（基础数学专业论文）小波框架、局部采样问题及应用.pdf

中文摘要 论文题目： 专业： 博士生： 指导教师： 小波框架、局部采样问题及应用 基础数学 杨寿渊 林伟教授 中文摘要 这篇博士论文主要研究小波框架、局部采样问题及其在数值计算中的应用。论文的 前一部分研究了高维小波变换的性质，估计了高维小波变换的卷积再生核的光滑性和衰 减性，给出了高维非均匀小波框架的构成条件和相应的框架界的估计。而论文的后一部 分主要研究局部采样问题。我们对采样函数的衰减性进行了比较细致的估计，研究了采 样问题中常用的若干算子的局部性，从而为采样问题的局部重构算法提供了理论支撑。 我们还对各种各样的局部采样问题作了归纳，给出了一般的提法，并对重构算法的局部 误差界作了定量估计。此外，我们还利用局部采样的方法来逼近函数和几何曲线以及 求l a p l a c e 方程的局部解，并给出了算例。全文共分为六章。 第一章为综述，扼要地介绍了问题的背景、发展与现状，同时还简述了有关框架 和硒e s z 基的一些基本概念和基本事实，为后面的章节作知识准备。 第二章我们首先研究了高维小波变换的性质，对其卷积再生核的光滑性和衰减性作了 估计，然后将小波再生公式离散化，给出了高维非均匀小波框架的构成条件，并给出了 相应的框架界的估计。 第三章我们利用f o u r i e r 分析的方法和b a n a c h 代数的方法对采样函数的衰减性作了估 计，证明了当尺度函数( 或生成子) 妒w o ( l 1 ( 剜) ) 具有0 ( h 一4 ) ( 或o ( h 一9 ) ) 的衰减 性时，采样函数也具有同样的衰减性。这一结果将n a t r e 等人的结果推广至高维欧氏空 间的情形，同时去掉了某些不必要的限制。 第四章我们研究了采样问题中若干常用的算子的局部性，给出了这些算子的局部界的 定量估计，从而为采样问题的局部重构算法提供了理论支撑。 第五章对各种各样的局部采样问题作了归纳，给出了一般的提法，并对重构算法的局 y s h o u y 自2 6 3 t n e t 第i 页，共1 0 7 页博士学位论文 中文摘要 部误差界作了定量估计，证明了随着采样区域的扩大，局部误差是递减的，而且其衰减 速度与平移不变空间的生成子或多尺度分析的尺度函数的衰减性大致相当。此外还证明 了局部误差随着采样密度的增加而成指数衰减。 第六章利用局部采样的方法来逼近函数和几何曲线以及求l a p l a c e 方程的局部解，并 给出了几个具体的算例。 关键词：小波框架，局部采样问题，采样函数的衰减性，卷积再生核，局部性。 y s h o u y 2 6 3 n e t 第i i 页，共1 0 7 页 博士学位论文 t i t l e ：w a v e l e tf r a m e s ，l o c a ls a m p l i n gp r o b l e m sa n da p p l i c a t i o n s m a j o r ：p u r e m a t h e m a t i c s n a m e ： y a n g s h o u - y u a n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl i nw e i a b s t r a c t t h i sp h d t h e s i si sm a i n l yc o n c e r n e dw i t hw a v e l e tf r a m e s ，l o c a ls a m p l i n gp r o b l e m a n dt h e i ra p p l i c a t i o n si nn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n t h ew h o l et h e s i sc o n s i s t so ft w op a r t s i nt h ef i r s tp a r to ft h i st h e s i sw ei n v e s t i g a t et h ep r o p e r t yo fh i g h e rd i m e n s i o n a lw a v e l e t t r a n s f o r m ，e v a l u a t et h er e g u l a r i t ya n dd e c a yo ft h ec o n v o l u t i o nr e p r o d u c i n gk e r n e li nt h e i m a g e o ft h ew a v e l e t t r a n s f o r m ，p r e s e n t as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rn o n - u n i f o r mw a v e l e tf r a m e s ， a n dw ea l s og i v ea ne v a l u a t i o nf o ri t sf r a m eb o u n d s i nt h es e c o n dp a r to ft h i st h e s i sw e m a i n l yi