（基础数学专业论文）关于半开集及n0sn度量空间的一些结果.pdf

关知 成果 助的 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文的研究内容； 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 日荀时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文作者签名：王中互 导师签名：葡殇燕 z p l 啤月2 e t 关于半开集及k 。一s 捍一度量空间的一些结果 摘要 本文主要讨论一类半开集及广义度量空间，由三部分组成，第一部分通 过半开集建立了半可数仿紧空间，作为可数仿紧空间的推广，给出了它的 一些等价刻画，并讨论了它的积空间，拓扑和，最后给出了它和可数紧空 间的联系。第二部分本文通过对半开集和人集的研究，得到了e 。集，建立 了拓扑空间( x ，e 。( x ) ) ，讨论了它和m 空间的联系。构造了e 。连续映射，讨 论了e 。集的相关性质，并说明了e ；集和半开集之间的联系。同时本文还建 立了e ，紧和e 。仿紧空间，得到了e 。紧空间的遗传性，最后，本文讨论了e ，连 续映射和e 。仿紧空间之间的联系，通过对e 。集的研究也丰富了广义开集的 研究。第三部分对k 。一册一度量空间做了进一步研究，得到了它和度量空间 的联系。“ 第一部分主要结果有： 结果i( 定理1 2 3 ) ：设x 为拓扑空间，y 为半可数仿紧，厂为x 到y 上 的拟完备映射，则x 为半可数仿紧空间。 结果2 ( 定理1 2 5 ) ：设x 为半可数仿紧空间，当其为瓦的s 闭空间时， 它是可数紧空间。 第二部分的主要结果有： 结果1 ( 定理2 1 3 ) ：假设在拓扑空间( x ，t ) ，对v a r ，以为x 中的e 。集， 则u 以和n4 均为e 。集。 口e la e i 结果2 ( 定理2 2 1 ) ： 设厂：( x ，r ) j ( 】，仃) 是x 到】，上的e ，映射。且砂y ， 对于x 中的任一个包含厂1 ( y ) 的子集u ，有x u 为e 。集，则y 中存在一个含 y 的子集矿，使得】，一y 是e 。集，且厂1 ( 矿) cu 。 结果3 ( 定理2 2 4 ) ：设】，为e ，仿紧空间，若厂为xnr _ k 的e 。连续映射， 并且满足下述两个条件：， ( 1 ) 对= y - r yey ，若为x 中的任一覆盖广1 ( y ) 的e 。集族，则x 中存在 一个加细的e ，子集族7 ，且覆盖厂1 ( y ) ，其中7 可表示为可数个e 。 局部有限集族的并。 ( 2 ) 为x 到r _ k 的e ：保持映射。 则x 为e 。仿紧空间。 第三部分的主要结果有： 结果1 ( 定理3 2 1 ) ：正则空间z 为k 。一册度量空间，当且仅当x 为度量空 间的可数到，脚c 序列商像。 关键词：半开集半可数仿紧空间 e ；集e ，仿紧空间k 。一册一网 t h i s i n t r o d u c e st h en e wn o t i o no fs e m i c o u n t a b l ep a r a c o m p a c ts p a c e sa n do b t a i n e d s o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so fs e m i c o u n t a b l e p a r a c o m p a c ts p a c e s ，s u c h a s h e r e d i t a r yp r o p e r t y , p r o d u c ts p a c e s ，t o p o l o g i c a ls u m s d i s c u s s i o n sa r ea l s oo n r e l a t i o sb e t w e e nc o u n t a b l ec o m p a c ts p a c e sa n ds e m i c o u n t a b l ep a r a c o m p a c t s p a c e s t h es e c o n dp a r td i s c u s s e st h en o t i o no fe ，- s e t s i nt o p o l o g i c a ls p a c e s a n du s et h e mt od e f i n et h e e 。- c o n t i n u o u sf u n c t i o n sa n de ，- c o m p a c ts p a c e s ， e 。