（基础数学专业论文）模糊微分方程的初值问题.pdf

摘要 本文利用模糊数的嵌入定理，讨论了模糊微分方程初值问题的近似 解和解的关系，推广了前人已有的结果利用两种不同的方法，讨论了在 紧型条件下，模糊微分方程在闭集上的解的存在唯一性并利用常微分方 程的比较定理和模糊数空间上的偏序关系，讨论了模糊微分方程的最大 解和最小解的存在性最后，定义了模糊数值函数的l d 型函数，在所谓 的耗散型条件下讨论了初值问题解的存在性问题，并把该结果推广到了 模糊数空间的一个闭凸集上 关键词：模糊微分方程；初值问题；近似解；最大解与最小解； 紧型条件：耗散型条件 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h er e l a t i o n sb e t w e e na p p r o x i m a t es o l u t i o n s a n ds o l u t i o n sf o rt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m so ft h ef u z z yd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sb yt h ee m b e d d i n gt h e o r e mo ff u z z yn u m b e rs p a c e u s i n gt w od i f f e r e n t w a y s ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fi n i t i a lv a l u ep r o b l e m su n d e rc o m p a c t n e s s - t y p ec o n d i t i o n so nc l o s e ds e ti n ( e ”，d ) u s i n gt h ec o m p a r a t i v et h e o r e m a n dp a r t i a lo r d e r si n ( e “，d ) ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fm a x i m a la n dm i n - i m a ls o l u t i o n so fi n i t i a lv a l u ep r o b l e m su n d e rc o m p a c t n e s s t y p ec o n d i t i o n s f i n a l l y ，w ed e f i n e dt h el - dt y p ef u n c t i o no ff u z z yn u m b e rv a l u ef u n c t i o n ， a n dw ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fi n i t i a lv a l u ep r o b l e m su n d e rd i s s i p a t i o n t y p e c o n d i t i o n s w ee x p a n d e dt h i sr e s u l to nac l o s e ds e ti n ( e “，d ) k e y w o r d s ：f u z z yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i n i t i a lv a l u ep r o b l e m a p p r o x i m a t es o l u t i o n s ，m i n i m a la n dm a x i m a ls o l u t i o n s ，c o m p a c t n e s s t y p ec o n d i t i o n s ，d i s s i p a t i o n - t y p ec o n d i t i o n s 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 豁辑日期鲨饵细竺日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文 的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保 密的论文在解密后应遵守此规定) 签名卑亟年导师签名：丝墟鉴日期竺鼻妇阜日 1 上j l 月l j旨 1 9 6 5 年美国控制论专家l a z a d e h 教授提出模糊集的概念【1 ，即给定论域u 上的 模糊集a 是指：对任意的u ，都对应着一个数a ( x ) 0 ，1 ，叫做。