（基础数学专业论文）关于亚纯函数例外值及代数体函数奇异方向的一些研究.pdf

摘要 本文共有三茕主要介绍亚纯函数的几个典型例外值的联系与区别，以及 有穷正级代数体函数的奇异方向第一章在亚纯函数b o r e l 方向和t 方向的 基础之上，考察了b o r e l 例外值和t 例外值，构造了一个亚纯函数以0 为b o r e l 例外值，但0 不是t 例外值；以及另一个亚纯函数以0 为t 例外值，但0 不是 b o r e l 例外值第二章构造了一个以0 为v a l i r o n 例外值，但不是b o r e l 例外值， 也不是t 例外值的亚纯函数第三章把有穷级亚纯函数的t 方向推广到有穷 级代数体函数上，得出有穷级代数体函数存在t 方向 关键词：亚纯函数；b o r e l 例外值；v a l i r o n 例外值；t 例外值；代数体函数；t 方向；b o r e l 方向 1 1 a b s t r a c t t h ed i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s ，i tm a i n l yd e s c r i b e sr e l a t i o na n d d i f f e r e n c eo f s e v e r a lt y p i c a le x c e p t i o n a lv a l u e so f m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，a n ds i n g u l a rd i r e c t i o n so ff i n i t ep o s i t i v eo r d e ra l g e b r o i d a lf u n c t i o n i nc h a p t e rl ，i nt h e b a s eo ftd i r e c t i o na n db o r e ld i r e c t i o n ，w er e v i e wb o r e le x c e p t i o n a lv a l u ea n d te x c e p t i o n a lv a l u e ，c o n s t r u c tam e r o m o r p h i cf u n c t i o nw i t hz e r oa sb o r e le x c e p t i o n a lv a l u e ，b u tn o ta ste x c e p t i o n a lv a l u e ；a n da n o t h e rm e r o m o r p h i cf u n c t i o n w i t hz e r oa st e x c e p t i o n a lv a l u e ，b u tn o ta sb o r e le x c e p t i o n a lv a l u e i nc h a p t e r2 ， w ec o n s t r u c taf u n c t i o nm e r o m o r p h i ci nt h ep l a n e ，w i t h0a sav a l i r o ne x c e p t i o n a l v a l u e ，b u tn o ta sab o r e le x c e p t i o n a lv a l u e ，a n da l s on o ta sate x c e p t i o n a lv a l u e i nc h a p t e r3 ，w ee x t e n dtd i r e c t i o no f f i n i t ep o s i t i v eo r d e rm e r o m o r p h i cf u n c t i o n t of i n i t ep o s i t i v eo r d e r a l g e b r o i d a lf u n c t i o n ，e d u c