（基础数学专业论文）几类广义完全正则半群的研究(1).pdf

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e h r e s m a n n 半群 分类号：0 1 5 27 山东师范大学硕士学位论文 s t u d i e so ns o m eg e n e r a l i z e dc o m p l e t e l t yr e g u l a r b e m i g r o u p s l i a n gc h a o t h ei n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n w ef i r s td e f i n et h ep e r f e c t l ys u p e r a b u n d a n ts e m i g r o u pa n dg i v ei t s c h a r a c t e r i z a t i o n ；a n dt h e nw ec h a r a c t e r i z et h ee v e n t u a l l yu l i b e r a lo r t h o g r o u p s t h em a i nr e s u l t s a x eg i v e ni nf o l l o w i nc h a p t e r1 ，w eg i 、r et h ei n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s i nc h a p t e r2 ，w eg i v ead e f i n i t i o no fp e r f e c t l ys u p e r a b u n d a n ts e m i g r o u pa n dd i s c u s st h e s t r u c t u r eo fp e r f e c t l ys u p e r a b u n d a n ts e r a i g r o u pt h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w d e f i n e2 1t h es e m i g r o u psi sc a l e dap e r f e c t l ys u p e r a b u n d a n ts e m i g r o u p ，i ft h ef o l l o w i n g c o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d ： i ) s = i i ；& ，w h e r e & = m 1 4 ：咒，a 。；r 】i sar e e sm a t r i xs e m i g r o u po l lc a n c e l l a t i v e m o n o i d ，a n dr i sn o r m a l i z e di n ( 1 ，l 。) l a 。 i i 】c + 和仃d i et h ec o n g r u e n c e so nt h es e m i g r o u ps i i i ) f o ra l l ( i ，a ，a ) s 。，0 ：6 ，p ) 昂： ( i ，o ， ) c + ( j ，b ，p ) 车号 = p ，( i ，a ， ) 7 己( j ；b ，p ) 号i = j t h e o r e m2 3l e t ，= ( y ；l ) a n da = ( y ；a 口) b eal e f tr e g u l a rb a n da n dar i g h tr e g u l a rb a n d r e s p e c t i v e l y ，w h e r eyi sas e m i l a t t i c e f o re v e r yn y ，l e t & = m ( l ，咒，a 口；r ) b ear e e s m a t r i xs e m i g r o u p0 nt i l ec a n c e l l a t i v em o n o i d 咒，bt h ei d e n t i t ye l e m e n to f 咒，a n dt h es a n d w i c h m a t r i xrn o r m a l i z e di nt h ef i x e d ( 1 。