（基础数学专业论文）一类幂零群的幂零类的研究.pdf

摘要 设是幂零环，即存在某个c n ，使卧l = 0 则u = 1 + n 是个典 型的幂零群的倒子特别地，含1 交换环上的单位上三角矩阵群就是个常 见的例子本文给出了交换环上的三角矩阵构成的一般幂零群的幂零类及其 上下中心列它是单位上三角矩阵群的般化，这些结果有助于计算有限域 上般线性群的p - 子群的幂零类 般地，设n = 仇i t ，) 是幂零环，g = ( 1 + x i i j ) 是由的生成元 生成的幂零子群个自然的问题是群g 的幂零类与群u 的幂零类以及环 的幂零类之间具有哪些关系? 本文给出了、c 厂和g 的幂零类之间的一些 关系显然，后个幂零类小于等于它前个的幂零类，最后给出了两个倒子 说明幂零类之间的这种严格不等关系是可以取到的 ( 1 ) 设a ! 勿noz 2 ，i + - 1 ) ，j 是a 的自同态环的j a c o l o n 根， 是a 的自同构群的极大正规2 - 子群，则a = 1 + j ，j 的幂零类为2 m ，的幂 零类为m + 1 若取n = j ，则群u 的幂零类小于环的幂零类 ( 2 ) 设a 是幂零类为4 的自由幂零代数，其中认，( 1 s t 4 ) 为自由生成 元，设，是由( 1 一挑一珊一弧) ，蜥，挑】一( 雠，弧】+ 幻，雏j ) 【驰，y j ，1 t ，j ，k 4 生成的理想取n = a i ，记司= 玑+ ，n = 慨1 1 i s4 ) ，则群g 的幂零类 是2 ，群u 的幂零类至少是3 ，因此群g 的幂零类小于群u 的幂零类 关键词幂零群i 幂零类；幂零群例；中心列i 上中心列 a b s t r a c t l e t 矿= l + w h e r eni san i l p o t e n tr i n g n o t et h a tar i n gni sn i l p o t e a tw i t h n i l p o t e n c yc l a 8 8c i f e v e r y p r o d u c t o fc + 1e k m e n t b i 80 i n n t h e n u i sac l a s s i c e x a m p l eo fn i l p o t e n tg r o u pw i t hr e s p e c tt ot h er i n gm u l t i p l i c a t i o n i np a r t i c u l a r l y , u p p e r 眦i t r i 柚目1 l a rm a t r i c e so v e rac o m m u t a t i v er i n gw i t h1i sac l a s s i ce x a m p l eo f n f l p o t e n tg r o u p w ep r e s e n tt h en n p o t e n c yc l a o fag e n e r a l i z e dn i l p o t e n tg r o u po f 协i a n 目1 l 矗rm a t r i c e so v e rac o m m u t a t i v er i n ga n di t su p p e ra n dl o w e rc e n t r a ls e r i e s a sag e n e r a l i z a t i o no fu p p e ru n i t r i a n g u l a rm a t r i c e s ，t h e s er e s u l t sh e l p f u lt oc a l c u l a t e t h en i l p o t e n c yc l a s so fp - s u b g r o u po fg e n e t a ll i n e a rg r o u po v e rf i n i t ef i e l d i ng e n e r a l l y , l e t 矿= 1 + n ，w h e nn = ( 甄i i ，) b ean i l p o t e n tr i n g , a n d g = ( 1 + i db en i l p o t e n tg r o u pc o n s t r u c t e df r o mt h eg e n e r a 椭o fn w e d i s c u