（基础数学专业论文）用witten方法计算n维实射影空间的同调群.pdf

摘要 本文利用w i t t e n 方法计算了n 维实射影空间r r 的同调群，从而给出了用该 方法计算流形同调群的一个非平凡的例子本硕士学位论文分四部分：前言部 分简要介绍了该论文的历史背景，其它三部分分别为： i ) 构造了且r 上的一个m o r s e 数，并且计算了它的临界点及其相应的m o r s e 指 标；通过兄r 上一个适当的黎曼度量9 ，算出了由，和度量g 决定的负梯度向量 场一v 夕，； i i ) 研究了动力系统圣= 一v g ，的不变子流形以及，的临界点之间的的连接 轨线； i i i ) 利用w i t t e n 方法给出一个链复形及其边缘算子，并由此求出了兄r 的同调 群。 关键词： 几维实射影空i e r p n ，m o r s e 数，不变流形，连接轨线， w i t t e n 复形 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rt h eh o m o l o g yg r o u p so ft h er e a lp r o j e c t i v es p a c er ra r ec o m p u t e d e x p l i c i t l yb yu s i n gw i t t e nc o m p l e xa n ds oan o n t r i v i a le x a m p l eo ft h i sm e t h o di s p r o v i d e d t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rp a r t s ： t h ef i r s tp a r ti sai n t r o d u c t i o nw h i c hc o n t a i n sab r i e fh i s t o r ya n db a c k g r o u n d r e l e v a n tt ot h i sp a p e r ；o t h e rt h r e ep a r t sa r e ： i ) w ec o n s t r u c tam o r s ef u n c t i o no nr ra n dc o m p u t ei t sc r i t i c a lp o i n t sa n d c o r r e s p o n d e n tm o r s ei n d e x ；t h e nt h r o u g has u i t a b l ec h o s e nr i e m a n n i a nm e t r i cgo n 兄r ，w ec o m p u t et h eg r a d i e n tv e c t o rf i e l dv g fo nr rd e t e r m i n e db yt h em o r s e f u n c t i o n a n dt h er i e m a n n i a nm e t r i cg ； i i ) w es t u d yt h ei n v a r i a n ts u b m a n i f o l d so f 圣= 一v 9 ，a n dc o m p u t et h ec o n n e c t i n g o r b i t sb e t w e e nt h ec r i t i c a lp o i n t so f ，； i i i 、b yu s i n gw i t t e n sm e t h o dw eg e tac h a i nc o m p l e xa n dt h ea s s o c i a t e db o u n d - a r yo p e r a t o r ，a n dt h r o u g hw h i c hw ec o m p u t et h eh o m o l o g yg r o u p so ft h er r k e y w o r d s ：r rm a n i f o l d ， m o r s ef u n c t i o n ，i n v a r i a n ts u b m a n i f o l d s ，c o n - n e c t i n go r b i t s ， w i t t e nc o m p l e x i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：寿姥枝 o 仉口穹年g 具| 冬b 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：”0，学位论文作者签名： t 解密时间： _ 年月 日 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 香姥投 枷_ 年其g 日 南开大学硕士学位论文 1 i n t r o d u c t i o n f o ram o r s ef u n c t i o n o nac o m p a c tm a n i f o l dm ，a n dc h o o s i n ga sa u x i l i a r y d a t aar i e m a n n i a nm e t r i cgo nm ，w i t t e ni n t r o d u c e ss o m ek i n d so fh o m o l o g y g r o u p so fmb ys t u d i n gt h en e g a t i v eg r a d i e n tv e c t o rf i e l da s s o c i a t e dt o ( ，夕) ， a n dt h e nh ec l a i m e st h a tt h e s eg r o u p sa x et h eo r d i n a r yh o m o l o g yg r o u p s ( c f 【l 】) i nt h ee a r l y1 9 9 0 ss e v e r a la p p r o a c h e st o w a r d sr i g o r o u s l ys e t t i n gu pw i t t e n s c o m p l e xa n dt h er e s u l t i n gm o r s eh o m o l o g yt h e o r ye m e r g e d t h ea p p r o a c hb y s a l a m o n 2 】a