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摘要 随着世界经济全球化发展，科学技术的推动，客户关系管理( c r m ) 已经成为企业致胜的关键。任何功能层次的客户关系管理都是在客户 关系发展的基础上实现c r m 的理念和目标的。国内外对c r m 的研究 很多，但也还有不足之处。 1 、对c r m 的相关理论研究有很多，但对客户关系发展状态的研 究不多： 2 、关于c r m 研究的管理模型比较多，但对客户关系发展模型的 研究不多； 3 、对c r m 管理模型和客户关系发展模型的研究大多是采用定性 的方法，采用定量的方法不多； 4 、不少研究者用m a r k o v 链来描述客户关系发展问题，提出过很 多有价值的观点，但它们仅限于某些特殊的客户关系发展的情形，研 究的模型也是各种特殊模型。 5 、刻画客户关系发展变化时仅用m a r k o v 链的转移概率矩阵，因 而只涉及一些用平均值( 数学期望) 来描述的量，而较少用到描述 m a r k o v 链的随机变量，因而很难生动地刻画出客户关系的发展。 本文在c r m 的背景下，针对c r m 的研究现状，以管理客户关系 为目的，研究了c r m 中客户关系发展规律，旨在找出客户关系发展 的一般模型。企业可以借助一般模型对客户关系发展进行定量分析， 并有效的进行客户关系管理。 本文用m a r k o v 链建立客户关系发展的一般数学模型，并从 m a r k o v 链的转移矩阵和随机变量两种表现形式来进行研究。本文主 要结构如下： 第一，用m a r k o v 链的转移矩阵，建立了客户关系发展模型。该 模型对客户关系发展状态不加任何限制，因此是客户关系发展的最一 般模型。同时也建立了一个与关系状态密切相关的企业回报模型。然 后，在最一般模型下，对客户状态的一般转移作假设，建立了客户关 系发展的一般模型：非吸收态模型( 模型a ) 和吸收态模型( 模型b ) 。 第二，用m a r k o v 链的随机变量形式描述客户关系发展模型。定 义了客户生命周期随机变量和客户生命周期价值( c l v ) 随机变量， 给出了c l v 随机变量的计算公式，重点研究了c l v 随机变量的决定因 素。 第三，在连续时间情形下，对c l v 进行管理。对客户利润的分析 采用了定积分的几何表示，确定了客户生命周期时间里的几个特殊时 间点。采用了寿命函数中的威布尔函数分布确定动态客户保持率。 第四，探讨了以客户生命周期特殊时点为原则的客户分类。 关键词：m a r k o v 链；客户关系管理；客户关系发展模型；客户生命 周期随机变量；c l v 随机变量 i l a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fg l o b a l i z a t i o no fw o r l de c o n o m ya n d t h e p r o m o t i o n o fs c i e n c ea n d t e c h n o l o g y ，t h ec u s t o m e r r e l a t i o n s h i pm a n a g e m e n t ( c r m ) h a sb e c o m et h ek e yt ow i n n i n g a n y c u s t o m e rr e l a t i o n s h i pm a n a g e m e n tw i t hf u n c t i o n sa n d l e v e l s r e a l i z e st h ei d e a la n dg o a lo fc r mo nt h eb a s i so ft h ec u s t o m e r r e l a t i o n s h i pd e v e l o p m e n t t h e r ea r em a n ys t u d i e sa b r o a do n c r m 。b u tt h e r ei sa l s or o o mf o ri m p r o v e m e n t 1 m a n yt h e o r e t i c a ls t u d i e sr e l a t e dt oc r m ，b u t1 i t t l eo n t h es t a t eo fc u s t o m e rr e l a t i o n s h i pm a n a g e m e n t ； 2 m o r em a n a g e m e n tm o d e l so nt h er e s e a r c h e so fc r m ，b u t 1 i t t l eo nt h ec u s t o m e rr e l a t i o n s h i pm o d e lo fd e v e l o p m e n t ： 3 t h eq u a l i t a t i r er