，1 。) l a a l t p ( 2 ) 2p 暑抽4 p 1 扎u f ，口( 1 ) 5 p 蛩川。 w h e r eo ，卢y ，o 卢，a n di i o ， a 。f o ra n yd ：卢eo = 口d e f i n e dah o m o m o i p h i s m 学。，口：咒 ，s u c ht h a tf o ra n yo l ，卢，7 r “2 声7 ：t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o na i es a t ! s f i e d ( i ) 0 。，。= 12 ： ( i i ) 目q ，口日芦，1 = 日a ，1 t 。p ，( 1 。，。) ； ( i i i ) p x i o n 口2 口a ，口( a ) p 1 加l p u “，。( z ) ，f o r a n 5 7z ，0 ， a a ； ( i v ) p i 毛p 吼t 1 口z 口a ，芦= z 口。b p l ： ，口p ，- n 1 ，f o ra n yq j 口，叩 卢a n d 二( 。，9 ， ) s o ，w h e r e o 口。，4 二“。，口( z ) 窖茸o ，口2 j o 口( ) 3 山东师范大学硕士学位论文 i f 。= ( i ，g ，a ) & ，y = ( h ，p ) s 芦，a n dt h eo p e r a t i o no ns = us 。i sd e f i n e da s “r f o l l o w s ： 。4y 2 ( i j ，：t o - n ，“口p i o 。 ，l 。月y a 口，“口，a t ) t h e nsi sp e r f e c t l ys u p e r a b u n d a n ts e r n i g r o u p c o n v e r s e l y ，e v e r yp e r f e c t l ys u p e r a b u n d a n ts c m i g r o u pc a nb es oc o n s t r u c t e d i nc h a p t e r3 ，w es l u d ye v e n t u a l l yu l i b e r a lo r t h o g r o u p s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni n f o l l o w t h e o r e m3 1 0t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n tf o ras e m i g r o u ps ： i ) s ( u ) i sa ne v e n t u a l l yu l i b e r a lo r t h o g r o a pf o rs o m eu e ( s ) ： i i ) s ( u ) i sa ne x p a s i o ns = 旧t 泪o f u l i b e r a lo r t h o g r o u pt = ；s 。( 巩) f o rs o m e ，e ( s ) ； i i i ) si sas e m i l a t t i c eo fe x p a s i o n s = 陬，s 口；矗 o fr e c t a n g u l a rm o n o i d & ( ) a a l df o r a n ya 墨，6 ，a b = n 如6 妇口，u = u i sab a n d ； c o r o l l a r y3 1 1t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n tf o ras e m i g r o u ps ： i ) s ( u ) i se v e n t u a l l yc e h r e s m a r ms e m i g r o u pf o rs o m euee ( s ) i i ) s ( u ) i sa ne x p a 3 i o us = 暇t - o fc e h r e s m a n ns e m i g r o u p t e ( s ) ； i i i ) si sas e m i l a t t i c eo fe x p a s i o n s = s 。