对a 的隶属程 度，而映射a ：u 一【o ，l 】，z a ( z ) 叫做a 的隶属函数很显然，隶属函数是经典集 合a = x l a ( x ) = 1 ) 特征函数的推广而后，模糊数学作为一门新兴的数学分支得到了迅 速的发展其研究涉及模糊分析学、模糊代数学、模糊拓扑学等领域其应用遍及人工智 能、聚类分析、控制理论、专家系统、质量管理、故障诊断、图像识别、系统评价、决 策优化、人文学科、社会科学等诸多方面值得注意的是在此诸多领域中，模糊分析学及 其应用的研究更是深入 众所周知，在描述一些物体连续运动过程中指标量的变化规律时所建立的数学模型 往往表现为一个微分方程然而，在具体的数学建模过程中，经常带有参数的不确定性，所 以在工程理论、控制理论、决策分析等领域往往存在一些以模糊集( 该模糊集往往表现 为一个模糊数1 为参数的微分方程所以对模糊微分方程的研究特别重要对于微分方程 o 0 ) = f ( t ，z ( t ) ) ，x ( t o ) = z o 这里，：t w e ”连续，e ”为模糊数空间1 9 8 7 年，k a l e v a 【4 利用b a n a c h 压缩映象 原理讨论了当，连续且满足l i p s h i t z 条件时，上面初值问题有唯一解，然而，仅仅，的连 续性能否保证该方程至少存在一个解，答案是否定的事实上，模糊数空间( 驴，d ) 不 同于向量空间，但它同构于b a 皿a c h 空间上的一个锥 1 0 1 1 1 1 1 4 所以p e a n o 定理不成立 1 9 9 9 年，j u a n j n i e t o 2 2 证明了当，连续且有界时，微分方程至少存在一个解1 9 9 6 年， p v s u b r a h m a n y a m ，s k s u d a r s a n a m 1 9 1 利用距离空间上的一个压缩不动点定理讨论了 模糊v o l t e r r a 积分方程 ，l x ( t ) = ，( ) + g ( t ，z ( s ) ) d s 前言 在满足 g 连续 t g 具有l i p s c h i t z 条件的情况下有唯一解作为推论讨论了具有连续数性 核的模糊v o l t e r r 积分方程 r 1 x ( t ) = 妒( t ) + a k ( t ，s ) x ( s ) d s j 0 当妒( t ) 连续 t k ( t ，s ) 一致有界时具有唯一解1 9 9 6 年，w uc o n g x i n ，s o n gs h d i 【1 1 】【1 2 】通过 利用他们给出的从模糊数空间到具体的b a n a c h 空间e o ，1 o 0 ，1 】中的闭凸锥上的等距 同构嵌入映射，将模糊微分方程初值问题转化为b a a l a c h 空间的闭凸锥上的抽象微分方程， 建立了模糊微分方程初值问题的近似解和解的关系，进而得到，当，满足广义l i p s c h i t z 条 件时，上面初值问题有唯一解，并在酽的凸闭集上讨论了解的存在唯一性问题1 9 9 8 年， w uc o n g x i n ，s o n gs h i j i 1 0 ，利用同样的方法，讨论了在紧型条件下，模糊微分方程的初值 问题，所得的结果比k a l e v a 的结果深刻而广泛 本文利用模糊数的嵌入定理，讨论了模糊微分方程初值问题的近似解和解的关系，推 广了文【1 2 】的结果利用两种不同的方法，讨论了在紧型条件下，模糊微分方程在闭集上的 解的存在唯一性，推广了文 1 0 】 1 l 】的结论利用常微分方程的比较定理，和模糊数空间上 的偏序关系，讨论了模糊微分方程的最大解和最小解的存在性最后，定义了模糊数值函 数的l - d 型函数，在所谓的耗散型条件下讨论了初值问题解的存在性问题，并把该结果推 广到了模糊数空间的一个闭凸集上 本文包括五部分内容：第一部分作为预备，定义了模糊数值函数的可积，可导等概念， 引入了嵌入定理及非紧型测度的概念及性质，列举了本文要用到的中值定理，比较定理 和a s c o l i a r z e l a 定理；第二部分讨论了模糊微分方程初值问题的近似解和解的关系，第三 部分讨论了在紧型条件下，模糊微分方程在闭集上的解的存在唯一性；第四部分讨论了模 糊微分方程的最大解和最小解的存在性；第五部分定义了模糊数值函数的l d 型函数，在 所谓的耗散型条件下讨论了初值问题解的存在性问题，并把该结果推广到了模糊数空间 的一个闭凸集上 2 1 预备知识 设r ( r ”) 为础中的非空紧凸子集，其加法与数乘运算按通常意义定义设 a ，b p k ( 职”) ，定义a 与b 之间的h a u s d o r f f 距离为： 地b ) 2 “ s 。