（基础数学专业论文）几类脉冲时滞抛物型微分方程解的振动条件.pdf

几类脉冲时滞抛物型微分方程解的振动条件 基础数学 研究生冯菊指导教师李树勇( 教授) 论文摘要：本文研究了几类脉冲时滞抛物型微分方程解的振动性质在 第一章中，我们研究一类半线性含可变时滞的脉冲抛物型微分方程解的振动性 质首先，建立起一个一阶脉冲时滞微分不等式无最终正解( 或最终负解) 的条 件然后，利用平均法，将该方程解振动性问题转化为相应脉冲时滞微分不等式 有无最终正解( 或最终负解) 问题，进而在齐次n e u m a n n 边界条件下获得了判 别该类脉冲时滞抛物型微分方程解振动的充分条件在第二章中，研究一类非线 性多时滞脉冲抛物型微分方程解的振动性质首先，利用分析技巧，给出一个 脉冲微分不等式无最终正解( 或无最终负解) 的条件然后，利用平均法，将该 方程解振动性问题转化为相应脉冲时滞微分不等式有无最终正解( 或最终负解) 问题，进而在齐次n e u m a n n 边界条件下获得了判别该类方程解振动的充分条 件在第三章中，研究一类多时滞脉冲抛物型微分方程组解的振动性质利用平 均法及不等式技巧，在齐次n e u m a n n 边界条件下获得了判别其解振动的充分条件 关键词：时滞；脉冲；抛物型微分方程；振动；充分条件 第i 页 c o n d i t i o n sf o ro s c i l l a t i o no fs e v e r a lc l a s s e so fi m p u l s i v e p a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e l a y s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：f e n gj u s u p e r v i s o r ：l is h u y o n g a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h eo s c i l l a t i o no fs e v e r a lc l a s s e s0 f i m p u l s i v ep a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e l a y s i nc h a p t e r1 ，f i r s t l y , s o m es h f l i c i e n tc o n d i t i o n so ff i r s to r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e sw h i c h d o n th a v ee v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n s ( o re v e n t u a l l yn e g a t i v es o l u t i o n s ) a r e o b t a i n e d t h e n ，t h eo s c i l l a t i o np r o b l e m sa r ec h a n g e di n t ot h ep r o b l e m so ff i r s t o r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e sw h i c hd o n th a v ee v e n t u a l l yp o s i t i v e s o l u t i o n s ( o re v e n t u a l l yn e g a t i v es o l u t i o n s ) b yu s i n ga v e r a g i n gt e c h n i q u e 。f i n a l l y , s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ro s c i l l a t i o no fi m p u l s i v ep a r a b o l i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa r eo b t a i n e du n d e rt h eh o m o g e n e o u sn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n b yu s i n ga v e r a g i n gt e c h n i q u ea n di n e q u a l i t ys k i l l s i nc h a p t e r2 ，t h eo s c i l l a t i o n o fs o l u t i o n so fac l a s so fn o n l i n e a ri m p u l s i v ep a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h s e v e r a ld e l a y si sd i s c u s s e d 。