e s e a r c hm e t h o di sm o s t l yu s e di nt h e r e s e a r c hf o r t h em a n a g e m e n tm o d e lo f c r ma n dt h em o d eo f c u s t o m e rr e l a t i o n s h i pd e v e l o p m e n t ，1 i t t l eu s i n gq u a n t i t a t i v e m e t h o d ： 4 m a n yr e s e a r c h e r sd e s c r i b e dt h eq u e s t i o n so nc u s t o m e r r e l a t i o n s h i pd e v e l o p m e n tw i t ht h em a r k o vc h a i na n dh a dm a d e m a n yv a l u a b l ev i e w p o i n t s h o w e v e r ，t h e ya r ec o n f i n e dt oc e r t a i n s p e c i a lc a s e so ft h ec u s t o m e rr e l a t i o n s h i pd e v e l o p m e n t ，a n dt h e r e s e a r c hm o d e l sa r ev a r i o u ss p e c i a lo n e s ： 5 t h et r a n s i t i o np r o b a b i l i t ym a t r i xo ft h em a r k o vc h a i ni s u s e di nd e p i c t i n gt h ec h a n g e so fc u s t o m e rr e l a t i o n s h i p d e v e l o p m e n tm e r e l y ，t h u so n l yr e l a t e dt ot h ev o l u m ed e s c r i b e d b yt h ea v e r a g e ( m a t h se x p e c t a t i o n ) ，a n dt h er a n d o mv a r i a b l e s a r en o tu s e dt od e s c r i b et h em a r k o vc h a i n ，t h e r e f o r ed i f f i c u l t t ov i v i d l yd e s c r i b et h ed e v e l o p m e n to fc u s t o m e rr e l a t i o n s h i p i nt h eb a c k g r o u n do ft h ec r m ，a i m e da tr e s e a r c ho ft h ec r m a n dt h ep u r p o s eo fm a n a g i n gc u s t o m e rr e l a t i o n s h i p ，t h i sp a p e r h a ss t u d i e dt h er e g u l a r so fc u s t o m e rr e l a t i o n s h i pd e v e l o p m e n t i nt h ec r mf o rt h ep u r p o s eo fi d e n t i f y i n gt h eg e n e r a lm o d e lo f c u s t o m e rr e l a t i o n sd e v e l o p m e n t e n t e r p r i s e sc a nt a k ea d v a n t a g e o ft h eg e n e r a lm o d e lf o rq u a n t i t a t i v ea n a l y s i so fc u s t o m e r r e l a t i o n sa n de f f e c t i v em a n a g e m e n tf o rc u s t o m e rr e l a t i o n s h i p i i i i nt h i sp a p e r ，t h em a r k o vc h a i ni su s e dt ob u i i dt h eg e n e r a l m a t h e m a t i c a lm o d e lo fc u s t o m e rr e l a t i o n sa n di t i ss t u d i e db y t h et w of o r m so fe x p r e s s