，咒；如】o fm o z m i d 咒 ；咒 f o rs o m e u a n d f o r m l ) ra s a 6 品，a b ；。矗b 妇& 口，u ( 1 矗) i sas e m i l a t t i c e d y k e y w o r d s ：s e m i g r o u p s ，p e r f e c t l ys u p e r a b u n d a n ts e m i g r o u p s ，u l i b e r a lo r t h o g r o u p s ，e v e n t u a l l y c e h r e s m a n ns e m i g r o u p s c i a s s i 矗c a t i o n ：0 1 5 27 4 山东师范大学硕士学位论文 第一章引言及预备知识 51 1 引言 1 9 4 1 年c l i f f o r da n 在文 i 中提出了完全正则半群的概念文【1 】中，c l i f f o r d 证明了半群s 是一个完全正则半群当且仅当s 是完全单半群的半格，所以完全正 则半群s 通常被表示成s = 瞰 ，其中y 是半格，s 。是完全单半群1 9 4 0 年， r e e s 在文 2 1 】中给出了完全单半群的一个优美的r e e s 矩阵表示l a l l e m e n t 于1 9 7 6 年在文 1 2 中给出了完全正则半群的一个置换表示 、_ v a r i l e 于1 9 7 3 年在文f 2 5 中 用群和右零半群的半格及左零半群的半格的一般化的s c h r e i e r 积刻画了完全正则半 群1 9 7 4 午，p e t r i c h 在文 1 8 】中用完全单半群的平移包的a ；r e a t h 积表示更细致地 刻画了完全正则半群的结构 在完全正则半群中，最重要的两类是密群和纯正群并( 参见吼 2 0 ， 1 8 1 ) 称一个 完全正则半群s 为密群，如果s 上的g r e e n 关系w 是一个同余密群s 被称为正 则密群，如果s 用是一个正则带而一个密群s 被称为正规密群，如果s n 是一 个正规带 在推广正则半群时，f o u n t a i n 5 研究了广义的格林关系，目i + 一格林关系，称半 群s 是富足半群，若s 的每个上一类和r + 一类包含s 的幂等元很多学者对富足半 群及其子类有独到的研究并取得丰硕的成果富足半群的结构或多或少的由幂等元 的性质所决定，所以幂等元的集合对描述整个半群非常重要 最近，l a w s o n 与其他的学者注意到幂等元集的子集对描述整个半群非常重要， 同时l a w s o n 发现半富足半群s 的幂等元集e ( s ) 的子集u ；可以为刻画整个半群提 供足够的信息为了强调u 是幂等元集e ( s ) 的子集，记s 为s ( u ) ，在半群s ( u ) 上 定义一格林一u 关系矽，瓦v ，霰u ，称半群s ( u ) 是u 半富足半群，如果s 的每个 v 一类和琵u 类至少包含u 中一个元素，与半群s 上的格林关系相比，l a a ，s o n 4 已发现p 不一定是s 上的右同余，相应地元“不一定是s 上的左同余，因此， f o u n t a i n ，g o m e s ；g o u l d 4 称半群s ( u ) 满足( c r ) ( c l ) 条件，如果秒是s 上的右同余 宠“是s 上的左同余 ，一个u 一半富足半群s ( u ) 称为e h r e s m a n n 半群，如果s 满足 ( c r ) 和( c l ) 条件且u 是s 的一个子半群投射集位于中心的e h r e s m a n n 半群称为 c e h r e s m a n n 半群c e h r e s m a n n 半群的结构已被g o m e s ，g o u l d 7 1 描述了事实上， 这类半群可被看作u 一半富足半群范畴内的一种广义的c l i f f o r d 半群另一方面，对 半群s ( u ) 中的任意元素。