（基础数学专业论文）有限单群的特征性质.pdf

有限单群的特征性质 学科专业t 基础数学研究方向z 有限群论 指导老师；陈责云教授研究生韩章毫( 2 0 0 1 2 7 0 ) 摘要 设g 为有限群，g 的极大交换予群的阶的集合记为m ( g ) ，即j l f ( g ) = i n i i n 交换，n g ， 且对v m g ，m 交换。若n 茎m ，则g = m 或= m 特别地，若g 交换，我们约定 m ( 回= 1 ) 本文证明了下面些定理； 定理2 1 设g 为有限群，阿g 竺a n 当且仅当m ( g ) = m 似1 1 ) 定理2 2 设g 为有限群则g 垒岛( 口) 当且仅当m ( g ) = m ( 如( 曲) ，其中q 兰3 ，5 ( , n o d s ) ，q = 定理2 3g 型m 当且仅当= m ( f ) ，其中m 为除m a f 。h i e u 群和j a n k o 群外的散在 单群 定理2 4 设g 是有限群，则g 型2 g 2 ( 曲当且仅当m ( g ) = m ( 2 岛( 口) ) ，其中q = 3 2 + 1 定理3 1 设g 是有限群，则g 粤3 d d q ) 当且仅当m ( 回= f ( 8 d “) ) ，这里q 1 0 关键词t 有限群i 单群；极大交换子群；交换子群；素图；阶分量 ac h a r a c t e t i z a t i o no ff i n i t es i m p l eg r o u p s m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：t h et h e o r y o ff i n i t eg r o u p s t u t o r ：p r o f g u i y u nc ：h e n a u t h o r ：z h a n g j i ah a n a b 8 t r a c t l e tgb e8f i n i t eg r o u p ， f ( g ) t h e 啾o fm a m m a la b e l i a ns u b g r o u po fg ，i em ( g ) = i n i n b eaa b e l i a ns u b g r o u po fg ，a n df o r v m g ，ma b e l i a n ，i fn ! m ，t h e ng = m o r n = m ) e s p e d a l l y i f g i s a b e u a n ，w e m a ys a y m ( g ) = o ) h i 也i 8p a p e r w e 砌p r o v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m2 1l e tgb eaf i n i t eg r o u p ，t h e ng 垒a ni fa n d o n l y i fm ( g ) = m ( a n ) t h e o r e m2 2l e tgb e8f i n i t eg r o u p ，t h e ng 望岛( 口) i fa n do n l yi fm = j i f ( 岛( 口) ) w h e r e g 暑3 ，5 ( m 础b ) ，口。矿 t h e o r e m2 3l e tgb eaf i n i t eg r o u p ，t h e ng 望mi fa n d o n l yi fm ( g ) = f ( m ) ，w h e r e m 嘶s p o r a d i cs i m p l eg r o u p se x c e p tf o rm a t h i e ug r o u p sa n dj a n k og r o u p s t h e o r e m2 4l e tgb ebf i n i t eg r o u p ，t h e ng 掣2 g ( q ) i fa n do n l yi fm ( g ) = m ( 2 g 2 ( q ) ) w h e r eq 23 2 “+ 1 t h e o r e m3 1l e tgb eaf i n i t eg r o u p ，t h e ng 望3d 4 0 ) i fa n d o n l yi f f ( g ) = m ( 3 d 4 ( q ) ) ， w h e r e 口 1 0 k e y w o r d sf i n i t eg r o u p ；f i n i t es i m p l eg r o u p ；m a x i m a la b e l i a ns u b g r o u p ；a b e l i a ns u b g r o u p ； p r i m eg r a p h ；o r d e rc o m p o n e n t 2 弓i 亩 有限单群的数量刻画是个很有意义的工作，在这方面已有许多重要的结果其中有著 名的t h o m p s o n 猜想，施武杰教授提出的用元的阶。