（基础数学专业论文）一种描述量子态纠缠的方法.pdf

摘要 量子纠缠与量子力学的基础密不可分，它在传输、信息处理及量子计算中 发挥着重要作用目前已有许多相关研究，但尚无特别行之有效的方法本文 针对存在于希尔伯特空问上的量子系统( 该系统可以有多种情形的子系统) ， 以及系统上的个量子态，用个与量子态在子系统上的部分迹( 亦可称为偏 迹) 相关的参量，对态在子系统上的可分性做一种刻画通过对该参量取值的 探讨。分析个纯态在两部分不一定同构的子系统上何时为可分的，何时为纠 缠的，以及三部态的纠缠刻画本论文得出的主要结论如下t ( 1 ) 在两部分子 系统上，纯态的参量取值范围为0 到1 之间纯态在两部分子系统上是可分 的，当且仅当该参量为1 取其它值时。态均为纠缠的( 2 ) 对三部分子系统上 的纯态采用类似的定义，也可以得到，当且仅当三个参量取值同时为1 时，态 是可分的。( 3 ) m 部子系统上的纯态可分，当且仅当m 个参量同时为1 关键词希尔伯特空间；量子系统；可分；纠缠；部分迹；s c h m i d t 分 解；密度矩阵 a b s t r a c t q l l 8 n t t l me n t a n g l e m e n ti 8c l o s e l yr e l a t e dt ot h ef o u n d a t i o n so fq u a n t u mm e - c h a d j i th a sb e e np l a y i n gi m p o r t a n tr o l e si nc o m m u n i c a t i o n ，i n f o r m a t i o np r o - c e s s i n ga n dq u a n t u mc o m p u t i n g t h o u g han u m b e ro fe n t a n g l e m e n td 1 e a 9 1 1 r e 8h a v e b e e nd i s c u s s e d ，t h e r ei s n ta nu s e f u lu l e m q u r e i nt h i sp a p e r w ed i s c u s saq u a n t u ms y s t e mw h i c hc o n s i s t si nt h eh f l b e r ts p a c e a n daq u a n t u ms t a t ei nt h i ss y s t e m w eu s eap a r a m e t e ro ft h eq u a n t u ms t a t ew h i c h c o n n e c t e dw i t ht h ep a r t i a lt r a c ei na i ls u b s y s t e mt od e s c r i b et h es e p a r a b i l i t yo ft h e s t a t e t h r o u g hd i s c u s s i n gt h ev a l u eo ft h i sp a r a m e t e r ，w ec a nf i n dw h e t h e rt h es t a t e i ss e p a r a b l e w ec a na k od i s c u s st h ec o n d i t i o no r ss t a t eu p o nt h r e e 鲥b 坷甚t 锄8 t h e m a i nc o n c l u s i o n sc a nb el i s t e da 6f o n o w s ：f i r s t w eh a v et h er a n g eo ft h i sp a r a m e t e r a b o u tap u r es t a t ew h i c hl i e si nab i p a r t i t eb y 8 t e mi sb e t w e e n0a n d1 t h ep u r e s t a t ei ss e p a r a b l ei fa n do n l yi ft h ep a r a m e t e rj so n e o t h e r w i s e t h ep u r es t a t ei 搴 