s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t i e sw h i c hd o n t h a v ee v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n s ( o re v e n t u a l l y n e g a t i v es o l u t i o n s ) a r eo b t a i n e db yu s i n ga n a l y z i n gt e c h n i q u e t h e n ，t h e o s c i l l a t i o np r o b l e m s 懿ec h a n g e di n t ot h ep r o b l e m so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t i e s w h i c hd o n th a v ee v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n s ( o re v e n t u a l l y n e g a t i v es o l u t i o n s ) b yu s i n ga v e r a g i n gt e c h n i q u e s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o ro s c i l l a t i o na reo b t a i n e du n d e rt h eh o m o g e n e o u sn e u m a n nb o u n d a r y c o n d i t i o n 。i nc h a p t e r3 。t h eo s c i l l a t i o no fs o l u t i o n so fac l a s so fn o n l i n e a r i m p u l s i v ep a r a b o l i c d i f f e r e n t i a l s y s t e m s w i t hs e v e r a ld e l a y si sd i s c u s s e d s o m es u f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ro s c i l l a t i o na r eo b t a i n e du n d e rt h eh o m o g e n e o u s n e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o nb yu s i n g a v e r a g i n g t e c h n i q u ea n di n e q u a l i 够s k i l l s 。 e n g l i s ha b s t r a c t k e yw o r d s ：d e l a y ；i m p u l s i v e ；p a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；o s c i l l a t i o n ； s u 伍c i e n tc o n d i t i o n 第i i i 页毕业论文 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师奎挝勇数援 指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符 而引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学 拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提 交印刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库供检索；2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论 文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供 阅读、浏览。 