ef n i t ep o s i t i v eo r d e ra l g e b r o i d a l f u n c t i o ne x i s t std i r e c t i o n k e y w o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，b o r e le x c e p t i o n a lv a l u e ，te x c e p t i o n a l v a l u e ，a l g e b r o i d a lf u n c t i o n ，td i r e c t i o n ，b o r e ld i r e c t i o n i i i 0帆39 眦767，川叭1洲y 前言 在亚纯函数理论中，b o r e l 定理的证明产生了值分布理论的萌芽，1 9 2 5 年，n e v a n l i r m a 为值分布论的发展做出了划时代的贡献，创立了n e v a n l i n n a 理 论，构建了值分布论的基本理论7 0 多年来，值分布理论在n e v a n l i n n a 理论的 影响下取得了巨大的发展我国的值分布论研究始于熊庆来先生，他与庄圻 泰等函数论专家为我国培养了一支宝贵的值分布论研究队伍近2 0 年来我 国关于亚纯函数值分布论的研究又取得了新的发展，形成了以杨乐为首的，在 国际上被誉为”中国学派”的值分布论研究群体从值分布的一般理论可以 看出，亚纯函数( z ) 的模分布性质说明了k ) 在整个开平面上的某种取值情 况，而f ( z ) 的辐角分布性质则反映了厂仞在某条射线附近的取值情况杨乐 和张广厚曾创造性地研究了辐角分布与模分布的关系，他们首次在这两个看 似无关的问题问发生了明确的关系而亚纯函数的奇异方向是值分布论中研 究最多的问题之一 是辐角分布论的典范，其例外值及相互关系也是值分布 论中的基本内容，且与奇异方向紧密相关大多数人都是在研究奇异方向时介 绍到相应的例外值，而避开奇异方向单独讨论亚纯函数例外值的文献较少见， 且一般是介绍或引进一些重要例外值相关的定理和结论，以构造例子的形式 来探讨例外值的文章就更加罕见，而且构造关于例外值的例子，对以后亚纯函 数奇异方向的研究也有极大的参考价值本文第一章构造了一个亚纯函数以 0 为b o r e l 例外值，但0 不是t 例外值；以及一个亚纯函数以0 为t 例外值，但 0 不是b o r e l 例外值第二章构造了一个以0 为v a l i r o n 例外值，但不是b o r e l 例外值，也不是t 例外值的亚纯函数 在本文的最后部分，我们研究了有穷正级代数体函数的t 方向代数体函 数作为亚纯函数的推广，早在2 0 世纪2 0 年代，就受到国内外学者的关注1 9 2 8 年，我国著名数学家、天文学家赵进义先生研究了“具有两分支整代数体函 数”，随后，h s e l b e r g 【1 8 】、e u 1 m c h 1 9 1 和g v a l i r o n 【2 0 】建立了代数体函数的 特征函数和第一基本定理，为研究代数体函数的值分布奠定了理论基础，代数 体函数的奇异方向是函数值分布论研究的基本问题之一关于亚纯函数的奇 异方向存在性问题，已有许多重要的结果关于代数体函数的存在性问题，仍 有许多问题待解决吕以辇，顾永兴曾证明了有穷正级v 值代数体函数至少存 在一条b o r e l 方向，至多除去2 v 个例外值；陈特为证明了有穷正级v 值代数 体函数至少存在一条强b o r e l 方向在亚纯函数方面，z h e n gi i a n h u a 于2 0 0 3 年 首次提出了t 方向的思想张庆德在 7 中研究了有穷正级亚纯函数的b o r e l 方向和t 方向本文第三章将t 方向和b o r e l 方向应用到有穷正级代数体函 数，考虑其t 方向的存在性，同时给出了b o r e l 方向与t 方向的关系 第一章关于亚纯函数例外值的例 本章依照b o r c l 例外值的定义的方式，联系t 方向的概念给出了t 例外 值的定义以及构造了一亚纯函数以0 为b