（基础数学专业论文）超二次椭圆方程和基尔霍夫问题的解.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文超二次椭圆方程和基尔霍夫问题的 解，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工 作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果。 对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明。 本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：做珥日期m 仉幻哆 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 ( ( 超二次椭圆方程和基尔霍夫问题的解系本人在曲阜师范大学攻读硕士学 位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学 所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大 学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印 件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印 或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 阳 一 良 、6 k 趴 扣 搁 期 期 舞例 瓠施 名 名 签 签 者 师 作 导 曲阜师范大学硕士学位论文 超二次椭圆方程和基尔霍夫问题的解 摘要 随着科学技术的不断发展，数学中各种各样的问题越来越引起人们的广泛关 注，比如作为数学中重要分支的椭圆方程和基尔霍夫问题，因其能很好的解决实 际生产中的各种问题而受到了国内外自然科学界，特别是数学界的重视椭圆型 方程在流体力学，弹性力学，电磁学中都有广泛应用，而基尔霍夫问题在物理学 中电磁场对电流运动的影响方面有重要应用近年来人们对这两类问题的研究得 到了一些新成果，而超二次椭圆方程的非平凡解和p ( z ) 一基尔霍夫问题解的存在 性又是近年来讨论的热点本文利用局部环绕定理和局部极小方法研究了超二次 椭圆问题非平凡解和p ( z ) 一基尔霍夫问题无穷多正解的存在性并用具体例子验证 所得结果的有效性 本文共分为三章： 第一章为绪论本章共分为两节，在第一节中介绍变分法的发展历史在第 二节给出证明过程中将用到的几个重要定义和定理 第二章考虑d i r i c h l e t 边值问题 仁r 肛如川嚣 非平凡解的存在性，其中a ( z ) 妒( q ) ，p n 2 ，g c ( f ixr ，r ) 而且qcr ( 3 ) 是一个边界光滑的有界区域，假设a ( x ，u ) = f og ( x ，s ) d s ，当g ( z ，札) 满足 ( g 1 ) 当l u l 一+ 。在q 上一致成立时，g ( x ，让) l “1 2 _ + 。 ( g 2 ) 当一0 在q 上一致成立时，g ( z ，u ) l u l 2 叶0 ( g 3 7 ) 令g = l g ( x ，缸) “一g ( 茁，u ) 满足 ( i ) g a 3 1 u l p ，如果i u i r ， ( i i ) 1 9 ( z ，u ) i 盯i 乱i a r 0 4 否( z ，牡) ，如果 u i r ，其中0 3 ，q 4 o ，口 譬+ 1 ，q = 岩：p q q - 1 ( g 5 ) 存在6 0 使得 ( i ) 对所有的l u l 6 ，z q ：有g ( z ，) 0 成立；或 ( i i ) 对所有的l 让i 6 ，x q ，有g ( z ，u ) 0 成立 曲阜师范大学硕士学位论文 如果0 是一+ o ( 具有d i r i c h l e t 边界条件) 的一个特征值，那么d i r i c h l e t 边 值问题至少有一个非平凡解 本章主要利用局部环绕定理，在更弱的条件下研究了上面d i r i c h l e t 边值问题 非平凡解的存在性，用( c ) + 条件代替了( p s ) + 条件，推广并改进了一些已知的结 果 第三章研究p ( z ) 一基尔霍夫问题 一卅南i 乳l p 沱功跏“吼i p 扛卜2 砚卜v 川n 锄 ( b ) 【牡= 0 z 弧 其中q 是r 中的光滑有界区域，p2 p ( z ) c ( 砭) ，l 0 ，( z ，u ) ：qxr _ r 是一个c a r a t h e o d o r y 函数并 q 且存在t + 0 使得 s u p ，( ，t ) l o o ( q ) r e 0 ，t 】 假设函数f ( x ，t ) 满足下列条件： ( i ) 对每一个n n ，都存在满足0 矗 0 ，问题( 只) 有一列a e 正的弱解 札n 】强收敛到零并有 l i mm a x u n = 0 n 一+ o 。