论文作者签名：汤芍 矽p8 年弓月，占日 引言 微分方程是一类重要的数学模型，产生于人类实践的需要，描述了各种工程 技术问题的特性微分方程的基本研究在于对其解的基本属性的分析 时滞在自然界是客观存在的比如传染病的潜伏期、弹性力学的滞后作 用、物质和信息的传输等都会导致时滞的产生2 0 世纪以来，自然科学和社 会科学的许多学科中提出了大量时滞动力系统问题，如核物理学、电路信号系 统、生态系统、化工循环系统、遗传问题、流行病学、动物与植物的循环系 统、商业销售问题、财富分布理论、资本主义经济周期性危机、运输调度问 题、工业生产管理等等，这些系统的变化趋势不仅与现在有关，而且与过去的 历史有关，时常我们用时滞微分方程来描述这类系统 时滞对系统的状态有极大的影响，它会引起方程解的不稳定和振动例如在 最初的火箭的设计中，没有考虑反馈控制中的时滞影响而产生了燃烧的不稳定 现象，从而影响了发射的速度和稳定性再例如一阶线性微分方程 可7 ( 亡) + p ( t ) y ( t ) = 0 ，p c ( n + ，冗+ ) ( 0 1 1 ) 的一切解都是定号的，而一阶时滞微分方程 y l ( t ) + y ( 亡一丢) = 0( o 1 2 ) 具有振动解y ( t ) = s i n t ，这个解完全是由滞量百7 1 引起的这促使人们对时滞微 分方程振动性理论的重视，相关研究方兴未艾，迅速发展( 如文 1 3 4 ) 很多实际问题的发展过程往往有以下特征：在某些阶段，会出现快速的变 换许多连续渐变的过程或系统，由于某种原因，在极短时间会遭受突然的改变 或干扰从而改变原来的运动轨迹，这种现象称为脉冲现象脉冲现象作为一种 瞬时突变现象，在自然界是广泛存在的例如种群系统的捕获或补给、流行病 的定期预防接种、电路系统开关的闭合、通信中的调频系统、经济学中的一些 最优控制模型、机械运动过程或其它振动过程突然遭受外在的强迫力( 如打击 或碰撞) 等等，都可导致脉冲现象的发生脉冲微分方程往往可以用来描述和刻 画这些具有脉冲现象的运动规律在最近几十年，脉冲微分方程的研究引起了数 学界的广泛关注，发展非常迅速脉冲微分方程振动性理论是脉冲微分方程定 第1 页 引言 性理论中的一个重要组成部分，它的研究最早可追溯到二十世纪三十年代早 在1 9 3 7 年，k r u y l o v 和b o g o l y u b o v 在他们的经典著作非线性力学引论中， 就研究了具有脉冲的常微分方程的振动问题 时滞现象和脉冲现象都是自然界中经常出现的现象很多时候，它们会在同 一个系统中共存，形成了脉冲时滞系统1 9 8 9 年，g o p a l s a m y 和张炳根 3 开创 了脉冲时滞微分方程解的振动性质的研究，他们讨论了 z 7 ( 。) + p ( 。) z ( 2 一下) = o ，。2 七，( o 1 3 ) 【x ( t ：- ) 一z ( 七) = b k z ( t k ) ，k = 1 ，2 ， 、 的振动性，并用s c h a u d e r 不动点理论讨论了方程( 0 1 3 ) 非振动解的存在性在 此之后，国内外许多学者对一阶脉冲时滞微分方程解的振动性进行了深入的研 究：陈明博、庾建设和申建华4 1 利用分步法并结合构造法讨论了方程( 0 1 3 ) 非振动解的存在性及方程解的非振动性质的不变性；申建华 5 】讨论了多时滞脉 冲微分方程 亡) 一争( 蝴一删，亡t k , ( o 1 4 ) 、0 = li u 上j 【z ( t 毒) 一z ( t k ) = 厶( z ( t 惫) ) ，k = 1 ，2 ， 非振动解的存在性，进一步，他 6 讨论了非线性脉冲时滞微分方程 ! z 他) = f ( t , z ( 2 一q ( 蛳，z ( 。一( ) ) ，。