s st h er e l a t i o n so fn i l p o t e u c yc 1 日l s s e so fn ，矿a n dg f i n a l l yw ep r e s e n tt w o e x a m p l e st os h o wt h a tt h e r ee x i s t sn s u c ht h a tt h en i i p o t e n c yc l o fui sl e s s t h a nt h a to fn ，a n dt h e r ee x i s t sn ，s u c ht h a tt h en i l p o t e n c yc l i m wo fg r o u pgi sl e s s t h a nt h a to fg r o u pu ，r e s p e c t i v e l y k e yw o r d s ：n f l p o t e n tg r o u p ；n f l p o t s n c yc l a s s ；e x a m p l eo f n i l p o t e n tg r o u p ； c e n t r a ls e r i e s ； u p p e rc e n t r a ls e r i e s 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 论文作者签名聘 签名日期：砷年歹月彤日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有关 部门或机构递交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的 前提下，学校可以公布学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守 此规定) 论文作者签名： 劈宰 摊明。中汛日 导师签名李、1 金圉 ，l ，一、i d - 导师签名：孓、1 7 卜。【乏，j 签名日期：祷5 月，7 日 第一章序言 1 1 背景介绍 第一章序言 一个群g 称为幂零群，如果g 有一个中心列，即 1 = g o g i g 。= g 且对所有的t ，g + 1 g 包含在群6 r g i 的中心内；最短的中心列的长度称为群g 的幂零类 一种自然的方法是用换位子群来定义群的一个降列，即 g = 饥g 他g ， 其中 “l g = k g ，g 1 注意到g 杆l g 是含在群g 1 件i g 的中心内，且g 是群g 的全不变子群称这个中心列为群的下中心列 对偶地。将中心子群与换位子群对应，得到一个升列，即 1 = ( o g g g sc 2 g s 一， 其中厶+ t g & g = ( ( g 厶g ) ，每一个白g 是特征子群但不一定是全不变的，称这 个中心列为群的上中心列当然矗g = c g 一个幂零群g 它的任何一个中心列i = g o g l s g k = g 具有如下 重要性质： ( 1 ) m g g 一件l 因此+ l g = l ； ( 2 ) g 磊g ，因此矗g = g ； ( 3 ) 群g 的幂零类等于上或下中心列的长 显然，a b e l 群是幂零类等于1 的群，其次有限p 群是幂零群，这里p 是一个 素数 1 湖北大学硕士学位论文 下面介绍由幂零环构造幂零群的方法，可参见 2 0 1 设s 是一个有单位元的环，是s 的一个子环，记( ) 为中所有1 个元 积的和所构成的集合，其中i 0 显然n ( o 是一个子环，且( ) = 0 当且仅当 中任意i 个元积为0 ，如果对某个t ，( t ) = 0 ，那么称是幂零的若n + 1 是满 足条件的最小的正整数，则称的幂零类为n 假设( ) = 0 ，u = 1 - t - n = l + zl 。) 则u 在环的乘法下作成一个 群，因为 ( 1 + z ) ( 1 + y ) = 1 + p + y + x y ) u 且 ( 1 + z ) 一1 = 1 + ( 一茹+ 善2 一矿+ + ( 一1 ) n - 1 扩一1 ) u 令阢= l + z i 。