一p a r c o m p a c ts p a c e s s o m ep r o p e r t i e s a r eo b t a i n e do n h e r e d i t a r i l y o f e ，- s p a c e s ，t h er e l a t i o nb e t w e e nm s p a c ea n dt h et o p o l o g y i c a ls p a c e ( x ，e 5 ( x ) ) t h i sp a p e ra l s od i s c u s s e st h er e l a t i o nb e t w e e nt h ee ，一s e t sa n ds e m i - o p e ns e t s t h et h i r d p a r t i st h es t u d yo fk o 一册一m e t r i c s p a c e t o g i v e s o m en e w c h a r a c t e r i z a t o n s m a i nr e s u l t si nt h ef i r s tp a r ta r e ： r e s u l t 1 ( t h e o r e m1 2 3 ) ：l e t xb eat o p o l o g i c a l s p a c e ，y b ea s e m i c o u n t a b l e p a r a c o m p a c ts p a c e ，s u p p o s ef ：x 一】，i s a q u a s i - p e r f e c t f u n c t i o nf u n c t i o n t h e nxi sas e m i - c o u n t a b l ep a r a c o m p a c ts p a c e s r e s u l t2 ( t h e o r e m1 2 5 ) ：l e txb eas e m i - c o u n t a b l ep a r a c o m p a c ts p a c e i f xi sa 互 m a i nr e s r e s u l t1 u 以a r ea l s oe ，一s e t s a e f r e s u l t2 ( t h e o r e m2 2 1 ) ：l e t f ：( x ，丁) j ( 】，仃) b e e 。f u n c t i o n ，a n dv y y ， u 2 2 ) f 一1 ( y ) ，y u b ea n e ，一s e t ，t h e n 3 vs u c ht h a t y v ， y - vi sa n e 。一s e t a n df 。1 ( y ) c u r e s u l t3 ( t h e o r e m2 2 4 ) ：l e tf ：( x ，t ) 专( y ，仃) t ob ee 。一c o n t i n u o u s ，yi s e ，p a r c o m p a c ta n d m e e tt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( 1 ) f o rv y 】，i saf a m i l yo fe ，一s e t sc o v e r i n gf 一( y ) ，t h e nt h e r ei sai sa f a m i l y o fe 。一s e t si nx ，t h a tr e f i n e s ，a n d 7 i st h eu n i o no fc o u n t a b l e f a m i l yo fe ，一l o c a l l yf i n i t es e t s ( 2 ) l e tf ：( x ，t ) 寸( y ，仃) b ee ：f u n c t i o n m a i nr e s u l ti nt h et h i r dp a r ti s r e s u l t1 ( t h e o r e m3 2 1 ) ：t h exi sak o - - s m e t r i cs p a c ei se q u i v a l e n tt o xi sas e q u e n t i a l l yq u o t i e n t ，c o u n t a b l e ，t o o n ea n dm s s ci m a g eo fam e t r i c s p a c e k e y w o r d s ：s e m i o p e ns e t ；s e m i c o u n t a b l ep a r a c o m p a c ts p a c e ；e 。