) 妒( z m 抽) 0 ，而另方面 眇( e ( m ) ) ，妒( z n ) 】= 【n z 哪，b ( e ( i b ) 一z n j ) 】= 0 1 i s ll s j l 量子环面李代数岛的自同构群 因而矛盾 7 口 弓l 理1 3 若妒a u t l q ，则妒( 己哩( o ，o ) ) = l q ( o ，0 ) 证明：设 妒( 反) = q i d l + 屈d 2 + 入n e ( r ) + a 砂 ( 1 1 ) 1 i t1 1 0 s t ， 其中k 0 ，x ；0 为常数则显然有r l ( 0 ，0 ) 而 当r l ( 0 ，0 ) 时，我们分两种情形来证明本引理： 情形1 ：当妒似) = a 时，由引理1 2 我们可以选取m r 。使得 其中0 ，矿= 1 ，l ，且存在5 z ，1 8 l ，有g ( r l ，驰，) = 0 ， 1 ， 8 ，g ( r t ，m i ) 0 由陋，s c m ) 】= 砚e ( m ) 。我们有 = 帆( k e ( 脚) + ，z 丐) ( 1 2 ) l t ，jl s ，l ， 当s = 1 时，即g ( r a ，m 1 ) 0 ，则 k ，k 。g c r x ，m 1 ) e c r l + m 1 ) 0 且r l + m l 1 时，即g ( r l ，m | ) 0 ，我们有。k 。g ( r l ，m 鼻) s c r l + 弛) 0 且 r l + 砜 m s 由( 1 2 ) 式得知存在，z ，1 矿 s ，使得r l + m l = i 脚， 由g c r l ，驰，) = 0 得g c r l ，m 。) = 0 ，矛盾 情形2 。当妒( a ) = d 时，我们可以选取m r ，使得 妒( z m ) = k 一( e ( m ，) 一z m t ，) ， l s i l 量于环面李代数岛的自同构群8 其中，0 ，i = 1 ，z ，且存在8 z ，1 s z 使9 ( r l ，驰，) = 0 ， 1 ， s ，g ( r l ，砜) 0 由陋，z m 】：m z m ，我们有 b d l + 屈d 2 + k e ( k ) + a 乞庐，k ，( e ( 驰，) 一z 脚) 】 1 s i s t l ：兰j s rl i 7 s l = 佻( 芝：k ，( e ( 驰，) 一z m ，) ) ( 1 3 ) l 曩l 当s = 1 时，即9 ( r l ，m 1 ) 0 ，则a r 。k 。9 ( r l ，m 1 ) e ( r l + m 1 ) 0 且 i t 1 + m 1 1 时，即g ( r l ，l r n 。) 0 ，我们有。k g ( r l ，m o ) e ( r l + m s ) 0 且r l + m | m s 由( 1 3 ) 式得存在矿z ，1 s ，且i t 1 + m | = 毗， 由g ( r l ，驰，) = 0 得g ( r l ，l r l r l 。) = 0 ，矛盾 综合以上证明我们知道当r l ( 0 ，0 ) 的情：形可完全类似的证明( 1 1 ) 中的系数k = 0 ， i = 1 ，亡，所以综上所述我们得到 妒( 也) = 口t 卉+ 屈如+ a ：j 一 ( 1 4 ) l g s t ， 其中k ，0 ，歹= 1 ，t ，下面我们证明系数x ，也金为0 为此我们只 要讨论s l ( o ，0 ) 两种情形 当8 1 ( 0 ，0 ) 时，我们再分两种情形讨论s 情形1 ：当q o ( t t ) = a 时，我们可以选取m r ，使得 妒( z m ) = ，z 胁， l s ，g 其中k ，0 ，i i = 1 ，z ，且存在s z ，1 s z 使g ( s 1 ，驰，) = 0 ， 1 ， s ，g ( s l ，砜) 0 类似前面的情形1 我们也可得出矛盾 情形2t 当妒( a ) = d 时，即妒( d ) = a ，我们可以选取m r ，使 得 妒( e ( m ) 一z m ) = z 脚， 1 i 兰l 其中k t ，0 ，i ，_ 1 ，z ，且存在s z ，1 s z 使夕( s l ，m i ，) = 0 ， 1s 矿 s ，9 ( s l ，m s ) 0 类似前面的情形2 我们也可得出矛盾 量子环面李代数岛的自同构群 9 因此当s l ( o ，o ) 时， ( 1 4 ) 的所有系数等于0 因 此妒( l q ( o ，o ) ) = l q ( o ，0 ) 口 引理1 4 若妒a u t l g ，则对任意m r ，有m t r 使得 妒( e ( m ) ) c e ( m ) + c z 一 且妒( z m ) c z 耐，或 妒( e ( m ) ) c e ( m ) + c z d 且妒( z m ) c ( e ( n l ，) 一z m ) 证明。