i o nw i t ht h et r a n s f e rm a t r i xa n d t h e r a n d o mv a r i a b l e s i ti ss t r u c t u r e da sf o l l o w s ： t h e f i r s t ，b u i l d i n gt h ed e v e l o p m e n t m o d eo fc u s t o m e r r e l a t i o n s h i pw i t ht h et r a n s f e rm a t r i xo fm a r k o vc h a i n t h e m o d e ld o e sn o t i m p o s ea n yr e s t r i c t i o n s t ot h es t a t eo f d e v e l o p m e n to fc u s t o m e rr e l a t i o n s h i p ，s oi ti st h em o s tg e n e r a l m o d e lo fc u s t o m e r r e l a t i o n s h i p m e a n w h il et h em o d e lo f e n t e r p r i s e si nr e t u r ni sa l s oe s t a b l i s h e dw h i c hc l o s e l yr e l a t e d t ot h es t a t eo fr e l a t i o n s h i p t h e n ，t h eg e n e r a la s s u m p t i o nf o r t h et r a n s f e ro fs t a t ec u s t o m e r s ，t h eg e n e r a lm o d e lo fc u s t o m e r r e l a t i o n s h i ph a sb e e n b u ii ti nt h em o s t g e n e r a l m o d e l ： n o n a b s o r b e ds t a t em o d e l ( m o d e la ) a n da b s o r p t i o ns t a t em o d e l ( m o d e lb ) t h es e c o n d ，d e s c r i b i n gt h em o d e lo fc u s t o m e rr e l a t i o n s h i p d e v e l o p m e n tw i t hm a r k o vc h a i ni nt h ef o r mo fr a n d o mv a r i a b l e s t h ea r t i c l eh a sd e f i n e dt h er a n d o mv a r i a b l e so fc u s t o m e r1 i f e c y c l ea n dt h er a n d o mv a r i a b l e so fc u s t o m e r1i f e t i m ev a l u e ( c l v ) ，a n dh a sg i v e nt h ec a l c u l a t i o nf o r m u l ao fc l vr a n d o m v a r i a b l e sa n dh a sf o c u s e do nt h ed e t e r m i n a n t so ft h ec l vr a n d o m v a r i a b l e s t h et h i r d ，t h em a n a g e m e n to ft h ec l vi nc o n t i n u o u s t i m e c i r c u m s t a n c e s a n a l y s i so ft h ep r o f i t st oc u s t o m e r sh a su s e d t h eg e o m e t r i ci n t e g r a la n dh a si d e n t i f i e daf e ws p e c i a lp o i n t i nt i m ei nt h ec u s t o m e r1 i f ec y c l e t h ef u n c t i o no ft h ew e i b u l l d i s t r i b u t i o nh a sb e e n u s e dt od e t e r m i n et h er e t e n t i o no f d y n a m i cc u s t o m e ri nt h e1 i f ef u n c t i o n t h ef o u r t h ，d