- s e t ； e ，一p a r c o m p a c ts p a c e ；- s n - n e t w o r k 引言 第一章半开集的一些性质3 1 1 半开集3 1 2 半可数仿紧空间5 第二章e ，集和e ，映射8 2 1 e ，集8 2 2 e ，映射和e 。仿紧空间1 1 第三章k 。一s n 一度量空间的一些结果1 6 3 1 主要定义1 6 3 2 主要结果18 参考文献2 2 致谢2 5 攻读学位期间发表论文情况2 6 广西大掌硕士学位论文 一般拓扑学是研究其他拓扑学的基础，国内外均有许多学者参与这一研究工作，他 们的研究工作极大地推动了一般拓扑学的发展，在研究中也产生了很多新的问题，从而 使许多学者考虑创造新的思路来解决问题，拓广研究领域以求进一步的发展。 半开集是1 9 6 3 年n o r m a nl e v i n e 1 弓l 进的，作为开集的推广，它为一般拓扑学的研 究注入了新鲜的血液。围绕着半开集这一新课题，许多学者提出了的新的研究方向，也 产生了丰富的成果，极大地拓广了一般拓扑学的研究领域。下面简要介绍国内外学者在 这一方面的研究状况。王国俊在【2 】中建立了半拓扑空间这一新概念研究了它的基本性 质；恽自求在【3 】中对闭空间，近似紧空间，s 闭空间与u 闭空间做了进一步的研究， 得到了它们之间的联系：杨乐成在【4 】中引入了新的概念：邻域子空间及局部邻域紧空间， 并对它们进行了讨论，得到了一些研究成果，如半拓扑空间的闭图像；杨忠强和杨乐成 在【5 中对半同胚空间类进行了深入的研究，得到了半同胚空间类中存在最弱拓扑的充要 条件，并阐释了最弱拓扑的结构；李厚源在【6 】中引入了半边界这一新概念并对半拓扑的 子集做了进一步的研究，得到了一些新的性质：十集定理，文中还讨论了半开集在子空 间，乘积空间，商空间中的性质；t h o m p s o n ，t 在 7 】中利用半开集这一概念构造了s 闭 空间，并讨论了s 闭空间的遗传性，乘积空间等性质，另外另外王国俊在【8 】- 【9 】及其他 文献( 如 1 0 】一 1 5 】) 对s 闭空间做了研究，取得了许多有意义的结果；z a h i d 在 1 6 】中引 进仿h 闭空间这一概念作为对作为日闭空间的推广，并研究了它的一些基本性质。 s n m a h e s h w a r i 和r p r a s a d 在 1 7 q p 乖l j 用半开集构造了半互空间，半正空间，半正则 空间这些新概念，研究了它们之间的联系：半正则空间j 半正空间j 半正空间；h a n n a 和d o r s e t t 在 1 8 】中构造了半紧空间，且研究了它的遗传性，可积性等基本性质，且讨论 了它和紧空间之间的联系；m c a l d a s ，s j a f a r i ，t n o i r i 在【1 9 】中利用不定映射对半紧空 间进行了研究，得到了一些重要结论；k ya l z o u b i 在 2 0 中构造了半仿紧空间，并对 它的遗传性，积空间，拓扑和等基本性质作了研究，还得到了它和紧空间的联系。 同时，许多广义开集也相继出现，像a 开集 2 1 1 ，卢开集【2 2 】，p r e o p e n 开集 2 3 】，6 开集 2 4 】等，通过对它们的研究既丰富了半拓扑空间，也为拓扑学的应用做出了贡献( 见 文献【2 5 】，【2 6 ，【2 7 】) ，从而极大的推动了一般拓扑学的发展。 通过上面的叙述，我们可以看到国内外的许多学者围绕半开集这一新的概念，展开 广西大学司n b 掌位论文 关于半开集及k 。一s t 一度量空间的一些结果 了系统而且有效的研究，并取得了丰富的成果。从半开集的构造，到到半拓扑空间，半 紧空间，半仿紧空间的成立，再到一系列相关映射的出现，内容不断丰富。这些新的研 究成果的出现也使得拓扑学的研究越来越丰富。 本文以半开集为基础，构造了半可数仿紧空间，给出它的等价刻画，讨论它的一些 基本性质：积空间，拓扑和，另外还将得出它和可数紧空间，可数仿紧空间，s 闭空间 等空间的联系。同时还构造了e 。集，并以此集合为基础，构造e 。拓扑空间，e 。紧空间， e 。仿紧空间，讨论它们的基本性质，并构造e 。映射，讨论它们在这映射下像的性质。 最后本文还对k 。一册一度量空间做了进一步的研究，得到了它和度量空间之间的联系。 本文约定：记彳。表示集合a 的内部，表示自然数。 2 关于半开集及k 。一册一度量空间的一些结果 第一章半开集的一些性质 覆盖性质是一般拓扑学的主要研究课题之一，本节通过讨论一些半开集的性质并建 立了半可数仿紧空间，作为可数仿紧空间的推广，给出了它的一些等价刻画，并讨论了 它的积空间，拓扑和，最后给出了它和可数紧空间的联系。 