n df l o e r a i sv i ac o n l e yi n d e xt h e o r y t h eo n et a k e nb ys c h w a x z 4 i st oc o n s i d e rt h en e g a t i v eg r a d i e n te q u a t i o ni nt h es p i r i to ff l o e rt h e o r ya s s e c t i o ni na na p p r o p r i a t eb a n a c hb u n d l eo v e rt h es e to fp a t h si n m ( s e e 【2 】 f o rp a r t i a lr e s u l t s ) at h i r da p p r o a c hf r o mad y n a m i c a ls y s t e m sp o i n to fv i e w ， n a m e l yv i ai n t e r s e c t i o n so fu n s t a b l ea n ds t a b l em a n i f o l d s ，w a st a k e nb yt h ej o a w e b e r s a l a m o n 2 lg i v e sam o r ed e t a i l e da n dp r e c i s ei n t e r p r e t a t i o nt ow i t t e n s m e t h o d h e r eb e l o ww eg i v eab r i e fd e s c r i p t i o nt ow i t t e n sm e t h o d l e tmb ean - d i m e n s i o n i a lc o m p a c td i f f e r e n t i a b l em a n i f o l da n dl e t ，： m 叫rb eam o r s ef u n c t i o no ni t w ec a nc h o o s eas u i t a b l er i e m m a nm e t t i co nms u c ht h a t 一飞g i sam o r s e - s m a l ev e c t o rf i e l d w h i c hm e a n st h a t f o ra n yt w oc r i t i c a lp o i n t spa n dqo f | t h es t a b l ea n du n s t a b l em a n i f o l d s 8 ( p ) a n dw u ( q ) i n t e r s e c tt r a n s v e r s a l l y t oc o n s t r u c tv c i t t e n sc h a i nc o m p l e x ，w ef i r s tc h o o s ea no r i e n t a t i o no ft h e v e c t o rs p a c ee 缸( p ) = 耳w u ( p ) f o re v e r yc r i t i c a lp o i n tp o f 厂a n dd e n o t eb y ( p ) t h ep a i rc o n s i s t i n go ft h ec r i t i c a lp o i n tpa n dt h ec h o s e no r i e n t a t i o n f o r r = o ，1 2 n = d i mm ，w et h e nd e n o t eb ygt h ef r e eg r o u pg = e z ( p ) ， w h e r epr a i l so v e ra l lc r i t i c a lp o i n t so fi n d e xr t h en e g a t i v eg r a d i e n tv e c t o r f i e l d v 夕厂b e i n go fm o r s e - s m a l et y p ei m p l i e st h a tw 8 ( p ) nw u ( q ) c o n s i s t s o ff i n i t e l ym a n yo r b i t sw h e ni n d ( q ) 一i n d ( p ) = 1 i nt h i sc a s ew ec a nd e f i n ea n i n t e g e r 咒( p ，q ) b ya s s i g n i n ga + 1o r - 1t oe v e r yc o n n e c t i n go r b i ta n dt a k i n g t h es u m m o r ep r e c i s e l y , l e t7 ( s ) b es u c hac o n n e c t i n go r b i tw h i c hm e a n sa s o l u t i o no f 圣= 一v 9 厂s a t i s f y i n g l i m 一y ( s ) = qa n dl i m7 ( s ) = p ，t h e n ( q ) 8 - - * 一8 - - - - * - + - o o 南开大学硕士学位论文 i n d u c e sa no r i e n t a t i o no nt h eo r t h o g o n a lc o m p l e m e n te ( q ) o f 口，w h e r e 秽i s d e f i n e da st h el i m i t l i m i ( s ) - - 1 ( s ) i ne u ( q ) t h e nt h en e g a t i v eg r a d i e n t 8 - - - 4 一 f l o wi n d u c e sa ni s o m o r p h i s mb e t w e e n 骘( q ) a n d e 札( p ) a n dw ea s s i g n t ob e + 1o r - 1a c c o r d i n gt ow h e t h e rt h i sm a pp r e s e r v e do rr e v e r s et h eo r i e n t a t i o n d e f i n e 佗( p ，q ) = ， ，y w h e r e7r u