i s c u s s i n gt h ec u s t o m e rc l a s s i f i c a t i o nt ot h e p r i n c i p l eo fd ef a c t os p e c i a lc u s t o m e r1 i f ec y c l e k e yw o r d s ： t h em o d e l v a r i a b l e s m a r k o vc h a i n ：c u s t o m e rr e l a t i o n s h i pm a n a g e m e n t ： o fc u s t o m e rr e l a t i o n s h i pd e v e l o p m e n t ：r a n d o m i nc u s t o m e r sl i f ec y c l e ：r a n d o mv a r i a b l e so nc l v i v 湖南师范大学高校硕士学位论文 学位论文原创性声明和版权使用授权书 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体 均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者虢寰屯乏 础年刚加日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：、鬓1 也乞 导师戤：鄙侗群 2 研占日期年f 1 月印日 日期年月 日 渺易。陟，沙2 ，。 用m a r k o v 链建立客户关系发展的一般模型 第一章绪论 1 。1 选题的背景和意义 1 选题的背景 随着市场竞争的加剧，争取和保留客户，对企业来说越来越重要， 谁拥有更多数量的客户，谁就占有竞争的主动权和优势。这是因为， 客户作为企业的一种重要资源，除了市场价值( 即客户购买企业的产 品或服务，使企业的价值得以实现) 外，还具有规模优势、品牌优势、 信息价值和网络化价值。所以，在市场竞争中，谁能与客户保持沟通， 把握客户的需要，并与客户建立牢固的关系，维持客户的忠诚，谁就 能获得竞争优势，立于不败之地。因此，企业在关注其内部产品的同 时，应越来越多地关注企业外部的客户关系。通过完善客户服务和深 入分析客户来建立良好的客户发展关系，正是客户关系管理 ( c u s t o m e rr e l a t i o n s h i pm a n a g e m e n t ，简称c r m ) 的核心思想【l 】。 c r m 产生于美国，起源于2 0 世纪8 0 年代初提出的“接触管理” 和“以客户为中心”的新型企业营销理念。它旨在通过完善的客户服 务和深入的客户分析来满足客户的特殊需求，特别是满足最有价值客 户的特殊需求，来建立和保持长期稳定的客户关系。c r m 从产生到现 在，一直处于争论与探讨之中。目前学术界对c r m 的争论，大致可以分 为三类2 1 ： 第一类，把c r m 看成是一种营销方式或营销理念。代表人物是 湖南师范大学高校硕士学伉论文 d o n p e p p e r s 、m a r t h a r o g e r s 和b o b d o r f t ”，他们将c r m 定义为“一对 一营销”，也称为“关系营销”【4 】。国内的一些观点，如杨琴认为c r m 是一种全新的营销理念，并认为一对一营销和数据库营销都可以纳入 c r m 营销的范畴吲；中央财经大学的孙国辉认为，c r m 是一种理念，也 是一种营销方式睁，。 第二类，把c r m 理解为一种企业客户接入的整合技术系统。例如 j o n a n t o n 认为：c r m 是公司内部和外部客户对公司重要信息的无缝 接入，它通过对公司电话系统、网站以及电子邮件接触点( t o u c h p o i n t ) 的整合，使客户通过自助服务就能实现重要产品购买的目的， 引导理性的增量销售和交叉销售，最终提高客户忠诚、客户价值和客 户利润率【7 】。这种观点强调c t i ( c o m p u t e rt e l e p h o ni n t e g r a t i o n ， 电脑电话集成) 和呼叫中心( c a l lc e n l r e ) 对c r m 的支撑作用。这一观 点得到了c r m 系统供应商的大力支持。 第三类，把c r m 定义为一种商业策略。比较有影响的当前权威的 c r m 专家d i c k l e e 认为：c r m 是一种以客户为中心的商业策略，可以促 成公司重要原则的变化，c r m 技术需要并可以支持工作流程重组 ( b u s i n e s sp r o e e sr e e n g i n e e r i n g ，简称b p r ) ，但b p r 不是c r m 技术 的结果【s 】。换句话说，为了在企业采纳c r m 技术，首先要改变企业商业 方法，并且重组企业原则，只有这时才可以制定购买和使用c r m 技术 的决策。 本文按第一类观点来理解c r m 。 