( ，贝u 有 1 = 以一1 s0 1 = u 是矿的一个中心列，首先由于( ) 是子环，因此以是群矿的子群 设z ( ”，y ( ”，那么 【1 + z ，1 + y 】= ( 1 + z ) 一1 ( 1 + 暑，) 一1 ( 1 - 4 - 茁) ( 1 + y ) = ( 1 + y + z + 妒) 一1 ( 1 + z + y + x y ) 设钍= z + y + x y ，口= y + z + y x 则 1 + z ，1 + 训= 由于 可以知道 ( 1 一t ，+ 口2 一+ ( 一1 ) “一1 t ，i 一1 ) ( 1 + u ) 1 + ( 1 一 + 口2 一+ ( 一1 ) “一2 t ，”一2 ) ( t 一 i t ) + ( - 1 ) v “一1 i , ( 一1 ) v n - - l , t * n = 0 ，“一钉= x y y x 7 + 1 + ( 1 一 + 口2 一+ ( 一1 ) ”一2 t ，“一2 ) 似一口) + ( - 1 ) v “一1 让珥相 2 第一章序言 因此 【珥，以1s 珥一 特别地，【珥，明珥+ l ，这就说明阢是u 的一个中心列，且矿的幂零类小于等于 n 1 确定幂零群的幂零类或者给出它的一个好的界是一个重要的研究方向目前 在这方面已经有很多的结果，例如 4 】，【5 】，【l o 】，f 1l 】， t 4 ， 2 6 1 2 问题的提出 设a 是一个自由耳代数，其中z l ，现为自由生成元，彤是一个特征为 0 的域作为k 上的向量空间，a 有一组基：墨。，此时称它的度为k ，即 。l ，x 2 上所有的单项式单项式的乘法就是毗连： ( 墨，龟。) ( 。) = 。巧。， 其它的积通过分配律来定义因此a 是相对于多重齐次的，即a = 0 墨l a ，其 中a 是度为 的齐次分量 设是a 关于理想a + l = 。器。1 a 的商代数那么是一个自由幂零k 代数，并且幂零类为g 也就是说，中任意c + 1 个元素的积是0 添加一个单位 元1 到，我们构造一个自由幂零群u = l + n = 1 + 4 f 口 由【2 0 l 或上 一部分直接计算得到。矿是一个幂零群其类长不超过c 我们把这个幂零群称为 的伴随幂零群 为了方便，记n = 协 t ，) 是一个自由幂零k 代数，其中是一个特 征为0 的域u = 1 + n 是的伴随幂零群，由的生成元我们构造一个群 g = ( 1 + 氧i ，) 其中，是与的生成元具有相同的指标集显然g 是u 的 子群。有群g 的幂零类小于等于，的幂零类，且矿的幂零类小于等于的幂零 类那么，u 和g 的幂零类之间还有哪些关系和联系呢? 本文通过研究讨论，给 出了它们的幂零类之间的一些关系作为幂零群的典型例子，我们讨论了交换环 上的矩阵构成的一般幂零群的幂零类及其上、下中心列 湖北大学硕士学位论文 1 3 主要结论及结构 本文主体部分按如下的方式展开： 第2 章：给出矩阵群上一个最典型的幂零群的例子，即含l 交换环上单位上 三角矩阵作成的幂零群，同时还给出这类幂零群的幂零类以及它的上、下中心 列 第3 章：作为第一部分例子的一般情形，将讨论含1 交换环上一般三角矩阵 构成的幂零群的幂零类并且给出这类幂零群的上、下中心列 第4 章：通过l i e 环等方法给出了g 。矿和的幂零类之间的一些关系，并给 出了一个例子说明存在，使得群g 的幂零类小于环的幂零类：另外一个例 子说明存在这样的。使得对应的群g 的幂零类小于群矿的幂零类 4 第二章上三角矩阵幂零群例 第二章上三角矩阵幂零群例 例2 1 ：【2 0 】设r 是一个交换的含1 环，m = m a t 。( r ) 是r 上的n 阶全矩阵环， 设 = 劭= ( 。鼍2 j ：三二 于是易见是m 的幂零类为几一l 的幂零子环，设 ”1 2 u = 1 + = i 【i 1 ”r ， 锄 ， 则u = t r t ( n ，r ) 即为单位上三角矩阵，显然作成一个群，且是幂零的 下面求出它的上、下中心列： 设 = r j k r e i t i r ，i + 1 s + i t 哟 0 0 口l 件l 一口ln 、 ： l l 00a n 一。i o o l ； j 0 1 5 r n n m 眈； n d l m ， r l 湖北大学硕士学位论文 i 阢= 1 十肌= 1 + 勺 i 吩冗 jk = l = 1 + ( e 时i r ，i + 1 8 + i t s 佗) 由第l 节知 是群矿的一个中心列 注意到 以及 容易验证 10 0a l l a ln 0 1 c i i i “ 0 0 1 u = 巩 沈 巩= 1 阢= 1 + ( a s t e 时io 时r ，i + 1 s + i t 礼) = ( 1 + e 摹to 时r ，l + 1 8 + t t 佗) 1 + r e o , 1 + e 材，= ”嘲= 。 