群的阶对所有有限单群给出的统一刻画 陈贵云教授用群的阶和素图刻面散在单群，用阶分量来刻砥l i e 型单群以及王殿军用极大子 群阶之集刻匦厶油等在前人工作的启发下，文【7 】中提出了用极大交换子群的阶的集合来 刻画有限单群的课题。并得到了以下结果； 设g 是有限群，则g 型日当且仅当j l f ( g ) = m 旧) ，其中m ( 回是g 的极大交换子群的 集合，日是下述单群之一t ( 1 ) 单j 6 - 群； ( 2 ) 交错群 。，ns 1 0 ； ( 3 ) 散在单群中的m a , 【h i e u 群和j a n l m 群； ( 4 ) 特殊射影线性群e s u ( 2 ，2 n ) ，n 2 ； ( 5 ) s u z u k i 系剜单群( 铲m + 1 ) m 1 本文继续f 7 1 的工作，得到以下结果； 定理2 1 设g 为有限群则g 垒a l l 当且仅当( g ) = m ( a 1 1 ) 定理2 2 设g 为有限群。剐g 掣, 2 当且仅当j l f ( g ) = 盯( 如) ，其中g i3 ，5 ( m o 鹋) ，口= 定理2 3 设g 为有限群，则g 型m 当且仅当m ( g ) = m ( m ) ，其中m 为除m a t h i e u 群 和j a n k o 群外的散在单群 定理2 4 设g 是有限群，则g 擎岛( 口) 当且仅当j l f ( g = m ( 2 岛( 口) ) ，其中口= 3 2 m “ 在第三节中。利用极大交换子群之集对某些阶较小的l i e 型单群给出了完全刻画，这就是 定理3 1 设g 是有限群，则g 型3d | q ) 当且仅当m ( g ) = 肼( 3 d ) ，这里口 1 0 3 第一节定义殛主要引理 在本文中约定，”( g ) 表示g 的阶的索因子的集合；w ( 口) 表示数g 的素因子的集合f ” ) i 表示g 的阶的素因子的个数；( g ) 表示g 的元的阶的集合；s v f p ( g ) 表示g 的s y l o wp - 子群的集合；a ：b 表示被扩张的半直积；p i i i g i 表示p | i g i 僵p 2 巾g i 其余未经声明的 符号是标准的参见【3 1 定义1 【7 】设g 为有限群，g 的极大交换子群的阶的集合记为m ( g ) ，即m ( g ) ： i | i 交换，n g ，j i z 寸v m g ，m 交换，若nsm ，则g = m 或n = j l f ) 特别地，若g 交换，一我们约定m ( g ) = t l 定义2 f 4 】设g 是有限群，定义g 的素图【、( g ) 如下。 ( 1 ) g 的顶点集y ( r ( g ) ) = ，r ( g ) ( 2 ) 设p ，g ( g ) 护q , p 与g 有一条边相连结的充要条件是g 含有埘阶元 g 的素图中的一个连通分支称为g 的素圉分量。记为哪( g f ) ，= l ，2 当 g 为偶阶群时，约定2 丌l ( g ) t ( g ) 表示g 的素图分量的集合。即t ( g ) = 丌l ( 回，彻( g ) ，g 的素图分量的个数记为t ( r ( g ) ) 若丌l ，礼，也是g 的素 图分量，则l g i = m l m 2 m t ，其中挑的素因子集( 帆) = q ，i = l ，2 ，t 称 m 1 ，m 2 ，盹为g 的阶分量 定义3 5 j 设g 是有限群，g 称为2 - n o b e n j 璐群，如果g 有一个正规列 i g 日宴k 宴g ，使得a h 和k 是以k h 和日为核的f r o b e n i u s 群 定义4 【2 6 】设g 是有限群，n g ，若c g ( 。) ： ，则称。是g 的一个自中 心化元 引理1 【7 】若g 是有限群，n 璺g ，则g ( n c a ( n ) ) 毛d 。t ( ) 特别地，若 c o ( i v ) = 1 ，则s g s a u t ( n ) 4 引理2 m 设g ， 为有限群，m ( g ) ：m ( a ) 则t ( g ) = t ( a ) 特别地 ( g ) = 7 r ( a ) 引理3 吲设g ，a 为有限群，。为正整数。8 i i g i ，则g 有。阶交换子群的充分 必要条件是a 也有8 阶交换子群 引理4 4 】设g 是有限群，g 的素图不连通，则g 的结构如下。 1 ) g 是r r o b e n i u s 群或2 - f x o b e n i u s 群 2 ) g 有正规列1 粤h 璺k 璺g ，且h 是幂零矶( g ) 一群，a k 是可解7 r l ( g ) 群，k h 是非交换单群 引理5 【5 】设g 是胁b 面珊群或蚺b b e n i m 群，则t ( r ( g ) ) ：2 引理6 设g 是有限群。