（通信与信息系统专业论文）jpeg2000中小波变换与t2编码器研究与实现.pdf

i 萄矍 在图像编码领域里，高性能以及低复杂度是人们追求的目标之一。许多数学工具 都引入了这一领域，其中小波变换已经被证明是一种有效的方法。基于小波变换 的e b c o t ( e m b e d d e db l o c kc o d i n gw i t ho p t i m i z e dt r u n c a t i o n ) 算法已经成为最新的圈 际标准j p e g 2 0 0 0 。在图像编码应用中，j p e g 2 0 0 0 硬件实现也扮演着重要的角色。 在分析了软件结果及不同的小波变换复杂度后，我们采用了整一整型提升小波变 换，并对j p e g 2 0 0 0 中t 2 编码器的率失真优化算法和码流组织方法进行了深入分 析，提出了一种易于硬件实现的t 2 编码器快速算法，并详细说明了其硬件结构。 通过降低率失真斜率估计的计算复杂度、简化优化截取方法和码流组织中t a g t r e e 编码方法，降低了t 2 编码器硬件实现的难度，减少了硬件资源，提高了 j p e g 2 0 0 0 硬件系统处理的并行度。实验结果表明输出码流符合j p e g 2 0 0 0 标准格 式，而图像质量下降很小，系统已经通过了f p g a 验证。 关键词：图像编码，小波变换，j p e g 2 0 0 0 ，e b c o t ，硬件 r e s e a r c ha n d i m p l e m e n t a t i o no f 腑v e l e t t r a n s f o r m a n dt 2e n c o d e ri nj p e g 2 0 0 0 a b s t r a c t i nt h ef i e l do f i m a g ec o d i n g ，o n eo f t h eg o a l si st op u r s u eh i g h e rp e r f o r m a n c ea n dl o w e rc o m p l e x i t y m a n ym a t h e m a t i c a lm e t h o d sh a sb e e ni n t r o d u c e di n t ot h i sf i e l d ，i nw h i c hw a v e l e tt r a n s f o r mh a s b e e np r o v e dt ob ea r te f f e c t i v em e a n s t h ee b c o t ( e m b e d d e db l o c kc o d i n gw i t ho p t i m i z e d t r u n c a t i o n ) a l g o r i t h mb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r mh a sb e e nt h eu pt od a t ei n t e r n a t i o n a ls t a n d a r d j p e g 2 0 0 0 t h eh a r d w a r ei m p l e m e n t a t i o no fi ta l s op l a y sak e yr o l ei nt h ea p p l i c a t i o n so ft h ei m a g e c o d i n g b a s e do na n a l y z i n gt h er e s u l t s o ft h es o f t w a r ei m p l e m e n t a t i o na n dt h ec o m p l e x i t yo f d i f f e r e n tw a v e l e tt r a n s f o r m ，t h e i n t e g e r - i n t e g e rl i f t i n gw a v e l e tt r a n s f o r mi sa d o p t e d a n da f a s t a l g o r i t h ms u i t a b l ef o rh a r d w a r ei m p l e m e n t a t i o nf o rt 2e n c o d e ri nj p e g 2 0 0 0i sp r e s