而 本章利用局部极小原理和变指数s o b o l e v 空间中的定理研究了p ( z ) 一基尔霍 夫问题( 最) 在不同的条件下由原来的( p 1 ) 情况推广到更一般的( r ) 情况，推广 了已知的结果 曲阜师范大学硕士学位论文 关键词：椭圆问题；局部环绕定理；( c ) + 条件；超二次；非局部问题； p ( z ) 一基尔霍夫方程；正解；局部极小原理；变分法 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t a l o n gw i t hs c i e n c e sa n dt e c h n o l o g y sd e v e l o p m e n t ，v a r i o u sm a t h e m a t i c a l p r o b l e m sh a v ea r o u s e dp e o p l e sw i d e s p r e a di n t e r e s td a yb yd a y f o re x a m p l e ，e 1 一 l i p t i ce q u a t i o n sa n dk i r c h h o f fp r o b l e m sa st h ei m p o r t a n tb r a n c h e sh a v eb e e nr e c e i v e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o nb yt h en a t u r a ls c i e n c ew o r l d ，e s p e c i a l l ym a t h e m a t i c a lw o r l db e c a u s ei tc a nw e l le x p l a i nv a r i o u st h en a t u r a lp h e n o m e n o n e l l i p t i c e q u a t i o n sa p p l ye x t e n s i v e l yi nf l u i dd y n a m i c s ，e l a s t r o d y n a m i c sa n de l e c t r o m a g n e t i s m w h i l ek i r c h h o f fp r o b l e m sh a v ei m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nt h em o t i o no f e l e c t r o r h e 0 1 0 9 i c a lf l u i d su n d e rt h ei n f l u e n c eo fa ne l e c t r o m a g n e t i cf i e l di np h y s i c s p e o p l eh a v eo b t a i n e ds o m en e wr e s u l t sf o rt h es t u d yo ft w op r o b l e m s t h en o n - t r i v i a ls o l u t i o nf o rac l a s so fs u p e r q u a d r a t i ce l l i p t i ca n de x i s t e n c eo fi n f i n i t e l y m a n yp o s i t i v es o l u t i o n sf o rk i r c h h o f f - t y p ep r o b l e ma r ea l s ot h eh o ts p o tw h i c h h a v eb e e nd i s c u s s e di nr e c e n ty e a r s i nt h i sp a p e r ，w eu s et h el o c a ll i n k i n gt h e o r e m ，l o c a lm i n i m u mm e t h o dt os t u d ye x i s t e n c eo fan o n t r i v i a ls o l u t i o nf o ra c l a s so fs u p e r q u a d r a t i ce l l i p t i cp r o b l e m sa n di n f i n i t e l ym a n yp o s i t i v es o l u t i o n s f o rp ( x ) - k i r c h h o f f - t y p ep r o b l e ma n dw ec o n s t r u c tt h ee x a m p l e st od e m o n s t r a t e t h ee f f e c t i v e n e s so ft h o s et h e o r i e s t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s c h a p t e rli st h ei n t r o d u c t i o no ft h i sp a p e r i nt h ef i r s ts e c t i