c r m 作为一种新的营销理念，是在“关系营销”基础上发展而来 的。“关系营销”不同于传统的“交易营销( t r a n s a c t i o n a l 用m a r k o v 链建立客户关系发展的一般模犁 m a r k e t i n g ) ”，“关系营销”强调长期客户关系重要性，而“交易营 销”注重短期交易的行为和结果。企业的经营管理强调的是企业与客 户之间长期的合作关系而不是短期的交易行为。企业想在瞬息万变的 市场竞争中立于不败之地，就必须将企业的客户作为企业参与竞争的 核心资源，为客户服务，让客户满意，使新客户变成老客户，老客户 变成“黄金客户”。这是现代企业管理的中心任务。c r m 的概念本身 已体现其营销理念，即突出客户导向、强调客户关系、注重有效管理。 正因如此，c r m 正越来越成为企业界和学术界重点关注和研究的领域。 从企业的战略角度来看：c r m 理念是促成现代企业战略观形成的 思想基础，是企业在新的市场环境( 高度扰动的市场环境) 下，通过 对企业与客户关系的互动引导，识别、保留和发展价值客户，达到企 业最大化盈利目的的企业战略管理。c r m 作为一个企业战略，它借助 于先进的信息和网络技术，对企业内部资源和外部资源进行有效地整 合优化，使企业能全面观察其外部的客户资源。通过对客户信息的分 析和把握，细分客户，在充分了解客户具体需求的基础上，为客户提 供个性化的产品或服务。它以客户利益为出发点，以不断追求客户满 意、客户忠诚和为客户创造价值最大化作为最终目标。与客户建立长 期稳定的关系，不断提高企业的客户服务水平、满意度和忠诚度，从 而获得和保留更有价值的客户，给企业带来更多的效益。 c r m 不管是从关系营销还是从企业战略的角度来看，实质上是对 企业客户资产的增值管理。客户是企业的无形资产，新旧客户都是企 业珍贵的财富源泉，如何留住老客户、开拓新客户，是众多企业长久不 衰的课题。企业要实现自己的价值，就必须拥有一定规模的客户资产， 湖南师范大学高校硕士学位论文 即一定规模的客户。不过，企业在不断取得新客户的同时，总有一部 分客户因为需求变化或竞争者的吸引而象漏斗一样流失。尽管通过不 断争取新客户可以增加企业的客户量，但是企业开发一个新客户的成 本要大大高于维持一个老客户的成本。因此，为了努力增强客户的忠 诚度，提升客户价值，最终提高企业的销售额和利润，越来越多的企 业开始借鉴c r m 的思想，致力于构建良好的客户关系。 企业为了更有效地、更精确地管理c r m ，用数学方法建立模型并 进行研究是非常必要的。虽然许多作者对c r m 建立了一些特殊模型， 但c r m 的多样性迫切要求建立客户关系发展的一般模型。 本文正是产生于企业如何进行有效的客户关系发展管理这样一 个背景之下，从c r m 中客户关系状态发展入手，用m a r k o v 链来建立 客户关系发展模型。 2 选题的意义 经济的日益发展，使得企业面临的市场环境发生了巨大的变化， 在产品质量相当的情况下，市场正向着一个以客户为中心的经济时代 前进。传统的盈利模式和商业规则面临新的挑战。特别是信息技术的 发展和广泛采用，使得竞争的广度和强度都发生了巨大的变化，而这 些变化，促使企业的经营思想也要发生相应的转变。随着市场竞争的 日益加剧，客户已经越来越成熟，市场已经完成了由卖方市场向买方 市场的转型。企业越来越强烈地感觉到客户资源将是企业竞争中至关 重要的资源，客户才是企业生存发展的源泉，于是，把客户作为企业 的一项资产来经营。如何获得客户并且是有价值的客户，这就必须搞 好客户关系。客户关系不仅包括销售过程中发生的业务关系，而且包 用m a r k o v 链建立客户关系发展的一般模犁 括在企业营销过程及售后服务过程中发生的关系。对企业与客户可能 发生的各种关系进行全面管理，将会显著提升企业销售能力、降低销 售成本，控制销售过程中可能导致客户抱怨的各种行为，从而留住客 户，给企业带来可观的利润。客户关系是企业发展的本质要素，西方 研究证明，企业8 0 的利润是由2 0 的客户创造的【9 】，这意味着不 同的客户对企业有不同的价值。并且由于企业资源的有限性，企业不 可能为所有客户都提供令其满意的服务，这就导致企业在不断努力开 发新客户的同时，也不断地有老客户因为不满其服务而离开。企业开 发一个新客户成本是维系一个老客户成本4 5 倍，减少5 的客户 流失率就可增加6 0 8 0 的利润【i o 】。 企业能否维系住老客户尤其是优质客户，是决定企业赢利能力大 小的关键，也是企业核心竞争力的重要组成部分。因此企业怎样对客 户进行有效的客户关系管理，是企业急需解决的问题。由于企业划分 客户的原则各异，由于各种因素的作用，甚至是突发的因素，都会导 致客户关系有不同的可能的发展。因此，建立客户关系发展模型有重 要的现实意义。 1 2 客户关系管理的研究现状 迄今为止，c r m 的研究可谓数不胜数，但相关研究仍然十分零散， 往往立足于不同背景、从不同视角来探讨c r m 及其相关问题。