n v e s t i g a t et h el o c a ls a m p l i n gp r o b l e m w eg i v eas u b t l ee v a l u a t i o nf o rt h ed e c a y o ft h es a m p l i n gf u n c t i o n w ea l s oi n v e s t i g a t et h el o c a lp r o p e r t i e so fs e v e r a lo p e r a t o r st h a t a r ef r e q u e n t l yu s e di ns a m p l i n gt h e o r y , t h er e s u l t sp r e s e n ta na c a d e m i cs u p p o r tf o rt h e l o c a lr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mi ns a m p l i n gp r o b l e m w ea l s op r e s e n ta g e n e r a lf r a m ef o ra l l k i n do fl o c a ls a m p l i n gp r o b l e m s ，a n dg i v ea l lq u a n t i f i c a t i o n a le s t i m a t ef o rt h el o c a le r r o r b o u n d b e s i d e s ，w ea l s ou s el o c a ls a m p l i n gm e t h o dt oa p p r o x i m a t ef u n c t i o n sa n dg e o m e t r i c c u r v e 8 a n dt of i n dt h es o l u t i o no ft h el a p l a c i a ne q u a t i o nl o c a l l y s e v e r a ln u m e r i c a lr e s u l t s o r ep r e s e n t e d t h i sp h d t h e s i si sc o m p o s e do fs i xc h a p t e r s i nc h a p t e r1 1w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dr e c e n td e v e l o p m e n to ft h ep r o b l e mt h a t w ea r em a i n l yc o n c e r n e da b o u t a sp r e l i m i n a r i e s ，w ea l s op r e s e n ts o m e c o n c e p t s ，n o t a t i o n s a n dr e s u l t so nf r a m e sa n dp d e s zb a s e st h a tw i l lb eu s e df r e q u e n t l yi nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s i nc h a p t e ri i ，w ef i r s ti n v e s t i g a t et h ep r o p e r t i e so ft h e h i g h e rd i m e n s i o n a l w a v e l e tt r a n s - f o r m ，e v a l u a t et h er e g u l a r i t ya n dd e c a yo ft h ec o n v o l u t i o nr e p r o d u c i n gk e r n e li nt h ei m a g eo f t h ew a v e l e tt r a n s f o r m t h e nw ed i s c r e t i z et h ew a v e l e tr e p r o d u c i n g f o r m u l a ，g i v eas u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o rn o n - u m f o r mw a v e l e tf r a m e s ，a n dw ea l s og i v ea ne s t i m a t ef o rt h e c o r r e s p o n d i n g f r a m eb o u n d s y s h o u y 2 6 3 n e t第i i i 页，共1 0 7 页博士学位论文 英文摘要 ： ：! ! ! ：! = = = = = = = = = = = ! = = = = = = ! = = ! ! ! ! = i nc h a p t e ri l l ，w eu s ef o u