：何勇【9 定义了，n 的轨道u o = ( u u u a = n = n u ) 及其等 价关系苞”= “n ：b ) s sj = 巩) 易见苞? 是含a 的等价类称半群s ( u ) 是u 一丰 富半群，如果s 的每个互u 一类含有u 中一个元素易证苞u 一类至多含有i j 中一个元 山东师范大学硕士学位论文 素互”nu 中的唯一元素，如果存在的话，记为n bu 一丰富半群和左c e h r e s m a n n 半群的结构已在何勇 9 】被研究，称u 一丰富半群s ( u ) 满足e h r e s m a n n 型条件，即e t 条件，如果 ( v a ，b s ) ( 曲) b d ( u ) 口蜴， 其中d ( = ( e ，f ) uxg l ( j g u ) c r g l f u 一丰富半群s ( u ) 称为u 一丰富纯整群 并，如果u 是半群s ( u ) 的。个子半群且s ( u ) 满足e t 条件 本文首次给出完备超富足半群的定义，并且给出完备超富足半群结构定理，最 后给出了毕竟u 一丰富纯整群并性质的等价刻画 山东师范大学硕士学位论文 51 2 预备知识 在这一部分，我们首先给出本文需要的一些概念和记法其它未说明的概念和 符号见h o w i e 1 1 j 定义1 1 5 定义半群s 上的等价关系c ，t c , 7 t + 和矿如下： o + b 当且仅当( v z ，y s 1 ) 。z = a y # k = b y n 彤b 当且仅当m ，y s 1 ) g n = y a 乍 z b = y b 7 - 1 4 = c + n7 才d + = c v 冗 易见h ”冗+ 矿，对任取的。s ，含元素。的c + 一类 冗+ 一类，w + 一类，口+ 一 类】分别记为e ( 成，蛾，d a 容易证明c ，冗弦易证c 和冗+ 分别是s 上的右 同余和左同余另外，对任意的e e ( s ) ，e 分别是e ，和哦中的右单位元，左 单位元和单位元若( a ，6 ) 田，则 e z = e y = = 号口b e z = a b c y a b x = a b y a b x = a b y = 日a ( b z ) = n ( b y ) 爿e ( b z ) = e ( b v ) b x = b y 爿c x = e y 故a b c + e ，对偶地有a b 彤q 因此a b 蟛，哦为s 的子半群，又易得蛾为可消的，因 此蛾是s 的一个含幺元e 的可消子半群 定义1 2 设p 是可消幺半群t 上的a f 矩阵，( 1 ，1 ) ，a 称夹心矩阵p = ( b 、) a 。， 在( 1 ，l ) 处正规化，如果对任意i j 和 a 有b ，= p l ，。= 。，其中6 是t 的单位 元 定义1 3 称幺半群t 是可消幺半群，如果对任意n ，b ；c 7 1 ， a b = a c 辛b = c ，且6 。= c o , 辛6 = c 定义14 可消幺半群t 的可逆元群记为o c t ) ，即 c ( t ) = n t i j 6 t ，。b = b a = 1 ) 其中l 为t 的幺元 定义15 【1 1 称r c e s 矩阵半群m = m ( s ，t ：p ) 是可消幺半群t 上的r e e s 矩阵 半群，如果t 为可消幺半群，其夹心矩阵p 的所有元都属于t 的可逆元群g ( t ) ， m = m ( ，t ，“；p ) 的乘法为： ( i ，g ，a ) ( ，：h ，“) = ( 2 ，9 r ：h ，p ) 山东师范大学硕士学位论文 注1 6 令g g ( t ) ，用表示t 的内自同构，即z = g - 1 2 9 地t 注 7 设u 是幂等元集e ( s ) 的非空集合，集合 r e g u ( s ) = f a s l ( 孔，u ) e l a r f 称为半群s 的u 一正则元集，易见uc r e g u ( s ) 且n r e g u ( s ) 当且仅当n r e g ( s ) 且 v u ( a ) = ( 。v ( a ) t a ，。a u ) 我们称v v ( a ) 的元素是。的u 逆元，对任意a s ， 定义以= “u i u a = 。) ，w = “u l a u = 。) ，= 砚n w ，则巩= “eu l u a = a = u ) 称巩是u 中。