是非交换单群单群若t o r ( ) ) 2 ，m ( g ) = m ( ) 且有g 正规列日璺嚣璺g 使得h 和g 耳是”l ( g ) 群，k h 是非a b e l 单群，则 n 的奇阶分量是k s 的某些奇阶分量且t ( r c 耳h ) ) t ( r ( g ) ) 引理7 【1 2 】设g 是有限群，t ( r c a ) ) 2 且q g 若是丌1 群并且n 1 。2 ，n r 是g 的奇阶分置，则口1 8 2 口r f 一1 引理8 1 设g 是偶阶f r o b e a i u s 群，日是f r o b e n i u s 核，k 是f r o b e n i u s 补， 则t r ( ( g ) ) = 2 ，t ( a ) = ”( 娜，”( k 且g 的结构为下列之一t 1 ) 若2 w ( 日) ，则耳的s y l o w 子群循环 2 ) 若2 f ( 胃) ，剐h 是交换群，当k 可解时，耳的奇阶s y l o w 子群循环，s y l o w 2 - 子群为循环群或广义四元效群；当x 不可解时，存在i ( 0sk 使得i k ：硒is 2 ， 且凰! z s l ( 2 ，5 ) ，( i z l ，3 0 ) = 1 ，其中z 的s y l o w 子群循环 5 引理9 【5 】设g 是偶阶2 n o b e n i 璐群，则坩( ( g ) ) = 2 ，g 有正规列i 璺h 1 k i g ， 使得”( k h ) = 7 r 2 ( g ) ，”( 日) u z ：( g k ) = z l ( g ) ，i g k i l l a u t ( k h ) ，g k 和k i h 均 为循环群特别地，l e k i 3 ，n = 0 0 2 ”+ 0 1 掣一1 + + o p 一1 2 + n p ，其中啦= 0 或1 ，l = 0 ，l 泓令p 是n 的一个索因子。则 1 ) 若p 2 或p = 2 且一1 = 0 ，交错群的极大交换p - 子群的阶不超过 p i l l ，而且厶有p i l l 阶的初等交换p - 子群 2 ) 若p = 2 且一l = 1 ，厶的极大交换p - 子群的阶不超过p 瞪一”，且有p 【2 一l 】 阶的初等交换p _ 子群 3s n 有p 【割阶的极大初等交换p 子群 6 第二节主要定理及其证明 定理2 1 设g 是有限群，则g 型a 1 1 当且仅当m ( g ) = m ( a n ) 证明：因定理的必要性是显然的，所以本文所有的定理只证充分性由引理2 及【4 】表i b 知t ( g ) = t ( a n ) ，1 ( g ) = 2 ，3 ，5 ，7 ， ，丌2 ( g ) = 1 1 因t ( r ( g ) ) = 2 ，g 的结构如引理4 但g 不可能是f r o b e n i u s 群否则g = h k ，其中日是f r o b e n i u s 核，嚣是 f r o b e n i u s 补，t ( g ) = ( 日) ，( 耳) ) 1 ) 若2 旧) ，则”( 田= 矶( g ) 因日为幂零群，故日= t 2x p 3x p 5 x 马其 中b s v h ( a ) ，所以g 有3 5 阶交换子群但由【9 】，a n 的7 阶元的中心化子的阶 不被5 整除故a n 没有3 5 阶交换子群，由引理3 也g 没有。矛盾 2 ) 若2 僻) ，则僻) = 霄1 ( g ) k 可解时g 的s y l o w2 - 子群是2 7 阶循环群 或广义四元数群，于是g 有2 6 阶交换子群但由引理1 2 及引理3 ，g 只有2 5 阶 交换子群，矛盾k 不可解时，g 有子群硒垡zx s l ( 2 ，5 ) ，其中l k ：k o ls2 。 ( i z i ，3 0 ) = 1 故耳的阶不被9 整除而g 有9 阶交换子群，又因7 r ( k ) = 丌l ( g ) ，所 以9 l l k i ，矛盾 g 也不是2 - p r o b e n i m 群否则g 有正规列1 宴日璺k 璺g ，。其中日和k h 分别为耳和g h 的f r o b e n l u s 核，使得i k h l = 1 1 ，霄旧) u ，r ( a h ) = 2 ，3 ，5 ，7 ) ， i g k d l m u t ( k h ) i ，g k 和k r 循环显然3 ，7 丌( 日) ，且z ( 马) d m r 砰璺日，其中 马勋1 7 旧) 所以日中9 阶元可以共轭作用于z ( 马) 上但g 的交换7 子群的 阶最大为7 ，于是i z ( p t ) i = 7 而9 f i a u t ( z ( p t ) ) i ，矛盾 于是g 的结构如引理42 ) 即g 有正规列1 粤日塑k 璺g ，使7 r ( 日) t 1 r ( g k ) ”1 ( g ) ，h 是幂零群，o k 是可解”l ( g ) - 群，叫日是单群若h 非平凡，不妨设 h = p 2x 忍xr x 马，毋s 以( 日) ，i = 2 ，3 ，5 ，7 由引理l o ，i z ( b ) l ，j z ( 恳) f ，| z ( b ) i ， l z ( 竹) 1 分别不超过2 5 ，3 2 ，5 2 ，7 由计算知i = 2 ，3 ，5 ，7 ，除i z ) l = 2 s 外。