u 胙p i n f fl l 。一s 锄u p 。i n 。a f | | b - a i i ，( 1 - 1 ) 定义1 1 1 2 1 1 3 4 1 模糊数u e “，u ：黔一【0 ，1 ( 1 ) u 是正规的； ( 2 ) u 是凸模糊集； ( 3 ) u 是上半连续的； ( 4 ) 扣时：u ( z ) o ) 的闭包是紧的，记为m o = 百 1 f 五i i 珂 对0 0 ，u ，口e “ ( 3 ) j ( e ”) 一j ( 驴) 一x 3 1 预备知识 设z ，g 酽，如果存在z e “，使得= g + z ，则z 叫z 和y 的日差记为z y 本文涉及模糊数的减法运算时，除特别说明外都满足日一差性质 定义1 2 3 , 4 】设f ：t 一驴在t o t 可导是指存在一( t o ) e ”，使得极限 l i r a f ( t o + h 。) - f ( 一t o ) ，l i r a f ( t o ) - f ? ( t o + h 一) h _ 0 +n - + 0 +n 在距离d 意义下收敛于f ( t o ) 定义1 31 3 , 4 】设f ：t e “和r ( t ) = f ( t ) 】“，如果 m 删e 口_ z 砌皿 = f ( t ) d t ：，：t r “，f 0 是r 的可测选择，o 0 ，1 】) 确定了唯一的模糊数，则称f ( t ) 在t 上可积，记为bf ( t ) d t 定理1 2 【3 , 4 对f ：t e ”， ( 1 ) 若f 可导，则f 连续； ( 2 ) 若f 连续，则f 可积； ( 3 ) 若f 连续，则对任意的t t ，积分原函数g ( t ) = f ( s ) 可导且( t ) = f ( ) ； ( 4 ) 若f 可导且导函数f ，( t ) 可积，则对任意的s t ，有 f ( s ) = f ( t o ) + f ( t ) d t ( 1 - 5 ) j t o 定义1 4 1 8 设。y 是实b a n a c h 空间，s 是x 中有界集令a ( s ) = i n f 6 0 ：s = u 兰，& ，d ( s ) 田n ( s ) 叫k u r a t o w s h 意义下的非紧性测度 定理1 3 1 8 非紧性测度具有以下性质( s ，t 表示x 中有界集，n 是实数) ： ( 1 ) a ( s ) = 0 铮s 是相对紧集； ( 2 ) s c t 号a ( s ) o ( t ) ； ( 3 ) a ( a s ) = ia in ( s ) ，其中o s = x = a z ：z s ) ； ( 4 ) a ( 面s ) = o ( s ) ； ( 5 ) a ( s u t ) = m a x 。( s ) ，n ( t ) ) ； ( 6 ) a ( ) 关于h a u s d o 啊距离 吐日( s l ，s 2 ) = m a x s u pd ( 。，s ；) ，s u pd ( x ，s 1 ) ) 是一致连续的 定理14 ( a s c o l i a r z e l a ) 5 ，8 集合日cg x ) 相对紧的充分必要条件是：日是等度 连续的，并且对任何t t 集合h ( t ) 是x 中的相对紧集 4 1 预备j 5 口识 = = ! = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ! = = = = ! = = = ! = = = 定理1 5 ( 中值定理) 【5 1 【8 1 设。c t ，x 】，且除去至多可数集rct 外，当任意。 t r 时，z ( t ) 可导，且存在m 0 ，使得憎( t ) l is m ，则 1 i x ( t o + p ) 一4 t o ) l j m p 定理1 6 u l i x s l 设g 是r 2 中的开集，g c g ，r 1 】，( t o , u o ) g 设r ( t ) 是初值问题 = 9 ( t ，u ) ，u t o ) = u o 的最大解，其向右最大存在区间为，t o + 设i 如，t 1 】c 【t 。，t 。