（基础数学专业论文）几类广义完全正则半群的研究.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。击隹我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包禽其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别j 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志剥 _ 水研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：砰壅童 别鹳：鹰叫 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保翩# j 冈家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权芏 垃可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：哥f 堑堑 导师签字： 套冈 签字同期：2 0 0 7 年夸月f 9 日 签字同期：2 0 0 7 年午月l o 同 山东师范人学硕士学位论文 几类广义完全正则半群的研究 _ i f 斐斐 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文定义了超富足密群，并且给出超富足密群的结构定理，最后给出了毕 竟纯整超r p p 半群性质的等价刻画具体内容如下： 第一章给出引言和预备知识 第二章首次给出超富足密群的定义，并给出超富足密群的结构定理主要 结论如下： 定义2 1 称半群s 是超富足密群如果满足以下条件： i ) s = 【y ；s n l ：其中s n = m ( b 。：l ：p n ) 是可消幺半群0 的r e e s 矩阵半 群，且尸d 在在鼠正规化； i i ) 对v ( 8 ) 5 二：( 6 ，9 ) s j ， ( n ) h ( 6 ，9 ) 铮n = 6 i i i ) 爿是s 上的l 司余 定理2 2 设b = ( y ：鼠) 是带其中y 是半格对每个n r 设叉= ，( b 。瓦：p 0 ) 是可消幺半群瓦上的r e e s 矩阵半群丁n 单位元记做f 。s a 1 w i c h 矩阵只在占玩处被正规化i 己 “n ，口( n ) 。p ：j a d p a 。品i ，口( o ) 2p 乏船。 其中o 芦y 且o 臼n 以对任意n ，y o ：令以，是瓦到乃的 个l _ j 态且满足卜列条件：对任意a ，卢：，y f q 口，。 ( i ) 以。= l l ； ( i i ) 以口，72 如，e 。( 5 如) ； ( i i i ) 如p = 口( 口) p 口彘p ( o ) ，对任意n 上0 ； ( i v ) p = p 。面。盯。，口= 。口。口p 疯矽= ，对任意6 ，c 昂和? = ( n ：9 ) 咒，其中 z ，口= ，口( 。) 口以口，口( 口) ， 对任意z = ( 口，9 ) 岛，口= ( 6 ， ) 昂，在s = u 。y & 上定义乘法+ 运算如下： 。v = ( 0 6 ，z ，a 卢p b 三舀d d _ ，口口) ， 山东师范大学硕士学位论文 则s 是超富足密群，反之，每个超富足密群在同构的意义下能如此构造 第三章定义了毕竟纯整超r p p 半群。并对毕竟纯整超r p p 半群的性质进 行了研究和推广主要结论如下： 定理3 9 关于半群s 的下列叙述等价： i ) s 足毕竟纯整超r p p 半群； i i ) s 是纯整超r p p 半群r = i & j 的膨胀s = f s ，t ；孔 i i i ) s 是左可消板s 0 的膨胀e = 【k ，& ：矗】的半格y ，且v n b ，6 如，8 6 = a 毛婚口，且对任意芦s 口y ，( ，卫，a ) r 和0 ，1 巧，p ) ，( 七，l 乃) 岛满足条件： ( ( j ，。，a ) 0 ，1 t h ，肛) ) 巧。= ( ( 主，z ，a ) ( 七，1 7 0 ，) ) b 。 = 辛( ( i 1 矗：a ) ( 工l 乃，“) ) p ，d = ( ( i ，1 l a ) ( ，1 功，正，) ) 毋口 推论3 i o 关于半群s 的下列叙述等价： i ) s 是毕竟c r p p 半群： i i ) s 是c r p p 半群r = 【y ；瓦】的膨胀s = 【s ：r ：目； i i i ) s 是左可消幺半群咒的膨胀咒= 【& 瓦；矗】的半格y ：且讹rb s j ( 1 b = n 矗6 j 乳j 且对任意口so f ( i r a ) s n 和( j 1 r ，f ) ( k 1 t ，) 乳满足条件： ( ( t a ) ( j 1 f ，p ) ) 日，= ( ( i ，z a ) ( 1 7 ：，) ) 日， ：= 争( ( z 1 丁i a ) ( j 1 p ) ) 尸t ，= ( ( i ，l 丁j a ) ( 后，1 t ，p ) ) p b 推论3 ，l l 关于半群s 的下列叙述等价： i ) s 是毕竟左c 寸p p 半群； i i ) s 是左c r p p 半群r = ；厶瓦】的膨胀s = 掺；丁；f 3 ； i i i ) s 是左零带与左可消幺半群的直积厶x 瓦的| 彭胀s 。