2 七，( 0 1 5 ) 【z ( 去) 一z ( t k ) = b k x ( t k ) ，k = 1 ，2 ， 、 解的整体存在唯一性，并且当( 0 1 5 ) 是线性方程时，给出了由时滞微分方程解 的振动性或非振动性刻划出相应的脉冲时滞微分方程的同样性质的一般性脉冲 条件；赵爱明和燕居让 7 用b a n a c h 不动点定理讨论了一阶多时滞脉冲微分方 程 jz 7 ( ) + i e ：1p i ( 。) z ( t 一兀) = o ，亡亡七，( o 1 6 ) 、 t = i u 上u ， 【z ( t j ) 一z ( t k ) = b k x ( t k ) ，k = 1 ，2 ， 正解的存在性；b a i n o v 和d i m i t r o v a 8 1 讨论了超前型脉冲时滞微分方程 z 7 ( t ) + p ( t ) z ( t + 7 ) = 0 ，t t k ，( o 1 7 ) iz ( t 古) 一z ( t k ) = 6 七z ( 亡七) ，k = 1 ，2 ， 、7 的振动性；王志成、钱祥征和申建华 9 】，张玉珠和党新益 1 0 利用脉冲时滞微 分不等式讨论了一阶脉冲中立型时滞微分方程解的振动性质此外，申建华和 第2 页毕业论文 引言 王志成f 1 1 ，张玉珠、赵爱明和燕居让 1 2 ，于江和燕居让 1 3 】等也讨论了一阶 脉冲时滞微分方程的振动性质b a i n o v 、d i m i t r o v a 和d i s h l i e v 1 4 1 利用不动点 原理讨论了二阶脉冲时滞微分方程存在非振动解的充分必要条件，并对非振动 解的类型进行了分类，b a i n o v 和d i m i t r o v a 1 5 1 给出了二阶次线性型和超线性 型脉冲时滞微分方程解振动的充分必要条件 脉冲偏微分系统能较好地反映脉冲现象和时空特征，在物理、化学、生 物、医学、人口动力学、最优控制等现代科技诸领域中有很好的应用背景，对 其性质研究具有重要理论意义和应用价值，越来越受到学者们的关注在最近 几十年，脉冲偏微分系统的许多重要理论成果逐步形成 1 6 3 4 】脉冲时滞偏微 分方程解的振动性作为一个重要研究课题已引起学者们的广泛兴趣，许多不同 形式的时滞脉冲偏微分方程解的振动性结果被建立( 如文【2 2 2 9 】) 特别地，邓 立虎 2 6 1 讨论了脉冲时滞抛物方程 i 地( t ，z ) = a ( t ) a u ( t ，z ) + b ( t ) a u ( t 一7 - ，z ) 一p ( 亡，z ) u ( 亡一口，z ) 一q ( t ，x ) f ( u ( t p ，z ) ) ，t t k ， ( o 1 8 ) i 让( 去，z ) 一u ( 亡i ，z ) = b k u ( t k ，z ) ，t = 亡七，k = 1 ，2 ， 的振动性，借助于特征函数、特征值以及f ( u ) 函数的下凸性，建立了方程 ( 0 1 8 ) 在两类不同边界下振动的判别准则；燕居让 2 7 】讨论了脉冲时滞抛物方 程 p ( t ，x ) u ( 1 ，2 ， 一盯，z ) ( 0 1 9 ) 的振动性，借助于特征函数、特征值以及函数u ( u ) 0 的性质，建立了方程 ( 0 1 9 ) 在两类不同边界下振动的判别准则李伟年 2 8 】利用判断其特征方程无 实根的方法建立了一类线性含常时滞脉冲抛物型方程解振动的充要条件然而 利用特征函数及特征值研究脉冲时滞偏微分方程解的振动性质时，方程调和项 系数或者是常数，或者是只与时间t 有关的函数，而对于方程调和项系数是关 于方程解的函数时，则不能用特征函数及特征值来研究该类方程解的振动性质 因此，本文将在第一章对一类半线性含可变时滞脉冲抛物型微分方程解的振动 性质作进一步的研究首先，建立起一个一阶脉冲时滞微分不等式无最终正解 第3 页毕业论文 删觚 7 t 棚亡 圳 z ， 冷风一 吣 一 “ “ z ，“ = 阶m 卜雠如啦础 “m汹 引言 ( 或最终负解) 的条件然后，利用平均法，将该方程解振动性问题转化为相应脉 冲时滞微分不等式有无最终正解( 或最终负解) 问题，进而在齐次n e u m a n n 边 界条件下获得了判别该类脉冲时滞抛物型微分方程解振动的充分条件在第二 章对一类非线性脉冲时滞抛物型方程解的振动性质进行研究首先，利用分析 技巧，给出一个脉冲微分不等式无最终正解( 或无最终负解) 的条件然后，利用 平均法，将该方程解振动性问题转化为相应脉冲时滞微分不等式有无最终正解 ( 或最终负解) 问题，进而在齐次n e u m a n n 边界条件下获得了判别该类方程解 振动的充分条件在第三章对一类多时滞脉冲抛物型方程组解的振动性质进行 研究利用平均法及不等式技巧，在齐次n e u m a n n 边界条件下获得了判别其解 振动的充分条件 第4 页毕业论文 第一章一类半线性脉冲时滞抛物型微分方程解振动 的充分条件 研究如下脉冲时滞抛物型微分方程 ) ) i , 4 t ，z ) 4 - a i f i = 1 ( 亡) u ( t q ( 亡 j - - 1 k t t ( t k ，z ) ，t = t k t ) h d u ( t 一瓦 ) ，z ) ) 钍( t n ( 亡) ，z ) ，z ) ，t t k ， k z ，( t ，z ) r + q ， ( 1 1 1 ) 在边界条件 1 0 u ( f t , z ) = 0 ， ( t ，z ) 风a q( b 1 ) 下解的振动性质，其中为拉普拉斯算子，q 是形中的有界区域，其边界a q 是光滑的，n 是a q 的单位外法向量，风表示由r + = ( 0 ，o 。) 