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天于一个描述涂料层晾干过程的s l c f a n 问题 论文题目：关于一个描述涂料层晾干过程的s t e f a n 问题 专业：基础数学 硕士生：杨万顺 指导教师：崔尚斌教授 摘要 自由边界问题是一类重要的偏微分方程问题。在过去的几十年里，关于自由 边界问题的研究同益受到重视。这是因为自由边界问题涉及的大量问题来自物理 学、化学、生物学、工程学等，因此这类问题有着很强的实际背景，对它们的研 究有重要的应用价值。 本文研究了一个描述涂料层晾干过程的非线性反应扩散方程的s t e 蠡n 问题。 s t e f a n 问题是一类自由边界问题。我们首先证明了整体解的存在唯一性，其次研 究了当f 一+ 。时，妒g ，r ) 与厅0 ) 的渐近性态，这里妒0 ，f ) 是溶剂的体积分数， ( f ) 是涂料的厚度。通过研究，我们知道：( 1 ) 当f 一+ * 时，庐b ，f ) 一o ，这说明溶 剂随时间不断蒸发，最终全部蒸发掉了。( 2 ) 当f 一+ 。时， ( f ) 一 ( 常数) ， 这说明涂料的厚度随时间不断变薄，最终趋于染料的厚度。 关键词：s t e f a n 问题，反应扩散方程，整体解，渐近性态 关于。个描述涂料层晾干过程的s t c f a n 问题 a b s t 墙c l t i t l e ：0 nas t e f a np r o b l e mm o d e l i n gt h ep r o c e s s o fd r y i n go fl i q u i dp a i n tl a y e r m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s n a m e ：w a n - s h u ny a n g s u p e r i o r ：p r o f e s s o rs h a j l g b i nc u i f r e eb o u d a r yp r o b l e m sa r ei i i l p o r t a n tp m b l e m so fp a n i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s d u r i i i gt h ep a s ts e v e r a ld e c a d e s ，t h er e s e a r c ho f 丘e eb o u n d a r yp r o b l e m sh a sb e e np a i d r n o r ca n dm o r ea t t e m i o n s t h i si sb e c a u s et h a tal a r g en u m b e ro fq u e s t i o n st 1 1 a t 丘e e b o u n d a r yp r o b l c m sa r ei i l v o l v e d m e 丘o mp h y s i c s ，c h e m i s t r y b i o l o g y ，e n g i n e e r i n g ， e t c ，t h u ss u c hp r o b l e m sh a v es t r o l l gr e a lb a c k g r o u n d ，a n dt h e r ei s a ni n l p o r t 柚t 叩p l i c a t i o n a l v a l u ei nt h es t u d yo f s u c hp m b l e m s i nt h i s p a p c r ，w es t u d yas t e f a np r o b l e mo fan o n l i n e a rr e a c t i o nd i f f u s i o n e q u a t i o nd e s c r i b i n gt h ep r o c e s so fd y i i l go fl i q u i dp a i n t s t e f a np r o b l e mi s af r e e b o u n d a r yp r o b l e m f i r s t l y ，w ep r o v et h a tt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s0 ft h eg l o b a l s 0 1 u t i o no ft h i sq u e s t i o n s e c o n d l yw es t u d yt h ea s y n l p t o t i cb e h a v 王o ro f 庐仁，f ) a n d ( f ) w h e nf t r e n d st o + o 。