（基础数学专业论文）am紧算子和dunfordpettis算子的控制性质与不变子空间.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 不变子空间问题是泛函分析历史上一个著名的问题。本文在说明了相 关历史背景和预备知识后，主要讨论了b a n a c h 格上两类算子一a m 紧算子 和d u n f o r d - p e t t i s 算子的控制性质和不变子空间问题。 第一部分是本文的主要内容，讨论了a m 一紧算子的性质及其不变子空 间结果。首先在前人对a m 一紧算子的研究基础上，较为全面的总结了它的 各种性质，重点研究了它的序结构，得到了a m 紧算子的控制性质，即： 若b a n a c h 格e 上算子zs 满足o s t ，t 是a m - 紧算子，则s 2 是a m - 紧 算子。接着我们引入了a m - 紧友好算子，讨论了相关性质并举了一些例 子，最后得到了它的一类不变子空间，即：如果b a n a e h 格e 上一个非零正 算子b 是a m 紧友好的，且在某正元z o 处拟幂零，则b 有非平凡的闭的不变 理想；特别的，如果另外一个正算子t 与b 交换，则t 和b 有共同的非平凡 的闭的不变理想。 第二部分讨论了d u n f o r d - p e t t i s 算子的不变子空间问题。利用它与a m - 紧算予的紧密关系，引入了类似的d u n f o r d p e t t i s 友好算子，得到了相关的 不变子空间结果，如：设b 和s 是b a n a c h 格上两个可交换的非零正算子，如 果其中一个是局部拟幂零的，另外一个控制着一个非零的d u n f o r d - p e t t i s 算 子，则b 和s 有共同的非平凡的不变闭理想。 关键词：b a n a c h 格；不变子空间；a m 紧友好算子；d u n f o r d - p e ! t t i s 友 好算子；局部拟幂零 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t t h ei n v a r i a n ts u b s p a c ep r o b l e mi saf a m o u sp r o b l e mi nt h eh i s t o r yo f f u n c t i o n a la n a l y s i s t h i sp a p e ri sd e n o t e dt ot h ei n v a r i a n ts u b s p a c e so f p o s i t i v eo p e r a t o r so nb a n a c hl a t t i c e ，s u c ha sa m - c o m p a c ta n dd u n f o r d - p e t t i s o p e r a t o r a c t u a l l y , t h ep r e s e n tw o r kc o n s i s t so ft w om a i np a r t s m a i nr e s u l t sa r e i n c l u d e di nt h ef i r s tp a r t ，w h e r ew ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so f a m - c o m p a c to p e l - a t o ra n di t si n v a r i a n ts u b s p a c e s b a s e do nt h ek n o w l e d g eo i la m c o m p a c t n e s s a tt h ep a s t ，w es u m m a r i z ei t sp r o p e r t i e st o t a l l y , i nw h i c hi t so r d e rs t r u c t u r e i 8m a i u l ys t u d i e d ，a n dg e ta m - c o m p a c to p e r a t o r sd o m i n a t i o np r o p e r t y ：i f ap o s i t i v eo p e r a t o ro nb a n a c hl a t t i c ei sd o m i n a t e db y 锄a m - c o m p a c to p - e r a t o r ，t h e ni t ss q u a r ei sa l s o 越a m - c o m p a c to p e r a t o r a l s o ，w ei n t r o d u c e t h ec o n c e p to