a n t a u g l e d s e c o n d l y , w ew i ns t u d yt h es t a t eu p o nat r i p a r t i t es y s t e m w ec a nh a v e as i m i l a rc o n c l u s i o n t h ep u r es t a t eu p o nt r i p a r t i t es y s t e mi ss e p a r a b l ei fa n do n l y i ft h et h r e ep a r a m e t e r sa r ea l lo n e s a tl a s t 。t h ep u r es t a t eu p o nas y s t e mw h i c h h a sm s u b s y s t e m si ss e p a r a b l ei fa n do n l yi ft h er np a r a m e t e r sa r ea l lo n 帮 k e yw o r d sq u d u t u ms y s t e m ；s e p a r a b i l i t y ；e n t a n g l e m e n t ；p a r t i a lt r a c e ； s c h m i d td e c o m p o s i t i o n ；d e n s i t ym a t r i x 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本 人承担 论文作者签名：专更i 签名日期：砷年石月2 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校关于保留，使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本：学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 论文作者签名：名铂 签名日期：力吵年月2 日 导师签名： 签名日期：力少年钼彳曰 第一章引言 第一章引言 自二十世纪二十年代量子力学这一现代理论创立以来，量子力学已成为科学 不可缺少的一部分由于量子力学的叠加性及纠缠特性，量子信息处理过程表现 出许多优越性及特殊性，促使越来越多的数学、物理、通讯、计算科学的理论和 实验工作者在这一领域中进行研究量子纠缠同时在信息的传输、处理以及量子 计算中发挥着举足轻重的作用例如，基于量子力学原理的量子保密通讯是不可 破解的，它在军事和国家安全方面有重要的价值从计算机领域讲。当今使用的计 算机都是基于经典比特的，量子计算杌则是基于量子比特而构建的由于量子比 特的特殊性，量子计算机的计算能力较目前使用的计算机会有极大的提高，届时 人类的信息处理能力会产生质的飞跃 多部系统的量子态的最普遍形式是纠缠态。而能表示成直积形式的非纠缠态 只是一种很特殊的量子态由于量子信息的传送在现实中受到环境等噪声的干 扰，量予纯态演化为混合态，这时就很难得到量子信息的基本资源量子纠缠因 此对混态纠缠的度量是当今量子信息学中的一个难点 自第一篇关于量子态可分性问题的论文问世以来i t 。已有许多判断量子态可 分性的方法例如，1 9 9 6 年s 设计的p p t 准则1 2 】费少明等人对多量子比特的 混合态形成纠缠熵进行了详细的讨论，得出了两比特混合态形成纠缠熵的定量计 算公式1 3 , 4 ，并且对多个量子比特情形也进行了定性的分析嘲。同时他们还从局部 酉变换出发对量子态进行了区分m 一，得到了部分混和纠缠态的纠缠判据景乃桓 等人做出的i - i e r m i t i a n 张量积逼近嘲，通过对矩阵进行重排、映射等处理，找出使 得复矩阵与h e r m i t i a n 阵张量积的差矩阵的f r o b e 丑i m 范最小的蜘6 趾阵还有 采用统计学知识研究纠缠态【9 l 等至今，科研工作者们已投入了大量精力来研究 这类问题，某些方法在一定的范围内也颇具成效然而，还没有一种对所有多系统 量子态均适用的方法来判断量子态的可分性 本文从一个与量子态在子系统上的部分迹( 亦可称为偏迹) 相关的参量出 发，对纯态在几种子系统上的可分性傲一种刻画通过对该参量的取值的探讨。