e n t e di n t h i s p a p e r , b a s e do nt h ee l a b o r a t ea n a l y s i s o fr a t ed i s t o r t i o n o p t i m i z a t i o ns c h e m ea n dc o d e s t r e a m o r g a n i z a t i o n ，a n di t s a r c h i t e c t u r ep r o j e c to fh a r d w a r ed e s i g ni ss h o w ni nd e t a i l b yr e d u c i n gt h e c a l c u l a t i o n a l c o m p l e x i t y o ft h er a t e - d i s t o r t i o n s l o p e e s t i m a t ea n d s i m p l i f y i n g t h e d e s i g n o f o p t i m i z e dt r u n c a t i o n a n dt a gt r e ee n c o d ei nc o d es t r e a m o r g a n i z a t i o n ，t h ed i f f i c u l t y a n dt h e r e s o u r c eo fh a r d w a r ei m p l e m e n t a t i o nf o ri 2e n c o d e ri sr e d u c e d ，a n dt h ep a r a l l e l i z a b i l i t yo ft h e j p e g 2 0 0 0h a r d w a r es y s t e mi se n h a n c e d t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ef i n a lc o d es t r e a m i sa c c o r d e dw i t ht h es t a n d a r df o r m a to fj p e g 2 0 0 0a n dq u a l i t yl o s so fi m a g e si sl i t t l e t h es y s t e m h a sb e e ni m p l e m e n t e do nf p g a k e y w o r d s ：i m a g e c o d i n g ，w a v e l e tt r a n s f o r m ，j p e g 2 0 0 0 ，e b c o t , h a r d w a r e ys 8 3 8 2 3 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容外，论文不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学 或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 本人签名 杰坚：害日期至竺丝翌厶纩 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：学 校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容；可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论 文在解密后遵守此规定) 本人签名 导师签名 二婚，卢嘴 日期二。娩垒：! ： 第一章绪论 笫一章绪论 【摘要】本章首先对图像通信作了简单的回顾，总结了图像编码的发展历史和现状，并针对 该领域的若干前沿方向进行了简要的评价与展望，然后阐述了本人在图像编码硬件实现方面 所做的工作。 1 1 引言 图像，作为信息含量最为丰富的信息载体，成为构造这样一个信息环境所必 不可少的要素。它在现代通信技术中所承担的作用已远远超过其它载体，这与其 在现实生活中所扮演的角色是息息相关的。然而模拟图像信号在传输过程中非常 容易受到各种噪声的干扰，而且模拟图像一旦受到污染则很难得到完全恢复。此 外，在模拟领域中，要进行人与机器、机器与机器之间的信息交换以及对图像进 行诸如压缩、增强、恢复特征提取等一系列的处理都是比较困难的。