r i e ra n a l y s i sm e t h o da n db a n a c ha l g e b r a m e t h o dt oe v a l u a t e t h ed e c a yo ft h es a m p l i n gf u n c t i o n w ep r o v et h a ti ft h es c a l i n gf u n c t i o n ( o rg e n e r a t o r ) 妒 w 0 ( l 1 ( 刑) ) p o s s e s s t h ea s y m p t o t i cr a t eo fd e c a yo ( i x l 一9 ) o ro ( i x l 一4 ) ) ，t h e nt h es a m p l i n g f u n c t i o na l s op o s s e s st h es a m ea s y m p t o t i cr a t eo fd e c a y , t h e r e f o r e ，w eg e n e r a s z e dt h er e s u l t s o fn a t r e a se ta l ，t oh i g h e rd i m e n s i o n a lc a s e s ，a n dw ea l s od e l e t e ds o m er e s t r i c t i o n si nt h e i r p u p e r s i nc h a p t e ri v ，w e i n v e s t i g a t et h e l o c a lp r o p e r t i e so fs e v e r a lo p e r a t o r st h a ta r ef r e q u e n t l y u s e di ns a m p l i n gt h e o r y , p r e s e n ta na c a d e m i cs u p p o r tf o rt h el o c a lr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m i ns a m p l i n gp r o b l e m i nc h a p t e rv ，w eg i v eau n i v e r s a lf r a m ef o ra l lk i n do fl o c a ls a m p l i n gp r o b l e m s ，e v a l u a t e t h el o c a le r r o ro ft h er e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m w ep r o v et h a tt h el o c a le r r o rw i l ld e c r e a s e i fw ee x t e n dt h es a m p l i n gd o m a i n t h ea s y m p t o t i cr a t eo fd e c a yo ft h el o c a le r r o ri sa l m o s t t h es a m ea st h ea s y m p t o t i cr a t eo fd e c a yo ft h e s e a l i n gf u n c t i o n ( o rg e n e r a t o r ) b e s i d e s ，w e a l s op r o v et h a tt h el o c a le r r o rd e c a y se x p o n e n t i a l l ya st h es a m p l i n gd e n s i t yi n c r e a s e s i nc h a p t e rv i ，w eu s el o c a ls a m p l i n gm e t h o dt oa p p r o x i m a t ef u n c t i o n sa n dg e o m e t r i c c u r v e s ，a n dt of i n dt h es o l u t i o no ft h el u p l a c i a ne q u a t i o nl o c a l l y , s e v e r a ln u m e r i c a lr e s u l t s a r ep r e s e n t e d k e yw o r d s ：w a v e l e tf r a m e s ，l o c a ls a m p l i n gp r o b l e m ，d e c a yo ft h es a m p l i n gf u n c t i o n ， c o n v o l u t i o nr e p r o d u c i n gk e r n e l ，l o c a lp r o p e 哪 y s h o u y 2 6 3 n e t第i v 页，共1 0 7 页博士学位论文 第一章综述 第一章综述 小波分析和采样理论是当今应用数学领域的两大研究热点，它们无论在理论还是在 应用方面都具有十分重要的意义。