fa m - c o m p a c t f r i e n d l yo p e r a t o ra n dg e tac l a s so fi t si n v a r i a n t s u b s p a c e sw h i c hg e n e r a l i z e dt h er e l a t i v er e s u l to fc o m p a c t - f r i e n d l yo p e r a t o r s i nt h es e c o n dp a r t ，w es h o wt h a tt h ed u n f o r d - p e t t i so p e r a t o rh a sa l s o s i m i l a rr e s u l t so fi n v a r i a n ts u b s p a c e f o rd u n f o r d - p e t t i so p e r a t o rh a sc l o s e d r e l a t i o nw i t ha m c o m p a c to p e r a t o r ，w ei n t r o d u c et h es i m i l a rc o n c e p to f d u n f o r d - p e t t i s - f r i e n d l y n e s sa n dg e ts o m er e l a t i v er e s u l t s k e yw o r d s ：b a n a c hl a t t i c e ，i n v a r i a n ts u b s p a c e ，a m c o m p a c t - f r i e n d l y o p e r a t o r ，d u n f o r d - p e t t i so p e r a t o r ，7 l o c a lq u a s i - n i l p o t e n t e n c e 西南交通大学硕士研究生学位论文 第3 3 页 a l 一空间，1 0 a m 一紧算子，1 4 a m 一紧友好算子，1 9 a m 一空间。1 0 b a n a c h 格，1 0 d u n f o r d p e t t i s 算子，2 3 d u n f o r d p e t t i s 友好算子，2 5 m a r k u s h e v i c h 基4 r i e s z 空间，8 r i e s z 子空问，9 乘子算子，1 2 带，9 赋范r i e s z 空间，1 0 格范数，1 0 恒等算子，1 迹1 紧友好算子，5 局部拟幂零，2 0 局部拟幂零点，2 0 理想9 模，9 索引 拟幂零，2 0 拟内点，1 l 偏序向量空间，8 实心，9 向上定向集，8 向下定向集，8 序单位元，1 0 序连续范数。1 0 序区间，9 序有界，9 序有界算子，9 正算子，8 正元，8 正则算子，9 正锥8 主理想，9 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密团，使用本授权书。 ( 请在以上方框内打”) 学位论文作者签名：主匆辞卞 日期：御辜j q l v d 指导老师签名： 日期。乙 f 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工 作所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均己在文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由 本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： l _ 从各方面讨论a m 一紧算子的性质，主要得到了它的控制性质： 若b a n a c h 格e 上算子es 满足0 s t ，t 是a m - 紧算子，$ q s 2 是a m - 紧 算子。 2 引入了a m 一紧友好算予，并得到了它的一类不变理想：如果b a n a c h 格 e 上一个非零正算子b 是a m 一紧友好的，且在某正元x o 处拟幂零，n b 有 非平凡的闭的不变理想。特别的，如果另外一个正算子t 与b 交换， 则t 和b 有共同的非平凡的闭的不变理想。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 不变子空间问题的历史概述 是否b a n a c h 空间y 上的每一个连续线性算子t 都有非平凡的不变闭子空间? 上面所述即是著名的不变子空间问题。一个子空间称之为非平凡的是指它不 等于 o 和x 。一个子空间y 如果满足? ( y ) y 则称之为在t 下是不变的或t 一不 变的。