5 和7 不同时为i a 讲( z 限) ) l 的因子，从而z 僻) 无5 阶或7 阶自同构，这与z 僻) 是g 的正规子群矛盾所以日只能是2 - 群，且l z ( t t ) i 2 5 考虑g 的1 1 阶元作用在 z ( n ) 上得l l l a u t ( g ( 日) ) i ，于是为日单位元群 这样g 有正规单予群耳，使”( g k ) - ，r i ( g ) = 2 ，3 ，5 ，7 ，故由引理1 1 及引理 7 6 知k 至少含4 个紊因子且t ( r c k ) ) t ( r ( g ) ) = 2 若t c r ( k ) ) = 5 ，则k 的所素因 子都是孤立点，从f 1 3 j 表1 和表3 可知不存在这样的单群若t ( r ( x ) ) = 4 ，考察f 2 】 表1 - 3 中的单群可得k 只能是马( g ) ，q ；2 ，3 ( r o o d s ) ，2 8 2 ( q ) 和m 如若k 型e s ( q ) ， 因e s ( q ) 的奇阶分量为q 8 - f q z 一矿一口4 一9 3 + 口+ l = 口，口8 一q 7 + q 5 - q 4 + 矿一口+ 1 = 6 ， g b 一口6 + q 4 一q 2 + l = 岛矿一擘4 + l = 正由引理5 必有口= 1 1 ，或6 = 1 1 ，或c = 1 1 ， 或d = 1 1 容易验证这燕式子都不成立， 同理可得k 掌2 8 2 ( g ) ， 若k 垒拖，因c g ( m z z ) = 1 ，故场gg 璺a u t ( m 2 2 ) 由f 9 】知o u t = 历，所 以g 型肘b 或g 型】t u t ( 2 ) 但g 有形如5 2 r ( ( 6 ，r ) = 1 ) 阶的极大交换子群，而 5 2 盼锄i ，5 2 巾如t ( 肘b ) i ，矛盾 于是t ( r ( k ) ) 3 若t c r c c ) ) = 3 ，逐考察f 1 2 】表2 ，3 中的单群，k 只能 是a l ( q ) ，g 2 ( q ) ，3 1 q ，2 g 2 ( q ) ，口= 3 加+ 1 ，2 d i ( 3 ) ，p = 2 “+ 1 ，n 2 ，2 d _ + 1 ( 2 ) ，p = 2 “一1 ，n 2 ，r ( q ) ，2 1 q ，2 如( 2 ) ，2 f ( 口) 或m i l 和h s ， 若k 垡a l ( q ) ，( 4 1 q + 1 ) ，则由引理6 ，1 1 = 口或孚如果口= 1 1 ，则k 笆 a l ( 1 1 ) ，因c g ( a i ( i i ) ) = 1 ，故a l ( 1 1 ) 璺g 璺a u t ( a i ( 1 1 ) 因o u t ( a l ( 1 1 ) = 易，于 是i a u t ( a , ( 1 1 ) i 尬l 由 1 3 ，引理1 】可得矛盾，故有 ( a ) 如果m = h s ，则k = h s 由c a ( k ) = 1 得h s 曼g 璺a u t ( h s ) 又 o u t ( h s ) = 忍，故g = h s 或g = a u t 暇s ) 但m = h s 的7 阶元是自中心化元， m 有7 阶极大交换子群，故g 也有而a u t ( t t s ) 有1 4 阶交换子群，所以g = h s 类似地还可证明， ( b ) 如果m = s z ，则g = s z ( c ) 如果m = g 0 2 ，则g = c 0 2 ( d ) 如果m = 肠，则g = 如 ( e ) 如果m = f 2 ，则g = f 2 3 t ( f ( j l f ) ) = 2 此时m = j k ，h e ，m 心，c 饥，c 0 3 ，岛2 或日下面分兰步来完成定理的证明； ( 1 ) g 不是f r o b e n i u s 群 否则。由引理8 ，g h k ，h 为f r o b e n i u s - 核，耳为f t o b e n i t t s - 补，t ( g ) = 加旧) ，”( 脚 若2 w ( 日) ，则i k i 为奇阶分量，于是日有一个正规予群，l n i i g l ，与引 理7 矛盾( 以r u 为例因r u 的奇阶分量为2 9 ，故i k i = 2 9 r u 的极大交换1 1 子群的阶为l l ，因此g 的极大交换儿子群的阶也为1 l ，因日幂零，h 有1 1 阶 特征子群，i i 卅i ( 2 ) 白= 2 “- 1 ，n 2 ) ，蜀，e 7 ( 2 ) ，曷( 3 ) ，a 2 ( 2 ) , 2 如( 2 ) ，2 最( 2 2 m “) ( m 1 ) ，以及散在单群m 2 2 ，地，j 3 ，日只s u z ，c 0 2 ，f 2 3 ，f 2 和t h 显然k h 岛( 2 ) ，岛( 3 ) ，如( 2 ) 及以上所列的散在单群若k h = 4 ，则k h = a 1 3 此时 m = 易2 ， a l a i = 2 9 3 5 7 1 1 1 3 把耳的1 3 阶元共轭作用于日肫s y l o w - 子群的中 心。