分 析一个量子态在子系统上何时为可分的，何时为纠缠的 湖北大学硕士学位论文 第二章预备知识 量子力学的第一条假设建立起了量子力学使用的场合，即线性代数中的希尔 伯特空间在量子力学系统中，我们用希尔伯特空间中的矢量来表示量子态本文 中，作者使用代数学的知识来讨论量子态的相关问题 2 1 希尔伯特空间 假设1 1 0 】任一孤立物理系统都有一个称为系统状态空间的复内积矢量空间 ( 即希尔伯特空间) 与之联系，系统完全由状态矢量所描述。这个向量是系统空 间状态的一个单位矢量 定义厶1 1 1 1 1 l 设h 是一个定义在复数域c 上的一个矢量空间。在这个矢量空 间上有一个值为复数的内积： ( 一，一) ：爿m _ c 若对于任意的t ，口，叫7 ，都满足下列性质： ( 1 ) 当且仅当缸= 0 时，( “，u ) = 0 ； ( 2 ) ( u ，= ( f ，“) ，( + 表示共轭) ： ( 3 ) ( 口+ 叫) = 缸，口) + ( 牡，t ，) ； c 4 ) ( u ，蛔) = a ( t ，口) 则称矢量空间w 为一个希尔伯特空间希尔伯特空间中的矢量称为刃矢，采用狄 拉克符号i 砂) 似h ) 表示 我们用”表示州的对偶空间对偶空间笼+ 表示所有从希尔伯特空间h 到 复数域c ( 也看作一个希尔伯特空间) 的态射组成的希尔伯特空间即： 咒+ = 日o ，】靶( 氕，c ) 何中与 妒) 对偶的矢量称为刁矢，记作( 训似j 是l 妒) 的共轭转置向量 一个量子系统q 的态可以用希尔伯特空间的刃矢表示对于两个刃矢l 妒) 与i 妒) ，若存在一个非零的复数a ，使得：l 纠= a l 妒) ，则i 妒) 和i 妒) 在量子系统q 中 表示相同的量子态 通常情况下，我们选用单位矢量来表示量子系统的态 2 第二章预备知识 2 2 密度矩阵 i a i a 2 l cu曰pu，c矿日，=c，二2u=(碍上， t r ( 矿) = t r ( u 日d u ) = 增+ 碍+ + 圮 - 3 湖北大学硕士学位论文 n 由于九0 ，且九= 1 ，故由不等式的性质可知 i z l 碍+ 碍+ + 碡2 生堕二堕j 掣= ； 取等号的条件：当且仅当 a l ：a 2 ；k ：三 n 此时p 恰有n 个相同的特征值， 碍+ 坨+ + 碡( a l - 4 - a 2 + + k ) 2 = 1 取等号的条件：当且仅当至多有一个丸非零，其余全部为零证毕 2 3 量子的态 定义2 3 1 【9 】具有精确已知状态的量子系统称为处于纯态，此时态可以用一 个确定的矢量表示这种情况下，密度算子可以表示成p = 1 1 ；f ) ( 妒i ，即某一个 态i 妒) 否则，称对应密度算子p 的量子系统处于混合态有时，可以直接称密度算 子为纯态或混合态 定义2 3 2 嘲设量子系统q 处于希尔伯特空间爿中。且“具有如下希尔伯特 空间分解：h ；h 1 0 于f 2 0 o k 系统q 上的一个态( 纯态或混合态) 的密度 算子p 如果可以写成 p = 西。露o 。p p l 其中f 是正整数，是一些正实数，并且九= 1 店，店，户分别是希尔伯特 i - - - - - - - o 空间氕1 ，于如，7 _ k 上的密度矩阵则称p 关于该系统是可分的。否则称p 是纠缠 的 对于纯态，上述定义还可表述为： 定义2 3 3 1 9 】设系统q 1 ，q 2 ，q 。分别位于希而伯特空间h 1 ，咒2 ， 中，由这些系统构成的全系统q 处于希尔伯特空间咒= 爿1 0 p o 4 第二章预备知识 中咒上的一个纯态l 妒) 如果可以写成 i 妒) = 慨) 固f 也) 固o l “) 其中i 以) ，) ，i ) 分别是希尔伯特空间冗1 ，上的态则称纯 态l 妒) 在该系统是可分的，否则称纯态l 妒) 是纠缠的 引理2 3 1 【l q 若p 是一个一般的态( 纯态或混合态) 则当t r ( 矿) = 1 时，p 表示 纯态，打( 矿) l l j = o l f f i o = m 其中a 0 0 ，a o e 这里假定匈l 0 不然，总可以在i 妒) 的s c h m i d t 分解式中找 到一个和0 ，此时仍可找到与上述类似的两个态 上述分析表明：当t a b 一1 时，态j 妒) 是可分的 反过来，若l 妒) 关于咒= “o 是可分的，则j 妒) 可表成如下形式： 一lj 恬一1 t f ，) = ( a j l j ) ) 。