o r e l 例外值，但0 不是其t 例外值； 另一个以0 为t 例外值但不以0 为b o r e l 例外值的亚纯函数 1 1 引言与结果 在亚纯函数理论中，亚纯函数的奇异方向的研究对亚纯函数值分布论 和辐角分布论的发展具有重要的意义，尤其以b o r e l 方向和j u l i a 方向为先 驱1 9 1 9 年，j u l i a 引进了j u l i a 方向的概念，并给出每个超越整函数至少有一 条j u l i a 方向这个结果产生了p i c a r d 定理为了得出b o r e l 定理，g v a l i r o n 在 1 9 2 8 年首次引进了b o r e l 方向的概念这进一步促进了值分布论和辐角分布 论的发屁2 0 0 3 年，郑建华【9 】引进了复平面上亚纯函数t 方向的概念，这更 加拓展了亚纯函数的奇异方向此外，亚纯函数的例外值也是值分布论中研 究的重要问题之一文献 3 中介绍了几种类型的例外值，对它们的存在性以 及相互之间的关系也给出了探讨因而，例外值一般与对应的奇异方向紧密相 关如p i c a r d 例外值联系于j u l i a 方向以及b o r e l 例外值与b o r e l 方向相关那 么我们能从t 方向上定义t 例外值，也就是说我们能称跟t 方向有关的例外 值为t 例外值从文 3 中可知八z ) 的p i c a r d 例外值一定是其b o r e l 例外值 ( 其中f ( z ) 是有穷级亚纯函数) ；并且若为超越亚纯函数，如果a 是k ) 的 p i c a r d 例外值，则a 必是仞的n e v a n l i n n a 例外值叙述亚纯函数b o r e l 方向 和t 方向的定义如下 假设( z ) 是平面上级为a ( o a o o ) 的亚纯函数射线a r g z = 0 称为 朐的一条五级b o r e l 方向，若对任意正数0 7 和每个复数口，都有 l i m ，s 。u p 皇坚塑曼笋= a 至多可能除去两个例外的复数其中刀只s ，厂= a ) 是力= 口在 z l l a r g z 一0 i s ，i z l r 内解的个数，计重数( 见 3 ) 从而每个a ( o 五 o o ) 级亚纯函数至 多有两个b o r e l 例外值 称半直线a r g z = 0 为八力的一条t 方向，对任意e ( 0 r - - o o 1 v ，j ) 对复平面上任意点口，至多有两个例外其中( 0 ，毛f = = i 坐生争趔衍+ n ( o ，f = a ) l n r ( 见 9 ) 即亚纯函数f ( z ) 的t 例外值至多也只有两个 张庆德在文献 7 中对有穷级亚纯函数的b o r e l 方向和t 方向作了详尽 的探讨，他得出： 若( z ) 是复平面上a ( o a ) 级亚纯函数，它关于职力的最大型 b o r e l 方向也是埘的一条t 方向，其中毗力是f ( z ) 的型函数而且如果 八力的下级u = a ，则它的t 方向一定为其b o r e l 方向但一般情形下，b o r e l 方 向和t 方向是两种不同类型的方向在文 7 】中他证明了下面的结果 定理彳对任意正数a ，正整数q l 和驰，记e 1 = a r g z = o j l o 0 l 0 2 o q l 2 丌) 及e 2 = a r g z = 妒，| 0 妒l 忱 2 2 丌 ，使得 e ln e 2 = o ，则存在复平面上的a 级亚纯函数八z ) ，恰以e lu 易为其t 方向 且恰以易为b o r e l 方向 定理曰对任意正数a ，正整数q l 和q 2 ，记e l = a r g z = o j l o 0 1 0 2 岛l 2 7 r 及邑= a r g z = 竹1 0 q o l 忱 2 2 z r ， 使得e 1n e 2 = o ，则存在复平面上的级与下级均为五的亚纯函数k ) ，恰以 e 1u 易为其b o r e l 方向且恰以易为其t 方向 这使我们想到下面的问题，亚纯函数b o r e l 例外值和t 例外值的关系又 是怎样的呢? 