可得为厶群又t ( r ( a h ) ) 2 ，否则g h 有1 3 r 阶元。其中r = 2 ，3 ，5 ，7 或1 1 ，r ( a ) 连通，矛盾，从而c 台饵( 叫日) = 1 于是a k o u t ( k h ) ，即 j g k j 2 ，g = k 或g = k ：易。无论那种情形均与g 有5 2 阶交换子群矛盾 若k h = 2a s ( 2 ) ，贝! | m = m 吐将g 的1 1 阶元作用于幂零霄l ( g ) 群 日的s y l o wp - 子群( p = 2 ，3 ，5 ，7 ) 的中心可得日= 1 于是k = 2a s ( 2 ) ，且 易碍2 a s ( 2 ) 要g 璺a u t ( 2 a s ( 2 ) ) 因o u t ( 2 a s ( 2 ) ) = 磊，故g = 2 如( 2 ) 或g = a u t ( 2 a ( 2 ) ) 但2 凡( 2 ) 含有2 9 阶初等交换暑子群而g 的极大交换2 子群的阶 不超过2 7 ，矛盾于是k h 2 a s ( 2 ) j 若k h = a l ( g ) ，因m 的奇阶分量分别为2 9 ，1 7 ，1 1 ，2 3 ，1 3 和1 9 ，故 口= 1 1 ，1 3 ，1 6 ，1 7 ，1 9 ，2 3 ，2 5 ，2 7 ，2 9 或3 7 ( i ) 若g = 1 1 则i a l ( 1 1 ) i = 2 2 3 5 1 1 ，此时m = m c l 易证h = 1 ，a 1 ( 1 1 ) 里g 璺a u t ( a l ( 1 1 ) ) ，于是g = a l ( 1 1 ) 或g = a u t ( a l ( 1 1 ) ) 这显然与g 有7 阶交换子群矛盾 ( i i ) 若g = 1 3 财i a i ( 1 3 ) l = 2 2 3 7 1 3 此时m = 岛2 易证打为2 群且 t ( r ( a h ) ) 2 于是g k o u t ( k h ) 因a l ( p ) ( p 素聋妁的外自同构为2 阶对 角自同构，故i g k i l 2 ，g = k 或g = k ：邑无论那种情形均与g 有1 1 阶交换 子群矛盾。 类似地可以验证g 1 6 ，1 7 ，1 9 ，2 3 ，2 5 ，2 7 ，2 9 ，3 7 ，故k h a l ( 口) 与上面类似迪还可得到叫日岛( 口) 2g 2 ( 3 鲰“) ，2d ，( 3 ) ，2 k l ( 2 ) ，最( g ) ， 2 r ( 2 2 m “) ( e ) 因此t ( r ( k h ) ) = 2 k h 为【1 2 】表4 所列的单群，及散在单群尬2 ，j 2 ，r u ： 1 7 h e ，m c l ，c 0 1 ，c 0 3 ，b 2 和日 ( i ) k h a p 一1 ( 叮) 否则再铀= 吼口= 2 9 ，当m = 兄u 时；8 , - - - - 1 3 ，当 m = 日e 时；a - - - - 1 1 ，当m = m c l 时；a = 2 3 ，当m = c o l 和c 0 3 时；a - - - - 1 3 ，当 m = 如时；a = 1 9 ，当m = 日时 若( 口一1 矿) 加- i 叮_ 11 ) = 2 9 j 1 ，q 一1 ) = 1 ，则矿一1 + 酽一2 + + 9 22 8 ，口( 矿+ + 1 ) = 4 x7 ，于是g = 4 ，矿一2 + + q + 1 = 7 ，q ( q p 一3 + + q - l - 1 ) = 2 x3 ，矛盾若 ( p ，口一1 ) = p ，则i 赫p - - 1 = 2 9 又p = ( p ，g 一1 ) 7 r 1 ( g ) ，故p = 2 ，3 ，5 ，7 或1 3 若 p = 2 ，则口+ 1 = 2 9 2 ，口= 5 7 ，与为素数幂矛盾若p = 3 ，贝! 矿十1 + 1 = 2 9 x 3 ， 于是q ( q + 1 ) = 2 4 3 ，矛盾若p = 5 ，则矿+ 矿+ 口2 + 口+ 1 = 2 9 5 ，于是 q ( q 3 + 9 2 + q + 1 ) = 2 4 x 3 2 ，从而q = 2 4 ，口3 + q 2 + q + l = 3 2 ，矛盾若p = 7 或p = 1 3 ，容 易验证这两种情况均不可能故芹暑；盖b 2 9 同理可得( 口一l 矿) ( p - 丹1 一1 ) 1 7 ，1 1 ，2 3 和1 9 当再耥= 1 3 时，可得p = q = 3 ，此时k h = a 2 ( 3 ) ，m = 如- 易证 k = a 2 ( 3 ) 且k 一 1 g 2f 4 ( 2 ) ，由【1 4 ，l e m m a8 4 】可得矛盾，故有 ( a ) 若m = r u ，则k = r u 由c e ( k ) = 1 得砌璺gga u t ( r u ) ，又 o u t ( r u ) = 1 ，所以g = r u ( b ) 若m = h e ，则k = h e 由c g ( k ) = 1 得h e 塑g 璺a u t ( h e ) 又 o u t ( h e ) = 而，故g = h e 或g = a u t ( h e ) 由【9 】，h e 有1 5 阶自中心化元，即 g 有1 5 阶极大交换子群。