1 1 半开集 定义1 1 1 t 捌设u 为拓扑空间x 的子集，若存在开集y 满足：vcucv 则称u 为 半开集。 半开集的余集为半闭集，在本章中，拓扑空间( x ，丁) 所有的半开集( 半闭集) 记为 s o ( x ，t ) ( s c ( x ，丁) ) 。对于任一子集么，v x x ，u 为x 中任一个含x 的半开集，如果 a n u o ，则x 为a 的半聚点。集合么的所有半聚点称为彳的半闭包，简记为s c t ( a ) 。 注记若子集u 为开集，v 为半开集，则u n 矿为x 中的半开集。 引理1 1 1 网i 发a o ( a r ) 为( z ，丁) 中的半开集，则旦以仍为( z ，丁) 中的半开集。 定理1 1 1 设彳为拓扑空间( x ，丁) 任一子集，则下式成立： s c t ( a ) = n fs c ( x ，丁) ：么cf ) 证明：设：觇s c t ( a ) ，如果了c s c ( x ，t ) ，使得acc 且z 萑c ，则工x c ， l x - f o 是半开集。但( x - f o ) n a = o 。所以x 仨s c t ( a ) ，矛盾。 对于坛n f s c ( x ，丁) ：么cf ) ，如果x 仨s c t ( a ) ，则j 玑s o ( x ，丁) ，使得x q 且un 彳= o ，从而么cx - u 。但是x 萑x u ，所以x 叠n ，s c ( x ，丁) ：么cf ，其 中x 一致是半闭集，矛盾。 综上所述，结论成立。 定理1 1 2 对于拓扑空间( x ，丁) 任两个子集彳和b ，有下面式子成立： ( 1 ) ac s c t ( a ) ( 2 ) 如果acb 则s c t ( a ) cs c i ( b ) 3 广西大学硕士学位论文 关于半开秦及k 。一s ，2 一度量空间的一些结果 证明：( 1 ) 司由概念直接得到。 下面证明( 2 ) ：对地s c t ( a ) ，如果3 f o 为半闭集，且e3b ，但x 诺v o ，由于彳cb ， 则y o3 8 3 a ，因此x g s c l ( a ) ，矛盾。从而命题成立。 定理1 1 3 对于拓扑空间( x ，t ) 任两个子集彳和b ，如果满足彳n 召= an b ，则半闭 包运算满足k u r a t o w s k i 闭包公理。 证明：s c t ( a ) u s c t ( b ) c s c l ( a u b ) 明显成立。对于v x s c t ( a u b ) ，但是 x 诺s c t ( a ) 和x 仨s c l ( b ) ，则存在玑和圪均为含x 的半开集，且玑n 彳= g ，圪n a = a 。 由于虬和圪是半开集，则存在c 和d 均为开集，且满足cc 圪cc ，dcu cd 。由已 知条件有d n cc 玑n 圪cd n c = d n c ，从而玑n 圪为含x 的半开集。且满足下面的 式子：( 玑n v d n ( aub ) = a ，即x 诺s c i ( aub ) ，矛盾。贝j js c i ( a ) u s c i ( b ) = s c i ( aub ) 。 由定义知：s c t ( a ) cs c t ( s c t ( a ) ) 。下证：s c t ( a ) 3s c t ( s c l ( a ) ) ，v x s c i ( s c t ( a ) ) ， 若x 诺s c t ( a ) ，则存在吸为含x 的半开集，且吸na = f 2 j ，则x 一暇是包含a 的半闭集。 由s c t ( a ) 的定义有x 一彬3s c t ( a ) 成立。从而由s c l ( s c t ( a ) ) 的定义可知 x 一呢3s c l ( s c l ( a ) ) ，但x 叠x 一吼，则x 正s c t ( s c l ( a ) ) ，与x s c t ( s c i ( a ) ) 矛盾，所 以s c l ( a ) = s c t ( s c t ( a ) ) 。 s c t ( g ) = a 和acs c t ( a ) 可以直接由概念得到。 综上所述，定理成立。 4 关于半开集及k 。一s 疗一度量空间的一些结果 1 2 半可数仿紧空间 定义1 2 1 空间称x 为半可数仿紧空间，如果空间x 的每一个可数开覆盖具有局 部有限的半开加细覆盖。 定义1 2 2 t 7 】空间x 称为s 闭的，如果x 的每一由半开集构成的覆盖具有有限子 族使得x = u ：v ) 。 定义1 2 3 t 3 5 】空间x 称为局部s 闭的，如果x 的每一点都有s 闭的开邻域。 显然s 闭空间是局部s 闭空间。 