，w h e r e 妒e ，f ) i st h ev o l u m ei l a c t i o no fs o l v e n t ， 0 ) i st h et h i c k n e s so fp a i n t 7 1 1 r o u g hs t u d y ，w ek n o wt h a t 妒b ，f ) t r e n d st oow h e nf t r e n d st 0+ ，i tm e a n st h a tt h es o l v e n te v a p o r a t e sw i t ht i l n ec o n s t a n t l y ，a n da u e v a p o r a t e sf m a l l y w el 【n o wt h a t o ) t r e n d st o 。 ( c o n s t 柚t ) w h e nf t r e n d st o + ，i tm e a n st h a tt h et h i c k n e s s0 fp a i l l ti sb e c o m m g t h i nw i t ht i i i l ec o n s t a n t l y t r e n d s t o w a r d st h et h i c k n e s so ft h ed y e s t u 饪缅a l l y k e yw o r d s ： s t e f a np r o b l e i ，r e a c t i o nd i 觚s i o ne q u a t i o n ，g l o b a ls o l u t i o n ， a s y m p t o t i cb e h a v i o r 关，一个描述涂料层晾干过程的s l c f a n 问题 引言 第一节引言 现代科学技术的发展在很大程度上依赖于物理学化学和生物学的成就和发展， 而这些科学自身的精确化又是它们取得进展的重要保证，学科的精确化往往是通过 建立数学模型来实现的，而大量的数学模型可归纳为反应扩散方程。 在偏微分方程研究中有一类重要的问题，其中部分边界是“自由的”( 即不是给 定的) 而需要和问题的解一起确定。自由边界问题是一类重要的偏微分方程问题， 1 8 9 0 年左右，s t e f a n 最先进行了这类问题的研究。在1 8 8 9 年，他得到了一个潜热 的近似值，并将这一问题的解延拓使其含有依赖于时间的表面温度，他还指出，如 果液体在凝固过程中固化边界以常速率变化，那么问题的解就可以具体的表达出来。 自此以后关于自由边界问题的研究日益受到重视，这是因为自由边界问题涉及 的大量问题来自物理学、化学、生物学和医学等，因而有着强烈地实际背景。通过 建立数学模型来描述一个实际问题时，由于各种因素的影响和数学本身发展的限制， 模型的建立是不尽相同的，因此对于处理这些问题的方法也就不尽相同。对于非线 性自由边界问题的研究还没有经典的理论，这就决定了针对某些具体的问题要用具 体的方法来处理。经典的自由边界问题一般包含下面几个方面： ( 1 ) 方程中含有非线性的热参数。这类问题中的参数是方程中所求函数的函 数。 ( 2 ) 方程中的参数是常数。 ( 3 ) 方程是非线性尺度的形式。即方程中的自变量是非线性尺度的形式。 ( 4 ) 反自由边界问题。这类问题是在自由边界给定的情况下，探讨所求函 数在边界上所要满足的条件。 ( 5 ) 固化问题。这类问题来源于在溶解温度不知道的情况下经典的自由边 界问题，这时温度的变化依赖于混合物的组成。对于混合物固化问题的研究也就 是同时对热流的流动和混合物的扩散度过程的研究。 ( 6 ) 隐含边界条件问题。这类问题以氧气的扩散问题为典型代表，主要特 征是这类问题在自由边界上的条件不能由边界的变化速度、所求函数及其导数精 确地表达出来。 引言 关于一个描述涂料层晾干过程的s t c f a n 问题 在实际生活中，十分简单的现象中就已经发生了带有自由边界的问题。当 人们用涂料粉刷墙壁时，涂料在晾干过程中各成分的含量在变化，涂料的厚度也 在发生变化，对于这一现象就可以用一个非线性的反应扩散方程来描述。在 1 4 中提出了一个描述这一过程的数学模型，并且研究了由于溶剂的蒸发而引起的自 由边界的变化情况。涂料在晾干过程中由于溶剂不断蒸发掉，这时染料要不断地 扩散过去填充那空缺，因此溶剂的蒸发是染料扩散的最主要动力。