+ n ) ，则必存在印 o ，使 当o e 0 ，对任意i t o ，t o + p l ，有i 的开邻域和( i ) 的球形 邻域b 扛，n ) = e “l d ( z ，z 回) r i ) 垒最，使得当( ，一) ，( t ，z ) kx 鼠时 d ( f ( t ，z ) ，f ( t 7 ，z ，) ) 又由于z ( t ) e 啦o ，t o + p 】) b ( x o ，口) ，所以有i 的开邻域i k ，使当亡，t 碱时 d ( z ( t ) ，z ( t ，) ) r l 4 设以= k n w ；，则t 7 ，t 阢，z ，z b i 时， d ( y ( t ，z ) ，( t 7 ，z ) ) e ，d ( z ( t ) ，x ( t ) ) n 4 由于，t o 十剜为紧集，l t l t t o + p ) 的一族开覆盖，故有有限个阢覆盖t o + 乩 从而分割：t o l t 。一o + p ，使当h 一1 ，纠时 d ( z ( t ) ，x ( t m t t i 4 ， 且当z 7 ，z 鼠时 d ( y ( t ，z ) ，( t ，。，) ) 由于。( t ) 在i t o ，t o + p 上一致收敛于( t ) ，所以r = 毋皿 r c ，4 ) ，存在，使得当n n 时 l 、t l t n 0 有d ( x 。( t ) ，z ( t ) ) r ，于是当n n ，h 一1 ，纠时，有 d ( z 。( t ) ，z ( t 。) ) d ( z 。( t ) ，z ( t ) ) + d ( z ( t ) ，x ( t 1 ) ) r + r “4 r “2 ， r 2 模糊微分方程的近似解与解的关系 此即z n ( t ) b ( t d 综上得：v t i t o ，t o + p ，存在t ，1 i m o ，使得i t , “乩z ( t ) b t ；，且当n 时， ( t ) b t 。从而 d ( f ( t ，o ) ) ，f ( t ，z ( t ) ) ) ， 即，( t ，z 。0 ) ) 在，t o + 纠上一致收敛于f ( t ，z ( t ) ) 引理2 3 设a c 【，t o + p 】，e “】，厶在i t o ，t o + p 上一致收敛于，( t ) ，则 l i m a ( s ) d s = f ( s ) d s ( 2 3 ) 证明 由于厶在| t o ，t o + 科上连续且一致收敛于，( ) ，所以，( t ) 在t o + p l 上连续- t 是：v t 陋。，t 。+ p ，模糊数值函数积分e ( s ) d s ，f ( s ) d s 均存在则对 t o ，亡o + p 】有 。( , if - ( s ) d s ，f ，( s ) ) 石。( 厶( s ) 肌圳如f 。( a ，) d s = d ( 厶i ，) 。“0 ) _ 0 从而有 l h n ，。 ( 。) d 。 “一o o j t o ( 2 4 ) 定理2 1 设，n g 【碾o ，驴 ，g 畔。，驴 ，序列 厶) 在吼上一致收敛于，又设 0 2 时，有 d ( f ( t ，z 。) ，f ( t ，z ( ) ) ) e 2 ( 2 - 1 1 ) 取n = m a x n 1 ，2 ) ，则当n n 时，对任意的t t o ，t o + o ，有 d ( ( t ，z 。( t ) ) ，f ( t ，z ( t ) ) ) 墨d ( a ( t ，。( ) ) ，i ( t ，z 。) ) + d ( ，( t ，。) ，f ( t ，z ( t ) ) ) 2 + e 2 = g ( 2 - 1 2 ) 此即厶( ，。( t ) ) 在 t o ，t o + o 上一致收敛于，( t ，z ( t ) ) 由定理的假设知， 厶( ，x n ( t ) ) ，f ( t ，z ( t ) ) 均是 t o ，t o + o 】上的连续模糊数值函数，于是根据引理( 2 3 ) ，可 得 tt t l i m ( s ，z 。( s ) ) d s = ，( s ，z ( s ) ) 峨 v t t o ，t o + n ( 2 - 1 3 ) j t oj t o 故在( 2 6 ) 中，令n o 。，再两边取极限，即得 z ( t ) = x 0 + ，( s ，( s ) ) d s ，v t t o ，t o + d 】( 2 - 1 4 ) 所队。c 1 ，t o + d 】，e 叫，并r x ( t ) 是初值问题( 2 5 ) 的解 由定理2 1 ，我们可得到以下推论： 定理2 2 在定理2 1 中，若将条件换为 f 。：+ 。( t ) = 厶o ，z 。( ) ) l 。