u = 仉 玩 = 1 r 既是群矿的上中心列，也是它的下中心列，即群c 厂的上、下中心列一致因此群 矿的幂零类为7 1 , 一1 6 第三章一般幂零矩阵群 第三章一般幂零矩阵群 设m 是含有单位元的交换环r 上的n t l 矩阵环，是上三角矩阵子环，其 中对角线及其以下的元素全为0 那么n 是一个类为n l 的幂零子环用e l ，表 示在( i ，j ) 位上为1 其它位置全为0 的矩阵，其中f ，j 1 ，2 ，n 注意到 fe aj = 七 胪i o 以胁s 因此可由( r l e l 2 ，r 2 e 2 z ，一l 一l 。 生成，其中r i 兄，= 1 + n 是环 r 上nx n 单位上三角矩阵群，由2 节的例子可以知道矿与g = 1 + r 岛抖l f r r ，i = 1 ，n 一1 ) 是同一个群 现在我们考虑是更一般的情况，即由集合 r e 玎i r r ，1 i j n 的任意子集生成有 命题3 1 ：设n = 机岛m r k r ，如 a ) ，其中8 和元s 属于 l ，l ，并且 设g = l + r k e k k l i - k 冗，“ a ) 那么c r = 1 + n = g 证：注意到 对任意的u u ，有 训协，= ：+ 勺麓 - ， q = 1 + r l e j l t l + r 2 e 切+ + r 七岛l 卸， 其中5 i “，“+ 1 显然，t 中的每一个e “可以由的生成元生成如果 那么 e j h t 2e a - t l e t x t 4 一l t k ， 1 - i - 岛。“= 【1 + e m k h ，1 + e t l 圮，1 + e t 。一l “】 7 湖北大学硕士学位论文 其中括号里的元素都是g 的生成元因此 缸= ( 1 + t i e 。l t l ) ( 1 + r z i e 以一l t f 1 ) ( 1 + t i e , 1 1 1 ) 可以由g 的生成元生成则有u g 那么u = g 当然，这时g 的幂零类就等于 u 的幂零类 进一步，我们考虑g 的幂零类和中心列首先，为方便我们给出一些记号 s = e q l l t j 竹，的一个子集t 称为是独立的，如果t 的任何一个元素都 不可能表示成r 中其它元素的乘积设x 是s 的一个子集，我们总是可以找到x 的一个独立子集贾使得x 的每一个元都可以表示成贾中元素的乘积。这个集合 称为x 的极大独立子集贾中元素的乘积我们称为x 的一个宇设z 是x 的一 个字，则。表示成x 中元素的积的方式可能不唯一例如e 1 5 = e 1 2 8 2 4 8 4 5 = e 1 3 e 设 z ( x ) = m 舣 r iz = z l 现珥，以贾) ， 称为z 的长设 z ( x ) ；m 缸 z ( 善) lz 是x 的一个非平凡字 称为x 的长例如，集合雪= e 1 2 ，e 2 3 ，e ，l l 。) 是集合s 的一个极大独立子集 且f ( s ) = n 一1 设和g 如命题3 1 所述分别为环和群设x 是g 的一个矩阵生成元集， 即 x = e 时。i “，a l ， ， 其中，j 是 l ，2 ，n 的子集，贾是x 的一个极大独立子集则有 g = ( 1 + r 七c 如ir k r ，白- j r ) 采用与 1 4 】或【2 l 】一致的符号，由引理3 6 【1 4 ，g 的下中心列的第t 项是 m g = ( g l ，9 2 ，g t 】| 9 1 ，啦， = ( 【l + r l e 1 j l ，1 + r 2 岛2 矗， g t g ) ，1 + ， 岛 】| r i r ，s ，e i 时贾) 8 第三章一般幂零矩阵群 因此 幻垒1 ( 1 + ( “) 一岛。 l 岛。j i = n 岛m ，5 t ，贾) 缸；lk ；l 注意到如果对某个2 k s 有i a l 成立，则 = e t 胁= 0 七鲁l m g = 【1 + r l 岛i 缸，l + r 2 岛捕，1 + r l e “+ l 】ir i r ，i t 由上面的命题。直接得到下面的推论 推论3 3 ：设g 和x 如上所述如果x 有一个极大独立子集含有5 个元。