的轨道 定义1 8 【9 j ，设u e ( s ) 在半群s 上定义等价关系： = ( ( d ，b ) s s | 磁= w ， 妒= ( n ，6 ) s s l u i = 叫) ， 霄u ：乎7 n 宠 苞 = “o ，6 ) sxs f 珥。= 仉) ， 含。的廖7 ，元“霄“，妒+ 类分别记为z ? ，氲￥，露，铘l a w s o n j 5 给出了等价关系p 不 一定是s 上的右同余，舻不一定是s 上的左同余，称半群s ( u ) 满足( c r ) 条件， 如果是s 上的右同余称半群s ( u ) 满足( c l ) 条件，如果宠是5 上的左同余如 果半群s ( u ) 同时满足( c r ) 和( c l ) 条件，称s ( u ) 满足c 条件 注1 9 设s 是半群，s = y ； 即指s 是& 一y ) 的一个半格，特别，若s 是带， 则 y ：s 。】沁 7 ) 是s 的最大半格分解s = 【y ；扎，口 即指s 是& 陋) ，) 的强半 格，九a 是其结构同态系 定义1 1 01 9 1 1 1 2 】称半群s ( u ) 是u 半富足半群，如果s 的每个伊一类和秽一类至少 包含u 中一个元素即对任意的n s ，z ? n u ，翩n u 定义1 1 1 称半群s ( u ) 是u 一半超富足半群，如果s 的每个霄u 一类含有u 的一个元， 即曰n u o 对任意的。s ，记础n u 中唯一的元为n 0 引理1 1 2 【9 】设f 是格林关系，r “中的一个且弘是s 上的相应的。格林关系， 则对任意n ，b s ，有 ( j ) f 于“，对口，6 r e g ( s ) ，( n ，6 ) 乒”当且仅当( n ：6 ) ， 。 ( i i ) 元u 伊且醪至多包含u 中的一个元 ( i i i ) 若s ( u ) 是u 一半超丰富半群，则s ( u ) 是i j ，丰富半群且螽：伊 定义11 3 设2 1 = 阶】是幺半群咒的半格，17 。为咒单位元，e = 1 l j0 _ y ) 是 t 的子半群则t = 阶咒九，口 是五( n 】，) 的一个强半格，其可迁同态系为：对任 8 山东师范大学硕士学位论文 意o ，口】j 口口：扎口：咒_ 巧，z hx l 如，称t 是幺半群( y ) 的e 半格显然 e 同构于y 且1 l 位于t 的中心 引理1 1 4 4 1 设t 是一个半群，e e ( t ) 则t ( e ) 是一个c e h r e s m a i l n 半群当且仅 当t ( e ) 是一个幺半群的b 半格 由上面的引理，称t = y ；死】是c - e h r e s m a n n 半群，即指t ( e ) 是幺半群咒的 b 半格，其中e = f 1 l i s y ) 。 称，txa 为矩形幺半群，如果，a 为矩形带，t 为幺半群称，t 为左 幺半群，如果i 为左零半群，t 为幺半群 注1 1 5 如果s = t 为矩形幺半群，b = ix a 为矩形带，为强调u = ， 1 t ) a 记半群s 为s ( u ) 定理l1 6 1 5 设s 是一个半群，下列叙述等价： ( ，) 存在u e ( s ) ，s ( u ) 是u 一丰富纯整群并； ( i i ) s = 骱& ( ) 】，其中( ) ( a y ) 是矩形幺半群，u = uu s 是s 的一个子 半群； ( i i i ) 存在u e ( s ) ，s ( u ) 是满足c 条件的u 一半超富足半群，且u 是s 的子半 群； 由定理11 6 ，下称s = y ：咒( 巩) 是u 一丰富纯整群并，即指s 是矩形幺半群 ( ) 陋】7 ) 的半格，且u = u 是s 的子半群 由定理11 6 和引理1 1 4 ，易见，如果u 是一个半格，u 一丰富纯整群并s ( u ) 是 c e h r e s m a n n 半群 推论1 1 7 【1 5 设s 是一个半群，下列叙述等价： ( i ) s 是丰富纯整群并； ( i i ) s = 骱s 。】，其中& ( n 】，) 是矩形幂幺半群，z ( s ) 是s 的一个子半群； ( i i i ) s 是满足c 条件的半超富足半群，且e ( s ) 是s 的子半群； 由推论】1 7 下称s = m j 是丰富纯整群并，即指s 是矩形幂幺半群岛的半 格，且e ( s ) 是s 的子半群 些查盟垄盔兰堡主堂丝堡塞 第二章完备超富足半群 在本章中，我们利用左右正则带和一族可消幺半群及可消幺半群之间的同态构 造完备超富足半群 52 1 主要结论 定义2 1 称半群s 是一个完备超富足半群，如果s 满足条件； i ) s2 阶咒 ，其中= m ，e ，a 。