如果y 在每一个与r 交换的连续线性算子下都是不变的，则称y 是t 一超不 变的。 如果x 是一个维数大于1 的有限维复b a n a c h 空间，则任意非零连续线性算 子t 都有非平凡的不变闭子空间。实际上，若a c 是算子r 的特征值，即对 某跏o 有t x o = a x o 。则由2 0 生成的一维子空间y = t z o ：t c ) 显然是t 一不变 的。另外若t 不是恒等算子的常数倍( m l l l t i p ko ft h ei d e n t i t yo p e r a t o r ) ，则我们容 易构造一个非平凡的t 一超不变子空间：j = 伽x ：z 乙= a 订( 由t a i 易知 它是闭且非平凡的) 。实际上，设算子s 与t 交换，则对于任意的茁 有t s 奎= s t z = s a x = a s z ，即s z m 。如果x 不可分，对于任意非零元z 来说， 由迹o r b ( t ) = 伽，t z ，2 2 z ， 生成的闭子空间是非平凡的t 一不变闭子空间。 因此这个问题在有限维空间和不可分空间上均己解决，不变子空间问题实际 上指的是：是否无穷维可分b a n a c h 空间x 上的每一个连续线性算子t 都有非平凡 的不变闭子空间? 目前似乎不是特别确定是谁首先提出这个问题的。最早可能 是b e u r l i n g 1 f 1 9 4 9 年在a c t am a t h 上发表了他关于“简单移动算子的不变子 空间”的开创性文章，然而同时也发现了v o nn e u m a n n 关于紧算子的未发表的相 关结果。下面1 我们按年代顺序回顾一下历史上数学家们所做出的杰出成就： 1 本文仅关i , b a n a c h 空间尤其是b a n a c h 格上的重要结果，对于h i t b e r t 空间及解析函数 空间的各种不变子空间暂不涉及。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 1 9 5 0 年，m g k r e i n 【2 证明了：当n 是紧h a u s d o r i r 空间时，e ( n ) 上正算子的 伴随算子有一个正特征值，因此正算子就有非平凡的不变闭子空间。 1 9 5 4 年，n a r o n s z a j n 和k t s m i t h 3 证明了紧算子有非平凡的不变闭子空 间。 1 9 6 6 年，a r b e r n s t e i n 、a r o b i n s o n 【4 】和p r h a l m 5 】分别独立证明了： “多项式紧算子”( p o l y n o m i a i i yc o m p a c to p e r a t o r ) 有非平凡的不变闭子空间。其 中前者用的是非标准分析( n o n - s t a n d a r da n a l y s i s ) ，而h a l m o s 的证明是用的标 准分析。 1 9 7 3 年，俄罗斯数学家v i l o m o n o e o v 6 e 筝j果震惊了数学界：每一个与非 零紧算子交换的连续线性算子有非平凡的不变闭子空间。他使用了一种与以往完 全不同的技巧，那就是对s c h a u d e r 不动点定理的天才运用，开创了新的局面，其 后其它数学家根据这种思想得到了大量l o m o n o s o v 定理拓广和应用的结果。 1 9 7 6 年，瑞典青年数学家p e n 丑。闭构造了一个著名的反例：存在b a n a c h 空间 上的一个连续线性算子没有非平凡的不变闭子空间。这样他就从一般意义上对不 变子空间问题给出了否定的答案。然而对于h i l b e r t 空间，不变子空间的存在性仍 然是未知的，这也是数学中未解决的最著名问题之一。同时由于这个反例，对 于b a n a c h 空间上算子的不变子空间问题研究已经变成了寻找保证各类特殊算子有 不变子空间的条件。 1 9 8 5 年，c j r e a d 8 给出了另外一个例子2 ：存在f 1 上连续算子没有非平凡的 不变闭子空间。在此基础上，c j r e a d 1 0 于1 9 9 7 年又构造了一个b a d 础空间上 拟幂零有界算子没有非平凡不变子空间。 1 2 b a n a c h 格上正算子不变子空间的研究现状 在b a n a c h 格上算子的不变子空间理论中，y a a b r a m o v i c h 等人于上个世 纪9 0 年代做了大量杰出的工作【1 1 1 5 ，得到了一系列关于正算子的不变子空间问 题的结果。 2 但v g t r o i t s k y 在文章【9 】证明了l l e a d 算子的模有非平凡的不变闭子空间。 