n so v e ra l lo r b i t so f 圣= 一v 夕fc o n n e c t i n gqa n d p t h e nw i t t e n s b o u n d a r yo p e r a t o r0 ：g + 1 一go ft h ec h a i nc o m p l e xi sd e f i n e db y a ( q ) = n ( p ，q ) ( 尸) ， p w h e r epr u n so v e ra l lc r i t i c a lp o i n t so fi n d e xr w i t t e n 1 1c l a i m st h a t0i sab o u n d a r yo p e r a t o r ，i e 0 2 = 0 ，t h e r e f o r e 0 一瓯三g 一三a 三c o 一0 i sac h a i nc o m p l e x d e f i n ef o rr = 0 ，1 ，2 ，佗， h g ( m , z 沪堂掣 ( i ) 蟛( m ，z ) a r ei n d e p e n d e n to ft h ec h o i c eo ft h er i e m a n n i a nm e t r i co n m ： ( i i ) 础( m ，z ) = 皿( m ，z ) ，t h eu s u a lh o m o l o g yg r o u p so fm i nt h i sp a p e r ，w ew i l lc o m p u t et h ew i t t e nh o m o l o g yg r o u p s 础( r r ，z ) o ft h er e a lp r o j e c t i v es p a c er r b yf o l l o w i n gt h ew i t t e nm e t h o da n ds h o wt h a t t h e s eh o m o l o g yg r o u p sa r ee x a c t l yt h eu s u a lh o m o l o g yg r o u p so fr r t h i sp a p e ra r ed i v i d e di n t of o u rs e c t i o n s i nt h ef i r s ts e c t i o nab r i e fh i s t o r y a n db a c k g r o u n dr e l e v a n tt ot h i sp a p e ri sg i v e n ；i nt h es e c o n ds e c t i o nw ec o n s t r u c t am o r s ef u n c t i o nfo nr ra n dc o m p u t ei t sc r i t i c a lp o i n t sa n dc o r r e s p o n d e n t m o r s ei n d e x ；t h e nt h r o u g has u i t a b l ec h o s e nr i e m a n n i a nm e t r i cgo nr r ，w e c o m p u t et h en e g a t i v eg r a d i e n tv e c t o rf i e l d v 9fo nr rd e t e r m i n e db yt h e m o r s ef u n c t i o nfa n dt h er i e m a n n i a nm e t r i c 夕；i nt h et h i r ds e c t i o nw es t u d y t h ei n v a r i a n ts u b m a n i f o l d so f 圣= 一v gfa n dc o m p u t et h ec o n n e c t i n go r b i t s b e t w e e nt h ec r i t i c a lp o i n t so f ，；i nt h ef i n a ls e c t i o n ，b yu s i n gw i t t e n sm e t h o d ， w eg e tac h a i nc o m p l e xa n dt h ea s s o c i a t e db o u n d a r yo p e r a t o r ，t h r o u g hw h i c h w e c o m p u t et h ew i t t e nh o m o l o g yg r o u p so ft h er ra n ds h o wt h a tt h e s eh o m o l o g y g r o u p sa r ee x a c t l yt h eu s u a lh o m o l o g yg r o u p so fr r 2 2 am o r s ef u n c t i o no nt h er e a lp r o j e c t i v e s p a c er r i nt l l i s8 e c t i o nw ew i l lc o n s t r u c tam o r s ef u n c t i o nf o nr ra n dc o m p u t ei t s c r i t i c a lp o i n t sa n dc o r r e s p o n d e n tm o r s ei n d e x ；t h e nt h r o u g h as u i t a b l ec h o s e n r i e m a n n i a nm e t r i c9o nr p ，w ec o m p u t et h en e g a t i v eg r a d i e n t v e c t o rf i e l d 一日gfo nr p d e t e r m i n e db y t h em o r s ef u n c t i o nja n dt h er i e m a n n i a nm e t r 沁 夕 f i r 8 t l y , w e 砒r o d u c es o m en o t a t i o n 8 a n dd e 6 n i t i o n 8 l e tm b ean d i m e n s i o n a l 8 m o o t hm a n i f 6 l d 舡l dl e t ，b eas m o o t hf u