我们知道在蒸 发中局部的不同变化可能会产生m a g r a n g o n i 效应，反过来，它也会影响界面的 最终高度。在 1 4 中没有考虑m a g r a n g o n i 效应，但是通过它建立了一个数学模 型，并且把自由界面的浓度计算出来了。当这个模型是在三维情况下考虑时， m a g r a n g o n i 效应就可以通过表面张力和浓度的关系的建立，而计算出来。这和 传统的流体方程一起，就可以对自由界面的变化给一个全面的描述。 1 6 】中关于 此类问题进行了更广泛的讨论，【7 1 中主要讨论了有内驱力的扩散，而对蒸发的 情况没有讨论。 描述涂料晾干过程的是一个非线性的反应扩散方程，对于这类自由边界问 题有很多处理的方法，例如，我们可以通过方程积分转化为积分方程的形式求解 ( d 为常数时，f r i e d m a n 【9 】中讨论过) ，由于非线性和负潜热的关系，问题解的 存在性证明不是很明确，但对于此类问题的解的存在性和唯一性证明通常采用基 本解方法和对解的精确估计的方法( 解的估计在经典的s t e f a n 问题中与单调非增 边界有关) ，我们也可以用s c h a u d e r s 不动点原理来证明参见【1 1 】，我们还可以用 压缩映照原理来证明参见【5 】，另外，也可以用坐标变换和k i r c h h o 行变换把问题 转化为固定区域上的问题来证明参见【1 4 】，本文中将用s c h a u d e r s 不动点原理来 证明问题解的存在性。 2 关于- 个描述涂料层晾干过程的s t c f a n 问题预备知识 2 。1 函数空间与嵌入定理 第二节预备知识 2 1 1h ，地盯空间与勋6 0 比v 空间。设qc 是有界的光滑开区域，t o ，记 q r = q ( o ，r ，z = o l 一，7 n ) 为多重指标，2 荟f f ，f l 是非负整数，广义导数为： 一# 麓 a 1 - a x ， 函数n 的指数为口的h o l d e r 模是 啪一普f 背 z ，y e 口l伽一y l 空间c 。( 西) 。0 ) c 每】日。缸) c * ) ，其中的范数是： 乩= h 。以) + - 磐) l 设七为正整数，空间： c t + a ( 瓦) ：0 0 淞 ) c ( 孬) ，h 。( d “) c + o 。，；膏 其中的范数是： t + 。l 善珊警p 么。) l + i 再h 。( 。2 “) 设p 苫1 ，空间： ( q ) = 岳o ) b o ) 在q 上可测量b ) 9 出c + o 。 其中的范数是： 空间： 。灿o ) 1 9 出严 形9 ( q ) 一 ) i 。工9 ( q ) ，hs 七 其中的范数是： 、甘 一 z 预备知识 带有蒸发扩散模型的s t e f a n 问题 广磊机州9 出) 巾 w 。( 岛) 一0 0 ，) b l p ( 岛) ，形如d i d ：“的广义导数存在且属于r ( q r ) 其中，o s2 r + hs 教 其中范数是： 躁。磊。炉m 岛 这里的l 防联“忆璐= ( 丘i 。p ：“l 西曲) 蓐 c 2 ( q ，) = 甚o ，f ) i d j d ：“c ( 百；) ，其中os2 r + h s2 其中范数是： | “匮。磊。絮x 眩叫“i 空间： c 2 “。+ ( q ，) 一岳何， m “c 2 。( q ，) h 。，( d i 蛾m ) c + * ， 2 r + h = 赫) 其中范数是： 川等”。；：磊。豫x l 研纠h 1 + ：，磊：。h 叫暇饿1 1 ) 其中： h 桫卜：器，篇删吨劫 上述空间均是b a a c h 空间。 2 1 2 熟知有下列嵌入定理 4 关于个描述涂料层晾干过程的s i e f a n 问题 预备知识 ( 1 ) 若q 满足一致内锥条件，则当助一史姜至时有： 砰。( q r ) c 口( q f ) ，1 s 鼋( + 而且对任何的“皑( 筋) 有： 1 训p ( 口r ) s c m ，甄q r ) 恻i 孵“ q r ) ， 1 sqc + 。 当印t 生箬时，有： ( c r ，蜂是鸶 而且对任何的“昨从( 娇) ，有： 她。伊。岛，sc 。，p ，q ，1 b i l 昨。，。璐， - sgsi 警主兰 ( 2 ) 若a q 适当光滑，则当幼，生箬时有： 咿锄) c c “，o 0 使得对0 ，f ) d 及任意实n 维向量亭一( 邑，) 一o ，有；妻，n “ ，f ) 岛亭，苫c 。蚓2 ( 2 ) l 的系数在d 内是连续的。 ( 3 ) c “，f ) 苫0 ，v ，t ) d 。 