定义1 2 4 1 3 5 1 空间x 称为极不连通的，如果u 为x 中的任一个开集，, 贝t j u 仍为开集。 弓l t l l 2 1 3 5 1 互的局部s 闭空间是极不连通的。 引理1 2 2 t 3 5 1 如果x 为极不连通空间，u 为x 中的任一个半开集，则u 的半闭包等 于u 的闭包。 定理1 2 1 设( x ，t ) 为拓扑空间，则下列条件等价 ( 1 ) x 为半可数仿紧空间。 ( 2 ) 若西= 耳) 删是x 的一个可数开覆盖，则x 中存在局部有限的可数半开覆盖 口) 旭，使口ce 。 。 ( 3 ) 若 4 ) 洲为x 的递增的开覆盖，则x 中存在的半闭集序列 g ) 旭，使ec a , ， 且u f e g 。= x 。 ( 4 ) 若 骂 拒是x 的递减闭集序列且哆2 。，则存在半开集序列 形) 洲，满足： 形c 骂，n 形，= f 2 j 。 ，e 证明： ( 1 ) j ( 2 ) ：设= e 洲为x 的可数开覆盖，则存在局部有限半开加细覆盖西对 vde 7 ，选定一个正整数f ( d ) 使dc q ( d ) ，令口= u d ：de ，f ( d ) = ， ， 口 旭仍 局部有限且加细，口cq ，由引理1 1 1 6 1 知口仍为半开集。 ( 2 ) j ( 1 ) 明显成立。 广西大学硕士学位论文 关于半开集及k 。一册一度量空间的一些结果 ( 2 ) j ( 3 ) ：设 4 ) 拒为x 的递增开覆盖，则x 中存在局部有限半开覆盖 e ) 删，满 足ec4 ，令c ，= x u 哆，则q 为半闭集，且g c u 哆。因为u 哆cu 4 = 4 ，所以 j 铽j gj gj g e c 4 。因为 e ) 洲是局部有限的，对v x x ，了q 为x 的邻域，虬仅被 骂 洲中有 限个元素包含，设为 & ) 。取i d = m a x ) ，则以c 气，从而有些c o = x 。 ( 3 ) 营( 4 ) ：由d e m o r g a n 公式可得。 下证( 3 ) j ( 2 ) ：设= 皿) 删为x 的可数开覆盖，令m = u q ，则 m ) 旭为x 鲥 的一个递增开覆盖，存在半闭集序列 c ) 删满足：e c m ，且，翳q = x 。令 口= q - u q3 骂一u q ，又因为局为开集，u q 为半闭集，由推论1 1 1 知口半开集， 1 4 - 1j 是x 的e ，覆盖，因为x 为e ，紧空间，所以有有 限子覆盖，设为 磁彬) u e ，( 彳) ) 。下证 形n u 彬n u ) = 巧) 是的子覆盖。 因为v x u 有x 仨e 。( 彳) ，则j 彬 彤形) ，使得x 形，则x 形n o = k 。由于 巧 k 形 ，所以u 是x 中e 。紧空间。 定理2 2 4 设】，为e ，仿紧空间，若厂为x 到y 上的e ，连续映射，并且满足下述两个 条件： 1 2 广西大学硕士掌位论文 关于半开集及k 。一s 刀一度量空间的一些结果 一一 ( 1 ) x f f 于v yey ，j l l 为x 中的任一覆盖厂1 ( y ) 的e ，集族，则x 中存在一个加细p ， 覆盖厂一1 ( y ) 的e ，子集族、，g v 可表示为可数个e 。局部有限集族的并。 ( 2 ) 映射：( x ，丁) 专( 】，仃) 为e ：保持映射。 则x 为e ，仿紧空间。 i s n ：设p 是x 的e ，覆盖，由条件( 1 ) 可知：x 寸v y ey , f ( y ) cx ，存在一个e ， 集族巧加细p 且覆盖厂一1 ( y ) ，且jv y , n ( 刀) ，使得v y2 ，竖、，y ，一是x 中e s 局部 有限集族令巧= u v ：ve v y ) ，则厂一1 ( y ) cv y 且0 + 是e ，集。由条件和推论2 2 1 知： 存在y 中的含y 的e 。子集，使得厂一1 ( ) c 巧，且 ，。y y ；jy 的e ，覆盖。因为】，是e ， 仿紧空间，则存在e ，局部有限e 。加细覆盖西= q 卢) 8 。口。由于f 是e 。连续映射，则 厂1 ( 绋) 。酣是x 的e ，覆盖。 对于v 卢eb ，我们选定蚱y ，使得绋c 下令h 加= 厂一( 绋) ny ：v v 即，0 ， gn ，= 总h 肌，h = 黛h ，对坛x ，j 卢b ，使得x 厂_ 1 ( 绋) ，又纬c ，则有 下式成立：f - ( q 卢) c f 一1 ( ) c 由于v 即= 譬v 彬，则3 f ，j 矿，彬，使得x y ， 从而x v l f 一1 ( 绋) 。2 z n nv f f 一1 ( 绋) h ，则h 是x 的加细的e 。覆盖。 下证h ，是个e ，局部有限集族。x r j g x e x ，y = 厂( x ) y 由于西= 纬 口韶是e ，局部 有限的，则存在只是一个】，q h 召- y 的e 。