( t 。) = 而其余条件不变，则定理结论成立 即可 ( 2 一1 5 ) 证明 与定理( 2 1 ) 的证明相似，只需将积分方程( 2 6 ) 改为 r x n + 1 ( t ) = z n + l + 厶( s ，x n ( s ) ) d s( 2 - 1 6 ) c o 8 2 模糊微分方程的近似解与解的关系 定理2 3 在定理2 1 中，若j ( ( t ，z ) ) 一j ( y ( t ，z ) ) + 蜘且蜘( t ) 在i t o ，t o + o 】上一致收 敛于o 这里骱c t o ，t o + o ，x 】，j 为从( e ”，d ) 到b a n a d l 空间x 的嵌入算子，而其余条件 不变，则定理结论成立 定理2 4 在定理2 1 中，若j ( 厶( t ，z ) ) = j ( f ( t ，z ) ) + 其中| lg 。( t ) 0 钿，( t ) f t o ，t o + o ，x 】，这里。e l t o ，t o + o 】，x 】，5 。一0 ，j 为从( 驴，d ) 到b a n a c h 空间x 的嵌入 算子，而其余条件不变，则定理结论成立 定理2 5 在定理2 1 中，若j ( 厶( t ，z ) ) = j ( f ( t ，z ) ) + 其中( t ) 一0 ，( t ) x ，j 为 从( 驴，d ) 到b a n a c h 空间x 的嵌入算子，而其余条件不变，则定理结论成立 9 53 紧型条件下模糊微分方程在闭集上的 解的存在性 设，：t w e ”连续，考虑c a u c h y 问题 = f ( t ，x ) ) ( 3 - 1 ) i 。( t ) 一x 0 e “， 这里e “是模糊数空间，wc 驴，z o w 引理3 1 i i 】设f 是( 驴，d ) 的闭子集，c i t o ，t o + 】f i e “】，x 0 f ，如果存 在r 0 ，z c 1 t o ，t o + r 】，f 贝0 ： 1 i m 。三n ：i n ，fd ( z 。+ h f ( t o ，x o ) ，z ) = 0 - 定理3 1 设f 是口1 的闭子集，满足： ( 皿x o f 存在fcb ( z o 一) ，这里b ( 铷，b ) = 。e ”：d ( x ，x o ) s6 ) ； ( h 2 ) ，c i f , e ”】，d ( ，( ) ，o ) m ，v z f ； ( 飓) l i m i 。n ，f d ( x 。十h f ( t o ，x o ) ，z ) = o ，比f ； ( 凰扫： 0 ，3 h i r + 连续，g ( o ) 一0 ，g ( u ) 递增r g ( u 1 + “2 ) 9 ( “1 ) + g ( u 2 ) ，并且初值问题 刊 ，呱)( 3 2 ) iu ( t o ) = 0 在卅上只有零解； ( k ) 口( j ，( s ) ) 59 ( ( j ( s ) ) ) ，v scf ，这里a ( ) 表示非紧性测度； 则初值问题( 3 1 ) 在= t o ，t 上必有属于f 的解z c j ，卅 证明 先证对任意的正数e ( 设e 可亍) ，存在多边形匙c i ，f 】，满足： d ( x 。( t ) ，z o + ，( z 。( s ) ) d 8 ) 2 e ( t t o ) ，t i ( 3 - 3 ) 妊v i i ，f 是多边形，即：存在分法如 t 1 t 。= t ，使得 j 也= 等等0 一也一- ) + 球t ix i = ( t i ) fi = l ，2 ，m 设妊( t ) 在一】上有定义，且满足( 3 3 ) 式，在i t 一，t 。 上如下定义。( t ) ，令魂【0 ，】 是满足下列条件的最大数： 1 0 ( o ) t i 一1 = 也t ； ( b ) x f 1 d ( x ，札一1 ) ( m + ) 玩= d ( ，( z ) ，( z t 一1 ) ) ； ( c ) ! ： d ( 甄，+ 也，( 甄一- ) ，z ) 兰魂，其中。一- = 孔( t 一，) ； 现令t ，= t + 6 ，由( c ) ，存在x i f ，使 d ( x l 一1 + 瓯，( 一1 ) ，) 瓯e ( 3 - 4 ) 定义模糊数值函数 ( t ) = j 旦0 一t l - 1 ) + 年1 ，v t 【t i - - 1 1 t i 】 ( 3 - 5 ) 由f 的凸性，( t ) f ，并且z 。( 屯) = 甄下证对某个m ，必有t 。= t 若不然，盈一 。且屯一r ，r t ( i o o ) 不妨设r 0 且” e n + l m = 1 ，2 ，) 且e 。一o ( n o 。) ，并令z 。( t ) = z 。( t ) 由( 3 - 6 ) a ，得d ( z 。( t ) ，x n ( s ) ) ( m + ) l 一s l ，v t ，8 i ，n = 1 ，2 ，由此知， z 。( t ) ) 是等度 连续的令m ( t ) = a ( j x 。