预备知 氓 带有蒸发扩散模型的s t c 如n 问题 对任意点p ot o o ，f o ) d ，我们以s ( p o ) 表示d 内所有满足下面条件的点的集 合，其中每个点q 可以用d 内一条简单的曲线将它与p 0 相连接，沿着这条曲线 从q 到p 。时，f 坐标是非减的，以c ( p 。) 表示d n 一f 。j 中包含p 。的部分，显 然有：c ( p o ) cs ( p o ) 。 定理2 2 1 设( 1 ) 一( 3 ) 成立，若在d 内三“s0 犯“o ) ，且“在点p 0 o ，f o ) d 取到正的最大值，则对所有的尸s ( p o ) ，有“( p ) = h ( p o ) 。 上述定理参见文献【1 8 】。 2 3 一些概念。 设q 是r 4 内的有界区域，q r 。q ( 0 ，r 】是r “内的柱体，对于o _ rs t ，记： q = qn 0 c fs f ) ，q ，t qn 矗= r ) ，在q ，上考虑抛物型方程： ，一d j ( 口d j “+ dj h ) + 晚b “+ c h ；厂一d f ( 2 3 1 ) 其中n d ，d ，抚，c ， 皆是口，f ) 的函数。为简单起见，经常记 三“兰一d 0 。，j d 一+ d “) + 扫i d i “+ c h ( 2 3 2 ) 并且方程中系数满足下列条件： ( 1 ) 口。在q ，上可测，且存在常数a a ，0 使得： a 悟i 2s4 耐袅岛sa 悟1 2 ，v ，f ) q ，亭r “ ( 2 3 3 ) ( 2 ) 存在口) 兰箬使得： i i 军i d ，1 2 + 莩p ，1 2 + p 1 0 f 。m ，s a c z s - 4 ) ( 3 ) ，0 。忱k ( 岛) + 州0 警胁) c * ( 2 3 5 对与妒叫1 ( q r ) ，记 ( l h ，妒) t 正【( 口“d t m + d 产) d 妒+ p ：d 产+ c h 押】出 ( 2 3 6 ) 定义2 3 1 函数“屹( q ，) 称为方程( 2 3 1 ) 的弱下解( 弱上解) ，如果对于几乎 6 关于一个描述涂料层晾干过程的s l c f a n 问题预备知识 所有的f ( o ，r ) 与任意的驴谴，( q ，) ，妒o ，妒 ，o ) ；o ，我们有 t ) ，咖) ) 一j ：o ，仍) 出+ j ：，妒) 出( ：) i 【( ，妒) + ( ，妒) p ，( 2 3 7 ) 如果“既是弱下解，又是弱上解，则称“是弱解。 定义2 3 2 r 么称为) 型区域，如果存在爿( o ，1 ) ，风，o ，使得对于任意 a q ，p ( 0 ，p 。】，有卜忙l ：爿i b ， 。) i a 7 数学模型 关于个描述涂料层晾干过程的s t c f a n 问题 第三节数学模型 在【1 4 】中给出了一个描述涂料晾干过程的数学模型。本文将对这个模型做一 些改进，研究改进后的数学模型的适定性问题。首先设d ( s ) 是扩散系数，它是 严格单调有界的正函数。为了简单，我们假设材料仅由两种成份构成，屯表示 溶剂体积分数，九表示染料的体积分数，因此有： 屯+ 啦- 1 和毒+ 毒钉 ( 3 1 ) 这里的匕和k 分别表示染料和溶剂的摩尔体积，c 是溶剂摩尔浓度和染料摩尔 浓度的和。 令7 ，和歹。分别表示溶剂和染料的体积通量。我们假设墙壁的涂层在晾干过 程中不出现空隙，同时也不出现浓缩的情况。换句话说，溶剂蒸发空出来的位置 完全由染料分子填充占据，且染料不会自行浓缩，这样就有： ，。+ ，= 0 ( 3 2 ) 根据f i c k s 法则，结合方程( 3 1 ) 和( 3 2 ) ，便有： 五，一面v 鲁鸭一毒晒v 告 ( 3 s ) 其中扩散系数6 可能是丸和丸的函数( 其中压力和温度等影响可以忽略) ，通 过众，丸和c 的关系，进一步，可以得到； 办一1 一九和c = c ( 丸) ( 3 4 ) 通过( 3 1 ) - ( 3 4 ) 式便可得到体积分数以的表达式为： 警= v ( d 仇) v 蚺 ( 3 5 ) 上面给出了丸满足的方程，下面将要给出丸满足的边界条件。如吨1 4 】，用 关于。个描述涂料层晾干过程的s i c f a n 问题 数学模型 r = o 表示自由界面，在有染料的区域内：r o ，f ) o 。在边界r = 0 上，染料在 垂直界面上的变化量由自由界面的变化速度决定，因此通过界面的体积为： 了，坩! v r j = - d ) v 丸v r - 一以篆，在r - o ( 3 6 ) 其中，扎= 斋是垂直表面的外法向量。因此便得到啦的改变量为： t v 叫1 圳詈，在r _ o ( 3 7 ) 从上式中可以看出溶剂的改变量比边界的变化速度小些，这主要是由于溶剂 的蒸发所导致的。 