；r 是可消幺半群瓦上的i r e 。矩阵半群 且r 在( 1 “，l ：) l a 。处正规化 i i ) c + 和佗4 是s 上的同余 i i i ) 对任意( i ，n ， ) 晶，( 工b ，p ) s o ， ( in ， ) c + ( j ，0 ：p ) = = 事a = p ， ( i ，n ， ) 冗+ ( j ，b ，肛) = = i = j 定义2 2 称完全正则半群s 为正则密群，如果s 上的g r e e n 关系爿是个同余且 s 用是一个正则带 定理2 3 设，= o f f l ) 和a = ( y ；a 。) 分别是一个左正则带和右正则带，其中y 是一 个半格，对每一个。y ，令s 。= m ( l ，咒，a 。；只) 是可消幺半群咒上的i t 。s 矩阵半 群，b 为咒的单位元，且夹心矩阵r 在固定的( 1 。，l ：) k a 。处正规化令 口( i ) 2 9 才轴口p 1 ；1 v 口( ) = p 办 1 p 其中d ：y 且满足。p ，z 厶， 。对任意。，口卢，令瓦8 是咒到? 的 n n ；满足条件：对任意a p ，7 r n2 卢27 ， ( j ) 自。，。= 1 咒； ( 踟a 赢，= = 豇，。，； ( j i l 协。瓦，口= “。，口( a ) p 1 ： ，i l 。“。，日( z ) ，对任意i 厶 。； ) p i ：扩w l z 口啪= ：c o a ，口p i a q ，口对任意g 扫，q 和z = ( i 艚， ) ，其中 。口。，口= “。，口( t ) 9 占。，口 。，口( a ) 如果z = ( z ，9 ， ) & ，y = ( j ，h ，p ) 昂，在s ：us 。上定义乘法+ 则s 是一个完备超寓足半群 反之，每个完备超富足半群都可如此构造 1 0 山东师范大学硕士学位论文 2 2 直接部分的证明 设定理2 3 的条件已给定 引理24 设m = m ( i ，t ， ，p ) 为一个可消幺半群t 上的r e e s 矩阵半群，则 ( i ) e ( m ) = “2 ，气1 ，a ) k ， a ) ( i i ) 在m 中，( z ，n ，a ) l + ( j ，b ，p ) 当且仅当 = p ( i i i ) 在m 中，( i ，a ， ) r + ( 丘b ，肛) 当且仅当i = j 证明( i ) 设( ，。， ) e ( m ) ，则( i ，。，a ) = ( i ，o ， ) 2 = ( i ，p ，。，a ) ，从而。尸 o ：n ，由t 为 可消幺半群知，n = 吒1 ，从而( i ，口，a ) = ( i ，氏1 ，a ) 另一方面，( t ，发1 ，a ) 2 = ( i ，发1 ，a ) e ( m ) ( i i ) 设( i ，n ， ) c + ( ，b ，p ) ，贝岫( z ，n ， ) 0 ，。1 ，a ) = ( t ，n ， ) ，矢口( j ，b ，卢) ( i ，尸矗1 ，a ) = u ，b ，f z ) ，从 而a = p 反之，设a = p ，任取( 2 ，z ， ) ，( k ，u ) m ，则 ( i ，o ，a ) ( f ，z ，u ) = ( i ，n ， ) ( k ，g ，u ) 甘( t ，a p l x ，u ) = ( i ，a p k y ，u ) 铮( i ，r 禹”) = ( i ，r ”，u ) ( 由r 是可消幺半群) 铮( j ，巳z ，u ) = ( j ，r ”：u ) ( 由 = p ) 铮( j ，h r f z ，口) = ( j ，b r b ”，u ) 骨( j ，b ，“) ( f ，z ： ) = ( j ，b ，“) ( ，y ：u ) 又 ， ( i ，a ： ) ( 1 ，z ，口) = ( i ，o ， ) 1 甘( j ，b ，p ) ( 1 ，z ， ) = ( ，b ，p ) 1 从而( i ，n ；a ) ( b ，p ) ( i i i ) 为( i _ ) 的对偶 口 引理2 5 设0 = ，卢r 。2p ，i 厶，a a 。