即 l 贾i = 记群g 的幂零类为c 则1scs8 而且，c = 1 当且仅当元= x ，即x - 9 湖北大学硕士学位论文 的每一个元是一个独立的元；c = s 当且仅当x 有一个元是贾中所有元的乘积， 此时g2u ( s ，r ) 进一步，我们还可以给出一定条件下群g 的结构 推论3 4 ：设g ，x 和贾如上所述如果贾有一个划分 五li i sr ，满足 ( 1 ) 当 j 时，五玛= x j 五= 0 ， ( 2 ) ( 五) 中存在一元是x 中所有元素的乘积， 令i 五i = 啦，则由疋对应生成的群同构于u h ，r ) ，由元即x 对应生成的 群g 同构于 c 厂( n l ，r ) u ( 他，r ) l r ( n ，r ) 其中c r 仇，r ) 是环r 上n , 阶单位上三角矩阵群 1 0 第四章、u 和g 的幂零类之间的关系 第四章、扩和g 的幂零类之间的关系 设是一个自由幂零代数，其中自由生成元为o l ，砌定义括号积为 陋，引= x y y x ，则可以从的加法群得到一个l i ek - 代数( 而且，4 在 ( 一) 中生成一个自由幂零l i e 环l 从一个自由幂零l i e k - 代数构造一个l i e 环 的详细过程，建议参见【1 4 】注意到符号【1 同时表示l i e 环中的乘积以及群中的 换位子，如果a ，b 属于一个l i e 环，则k ，6 1 表示l i e 积；如果a ，b 属于一个群，那 么【口，6 l 表示a ，b 的换位子，即k 叫= a - 1 b - a b 为了叙述的方便，下面我们将在 不加说明的情况下使用但是这样仍然不会引起混淆 设为自由幂零耳代数，其中类为岛u = 1 + n 为的伴随幂零群设 g = ( 1 + 魏+ 弘i ，挑) ，那么g 是矿的自由幂零子群，其中y i 是k 中度2 的单项式的线性组合记l n 为自由幂零k - 代数或幂零群的类，那么我们有 上_ ，l ( g ) 厶l ( c ，) 二n ( ) ( 4 1 ) 由第3 节，我们知道当在环上矩阵群的情形下g = 仉并且二n ( g ) = 工n ( 矿) = l n ( ) 接下来，我们将主要讨论l n ( g ) l n ( v ) 1 时，u 的幂零类小于的幂零类 对幂零矩阵群，见第3 节，有u = g ，当然l n ( u ) = l n ( g ) 一般地，我们将 由自由幂零- 代数构造幂零群c r 和g ，使得g u 在构造之前，我们先考虑一 个特殊的情形 设n = 缸i 戤j ) 是一个幂零环，其幂零类为c 如1 节介绍的一致， c 厂= 1 + n 是的伴随幂零群设g = ( 1 + 以i 以j ) 是与生成元对应的元 生成的幂零子群 下面的两个命题命题4 1 和命题4 2 ) 得到了u 和g 的幂零类之间的一些 关系，对我们讨论幂零类以及构造例子是有帮助的 命题4 1 ：如果的幂零类为g g 的幂零类为c 一1 ，则扩的幂零类也正好是 c 1 证：设g = ( 1 + 而ii ，) 由引理3 6 1 4 】，g 的幂零类为c 一1 当且仅当对 1 3 湖北大学硕士学位论文 的任意生成元魏。，换位子 【1 - 4 - 嗣，l i - ，1 - l - 】 都等于i 由引理9 1 1 4 】有 【1 + 以。，1 + 甄：，1 - b 翰。】= 1 + i 戤。，戤。】， 其中k 。，嗣。】是一个l i e 积因此，对n 的任意生成元， k 。，】= 0 设聃il = 1 ，c 是戤。，z 。上单项式的k - 线性组合又的幂零类c 则c ，上所有的换位子满足 【l - b y l ，l + i 2 ，1 + 乳】= 1 + 【甄。，。】= 1 其中鼽因此矿的幂零类为c 一1 命题4 2 ：如果g 是一个a b e l 群，那么c ，也是一个a b e l 群 证：设z ，是的任意两个生成元，由于的幂零类为c 有 f 1 + z ，1 + 引= o 卅 c ( 一1 ) 卅矿( 1 + 。) ( 1 + 掣) = l + ( o 卅。2 ( 一1 ) 件z 矿) 陋，鲥 由假设g 是一个a b e l 群可以推出 ( ( 一1 ) 州一矿) ( 叫| _ 0 ( 4 2 ) 接下来我们将证明陋，引= 0 把( 4 2 ) 乘以的生成元上的单项式。l z 2 缸2 1 4 第四章、u 和g 的幂零类之间的关系 ( 4 2 ) ，得到 0 = x l 勋一2 ( ( 一1 ) q 矿矿) 陋，纠 o j 十，c 一2 = z l z 2 一2 陋，纠+ x l z 2 一z ( ( 一1 ) 钾一矿) k ，引 0 i + j s c 一2 = ：r l x 2 x c - 2 i x ，鲥 基于这种事实我们有 ( ( 一1 ) 卅一矿) 陋，鲥= 0 畦i 十，_ c - 3 对 + j 进行归纳，陋，y l _ 0 对的任意生成元成立 设u ，t ，是的生成元上的单项式的j - 线性组合直接计算，得到【l + u ，l + 川 等于1 因此。