= ( s 0 厶x 瓦：矗】 的半格y ，且v o s n ，6 岛，曲= n 靠6 妇s 0 口，且对任意p a y ，( f ，z ) 又 和( j ，l 功) ，( ，1 乃) 昂满足条件： ( ( i ，。) o ，1 ) ) b 。= ( ( i ，z ) ，1 乃) ) 尼口 = = 争( ( i ，1 e ) ( j ，1 ) ) 乃。= ( ( i ，l b ) ，l 功) ) 只， 推论3 1 2 关于半群s 的下列叙述等价： i ) s 是毕竟右c r p p 半群； 2 山东师范大学硕士学位论文 i i ) s 是右c r p p 半群t = 【y ；五a 。】的膨胀s = p ；t ；刳； i i i ) s 是右零带与左可消幺半群的直积死a 口的膨胀鼠= 【鼠，瓦a 。；矗】 的半格y ，且讹& ，6 昂，0 6 = o 矗h 妇口 关键词：半群；超富足密群；毕竟纯整超r p p 半群；毕竟c - f p p 半群；毕竟方 g r p p 半群；毕竟右c r p p 半群 分类号：0 1 5 2 7 3 山东师范人学硕士学位论文 s t u d i e so ns o m eg e n e r a l i z e dc o m p l e t e l t yr e g u l a r s e m i g r o u p s x i n gf e i f e i s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w e6 r 8 td e f i n et h es u p e r a b u n d a n tc r y p t o g r o u pa n dg i v e i t sc h a r a c t e r i z a t i o n ：a n dt h e nw ec h a r a c t e r i z et h ee v e n t u a l l yo r t h o d o xs u p e rr p p s e m i g r o u p ，t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w i nc h a p t e rl ，w eg i v et h ei n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s 1 nc h a i ) t e r2 ，w eg i v ead e 丘n i i i o no fs u p e r a b u n d a n tc r y p t o g r o u pa n dd j s c u s s t h esc 1 1 l c t u r eo fs u p e r a b u n d a n tc l 了p t o g r o u p t h em a i l lr e s u l t sa r eg - 、，e ni nf b n o w d e f i n e2 1t h es e m i g r o u i ) si sc a l l e ( 1as u p e r a b u n ( 1 a n ic r ，p t o g r o t l p ，i ft h e f 0 i l o w i n gc o n d i t i o n sa r es a t i s 6 e d ： i ) s = 【y ：& 1 w h e r es n = j f ( 口。瓦；p n ) i sar e p sn m l r i xs e l l l j g r o u l ) o n c a n c e l l a t i v em o n o i d7 二，a n d 尸0i sn o r n l a l i z e di n 在8 n ： i i ) f o ra n y ( n ) 只( 6 9 ) $ ( “ ) 九+ ( 6 9 ) = 净n = 6 ： i i i ) h i sac o n g r u e l l c eo nt h es e n l j g r o u ps ， t h e o r e m2 2l e t b = ( y ：口o ) b eab a n d ：w h e r eyi sas e n l i l a t t k ef b re 、p r y n y 1 e t 黑= 吖( b 。