，g ，k 妇， ，q a 口 ( i ) 如果i q = i k ，则p 帆哦- 岫1 = 砌柑暇 ( i i ) 如果们= 队则p i k 耿= 赈k p 。 ( i i i ) p 趴 l 口= p 7 i , x ，i 1 日 ( i v ) 码j ，i k = 证明设。= ( z ，g ，a ) & ，i q = i k ，则由条件( i v ) 知： z 胛i ；岫耐月= k ：口p 1 f z ，声一- - ”r 】, i r 砌州口。芦= 。芦p 1 ：p 嚣，e ； 由巧为可消幺半群，我们有p l a 。硪，。= p 。a 。p 嚣声用代替q ，则p l a 。p 矗。 p 1 ：p 矗k ，由于。的所有元都属于g ( 码) ：故 9 i m p l 舢2p 1 嫩抽：”0 ，p 1 加2p i 毋阳 坐童塑堇盔堂堑主堂焦堡塞 所以，p 恍。p 矗。= p 帆e p - 1k ，我们证明了( i ) 成立 如果私= h ，则由条件( f v ) ， ，；口p 1 口。- 卢= 。n ，口p 1 a 口- 1 ，= z 口a ，t i p l a 口p - i 口= 圬：g 咒：1 8 z 口“，卢， 因此- 。1 目p 1 口= p e - - m 1p m 口用代替q 则 j 9 m - - t 1 女p l 口= 瓦矗毪一日，p ”坫p - 1 1 口= p 一- i m 口聒：1 口= p ，i 脚) - 1 ： 因此，砍- ：1 = - ，1 ； p m o i ) 成立在( i ) 中取k = 1 口，g ：i 1 口，在( i i ) 中取f q = l ： ，则( i i i ) 和( i v ) 同时成立 引理2 6 令。，口，7 i 厶，a a 。，则 ( i ) ( “，a 口( i ) ) 口。口，邙，= 晶，。口，( n 。口) “。，。肌( i ) u 。p 。肌( 1 。1 。口) ( i i ) ( 。口( 1 ) ) 8 观帆一。- t 。、1 n 1 叩) p 艺、i “u 剐。叼坤7 ( 1 品a ) 证明( i ) 由u 。f ( z ) 的定义和条件( i i i ) ，我们有 ( ，。口( z ) ) 瓦口。钾 2 ( 9 l 二l 知。口p 】：p i “1 。p ) 如口，a 口1 2 “峨- 1 嘶( 2 1 “口) p 艺，l “，山口，u 。- - i 所( 1 品l ：) 唧坤1 ( 1 矗l ：) p 。o “，u 圳m “a 醇，a 芦，( 1 。1 。廖) 2 2 2 晶，n 口1 ( 姐a f l ) p i 。1 ：口l ：m 。日l m p l ：口，l ：口l 1 。8 1 m 。口，。所( 1 。1 。口) 2 “茹瑚，( 4 1 。口) p 艺，l 翱州m p l 品，1 ：圳。u 峨“所( ：l 。1 。口) ( 由引理25 ( 1 ) ) 2 “刮，a 所( 1 n 口) 9 艺，1 ：。8 ，p 1 ：8 ，l ：凡l 。口，n a 口，。聊( 1 。1 邮) ( 由引理2 5 ( d ) ) = “磊，。口7 ( i l 。口) u 。m 口1 ( i ) 。目，。口，( 1 。l 。日) ( 观由条件( i i i ) ( u ，n 疗e a j ) 。口，n 卢、 邓己山口如跏所 2 “磊，蚋( 1 山口吃，1 0 u 圳m u 。- - 1 呐( 1 0 ) 证毕 口 下面的三个引理我们用来计算扛+ g ) 。诅。所，其中“：p ，7 y ，而。艮：乳 引理27 对任意n ，卢，7 y ，和任意z = ( i ，目，a ) 岛，我们有 砜“4 ) 8 印嘶2 “矾- 1 晰( 1 。枷卵? p i o ，p 艺，k 圳m7 ) - - 1 嘶( 轴 些壅塑堇盔堂壁主兰焦丝塞 证毕 ( z 盯。，d 声) d d 口。疗7 = ( “。口( i ) 9 氏，。f 。，础( ) ) ，甜， = ( u n ，n 口( i ) ) 民目，。口1 ( g o a ，。口) 瓦口，。日1 ( v s 。口( a ) ) 瓦口郇， = u 矾- 1 。肌( i l a 口j “肌( i ) “峨。所( 1 。1 。口) u 晶硎，( 1 。1 。口) j 目口1 “矾。口7 ( 。1 。口) “茹，卵，( 1 。