u 是a b e l 群 由命题4 1 和命题4 2 直接得到 推论4 3 ：如果的幂零类小于等于3 。那么g 的幂零类和c ，的幂零类相同 推论4 3 说明如果g 的幂零类小于u 的幂零类，那么的幂零类至少是4 下面的例子说明了存在环，使得群g 的幂零类小于群矿的幂零类 例4 2 ：设是自由生成元玑，1 4 上幂零类为4 的自由幂零耳- 代数设， 是由 ( 1 一矾一鲫一弧) 甑，鲫，弧】一( 卧，讥】+ 协，鲰】) 卧，蹦，1 s t ，工k 4 生成的理想。令霄足对，的商代数。即= i v 1 ，设 【，= 1 + 霄，g = 1 + z , i l i 4 ) ， 其中文是矾在自然同态作用下在霄里的像因此群g 的幂零类正好是2 ，而群 c ，的幂零类至少是3 。所以群g 的幂零类小于群，的幂零类 - 1 5 一 湖北大学硕士学位论文 证：直接计算可以得到 【1 + 3 ：1 ，1 + z 2 ，1 + 奶】 一【l + ( 一1 ) “。 z ：陋l ，娩】，1 + z 3 】 0 s k + l 2 = 1 + ( 一1 ) 钾( ( 一1 ) “z f z ；陋- ，。】) 【( 一1 ) z ：五扛- ，z 。】，x 3 o 曼0 s 20 七+ f 蔓2畦膏+ l 2 = 1 + ( 1 一如) 【( 1 一z l 一现) 陋i ，霉2 】，z 3 l = 1 + ( 1 2 ：1 一现一z 3 ) 陋l ，2 ：2 ，x 3 】一( 陋l ，如l + 胁，奶】) 陋l ，z 2 】 = 1 仇o d ( j ) 类似地，对所有g 的生成元有【1 + ，1 + 巧，1 + 钆】= 1 ，又由引理3 6 【t 4 知g 是一个幂零类为2 的幂零群 下面我们考虑群矿的幂零类理想，可以表示成如下形式： ( ( 1 一魏一一巩) k ，为，z 】一( k ，瓢】+ ，z 】) k ，蚓1 1 t ，j ，七s4 ) k ，z 。】戤+ 阮。，巧，奶。】+ ( 【，却，珥】一( 【z i ，珥】+ 陋，珥】) f 巩，z f 】) ， 其中而 s ，弓 s 和2 ：k ，魏，耳分别是 。l ，3 ：2 ，2 ：3 ，瓢) 的置换特别地，考虑 【1 + z l + 3 ：2 ，1 + 2 ：3 ，1 + 瓤】= 1 + ( 1 一。l 一勋一2 ：3 一轧) p l + 。2 ，z 3 ，z 4 】一 ( 陋l + 2 ：2 ，3 ：4 l + b ，卫4 】) 【z l + 沈，。3 】 i1 一陋2 ，z 4 】陋l ，2 ：3 l 一陋l ，z 4 】陋2 ，现】m o d ( ，) 设 z = 陋2 ，z 4 l 陋l ，幻】+ 陋l ，飘】陋2 ，如】， 下面我们将证明2 盛i ，那么群c 厂的幂零类至少是3 ，也就大于群g 的幂零类 假设z i ，注意到z 有表达式 z = 陆2 ，瓤】陋l ，如l + 陋l ，瓤】k ，奶】 第四章 、矿和g 的幂零类之间的关系 = ：r 2 x 4 x 1 2 ：3 一x 4 勋x 1 一2 ：2 x 4 2 3 2 ：i + 乳勋奶以+ x l x 4 x 2 如一瓤o l 现z 3 一z l 双铂3 ：2 + x 4 z l x 3 x 2 = 渖l ，x 4 ，勋j 卫3 一础b ，3 ：1 ，3 ：2 1 + x 4 x 3 ，。1 ，z 2 】 兰k 2 ：3 ，3 ：1 ，2 ：2 】r o o d ( j ) ， z 中每一个单项式的度都是4 因此 。 陬。，x t s x t 4 - 巧b 。，】) j 否则z 包含一个度为3 的单项式因此， h 勋，轧。：】 胁。，x i 3 x i + 巧b 。，】 j 由于z “3 ：2 ，x 3 ，z 4 的对称性，同样有 = l x 2 ，如，x 4 陬，】研+ = j x j 。，巧。，】 j 设 3 ：1 3 ：2 ，。3 ，飘】表示成 陋l ，勋，3 x 4 ，勋，。l 】双，x 4 1 3 ：1 ，现，$ 3 】，2 ：4 胁，z 3 ，z l j ，- - ，z l 陋3 ，z 4 ，钇l 单项式的一线性组合由于总共存在这样的1 6 项，设对应的系数为啦其中 1 t 1 6 ，将这些项展开比较对应单项式的系数，我们得到一个含有2 4 个方程 1 6 个未知量口1 ，a 1 6 的方程组则 陋t 2 ：2 ，x 4 k 。