因此，从完 成图像通信与数据通信网的结合方面来看，编码便成为图像信号数字化中的一个 关键问题。 1 9 2 5 年，英国人j l b a i r d 机械式电视接收实验成功，标志着人类通信步入 一个新的阶段。1 9 3 6 年，德国对模拟电视电话( t v p h o n e ) 进行了实验。6 0 年代， b e l l 实验室先后推出了p i c t u r e p h o n ei 、i i 两种型号的电视电话。在7 0 年代，又开 展了会议电视和可视图文研究。然而，图像通信真正步入一个新时代，是伴随着 数字化技术的出现开始的。1 9 6 5 年前后出现、并在1 9 6 9 年于美国产品化的电视 a d 转换器，使得图像的数字化成为可能，从而标志着图像数字化处理新时代的到 来。同时也使图像通讯面临着新的挑战，数字化通讯具有许多模拟通讯所无法达 到的优点，比如抗干扰，可加密等，但它需要更大容量的传输信道。这就使得本 来就庞大图像数据，在传输、存储、和处理中遇到了更大的困难。以p a l 制( 2 5 帧秒) 的视频信息为例，如果每帧具有中等分辨率( 6 4 0 4 8 0 个像素点) 、真彩 色( 每像素用2 4 位信息来描述) 的图像，则每帧数据量为7 3 7 兆比特，并且要 求传输速率大于1 8 4 兆位秒。当然随着光纤通讯的迅速发展，在有线通讯领域中 的信道紧张问题可以得到一定的缓解。但是在无线通讯中，包括无线视频，卫星 图像的传输硐l 处理中这个问题依然存在，并且随着通讯卫星的分辨率的抛。滔越来 越明显。因此寻找- - 乖1 高效图像数据压缩技术将是信息时代的永恒课题! 近 f 米，山于航天遥感、综合业务数字网( i s d n ) 、网络多媒体及无线通信的 迅速发展，为图像通信的研究和应用不断提出新的要求和课题。不断涌现的数据 一2 j p e g 2 0 0 0 中小波变换与t 2 编码器的j i ) 究与实现 压缩技术、数字信号处理技术、为数字图像的传输提供了良好的技术平台。超大 规模集成电路( v l s i ) 、商速数字信号处理芯片的出现为图像处理捉供了坚实的硬 件平台。所有这一切使得图像压缩编码技术得到了长足的发展。主要表现在：各 种经贝压缩算法逐渐走向成熟、实用化和标准化，符台各种国际标准的硬件芯片 不断问世：同时，在经典压缩方法的基础上，新的算法也不断涌现出米，并在：【 程实践中逐步得到应用。 1 2 图像压缩编码方法发展概况 图像压缩编码技术属于数据压缩的一种，就是在保证图像质量的前提下，用 尽可能少的比特数来表示数字图像中所包含信息的技术，它属于“信源编码”范 畴。图像信息之所以能够压缩，在于原始图像中存在着大量的信息冗余，如时徊j 冗余、空间冗余、信息熵冗余、谱间冗余、几何结构冗余、视觉冗余和知识冗余 等等。 根据不同的分类标准可以将图像编码分为不同的种类，如根据图像的光学特 征，可分为灰度( 二值、多值) 、彩色和多光谱图像的压缩。根据图像信源的运动 方式，可分为静止图像和活动图像压缩两大类( 本文主要研究前者) 。从信息保持 的角度看，又可分为无损编码和有损编码两大类，前者要求原始图像可以从压缩 数据中准确无失真地恢复，而后者允许重构图像与原始图像之间存在定的差别。 图像编码技术是沿着两条主线索在不断发展，一是对图像信源特性的不断认 识；二是对人类视觉系统特性的不断认识。它大致经历了以下三个阶段： 一、早期阶段的研究( 5 0 一7 0 年代) 图像编码的发展起始于基于s h a n n o n 信息论的熵编码理论，该理论表明信源无 失真编码的下限是信源熵( 信源的平均信息量) 。这类编码技术的压缩效率有限， 压缩比徘徊在1 5 3 之间，其代表方法包括h u f f m a n 编码、游长编码、算术编码 和l e m p e l z i v 字典编码。 随后，人们发现图像中相邻像素之间存在着很强的相关性，去除这种冗余无 疑会大大简化图像的数据表示，在此基础上提出了以差分脉码调制( d p c m ) 为代 表的各种预测编码方法和各种内插编码方法。因此，早期阶段发展起来的大多数 编码方法都是针对去除图像内部的统计相关性来达到压缩图像的目的。 随着对图像本身特性研究的丌展，人们发现图像数据在数值上发生细微变化 时，人眼并不会察觉。基于这一点，人们摆脱了无失真编码的限制，丌始寻求各 种限失真编码的方案，编码方案的设计目标从如何精确恢复原始图像数据转变为 如何将重构图像的误差限定在人眼可接受的范围之内。