除去点集( t 七) 的 集合，g = r + xq ，k = 1 ，2 ，) ，k = 1 ，2 ，m 1 1 基本知识和假设 ( 日1 ) 0 t 1 t 2 t k 0 1 2 主要结论 考虑下面的脉冲时滞微分不等式 爹( 。) + j e ：1 q j ( ) 爹( 亡一q ( 考) ) o ，亡亡是， ( 王。2 i ) 、j 一、。， 。l 掣( t ) 一芗阪) = a k y ( t k ) ，t = t k ，k k ， 定理1 2 1 若假设( 风) ( 凰) 成立，并且 毫一 l h i m i n f 删d s 三1 ， ( 1 2 2 ) t a 。c t ) ，2 1 其中仃+ ( t ) = m i n a l ( 亡) ，眈( 亡) ，晚( t ) ，则不等式( 1 。2 。1 ) 无最终正解。 证明假设( 1 2 1 ) 式存在一最终正解可( t ) ，由条件( 凰) 知，存在霸 0 ， 使得当t 芝乃时，y ( t a j ( t ) ) 0 ，j z 第6 页毕建论文 第一章一类半线性脉冲时滞抛物型微分方程解振动的充分条件 由于 可船) + q j ( t ) y ( t 一乃( 艺) ) 0 ，t t k 所以， y 心) 。q i ( s ) z ( s ) d s (127)j t - a ( t ) 吾 由( 1 2 2 ) 式知，一定存在一常数 ；和乃( 乃，+ o 。) ，使得当t 乃 时，正盯( t ) q j ( s ) d s n i 1 因此，对t 五时，存在一t ，使得亡+ 一盯+ ( t + ) 三1 ( 1 2 1 4 ) 一口( ) 。 8 一q ( 3 ) 则脉冲时滞微分不等式( 1 1 2 ) 无最终正解 证明令w ( t ) = v ( t ) e x p f q ( s ) d s ，t t ，则不等式( 1 1 2 ) 转化为 ，( + j = l 劬 ) e x p t - - o ， j “s ) d s 叫 一( 2 ) ) 0 2 如， ( 1 2 1 5 一) 气 ( ) 【上z j 【山( 亡声) 一w ( t k ) = a k w ( t k ) ，t = t k ，k k 根据定理1 2 1 知结论成立，证毕 定理1 。2 ，4 假设( 鼠) 一( 风) 成立，并且以下条件之一成立 。壹 j 。 = l e x p ( 1 i r a i n f q j ( t ) a j ( t ) x p ( t 一艺( ) 则脉冲时滞微分不等式( 1 1 2 ) 无最终正解 第9 页 g ( s ) d s ) 三， ( 1 2 - 1 6 ) q ( u ) d u ) d s 1 ( 1 2 1 7 ) 毕业论文 1 一e s mp 劬 。硝 吣。础 一 叩。 s 一扣 。 一 ，l s p xe 0 劬 ，触 。厂 一? 。 s 卜 g l 第一幸一类半线惶熬孛爵滞糖物型徽分方程解振动的充分条箨 推论王2 1 在定理王。2 。3 的条件下，脉冲时滞微分方程 p 砖蜘。如 ) + 善以缈口( t - o - j ( 妨卜o ，缚坛，( 1 2 1 8 ) l 秽( 堙) 一v ( t k ) = 鲰移( 是) ，t = t k ，k k ， 的所有解在g 内振动 证明假设方程( 1 2 1 8 ) 在g 内存在一非振动解萝( j ) ，郎存在一个t 0 ， 使得每t t ，有y ( t ) 0 。若y ( t ) 0 ，则爹( ) 是脉冲时滞微分不等式( 1 。l ，2 ) 的最终正解：若y ( t ) 0 ， 使得每( t ，茹) 【t ，+ 。) 筑，有u ( t ，z ) 0 不妨设乱( t ，z ) 0 ，由条件( 凰) ， 存在t o t ，使得t t o ，u ( t - r i ( t ) ，茹) 0 ，u ( t - a j ( t ) ，。) 0 ，( t ，2 ) t o ，+ 。) ， i i m ，j i t 对问题( 1 1 1 ) 的第一个方程关于z 在区域q 上积分，得 爰z 铭池z ) d x - a z 磊( 托瓴z ) ) 缸( t , x ) d x e 渊a i ( t ) 小( 绯1 ) ) ) 舭 1 ) d x + q ) 工畎屯功如 i 产 ，+ 是删珏( 亡一乃( t ) , z ) d z = 0 ，亡地 1 9 ) j = l 。 