，k + 巧b ，】 j 当且仅当线性方程组至少有一个整数解但是事实上这个方程组无解，因此 扣t 勋，x 3 ，瓤】簪 k 。，。，铂。k + 巧b 。，】 - j 1 7 湖北大学硕士学位论文 则 所以。z ， 忙i 卫2 ，x 3 ，x 4 】譬， 1 8 参考文献 参考文献 【l 】a l p e r h lj l u n i p o m n tc o n j u g a c yi ng e n e r a ll i n e a rg r o u p s j c o m m u n i c a t i o n si na l g e b r a , 2 0 0 63 4 ：8 8 9 - s 9 l 【2 】a v 证6 m a a n d s c h u l t z p t h e u p p e r c e n t r a ls e r i e s o f a p - g r o u p a c t i n g o n a b o u n d e d a b e l i u n 少g r u n p z a r x i v ：m a t h g r 0 6 0 6 6 0 5v l2 3j u n2 0 0 6 f 3 】a v i f i bm 丸a n ds c h u ke t h ee n d o m o q d h i s mr i n go fab o u n d e da b o l i a np - g r o u p m i n a b e l i a ng r o u p s , r i n g sa n dm o d u l c s m m a t h s e c s e r i e sc o n t e m p o r a r ym a t h e m a t i c s , 2 0 0 1 2 7 3 ：7 5 _ 8 4 4 1b a e rk n i l p o t e n tg r o u p sa n dt h e i rg e n e r a l i z a t i n m j t r a n s a i r i e r s o c 1 9 4 0 , 4 7 3 9 3 - 4 3 4 【5 】b a u m s i n gg l e c t u r e n o t e s o n n i i p o t e n t g r o u 瑚f m p r o v i d e n c e m a ：a m m a t h s 1 9 7 1 网b u n d y j a a n d m u r t y us 1 l g r a p h t h e o t 7 w i t h i 饵a p p l i c s t i o m 1 v q n e w y o r k ：m a c m i l 岫, 1 9 7 6 阴b o r e la l i n e a ra l g e b r a i c 鲫删g r a d u a t et e x t si nm a t h e m a t i c s1 2 6 , s p f i n 嗣w 矾喝 1 9 9 l 嘲d 奴d j p r o b l e m si n 掣o u 舯n i l y d 叼b l a l s d a l l ：w 埘m m ，m a 1 9 6 7 【9 】d o k u c h a e v m 。k i r i c h e n k o v ，m i l i e s c p e n g c ls u b s r o u p s o f t r i a n g u i n r m a n i o c s o v g , l l o c a l r i n g s 册j a l g e b r a , 2 0 0 5 ，2 9 0 ：4 3 3 - 4 4 6 【1 0 】h a l le s o m cs u m c i e n tc o n d i t i o n sf o rag r o u pt ob e i t p o t a n t j i l l i n o i sj 蛐1 9 5 8 ，2 ： 7 8 7 8 0 1 【11 】l - l i g r n a ng l i e 血擎m e t h o d si nt h et h e r o yo f f i n i t en i l p o t e n tg r o u p s j p r o c i t e m c o n g r m