集，使得只仅与中有限个元相交。从而 厂( 只) 为x 中含x 的e ，集，且仅与厂一1 ( ) = 厂1 ( 绋) ：p b 中有限个元相交，不妨设 为 f - ( q a ) ，f 一1 ( ) 。由于j ( = 1 ，) 是e ，局部有限，则存在含x 的e ，集 q ，j ( ，= 1 ，) ，使得q 仅与中有限个元相交，设为勺个。则q 2g q ，j 为x 的e s 集 且仅与 矿 f 歹= 1 ，) 中有限个元相交，最多有善s ，个。从而厂1 ( g ) n g 为x 中 含x 的e ，集，且最多与h ，中_ 个元相交，所以h ，是个e 。局部有限集族。 ，d 广西大学硕士掌位论文 关于半开集及n 。一s 刀一度量空间的一些结果 令粤，= h 。，e = 盥，重。= 办一也筝：厅h 。) ，则z = u n e p n 。为加细h 的覆盖。由于 每个h ，是个e 。局部有限集族，所以粤是个e ，局部有限集族。) a # v x e x ，了吸为x 中 的含x 的e 。集，使得吸仅与h ，中有限个元相交。又由于 呢) ，。z 是x 的e 。覆盖，则同 理， 存在一个e ，局部有限加细集族k = c ) 时。设z = e 时， m = n e 。( x f ) ：c ce ，( x - f ) ，fek ) ，m = m ) 心，则m 是一个e 。集，则c cm ， 令x f = g 。 下证ece ，( g ) mce 。( g ) 成立。如果mce 。( g ) ，又因为c cm ，所以有 c ，ce 。( g ) 成 立。 如果有 c ，ce ，( g ) 成 立 ，则必有 e s ( g ) 3n e 。( x - f ) ：cce 。( x - f ) ，f k ) 成立，从而有mce ，( g ) ，所以命题成立。 因为c ，ce ，( g ) c fn ( x - n ，( g ) ) = g ，所以有下面的式子成立： mn ( x e 。( g ) ) = a 铮c fn ( x e 。( g ) ) = 囝。从而下面的式子也成立： mn ( x e ，( g ) ) o en ( x - e ，( g ) ) o ，并记此式为( 1 ) 式。 对于v c ，zj q j l l ，使得gcu ，令k = mnu 。又因为ec 鸠，则gc 形， 所以 k ) 心为x 的e 。覆盖且加细p 。下证 k 时是e ，局部有限的集族。对于坛x ， 存在为x 中含x 的e ，子集，最多与k 中有限个元相交，不妨设为 e ，e ) 。由定理 2 1 1 知x e 。( x f ) cf ，所以c 也仅与x - e 。( x - g ) ，x - e 。( x - e ) 相交。对 v f ，( i = 1 ，) ，由于k 加细 暇) 蒯，则可以从 取) ，。z 中选定一个包含f 元素 ( 扣1 r ) 。而仅与粤中有限个元相交，不妨设为 q ，c t 对于暖( 岷) ，且 职3e ，如果enc 彩，则n q o ，从而有c ， q ，c i 。所以当曩n g o 时，g 必为 q ，c ：毛) 中的一个元素，所以当( x - e ，( x 一只) ) n c f g 时，c 也是 q ，q ) 中的元素。由( 1 ) 式可知x - e ，( x f ) 最多与m 中的有限个元相交： m i ，峨。又因为kcm , ，则x - e ，( x e ) 也最多与 形 ，盯中有限个元相交： 1 4 广西大掌硕士学位论文 k 7 ，k 。从而c 最多与 k ) 心中有限个元相交：巧1 ，吃，k ，所以 k ) 旧是个e ，局 部有限的集族。 综上所述， k ) 旧为x 的e ，覆盖，e ，局部有限集族且加细j l l ，则定理得证。 推论2 3 2 设】，为e ，仿紧空间，为x n y 上的e ，连续映射，并且满足下述两个条 件： ( 1 ) y ，f - 1 ( y ) 为x 中的一个e ，- l i n d e l 6 f 子空间则x 为e 。仿紧空间。 ( 2 ) f 为x 到】，上的e ：保持映射。 则x 为e ，仿紧空间。 关于半开集及k 。一s 玎一度量空间的一些结果 第三章k 。一s t 一度量空间的一些结果 3 1 主要定义 定义3 1 i t 3 0 1 拓扑空间x 的子集族。称为x 的网络，如果对于每一x x 及包含x 的 领域u ，存在中的元素形，使得x wcu 。 定义3 1 2 t 3 0 1f ：xj 】，称为几乎开映射，如果对于每一y y ，存在x 厂1 ，对 x 的每一领域u ，使得f ( u ) 是y 的领域。 