( b i l l ) ) j - f f i o 1 2 - - o n a - - 1n b - - i 其中i q l 2 = 1 ，i 岛1 2 = 1 与l 妒) 的s c h m i d t 分解式比较即可得到 j = o l 皇0 于是 句f = a i b i ( j = o ，- 一l ；l = 0 ，n j 1 ) 瓯= ；f 刁r 勺，一只矿勺，1 1 2 。村。卸卸 r 一1j b l = ；i 吩6 l d j ，埽一“，吗，“1 2 。撕l o l 7 卸 ；0 此时，显然有 r 8 = 1 证毕 推论3 1 1 一个纯态p 在两部分上是可分的，当且仅当它在其中一部分上的 偏迹对应的是一个纯态( 事实上此时它在两个部分上的偏迹都是纯态) 证明由定理3 1 1 可知，p 在两部分上是可分的当且仅当7 t a b 一1 1 0 醅分b 町 帆脚 触 = 第三章纯态的纠缠情形 即 t “( 砖) = 1 ， 由引理2 3 1 可知，纵在系统a 上表纯态 而且由引理3 1 2 可知，此时t “( 磅) = t 佃( 店) = i 再由引理2 3 1 即知。p 在两个 部分上的偏迹都对应纯态证毕 例如。对于四个b e l l 态 ：粤掣；i 也) ：盟掣； v v z ) = 垃v 笋m ) = 等笋v z 它们均存在于四维的希尔伯特空间咒中，设两个子系统a ，b 所在希尔伯特空间7 分别为心，( 维数均为二) 这里我们对空间咒 和咒口中的基l o ) ，1 1 ) 不加区分， 在希尔伯特空间2 4 和 b 中均有， 1 0 ) =( ：) ， m = ( ：) 1 0 0 ，= ( i ) ，i o = ( ； ，i = ( ；) ，i ，= ( ；) 我们可以按照前面的分析分别计算这四个态所对应的参量。得到 九= 九= 九= = j 1 利用定理3 1 1 即可知道，这四个态都是纠缠态这与文献【1 0 】中的结论是一致的 我们从定理3 1 1 的证明可以发现，当态l 妒) 对应的参量 t r h l b 取最大值l 时，所 有的乃l 可，= z j r z j , l d ，j = 0 ，m l ，l ，r = 0 ，一1 ) 随着7 r 肚的值 - 1 1 湖北大学硕士学位论文 从l 逐渐减小，参量c _ 会随之从0 逐渐增大。i l 智，一2 ，l ，。f ，1 1 0 ，j = 0 ，j l ， ，f 。= 0 ，一1 ) 的值也会随之增大，有越来越少的k 崩，一o 。n i 取零，因 而，想要把态l 妒) 分解成张量积会越来越困难从这种程度上讲：态i 妒) 的纠缠程度 随着参量7 t a b 值的减小越来越强烈 接下来我们考虑这样一类特殊的态：两部分子系统所在的希尔伯特空间的维 数相等，即 = 。= 、，态i 妒) 在两部分子系统a 和b 上的s c h m i d t 分解满足： 丙一l i i p ) = z s j j ) i j ) j f f i o 其中譬一1i 锄1 2 = 1 ，动c 由引理3 1 1 可知态i i p ) 对应的参量为： 由定理3 1 1 可知，嘉s j 1 当且仅当；= 1 时，态i 妒) 在两部分a 和b 上 是可分的当态j 劝在两部分a 和b 上是纠缠时，参量矛肚对纠缠的程度究竟做了 怎样的刻画 一l 由f 锄1 2 = i 可知 佃一l( i 锄| 2 ) 2 2 善蚓4 昔= 去 j = 0 v ” 取等号的条件：当且仅当l 细f 2 = i z l l i 2 一= i 。棚乳1 埘礼1 i 2 = 去时此时， 达到其最小值，且幼= 赤缈，奶【0 ，2 叫，j = 0 ，何一l ，对应的态为： = 曼1 嘉e ) j - - o l 伽) = 嘉e 嘞) v 注意这里第一个l j ) ( 表7 _ “的基) 与第二个i j ) ( 表的基) 是不同的 这种类型的态是完全不能分解的，之所以这样描述是因为：假若要对态i 矗) 1 2 劬 毋倒 = b瓴 第三章 纯态的纠缠情形 在上述两部分上进行分解，同样可令 佃一l押一1何一1 俩一i i 伽) = ( 唧o ( ) = a j b , l j ) i t ) j = 0 l l o j 卸z 王。 