o nw ei n t r o d u c e d e v e l o p m e n to fc a l c u l u so fv a r i a t i o n i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w eg i v es o m ei m p o r t a n t d e f i n i t i o n sa n ds o m et h e o r e m sw h i c hc a nb eu s e dd u r i n gp r o o f i i nc h a p t e r2 w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o nf o rt h ed i r i c h l e t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ， l - a u + a ( z ) u = 9 ( z ，“) ， i n f l ， i u = 0 ，o n o f l ， w h e r ea ( x ) 妒( q ) ，p n 2 ，g c ( q r ，r ) a n dqcr ( 3 ) i sab o u n d e d d o m a i nw h o s eb o u n d a r yi sas m o o t hm a n i f o l d w ea s s u m et h a tc ( z ，u ) = 片g ( z ，s ) d s ， w h e ng ( z ，乱) s a t i s f i e s ( g 1 ) g ( z ? u ) i u l 2 一十。o ，a sm 一+ o 。u n i f o r m l y o nq ( g 2 ) g ( z ，u ) l u 2 一o ，a sl u l _ 0u n i f o r m l yo nq ( g 3 7 ) t a k e 否= 9 ( z ，u ) 扎一g ( z ，让) s a t i s f i e s 曲阜师范大学硕士学位论文 ( i ) g a 3 1 让f ，i fi u l r ， ( i i ) i g ( x ，u ) l 口l u l 9 0 4 否( z ，u ) ，i fi u l r ，w h e n0 3 ，0 4 o ，盯 i n + l ：a n d q = 石a + l ，p q + 1 ( g 5 ) t h e r ee x i s t s6 0s u c ht h a t ( i ) g ( x ，让) 0 ，f o ra l li 乱i 冬6 ，z q ；o r ( i i ) a ( z ：乱) 0 ，f o ra l li u l 6 ，z q i f0i sa ne i g e n v a l u eo f - a + a ( w i t h d i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n ) ，t h e nt h ed i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m h a sa tl e a s to n en o n t r i v i a ls o l u t i o n i nt h i sc h a p t e r ，w em a k eu s eo fl o c a ll i n k i n gt h e o r e mt os t u d ye x i s t e n c e o fan o n t r i v i a ls o l u t i o nf o rd i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mu n d e rt h ew e a k e r c o n d i t i o n s w eo b t a i nt h es a m ec o n c l u s i o nu n d e rt h e ( c ) + c o n d i t i o ni n s t e a do f ( p s ) + c o n d i t i o n ，o u rr e s u l tg e n e r a l i z em a n yr e c e n ts t u d i e s i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ep ( x ) 一k i r c h h o f f - t y p ep r o b l e m f v u f ( z ) d x ) d i v ( iv u i p ( z ) 2 v u ) = a f ( x u ) i n q ， o n a q ( r ) w h e r eqi sas m o o t hb o u n d e dd o m a i no f 冗，p = p ( z ) c ( 豆) ：1 0 ，( z ，乱) ：q r _ ri sa 4 n c a r a t h e o d o r yf u n c t i o n a n de x i s t st + 0s u c ht h a t s u p ，( ，t ) t e o ，t 】 三o 。