( t ) l n 1 ) ) ，t i t m ( t ) 一o ( v t j ) 由非紧性测度o ( - ) 的定义及 性质( 5 ) ，显然有 m ( t ) 一a ( d z 。( t ) i n ) ) ，= 1 ，2 ，( 3 - 1 4 ) 令= f ( x 。( s ) ) d s ，m + ( t ) 一a ( j z 。( t ) l n 1 ) 则蜘( t ) = f ( x 。( t ) ) ，且 m + ( t ) = a ( j y 。( t ) l n ) ) ，k = 1 ，2 ，( 3 - 1 5 ) 由( 3 1 4 ) ，( 3 - 1 5 ) ，( 3 - 3 ) 三式及由非紧性测度a ( ) 的定义，可得 m ( t ) m + ( t ) + 4 e k ( t t o ) ，k = 1 ，2 ，( 3 - 1 6 ) 由“e 百南及m ( t ) m + ( t ) 的定义，可知m ( t ) 【0 ，3 h i ，m + ( t ) + 4 乱( t t o ) 【0 ，3 乩 事实上，因为对任意的n 及z 。( t ) fcb ( x o ，砷，所以由非紧性测度o ( ) 的定义，可 得m ( t ) = c f f j x ( o i n 1 ) ) 52 b ，于是m ( t ) 【0 ，2 b c 【0 ，3 6 又由( 3 - 3 ) 式知 d ( ，石) = d ( z 。，5 9 0 ) + d ( z 。( t ) ，印+ ，( 茁。( s ) ) d s ) b + 2 e 。 一t o ) 1 2 3 紧型条件下模糊微分方程在闭集上的解的存在性 于是m + ( 亡) = a ( d ( ) i n 1 ) ) s2 6 + 拈( t t o ) ，m + ( t ) + 4 e k ( t t o ) 2 b + 8 z k ( t t o ) s3 b 所以，m + ( t ) + 4 e k ( 丁一t o ) 【0 ，3 h i 令h 0 ，对r t o ，卅，t h t o ，t 由定理1 3 及定 理1 5 ，有 ；i r a ( t ) 一m + o 一 ) 】a ( ! 堑兰l 掣i n 1 ) ) n ( 面b ：( h ) ) = a ( b ：( 厶) ) 其中j h = 【t h ，叱b ：( “) = u t 。“ j y a t ) l n 1 ) ，于是 d m + ( t ) 茎 1 + i m 。+ d ( b i ( 厶) ) ，t ，卅( 3 - 1 7 ) e l i 定理1 4 及( f 乇) ，可得 n ( 口i ( 厶) ) = n ( u * h j 如( t ) 1 n 1 ) ) = a ( u * x a j y ( x ( t ) ) l n 1 ) ) a ( ，( u t h j 蚺。( t ) i n 1 ) ) 9 ( o ( b 1 ( 厶) ) ( 3 - 1 8 ) 其中b 1 陬)= u j z 。( t ) l n 1 ) 由 z 。) 的等度连续性，知h a u s d o r 艇 离妇( b 1 m ) ，b 1 ( t ) ) 一0 ( h o + ) ，其中b l ) = u e “ j z 。( t ) l n 1 ) 从而由定理1 3 得 到 h l 。i m o + a ( b 1 ( 矗) ) = a ( b 1 0 ) ) 2m ( t ) ( 3 - 1 9 ) 由( 3 一1 6 ) 一( 3 1 9 ) 式及( e h ) 得，d m + ( t ) l ，i r a 。+ o ( b ：弧) ) l 。i m 。+ g ( o c ( b l ( h ) ) ) 一 9 ( m ( t ) ) 9 ( m ( t ) + 4 e ( 丁一t o ) ) g ( m + ( ) + 孤，k = 1 ，2 ，其中m = g ( 4 s k ( t t o ) ) 一 0 ，( k o 。) 又因为m 4 ( ) = o ( d ( 亡0 ) i n 1 ) ) = d ( 6 ) ) = 0 讯由定理1 6 ，得 到m + r k ( t ) ( 巩n 这里“( ) 是初值问题 2g ( t , u ( 。) ) + 讯( 3 - 2 0 ) iu ( t o ) = 吼 在区间j 上的最大解由( 凰) ，初值问题 刊o ，训幻) ( 3 - 2 1 ) iu ( t o ) = 0 在j 上只有零解所以由定理1 6 ，得到n ( t ) 一致收敛于u ( t ) 一0 从而f f l ( 3 - 1 6 ) 式可 得m ( t ) = 0 ，于是由定理14 知对f ， 。) 是驴中的相对紧集于是存在子列 z 。) 