态| 伽) 在能分解必须满足：当j z 时，吩6 l = 0 ，同时，唧= 嘉e 嘞，显然，这样 的o ，6 l 一个也找不到0 = o ，丙一1 ) 所以说这种类型的态是完全不能分 解的，它的纠缠程度很强烈综合前面的分析，可得到下面的结论： 结论3 1 1 对于纯态j 西= 墨一z ，j l j ) l j ) ，随着其对应参量矛 b 值的减小， 它在两子系统上的纠缠程度越来越强烈，当；取最小值南时，态达到了最大程 度的纠缠，此时的态为：i 伽) = 鉴- 1 南e 嘞b ) b ) 3 2 三部纯态的纠缠情形 接下来讨论三部分子系统上的纯态：一个量子系统q 所在希尔伯特空 间咒的维数为，三个子系统分别为a 、b 和c ，全空间咒= 爿 0 如。心， 咒 、和咒。的维数分别是 、和n c ( n a n b n c = ) 将系统上的纯态 在子系统a 、b 、c 上作s c h m i d t 分解： j 一lj v - 一1n c - - i 其中i 绚tj 2 = 1 ，女c t 神j t 田如| o 为了测量态| 妒) 在子系统a 、b 、e 之间的纠缠情况，以下考虑参数： w “b = t r c ( 碚) ，p c = t r a s c o ) l r b a c = 虮( 店) ，p b = t r a c ( p ) i f a b c = t r a ( p 三) ，以= t r s c ( p ) 其中p = i 妒) ( 训7 r c 惦，码们，r 肥c 仍可看作l 妒) 按s c h m i d t 分解得到的相关数 1 3 砷力磅稚 脚 触 ：l = 妨 湖北大学硕士学位论文 于是 引理3 2 1 对于上述的霄c m b ，7 r 宫 c ，几惦c ，有 一1 蜥一l c 一1 r c a b = 锄t 劢。锄孙 。产0 q - - - - o ，m - - - - o 彻 c = 句丽锄劲。； q o - - - - oj ，口- - - - 0 女，m - - - - o n - 1n b - - 1n c - - 1 l r a b c = 而- 钿孙。 证明由纯态i 妒) 自 j s c h m i d t 分解式可知，其密度矩阵为： 从而 i r c a b = - - in b - - in c - - i p 一螗= 锄孙m ) i 七) 酬( 口1 ( m i p c = l p ) n a l 一l r c l = 打仰( 锄i - ，舯蚓j ) l 七) 俐( 口俐) 。p = 0j , q - - ok , m - 一o h ln b - - in c - - i = 勺- ，舯打和( 圳j ) i 七) 如( m 1 ) 庐1 0j 心暑0k , m - 兰o = 锄刚m i 乱 p = 曲j 。q - - - - ok , m 蛊o n a - - 1n b - - i c - - 1 = 锄t 葡。i k g m l 打d ( 碚) 以一1 一l c - 1 一1 一1 c l = t r c ( 纫面。i k g m l ) ( 钾巯川s i ) 】 i = oj = ok,m=o产；0口；= or , j 一- - - o 第三章纯态的纠缠情形 = 抛( 函。碥( m | r ) ( s i ) 。p 神j , q = ot r 一= o n - - in 8 - - 1n c - - 1 = 弼店粕钿孙( m | r ) t 叼( 酬8 i ) = 纫而。钿r 札 i 护曹o 鼻q - - o 膏，m r 扣l o n - 1n 8 - 1n c = 锄园。钿。孙 同理可得 1 r b a c = 纫蕊钿，i 劲。 = ? ) ? ? z t j k z 啦z w m z m 。p 冒o 口皇0k , m 捌o n - 1n b - - n c - - 1 呦d = 勺而e 锄 。p i | oj , 9 - - 蛊o m = o 证毕 引理3 j j 对于上述的r c a b ，硝口们，霄 b d 。还有 志n 赢呦“1 1 赢砌 1 证明利用引理2 2 1 即得证毕 n - - 1n r - - 1 q c - - 1 定理3 2 1 纯态i 妒) = ee 锄t i ) b ) i 七) 关于h = 于“o7 _ bo7 _ 幻是 = 0 j = 0 k - - - - o 可分的当且仅当g c a b = ，r 口 c = 7 r d b 。z1 证明若7 r c a b = i r b a c = 1 r a b c = 1 ，由引理3 2 1 可得 3 一l r c a b 一甙b c 一t b 。