对c r m 的研究可概括如下 1 q ： 最初，b e r r y 等人( 1 9 8 8 ，1 9 9 5 ) 把关系营销界定为“培养、维 5 湖南师范人学高校硕十学位论文 持和强化客户关系”，把营销战略重心从产品生命周期转向了顾客和 顾客关系生命周期。s t o r b a c k a 等人( 1 9 9 4 ) 立足于客户关系，认为 “关系营销就是通过建立、维持和增强与顾客和其他伙伴的关系，利 用相互之间的承诺与践诺来获取利润，以满足各方的利益要求”。后 来，s t o n e 等人( 1 9 9 6 ) 开发了由吸引、欢迎、熟悉、账户管理、特 别呵护、流失和赢返顾客组成的“关系阶段模型”，构造了忠诚一价 值矩阵。b o l t o n ( 1 9 9 8 ) 剖析了顾客满意与顾客关系的互动关系，论 证了顾客满意等客户关系的决定性影响。p e p p e r s 等人( 1 9 9 9 ) 探讨 了一对一营销问题，开发了基于顾客识别、细分、互动和定制的关系 管理模型。b o v e 和j o h n s o n ( 2 0 0 0 ) 分析了顾客与员工互动关系对顾 客忠诚的影响，d u m o n d ( 2 0 0 0 ) 探讨了顾客价值管理模型，p e p p a r d ( 2 0 0 0 ) 研究了金融服务中的c r m 问题，a b b o t t 等人( 2 0 0 1 ) 剖析了 数据驱动型c r m 战略，b e n d a p u d i 等人( 2 0 0 1 ) 深入剖析了如何避免 员工离职对顾客关系所产生的消极影响等。 不过，c h a b l o ( 2 0 0 0 ) 则倾向于从系统整合的角度界定c r m ，将 其视作“把所有与顾客接触的领域整合在一起的一套集成方法，并通 过人员、流程和技术的有效整合来实现”。类似地，i m h o f f ( 2 0 0 1 ) 等人也基于系统整合角度，但更强调对顾客接触的管理，并把c r m 界 定为“协调公司战略、组织结构、企业文化和顾客信息与技术之间的 关系的整合方法”。s a s 公司则把“c r m 界定为一个技术过程，是企 业最大程度地掌握与运用顾客信息来强化顾客忠诚和实现顾客挽留 的过程”。g r a h a m ( 2 0 0 1 ) 把c r m 视作企业处理经营业务与客户关系 的一种态度、倾向与价值观念。与此相对，s h a w ( 2 0 0 1 ) 则认为“c r m 用m a r k o v 链建立客户关系发展的一般模型 是一个互动过程，用于实现企业投入与顾客需求满足之间的最佳平 衡”。p a s s 和k u i j l e n ( 2 0 0 1 ) 论述了不同类型c r m ，如分析型c r m 、 合作型c r m 、电子商务型c r m 和作业型c r m ，并力图给出广为接受的、 更为综合的c r m 定义。c h r i s t o p h e r 等人( 2 0 0 2 ) 则强调关系管理实际 上是一种跨部门、基于流程的管理，并进而提出了囊括内部市场、推 荐者市场、影响者市场、员工市场、供应商市场和顾客市场的“六市 场”模型。最近，l e m o n 等人( 2 0 0 2 ) 把顾客的未来导向( 期望的未 来购买行为或预期后悔可能性) 纳入到客户关系管理的框架中来，强 调顾客对企业的潜在贡献。 综上所述，c r m 的研究大致可以分成两大阵营：一类是学术界和 实业界的探索；另一类则是以s a p 、s a s 和i b m 等为代表的c r m 方 案平台开发商。其中，前者关注的主要是顾客关系的有效管理与运用， 后者强调的是从技术角度来定义c r m ，将其视作一个过程，强调庞大 而完整的数据库( 或数据仓库) 和数据挖掘技术等高级支持技术，目 的是使企业能够最大化地掌握和利用顾客信息，增强顾客忠诚和实现 顾客的终生价值，并通过c r m 应用软件的形式加以实现。 对c r m 的研究已有了初步的了解后，我们发现c r m 要解决的核心 问题是客户关系发展问题。怎样对客户进行有效的客户关系管理，客 户关系发展模型正是帮助企业建立良好客户发展关系的有利指导工 具。 湖南师范大学高校硕士学位论文 1 3 相关研究存在的问题 通过对现有相关文献、著作及网站资料的查阅和分析，笔者认为 现有的研究有以下几点值得改进的问题： l 、关于c r m 的相关理论研究是数不胜数，而对客户关系发展的 状态变化的研究不多。 2 、关于侧重于以企业为主体的c r m 研究的管理模型比较多，而 对侧重于以客户为主体的客户关系发展模型的研究不多。 3 、对c r m 管理模型和客户关系发展模型的研究大多是采用定性 的方法( 如用均值、方差) ，采用定量的方法( 如用随机变量) 不多。 4 、不少研究者用m a r k o v ( 马尔可夫) 链来描述客户关系发展问 题，提出过很多有价值的观点，但它们仅限于某些特殊的客户关系发 展的情形。 5 、刻画客户关系发展变化时仅只用m a r k o v 链的转移概率矩阵， 因而只涉及一些用平均值来描述的量，而很少用到描述m a r k o v 链的 随机变量，因而很难生动地刻画出客户关系的发展。 这说明了客户关系发展的研究还很不完善。