小波分析自上世纪八十年代初被正式提出来后被数学 家、工程师以及物理学家广泛而深入地研究，至今方兴未艾。这一学科之所以具有如此 旺盛的生命力是因为它具有广阔的应用前景，在数学领域人们以它作工具来刻画各种各 样的函数空间，研究各种算子的性质，研究局部紧群的表示理论，做偏微分方程的数值 计算等；工程师们则用它来做数字信号处理、数字图像处理、模式识别等；物理学家则 用它来研究量子力学。对采样理论的研究可以追溯至上世纪4 0 年代甚至更早，如今它己 被广泛应用于通信理论、图像处理、地质勘探、铡量等领域。本章我们将简述它们的基 本概念、历史背景、发展现状及本文的主要工作。 1 1 连续小波变换 经典的f o u r i e r 分析本质在于将任意一个函数表示成三角函数的叠加，即 i ( x ) = 9 ( u ) e 浙“山，( 1 - 1 ) 其中 e 。= c o s ( 2 r w ) + is i n ( 2 7 r w ) ：u 珊是各种不同频率的- z 毳函数，g ) 是相应的 叠加系数，它可以由下列公式求得 g ( u ) = f ( x ) e 叫2 出，( 1 - 2 ) 我们称之为，( $ ) 的f 0 u r i e r 变换并记之为，) 。理论上，) 应包含了，( z ) 的全部信息，我们 可以将对，( z ) 的分析转化为对其f 0 u r i e r 变换，) 的分析。但是f o u r i e r 变换是稳态的，不 能反映频率随时间的变化，这就给非平稳信号分析和实时信号处理等带来了许多不便。 为了克服这个困难，g a b o r 2 6 ，4 2 ，5 4 t 1 9 4 6 年引入了窗 ： f o u r i e r 变换 岛，( p ，q ) = f ( t ) g ( x - - q ) e 。出， 及其逆变换 f ( t 1 = 赢ei g 曲，瓣删d p d q ， 其中g 是一个局部性很好的函数，即它的主要部分集中在0 的某个邻域内，而在这 个邻域的外面可以忽略不计例如g ( t ) = 一1 ，l 】( ) 以及高斯函数g ( t ) = 孺1 e 一。2 2 等。 当参数q 固定时，岛，( ，q ) i e 是函数，( ) 页j = 而的f b u r i e r 变换，反映了，在g 点附近的 y s h o u y 2 6 3 n e t第1 页，共1 0 7 页博士学位论文 l _ 1 连续小波变挟 频率信息。当q 变化时，窗口函数9 ( 一q ) 的中心随之移动，覆盖了整个时域。 但是窗口f o u r i e r 变换也有一个缺点，那就是窗口的大小和形状是固定不变 的，无法自动调整。而实际应用中，由于频率与周期成反比，分析高频成分 需窄的时间窗口，分析低频成分需宽的时间窗口，这是窗口f o u r i e r 变换所无 法胜任的。小波变换恰好能够克服上述缺点。这一领域的先驱包含纯数学 家a p c a l d r 6 n 2 0 、y m e y e r 8 9 、物理学家w a s l a k s e n 和j r k l a u d e r 6 、p a u l 9 4 、工程 师e s t e b a n 和g a l l a n d 4 7 、s m i t h s d b a r u w e l l 1 0 4 、v e t t e r f i 1 1 5 、j m o r l e t 9 0 乘l 应用数学 家i d a u b e c h i e s 4 0 、s m a l l a t 8 6 、c k c h , q 2 7 1 等。小波变换的基本思想是用一个函 数经平移和伸缩变换所得到的函数族作为基本模板来展开任意一个函数。设砂l 2 ( r ) ， 对它作平移和伸缩变换而得到下列函数族 札刷却i 。胆妒( 等) ，v a , 6 咄。0 ( 1 - 3 ) 我们称之为小波函数族。当妒满足下列容许条件 q e 铧凼 0 既定，则得到一 个映射t ：l 2 ( 冗) 一1 2 ( z 2 ) ， ( t ) 。，。= ( r “，) ( n 孑，n a 孑b o ) ：= o o ，十 j - o o f ( x ) l a 。l 一2 丽矛i 二_ 元丽d x ( 1 9 ) 为了简单起见，我们令，。= n i ”2 砂( o i “- n b o ) ，则( 1 - 9 ) 可写为 ( t f ) 。，。= ( f ，。) ( 1 一l o ) 只要妒满足容许条件( 1 - 7 ) 并且具有一定的衰减性， ( 1 - 11 ) 所定义的算子t 便是有界线 性算子，见【2 6 ，4 2 】但是t 通常不可逆。如果存在常数a ，b 满足0 a b o o 使得 a i i f l l ：, 。( 脚s i ( ，。) 1 2 b i i i i ：，( 固，v ，l 2 ( r ) ( 1 一1 1 ) m n q z 则t 是可逆的( 见下文) ，这时我们称 ，。：m ，n z ) 是一个小波框架。一般 地，我们可以在一个h i l b e r t 空间中引入框架的概念，它最早由d u f f i n 和s c h a e f f e r 4 6 i 入，y o u n g 1 2 0 为它的发展做出了巨大的贡献。