进一步地，结合允许细微 差异的量化方案，使得在这一阶段后期的编码方法的压缩效率比熵编码又有了较 第一章绪论 大的提高，大致达到1 0 ：l 。 二、中划阶段的发展( 7 0 _ 8 0 年代) 1 9 8 5 年，瑞士学者m k u n t 提出“第二代图像编码技术”的概念。区别于去 除图像统汁冗余的早期编码方法，第二代图像编码技术以去除图像的视觉冗余为 主要目标，强调编码不仅应充分利用图像信源的局部和全局的统计相关性，而且 要利用图像内部的几何特征、自相似性和方向性等多种自然属性和规律，同时强 调对于图像不再简单地作为客观信源来看待，而在充分考虑人类视觉系统特性 ( h v s ) 的基础上，针对图像视觉信息进行有效编码。在这一阶段，引起广泛关注 的编码方案包括基于方向性滤波的编码、基于图像纹理轮廓的编码和区域基编码。 尽管第二代图像编码技术最终未能进入实用，但它所倡导的充分利用人的主观视 觉特性及图像自身所固有的各种特性来提高编码效率的思想却对整个编码领域产 生了深远的影响，并成为中期阶段的一个重要标志。 中期阶段的另一个重要成果就是混合编码的出现和发展。经过几十年的研究 和探索，人们逐渐认识到单纯通过一种编码技术很难去除图像存在的多种相关性， 而将多种编码技术有机地结合起来形成一种最佳组合能够得到对图像数据的更大 程度的压缩。混合编码研究的一个直接成果就是j p e g 图像压缩国际标准的诞生， 它融离散余弦变换( d c t ) 、d p c m 、视觉加权标量量化和熵编码于一身，达到了 很高的性能指标。j p e g 标准的出现，成为数字图像编码技术发展的一座里程碑， 许多方法都以它作为评价自身性能优劣的参考，因此有人称之为“图像编码四十 年研究成果的结晶”。对于混合编码研究的另一个成果是，许多早期的编码技术如 方块截断编码、预测编码等又有了新的用武之地，拓宽了其应用领域。 需要指出的是，上述有损编码中的信息损失( 误差) 是在量化阶段产生的， 因此，如何设计最优性能的量化器直是各个阶段的重要研究课题。1 9 5 9 年， s h a n n o n 在率失真理论中论述了矢量量化( v q ) 的性能总是优于标量量化( s q ) ， 当编码长度趋于无穷的情况下，比特率和失真之间的关系可达到率失真界，v q 编 码技术就是这一论断的技术实现。早期研究多围绕s q 最优量化区问的划分和最优 量化值的求解进行探索，七十年代后期出现的l b g 算法极大地推进了矢量量化研 究的进展，包括对失真测度的探讨、码书设计、各种矢量量化系统的研究、快速 搜索算法等等，它对于中期阶段的混合编码及新数学工具的引入都具有重要的意 义。 在这一阶段还出现了以视觉的空间频率特性为出发点的子带图像编码技术， 它具有多分辨率和渐进传输的特点，对后期小波编码技术的发展有着直接的影响。 三、当前阶段的进展( 8 0 年代今) 这一阶段的编码技术又可称为现代图像编码技术，区l 列于经她图像编码技术， 其最大特点是引入了新的数学工具和理论。从8 0 年代未到9 0 年代中期，大地崭 j p e g 2 0 0 0t 】，j 、波变换与亿编码器的研究与实现 新的数学理论成果被引入图像编码领域，为图像编码技术的发展注入了巨大活力。 这些数学工具足：小波理沦、分形几何理论、享f | i 经网络理论和计算机视觉理论。 小波理论在9 0 年代受到众多领域科技工作者的商度重视。作为数学和工程应 用等学科共同研究的结品，小波变换在信号分析、图像处理、地震勘探、量子物 理和非线性科学等诸多领域得到广泛应用。小波理论为各种信号及图像处理方法 提供了一种统一的分析框架，成为当前信号与图像处理等众多领域的研究热点l u 。 在图像编码领域，由于具有描述非平稳信号的独特优点，小波变换可将图像 信号分解成不同空间分辨率、不同频率特征和方向性特征的子图像信号，这便于 在失真编码中综合考虑人的视觉特性，同时也利于图像的逐渐浮现传输。另外， 它作用于图像的整体，在有效去除图像的全局相关性的同时，使量化误差分散到 整个图像中，避免了j p e g 方法带来的“马赛克”方块效应。所有的这些优势使得 它成为一种极有前途的编码方法，它所具备的高压缩潜力也正不断为各国学者的 研究成果所证实。近年来涌现出来的一些基于小波变换的压缩算法，结合特定的 量化和编码方法，普遍能够在高压缩比下获得比j p e g 更为理想的压缩性能。其中 较为突出的是s h a p i r o 提出的内嵌零树( e z w ) 编码方法【3 】和s a i d 与p e a r l m a n 提出 的基于分层树集合分割( s p i h t ) 编码方法1 4 i 。