若妒( b ) cb ，则妒i b 。工。( o o ) 为李子代数b o l q ( o ，o ) 的自同构因 此，对任意的m r ，若t a ( e ( m ) ) b ，则按照文【1 3 】中引理8 的证明 知存在m ，r ，使得妒( e ( m ) c e ( m ) 若妒( e ( m ) ) zb ，则我们可设 妒( e ( m ) ) = k ；e ( 驰) + p 码z 码， 1 5 s tl ：g t ， 其中系数0 ，弘秘0 选取( q ，p ) c 2 o ) 使得 陋d l + f l 如，e ( m ) 】= ( 口m l + f ，m 2 ) e ( m ) = 0 ， 且妒( q d l + 腽) = q l d l + 角d 2 ，其中口l ，角c 因为口1 与角不能全 为0 ，所以不妨设尻0 则 陋l d l + 尻d 2 ，刀( 驰) + 弘哪一】 l i s tl ：g t ， = ( 口l m n + 伪佻2 ) e ( m ) + p n j ( q 1 l + 尻吩2 ) z 哪 l s tl ! g s t ， = 妒( 陋d l + 觞，e ( m ) 】) = 0 因此q l m t l + 风m 2 = 0 ，a l 吩l + 风2 = 0 ，其中i = 1 ，t ；歹= 1 ， 由此得到 妒( e ( m ) ) = k 。e ( n k ) + z n j ， l i s tl ! 臼s t ， 其中驰= ( r n l l ，七佻1 )，码= ( 佗j l ，k n # 1 ) 再选取咖五+ 岛而l q ( o ，o ) ，使得 妒( 咖d 1 + 岛d 2 ) = a 2 d l + 岛d 2 ， 而 【o t 2 d l + 侥d 2 ， 则 ，k = 一赘 【伽d l + 风d 2 ，e ( m ) 】0 ，且 6 m 。e ( l ) + 弘w z n j 】 l t ( 锄佻l + 岛七碱1 ) e ( 峨) + l i t = ( c t o m l + 岛m 2 ) l ! g t ， 1 ：白s t ， p ( a 2 n j l + 岛七吩1 ) 一， 妒( 【咖d l + 岛如，e ( m ) 】) e ( 驰) + ( 伽m l + 岛m 2 ) 【n # x n j 1 i t 比较上面两个等式，我们有， l a 一。z 2 z ) 证明s 由引理1 8 我们定义个映射 妒：q a u t l q ， 使得，对任意的( m u ，口，口，6 ，c ) q ，m = ( ) 2 2 ，有 矽( m ，t l ，移，a ，b ，c ) ( d 1 ) = a l l d l + a 2 x d 2 ， 矽( 尬u ，移，口，b ，c ) ( 如) = a 1 2 d l + 口沈如， 矽( m 牡，t ，口，b ，c ) ( e ( m ) ) = $ q r u m l 移m 2 e ( m 7 ) + g r ( n m l 6 f ，1 2 一t m 1 秒仇2 ) z m 矽( 尬让，叩，6 ，m ) = 州掣口m 1 6 m 2 一+ 尘笋矿t 他( e ( “) 一产，) ) 其中 r = 互1l 一“1 1 2 l ，。2 2 一口1 2 。沈m + ( 口1 1 吻+ 口2 1 口1 2 1 ) m l m 2 ) ， g = i m i ，m = ( m l ，仇2 ) ，m i = ( 直接验证可知妒是双射，且满足 一a 2 1 m 2 + 8 2 2 7 n la l l t r t 2 一a 1 2 m 1 妒( ( 牡，t ，口，b ，z ) ( m , u l ，矶，a l ，6 l ，z 1 ) ) = 砂( ，牡，t ，a ，6 名) 妒( 尬牡l ，t ，l ，a l ，b 1 ，z 1 ) 从而妒是个群同构故a u t l q 望g l 2 ( z ) k 如( c “巩z 2 z ) 1 8 口 量子环面李代数的自同构群 一 1 9 第二章量子环面李代数l 0 的自同构群 在这一章，我们将通过构造两类特殊的自同构子群来刻画整个自同构 群的结构式 定义1 1 设s 为集合，称v 为s 一分次向量空间，若v = o ( a ) 口， a s 其中v a ( q s ) 为v 的子空间v a 为q 次的齐次空间，任意的t ，v a 称为a 次的齐次元 设g 为加群，a 为代数，称a 为g 一分次的，如果a 作为向量空 间是g 一分次的，且a 口a 口= a 口+ p 显然e 是z 2 一分次的事实上，= o ( 三：) m ，其中( q ) m = m i c e ( m ) + c x m ，m p 记a u t l ：为e 的自同构群，a ，口，d 为李代数的三个子空间： a = s p a n c x m i m p ) ， b = s p a n c e ( m ) l m f ， d = s p a n c e ( m ) 一z m i m r ) 很容易可以验证，a ，d 为e 的单理想，b 为e 的单子代数 我们在p 上定义字典序：m n 当且仅当m l n l ，或者m l = n l 且m , 2 砌为了后面论证的方便，我们约定所有形为。 