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 首先y a a b r a m o v i c h 等在文章【1 1 】中引入局部拟幂零( 1 0 c a lq u a s i n i l p o - t e n c e ) 的概念，如果b 蚴空间上一个有界算子t 满足l i ml i p x o l l l “= 0 ， n 0 0 则它被称为在x o 处是拟幂零的。如果t 在某x o 0 处拟幂零，称t 为局部拟幂零。 通过对局部拟幂零性的引入和讨论，他们得到了如下定理，特别的它说明了0 上 局部拟幂零的正算子均有不变子空间。 定理1 2 1 ( i n ，定理2 2 ) 设t 是l p ( 1 p 0 ：f ! ，isa f z i ，! ，a 。 下是一个a m 一空间，它的闭单位球是序区间【一，】。 r i e s z 空问中的元e o f t 称为是序单位元，如果对每一。都存在某a o 满 足hsa e 。如果b a n a c h 格e 有一单位元e 0 ，则也= e 。由于使r i e s z 空间成为 一个b a c h 格的所有格范数是等价的( 见 1 _ 7 】，推论1 2 4 ) ，则范数忙0 。等价于e 的 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 原始范数，从而具有单位元e 的b a n a c h 格都可以重新赋范成为一个a m - 空间且以序 区间【- l e l ，i e i 】为闭单位球。 如果一个正元e 生成的主理想也在e 中是稠的，则称e 为e 的一个拟内 点( q u a s i - i n t e r i o r ) 。它有以下的刻画： 定理2 1 7 ( 1 7 1 ，定理1 5 1 3 ) 设e 是一个赋范胁s z 空间，e e + ，则下列情 况等价： ( 1 ) e 是一个拟内点。 ( 2 ) 对任意的z j 芦有l i m r 一* 忙一z a m 0 = 0 。 ( 3 ) 对任意的0 0 。 2 2 几类算子的控制性质 首先介绍一下与紧性相关的几类算子。设e ，f 是两个b a n a c h 格，t 是e 到f 的 一个算子如果t 映e 中闭单位球为f 的相对紧子集，则t 称为是紧算子。如 果t 映e 中闭单位球为f 的相对弱紧子集，则t 称为是弱紧算子。如果t 映e 中序区 间为f 的相对紧子集，则t 称为是a m - 紧算子。如果t 映e 中序区间为f 的相对弱 紧子集，则t 称为是序弱紧算子。如果当二。时有l i r ai f z 。i f = 0 ，则t 称为是 一个d u n f o r d - p e t t i s 算子。 若t ，s 是b a n a c h 格e 上的两个线性算子，其中t 是正的。如果对任意的o b 有i s 0 ) j t ( ) 成立，则我们说s 被t 所控制，记为士s t 。因为b a n a c h 格 上任意的正算子是连续的，故被正算子控制的算子亦是连续的。下面我们要讨论 如下问题：设b a n a c h 格上有正算子t 、s 满足0ss t ，若r 有某种性质( p ) ，那 么t 的性质会对s 产生何种影响呢? 这是算子控制性质研究的基本问题，目前考虑 最多的是紧算子。 对于紧算子的控制性质，p g d o o d s 和d h f r e m l i n 首先得到了一个重要结 果。 定理2 2 1 ( 17 】，定理1 6 2 0 ) e ，f 是两个b a n a c h 格且f ，f 均有序连续范 数，z s 是e 到f 上的正算子，其中t 是紧的。如果sst 。则s 也是一个紧算 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 子。 受蓟上述结果的启发，a l i p r a n t i s 和b o l i r k i n s h w 于2 0 世纪8 0 年代傲了一系列 重要的工作，得到了正紧算子的控制性质。 定理2 2 2 ( 【l7 】，定理1 6 1 5 ) e 是b 8 n a c h 格且e 7 或e 有序连续范 数，t 、s 是e 上的正算子，其中t 是紧的。如果s t ，则铲也是一个紧 算子。 定理2 2 3 ( 【17 ，定理1 & 1 3 ，1 le 是b a n a c h 格，zs 是e 上的正算子，其中t 是 紧的。如果s t ，则s 3 也是一个紧算子。 事实上已有反例( 见文献 1 7 1 ，p 2 7 7 ) 说明s 3 不可能被改为s 2 或s ，即定理 为最好的结果。 而对于弱紧算子，一般情况下被弱紧算子控制的算子未必是弱紧 的( 17 1 ，p 2 8 8 ) 。a w w i c h s t e a d f l 自结果告诉我们什么情况下被弱紧算子控制 的算子总是弱紧的。 定理2 2 4 ( 17 】，定理1 7 加) e ，f 是两个p a la c h 格。下面情况等价 ( 1 ) f 或f 有序连续范数。 ( 2 ) 任意e 到f 上被弱紧算子控制的正算子也是一个弱紧算子。 