( q ) a s s u m ef ( x t ) s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( i ) f o re v e r y 礼n ，t h e r ee x i s t s 岛，岛rw i t h0 矗 n ncr + o ) w i t hl i m t n = 0s u c ht h a t n + o o = + 竺 一 学唑一 曼 i a n d e s s inf(。in。，f。joxes 。，( z ，s ) d s ) 、t o ，nj 。、7 7 ( i i i ) f ( z ，0 ) = 0 2 砒s s 毯( n s 冲) t h e n ，f o re v e r ya o ，p r o b l e m ( r ) h a sas e q u e n c e 让几 o fa e p o s i t i v e w e a ks o l u t i o n ss t r o n g l yc o n v e r g e n tt oz e r oa n ds u c ht h a t l i mm a x 乱。：0 t h i sc h a p t e rm a k eu s eo fl o c a lm i n i m u mm e t h o da n dt h e “t h e o r vo ft h e v a n a b 伦e x p o n e n ts o b o l e vs p a c e st os t u d yt h ep r o b l e m ( 只) w _ ew i l lg e n e r a l i z e t h ep r o b l e m ( 尸1 ) t op r o b l e m ( r ) u n d e rt h ed i f f e r e n tc o n d i t i o n s k e y w o r d s ：e l l i p t i cp r o b l e m s ；l o c a ll i n k i n gt h e o r e m ；( c ) + c 。n d i t i o n ；s u p e r q u a d r a t i c ；n o n l o c a lp r o b l e m s ；p ( x ) 一k i r c h h o f f se q u a t i o n s ；p o s i t i v es o l u t i o n s ： l o c a lm i n i m u m ；v a r i a t i o n a lm e t h o d s n l 曲阜师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t 。i 第一章绪论1 1 1 变分法概述1 5 1 2 预备知识3 第二章 一类超二次椭圆问题非平凡解的存在性5 2 1 引言5 2 2 预备知识8 2 3 主要结果9 第三章一类p ( x ) 一基尔霍夫问题的无穷多正解1 4 3 1 引言1 4 3 2 预备知识1 7 3 3 主要结果1 9 3 4 例子2 8 参考文献2 9 在校期间完成的论文3 3 致谢3 4 第一章绪论 1 1 变分法概述 变分法是把微分方程边值问题化为变分问题，以证明解的存在性，解的个数 及求近似解的方法变分问题有着极为丰富的源泉，从经典力学到场论，其中所 研究的一切物质的运动规律都遵从变分原理，即存在着某个泛函，使得对应的运 动方程是它的e u l e r 方程，因此求这些e u l e r 方程的解便化归为寻求对应泛函的 临界点非线性微分方程的解主要是通过某个泛函，( 通常称为e u l e r l a g r a n g e 泛 函) 在一个恰当的b a n a c h 空间x 上的临界点u 来刻画的，即满足 。 j ( 钆) = 0( 1 1 ) 这里，7 ( 乱) 是c l 泛函，在点u 处的f r d c h e t 导数于是，寻找泛函的临界点成 为解决问题的关键所在迄今为止，经过许多数学家长期努力的工作，逐渐形成 了一个解决非线性问题的数学分支学科一变分法 变分法的理论基础是临界点理论临界点理论本身又包含几个重要的理论和 方法：极小序列方法，极大极小方法，l j u s t e r n i k 。s c h n i r e l m a n 理论，m o r s e 理 论等这些理论和方法不仅是研究非线性微分方程的一个强有力工具，而且还可 以通过这些方程解的性质解释物理，生物学，天体力学和其他科学领域中的许多 重要现象 古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点，对这种特殊形式的临界 点问题，在1 9 世纪以前一直将其化为微分方程去解决，因此要求其相应的e u l e r - l a g r a n g e 泛函是下方有界的p o i n c a r e ( 1 8 8 7 ) 与h i l b e r t ( 1 8 9 8 ) 证实了d i r i c h l e t 原理，而且由此产生的极小化序列方法，连同本世纪初意大利数学家t o