而a u t ( h e ) 有3 0 阶交换子群，于是g = h e ( c ) 若m = g 口l ，则k = c o z 或g d 3 由c g ( k ) = 1 得k 笪g 璺a u t , ( k ) 又 o u ( k ) = 1 ，故g = c o l 或c o a 但此时m 有1 3 阶交换子群，而1 3 ，fi c 0 3 i 故 g = c 0 1 1 8 ( d ) 若m = 0 0 3 ，则k = c o s 同( c ) 可得g = c o a 类似地可以证明= ( e ) 若m = m c l ，则g = m c l ( f ) 若m = 如，则g = f z 2 ( g ) 若m = h n ，则g = 日证完 定理2 4 设g 是有限群，则g 些吼( g ) 当且仅当m ( g ) = m ( 2 g 2 ( q ) ) ，其中 g = 3 鲰+ 1 证明若m = n 则q = 3 ，m ( g ) = m ( 2 g 2 ( 3 ) ) ，t ( r ( g ) ) = 2 ，也分三步证明 1g 不是f r o b e n i u s 群否则，由引理8 ，g = 且k f ( g ) = ”旧) ，”( k ) 显然 饵) = 2 ，3 ，r 暇) = 7 g 的7 阶元共轭作用于z ( 岛) ，岛s v i , ( g ) ，可得矛盾 2 g 不是2 - f m b e a i u s 群否则，g 有正规列1 鱼日g k 璺g ，使得g 日和耳分 别是以g h 和丑为核的f r o b e n i u s 群，且i 耳日1 1 7 ，i g k ip 2 因此丌( 日) 2 ，3 因g 的极大交换3 - 子群的阶不超过3 2 ，且日不能为2 - 群，故g 的7 阶元作用 于z ( b ) ，马s y l a ( h ) 可得日= i 余下同1 3 于是g 有正规列1 璺h 里k 璺g ，使丌( 日) u 丌( g h ) n ( g ) ，k h 为非 交换单群，且t ( r ( g ) ) 2 ，由【9 】这样的单群只可能是如( ”，砺( 3 ) 和2 q ( 3 ) 显然t f ( g h ) ) 2 否则，g h 有7 r 阶交换子群，其中r = 2 或r = 3 从而 g 有7 r 阶交换子群，r ( g ) 连通。矛盾于是g kso u t ( k h ) 若k h = 如( 7 ) ，则日有阶不超过3 3 的特征子群z ( b ) ，g 的7 阶元作用于 z ( b ) 得7 1j a u t ( z ( p 3 ) ) i ，矛盾 若g n = 砺( 3 ) ，因此时i g i k i 3 ，故必有k = 沈( 3 ) 或现( 3 ) ：磊但由【7 】 知，巩( 3 ) 有2 4 阶极大交换子群，而g 的极大交换2 _ 子群的阶不超过2 3 ，矛盾 若k h = 2 哦( 3 ) ，则易证日= 1 ，于是k = 2 岛( 3 ) 由c a ( k ) = 1 得 3 哪( 3 ) 里g 翼a u t ( 2 q ( 3 ) ) = 2g 2 ( 3 ) 因2 g ；( 3 ) 的3 阶元的中心化子阶为9 ，故 2 q ( 3 ) 不含3 r ( ( 3 ，r ) = 1 ) 阶交换子群，但2 岛( 3 ) 有6 阶交换子群，故g = 2 岛( 3 ) 若m 1 ，则t ( r ( g ) ) = 3 由引理8 ，g 有正规列1 里日里k 旦g 使日为幂 零霄1 ( g ) - 群，k h 为非交换单群易知t ( f ( k h ) ) 6 1 9 若t ( r ( g 日) ) = 5 ，则k h = e s ( q ) ( q 三0 ，1 ，4 ( r o o d s ) ) 因叫日有4 个奇阶 分量，q s + q 7 一q s _ q 3 + q + l ，q s _ q 7 + 口5q 4 + q 3 - - q + l ，9 8 一口6 + 矿- q 2 + 1 ，口8 一口4 + 1 由引理7 ，2 g 2 ( 3 细+ 1 ) 的奇阶分量3 2 ”+ 1 3 + 1 + 1 为上述分量之一但这是不可 能的假若3 2 “+ 1 3 m + 1 + 1 = 口8 一q 7 + q 5 一口4 + 矿一口+ 1 ，则3 m + i ( 3 “一1 ) = 口国7 一q 6 + q 4 一q 3 + q 2 一1 ) 若g = 3 ”+ 1 ，q 2 ( 矿一q 4 + q 2 一口+ 1 ) = 3 ”，矛盾因 此3 n o t l q 因3 ”+ 1 ( 3 ”一1 ) = 口( 9 3 + q 2 1 ) ( 口2 + 1 ) ( 9 2 1 ) ，( 口3 + 9 2 1 ，口2 + 1 ) = ( 5 ，口+ 2 ) ，( 矿+ 9 2 1 ，q 2 1 ) = 1 ，( q 2 + l ，q 2 1 ) = ( 2 ，q - 1 ) ，所以3 ”+ 1 i 矿+ 矿一1 或 3 ”+ 1 i 口2 + 1 或3 m + 1 i 口2 1 若3 ”+ 1 i q 3 + q 21 ，则3 “+ 1 口3 + 口2 1 ，- 3 “一1 2 ：竺， 于是3 m + i ( 3 m 一1 ) 兰q ( q 7 一口6 + q 4 一矿+ 矿一1 ) ( 矿+ 口2 1 ) 掣，即 9 3 + 矿一4 3 q ( q 4 - 1 ) ，从而g 国+ 1 ) ( 3 矿一3 q 2 + 2 q 一3 7 + 4 0 ，矛盾，若3 “+ 1 f 矿+ 1 ， 则3 ”+ 1 q 2 + l ，3 ”一1 贮产，于是3 ”+ 1 ( 3 ”一1 ) = q ( q 3 + q 2 1 ) ( q 2 + 1 ) ( q 2 - 1 ) s ( 口2 + 1 ) 2 芋，即3 q ( q 3 + 9 2 1 ) ( q 2 1 ) 口2 2 ，矛盾若3 州。1 1 9 2 1 ，则3 m + 1 q 2 _ 1 ，3 “- - i 导，于是3 m + 1 ( 3 m - 1 ) = q ( q s + q 2 - 1 ) ( q 2 + 1 ) ( q 2 - 1 ) ( 矿一1 ) 贮， 即3 口( 口3 + 口2 一1 ) ( 口2 + 1 ) q - 4 ，矛盾同样可以验证其他情形因此t ( r ( k n ) ) 5 且叫好e 8 ( 口) ( 叮兰2 ，3 ( m o d e ) ) ，于是若t c r ( k h ) ) = 4 ，由【1 2 】表1 - 3 知叫日 为下列群之一 2 8 2 徊) ，a 2 ( 4 ) ，2 风( 2 ) ，散在单群慨2 ，j 1 ，0 l y ，m 若k h = 2b 2 ( 口) ，比较它们的奇阶分量得t 3 拥+ 1 + 驴+ 1 + 1 = q 一1 或口+ 、匈+ 1 3 槲1 3 ”+ 1 + 1 = q 一1 或g 一、衙+ 1 经计算可得矛盾同理可得k h a 2 ( 4 ) ，2 岛( 2 ) 若k h 为散在单群，则3 觚“+ 3 “十1 + 1 = 7 ，1 1 ，1 9 ，2 3 ，2 9 ，3 1 ，3 7 ，6 7 或7 1 ， 容易验证。这些方程仅当m = l 时成立，但同时有3 拥+ 1 3 m + 1 + 1 = 1 9 ，由【1 2 表3 知不存在这样的散在单群 于是t ( r ( g n ) ) = 3 ，由【4 】表2 ，3 知k h 可能为下列群之一；如( p ，p 一2 为素j 改) ，a l ( q ) ，g a ( q ) ( 3 1 q ) ，2 岛( 3 ) ( p = 2 “+ 1 ，n 2 ) ，2j d “l ( 2 ) = 2 “一1 ，仃 2 ) ，日( 曲( 2 | 口) e z ( 2 ) ，西( 3 ) ，a 2 ( 2 ) ，2 a 5 ( 2 ) ，2 f 4 ( g ) ，2g 2 ( 3 2 n + 1 ) 伽1 ) ，散在单群m 1 1 ， 3 ，地4 ，以，日s s u z ，g d 2 ，易3 ，b ，t h 若叫日= 2 只( 口) 则必有2 4 - + 2 + 2 3 “+ 2 + 2 2 n + 1 + 2 “+ 1 + i = 3 鲰+ 1 + 3 m 十1 + 1 2 4 - + 2 2 3 - + 2 + 2 2 n + 1 2 n + l + 1 = 3 2 m + 1 3 m + 1 + 1 ，即3 叶1 = 2 叶1 ( 2 钿件1 + 1 ) ， 矛盾 若j 吖日= a 1 ( 口) ，则q = 3 7 ，m = l ，此时1 2 g 2 ( 3 2 仃h 。1 ) i = f 2 g 2 ( 3 3 ) i = 2 a 3 9 7 1 3 1 9 3 7 易证日= 1 ，于是k = a l ( 3 7 ) 由g 台( 耳) = 1 得a 1 ( 3 7 ) 笪g 里a m l ( 3 7 ) ) = p g l ( 2 ，3 7 ) 由【1 1 ，& a r p t e r 2 ，t h 7 3 ( c ) 】知，p a l ( 2 ，3 7 ) 含3 8 阶交换子群，与 1 9 m ( c ) 矛盾 同理可得叫日g 2 ( 口) ，2b ( 3 ) ，2 正“1 ( 2 ) ，r ( 口) ，毋( 2 ) ，岛( 3 ) ，a 2 ( 2 ) ，2 如( 2 ) ， 散在单群 因此k i - i = 2 g 2 ( 驴+ 1 ) ，n 1 易证m = 亿从而k i l l _ 2 g 2 ( 3 即“) ，m 1 _ 由弓i 理7 ，q 2 一口+ i l i z ( r ) i 一1 ，其中r 勋f r ( 矗。) ，因( 口一1 ，q + 1 ) = ( 2 ，口一1 ) ， 且口士1 2 - ，于是z ( r ) = 1 ，从而只h 能是3 群由【2 7 】，h 的中心z ( h ) 的 阶不超过3 2 ( 2 m + 1 1 把g 的3 + 1 + 3 m + 1 + 1 阶元作用于z ( 日) 可得矛盾。