定义3 1 3 3 2 1 设c i ) 是空间x 的子集族，称为空间x 的k o - - $ g t - - 网，如果 = u 成( 刀) x e x ，丹n ) 满足下述条件： ( 1 ) 对任意的x x ，刀n ，展( 以) 是点x 的网络，对有限交封闭。 ( 2 ) 空间x 中的序列三收敛到x 仨l ，则存在序列l 的子序列l 及n ，使得对任 意的段( n o ) 成( n o ) ，都有三终于色( ) 。 定义3 1 4 m 1 空间x 称为k 。一s t - - 度量空间，如果空间x 有仃一局部有限的 k o - - s r 2 - - 网。 定义3 1 5 t 3 3 1f ：工专y 称为m s s c 映射，如果存在以x 为子空间的积空间兀五满 j e n 足：对任意的y y ，存在y 在】，中的开邻域列 巧 旭，使得每一d ( 只- 1 ( k ) ) 是墨的紧 子空间，且五为度量空间，那么厂称为可度量的分层强紧映射，简称为m s s c 映射。 定义3 1 6 m 1 f ：xj 】，称为序列商映射，如果对空间y 中的每一序列 ) 。及所 收敛的点y ，存在 蚝) 艇的子序列 ) 。及& 厂一1 ( ) ( 七) ，x 厂一1 ( y ) 使 以) 。； 收敛于x 。 定义3 1 7 t 3 0 】空间x 的子集族称为z 的甜一网，如果对彳的收敛序列子序列 l = z ) u 乙 he ( 乙jz ) 及开集u 三， 存在尸及三的子序列 三= 协u 气：f n ，使得三c pcu 。 1 6 广西大学硕士掌位 g e 文 关于半开集及k 。一s n 一度量空间的一些结果 定义3 1 8 m 1 ：x 专】，称为紧覆盖映射，如果对】，中的每一紧集k ，存在x 中的紧 集c 使得f ( c ) = k 。 1 7 广西大掌硕士学位论文 关于半开集及k 。一肌一度量空间的一些结果 3 2 主要结果 引理3 2 i t 3 1 1 对于正则空间x ，下述等价： ( 1 ) x 具有仃离散c s 一网。 ( 2 ) x 具有仃离散k 一网。 ( 3 ) x 具有仃局部有限酷。一网。 ( 4 ) x 是k 空间。 引理3 2 2 设是空间x 的k o - s n 一网，则是空间x 的c s 一网。 引理3 2 3 t 3 0 1 正则空间x 是k 一空间当且仅当x 有仃遗传闭包保持k 网及点可数 船网。 引理3 2 4 【3 0 1 正则空间x 可度量化当且仅当z 是第一可数的且具有仃一遗传闭包 保持k 一网。 引理3 2 5 t 3 2 1 在空间x 中，下述等价： ( 1 ) x 具有1 7 离散k o - - s , - - 网。 ( 2 ) x 为k o - - s t l 度量空间。 定理3 2 1 正则空间x 为k 。一s 刀度量空间，当且仅当x 为度量空间的可数到一 所脚序列商像。 证明：先证明充分性：设m 为度量空间，f ：m 专x 为可数到一聊鼬c 序列商映射， - f i y x 为k 。一肋度量空间。 因为m 为度量空间，厂为m s s c 映射，则存在 m 旭为度量空间族满足定义要求。对 v f ，m 具有盯局部有限基西，= u e ；，其中v , o ：是m 中的局部有限集族，且 雕c 卧对讯m ，州= m n ( n ，班删：蚴舭卢十口，= 删， a = 删u a ，贝, l ja 是m 的基。又对于垤x ，k 是x 在空间x 的领域，使得仍- 1 ( k ) 是m 1 3 广西大学硕士掌位论文 关于半开集及k 。一s n 一度量空间的一鉴结果 的紧子集。令以= n k ，则以仅与厂( 口：) 中有限个元相交，从而 ：) 是局部有限的， 所以 ) 是x 中的仃局部有限集族。 t i 正f ( a ) 是x 中的k 。一肌网。因为a 是x 中的盯局部有限集族，则对于m ， 令= 召：y 艿，b e a ) ，则是口中的可数子集族，不妨设其为单调递减的， s = b ，：i e n 令占= ：y m ，则艿为点可数集族。又厂是可数对一的，贝, u v xex ， 厂- 1 ( x ) = 矗：拧n ) ，取y ，( 力) = 厂( 瓯) ，则有厂( 口) = u y ，( 挖) ：x x ，t i e n ) 。x v x x ， u e 吃，则厂- 1 ( u ) 为m 中开集，吒ef - 1 ( u ) 。又为关于的网，则j & t ，使得 & cf - 1 ( u ) 。所以厂( & ) 厂( ) = y ，( 玎) ，x e f ( b , , ) cu ，则y ，( 咒) 为x 的网络，厂 ) 是有限交封闭且满足定义3 1 3 e 3 2 1 中的( 1 ) 。 设三为x 中收敛于x 的序列且x 诺三，因为厂为序列商映射，则存在f q ) 及三 的子序列s 及scm 使得厂( s ) = s ，且s 收敛于t 。