，l ：r ) b ear e e sm a t r i xs e n l i g r o u l ) o nt 1 1 ec a n c e l l a t i v e n l o n o i d 丁二：2 nt h ei d e n t i t ye i e m e n to f 丁二：a n dt h es a n d w i c hm a t r i xf kn o r n l a l l z e d i nt h e & x e d 舀艮，l e t u a 口( ) = p ：5 。a p 二。面a ，p ( n ) 2p 乏砧。 w h e r eo ，口ya n do p ，n b d f o ra n y 口，p y jc | j d e 6 n e dah o u l o - m o r p h i s m 以口：瓦一乃s u c ht 1 1 a t f o ra n yo ，y o 声1 t h ef o l i o w i n g c o n d i t i o na r es a t i s 6 e d ： ( i ) 以。= 1 b ； ( i i ) 艮，口，7 = 以，1 ，( 5 豇) ； ( i i i ) m 以口= ，口( o ) 盈让q p ( ) ，f o r 龇l yd b n 4 山东师范大学硕士学位论文 ( i v ) p ：三p 。舶z 盯。，卢= z ，卢p 。醯p 二：，f b ra 哪6 ，c b 卢和z = ( o ，夕) s 0 ，w h e r e z ，口= t 。，口( o ) 9 以，口，口( n ) ， f o ra n y 。= ( 口，g ) ，萝= ( 6 ， ) 昂，o ns = u 。y 鼠t h eo p e r a t i o i l sa r ed e 6 n e d a sf b 娃o w 8 ： z 牛可= ( 0 6 ，z 一口p f 动。y o _ ，。胆) ， t h e nsi ss u p e r a b u n d a n tc r y p t o g r o u p ，c o n v e r s e l ye v e r _ ys u p e r a b u n d a n t c r y p t o g r o u p c a nb es oc o 璐t r u c t e d i nc h a p t e r3 ，w ed e 矗n et h ee v e n t u a l l yo r t h o d o xs u p e rr p ps e m i g r o u p ，t h e nw e s t u d yt h ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h ee v e n t u a l l yo r t h o d o xs u p e rr p ps e m i g r o u p t h e n l a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf b l i o w ， t h e o r e m3 9t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n tf o ras e n l i g r o u ps ： i ) si sa ne v e n t u a l l yo r t h o d o x 吼i p e rr p ps e n l i g r o u p ： i i ) si sa ne x p a s i o ns = 【s ：丁：f 1o fa no r t h o d o xs u p e rr p ps e l l l i g r o u p 丁= f y ；s n 】； i i i ) si sas e m i l a t t i c eyo fe x p a s i o n s 瓦= 【瓦，s 0 ：f n 】o fl e f tc a n c e l l a t i v e p i a l l k 鼠a n df o ra n yo l 6 乃，n 6 = d 己凸0 s 0 j a 1 1 ( 1f o ra n yj n y ( i ，z ，a ) s na n d ( j 1 r j ，) ( 膏1 t o 王，) 昂t h a ts a t i s n e st h er ( ) n d i l i o n ： ( ( i z ，a ) ( 1 r ，p ) ) p ，= ( ( j z ，a ) ( 七1 7 ：，p ) ) 局， = = 争( ( i ，l l ：a ) ( j 1 n ，p ，= ( ( i ，1 n ，a ) ( 1 n 川) p ， c o r o l l a r y3 1 0t h ef o l l o w i n gs