在， 上一致收敛于某z c i ，f 由( 3 - 3 ) 式，有 d ( z 。( t ) ，z o + ，( z 。( 5 ) ) d s ) 2 e 。( t t o ) ，t ， ( 3 - 2 2 ) j t o 由于 d ( f ( x 。( s ) ) ，( z ( s ) ) ) 2 m ，v s ，d ( f ( x 。( s ) ) ，( z ( s ) ) ) + 0 1 3 3 紧型条件下模糊微分方程在闭集上的解的存在性 根据l e b e s g u e 有界收敛定理，得 d ( ，( z 。( s ) ) d s l ，( 。( s ) ) d s ) d ( f ( x 。( s ) ) ，( 。( s ) ) ) d s + 0 ，k o o ( 3 - 2 3 ) 于是由( 3 - 2 2 ) ，( 3 - 2 3 ) 两式，即得z ( ) = x o + f ( x ( s ) ) d s ，v t i ，所以z c 1 ，f 】且是初 值问题( 3 1 ) 在，上属于f 的解 推论3 1 设f 是( e ”，d ) 的有界闭凸集，f e 【f ，e ”】，印f d ( ，( 。) ，o ) m ，f 1 且存在常数工 0 ，使0 ，( b ) ) l a ( b ) ，v bcf 又设0 骢 。i n 。fd ( z o + h f ( t o ，z o ) ，2 ) = o ，v x f ，则对任意的t t o ，初值问题( 1 ) 在，上必具有属于f 的 解z c 1 【j ，f 证明 在定理3 1 中，令g ( u ) = l u e p 得 下面我们将利用另外的方法重新讨论问题( 3 - 虑c a u c h y 问题 篡掣 1 ) 设f ：t w e ”连续，考 ( 3 2 4 ) 这里e ”是模糊数空间，w c e ”，。o w 我们列出将要用到的一些条件： ( h 1 ) x o f 存在fcb ( x o ，6 ) ，这m b ( z o ，b ) = 。e “：d ( x ，z o ) 6 ) ； ( h 2 ) f e l t o ，t o + o f je n 】，d ( ，( 。) ，6 ) m ，v x f ； ( 巩) ，粤巴 ! 酷d ( + h f ( t o ，x o ) ，z ) = o ，v x f ； ( h 4 ) 9 ： t o ，t o + a 】 0 ，3 h i r + 连续，g ( t ，0 ) = 0 ，9 ( t ，n ) 递增且9 ( t ，u l + “2 ) 9 ( t ，u 1 ) + 9 “2 ) ，并且初值问题 掣 p z s ， 在 t o ，明上只有零解； ( h s ) g ： 0 ，3 h i 一醒+ 连续，g ( o ) = 0 ，9 ( u ) 递增r g ( u 1 + 2 ) g ( “1 ) + g ( u 2 ) ，并且初值问题 2g()(3-26) iu ( t o ) = 0 在p o ，t 上只有零解； ( 风) o u ，( ，s ) ) 9 ( t ，n ( j ( s ) ) ) ，v scf ，这里o ( ) 表示非紧性测度； ( h 7 ) a ( j f ( t ，s ) ) g ( a 0 ( s ) ) ) ，v scf ； ( i - i s ) a 0 ，( 陋o ，t o + o 】) s ) 茎9 ( d 0 ( s ) ) ) ，v scf 3 紧型条件下模糊微分方程在闭集上的解的存在性 引理3 2 1 1 】设( e “，d ) 是模糊数空间，f 是( p ，d ) 中的非空凸闭子集，且条 件( 日1 ) ，( 凰) ，( 凰) 满足，对任意的e 0 ，假定0 e 。 e n + l ，e 。一0 于是，对 任意的n ，初值问题( 3 2 4 ) 具有岛一近似解z 。c t o ，t o + o 】，f 】，这里o = m i n a ，i 是) 满 足下述条件：存在序列 尊：皤 圩 卵 ) ，使得 ( 1 ) 增= t o ，学+ t o + a ( i ，。) ，蟹一t 0 1 。，( i = 1 ，2 ，) ； ( 2 ) x n ( t 3 ) = x o ，d ( x 。0 ) ，x n ( s ) ) m + e l t s l ，v t ，8 t o ，t o + o 。l ； ( 3 ) z 。( t 翌1 ) f i 且对t p 0 1 ，t 到，有z 。( t ) = 堡鼍兰；：垒止。一t 5 1 ) + z 。( t 0 1 ) ，o = 1 ，2 ，) ； ( 4 ) d ( 翌笔甚斋譬生，( t 0 1 12 j n ( t 卫1 ) ) ) ，o = 1 ，2 ，) ； ( 5 ) ( t ，y ) 【t 。