本文的研究目标就是 试图解决这些问题。 1 4 本文研究内容和框架 本文针对c r m 的研究现状和c r m 中客户关系发展规律，用概率 论中随机过程的m a r k o v 链建立客户关系发展的一般数学模型，并从 用m a r k o v 链建立客户关系发展的一般模犁 m a r k o v 链的转移矩阵和随机变量两种表现形式来进行研究。重点对 c t n 中客户关系发展模型的建立进行深入研究。对客户生命周期价值， 尤其是对客户生命周期价值起决定作用之一的客户利润加以了深入 研究和分析，本文的工作包括以下几个方面： 1 、m a r k o v 链理论简述。定义了有成本的m a r k o v 链和有回报的 m a r k o v 链。 2 、m a r k o v 链的客户关系发展模型的建立。为了研究方便，本文 首先对m a r k o v 链客户关系发展模型作了前提假设，建立了一个对客 户关系发展状态不加任何限制的客户关系发展最一般模型，同时，也 建立了一个与关系状态密切相关的企业回报模型。然后，在最一般模 型下，对客户状态一般转移作假设，建立了客户关系发展的一般模型： 非吸收态模型( 模型a ) 和吸收态模型( 模型b ) 。 3 、m a r k o v 链的客户关系发展模型的随机变量的描述。定义了客 户生命周期随机变量和客户生命周期价值随机变量，给出了客户生命 周期价值随机变量的计算公式，着重研究了客户生命周期价值随机变 量的决定因素。 4 、在连续时间情形下，对客户利润的分析采用了定积分的几何 表示。对客户生命周期时间的确定，定义了以“开始接触”为时间的 起始点。以客户利润的定积分几何意义及利润变化特征，确定了客户 生命周期时间里的几个特殊时间点。从客户生命周期时间中的特殊时 点的划分，为客户关系发展的有效管理提供有力的实践理论根据。 5 、探讨了以客户生命周期特殊时点为原则的客户分类。列举了 几种不同原则客户分类的例。 湖南师范大学高校硕士学位论文 第二章m a r k o v 链理论简述 2 1m a r k o v 链 设s 是有限集( 至少有3 个元素) ，或可数无限集。不妨设 s = o ，l ，m ) ，或s = o ，1 2 ) 。设( q ，f ，p ) 是概率空间，在其上定义了 - - n 取值于s 的随机变量色，”= o ，1 2 称毒= 磁，”o ) 为随机序列。 如果善= 豫，n o 具有下面叙述的“m a r k o v 性”，便称善= 豫，”o ) 为 m a r k o v 链。s 称为链f 的状态空间，s 中的元素称为状态。当s 有限 时，m a r k o v 链毒称为有限m a r k o v 链。 所谓“m a r k o v 性”，粗略地说，就是在己知“现在”的条件下， “将来”与“过去”独立。具体地说，设所，为正整数， f 0 ，oe s ，且简记为= j ，+ ，= ，有 p 乞+ 。= ，l 彘= f o ，磊= ，乞一。= + 乞= f ) = p 己。= ，【乞= ”1 ( 2 - 1 ) 只要( 2 1 ) 式中左方的条件概率有意义。 ( 2 1 ) 右方的值依赖于脚，i ，故可简记为，只“，称为链善在m 时 刻处于状态i ，经过，步后转移到状态的概率。当，= 1 时，。“称为 一步转移概率，简称转移概率，并简记为。只。 一般情况下，一步转移概率。只与状态i ，和时刻脚有关。如果，只 只与状态i ，有关，而与m 无关，称链# 为齐次的，且简记，p j 为只， 否则，称链孝为非齐次的。可以证明：对于齐次的m a r k o v 链，对任 意，1 ，只都与m 无关，故可简记为彤“。 用m a r k o v 链建立客户关系发展的般模型 矩阵尸= ( 0 ，f ，s ) 和p m = ( “，f ，j e s ) 分别称为齐次m a r k o v 链 的一步转移矩阵和，步转移矩阵。由c h a p m a n k o l m o g o r o v 方程即c k 方程 1 3 1 可知，步转移矩阵，是一步转移矩阵的，次幂，即 p = p 7 ，l = 1 , 2 ， ( 2 2 ) 记吼= 尸( 岛：m 并称g = ( g ，i e s ) 为链毒的初始分布。简记条件概 率p ( 以| 磊= d 为只( 爿) ，相应于概率尸或条件概率f 而取的数学期望分别 记为e 或e 。 对于齐次m a r k o v 链f ，人们最关心的是链毒的转移规律，即链善的 转移矩阵p i f ) ，由于( 2 2 ) ，只研究一步转移矩阵p 即可。因此，在不 至引起混淆的时候，有时人们也把一步转移矩阵p = ( p ，f ，s ) 称为 m a r k o v 链。一步转移矩阵p = ( 弓) ，显然满足弓o ，且弓= 1 。 f e s 如果己= 1 ，称i 为吸收状态。因为链善一旦在某个时刻到达状态i ， 链善的下一步必定在状态i ，再下一步仍然停留在状态i ，从而永远地 停留在状态i ，即被i 吸收。 对i ，s ，如果存在，1 使掣 0 ，称链孝自状态i 可到达状态_ ， 记为f 等，。约定f j i 。