n e l l i 引 进的关于泛函下半连续的概念，延续到今天都是研究泛函极值问题的基本手段 极值点是最简单的临界点，但是在一些具体问题中我们要研究的泛函是不定的或 者强不定的即使是一些下方有界的泛函也可能存在一些鞍点，这些鞍点在物理 上通常是一些微分方程的不稳定的解，因此需要新的工具去寻找更一般的临界点 特别是鞍点 应这种要求，近几十年来近代变分法( 又称为大范围变分方法) 逐渐完善的 发展起来近代变分法主要包括极小极大理论和m o r s e 理论这两种理论都是 依靠拓扑方法，研究一般的，未必是极值点的临界点1 9 7 3 年a a m b r o s e t t i 和 p r a b i n o w i t z ( 见【1 】) 的山路引理可以说是临界点理论发展史上的一个重要里程 第一章绪论 碑，随后的鞍点定理和环绕定理是对山路引理的进一步推广( 见 2 】) 这些抽象的 定理被广泛用于寻求椭圆问题非平凡解的存在性与多解性以及h a m i l t o n i a n 系统 的周期轨道和波的受迫振动等本文利用局部环绕定理和局部极小方法研究了超 二次椭圆问题的非平凡解和p ( z ) 。基尔霍夫问题无穷多正解的存在性 m o r s e 理论则是更深刻，更精细的临界点理论：它运用数量型的拓扑工具( 同 调群) 对泛函在临界点附近的局部行为给出精确的刻划( 临界群) ，并给出局部行 为与整体性质之间的深刻联系( m o r s e 不等式) 因而在多解存在性的研究中必将 发挥重大作用m o r s e 是在有限维流形上完成这一工作的，p a l a i s 和s m a l e 则把 m o r s e 的工作推广到无穷维流形上经典m o r s e 理论的主要困难是对非退化性的 依赖，因为未知的临界点的非退化性一般是无法先验的知道的但是经过许多科 学家的工作，包括g r o m o l l m e y e r 理论以及各种处理退化情形的方法，m o r s e 理 论已经能够比较好地运用于非线性微分方程的研究，并且已经在这一领域取得了 丰硕的成果 本文研究的椭圆问题又叫做薛定谔方程，这个方程起源于数学物理现象，并 且有着广泛应用例如，在研究定波拟设的情况下要涉及到这个问题这个方程 的解同时被理解为相关的扩散反作用方程的稳定点，这种扩散反作用方程在化学 动态系统现象中建立了模型最近几十年，薛定谔方程引起了广泛关注9 8 年 w o j c i e c h 和a n d r z e j 利用环绕定理研究了半线性薛定谔方程，证明了其解的存在 性在渐近线性或超线性条件下，薛定谔方程无穷多同宿解的存在性也得到了确 定【3 】此外，薛定谔方程的周期性问题以及非周期和非径向对称问题也被广泛研 究并取得重要成果 第三章研究的基尔霍夫问题最初来源于下面这个方程 ， u t t 一( 口+ b i v u l 2 d x ) a u = g ( x ，u )( 1 2 ) q 它是由【4 】在研究可伸缩绳的自由振动的经典d a l e m b e r t s 波动方程过程中提 出的一种实际存在的方程基尔霍夫问题考虑可伸缩绳横向振动的长度变化，文 【5 ，6 】在早期就给出了经典研究方程( 1 2 ) 在文【7 】提出一个抽象标架之后引起 了众人注意，一些重要而有意义的结果被得到，例如文【8 】最近，文【9 】通过变 分法得到了类似问题的正解，类似的局部问题同时也建立很多物理和生物系统模 型，u 被描述为和系统自身平均数有关的一个量，例如人口密度等，在文 1 0 】中 提到过 2 堕生塑燮堂亟主堂垡迨塞 1 2 预备知识 定义1 2 1 设x ，y 是两个b a n a c h 空间，如果xcy ，且存在常数c ，使 得 l lzl i t o 且满足| fei i 7 和b ：= i n f l l l l ：r 妒( u ) 妒( o ) 妒( e ) ，则对垤 o ，刍u x 满足 a ) c 一2 5 ( u ) ca - 2 ， b ) l l ( 乱) | | 2 5 ： 其中 c 车i n f m【a，x3qfte01 】妒( 7 ( 观f ，1 r = 7 c ( o ：1 】：x ) ：7 ( o ) = 0 ，7 ( 1 ) = 1 】， 如果满足( p s ) 。条件，则c 是够的临界值 定理1 2 2 ( 鞍点定理) 令x 是一个b a n a c h 空间，妒c 1 ( x ，r ) ，假设x ： x o x + ：其中d i m x 一 o o ，s u p 筇 0 ：z z 使得l i z l i = n 定义 n = u z ：恻i = r ) ， m = 让= y + a z ：i i u l i p ，入0 ，y y ) ， m o = 让= y + a z ：y y il i u l | = p ，a2o ；l | u | i p ，a = o ， 令c 1 ( x ，兄) ，使得b ：= i n f n 妒 o ：= m a x m o ，如果满足( p s ) 。条件，其 中 那么c 是的临界值 c - 1 i n t f 。