本文初步尝试构造了一亚纯函数以0 为b o r e l 例外值，但0 不是其t 例 外值；另一个以0 为t 例外值但不以0 为b o r e l 例外值的亚纯函数 本章设刀以f = 力为一a 在i z l 厂内根的个数，计重数其它未说明 的符号一律与文献 3 】的相同 定义1 1 定义亚纯函数厂0 ) 的级为 川粤警 其中r 力是函数f ( z ) 的n e v a n l i n n a 特征数( 见 3 】) 下面叙述两个定义： 定义1 2 1 2 1 假设仞为开平面上的a ( o 五 o o ) 级亚纯函数，称复数a 为k ) 的b o r e l 例外值，如果 l i n l s u p 堕掣 a 定义1 3 假设厂( z ) 是复平面上的亚纯函数，a ( a c o o ) 称为作) 的t 例外 值，如果 - 警茅- o 本章的主要结果是： 例子1 1 设 b ”= 2 ，a n = 玩+ i i n ， 2 其中 讵_ 是何的整数部分 令 作，= 0 喾烀乩 ， 其中扁2i 而1 。 又假设 令 = 1 - i ( 1 + 尾) 口p 1 “”1 1 ，锄_ f ( o f 0 0 ) ，_ o o ) n = l 购= 0 ( 1 + 等) 厕， ( 1 2 ) 置 f 协= ，g ， 那么f 是平面上的亚纯函数，0 是凡z ) 的b o r e l 例外值，但不是其t 例外值 例子1 2 令 作) 2 日( 1 + 等肟一， 荆二0 等商 设 f = f g 其中，既，a 。，岛均同于例子1 1 ，那么0 是f ( z ) 的t 例外值，但不是它的 b o r e l 例外值 3 一r 所 、乃 0 ，使得i z l m 以及i z a n i l ( n = 1 ，2 ，) 时， 有l 。i 0 ，存在m = i 2 t + l + b 0 ，其中b = m a x l a 。1 1 疗m ，当 l z | m 以及k - a 。l l ( n = 1 ，2 ，) 时，有龇) 一1 i g 证明1 2 1 设 正2 珥( 1 - 仍删2 日”厕， c = 珥o oc 钞仍= 珥o o ”慨 显然b l ，b 2 ，b 是五的无穷多个零点，其模从小到大排列为： 6 l i i b 2 l l 玩l ， 4 磊 糊 这时有 l i mi 以l = l i m2 矿= o o + 月 任意给定一个正数r ，若b m r 6 埘+ l 我们i z l 所) 当i z l r ，时 锄2 讵- l n ( 1 一云) = 厮( 一云一1 瓦z ，2 一l z ，n o n ) ， d no n三8 n n 因为b 。= 2 ，所以 l a , i 何 1 ；o n 云1 2 + 】 l 去 q b 去v b1 2 + i 去v b 1 3 + d 行 。 当甩充分大时。有 i 去i 甄r 1 因而 蚓主去 因级数互刍收敛，由引理1 1 我们知道 。野一厕 在l z l r 内绝对并一致收敛于一个解析函数。所以 ”厕 在m 尬时，无论丁有多大，总有 $ n 0 0 - l + t 一1j 尬，有 设 令 则当吲 m 时，有 b = i 锄一 z a n a = i 兀( 1 + = n 锄一既 z a n 、【厮 b = m a x l a , , l l ，z i v ， m ：垒+ 1 + 6 s s _ ， z j 锄一b 。 z n ” ，厕刈薯寡1 。厮i z 2 以- a 1 i c i 十一+ 舒雩1c 。i 厮禹 ) 厕_ 1 i 善。善1 厮碥+ + 。善【厮i 高c 稳 谢吼， 雨1 ( j _ l 一1 ) m 以及k 一嘞i l ( n = 1 ，2 ，) 时，有 n - i 7 i i ( 差炉邶1h = _ 一疗 + 刈岘m + 口 n o 时，使得 两1 妻 历 m 边界上的点z 满n = 足l = +p1pl p z l a p+ 1 必由引理1 2 的2 0 ，可知 l 朐l e 1 则 i ，例f ( z 一) 口i i 籍卜丽1 刁 一- 蒯r 2 q p p - u 两i 丽1 亟丝上 素彳i z a 1 l z 一以l l d l s 赤两1,11 ，z 茎a 厕o n 时，在每个l 。