a t h r = d i n b o r g h ：c a m b r i d g eu n i v p r e s s , 1 9 6 0 ：3 0 7 - 3 1 2 f 1 2 h i g m a ng g r o u p sa n dl i e 血铲h a v i n ga n t o m o r p h i s m sw i t h o u tn o n - t r i v i a lf i x e dp o i n t s 田 j tl o n d o n m a t h s o c 1 9 5 7 3 2 ：3 2 1 - 3 3 4 【1 3 】h u p p e r t b ，b l a c k b u r n n 。f i n i t e g r u n p m l o n d o n ：s p r i n g e r - v e r i n g , 1 9 8 2 【1 4 k h u k h r oe l p - a u t o m o r p h i s m so ff i n i t ep - g r o u p s m n e wy o r k ：c a m 赫d g e i “i 肆 p r e s s ，1 9 9 8 【1 5 】i g l u k h r o e ig r o u p s a n d l i er i n g s a d m i t t i n g a l m o s t r e g u l a r a u t o m o r p h i s m s o f p r i m e o r d e r j m a t s b o r n i k1 9 9 0 1 8 1 ：1 2 0 7 - 1 2 1 9 1 9 湖北大学硕士学位论文 【l6 】l e e d h a m - g r e e nc t h es t r u c t u r eo f f i n i t ep - g r o u p s f f j l o n d o n m a t h s o c ( 2 ) 1 9 9 4 ， 5 0 ( 1 ) ：4 9 - 6 7 【1 7 l e v c h u kv m c o n n e c t i o n sb c t h eu n i t r i a n g m l a rg r o u pa n d c e r t a i nr i n g s l i 阴g r o u p s o f a u t o m m p h i s m s ，s i b e r i a nm a t h j 1 9 8 3 。2 4 ( 4 ) ：5 4 3 5 5 7 【1 8 l c v c h u k v m 。s o m e l o c a l l y n i l p o t e m m a t r i xr i n g s y m a t z a m “1 9 8 7 ，鸵( 5 ) ：6 3 1 - 6 4 1 【1 9 m 曲r e 如r y g r o u p s a n d l i er i n g s w i t ha l m o s t r e g u l a r a u t o m o r p h i s m s 哪j a l g e b r a 1 9 9 4 ， 1 6 4 ：8 7 7 - 8 5 5 2 0 1r o b i n s o ad j s am r s c i nt i mt h e o r yo f g r o u p s m s p r i n g e r - v e r l a g , n e wy o l k , 1 9 9 5 2 1 】r o b i n s o ng k c o u n t i n gc o n j u g a c yc l a s o fu n i t r i a n g u l a rg r o u p sa s s o c i a t e d t of i n i t e - d i m e n s i o n a l a l g e b r a s 【j j c r o u p t h e o r y1 1 9 9 8 3 ：2 7 1 - 2 7 4 【2 2 】r o s el s 。ac o u r s e0 1 1g r o u pt h c o r y i 、q c a m b r i d g e ：c a m b r i d g eu n i v e r s i wp r e s s , 1 9 7 8 2 3 】r o t n m