仍然是a l i p r a n t i s ；和b o l i r 虹n s h w 证明了一般情况下弱紧算子的控制性质。 定理2 2 5 ( 17 ，定理1 7 ，1 1 ) e 是t a n a c h 格，正s 是e 上的正算子，其中t 是 弱紧的。如果sst ，则妒也是一个弱紧算子。 a b r 锄o v i c h 在文章【1 2 】中给出了下面这个定理，它刻画了乘子算 子( m l l l t i p l i c a t i o o p e r a t 删j 性质，在b a n a c h 格上不变子空间理论中起着 非常重要的作用。 定理2 2 ，6 ( 1 2 】，引理2 3 ) e 是- - - + b a n a c h 格，t o 是它的一个拟内点。则 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 ( 1 ) 对a 中任意非零元v 都存在e 上一个算子y 满足：y 映v 为- l i e 零正元 且y 被恒等算子控制，即 v ( v ) o r w ( x ) is 对所有的z e 都成立 ( 2 ) 对于满足0 口的每一个元口，都存在一个算子u ：e e 满 足：u 映“为口且矿被恒等算子控制，即 u ( t ) = v r i u ( z ) f 对所有的z e 都成立 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 第3 章a m 一紧算子与不变子空间问题 3 1a m 一紧算子的基本性质 在b a n a c h 格及其上算子理论的研究中，经常要涉及的是序区间及其相关性 质，故很自然的有这样一类重要的算子，即a m - 紧算子 定义3 1 1设t 是b a n a c h 格e 到f 的线性算子。若t 映e 中序有界子集为f 中的相对紧子集，即对任意g o z e ，t - z ，叫在f 中是相对紧的，则 称t ：e f 是a m 紧算子。 t 黾a m 一紧的当且仅当对e 中任意序有界序列 。 ， t h ) 在f 中有一收敛子 列。因为在完备度量空间中，一个集合m 是列紧的当且仅当m 是全有界集( 【2 0 】 定理1 3 7 ) ，故若y 是完备的则t 是a m 一紧的当且仅当t ( 卜z ，z 】) 是y 的全有界集。 熟知序有界集是范数有界集，显然紧算子都是a m 紧的。但其逆并不成立，这是 因为一般情况下范数有界集并不一定是序有界的。 关于b a n a c h 格e a m 一紧算子理论，由f r e m l i n 与d o d d s 在1 9 7 6 年起做了相关研 究并得到重要结论( 1 9 】，定：理1 2 3 4 ) ：若e 为b a n a c h 格且具有序连续范数，则e 上 所有的正则a m 紧算子形成一个矿( e ，e ) 带。本章对a m 一紧算子的其它性质做了 一些讨论，重点研究了其格性质与控制性质，得到结果：若b a n a c h 格e 上一个算 子s 被正的a m 一紧算子所控制，则铲是a m 一紧算子。 下面我们给出几个a m - 紧算子的基本性质。 定理3 1 2设s 是b a n a c h 格e 到f 上的算子，t 是b a n a c h 格f 到g 上的算 子。若( 1 ) s 是a m - 紧算子；或者( 2 ) s 是正算子，t 是a m - 紧算子，则t s 是a m - 紧 算子。 证明因为正算子把序有界集映为序有界集，连续函数把紧集映为紧集，故 上面条件成立时有t s 是a m 紧的。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 若我们记所有b a n a c h 格e 到f 上a m 紧算子t 为名7 ( e ，f ) ，则有如下结果。 定理3 1 3 。形( e ，f ) 是z ( e ，f ) 的一个闭子空间。 证明 根据 17 】上定理9 2 ( p 1 3 0 ) 知，若集合a 、b 是全有界的，则a + 口、a a 均是全有界的。如果ls ( e ，f ) ，则有对任意的0 z e ，口+ s ) 【- z ，z 卜( ) 【一z ，叫都是全有界集，即t + s 、a ? 也：是a m - 紧算 子，。影( e ，f ) 是驴( e ，f ) 的一个向量子空间。 为了证明其亦具有闭性。设s 孑万霹 i 巧，故v e 0 ，3 t j 矿陋，f ) ， 满足| | t s l i e 。故s - z ，叫ct - x ，。】+ e y ，因为t - z ，叫是全有界 的，由 17 j 中定理9 i 知s - x ，z 】也是全有界的，故s 彳( e ，f ) 即得 证。影( e ，f ) 是汐( e ，f ) 的闭子空间。 对于一些特殊空间来说，比如知( 1sp o 使得t ，1 9 m 0 ，存在自然 n = l o o 数啦，使得t ，l n 。+ l 即