对于自由边界 o ) 满足的方程，【1 4 】考虑的是 ，关于览是线性函数的特殊 情形。在现实中，由于各种因素的影响，它们之间的关系往往是非线性的，这种 特殊的关系并不能真实地反映现实。下面将给出是o ) 满足地更一般的情形。令 f ，f ) t x 一 o ) ，类似于热方程中牛顿冷却法则，我们便得到： ! 凳；一厂( 允 ( f ) ，f ) ) 和j ，o o ) f ) 。厂( 丸( f ) ，f ) ) 1 一九o ( f ) ，f ) ) ( 3 8 ) d f 除掉系数1 一九，我们知道这是在带有负潜热和运动法则下s t e f a n 问题的边界条 件。这个边界条件得到与溶剂和染料的体积总量守恒有关，在一维的情况下很容 易得到，实际上，体积是由薄片的厚度_ i l o ) 给出，在自由界面上，由溶剂和和染 料体积守恒可得到： 警= 知。丸o ，皿= 警九慨小l 伪似t ) + ，。( o 力 ( 3 9 ) 我们知道在固定边界上： - ，。( o ，f ) 10 因此我们就可以得到： 小- ( 1 - 虫) 警， 我们仅考虑一维的情况。 的方程组： 在茗； o ) 上 ( 3 1 0 ) 记- 丸，则由以上所述，我们得驴和 满足下面 识- ( d ( 妒) 识) 。，o x o ) ，0 f ， ( 3 1 1 ) 9 数学模型 笑于一个描述涂科层噱干过程的s t e f a n 问题 d ( ) 丸- 0 ，z 一0 ，0 f ， d ( 妒) 丸= 一，( 妒) ( 1 一) ，x ；矗( f ) ，oc f ， _ l ，昌一，( 妒) ， | | l ( 0 ) = | l l 。， 庐 ，o ) = 丸 ) ， 孑l 矗o ) ，0 f ， f 篁o 0 s x s 1 霉o ，f ；o ， 对于d ( s ) 要求满足： d 0 ) c 1 【o ，1 】，0 o 则： o ) 一 + r 。o ，f ) 出 ( 4 2 ) 茎主二尘塑堕整塑星堕王塾堡塑! 蝗垒! 鲤望 壁堕童垄堕二丝塑塑i 垦! ! 堇 由( 4 1 ) 和( 4 2 ) 式便可得到： o 1 1 s o ) s o 综上所述，引理得证。 下面考虑如下的初边值问题( 其中庐， 为已知函数，歹为未知函数) ： i ；：= ( 器西) ，一掣五川，( 4 1 3 ) 冠( o ，f ) = o ， y ；o ，o fs r ， ( 4 4 ) 秀( 1 ，r ) = 一五高等再，1 ( 1 ，t ) ) ( 1 一( 1 ，r ) ) 石( 1 。，。 f s t ，( 4 5 ) 石( y ，0 ) = 九( _ ) ，) ， osy 1 ，f ；o ( 4 6 ) 我们假设方程中的系数满足下面的条件： ) d c 1 【o 硼 ，oc d 。s d o ) s d 。c 。，协【o 川， 佃)，c 1 【o ，1 】，1 c 1 【o ，1 】，且o s ，7 0 ) ，v s 【0 1 】，( o ) l o 0 卅1 ，l o ) s ，1 2 + - ( c ) p ) c 【o ，r 】，o 每s o ) s ，v f ( o ，r 】 ( d )( ) ，f ) c o ，1 】【o ，t 】 ，且o s 妒( y ，f ) s 1 ，v ( _ ) ，f ) q r ， )九( ) ，) c 。【o ，1 】且满足相容性条件： “。) = o 和“，( 1 ) 一五再：而，l ( 1 ，o ) ) ( 1 一庐( 1 ，o ) ) 九( 1 ) ( f ) 对于某个g ，吾，有笪警筹盟口( 绋) a 引理4 1 2 对于上述问题( 4 3 ) 一( 4 6 ) ，在满足条件) 一( ，) 时，我们有下面 的结论： ( o 上述问题存在唯一弱解石以( q ，) 且有： 解的存在唯一性和渐近性态关于+ 个描述涂料层晾干过程的s t e f a n 问题 l 石“口r ) 蔓c 0 九0 r ( 岛) ( 4 7 ) 其中c 只依赖d 0 ，d 。，日。 ( i i ) 石( y ，f ) c ，( g ) ( 4 8 ) 其中o c 卢c d ，芦只依赖于d 。，e ，q 证明：容易知道： 堡z zs 掣工z ；坐x ： vx r 。 ； 2 0 ) 。 由于玎 q 嘞和 o ) 连续，因此，对于q ，兰，有： 驾磐乱馏， 对于初值，九( _ ) ，) c 。【o ， 。】，可知九( y ) 工2 ( 0 ，1 ) 。由于玎舻q f ) ) 和 ( f ) 连续， 且矗p ) 满足： o t 每s 砜t o 。 