如果f j ，j i ，称i 和_ ，互通。 设c 是状态空间s 的非空子集。如对任意i c 和任意k s c ，链善 都不可能自i 到达k ，称c 为闭集；如果闭集c 中的任意两个状态互通， 称c 为不可分闭集。 对于链孝= 溉，一0 1 及指定的集合g c s ，令 r ( g ) = m i n n 1 ：磊g ， ( 2 3 ) 约定对于空集o ，m i n q b = 佃。称f ( g ) 为链毒经有限( 2 1 ) 步后首次到 达集合g 的时刻。如果g = 力，称r ( ) 为链考经有限( 1 ) 步后首次 湖南师范大学高校硕十学位论文 到达，的时刻。特别地，如果磊= ，称r ( _ ，) 为链善经有限( 1 ) 步后 首次回到，的时刻。记 町；f f ( r ( j ) = ) ，”= 1 ，2 ，( 2 - 4 ) 称刀们为链善自i 出发经疗步首达，的概率。记 ；c ( r ( - ，) 1 ) 步首达_ ，的概率。因为到达必定有首 达，而首达本身就是到达，故工也是链善自i 出发，经有限( 1 ) 步到达 - ，的概率。 命题1 如果i ，则f j j 价z z l o 。 如果z ；f ( r ( f ) 佃) ，称状态i 是常返的；否则，称i 是非常返的或 暂态的。设i 常返，如果e r ( f ) 1 ) 步后回到i 的平均步数是有限 的。 命题2设c 是不可分闭集，则其中的状态具有共性：或者都常 返，或者都暂留，或者都正常返，或者都零常返。 命题3对于有限m a r k o v 链善，至少存在一个正常返状态。 记 = ，! ，：町雹 r ( ) 肿， ，( 2 - 6 ) 其中，( 州，。删是集合( r ( - ，) 1 ) 步首达的平均步数。 命题4( 文献 1 4 第6 1 页的定理1 8 ) ： m 口= 最+ ，f ，j e s ( 2 - 7 ) 用m a r k o v 链建立客户关系发展的一般模犁 我们还引进一个记号f ) ( ，工一。) ，它是链毒从i 出发沿路径 ( ，工一，) 于第，步首达，的概率，即 ”( ， 一。) = f ( 备= ，螽一。= 五一。，f ( ) = ，) ( 2 8 ) 显然，当 ，z 一，中有一个为时，上式右方就为零。约定，= 1 时， 名7 ( ，五一。) = 名”。 ( 2 9 ) 2 2 有成本的m a r k o v 链 所谓有成本的m a r k o v 链，即链要消耗成本。设m a r k o v 链 = 溉， o 子n 时刻处于状态i 时，它需要消耗成本成( i ) ，通常它是 非负随机变量，称碱( ) ，胛2 0 为状态i 的成本随机过程。于是，有成 本的m a r k o v 链善在疗时刻的成本为鼠( 己) ，称碱( 磊) ，疗o 为链的成本 随机过程。 本文中，我们作下面的基本假定： ( i ) 随机过程善= 镌，门o ) 与碱( f ) ，疗o ) ( i s s ) 独立。 ( i i ) 对每个指定的i ，j o o ( o ，0 o ) 是随机变量序列，且成( f ) 0 1 ) 独 立同分布( 分布依赖于i ，记为口( f ) ) 。 2 3 有回报的m a r k o v 链 所谓有回报的m a r k o v 链，即链可以获得回报( 利润) 。设m a r k o v 链考= 豫，盯o ) 于一时刻处于状态f 时，链亭可以获得回报( f ) ，它是取 值于r ：( 一，佃) 的随机变量，当( f ) 取负值时，说明链考获得负回报 湖南师范大学高校硕七学位论文 ( 负利润) 。称 ( f ) ，”o ) 为状态i 的回报随机过程。于是，有回报的 m a r k o v 链善在行时刻获得的回报是( 量) ，称 ( 己) ， o ) 为链善的回 报随机过程。 本文中，我们作下面的基本假定： ( i ) 随机过程善= 缘，”o ) 与 ( ，) ，栉o ) ( f s ) 独立。 ( i i ) 对每个指定的i ，口。( f ) ，o ) 是随机变量序列，且口。( f ) ，0 1 ) 独 立同分布( 分布依赖于i ，记为4 ( f ) ) 。 因此，当不强调时刻”1 时，在上述假定下，a o ( 0 在条件概率只 下的数学期望b ( f ) 和方差b ( f ) ，均与k e s 和珂1 无关，故可分别 记为g ( f ) 和d ( ) ，并称g = ( g ( f ) ，f s ) 和d = ( d ( f ) ，f s ) 为回报均值向量 和回报方差向量。 用m a r k o v 链建立客户关系发展的一般模型 第三章m a r k o v 链客户关系发展模型的前提假设 3 1m a r k o v 链客户关系发展模型的前提假设 已有文献指出，客户发展关系可以视为具有m a r k o v 性叫】，从而 可以用m a r k o v 链来建立客户关系发展模型。企业对客户进行管理， 首先要对客户进行分类，然后随着时间的推移，考评客户所在类别的 变化。由于许多因素包括突发因素的影响，状态之间的各种转移都是 可能的。因此，在用m a r k o v 链来建立客户关系发展模型时，有必要 作如下