下面一部分材料可在一些经典的文献中找 到，例如 2 2 ，4 2 ，4 6 ，8 2 但为了完整起见，我们给出了证明，这里的证明与原参考文献 不完全相同。 定义1 1 设日是一个h i l b e r t 空间， e 。：n z ) 是日中的一个序列，如果存在常 数a ，b 满足0 o 使得o l l h l l 2s ( s h ，h ) ，v h h 。则s 可逆，并且j | s 一1 | | 口。 证明 首先s 的像r o n ( s ) 是日的闭子空间。事实上若，属于r o n ( s ) 的闭包r a n ( s ) ， 则存在 ，n ) 砌n ( s ) 使得，n ，f ，n - - - 40 0 。因此存在 鲰 h z 导 = s 鲰，v 佗 z 。由于 l l g 一g m l l 2 a 一1 ( s ( 甄一) ，甄一骱) a 一1 i i s ( g 。一) | ii i g 一g r a i l ， 我们立刻得到| | 鲰一鼽| | 0 r - - 1 l l ，n 一，m 这就意味着序列 弧) 收敛，不妨设它收敛 于g h ，由算子s 的连续性立即得到s g = ，即，瓦磊可可，r n n ( s ) 是日的闭子空 i e 。其次，r 口n ( s ) 的正交补空间是t o ) 。事实上，若，s g ) = o ，v g h ，贝 l l f l l z 茎 o - 。( s f ，) = 0 ，因而f = 0 。以上两点意味着r a n ( s ) = h ，s 可逆，并且 口i s 一1 ：1 1 2 s s 一1 ，s 一1 ，) = ( ，s 一1 ，) sl i f l li i s 一1 ，| | ， _ 由上式立即得蛰 l l s - 1 f l l o z _ 1 l i i i l 。 现在利用引理1 1 ，得到算子p f 是可逆的，并且l f ( p f ) 一1 | | a 。事实上，我们还 可以证得 b _ 1 i s ( f + f ) - 1 a 一1 i ，( 1 - 1 4 ) ( 1 - 1 4 ) 实际上是下列引理的直接推论。 引理1 2 设s 是h i l b e r t 空间日上的对称正线性算子，且满足 a i s b i ( 1 - 1 5 ) 则s 可逆，并且s 一1 满足 b 一1 ，s 一1s a 一1 i f 1 。1 6 ) y s h o u y 2 6 3 n e t 第4 页，共1 0 7 页博士学位论文 第一章综述 证明s 的可逆性及( 1 - 1 6 ) 中第二个不等式是引理11 的直接推论。至于第一个不 等式则是由于每一个正算子都可以表示成正算子的平方的形式，即有s = 踩，其中岛也 是一个对称正算子。对任意的，h ，设g = s 。，则 b s _ 1 ，) = b ( 9 ，s g ) = b ( g ，锑g ) = b ( s o g ，s o g ) b ( s s o g ，8 0 9 ) = b ( 研9 ，s 0 9 ) = b s g ，s 9 ) = b ( i ，) = i i f l l 2 ， 这就证明了( 1 - 1 ( ；) 中的第一个不等式。 现在将算子( p f ) 一1 作用到框架 ) 上而得到一个新的序列 k = ( p f ) 一1 e 。) ，有趣 的是这一个新序列也构成日的一个框架，称之为 e 。) 的对偶框架，下面的命题说明了这一 点。 命题1 1 ( 【4 2 ，p r o p o s i t i o n3 2 3 ) t 磊= ( f + f ) 一1 e 。) 构成h 曲e r t 空间日的一个框 架，且 b - 1 i l f l l 2s i f ，磊) 1 2 a - 1 | | ，| | 2 ，v ，h ( 1 - 1 7 ) n e z 对偶框架算子户：日一1 2 ( z ) ，( 户，) j = ( ，弓) 满2 ：p = f ( f + f ) ，弘户： ( f + f ) _ 。，弘f = i = f + 户以及户p = f p 是从z 2 ( 刃到r 肌( ，) = r a n ( p ) 上的投影算 子。 即得 证明注意到 ( f ，白) = ( ，( f + f ) - 1 勺) = ( ( f f ) - 1 ，勺) i ( ，白) 1 2 = l ( ( f + f ) 一1 ， e j ) 1 2 = i i f ( f + f ) 一1 1 1 。 j e zj e z = ( ( f f ) - 1 ，f + f ( f + f ) 一1 ，) = ( ( f + f ) 一1 ，) 联合( 1 _ 1 4 ) 和( 1 1 8 ) 即可推出( 1 一】7 ) 。另一方面，注意到f ( ， 岛) f 2 ( p 户，) ，即得户+ 户= ( f + f ) 。其余两个等式的证明是 。 ( f ( f + f ) 一1 ，) j = ( ( f + f ) 一1 ，e i ) = ( f ，弓) = ( f f ) ， f + f = 【f ( f + f ) - 1 + f = ( f + f ) 一1 f + f = ， f 户= f + f ( f + f 1 _ 。