t a t e n l e n t sa r ee q u i v a l e l l tf o ras e i n i g r o u ps ： i ) si se v e u t u a l l yc r p ps e n l i g m u p ： i i ) si sa ne x p a s i o l ls = 陋：丁；科o fc r p ps e i l l 培r o u j ) z = f y ：瓦j ； i i i ) si s as e m i l a t t i c eyo fe x p a s i o n s & = 【，瓦；矗】o fl e f tc a n c e l l a t i v e m o n o j de ：a n df o ra n y8 冀，6 函，8 6 = 8 矗6 白s a 口：8 n df o ra n y 多 n f ( i ，z ，a ) & a n d ( j ，1 7 h ，肛) ，( 七，1 丁b ，p ) 昂t h a ts a t i s 丘e st h ec o n d i t i o n ： ( ( i ，z ，a ) 0 ，1 砀，) b 。= ( ( i ，z ，a ) ( 七，l 西，) ) = 亭( ( i ，1 ，a ) ( 1 ，肛) ) = ( ( ，l 死，a ) ，1 功，p ) ) p ， c o r o h a r y3 1 lt h ef o i i o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a i e n tf o ras e n l i g r o u ps ： i ) si se v e n t u a n yl e f tc r p ps e m i g r o u p ； i i ) si sa ne x p a s i o ns = 【s ；t ；刳o f l e f tc r p ps e m i g r o u p 丁= 【y ；，0 瓦】； 5 山东师范大学硕士学位论文 i i i ) s i sas e m i l a t t i c e y o fe ) 【p a s i o n s = 【& ，厶矗；矗】o f t h e d i r e c t p r o d u c t 厶x 露，w h e r e 厶i sal e f tz e r ob a n d ，t h e 死i st h e 王e c a n c e l l a t i v em o n o i ds e m i g r o u p ，a n d 讹& ，6 品，n 6 = 吒b 妇& 卢，a n df o ra n y 卢a ( ，z ) s 0 a n d ( j ，l 了_ ) ，( 七，1 码) 函t h a ts a t i s t j e st h ec o n d i t i o n ： ( ( t ，z ) ( j ，1 功) ) = ( ( ，) ( ，1 功) ) = = ： ( ( i ，l 矗) d ，1 巧) ) 蜀j = ( 0 ，1 站) ( 七，1 乃) ) 只。 c o r o l l a r y3 1 2t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n tf o ras e m i g r o u ps ： i ) sj 培e v e n t u a i l yr i g h tc r p ps e m i g r o u p ； i i ) si sa ne x p a s i o ns = 【s ；r ；刳o fr i g h tc r p ps e m i g r o u pt = ( y ；死xa 。】； i i i ) s i s a s e m i l a t t i c e y o f e x p a s i o 瑚& = 【& ，疋k ；矗1o f t h e d i r e c tp m d u c c 7 二a 口，w h e r e7 二i st h el e f tc a n c e l l a t i v em o n o i ds e m i g r o u p ，a oi sar i g h tz e r ob a n d a j l d 沌岛，6 岛，凸6 = 。