n c t i o n ，：m 一r w ed e n o t et h e s e to ft h ec r i t i c a lp o i n t so f b y c r i t ( f ) ：= z m l d f ( x ) = o ) f o rp c a t ( f ) ，w ed e f i n eab i l i n e a xf u n c t i o n h p ( f ) ：耳m 耳m r ，v v ，伽耳m h p ( f ) ( v ，伽) 全v ( w f ) ， w h e r ew i sav e c t o rf i e l do nme x t e n d e db yw n o t et h a t u ( ，) = ( y 彤，) ) = ( w y 厂) 0 ) + ( 【vw 】厂) p ) = w ( v f ) ， w h e r eyi sa 矾粥t o rf i e l do nm e x t e n d e db yv f r o mw h i c ho n es e e se a s i l yt h a t t h ed e 矗n i t i o no f 珥( ，) i si n d e p e n d e n to ft h ee x t e n s i o n sv w o f 钉，w 2 朋， r e s p e c t i v e l y , a n ds oh a ) i saw e l l - d e f i n e db i l i n e a rf u n c t i o n so n 耳m f o re a c h c r i t i c a lp o i n tpo ff ，w h i c hi sc a l l e dt h eh e s s i a no ff a tp m o r e o v e r ，o i l ea l s os e e s e a s i l yt h a t ( 厂) i ss y m m e t r i c l e t ( u ；( z 1 ，x 2 ，z n ”b ，ea 。l o c a lc o 鼍m a t e s y s t e m 皱o u n dp t h e n w i t hr e s p e c tt ot h en a t u r a lb a s i s 岳卜一，彘l 口) o f 已m ，t h eb i l i n e a rf u n c t i o nt t p ( f ) h a sam a t r i xr e p r e s e n t a t i o n ( 磋南) ( p ) t h i s i na 七r i xi sc a l l e dt h eh e s s i a nm a t r i xo ffa tt h ec r i t i c a lp o i n tp d e f i n i t i o n2 1 l e tf ：m 叫r b eas m o o t hf u n c t i o no nm a n dl e tpi sa c r i t i c a lp o i n to f ，t h ec r i t i c a lp o i n tpi sc a l l e dn o n - d e g e n e r a t ei ft h eh e s s i 8 n 3 南开大学硕士学位论文 ( ，) i sn o n - d e g e n e r a t e w h e np i sn o n - d e g e n e r a t e ，t h en u m b e ro ft h en e g a t i v e e i g e n v a l u e so fhp i 、f 、i sc a l l e dt h em o r s ei n d e xo fp af u n c t i o n | i sc a l l e da m o r s ef u n c t i o ni fe v e r yc r i t i c a lp o i n to f i sn o n - d e g e n e r a t e i nt h ef o l l o w i n g ，w ew i l lc o n s t r u c tam o r s ef u n c t i o no nt h er e a lp r o j e c t i v e s p a c er r f i r s t l yw eg i v ead e f i n i t i o no fr r l e tm = r n + 1 o ) f o ra n yz ，y m ，w es a yt h a tzi se q u i v a l e n tt oy i ft h e r ee x i s t san o n z e r or e a ln u m b e rq s u c ht h a tz = a y t h er e a lp r o j e c t i v e s p a c er p 亿i sd e f i n e d a st h e q u o t i e n ts p a c em | 一w i t hr e s p e c tt ot h ee q u i v a l e n c e r e l a t i o n d e f i n e da b o v e g e o m e t r i c a l l y , r ri st h es e to fa l ll i n e st h r o u g h t h eo r i g i np o i n ti n 酞n + 1 a ne q u i v a l e n td e s c r i p t i o no ft h e 扎一d i m e n s i o n a lr e a l p r o j e c t i v es p a c ei st h a tr r c a l lb ev i e w e d8 8t h eq u o t i e n ts p a c eo fa nn - s p h e r e s nb yi d e n t i f y i n gi t sa n t i p o d a lp o i n t s f r o mt h i sd e s c r i p t i o no n eg e t se a s i l yt h a t r ri sc o m p a c t l e t7 r ：m _ 兄rb et h es t a n d a r dp r o j e c t i o na n dd e f i n e c l e a r l y , 玩= 陋1 ，x - 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- - , i - 1 , i + 1 , - , n + l ， s oa tt h ec r i t i c a lp o i n to io f ，o ne a c h 既，w eh a v et h eh o t ( ，) 日d 。