矧最e ( 驰) 和。 因此接下来我们只要刻画e 2 的结构为了这个目的，我们给出一 系列引理 量子环面李代数的自同构群 一 2 1 引理2 4 若妒e 2 ，则对任意的m r ，存在m e ，m ，r 使得 妒( 产) c z 对，q o c e c m ) 一x m ) c c e c m ) 一矿) 证明：我们假设 妒( z m ) = 一， l i s t 妒( z 一) = 彩一， 1 1 9 l 其中丸，岛c 由【妒( z m ) ，妒( z m ) 】= 妒( k m ，z m 】) = 0 ，得矿t ，矿，】= 妒，一】= 0 因此s 1 = k r l ，礅= k a r t ，这里七，1 4 r 我们断言对于a 中任意元l s i 9 懈蛐，记妒( l i 如钸g 她) = i g k 协一。 有 ( c 1 ) 若r l + s l ( o ，o ) ，则 【陋n kz n 】，一】= 0 事实上，我们对p 作归纳来证明( c 1 ) 当p = 1 ，我们有 妒( 【p m l ，z m 】，z m d = 【妒( z m l ) ，妒( z m ) 】，妒( z m ) 1 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 若( 2 3 ) 的左式为0 ，则( 2 1 ) 成立若( 2 3 ) 的左式不为0 ，则左式的最低项 为产，同时【扛m ，e l ，矿t 】在( 磁) n l + n 讯空间中，其中n l + r l + s l n l ， 所以【p m ，矿，】，矿t 】= 0 接着我们假设( c 1 ) 对于p 他成立，但对于p = n + 1 不成立也就 是妒( 1 n + 1 饿z m t ) = l ， 七协庐且【扛n l ，矿t 】，矿- 】0 因此，对任意 的七r 。有n 1 k r l 。且 妒( 【m 。驰，z m 】，z m 】) = 【眙( 乍z m ) ，妒( z m ) 】，妒( z m ) 】 ( 2 4 ) ( 2 4 ) 右式的最低项为x n x + r - + 衄但左式 妒( z i 俨) = 暑妒( m z 蛐) + 妒( 他一乍暑) 产) ， l t s 竹+ l 1 i _ n + 12 s i n + l ” 其中l c 注意到，r l + 8 1 ( o ，o ) ，因此n 1 + r 1 + s l 0 的情形对于m l = 1 ，( 2 5 ) 成立接着假设对 于正数m l 一1 ，( 2 5 ) 成立，我们证明对于m l ，( 2 5 ) 同样成立因为 妒( 【陆胁i - i ) e 1 ，z 眈】，矿- 】，z e 2 】) = p m 。妒( ，e - ) ， 【妒( z ( m 1 1 ) e 1 ) ，妒( z 眈) 】，妒( z e l ) 】，妒( z 一铆) 】= v m 。z ( m - n t ，m - 凤) ， 其中鳓，。c ，所以妒( z m ，e t ) = 沏吼e ) z ( m tn 1 m t 舢 同样我们可以证明 妒( 矿毪q ) = ( m 2 e 2 ) z ( 观a 2 册黝 ( 2 6 ) 进步，当m - m 2 0 时，因为 妒( 囟r o l e lz m 2 眈】) = g ( m l e l ，m 2 e 2 ) 妒( z m ) ， 及 眇( 矿1 。1 ) ，妒( z m 2 卸) 1 = 9 ( ( m l0 f l ，m l p l ) ，( m 2 锄，m 2 岛) ) f l ( m l e l ) f l ( m 2 e 2 ) z l q l + 讹a 2 加l 危+ 抛黝 由上面的两个等式及( 2 5 ) ，( 2 6 ) 可得，对于任意的m r 存在f l ( m ) 使 得 妒( z m ) = f l ( m ) x ( m l a l + m 2 0 。2 ，m l 风扣n 2 融) 设 i ；p ( e ( e 1 ) 一x e l ) = f 2 ( e 1 ) ( e ( a l ，b 1 ) 一z ( 口l h ) ) ， 妒( e ( e 2 ) 一产) = f 2 ( e 2 ) ( e ( a 2 ，b 2 ) 一z 俺，6 2 ) ) 其中( a l ，b 1 ) ，( a 2 ，b 2 ) r 同理可证( 1 ) 的剩余部分 最后我们利用( 1 ) 来证明( 2 ) 对任意的妒e 2 ，存在r ，s r ，使 得 妒( z r ) = ( r )