1 叩如艺，z ：，山小，叼，叩，( 1 a ) ( 由引理2 , 6 和条件0 0 ) 2 “磊棚，( n “口) “一曲( i ) 9 9 一咿艺，1 0 u 讲m ，矗呐( 1 轴 2 “矾- 1 岫( i 1 。口) “ 口7 ( ) 9 钻舢似郇1 ( 1 ) - - 卸i 1 ( ) p 艺，1 如u 圳m 。矾- - 1 。口1 ( 1 品a ) 2 “晶，“所( i l a 口) 。口t p l ：一，l 山口，p l - 0 10 1 m 日，u 茹，。口7 ( 1 品a ) 2 “茹卸1 ( n 。口) x a a , a b 7 p 1 ：口，。】圳m p i ，l ：日”。i 圳m u 茹，。口7 ( 0 a ) ( 由引理25 ( v ) ) “；，呐( 1 a 口) 砜1 p l o 凡山口，p 艺，1 n 1 州m j - - i 嘶( 1 0 a ) ( 利用1 。( 】。l 。p 1 卵，) = l a ( 1 。口1 。口，) 和引理2 5 ( 0 ) 引理2 8 对任意n ，口，1 y , i 如和任意z = ( i ，9 ，a ) & ， “峨咖( 玎) ( 矾椰) 9 崛晰2 朋1 p l ：。，u l m p 艺，。o m ，晶椰，( 1 0 ) 证明由引理27 ，我们有 u a 口，。所( i 力( z 口a ，n 口) 艮口，。口， 2 “。日，。鼽( 玎) “；。口，( i 1 。口) 2 。a 。口，p l o 。p k 。，p 艺，：。，。， 矗，卵7 ( 1 ：8 a ) 2 “矾咖( “) “茹，嘶( i 1 。口) p 艺，1 0 。圳m p l o ，1 岫，z 嘶 峨- - 1 呐( 1 品a ) ( 由条件( i v ) ) 。9 1 0 ，i 儿p ，l ：p ，l 圳一吃，1 0 讲。p z ：p ，i o i 。以。，p 1 - ：1 一o l m m p l ：。，1 ：一1 。，z “口，u 茹：。肌( 1 品a ) 2 p 1 0 ，l o m p ，p l ：口。1 1 m ”。，叩7 t ) - - i 嘶( 1 ：目a ) 2 。n 所p l ：。，协，p 艺，l ：。 j ，v - - i 。口，( 1 ：，p a ) ( 由条件( i v ” 囡此等式成立 引理2 9 对任意p ，7 = ( j ， ，p ) 昂和任意 a 。 ( 聊，n 口) 8 嘏嘶呦- 嘶( 札) 。矾- 1 嘶( ，1 “咖0 ，b b 。，p l ：。，k ，帅：嘶 口 口 一些奎堑薹查芏雯圭! 笙型：! ! 一 证明由引理2 7 和 。口，。口，( a 弘) 的定义，我们有 ( y a 口，。口) 自。口，a 册 “口，a 所( 肛) ：乱所( j 1 。口) 帅卸呐和“山。，p 艺，1 讲m u 茹脚t p ) 啪_ 卿1 ” ：“矾- 1 嘶l j , 1 。口) w 眠嘶p l ：，1 甜m p 艺，1 。时州p 1 ：口，1 ：舻h 口i 即p - m 1 m l 彬m = = ：；，。口1 ( j l 。口) ”d 口，a 口1 p l ：。，“，1 。口】。口，p l - ：1 。， “，l 。口1 。口， ：u 删- 1 ，l ，1 。口) p - 1 ，。，p - 。m 。，a 所( 由条件( 1 v ) ) 证毕 引理2 1 0 对任意，口，1 y 和任意z = ( 。，目，a ) 乳，2 ( j ，“，p ) 岛 ( z + ) 口d 口，口卢1 = z f 。，卵v p i ：b ， ，l 。口1 y 。口，8 卢7 证明由乘法+ 的定义，我们有 口 ( z + 可) ( r o 口，口口1 = ( z j ，z 口 口p l ：d ，l 。口y 即，a 口， p ) 4 a p ，n 所 = 1 i 。口。口t ( i j ) ( z 口。，。卢p l ：。 ，j 1 。口v 6 口，n 卢) 百n 口，“月7 刈a 口，a 口1 ( a p ) ：“。口，。艏j ) ( z 口。口) ，。加溉o j k ) 自“口，a 肿( 卿，n 口) n 所”n 口，n 蹦1 “) = 甄，蚋p 1 m p ，p 艺，她m 矿? 2 - ”1 4 ，( 1 岫8 峨所”叩i 矾4 l 啊 ”矾。口，( t ) ( 由引理28 ) = z 口。，。$ 1 p 1 ：月， ；j 1 。p ，p 乏。，1 ：口 。1 。口，v “”1 ，。口1 ( 1 ：口1 ) 。a 口- n p