内名一a 的零点数与g ( z ) 的 极点数相同 7 1 3 例子的证明 例子1 1 的证明：由引理1 2 ，我们知道朐，荆亚纯，所以f 国= 他) 酢) 在平面上亚纯 对任意充分大的r ，存在相应地刀，使得 即 因而 b 。= 2 矿 r 以+ l = 2 印+ 1 妒+ 玎( l 厂= 一1 ) = 即力= 而2 历2 何 扛i f ：- 1 ) ：眦力：厂掣沈酬f ) l n ，2 2 v 歹- 1 , n ( 1 3 ) j 1 l 叫莽需 删e 莎 2 矿 ，讵丽。 讵丽 ，2 加+ 1 ) 2 厅一1 慨，用r h 华坊酬们l n 2 之( 恒- 1 ) l n 2 ( 1 8 ) t ( 2 r ，用n ( 2 r ，刀( 何一1 ) 1 n 2 9 紫掣i n r2 - 罂警i nr h 12 。1im。皇萼in二孚瑞zn)=三 ”+ ” z l z ”十 z 故f 的级为 捌粤警1 1 因此 下面证0 是，的b o r e l 例外值，但不是f 的t 例外值。 l 、2 ( 卜1 ) 卜”】 2 矿 r 讵加+ 1 ) ( ”n ， 以 划卜毗g _ 滔研厕 倒妒+ 1 ) 毗，e 罗 2 矿 厂讵丽 讵丽 厅何一1 j = l 碱，r 华衍酬叫 ( 何一1 ) 1 n 垒 刈? 帮r 二。 1l 7 n ， 一 _ i i d蔫 以 量 脚 h ( 、2 旷一1 ) i n 血 l i r as u p 二：二卫 + 。1 2 2 4 f 1 n l i i i l ! 鲨二1 2 ：尘型! ! ：兰坠! 至翌兰生型! 。o o 1 2 、2 矿1 n2 伽+ 1 ) ( ”1 = 争o 因此得出0 不是f ( z ) 的t 例外值则例子1 1 证毕 例子1 2 的证明：由例子1 1 的讨论可知f 的级为 a = 紫警乩 依例子1 1 的证明过程可知，对于2 矿 2 4 7 囊一。篙篡咿n 取点列 “= 2 矿+ 2 n ，同于例子1 1 中( 1 4 ) ，( 1 8 ) 的证明过程有 n ( 2 r , f = 0 ) 1 一s ，即 l i ms u p 堕訾掣l i m s u p 掣= a 这与口是侧的b o r e l 例外值相矛盾。 从而a 足化) 的v a l i r o n 例外值，即命题得证 而由定义显然可知，若a 为k ) 的t 例外值，则它必为k ) 的v a l i r o n 例 外值 1 2 那么亚纯函数的b o r e l 例外值和t 例外值都是其v a l i r o n 例外值，而b o r e l 例 外值和t 例外值并不存在必然的包含关系 以下出现的 明均是对x 进行取整 本章的结论是： 定理令a n = 2 矿，6 刀= a n 一，其中u n = 击 设 s m = 兀( 1 + ) 、2 1 ，一s ( 0 s o o ) ，( m - o o ) 令彻= 亟( 1 + 必z - a n ) 厮一1 ， 又置 ，一 1 a 。= 2 印+ 1 ) 加“，风= ；兰= ，b 。= a 。一晟 2 v 2 ( ”1 “ 所 ，、，矿， 设 t m = 兀( 1 + 岛) o 薷- _ 1 ，一t ( 0 0 ，使 得当吲 m 且l z a n i l ( n = 1 ，2 ，) 日寸，有搀) i 0 ，存在m = 譬+ 1 + b 0 ， 其中b = m a x a 。1 1 刀) ，当俐 m 且i z a 。l l ( n = 1 ，2 ，) 时，有 k ( z ) 一1 i s 证明1 ) 先证前半部分，令 删2 珥”蛹删2 ( 卜历， c = 的旧= 盼奶 显然b 一，b z ，b 是a ( z ) 的无限个零点，它们的模满足： b l i l b 2 l i b 。l ， 1 3 并且有l i mi 巩l = l i m2 矿= 任意给定一个正数足若b 。