：j y s h o u y 2 6 3 n e t第5 页，共1 0 7 页 ( 1 1 8 ) = ( f ，f ) = 博士学位论文 1 2 离散小波变换和小波框架 又由于( 户f + ) 2 ：户( f + p ) f + = f i f * = 户f + ，( f 户+ ) 2 = f ( p + f ) f 4 = f i f + = f 户+ ，因 此它们都是投影算子。 由于声+ 户= 户+ f ( f + f ) 一1 = i ( f + f ) 一1 = ( f + f ) 一1 ，( 户+ 户) 一1 弓= ( f + f ) 弓= e j ，因 此( 白) 的对偶框架是原框架 e ，) 。另外，恒等式p f = ，= f + f 表明 ，勺) 弓= f = ( ，弓) 勺，v ，h ， ( 1 1 9 ) 这一公式正好告诉我们如何从展开系数( ( ，q ) ) 来重构，同时也指明了如何把，写成e j 的线性组合。因此在具体用框架做计算的时候，我们要做的唯一一件事情就是将它 的对偶框架求出来。那么如何计算对偶框架呢? 注意到当框架上下界b 与a 充分靠近 时，f + f 充分靠近于笋，亦即暑百p f 充分靠近于j ，若令r = i 一暑百p f ，则容易 验证一百b 辄- a ，r 丽b - a ，因此| i r | i 丽b - a 1 ，于是( f f ) 一1 可以展开成下列级数 ( 肿) 2 南( 卜冗) 2 南对，( 1 - 2 0 ) 对偶框架于是可以按下列公式来计算 o o e j = 志舻e j ，( 1 - 2 1 )2 币巧二 e j ， 上述算法是指数收敛的，而且可以设计成迭代算法的形式( 见【4 2 】) 。 在小波分析中还有另一个常用的概念，那就是r i e s z 基。 定义1 2 b 舭l a c h 空间x 中的一个序列 勺：j 刃称为一个m e s z 基，如果 勺：j z ) 在x 中稠密，并且存在常数0 a b 0 。则存在玩 ， 0 ， 使得对于所有的o 0 ，妒l 2 ( r ) ，并令 ：= ，y m o ：1 1 】5 ( n 孑钟= o ， 如果 ， 拈印i n 删f 匡脚钏2 一篆主脚螂( a 附圳 。， 胙，邑脚西( 承+ ；) l 1 。这里g l ( d r ) 指一般线性群，作 为集合它由上所有非奇异线性变换( 矩阵) 构成。对砂作平移和伸缩变换 一= i d e t a o l m 2 妒( 町m - n b o ) ，”i z ，礼a( 1 - 2 9 ) 而得到一族函数 ，。：m z ，n a ) ，其中a 代表单位格点。如果 慨，。：m z ，n a ) 构成l 2 ( 剜) 的一个框架，则称之为高维小波框架；如果 妒。，。：m z ，n 埘构 成l 2 ( r ) 的一个m e s z 基则称之为一个高维小波。关于高维小波及高维小波框架已有许多数 学家作了研究，见参考文献 1 7 ，1 8 ，2 1 ，2 8 ，3 1 ，3 9 ，5 5 ，6 2 ，7 7 ，8 3 ，8 5 ，8 9 ，9 7 ，9 s ，其基本问 题与一维小波框架一样，至今仍有许多公开问题。 下面我们来看非均匀小波框架。前面我们所讲述的小波框架有一个共同的特点，那就 是对母小波所作的平移和伸缩变换是规则的或者说是均匀的，即伸缩固定按a 。的整数次 y s h o u y 2 6 3 n e t第1 0 页共1 0 7 页博士学位论文 幂来进行，而平移的量则固定是。孑6 0 整数倍，如果我们定义一个双参数变换群 ，l 、 ( o ，6 ) 币( - ) = 口一“2 妒= _ = ) ，o ( 0 ，o 。) ，b r ， ( 1 - 3 0 ) 则容易看到前面我们所讲述的小波框架实际上就是扣( 昭，n 霄6 0 ) 妒：m ，n z ) ，即一 个双参数变换群在右半平面g = ( 口，b ) ：a 0 ，b r 中的一组分布规则的点上采样， 然后作用到一个固定的小波母函数上的结果，这正是我们称之为均匀小波框架的缘 由。现在我们问，如果采样点列 ( ，k ) ：m ，n z 在右半平面中分布不规则时，相 应的函数序列 7 r ( n 。，k ) 妒= 0 0 l i e ( ( 一6 n ) 口。) 是否也构成一个框架呢? 如果是，则 称之为非均匀小波框架。关于非均匀小波框架，很多数学家作了研究，给出了一些充 分条件和必要条件，如【8 ，9 ，3 0 ，3 2 ，3 5 ，4 1 ，4 4 ，5 7 ，5 8 ，6 1 ，6 3 ，9 1 ，1 1 0 - 1 1 2 ，1 2 3 。特别 是k g r s c h e n i g 5 7 - - 般性地证明了只要采样点集 ( n 。，b 竹) ：m ，竹z ) 在右半平面g 中足够 密集，函数序列扣( n 。，6 n 坳= o ：胆砂( ( 一k ) 口。) 便能构成三2 ( r ) 的一个框架，他们的 证明是基于【4 9 】的一般理论，用到了大量的抽象分析，得到的只是存在性结果，只有理论 意义。在此之前，j 0 s t r s m b e r g 1 0 8 】曾指出类似的结果可由加权h a r d y 空间中的平均值 不等式的到。此后，p , a o l s e n 和k s e i p 9 1 l 给出了一个更简单、直接的证明，但是它们也 没有给出具体的框架界估计。孙文昌和周性伟 1 1 1 ，i 1 2 借助于微分的技巧和w i r t i n g e r 不 等式给出了非均匀小波框架的框架上下界的估计，