因此，笪警嚣盟在区域q ，上连续，故有笪警鸶堂r 国r ) ，因为 o 珊1 ，l 如) s 坍2 + ， o 矿( ) ，t ) 董l ， o d os d o ) s d l ， 。c 鲁s ( f ) s ，所以有。s 石盖呙，1 静 t ) ) ( 1 一妒q 呦，由【2 】中定理3 3 可知 存在唯一的解石叫( 蜴) ，且有： i i 歹0 以k 。岛，5c | j 丸0 r ， 其中c 只依赖于d 。，d ，日。 ( i i ) 对于( o 舯，存在4 = ；，p 。= 壶， 使得对y 。2 。或) 。1 时， v p ( o 州，都有p ，小彳l ，因此区域d 是a 型区域。 1 4 关于一个描述涂料层晾干过程的s t c f a n 问题解的存在难一性和渐近性态 由【2 】甲定理6 2 司知，对于任葸k = o o ，f 0 ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，卅郡有： 璐怒，石s 4 忉，+ 呲 。r 其中：oc 卢s a ，c 和卢的大小只与d 0 ，d 。，口有关。容易验证石= o 和 石一l 是问题( 4 3 ) 一( 4 。6 ) 的下解和上解，故o s 石s 1 故可得： 例l “) c 。o 下面证明每c 4 ( q r ) 对于姐；o ，f ) ，】，：( y ，s ) 蜴，令r 。k 一) ，i + l t s 降，则有： 即) 一石( y ) l s 蚺徽，阱c r 9 峋，+ 【九l 榴 曲有： s u d z y e j 西 s c k ，+ 丸i 舶 即有 乒c 4 ，( 绋) 综上所述，引理得证 定理4 1 3 对于问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 6 ) ，在满足条件( 3 1 7 ) 一( 3 2 0 ) 时解存在唯一， 且满足： 0 s o ，f ) 1 和0 。s _ i l o ) s 证明：我们先作一个变量变换：令y 2 志，f = 卜则原问题转化为下面的问题： ，l i r 破。啦) ，喘吟， 丸( o ，f ) = o ， 0 y 1 ，0 t ， 0 f 丸( 1 ，f ) t i i ，( 妒( 1 ，f ) ) ( 1 一妒( 1 ，f ) ) ，。c f 吃一一，( q f ) ) ， ( _ ) ，0 ) - 九( ) ) ， ( o ) 一， o f 0 s y s l ， t ；o ) ) 0 ) q 埘 柚 旧 蚴 h h h 解的存在唯一性和渐近性态 关于一个描述涂料层晾干过程的s t e f a n 问题 我们先证明上述问题解的局部存在性 首先构造一个函数空间如下： 以= 弘圳庐c 匠瞎c h r l o s ，0 每s o ) 哦1 i 二 j 定义范数为： 胁力) h 器瑟m 髫筠) j 对于v ( 磊，吃) x ，o = 1 ，2 ) ，定义一个度量为： d ( 魂，啊) ，( 赴， z ) 2 ( 嚣菇i 唬一九i + 署笛l 啊一矗：i 下面我们采用s c h a u d e i 不动点原理证明。 对于v ，矗) x ，我们定义一个映射如下： 缈 ， ) = ， ) 即： 磊。( 鬻霉) ，一掣式，哪乩s z 妒。( 0 ，f ) = 0 ， o rs 丁 ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 霉( 1 ，r ) ；一面弓等苦再上( 妒( 】，f ) ) ( 1 一妒( 1 ，r ) ) 乒( 1 ，f ) ，。c t s t ， ( 4 1 7 ) 丘土一，( ( 1 ，f ) ) ， o fs f ， ( 4 1 8 ) 乒( y ，o ) = ( y ) ， o s y s l ，( 4 1 9 ) 石( o ) 一1 1 0 ， f ；o ( 4 2 0 ) 第一步证明( x ，) 是一个列紧集。对于( 4 。1 8 ) 和( 4 2 0 ) 式，我们可以得到： 后o ) t i l o j ：， ( 1 ，f ) ) d _ r ， o c fs r 容易知道；酶) c 1 【o ，r 1 ，且o c 每s 一烈s 蠢q ) s ( 只要rs 鲁) 口 对于( 4 1 5 ) 一( 4 1 7 ) 和( 4 1 9 ) 式，我们由引理4 1 2 便得到： 一 rp ， 庐c “2 ( 岛) 1 6 笑于一个描述涂料层晾干过程的s t c b n 问题 解的存在难性和渐近性态 由嵌八定理口j 知： c 儿( 磊) 紧嵌入到c ( 磊) ， c 1 【0 ，丁】紧嵌入到c o ，7 】 故可知：( x ，)是x ，中的列紧集。 第二步证明是一个连续映射。