由g r e e n 公式，边界条件及假设有 心珏心瑚姚鬈) 出一z ah ( 锃瑚掣如加珏阮瑚l v 绯甜d x j 9j8 u j q 一一? 磊( 铭( 舌，x ) ) 1 w ( t ，x ) 1 2 d x 0 ， f 屯( 锯0 一0 ) ，茹) ) 罄( 一甏( 考) ，舅) 如0 ，t 芝t o ，t t k ，i 毛 j n 筻1 0 页肇建论文 第一章一类半线性脉冲时滞抛物型微分方程解振动的充分条件 令 吣) 2 上u 州为 则可( t ) 0 ，且由以上各式可得 f u m ) + 口( t ) u ( t ) + q j ( t ) ( t 一乃( t ) ) 0 ，t t o ，t t j = l 当t = t k 时，由( 1 1 1 ) 的第二个式子可以得到 u ( 亡毒) = u ( t - ；，x ) d x = ( 1 + q 惫) u ( 亡七，z ) 如 = ( 1 十q 岛) u ( t 七) ，k k 因此，( 1 2 2 0 ) 式和( 1 2 2 1 ) 式说明u ( t ) 0 是脉冲微分不等式( 1 1 2 ) 的一最 终正解，与己知矛盾 其次，若让( ，z ) 0 是脉冲 微分不等式( 1 1 2 ) 的一最终正解，与已知矛盾 所以，定理1 2 5 成立证毕 由定理1 2 3 ，定理1 2 4 和定理1 2 5 知下面的定理成立 定理1 2 6 在定理1 。2 3 的条件下，问题( 1 。1 1 ) 、( b 1 ) 的每一个解u ( t ，z ) 在g 内是振动的 定理1 2 7 在定理1 2 4 的条件下，问题( 1 1 1 ) 、( b 1 ) 的每一个解u ( t ，z ) 在g 内是振动的 定理1 2 8 假设( 1 ) 一( 凰) 成立，并且存在序列 0 ，令 ( 亡) = ；2u ( t ，x ) d x ，则u ( 亡) 0 ，并且由定理1 2 5 的证明知 ( 1 2 2 0 ) 成立则 另一方面， u 讯) 0 使得 口( 芒) 0 相矛盾 所以定理1 2 8 成立证毕 1 3 应用举例 考虑下面脉冲时滞抛物型微分方程 边界条件为 其中 掣：_ o u ( - t , 7 r ) - 0 t 0 ，u 亡譬，后k ，_ 广= _ 一= u ，【 ，石了，尤， d nd n 。 b 。 酢) = 协 。，( t ) = 4 ，上 1 1 一c o s l o t ， t = 0 t 譬，k k ， t = 0 丽3 ，t 譬，k k ， ( 1 2 2 2 ) ( 1 2 2 3 ) 这里q = ( o ，7 r ) ，i = 1 ，j = 1 ，危( 饥) = 2 ，h i ( u ) = u 2 ( t 一三，z ) ，g ( t ) = t ，q l ( t ) = e 。 容易看出u h 7 ( 札) = 2 u 2 0 ，u h l ( u ) = 2 u 2 0 ，q 知= 一；( - 1 ，o 】，由定理 1 2 6 知，该脉冲时滞抛物型微分方程的所有解在g = r + x ( 0 ，7 r ) 内振动 第1 2 页毕业论文 一 p 厶 一 + 彩 r 互4 一 妨 屯 龀 k 吼 动 后 互4 h o 一 = 让、加 十 旧 z ， ， 互i 川 譬拟 u 一 缸洋一 心亡= l， z 互6一 厶一 ， 气 乱 u 一 = 功 掣 婚 ，i，、【 第二章一类非线性多时滞脉冲抛物型微分方程解振 动的充分条件 研究如下非线性多时滞脉冲抛物型微分方程： m a i ( t ) h i ( u ( t 一瓦 t = 1 ) f j ( u ( t 一( t ) ，z ) ) z ) ，t = t k ，k k t ) ，z ) ) u ( t 一兀( 亡) ，x ) t t k ， ( t ，z ) r + q ， ( 2 1 1 ) 在边界条件 ，、 翌坐o n 型= o ， ( t ，z ) r o 御( b 1 ) 下解的振动性质，其中为拉普拉斯算子，q 是形中的有界区域，其边界a q 是光滑的，t t 是a q 的单位外法向量，风表示由r + = ( 0 ，( 3 0 ) 除去点集 t 七) 的 集合，g = r + xq ，k = 1 ，2 ， ，k = 1 ，2 ，仇) 2 1 基本知识和假设 ( 凰) 0 t l 2 t k ，且1 i r at k = + 。