( ，) = 2 x 2 d i a 9 增一增 增 ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) s oi n d ( 0 t ) ：i 一1 ，t h u sw eg e tt h el e m m a 2 1 口 l uq i k e n gp r o p o s a l sar i e m a n n i a nm e t r i cgo ng r a s s m a n n i a nm a n i f o l d g m ，礼僻) i n 【7 1 i th a st h ef o l l o w i n gf o r m ： 9 ：圳( j + z z t ) 一1 d z ( i + z t z ) 一1 d z t 】 w h e r e ，i st h eu n i tm a t r i x ，z = ( z 巧) m m m ) ，z ti st h et r a n s p o s e dm a t r i xo f z n o t et h a tr p = g n + l , 1 ( r ) w eg e tar i e m a n n i a nm e t r i c9o nr r l e m m a2 3 o ne a c h ( 巩，妒i ) ，( 1 i 礼+ 1 ) ，t h el o c a lm a t r i xe x p r e s s i o no f t h er i e m a n n i a nm e t r i cgo fr p i sg i v e nb y g = 去( j + 垆z ) ， w h e r e = 1 + z z t f r o ml e m m a 2 3w eh a v e g 一1 = ( f + z t z ) i ti so b v i o u s l yt h a tgi st h eu n i tm a t r i xo f 仉礼a 土0 tf o r1 i 扎+ 1 n o ww ec a nd e 血ef o rt h em o r s ef u n c t i o nf ：r r _ r an e g a t i v eg r a d i e n t v e 毗o r 乱l d v a fo nr rb yt h ea b o v e - m e n t i o n e dr i e m a n n i a nm e t r i c ，w h i c h h a st h ef o l l o w i n gl o c a le x p r e s s i o no n ( 巩，) ( 1 i 礼+ 1 ) 一v g f = 一( ( v f d 膏。，( v f d 歹，( v 五) k ) 6 簪紫皆 南开大学硕士学位论文 w ec a ng e tt h ec o m p u t a t i o nf o r m u l ao f - - v g fb yg ( v f ，v ) = y f ， v g 厂：f o i k 。，k t严差去 w h e r e ( g 时) i st h ei n v e r s eo ft h em a t r i xe x p r e s s i o no ft h er i e m a n n i a nm e t r i c g ，n o ww eg e tv ( , bb yf o l l o w i n gc o m p u t a t i o n ，w h e r ej = 1 ，2 ，i 一1 ，i + 1 ，扎+ 1 ， ( v 五) r ( 1 + 南2 ) 两o f + ( 户笪、户 氍8 8 8 j 南。 = 铷懈) 笔+ s # i , j 堕 = 篆周舭- 1 ) 蚓- 【泓一扣扣) s ow eg e tt h ef o l l o w i n gl e m m a l e m m a2 4 o n ( 阢，仇) ( 1 i 礼+ 1 ) ，w eh a v e ( v 五) j = 面2 a 2 ( 哥1 一葛1 ) 为 w h e r ej = 1 ，2 ，i 一1 ，i + 1 ，n + 1 f r o ml e m m a2 4 ，w ec a no b t a i nt h ed y n a m i c a ls y s t e m 圣= 一v 9fo nr r w h i c hh a st h ef o l l o w i n gl o c a le x p r e s s i o no n ( 阢，忱) ( 1 i n + 1 ) 一t 邑一2 凸a 一2 _ 1 ；2 一习1 ，4 j 一白2 凸一 ；一页：，j ( ，一c ) w h e r ej = 1 ，2 i 一1 ，i + 1 ，死+ 1 t h el o c a le x p r e s s i o n ( 宰) c a nb er e g a r d e da sad y n a m i c a ls y s t e mo nr n 7 唰 3 t h es t u d yo ft h ed y n a m i c a ls y s t e m 毫= 一可9 i nt h i ss e c t i o nw es t u d yt h ei n v a r i a n ts u b m a n i f o l d so f 圣= 一v 9fa n d c o m p u t et h ec o n n e c t i n go r b i t sb e t w e e nt h ec r i t i c a lp o i n t so ff f i r s t l y , w ea l s oi n t r o d u c es o m en o t a t i o n sa n dd e f i n i t i o n s d e f i n i t i o n3 1 i ff ：m 一ri sam o r s ef u n c t i o no naf i n i t ed i m e n s i o n a l s m o o t hr i e m a n n i a nm a n i f o l d ( m ，g ) a n dp mi san o n - 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