r b m + 1 我们在 i z l 坍) 当 z l r 时，锄= 垣矿 l i l ( 1 一寿) = 讵矿】( 一云一 ( 云) 2 一j ( 寿y ， 因为巩= 2 矿，因此1 i 讵矿 i 寿i + i 寿1 2 + i 去i + l 去1 2 + i 去1 3 + ， 当刀充分大时，有i 去i 丽r = j 1 ，所以i 锄i 三万i 因为级数击收敛，由引理2 1 可知级数兀( 1 一考) 【v 2 矿】在i z l m 时，不管t 有多大，总有i _ s n o + _ t 一 ”n o - 1 1 1 ，有彳= in ，( 1 + 等) 讵一 一1 1 m 田扎有 曰：i 1 - i ( 1 + a - b ) f 2 4 5 劢- 1 1 1 二一i z 一锄 嚣q 厮禹+ + 瞩 - - 1 1 c 。i 厮南i 善。善q 厮f + 一+ 日善1 。厮f 高( 珥( 1 + 训吼1 ) 而1 ( s - l 1 ) m 且i z a n i l ( n = 1 ，2 ，) 时，有 n g - i ( 差一m 邶( 珥- 1 ( 1 + 硝旧m 祁 n o ( n o 忉，在每 个厶的内部，倒一d ( d 0 ) 的零点数与f ( z ) 的极点数相同其中n 由引理 2 2 中的1 ) 所取定 证明对于每个三口边界上的点z 任意选择一个复数d ( d 0 ) ，令8 = 垅加 ；，粤) 因至 讵一 收敛取，令n o = m a x n , n ，当p 时，使得 。 n = l 六至 、习 ，厶边界上的点z 满足l z l = a p + p + l 必由引理2 2 的1 ) 知b q z ) i s 1 则 i 铬卜丽1 = 嘻溉1 南 亟丝上 一a 。：a l | z a 1 i z 一既l i d i s 志嘉 忉p 1 a _ a 时，在每个岛的内部，g 一a 的零 点数与舴) 的极点数相同 2 3 定理的证明 1 5 证明由引理2 2 可知埘，g 均为亚纯的，因此，= f ( z ) g ( z ) 在平面 上亚纯 2 3 1 ) 下面讨论f 的级 对任意充分大的r ，存在相应的”，使得b n = 2 矿 ，b 川= 2 ( 川) 肿1 i ) 首先讨论r 化力如下： 即以= 一1 ) = 刀力= 扬2 厕2 恒 i = 1 ( 厂，厂：一1 ) ：( ) ：厂丛学历疗f ) t n r 2 何l l l n ( 2 9 ) j 1 l 3 因为丁以力( = a i ) + o l n ( r t ( r , 力) ) i - - l 不妨假设a i ( i = 1 ，2 ，3 ) 分别为- 1 ，0 0 ，5 ，由引理2 4 ，有 n ( r , f = 5 ) = n ( r 一( a n + i 一( + 1 ) ) ，f = 5 ) + n ( ( a n + 1 一o r + 1 ) ) ，f = 5 ) = n ( r 一( a n + l 一( + 1 ) ) ，f = 5 ) + c = 面+ c i = n + 1 2 何一( 歹一1 ) + c ( 2 1 0 ) n ( r , f = 5 ) ( 2 何一( 伊一1 ) + c ) l n r ( 2 11 ) 丁以力s ( 6 何一( 歹一1 ) + c ) ) l n ，+ o l n ( r t ( 力) ( 2 1 2 ) 比曲= 睡= i 妒州 f 巫 2 v r 历而而，i 妇朋 缥n 2 n n 茹纂2 。川， li n 2 ( + 1 ) ( ”1 ) ” “3 删= f 7 华沈 黧l n rh r 篇篡川，亿 类似于( r 曲的讨论同样可得出 惦 蘩2 v - i 万i n rh r 嚣慧妒圳亿 对于舴) ，设a m = 1 ，2 ，3 ) 分别为o ，0 0 ，5 ，而类似于式( 2 1 0 ) ，( 2 1 3 ) 可得 钢 t 2 v - i a 2 v 歹+ c ) i n r 汕r 焉暴咿n 亿均 3 由于丁曲盹g = a f ) + d k r t 曲) l ， i = 1 则由式( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 可得出丁以曲满足： 1 ) 当2 矿 ，讵丽吨 ( 3 焉一品) i n r + o 恤僦 2 ) 当饭两两 r 2 ( 州) 时， r 渊3 豁一品+ c ) l n r + o 恤( 怫( 2 1 7 ) 因此由式( 2 1 2 ) ，( 2 1 7 ) ，有 l i l l l s u p 坚盟l 妇s u p 坚堕里三型 r _ i n r r - l n r l i r as u p r l n ( ( 3 一墨+ c ) 1 n r ) 1 1 1 r 。