令p ( _ ) ，f ) = 磊一磊，则肛( y ，f ) 满足下列方程 驴( 掣以h 掣川( 掣一警川， 一( 掣一掣卜 岫叱吣巩 p ，( 0 ，f ) = 0 ， 肛( _ ) ，o ) ，0 o fs 丁 y = 1 ，o f s r ， o s ys 1 ， f 薯0 ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) 出于o m 1s ，1 0 ) 墨川z + ， o 墨疵( y ，f ) 墨1 ， o d o sd o ) e d l 。， o t 每s f ) s ，故可得， 。s 五，1 ( 戎圆f ”( 1 一九( 1 f ) ) ， 由【2 】中的弱极值定理1 1 可得： 。渺陋斛胖一镤辫) 五 其中： 叫降一警川嘲+ l l 畔一掣剐k c 与呐椭q r 有关的常数。对于溅半，笋，孚在区域 l - m l ， 媲嘞 一 ，一训 一以 魂 小 业柚 扣喘 解的存在唯一性年i 】渐近性态 关于个描述涂料层晾干过程的s t e f a n 问题 【o ，1 【每， 0 】上都是连续可微函数，由中值定理可得： l 哿一错p m ) ，( 鹏) 】， fd ( 咖)d ( 丸) l 1 ”“。“j 降一警 玉酬m ( 圳】 l 掣一剖s c 夕陋啊) ，( 鹏) 】。 l 啊镌 3l 、“一”u 由引理4 1 2 可知： 慨k ，妃 其中c 只依赖于d 0 ，d 1 ，丸峨舀) ，故只要取p = 6 时，便有： 粉k ，s c 。 慨慨岛，s c 5 综上所述可知： 。辫悱例 z ) ，( 丸， z ) 】 其中这里的c 与d o ，d 1 ，p ，丁，忱岐口r ) ，m t ，m z ，m s 有关。 下面对鞘扛一曩l 的估计如下： 鼢陋卟k m ) ) 加上鹏) ) i sc 。d 【( 咖，厅，) ，( 妒z ， ：) 】 其中c 。与丁，吖：有关。故可得： d 眇( 晚， 。) ，( 屯， ：) 】= 。罗煞怔一五f + 黝匠一t 1 s ( c + c 6 vf ( 究，魂) ，他，魄) 因此可知：形是连续映射。 我们由s c h a u d e r 不动点原理可知，映射矽在x ，上至少存在一个不动点， 因此上述问题解的存在性已证毕。 1 8 关于一个描述涂料层晾干过程的s t e f a n 问题解的存在唯一性和渐近性态 下面证明局部解的唯一性。令( 办，啊) 和( 赴， ：) 是上述问题的局部解，令 w ( ) ，f ) 一疵( ) ，f ) 一九( 弘f ) j i l i j w t y ，f ) 硒疋r 圆酣力程； m 一( 半b h 半川( 掣一掣h ， 一( 半一掣卜 哪叱巩z s ， 帆= 0 ， y2 0 ， 0 f r ， ( 4 2 6 ) ( 南删训) w _ ( 错一哿卜 y = 1 ， 0 fs r ， ( 4 2 7 ) w ( y ，0 ) 兰0 ， 0 s ys 1 ， f = o ， ( 4 2 8 ) 由于溅孚，等，孚在酬0 1 1 渺 上都是连续可微酞由 vv 。vl 二i 中值定理可将上述问题转化为： h 。( 半舻) ，一半w + c 3 ( 啊一i l ：) 戎，】，一c 。( 一 ：) 兜 o y 1 ，o o 。 证明： 我们关于妒( t ) 作k i r c h o f f 变换如下 ( 硝) = g ( ) ( 蹦) ，广d ( s 如 则( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 和( 3 1 6 ) 式变为： q = d ( g 一1 ( ) ) n k ， o cxc ( f ) ， o c f ，( 4 3 5 ) q = o ， x = 0 ，o f ，( 4 3 6 ) q 一一g ( m ) ，1 ( g 1 ( 出) ) 1 一g 。( 甜碍，x = 庇( f ) ，o c ， ( x ，o ) 一g ( 九) ， o s 石墨， f o ， ( 4 3 8 ) 令形( 工，f ) 是下面线性初边值问题的解： 彬= 瞩， 啦一0 ， 墩l 一羞( 一m ) ， 形( x ，o ) = ( 善) ， 并且满足下面的条件： 0 石 ， o f ， x 置o ，0 ( f ， x = o ， 0 o 。 令 ，f ) 一珊( 石，f ) 一( 毛f ) ，在o s zs 矗( f ) ，f 苫。内满足： q ( ( t ) ，r ) = 一9 4 ( m ) ，l ( g 。1 ( ) ) 1 一g 1 ( 珊) ) l i 坤) 一取i ，雌 s 一苦( 1 一吖) 甜l 州矿等( 1 一j j l f ) l b d 1 、 7 ”“w d 1 、 “ s 一鲁( 1 一m ) b f ) n 、 7 l 。