，k k ； ( 凰)o ( t ) ，a i ( t ) p c ( r + ，( 0 ，+ ) ) ，i k ，其中p c 表示如下性 质的函数类：仅以t = t k ( k k ) 为其第一类间断点，且在t = t 七( k k ) 处 是左连续的： ( h 3 ) ( u ) ，九t ( 乱) ，y j ( u ) c ( r ，r ) ，u h ：( u ) 0 ，u h 7 ( u ) 0 ，办在 r + 上是下凸的，且乃( 一让) = 一办( ) ，掣k ，其中k 是非负常数，i k ， j 五； ( 月r 4 ) g ( t ，。) ，g j ( t ，z ) c ( j 珥q ，( 0 ，) ) ，记q ( t ) = r a i n q ( t ，z ) ， g j ( t ) = m i _ n g j ( t ，z ) ，歹五； z s 第1 3 页 曲 她吣警雪 、j _ d 硼 矿 邓 亡 q、 ，l ，j、ru 绯 吣 卅 ，【 i ： _ 耄 咖 圮 m z z 0 ：、 u m 川 = 一 动 z 一 ， 警 埘 第二章一类非线性多时滞脉冲抛物型微分方程解振动的充分条件 ( 风) 丁l ( t ) ，o j ( t ) c ( r + ，( 0 ，+ o 。) ) ，盯；( 亡) 去e k ， ( 2 2 1 ) 一- 一盯( t ) 名j 一。 其中，以( z ) = m i n a 1 ( t ) ，o l ( t ) ) ，c2 删已e x p 如，如= 1 毫正巧( t ) q ( s ) d s ， j 五，则脉冲微分不等式( 2 1 2 ) 无最终正解 证明假设口( 亡) 是脉冲微分不等式( 2 1 2 ) 一最终正解，则根据假设 第1 4 页毕业论文 第二章一类非线性多时滞脉冲抛物型微分方程解振动的充分条件 l i m ( t 一仃j ( 亡) ) = + 。o 知，存存孔 0 ，使得当t 乃时，有u ( t ) 0 ，u ( 亡一 c + o c o j ( t ) ) 0 由于 u ) + q ( ) u ( t ) + g j ( t ) f j ( u ( t 一乃( ) ) ) 0 ，t t k 所以， e x p ( 厶驯- s ) 如) ( ) + 驯功吣) + z 渊a j ( d 以以卜以d ”) 0 ，由( h 4 ) 及( 2 2 3 ) 式知， z i ( 亡) 击因此，对亡t 4 时，存在一芒+ ，使得 t 一民( 矿) t 0 ，使得u ( t ，z ) 0 ，t t ，z q 若设 口( 芒) = 丽1 晶u ( z ，x ) d x ，其中f q i = 厶d x ，则t 充分大时，v ( t ) 满足脉冲微分不等 式( 2 1 2 ) 第1 7 页毕业论文 sdsg 。触 sds q 。m 第二章一类非线性多时滞脉冲抛物型微分方程解振动的充分条件 证明 由假设知，存存一个正数t o t ，使得u ( t ，z ) 0 ，u ( t 一兀( ) ，z ) 0 7u ( t o s ( t ) ，z ) 0 ，( t ，z ) t o ，+ 。) q ，i i m ，j 五 结合条件( 风) 和( 凰) ，得 q ( t ，z ) u ( t ，x ) q ( t ) u ( t ，z ) ，t t k ，j 五 g s ( t ，z ) f s ( u ( t o j ( t ) ，z ) ) 2g j ( t ) f j ( u ( t o j ( t ) ，z ) ) ，t t k ，j 五 由问题( 2 1 1 ) 的第一个方程及( 2 2 1 2 ) 式和( 2 2 1 3 ) 式，有 笔一。( t 帅( t ，z ) ) 札( 亡，z ) a t ”r “、“、”77 一”、“7 一毗( ) 愚t ( 札( 亡一死( 亡) ，z ) ) x u ( t 一( t ) ，z ) + q ( t ) u ( t ，z ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) + g s ( t ) f j ( u ( t 一乃( 亡) ，z ) ) 0 ，t t k ，( t ，z ) o 。) q ( 2 2 1 4 ) 5 = 1 对( 2 2 1 4 ) 式关于z 在区域q 上积分，得 旦d t 上钍z ) d x - a 上h ( 让瑚酬) 出 一蚤吼( t ) 胁绯1 脚1 出们加川出 + 善啪) z 撤刮唬功列。到“卸如 ( 2 2 1 5 ) 由g r e e n 公式，边界条件及假设有 正，尼( u ( t ，z ) ) 让( 亡，z ) d z = 厶nh ( u ( t ，z ) ) 曼弓等巫d s f 0 ，( 钆( t ，z ) ) l w 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