硫! 竺竺鉴二墅竺：! ：! 月。” l n 、2 加+ 1 ) ”1 另一方面，取点列 h = 2 圻而可而) ，则 叫硼州= 喜c 而+ 芝i = l c 嘉， c 怃+ c 磊p 器“ 慨，d r 嘞华c 们啦c 器叫山2 ， 、，加+ 1 ) ( ”l 丁( 2 ，d ( 2 ，毋( 蒜而一1 ) l n 2 1 7 t 警警i n之，粤警i n，- ， h - 2 、ln(嬲一1)ln2)lim 业型= 兰= = = 1 ”4 ”l n ( 2 ( 2 2 铆+ 1 ) 押“) ) 所以，( z ) 的级为a = l i r as u p 业l n r = 1 2 3 2 ) 下面我们证0 是荆的v a l i r o n 例外值，但不是f 的b o r e l 例外 值和r 例外值 2 3 2 1 ) 0 是f ( z ) 的v a l i r o n 例外值 取点列 r n = 2 矿+ 2 n ，则 万( ，力= y 面何一1 ， 而 咖加主i = 1c 嘉，嘉乩 t ( 2 r , ，刃n ( 2 r , ，刀n ( 2 r , ，力+ n ( 2 r , ，曲 芝t n 掣a t + 。掣出 ，z 以，力l n 2 + 疗以，曲l n 2 ( 厅_ 1 ) 1 1 1 2 + ( 嘉- 1 ) 1 n 2 柑叫= 机例，= 妻i = l c 盎， = 窆c 嘉嘉，= 羔器】 扛1 一一 2 故n ( 2 r , 丹吣( 2 慧磊+ 品m ( 2 砒 因此 i m ，。b a f 垒笔并5 ，i h m 。i 。n f 垒岩 ，( 2 豁+ 丽2 4 7 ) l n ( 2 ( 2 矿+ 2 刀) ) l i r a ! ：丝竺竺：鲨! ：兰二：! ：竺 n - - - + o o ( 何一1 ) l n 2 + ( 茄一1 ) l n 2 = 志 从而得出0 是f ( z ) 的v a l i r o n 例外值 2 3 2 2 ) 0 不是f 的b o r e l 例外值 对于2 矿 r s2 ( 川，根据以上的讨论，有 刀以，= o ) = 胛以g = o ) i 厕n 2 一 f 也矿 l i n 2 ( n + 1 ) t n + 1 ) 。 以及 拧f = o ) = 2 ，l ， ，s 讵丽， 乏五丽 ，2 伽+ l p + n ( 2 1 8 ) n ( r , g = 0 1 ；一一。器嚣印 i 惠器 揣一1 厕 f - _ 一ll j 上 一、2l i l 2 ( 斛l p l )吖 而由式( 2 1 2 ) ，( 2 1 7 ) 可知 碱胚碱肿碱小( 6 厅州灿“3 需删l n t 鼍? 锗- 。 1v ，1 ， 一 三d ，蔫 而 莹 腑 h 。血! 墨墨二! 坠三竺二坚望! ：竺! 鲨 ”。 3 意筹i n 2 珥州 = 争o 那么我们得出0 不是f 的t 例外值 2 0 警 第三章关于有穷正级代数体函数的t 方向 本章在亚纯函数t 方向的基础上，考察代数体函数的t 方向，得出有穷 正级代数体函数存在t 方向，同时给出了t 方向与b o r e l 方向的关系 3 1 预备知识 设w = w ( z ) 是由方程 a ，( z ) + 彳，l ( z ) w _ 卜1 + + 么o ( z ) = 0 ，( 3 2 0 ) 所定义的v 值代数体函数其中系数a i ( 江0 ，1 ，v ) 是定义于i z i o o 内 的整函数，且没有公共零点w 的单值定义域是一个黎曼曲面豆, r z 是平面 z 的v 叶覆盖曲面恧的点用三表示，孑在z 平面上的投影是z ，卮在圆i z l r 上的部分记为园 ，令 毗们= 三j ：蒜胁 m 们= 吾r 半西 s 叻是园 ，覆盖形球面的面积平均值，丁以们为喇的特征函数，用 疗以a ) 表示心) 一a 在同sr 内的零点个数若不计重数则记为- ( n 口) ，用 疗豆) 表示厄在团冬r 内的分支点个数，分支点的重级计算在内令 盹址吾r 型宇幽魂+ 掣l o g n 由文献 1 1 有 ( l 尼) 2 ( v 一1 ) 丁( 厂w ) + d ( 1 ) ( 3 2 1 ) 现在定义平面上的角域a ( o o ，回= z i a r g z o o l 轧_ ( o o ，回= z i a r g z o o l 6 。