6 白口 k e y w o r d s ：s e n l i g r o u p s ，s u p e r a b u n ( 1 a n tc r y p t o g r o u p ，e v e l l t u a u yo r t h o d o xs u p e r r p ps e n ) i g r o u p ，e v e n t u a n yc r p ps e m i g r o u p e v e n t u a l l yl e r tc r p ps e m i g r o u p s e v e n t u a u yr i g h tc r p ps e n l i g r o u p s c l a s s i 6 c a t i o n ：0 15 27 6 山东师范大学硕士学位论文 第一章几类广义完全正则半群的研究 1 1引言 1 9 4 1 年c l 矗f o r da h 在文【1 】中提出了完全正则半群的概念文【1 1 中，c l i 仃- o f d 证明了半群s 是一个完全正则半群当且仪当s 是完全单半群的半格 所以完全正则半群s 通常被表示成s = 【y & 】，其中y 是半格，岛是完全 单半群1 9 4 0 年：r e e s 在文【2 1 】中给出了完全单半群的一个优美的r e e s 矩 阵表示l a l l e m e n t 于1 9 7 6 年在文【1 2 1 - i - 给出了完全正则半群的一个置换表 示w a r n e 予1 9 7 3 年在文2 5 1 中用群和右零半群的半格发左零半群的半格的 一般化的s c h r e i e r 积刻画了完全正则半群1 9 7 4 年p e t r i c h 在文f 1 8 1 中用完全 单半群的平移包的、t r e a t h 移 表示更细致地刻画了完全正则半群的结构 在完全正则半群中最重要的断类是密群和纯正群并( 参见( 2 1 2 0 1 8 j ) 称一个完全正则半群s 为密群，如果s 上的g r e e n 关系h 是一个同余密群 s 破称为正则密群如果影爿是一个正则带而一个密群s 放称为正规密群 如果s h 是一个正规带 在推广正则牛群时f m m t a i n 5 1 研究了广义的格林关系即* 一格林关系定 义了c 冗，h 和d 。如下： n c b 当且仪当( 协。p s 1 ) “t = n = ；打：岵 8 冗b 当且仅当( 比三，s 1 ) r n = 胆斟- ? 厶= 咖 h = c ln 冗+ 口+ ：c v 冗 称半群s 是富足半群，若s 的每个c ，类和冗+ 一类包含s 的幂等元我们称半 群s 分别是r p p ，l p p 和超富足半群，如果每个s 中的，冗+ ，爿类包含s 的军 少一个幂等元在此基础上我们在本文中进一步推广了格林关系，定义了c j 如下： c t j = ( “，6 ) i ( 比，可s ) n z = 口 = = = 争6 z = 6 口) 因此我们定义了毕竟r p p 半群，如果每个s 中的c ( j 类包含s 的至少一个幂 等元许多学者已经着重研究半群的这些类何勇f 25 1 对纯整超r p p 半群的定 义和结构给出了精确的描述，称s 满足e h r e s m a n n 型条件，b l je t 条件，如果 ( v 8 ，6 s ) ( 6 ) 。d o 功+ 7 山东j | i | j 范大学硕士学位论文 其中口= ( e ，) e ( s ) e ( s ) l ( 却e ( s ) ) e 冗9 c ，) 一个纯整强r p p 半群s u q 做纯整超r p p 半群，如果满足e ( s ) 是带，且s 满足e t 条件 本文首次给出超富足密群的定义，并且给出超富足密群的结构定理最后 给出了毕竟纯整超r p p 半群的定义和性质的等价刻画 8 山东师范大学硕士学位论文 1 2 预备知识 在这一部分，我们首先给出本文需要的一些概念和记法其它未说明的概 念和符号见h o w i e 【1 1 1 定义1 1 【5 】定义半群s 上的等价关系，彤，”和矿如下： o b 当且仅当( ，口s 1 ) o z = 叼 = 争6 z = 6 1 ， n 冗强当且仪当( 协，分s 1 ) 。= 可n = 争曲= 加 咒= n 冗口。= c v7 宅 易见h 。c ：冗矿，对任取的n s ，含元素n 的c 一类限+ 类，m 类，口一类】分别记为e r ：，域优】容易证明c c + 冗冗易证c 和 冗分别足s 上的右同余和左周余，另外：对任意的e e 习e 分别足e 群 和怫中的右单位元左单位元和单位元若( n 6 ) 彬则 z = 弘= 亨0 6 c o = 口6 e f 。= 号n 厶z = a 幼 曲z = 曲= = 净n ( 6 t ) = n ( 6 ) = = 争e ( 6 z ) = e ( 6 ) = = 净6 z = 6 p ：= = e o = e p 故a b c 。e 对偶地有a ) 冗e 冈此。6 h ：f c 为s 的子半群叉易得，鬈为可 消的因此h ：是s 的一个含幺元e 的可消予半群 定义1 2 称幺半群t 是可消幺半群如果对任意d 6 c 丁 n 6 = o c 号6 = c 且妇= 辛6 = c 定义1 3 可消幺半群t 的町逆元群记为g ( t ) ，即 g ( r ) = o ti 弓b t ，曲= 6 n = 1 ) 其中1 为t 的幺元 定义1 4 1 l 】称r e e s 矩醇半群们= m ( ，瓦 ；p ) 是可消幺半群t 上的r e e s 矩阵平群，如果t 为可消幺半群，其夹心矩阵p 的所有元都属于r 的可逆元 群g ( 丁) ，m = m ( ，t ， ；p ) 的乘法为： 0 ，9 ，a ) 0 ， ，p ) = 0 ，9 r 。 ，p ) 注】5 另设b = ， 是一个矩阵带，而o = ( i ，a ) ，6 = ( j ，肛) b ，9 ， g 为 了后面的元算方便，我们把( ，9 ，a ) 记作( a ，g ) ，而把u 九，p ) 记作( b m ) 它们都 9 山东师范大学硕士学位论文 分别是s 的元索另外，我们把p m 记作，这是s a n d w i c h 矩阵p 的元素这 样处理以后，s 的乘法就应该表述为 。 ( o ，9 ) ( 6 ， ) = ( 0 6 ，夕z k ) 我们相应用m ( b ，g ，p ) 表示这样的r e e s 矩阵半群s ， 定义1 6 我们称p 在n b 处正规化，如果对任意的6 b ，肌。= m = 。 注1 7 令9 g ( 丁) ，用岛表示t 的内自同构，即z g = 9 1 。9 ，v z t 定义1 8 半群s 称为r p p 半群，如果v o s ，l ：n e ( s ) 曲，其中e 是包含a 的类 引理1 9 4 】设s 足半群则下列叙述等价： ( i ) c = ( o ，6 ) sxsf ( 比，9 s 2 ) 。z = n = 亭缸= 的 ，是s 上的右同 余： ( i i ) 对v n s ，e e ( d e ) c 当且仪当e c ，且对任意z ，s 1 z = n = 净e = e ( 其中巧= c e ( s ) i o e = ； ( i i i ) 对任意e ，e ( e ，) c 。当且仅当( e ，) c ： ( i v ) s 的每个h 类最多包含一个幂等元：( 如果幂等元存在，吃0 s ) 的 唯一幂等冗记做n o ： ( 、7 ) 如果s 是一个左可淌幺半群，则它是一个幂幺半群( 即有唯一幂等元 的幺半群) ： ( v i ) s 是一个c - l p l ) j 仁群( 即幂等元是中心的r p p 半群) 当且仪当s 是一个 左可消幺半群的半格当且汉当s 是一个左可消幺半群的缇半格 定义1 1 0r 1 ) p 半群s 叫做强r p p 半群，如果对丁任意o s l ：n 以的集合包 含唯一元“，其中以= e e ) l e n = n ) 定义1 1 l 个强r p p 半群足纯整的如果它的幂等元构成子半群 定义1 1 2 纯整强r p p 半群s 叫做纯整超r p p 半群，如果满足e ( s ) 是带，且s 满足e t 条件 ( 讹：6 s ) ( n 6 ) 口n + 扩 其中d = ( e ，) e ( s ) e ( s ) i ( j 9 e ( s ) ) e 冗9 c ，) 定义1 1 3 个左可消幺半群t 和一个矩形带，a 的直积叫做左可消板，并 记成，t a 1 0 山东师范大学硕士学位论文 引理1 1 4 【2 5 】半群s 是纯整超r p p 半群当且仅当s 是左可消板= 厶矗a 。 的半格，且满足对任意p 口( i ，z ，a ) & 和0 ，1 乃，芦) ，( 而，1 珀，功昂： ( ( i ，z ，a ) ( j ，1 功，p ) ) p ，口= ( ( i ，z ，a ) ( ，1 ，) ) p b = = 争( ( i ，1 ，a ) 0 ，1 功，p ) ) p ，口= ( ( ，1 死，a ) ( 自，1 功，i ，) ) 已口 定义1 1 5 强r p p 半群叫做左c r p p 半群，如果对v e e ( s ) ，e s & 定义1 ，1 6 强r p p 半群叫做右c - r p p 半群，如果对v e e ( s ) ，乳e s 注1 1 7 以下我们说s = 【y ；s o l 为纯整超r p p 半群即指s 是纯整超r p p 半群 且是左可消扳岛的半格 注1 1 8 以下我们晚s = 【y ；厶b 1 为左c r p p 半群即指s 是左c ，r p p 半群 且是左零带厶与左可消幺半群咒的直积的半格 注1 1 9 以下我们说s = y ；瓦a 。】为右c r p p 半群即指s 足右c r p p 半群 且是左町消幺半群l 与右零带k 的直积的半格 注1 2 0 设x 是半群( s l i = l ，2 ，n 的次直积记b 。s ，为x 到s ，的 投影，使得v ( 0 1 ：n 2 n ，) x ，( 。1 ，n 2 ：，n 。) b 。s ，= ( n i 一，) 同理：p s ，表示 x 到& 的投影：使得v ( n l ，n 2 ，一，o 。) x ( n 1 n 2 n 。) 