镐 n - 1n b l n c l = 3 ( i 勾t 1 2 ) 2 一咖b 一，t b a c 一，r a b c t ；0 j = 0 k - = o 1 5 湖北大学硕士学位论文 ；【( i z t j k l 2 ) 2 一，r c a b + 【( i t n 2 一r b a c ；0 j f f i o k ；0t = 0j f f i 0 k = 0 n - - 1n s - 1 鹌c - 1 + 【( l 弼t 1 2 ) 2 一i r a b c i f f i o j f f i o 卸 n 一1 n b - - 1n c - - 1 n a - - 1n b - - 1n c - - 1 一【( i 弼- 咿一锄t 勖。锄碥t 】 i = o j f f i o 七暑0 。p = 0j , q - - oi 朋_ o j v a - - 1n b - - 1n c - 1 n a - - 1n e - 1n c - 1 + f ( i 句t 阡一- 钿，。劲。】 i = o j f f i o k = f f i 0 i 巾一f f i 0j _ q f f i o 膏m = = o 心一l 如一1 c l心- - 1 n s - 1n c - 1 + 【( i 劭t 1 2 ) 2 一铂鼢- 锄- 一 ：- - 0 j = o 七= 0。p = oj , q f f i ok , m = o 1n 一ln 8 - - 1n c - - 1tn - - 1n s - 1n c - 1 = ；i 锄锄一z q 。铆1 2 + ；i 撕锄 幻枷j , q f f i ok , m - - - - o。t d ，= 0j , 口- - ok , m f f i o 一l 一1 c l 一壮锄。1 2 + ；j 锄锄。一锄锄j 2 一i j # f f i oj , q = o m = 0 = 0 由此可知 这样，存在 和 锄- 锄2 m 钿i ， z o k z m m 。锄k 2 对m 锄b 2 如m 2 锄i o 帅 ( d o 叶等知f 1 ) + + 塑z o 0 0 0 0 卅+ 警0 0 l l v a 一1 ) ) 批， ( b o l 0 ) + 竺6 0 l 7 - 0 0 0 + 砌z 。j 。b o l j ) + + 等b o l n 口一1 ) ) ， 1 6 ! 垦雯 丝查塑型丝堡丝 以及 使得 ( 舞f 。) + 删z 0 0 11 ) - i - - - i - 嚣| 动+ + 警1 一1 ) ) ， 掣+ 案知f 1 ) + + 蕊2 ：0 0 忖+ 警a o i 一1 ) ) 。f o ) +慧6d11)+t筹60ij)+警60一1)。(嚣i。)z + 丽0 0 1 卅+ 蒜j 动+ + 警i 如一1 ) ) 一 ( n 三a - 1 薏酬川n 三b - - 1 笔m n 善c - - i 篆) = 笔警穹堂筹啪) 恸 智智台姗撕d o “川“7 2 若三篆瓣m 圳耐 、 2；三警li)tj)k)jffio _ 田脚一、” ” n - 1 n e - 1n c 一1 2 萎等警i f ) l j ) r k ) j = o k瑚- - - - o 一 1 ” n - 1n b - 1n c - 1 = 私眦) 脚 卸j = o 脚 = i 妒) 其中蜘0 ，6 0 o ，知，6 0 c 这里假定栅o 不然，总可以在i 妒) 的s c h 功i d t 分解式中找到一个锄0 ，此时仍可找到与上述类似的三个态 上述分析表明：当7 b 正8 = 加加= 伽口= l 时，态i 妒) 是可分的 反过来，若j 柳关于笼= 于“p7 - t 冒0 于幻是可分的，则f 妒) 可表成如下形式： 也= 1nblbl m = ( 啦旧) 。( 如b ) ) 。( 芝) b o j = 日 面 湖北大学硕士学位论文 于是 n a - - 1 b 一】n c - - i ；啦强川j ) i ) i - - - - o j = o 知霉o n c - - 1 ，i c k l 2 = 1 与l 妒) 的s c h m i d t 分解式比较即 k = o i = 以b “= 0 ， 一1 ；j = 0 ，一1 ；忌= 0 ，n c 一1 ) 3 一夺c 蝇一m b c 一 i r a b c ，心一1 如一1 一1一 一l 一1 n c - i ；i f 锄锄一锄孙1 2 + 互1 i 锄锄 一i j o = oj , 口= - - - ok m 罱o 。p 0j t 口= 町i m l 互0 ， 一1 帕- - ! 