m a x 妒( 7 ( u ) ) u e m ， 1 t l r ：= 7 c ( m ? x ) ：，yi 嘶= 奶， 定理1 2 4 ( s o b o l e v 嵌入定理) ：下面的嵌入是连续的： d 1 2 ( r ) ql 2 + ( r ) ， n 3 ， 日1 ( r ) ql v ( r ) ，2 p - 上l i m n 厶( 喇z 4 第二章一类起二次椭圆问题非平凡解的存在性 2 1引言 本文主要研究下面的d i r i c h l e t 边值问题 ：坌让0 + 。z 乱2 夕z u z 三0 f l c 2 1 ， 1 u ：z ， 弘上j 非平凡解的存在性，其中a ( x ) ( q ) ，p 2 ：g c ( q j f 2 ，r ) 而且qc 兄( n 3 ) 是一个边界光滑的有界区域 方程( 2 1 ) 又称为薛定谔方程，它起源于数学物理现象并且有着广泛应用 例如，在研究定波拟设的情况下要涉及到这个问题问题( 2 1 ) 的解同时被理解 为相关的扩散反作用方程的稳定点，这种扩散反作用方程在化学动态系统现象中 建立了模型在最近几十年里，薛定谔方程问题引起了广泛的关注 对于上述薛定谔方程，根据0 在谱集c r ( a ) 中的位置，已经得到了很多关于 解的存在性和多样性的结果，我们将分为以下三种情形： 情形1 若盯( s ) c ( 0 ，o 。) ，由文【1 1 的结果可知，半线性薛定谔方程 - a u + ，氅： u 2 夕( z ，u ) ， ( 2 2 ) l 也h 1 ( r ) ， 、7 在下面条件下有无穷多个解：g c 2 ( r 2 r r ) 且满足超线性条件：即3 p 2 使得当z r 和札r 0 ) 时， 0 p g ( z ，u ) 9 ( z ，u ) 乱，( 2 3 ) 以及次临界条件：即3 s ( 2 ，2 + ) 使得对所有( z ，乱) r xr ，有 1 9 让( z ，u ) l c 1 + c 2 f 钆r 2 ，( 2 4 ) 这里a ( z ，u ) ：= j o9 ( z ，t ) d t ，当n = i ，2 时2 + = o o ；当n 3 时，2 4 = 2 n n 一2 ，c i 为正常数这个结果对更一般的非线性特别是渐近线性的情况也成立，最近已被 文【3 】和文【1 2 】证明过在文( 3 ，1 1 1 中，( 2 2 ) 的解已经被证明了是一个具有山 路结构的泛函的临界点 情形2若0 在s 的谱缝隙当中，即： s u p ( a ( s ) n ( 一，o ) ) 0 使得对所有的l u l l 及z q 满足 0 u c ( z ，u ) u g ( z ，扎) 则称问题( 2 1 ) 满足a r 条件 最近，文 2 2 】证明了文献 1 8 】中的定理4 ，得到了问题( 2 1 ) 非平凡解的存 在性，其中包含了( g o ) 这种情况新的超二次条件包含下列几个方面： ( g 1 ) 当_ + 在q 上一致成立时，g ( z ，u ) l “1 2 _ + ( g 2 ) 当m _ 0 在q 上一致成立时，g ( z ，“) i u l 2 _ 0 ( g 3 ) 存在常数l 丽2 na ，a 2 0 以及l 0 使得对所有的m l ，z q 有 u g ( z ，乱) 一2 g ( z ，u ) a 2 i 札l 如果0 是一+ o ( 具有d i r i c h l e t 边值) 的特征值，则假设还满足下列条件： ( g 5 ) 存在6 0 使得 ( i ) 对所有的i u i 6 ，z q ，有g ( z ，钆) 0 成立；或 6 ( i i ) 1 9 ( z ，札) l 口l u r a 4 g ( x ，u ) ，如果m 冗，其中a 3 ，a 4 o , c t 百n + 1 ，口= 两a + l ，p 口+ 1 本文在第二部分先介绍一些定义和引理，接着给出问题对应的能量函数和讨 论问题所在空间的分解，第三部分是非平凡解的存在性定理及证明，并在最后给 出了一个具体例子以检验本文所得结果 7 第二章一类超二次椭圆问题非平凡解的存在性 2 2 预备知识 在空间e = 嘲( q ) 中定义一个函数，使得 1， y ( u ) = 钏让+ 1 1 2 一l l u i | 2 ) 一g ( z ，u ) d x ， f 2 其中珏一e - ( 1 t + e + ，e + ( e 一) 是由一+ a 的正( 负) 特征值所对应的向量扩 展而成的空间 在本文中，我们将要用下面的局部环绕定理( 引理2 2 1 ) 来证明我们的定理 首先令x 是一个实b a n a c h 空间，其中x = x 10x 2 并且x gcx ic cx j 使得x j = u n 义i ，j = l ，2 对每一个多重指标q = ( q 1 ，q 2 ) 2 ，令x 。= 礁，0 程：显然q q l 风，q 2 阮如果对每一个a n 2 有m n 使得n m 辛q n q ，则称序列( o 凡) cn 2 是可容许的 定义2 2 1 一个函数，满足( p s ) 条件是指每一个满足 u a 。x q 。，s u p f ( u 。) o 。，( 1 + i l u 口。i i ) s ( u ) _ 0 的序列( u 口。) ( ( q 竹) 是可容许的) 包含一列收敛到，的临界点的子列 定义2 2 2 一个函数厂满足( c ) + 条件是指每一个满足 u 口。义口。，s 叩厂( u 口。) 