户童= n ， 山东师范大学硕士学位论文 第二章超富足密群 2 1 主要结论 定义2 1 称半群s 是超富足密群，如果满足以卜| 条件： i ) s = f y ；& 】其中& = m ( b 口，疋；r ) 是可消幺半群瓦的r e e s 矩阵平 群，且只在玩正规化； i i ) 对v ( o ， ) s ：，( 6 ，9 ) 昂， ( n ，h ) h ( 6 j 9 ) = = = o = 6 ； i i i ) 咒是s 上的同余 定理22 设b = ( 1 ：鼠) 是带其中y 是半格，对每个o y 设r ： ，( 日。矗；只) 是可消幺半群矗卜的r e e s 矩阵半群e 单位7 i 记做b s a n d w i c h 矩阵尸n 在6 眈处被止规化记 j ( n ) = p 赢a 如。知6 ，口( d ) = j 耐 其中n 0 ，且n j “既对仃意o p f n j 令靠j 是瓦到乃的 。个同态目满足下列条件：对任意o j ，1 y n 。， ， ( i ) 以。= l r 。： ( i i ) 如，p ，= 以，( 6 磊) ； ( i i i ) p n 靠d = j ( n ) 以函“砌( n ) ，对仃意n b 。； ( i 、) p 三p 。孔。盯。3 = z 仃0 ，p ，j p 意，对任意6 ：c 玩和# = ( n ，9 ) s 0 其中 z d ，= u n ，口( n ) 9 9 。口，口( n ) 对任意。；( n ，9 ) = ( 6 ， ) 昂，在s = u 。ys o 卜定义乘法m 运算如下： 卫4 菪= t n b ，z 口q ? q 8 p b 葫d 8 冉曲， 则s 是超富足密群，反之每个超富足密群在同构的意义下能如此构造 1 2 山东师范大学硕士学位论文 2 2 直接部分的证明 本节采用t 章的说明和符号我们分若干引理完成定理2 2 的直接部分的 证明作为定理2 2 的条件( i v ) 直接结果，我们有下面的四个引理 b i 理2 1 设o ，p y 且n 卢，z = ( n ，g ) & ，6 ，c ，d b j 贝u ( 1 ) p 二扣。舭口卅= z ，口p 蕊p 乏p 加p 孟； ( 2 ) p 盎m c 6 p 晶p 。缸z ，口= z ，口p 咖p = 证明对v z = ( o ，9 ) & ，6 ，c b 口，p = 如魂。口。，p = 。口。，口p 西p = ，我们有 心彘z ，口= p 。c b 卫，卢p 。品p 孟= p 。d 6 z 盯n ，口? ) d 声。p 五：， 其中d 昂因此( 1 ) 成立类似的，我们能够证明( 2 ) 式成立 引理22 设o 卢y ，且o 卢鼠，6 ，c d ，e 昂，满足a c r a d 则磋珊2 p 二：m 。= 坛：p d c 。 证明令z = ( n 9 ) s 因为”r a d 我们柯a c = a d a c 所以a c b = a d a c b 因此 a c b = a d b 由条件( i v ) z 仃。口p 。孔p ；2 = p 二：p n 孔z 盯。j = p ：五p 。盈c 仃。犀= z 盯n 粤p d j d p 花 所以】，j ，d 孔= p 孟p 批既然b 是b ，的任意元，我们囱 j = j ：p d 函= p 五：p d k = p 二：p 打n 所以等式成立 类似于上述引理，我们有 引理23 设n ，n2 侈盘上k ，6 ，c ，d ，e b j 且c a l ( 1 a 则_ j c 磋f = 肌p 盎= m 。p 晶 证明令z = ( n ，9 ) & 因为c a l d a ：我们有c a = c a ( 1 a ，所以b ( a = b c a f j a 所以 b c a = b d a 由条 ，| ：( i v ) p 2 p 。彘z ，序= z 盯。，口p 6 孔p 孟：= z 口。口p 6 声。7 巧2 = p 二名p 。j d z 盯n 口： 所以p 麓n 尻= p 盎p 。加，即p 。良p 盎= 6 c p 盎因为6 b p 的任意元- 我们有 p 旅p 五2p n k p 动2p 。e c p 五 所以等式成立 引理2 4 设o ，p n 卢，n 玩，6 ，c b p ，则p 。葫= 肺= 乳。缸 证明在引理2 2 中，取c ：o 万和d = 反既然昂在万处被j 下规化我们有 如盈= p 。籼类似的，我们有心西= p 。岳所以等式成立 1 3 一些查塑蔓叁堂堡主堂垡堡皇 以下我们反复利用以上的引理来简化结合律的验证 g f 理2 5 设b = ( y ；鼠) 是一个带，而口，卢y o p ，如果o 鼠，6 ，c b 口，则 b a c = b c 亏f 理2 6 设o ，f a o ，6 玩贝f j 一0 6 ) = ，口( 6 ) 证明由，口的定义和引理2 5 ，我们有 ，( 2 磕赫= ，淼6 = ，口 所以结论成立 为了方便，从引理2 7 到引理2 1 5 ，对于口，屈，y r 我们表示：n 矽：q 所： s j 理2 7 r 设n ，p ，7 y n 曰：，贝u ( 1 ) ( u 。 ( o ) ) d = “矗( n 舀f n 鑫) 2 ，：扫占砧占五占p 6 。昂寿踣。如矗2 七6 ( 舀d 面在) ( 2 ) ( f 扣) ) 嚷6 = “i j ( a n 蠢n ) p ：蟊。穗。菇。r 矗( 五。蟊n ) 证明由条件( i i i ) 以及。d 的定义我们有 “。，f ( ) j 。( p 赢5 职面a ) j 2 “i ；( 。五矗a ) p ：昂a 晶a 矗6 j ( d a 矗在) 址6 ( 石n 黾矗) j p i 。五a 积。如5 “ d ( 五n 昂占) = u ；s o t a 三l a3 p ：；5 。x i 。x b x p i 。强畚穗。；。i u | ，6 t 五。三“矗) ( 由弓l 码i26 1 类似的我们能匈多证明( 2 ) 式 引理2 ，8 设n j jn 风d 陵则 u “( q 6 ) t r 矗( n 和) 嘿品矗= p 靠 证明由f ，fd 的定义我们自。 咐( n 6 ) u 矗( d n ) p = 矗矗 2 p n 云施秽而6 晶b 知毛孔而抒知西五矽i 孔五 2 p 未。以赫峨z 出西瑶晶五( 既然b 是带) = j ，二毛脯。妒石6 晶b 赫爵；品瑶品昂( 由引理2 4 ) = 哦6 手l 如6 如；玩可。吃三扎矗( 由引理2 5 ) 。p 基瞧6 移矗。蕊碟孔五( 在引理2 2 中，取d = i6 = 瓦6 ，c = 6 五d = f q 硒而e = 。p ：矗矽扣b i 矽盖乞f 。矗品妒= 晶五( 由引理2 4 ) = p 五舻强b 蘑尹云b 儿知j 癌拓而( 由引理22 ) 1 4 山东师范大学硕士学位论文 2 蠕拱静。而矽未砾( 由引理2 4 ) 2 以泛矽。矗砾 = 晦玩p 未砾( 在引理2 3 中取b = 6 瓦c = 琵d = 硒，e = 面动 2 p 惫蟊蕊嚆雅( 由引理2 4 ) = 堍- 引理2 9 设o ，卢，7 y ，n 鼠则 n “( 藏司再( n ) ) ，5 = 尹未瓣。蟛( 舀o f 孔) ， 证明由引理2 7 ( 2 ) ，我们有 嗽，a ( 鑫蟊) ，f ( n ) ) 如，5 2 嗽，d ( 五乒) u 矗( 动在n ) p 翥。括。巯嵋( 鑫o f 孔) 。p 未稚。唰( 鑫n f 占“) ；i 理2 1 0 设d ：，y f 口。6 b 口贝0 “f ，j ( n 6 ) 三；( n a f n 矗) 芦：蟊齐晶矗而占= 戎品矗矗 证明由引理2 5 我们有曲= o 蠢( n 6 ) 在引理2 8 中我们用n a 代替a 用a b 代替b 则等式成立 5 i i 莹2 1 li 艾o 7 z = ( “9 ) 冀蚍u 。ne 1 铁6 。“；：o 菇n i l | ) i ：i n d i i 。x k ；d i 砭。i z o n6 睢。i 孔- 证明由引理2 7 ( 1 ) 我们有 ( j 靠f ) 睡6 = ( “。f ( a ) 9 目。f u 。，e ( ) ) 比6 = “三j ( n a f n a ) p ：石占如6 五5 j ，a 。五6 话。知矗“f ，6 ( 舀o f n a ) 9 口nf 嚷d ( hf 扣) 腴d = q 吣d ( a n 五舀) “矗( 舀蟊) 9 以5 “和( 鑫蟊) ( ，e ( 。) ) 睢d ( 由条件( i i ) ，且令q = 矗( n 鑫f n a ) 五6 孔a 昂i p 6 。五a 话。而i ) 2 q 磙名。西癖。舀乐5 靠。翠未瓣；巷蟊猕蟊疗 ( 其中r = 钍印( 鑫蟊) ( ”“( o ) ) ) = o p ：蒜。豳a 强。印蠢去矽a ；拓猡以，d 冗( 由引理25 ) = q p ：矗a 描。如5 强。喘f 五蕊芦日。，6 r ( 由引理2 4 ) = q p ：而矗妒蟊舀礁尹磊船印以，5 r ( 由引理22 和引理2 5 ) 1 5 些查塑翌盔堂堡主堂垡堡塞 = q p 乏强占i ；矗i 墙如蟊诒秒日。，6 r ( 由引理2 4 ) = q p 淼6 露缘面渤蟊i 猡以，d r ( 由引理2 。2 ) 2 q p 乏石i i 如蟊i 猡口。，6 兄( 由引理2 4 ) = 峙矗簿露1 上州( a ) 9 如，j j ( 舀) 吒；( 鑫) 月( 既然d ( 占) = 如) 2 q p 志& i ；如蟊铲，6 吒；( a ) r ( 其中z = ( 舀，9 ) ) 2 ，j 只而硫味a 礤承p 淼吒；( 舀) r ( 应用引理2 1 ( 1 ) ，取a 为鑫洳为瓦e 为n 占夏d 为君两 = q a 6 ( 舀) 熊，j 6 ( 占) p 。扫a 拓乏占i 蟊p 墨i 强p 言话p 矗砧r = q 9 如，j 壤凡五矗蒜三舀i 蟊j ，蟊i 蟊p 未矗p 五缸r 2 以，6 p 未p 而6 诒嘿a 蕊p 稚瓣p 未拓蹁a r ( 由引理2 2 ) 2 q 口以6 p 未p 。矗d 薪p ：6 i 盔p 蟊i 蟊r ( 由引理2 4 ) 2 q 9 以d