其中0 0 0 2 丌，0 6 吾用五，d 和x ( o o ，d 分别表示霞在 z l ( a o ，回和_ ( 岛，回上的部分用门z x ( o o ，d ，a ) 和 a ( a o ，回，见分别表示在 _ ( 岛，dn 园，) 内，一a 的零点个数和足的分支点个数，重级计算在内 定义3 i t l l l ：代数体函数w ( z ) 的级定义为 p ：l i m s u p l o g t ( r 一, w ) ，一* l o g r 当p = 0 时称为零级，当p = o o 时称为无穷级，当0 p o o 时称为有穷级 2 1 定义3 2 j ：代数体函数似z ) 的f 级定义为 p 一i m i n f1 l o g 鬲t ( r , _ w ) ， - 1 垡r 定义3 3 ：如果对于任意复数口( 至多有2 v 个例外) ，有 紫型铲= p 则称半直线b ：a r g z = o o 为，( z ) 的一条b o r e l 方向 定义3 4 ：半直线l ：a r g z = 0 称为1 ，值代数体函数心) 的t 方向，如果 对于任意的0 。 成立最多除去关于a 的2 v 个例外值 3 2 主要结果 在亚纯函数方面，郑建华于2 0 0 3 年在文 9 中首次提出了t 方向的思 想2 0 0 4 年，g u oh u i 在文 1 7 中证实了亚纯函数t 方向的存在性本文将t 方 向应用到代数体函数，考虑有穷正级代数体函数t 方向的存在性，同时给出 有穷级代数体函数t 方向与其b o r e l 方向的关系 定理3 1 设w ( z ) 为园 o o 内由方程( 3 2 0 ) 定义的v 值代数体函数，它的 级p ( o ，o o ) ，则w 心) 至少存在一条t 方向 定理3 2 若有穷级代数体函数的下级也为p ( 0 ，o o ) ，则定理3 1 所论述 的t 方向一定是它的一条b o r e l 方向 3 3 引理 引理3 1 1 2 1 ：设w 为h o o 内由方程( 3 2 0 ) 定义的v 值代数体函数，它 的级p ( o ，o o ) ，矾力= r p ( r ) 是其型函数对于复数口，如果l i r a s u p 帮= 0 ，则 l i ms u p 帮= 0 引理3 2 1 6 1 ：设w ( z ) 为l z l o 。内由方程( 3 2 0 ) 定义的v 值代数体函数，对 于0 6 0 萼，0 岛 ：n ( 1 1 2 口o ，a j ) + ( 1 + 三) ”( a r , a o , 卮) 一 a + ( q - 2 m 岱，- ，w ) + 品鲁。 这里后是满足0 k 至多除去2 v 个例外值 证明：若不然对于每个a ( 4 3 ( 0 i m 一1 ) 最少存在q = 2 v + 1 + o j # l - 催i 彰 满足l i m s u p 川，喇u ( r 。) 边= 0 即存在r 。，使得当r r 。时，有 ( 泐) ，彩) = o 驴) ) 设a ，卢为两个任意正整数，令九t = 鲁j + 面2 k j r ，0 i m 一1 ，0 k 卢一1 ，对于任意给定的厂 1 ，及a 1 ，设 a f t = z i z l 2 2 口r , 肚a r g z f ，女+ l l ， 则 i z l 俨口r = 址因此，必存在一个k o ，0 卢一1 ，不妨设k o = 0 ， 使 | j ：0 ，恧) 否1 刀( 俨恧) i = 0 设角域石= z 监学业a r g z 堕堕掣 ， ? = z 妒偏 a r g z 以l 。+ 1