心一1 一孙锄。1 2 + ；i 锄锄一锄锄。1 2 一伊= o 工铲= 0k , m = o = 0 此时，显然有 i r c a b = g b a c 27 r a b c 2 1 证毕 由引理3 2 2 可知幻船，丌且 g ，m g 的取值情况，依据定理3 2 1 知，只有这三 个参量同时为l 时，纯态才是可分的其它情况下，对应的纯态均是纠缠的 3 3m 部纯态的纠缠情形 对于含m 部子系统的量子系统q 处于希尔伯特空间爿中，“具有如下希尔 伯特空间分解： f = 他0 圆固且m 部分子系统q 1 ，q 2 ，q 。分 别位于希而伯特空间咒l ，中爿1 ，他，的维数分别为l ，2 ， ，m 。全系统q 的一个纯态作如下s c h m i d t 分解 i - 1 n 2 - 1 - 1 i 妒) = 。b k l h ) i 如) i k ) k t = ob = o 奄m = 0 1 8 ， = b 篁伽 = 皿 譬扩中得其可 第三章纯态的纠缠情形 1 1 盹一1 k 一1 其中l z k ，k k 1 2 = 1 ，a k ，跏k c 此时，考虑参量 k l , = o b = ok 卸 i r f a ，j i j + 1 ，仍= 打岛( 也) ， p 锄= t r 0 1 ，- - j 白一l ，奶+ i ，q m ( 力 上述式中j = 1 ，2 ，m 类似地，我们可以得到 t r j , 1 ，j l d 4 - 1 ，n m l b - - 1 f n 一1 = 啊垮蠕确咛畸+ ，蠕铆磅。磕和曩。蟛略1 豫 峨磅= o 避垮卸 蠕，壤篁。 定理3 3 1 纯态i 妒) ；铂b k i ) f 如) l k ) 关于咒； 咒1o 于f 2o o k 是可分的，当且仅当1 ，j 一1 j + 1 m = 1 ，对每一个j l ，2 ，f l 均成立 本定理证明方法与定理3 2 1 类似 3 4 若干待解决的问题 本文中只针对纯态的纠缠与可分作了讨论，对于混合态的参量该如何定义有 待进一步研究 1 9 湖北大学硕士学位论文 参考文献 【1 】w e m e rr q u a n t u ms t a t e sw i t he i n s t e i n - p o d o l s k y r o s e nc o r r e l a t i o n sa d m i t t i n g ah i d d e n - v a r i a b l em o d e l 田p h y s r e v ，1 9 8 9 。a 4 0 ( 4 2 7 7 ) ：l - 1 3 【2 】p e r e sa s e p a r a b i l i t yc r i t e r i o nf o rd e n s i t ym a t r i c e s j p h y s r “l e t t ，1 9 9 6 ， 7 7 ( 1 4 1 3 ) ：1 - 5 【3 】a l b e v e r i os ，f e is m ，an o t eo ni n v a r i a n t sa n de n t a n g l e m e n t s e b o l a r x i v ： q u a n t - p h y , 0 1 0 9 0 7 3 4 1a l b e v e r i os ，f e is m ，g o s w a m i s e p a r a b i l i t yo fr a n kt w oq u a n t u m s t a t e s e b o l a r x i v ：q u a n t - p h y , 0 1 0 9 0 8 9 【5 】f e is m ，j o s tj e ta 1 e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o nf o rac l a s so fq u a n t u m s t a t e s e b o l 】a r x i v ：q u a n t - p h y , 0 3 0 4 0 9 5 【6 】a l b e v e r i os 。f e is l ，e ta 1 n o n l o c a lp r o p e r t i e sa n d l o c a li n v a d a n t sf o rb i p a r - r i t es