于是 h = 1 荐由t a c k ) = 1 得2 g 2 ( 3 鲰+ 1 ) g g 鱼a u t ( 2 a 2 ( 3 2 耐1 ) ) 又由 1 8 1 知， 2 g 2 ( 3 2 ，i + 1 ) 的外自同构都是域自同构令g = 2g 2 ( 3 细+ 1 ) ：z s ，s 1 2 m + 1 ，若8 1 ，不 失般性可设8 为素数，口满足g = 矿，o 是2 g 2 ( 3 + 1 ) 的8 阶域自同构由【1 8 】， i 凸国( 3 一+ t ) ( a ) i = 1 2 岛( - ) l = 矿铲一1 ) 铲一虿+ 1 ) 若8 3 ，则- 2 一虿+ 1 舻一1 ，故 g 的索图连通，矛盾，若8 = 3 ，则得g 有3 t ( t ”( 口一1 ) ) 阶交换子群，而由 2 6 】， g 没有，因此，8 = 1 ，g 。2g 2 ( 3 2 r n + 1 ) 2 1 第三节某些阶较特殊的情形 定理3 1 设g 是有限群，贝! lg 些3d 4 ( q ) 当且仅当m ( g ) = m ( 3 d 4 ( 口) ) ，其中 q 1 0 证明首先。当q = 2 ，3 ，4 ，5 ，7 ，9 时，分别有q 4 一q 2 + i = 1 3 或7 3 或2 4 i 或6 0 1 或1 3 1 8 1 或6 4 9 1 因t ( r c g ) ) = 2 ，所以分兰步完成证明 ( 一) g 不是f r o b e n i t 群否贝! i ，由引理8 ，g = h k ，其中日是f r o b e n i u s - 核， k 是f r o b e a i u s - 补，r ( g ) = t f ( 日) ，f ( k ) ) ( 1 ) 若2 ”( 日) ，则”( 日) = 丌l ( g ) 由f 2 5 】，3 d 4 ( q ) 有1 3 或7 3 或2 4 1 或6 0 1 或 1 3 或6 4 9 1 阶元( 为简单起见，下文中总以n 代替这五个壹吩，故k 有相同阶元阶 元，g 的a 阶元作用于z ( 岛) ( 瓯s 她( g ) ，= 2 或3 或4 或5 或7 或9 ) ，可得， 口i | u t ( z ( 岛) ) i 由【2 5 】知3 d 4 ( 口) 的鼯子群非交换。故l z ( 最) i 2 1 2 或3 1 2 或2 2 4 或 5 地或7 1 2 或3 2 t ，由计算可得矛盾 ( 2 ) 若2 ，r ( 耳) ，则k 有7 或1 1 或9 1 或6 5 1 或4 3 或9 4 9 阶元，它们作用于g 的口阶交换正规子群，可得矛盾 ( = ) g 不是2 - f r o b e n i u s 群否则g 有正规列1 宴h 日k 宴g ，使得7 r ( 酬日) = 丌2 ( g ) ，”( 日) u ”( a s ) = ”l ( g ) ，i g k i i a u g ( k h ) ，c k 和k h 均为循环群再由 2 5 】，i j r 日i = 1 3 或7 3 或2 4 1 或6 0 1 或1 3x1 8 1 或6 4 9 1 因7 r ( 日) 1 ( g ) ，故k 有 1 3 或7 3 或2 4 1 或6 0 1 或1 3 1 8 1 或6 4 9 1 阶元，它们共轭作用于日的s y l o w 子群 的中心可得矛盾，于是日= 1 ，从而g 只能为f r o b e r d u s 群，由( ) 得矛盾 ( 三) 由( ) 和引理4 知，g 有正规列1 鱼h 宴k 璺g ，使日为幂零霄1 ( g ) 群， k h 是非交换单群，且t ( r ( k h ) ) 2 显然t ( r ( k h ) ) 3 且k h 不能为散在 单群及岛0 ，一2 为素数) ，a i ( 4 ) ，马( 2 ) ，e 7 ( 3 ) ，a 2 ( 2 ) ，2 a 5 ( 2 ) ，因此若t ( f ( k h ) ) = 3 ， 则k 丑= c 2 ( q ) ( 3 1 4 ) ，2 g 2 ( 3 2 m ；- 1 ) ，2 d ，( 3 ) ( p = 2 “+ l ，n 2 ) ，2 d p + l ( 2 ) ( p = 2 n 一1 ，n 2 ) ，f 4 ( 4 ) ( 2 1 4 ) , 2 冠( 2 抽+ 1 ) ( m 1 ) 如果叫嚣= g 2 ( g ，) ，剧严- i - 口，+ 1 = 6 其中当g = 2 时6 = 1 3 ，当g = 3 时 b = 7 3 ，当口一4 时b = 2 4 1 ，当口= 5 时b = 6 0 1 ，当q = 7 时6 = 1 3 1 8 1 ，当q = 9 时 b = 6 4 9 1 这些方程仅当俨+ g ，+ 1 = 1 3 和严一矿+ 1 = 7