1 因此 满足下面的方程： d ( g 。1 ( m ) ) 一q = o ， o cxc ( f ) ，o c f ， z = o ，0 f ， 石= i z ( f ) ， o f ， 0 s 石s7 七，o f ， 由极值原理可知： s o ，即o m ( z ， ) s 彤( x ，f ) 。 当f 一+ 。时，形( 工，f ) 一o ，故可得：当f 一+ o 。时，( f ) 一o 。 通过逆交换占一1 可知： ；螬( 石，f ) = o 由引理4 1 - 1 可知： ( f ) 地+ 妒( 彬皿 故可得! 受 ( f ) i 综述所述，定理得证。 ( 4 4 3 ) ( 4 4 4 ) ( 4 4 5 ) ( 4 4 6 ) ”m ， m q ， 0 一 ， “ 争 如 叱 酞 芙于一个描述涂料层晾干过程的s t e f a n 问题结束语 结束语 自由边界问题涉及的大量问题有着很强的实际背景，因此对于自由边界问题 的研究有着重要的应用价值。 本文主要研究了关于描述涂料晾干过程的一个非线性反应扩散方程的自由 边界问题。由于方程是非线性的，边界条件也是非线性的，因此这个问题有一定 的难度。我们应用线性抛物型方程的口理论、s c h a u d e r 不动点定理和弱极值原 理来证明了该问题整体解的存在唯一性，并且用比较原理研究了当f 一+ m 时， 解妒b ，t ) 与自由边界 o ) 的渐近性态。通过研究我们知道! 鳃妒( x ，f ) 一。和 l i m ( f ) = 。( 常数) ，这样我们更清楚地了解了问题的解随时间的变化情况。因 此对于描述涂料晾干过程的反应扩散方程的研究，更有利于准确地控制涂料的晾 干过程。 参考文献 关于一个描述涂料层晾干过程的s t e f a n 问题 参考文献 【1 】b r d c h a r d fa n dd eg e n n e s p gj l m f f 把，谚p b 炒川e ，d 如s d m f f d 埔 p h y s i c o c h e m i c a lh y d r o d y i i a m i c s ，4 ( 1 9 8 0 ) ，p p3 1 3 3 2 2 【2 1 陈亚浙著，二阶抛物型偏微分方程，北京大学出版社，加0 2 【3 】c o h e n d sa n dw h i t ej r a b ，5 掩n ，p ，而h 捃也e 细d 伽“鲫以n d & 煳口，确e g 胁黜m 以s 打面，l 拥p d 6 硼已博j p o l y m s c i b ：p 0 1 y m h y s ，2 7 ( 1 9 8 9 ) ，p p l 7 3 1 1 7 4 7 【4 】c i a n k j ，f i e 矗，l d 朋| d v m g 县o h 群幽p m b f 硎sc l a r c n d o np r e s s o x f o r d 1 9 8 4 【5 】c u i s ，爿瑚加括d ，口m 已丑伽珂妇，) m d 如踟占如删d rg r d m ，a c t am a t hs i n i c a ， t oa p p e a f 【6 】d u m i n g c j ，d 0 归，鲫f 胁f 曲伊f f 鲫加协e 肠s 打c 只“ 如j p 0 1 y m s c i b ： p 0 1 y m p h y s ，2 3 ( 1 9 8 5 ) ，p p l 8 3 1 1 8 5 5 【7 1 e d w a r d s d aa n dc 0 h e n d s ，4 ，lu n “s l 耐坳v 打曙b d 捍如，yc d n 讲l f d n 月r 函h g 拥4 厅d 删口f d “jd 旅岱z d 盯m 6 k s i a m j a p p l m a t h ，5 5 ( 1 9 9 5 ) p p6 6 2 6 7 6 【8 】f a s a n o a a n d p r i n l i c e r i o m ， wr 即h 加d n勋川ec 协了i c 口z 砌m 6 d 比 m p 一的忍如删m 6 k 巩q u a r t a p p lm a t h ，3 8 ( 1 9 8 0 ) ，p p 4 3 9 4 6 0 【9 】f r j c d m a n a ，砌埘8 fd 砺融m l f i 口fe q “n f f 册d ，仰m b 。f f c 聊岛p r e n t i c e h a l l e n g l e w o o dc l i f f s ，n j ，1 9 6 4 【1 0 i g o t z i ga n dz