9 1 ，t n 】f ) d ( y ，z ( t 5 1 ) ) ( m + ) ( 譬) 一z 。( t ，n 1 ) = d ( f ( t ，) ，( 啦! ，x ( t 5 1 ) ) 。，( i = l ，2 ，) 定理3 2 设e ”为模糊数空间，f 是( 驴，d ) 中的非空凸闭子集，且条 件( 且) ，( 如) ，( 9 3 ) ，( f ) ，( h 4 满足，并且，在i t o ，t o + o 】f j = 一致连续，则初值问 题( 1 ) 在j = ，t o + o 上必有属于f 的解z c i j ，f 】，其中o n 墨n ，0 0 ，对t 【t o ，t o + o ，t h 【t o ，t o4 - a s 】，有 抄一州卜蚓纠 巡生掣脸1 ) ) 纠础：( 驯刮b ：( 驯， 其中 = i h ，t 】，口，( ) = u t e “d 蠡( f ) i n 1 ) ，于是 d m 4 ( 。) 拦孚o ( b ：( ) ) ，t ，t o + o ( 3 - 3 1 ) a ( b ：( 厶) ) = q ( u t e “d 如( 圳n 1 ) ) = o t ( u t e l 。f j ，( # ，z 。( t ) ) f n 1 ) ) = q 0 ，( i k ，日i ( 厶) ) ，( 3 - 3 2 ) 其中d 一表示d i n i 导数，b l ( i k ) = u 州。 j x 。( t ) l n 1 ) 由 z 。) 的等度连续性以及，的一 致连续性，知h a m d o r 躐离略，( b 1 限) ) ) ，j f ( t ，b 1 ( ) ) 一o 一o - ) ，其中b 。佤) = u t “d z 。( t ) l n 1 ) 从而由定理1 3 ( 5 ) 得到 a ( j f ( i k ，b - ( ) ) ) 一c r ( j f ( t ，b ( t ) ) ) ( 3 - 3 3 ) 由( 3 - 3 1 ) ( 3 - 3 2 ) ( 3 3 3 ) 式及( f 珞) 得， d m + ( t ) a ( j f ( t ，b l ( t ) ) 9 ( t ，o d ( 口1 ( t ) ) ) ) = g ( t ，m ( t ) ) ( 3 - 3 4 ) 再由( 3 - 3 0 ) 式及条件( 风) ，得 d m + ( t ) sa ( t ，m ( ) ) 9 ( ，m + ( ) + 4 “o ) 9 ( t ，m + ( t ) ) + 9 ( t ，拈 n ) = 9 ( t ，m 4 ( t ) ) + 讯， 其中仉= a ( t ，4 “o ) 一0 ，( 女一o o ) 又因为m + ( t o ) = “( j ( 如) i n 1 ) ) = ( d 6 ) ) = os m 由定理1 7 ，得到m + ( t ) ( v 【t o ，t o + n 】) 这里n ( t ) 是初值问题 ju ( 亡) = 9 ( 亡，“( ) ) + 町k lu ( 如) = 讯 在区f 司 t o ，t o + 】上的最大解由( 盈) 及由定理1 6 ，得到住( o ) 一致收敛于( 茚= o 从 而由( 3 3 0 ) 式可得m ( ) = 0 ，于是由定理1 4 知 z 。) 是驴中的相对紧集于是存在子 列 z 。 在t o + n 1 上一致收敛于某z g ，t o - 4 - 一 ，f 】由( 3 2 7 ) 式，有 d ( 礓( ) ，2 2 0 + ，( s ，z 。；( s ) ) d s ) 2 e k ( t t o ) ，v t t o ，t o + n ( 3 - 3 5 ) 由于 d ( f ( x n 。( s ) ) ， ( s ) ) ) 2 m ，v s f t o ，t o + 】，d ( f ( x 。( 8 ) ) ，( 。( s ) ) ) + o ，y s t 。，t 。+ 】 1 7 l ! 茎翌查丛王堡塑丝坌查堡垄旦墨圭塑壁塑壹垄竺 根据l e b e s g i l e 有界收敛定理，得 。( 。f ：，( s ，z 。( s ) ) d s ，。f ：，( s ，。( s ) ) d s ) ， 茎d ( f ( s ，z 。( s ) ) ，( s ，z ( s ) ) ) d s - o 一c o ) ，( 3 - 3 6 ) j 如 于是由( 3 - 3 5 ) ，( 3 3 6 ) 两式，即得z ( ) = x o + 丘f ( s ，x ( s ) ) d s ，v t i ，所以z c 1 ，t o + n ，f 】且是初值问题( 孓2 4 ) 在，t o4 - n 】上属于f 的解 最后，因为o = m i