0 使得 i g ( x ，u ) lsg + q m g ， 故 g ( z ，乱) i = 0 ，存在g 0 ， l g ( z ，札) l i “1 2 + q i u | 口+ 1 ， ( 2 7 ) 我们得到，在x 2 上，对某一个c 0 有， ，( “) 一丢l l u l l 2 + g 上m 2 + gz m 叶1 一言l i 乱1 1 2 + g 台l i u l l 2 + c 7 l l u l l + 1 = ( 一言+ e 瓯+ g i u i l q - - 1 ) l l u l l 2 ， 取r 1 = f 坛，那么f ( u ) 0 ，其中u x 2 ，l l u l i 7 1 将x 1 分解成v + w ，其中v = k e r ( 一a + o ) ，w = ( x 2 + y ) 上同时令 u = 钞+ w ，u x 1 ，u kw w 。因为y 是一个有限维f 至l u - i ，所以存在c 0 ， 使得 i l v l l o o c l l v l l v v 矿 ( 2 8 ) 我们首先令0 6 2 c 并且 q 1 = z qii 叫( z ) l 6 2 - ，q 2 = a a 1 在q 1 上，由( 2 8 ) 我们得到， i 扎( z ) l l u ( z ) l + l 伽( z ) l i i v l l o 。+ 6 2 6 ， 又由( 2 5 ) 有 f a , g ( z ，让) d z 。 在q 2 上，仍然利用( 2 8 ) 得到 l 钆( z ) l l t ，( z ) i + l 叫( z ) l 2 i 叫( z ) f ， 然后，由( 2 7 ) 有 g ( z ，u ) 占u 2 + q l u l + 1 4 e w 2 + 2 q + 1 q i 叫i g + 1 ， 1 0 型堡塑旦呈塑主堂焦鲨塞 并且对某一个c 0 有 所以我们可以推出 z ：g ( 础) 如上。( 4 e w 2 + c t ) 厂( u ) 季i i 伽1 1 2 一z 。( 4 加2 一c i i 口+ 1 ) 一上，g ( z ，饥) 专 1 w l l 2 一e g 备l | 砌1 1 2 一c o l l w l l q + l = ( 互1 一e g 一刚酬。一) 。， 取r 22f 法，那么，( 札) 0 ，其中乱x 1 ：1 1 u 1 1 7 2 ， 令r = 仇t 礼 嘉，r l ，r 2 ，所以( ) 得证 ( 3 ) f 满足( e ) + 条件 考虑序列( 让8 。) 使得( q n ) 是可容许的并且 u 口。叉- 口。，c ：= s u p ，( u ) 0 ，m 0 有 c f ( u n ) 一荟1 八钆加n = z ，u n ) f n na 3 u # n + z 蠢) z rq 。u ：+ z 完e ( z 钆n ) 乞。8 。u ：+ m ， 其中q r = 。q il 钆( z ) i r ) ，q 完：q q r 所以 j ( u ：= 上ru n 2 + z 夤u n 2 c ( 2 9 ) 我们用反证法来说明序列有界，假设f | 扎n f i _ ，令：也竹1 1 “n l l ，则lj 0 ： 1 且i l s e 对所有的s 1 ，) 成立利用( 2 9 ) 式我们得到， ” z = 赤序2 冬斋川 1 1 第二章一类超二次椭圆问题非平凡解的存在性 接着由1 2 范数插值不等式得到 上坩( 上蚶) ( 1 卅5 ( 上i v n l 2 严一。， ( 2 1 。) 对于s 1 ，。) 成立，其中= 5 + 半，l t s 2 或2 s t 因为d i m k e r ( - a + a ) l i 训1 2 ( 1 一上越铲_ c i 钆翱， 所以 一上业铲d x = o ( 1 ) 由( 2 1 0 ) 式得到，对某些c 0 有 i 上麴铲i 2 上帮1 2 0 使得 c ( z u ) m l u l 2 ，r ， 所以在礁0 x 2 上， ，( u ) = 三1 1 扎+ 1 1 2 一丢i j “一1 1 2 一乞g ( z ，u ) 三i l u + 1 1 2 一扣- l l z m i u + i ；一m l 札。层 三1 1 乱+ 1 1 2 一扣u 1 1 2 一m o l l 乱刈z m c l l u 。i i z _ 一。，l l _ 其中c 0 ，m c 0 证毕 注：容易看到函数 g ( z ，让) = 三i 让j ；+ l 乱i z l n ( 1 + i u i 。) 满足条件( g 1 ) ( g 2 ) ( g 5 ) 以及( g 3 ，) 1 3 第三章p ( x ) 一基尔霍夫问题的无穷多正解 3 1 引言 基尔霍夫问题有着较为深刻的实际背景，在人们研究电流运动和分布，电磁 辐射，热辐射等问题中有广泛应用，其中p ( x ) 一基尔霍夫问题备受关注本文主 要研究下列问题 ：兰；6 石南i v u p 知d z ) d i 可“v 札p ( 。) 一2 v 饥) = 入，( z u 二三： 其中q 是r 中的光滑有界区域，p2 p ( z ) c ( 甭) ：1 0 ，f ( x ：u ) ：q r _ r 是一个c a r a t h e o d o r y 函 2 数并且存在t 0 使得 s u p 九，t ) l 。( q ) ( 3 1 ) t 【0