对v i n ，e s x ，有s 终留 o ，s 0m jh 于氏，。因为厂( 气，) y ，f i f i 以f ( s ) = s 7 终留于厂( 氏，) ev ，因此3 1 3 m 1 中的( 2 ) 也满足，从而厂 ) 是k 。一s n 一网，且是仃局部有限的，这说明了x 为k o - - s n - - 度量空 间。 下面证明必要性：设x 为n 。一s 厅一度量空间，取x 中的一个仃离散的k o - - s t - - 闭网 ，由引理3 2 2 【3 2 1 知m 7 是闭甜网，由引理3 2 1 【3 3 1 知为仃局部有限的闭k 网，设 = u ：f 甩) ，x 叫c ；+ 。，且：= e ：a 4 是关于x 的有限交封闭的局部有 限闭集族。x f fv x x ，中含x 的元素共有可数个，x 在x 中的网可记为 c t - , en ， 不妨假设c i 西：成立，而且有q c q 。下可以令 = p = ( 口，) 飘4 ： c _ ：f 勘的网，巳。3 气且除了有限个成员外有c = c 凡 ， 赋予离散空间族 4 ：i en ) 的积拓扑所诱导的子拓扑，则是度量空间。由厂( p ) = 却 确定了从到x 上的映射厂。由于v x x ，7 中含x 的成员是可数的，v p = ，) ， 1 9 广西大掌硕士学位论文 关于半开集及k 。一册一度量空间的一些结果 f ( f 1 ) 2 旦c i2 x ，则厂是可数到一的映射，同时易证是连续映射。 对于v x x ，f n ， 3 v , ，杉仅与叫中有限个元相交， 即 e = 口4 ：c anv , a ) 是有限集，因l l tp j f 一1 ( 杉) c 马，所以i 而c 骂即i 而 是4 的紧子集，从而是m s s c 映射。 对于x 中的非空紧子集d ，及f n ，对坛d ，j 虬吃仅与：中有限元相交， 又 虬 ，。j 为d 的开覆盖，则有有限子覆盖 ，) ，且仅与：中有限个元相交： c 1 1 ，c l c ，l ，c 。雌，使得v f ，j ，c ，- ，n o a 。可以将，2 i n r 按从小到大的顺序排 列，不妨假设为：r 6 r r ，从而可以令：，。= c 1 1 ，c l ，x ) ：，一= c l c r ”x ) ， 0 2 。= c 2 ”l ，c 2 ，也，x ) ：，也= c 2 ，也，c ，也，x ) ：，= q m 。，c ，哗，x ) ( 尼，) ，则dc u ；，v ce ；。j ，c ad g 。 ：f f 丁v ne n ，由于哦c 西- + l ，所以：2 u a 如：，c ：，且 吣) 。是d 的有限覆盖。 因为d 是紧子集，所以弘ca ，4 为有限集， ：= 巴：a 4 ) 。令 欠2 i 卢= ，) 熙4 ：c a , o d 。，c 。1 1 - icc i ，c _ 为某点嘞的网 。 下证r 是1 1 4 的紧子集。 设，= ，) 1 - 旭1 4 一r ，由于，正尺，则j 屯，使得有q 。n o = 。成立，或j i d ， 使得有c a 钿岱c 之成立。则相应地可以令矽= 卢n4 ；：矾( 卢) = a 毛) 或者 形= 卢n 4 ：饩( p ) = 气，玩+ ，( 卢) = a 南+ ， ，从而有矿埤，wc 兀4 且形n 尺= a 。因 而r 为紧子集兀4 中的一个闭子集，则rc g l - i 4 中的一个紧子集。 为证明f 为紧覆盖映射，只需证( 尺) _ d ，- f i , j e f ( r ) cd 。 对于凡= 位) ，r ，由于d 是紧子集， c ：ie ) 为下降闭集族，贝j jd n ( ，q c 口。) 。， 所以j 勤d n ( 旭nc o ，) ，设 q 槲为咆在x 中的网。则有魄= x o 成立， 风，厂( 尾) = x o d ，从而厂俾) cd 。 广西大掌硕士掌位论文 关于半开集及k 。一s n 一度量空间的一些结果 卜证d c ( r ) 。 对于x d ，v n n ，中：= 仝：。，是d 的覆盖，所以可取乞，无刀，x c d l ，令 ，s 月 ” e = n g ，：f ，刀，x e ，；， ，由于中：关于有限交封闭，：c ：，g ：，因此 n - l 取a 。4 ，使得c = c 口。，且c 口卅ce 。令属= q 。) 由于 c ，；j ：f ，jen ，x g ， 是x 在x 中的网， e 。，是x 在x 中的网，从而届r ，f ( f l 。) = x ，则d c f ( r ) 。 j 开e 贝, l j f 为紧覆盖映射，所以为序列商映射。 由上面的证明容易得到下面的推论。 推论3 2 1 正则空间x 为k 。一册一度量空间，当且仅当x 为度量空间的可数到一 m s s c 紧覆盖像。 定理3 2 2 几乎开映