当前最新提出的j p e g 2 0 0 0 标准中 的e b c ot f q 方法能够取得更为优秀的压缩效果。 此外，随着8 0 年代中期人工神经网络( a r t 驴c i a l n e u r a l n e t w o r k ，a n n ) 研究 的兴起，许多学者开始尝试将a n n 引入图像压缩领域。后来出现的模型基编码的 思想是建立在计算机视觉、模式识别和形态学等多种理论的基础上。它突破了 s h a n n o n 的信息理论框架，通过对图像主体建立模型，用少量参数来表征整个图像， 是实现低比特率编码的有效方法。适合于一般的活动图像编码。 总之，图像编码技术发展到今天，使其具有更广泛的理论基础，吸收和继承 了前面阶段的成果，特别注重各种算法的相互渗透和补充，使此阶段的编码技术 达到了更高的性能。随着对图像信源和人类视觉系统的深入理解，人们更加强调 编码质量的视觉无失真( v i s u a ll o s s l e s s ) 要求，侧重于图像的可理解性和视觉上 的信息无损，丽不过分强调精确的数字表示。另外随着高速芯片的不断发展使图 像编码技术特别是原来难度较大的编码方法的硬件实现成为可能，涌现出一大批 符合国际标准的编解码芯片。这将进一步促进图像通信的快速发展。 然而，这一阶段的编码技术仍在成长和完善过程中，一些先进的编码方法的实 用化更需要进一步的努力。 1 3 图像数据压缩标准的研究概况 为了在全世界范田内促进数据压缩技术的应用，自上个世纪8 0 年代初到本世 第一章绪论 纪初，国际标准化组织( i s o ) 、国际电工委员会( i e c ) 和国际电信联盟( t u ) 下属的国际电撅电话咨询委员会( c c i t t ) 陆续完成了一系列数据压缩与通信的建 议和标准，包括二值图像压缩编码标准j b i g 、静止图像压缩编码标准j p e g 和 j p e g 2 0 0 0 、序列图像压缩编码标准如h 2 6 1 、h 2 6 3 、m p e g i 及m p e g i i ， m p e g i v 。这些国际标准的建立集中体现了图像编码五十年的研究成就，不仅极 大地推动了数据压缩技术的实用化、产业化，同时也在一定意义上刺激了信源理 论研究的进一步拓展，其部分标准如表1 1 所示。 表1 1图像数据压缩的国际标准一览表 i图像编码国际建议和标准 标准名称( 时间)应_ 【_ j 领域特点 c c i 丁丁下4 三类传真机文件压缩采用一维m h 和二维m r 编码 ( 1 9 8 0 ，1 9 8 4 ，1 9 8 8 ) c c i t t t 6 ( 1 9 9 2 )四类传真机文件压缩无噪声编码，采用m m r 编码 j p e gt 8 l 彩色或灰度静止图像压采用d c t 块变换、自适应量化、游长编码平| f i s o1 0 9 1 8r 1 9 9 1 1缩熵编码；基于d p c m 预测的无失真压缩 j b i gt 8 2 1二值和灰度图像( 比特 无失真压缩，多分辨率结构和自适应预测， i s o11 5 4 4 ( 1 9 9 2 )面) 和传真文件压缩 压缩比高于t 4 和t 6 ；适应累进压缩 c c l t t h2 6 l 数字基群传输会议 图像尺寸为c i f 或q c l f ，p 6 4 k b i v s 速率，1 ( 1 9 9 0 ) 电视和可视电话编码方法为帧间预测运动补偿+ d c t 定义了i 、p 和b 帧进行预测以适应随机存取 m p e g i ( 1 9 9 1 )视频、数字存贮 的要求，速率小于1 5 m b i t s 视频、h d t v 和比特率扩大到6 0 m b i t s ，支持h d t v 格式， m p e g i i ( 1 9 9 4 ) 数字存贮分级编码，分辨率和信嗓比可潮 综合使用帧内、帧间翱变换编码，采刚重蚤 h 2 6 3 ( 1 9 9 6 )低比特率视频传输的方块运动补偿，图像尺寸为c i f 或q c i f 等，速率一 6 4 k b p s ，半像素精度运动 h 偿 声音视频通信、多媒体基于内容的交互性，低比特率，高压缩比， m p e g - i v ( 19 9 8 ) 图像传输通用的存取，有灵活性和可扩充性 彩色或灰皮静止幽像 小波变换，e b c o t 内嵌编码，支持幽像的渐 j p e g 2 0 0 0 ( 2 0 0 0 ) 进传输茅“随机访问，是目前静e 酗像压缩的 压缩 最新囤际标准 1 4 本文的主要研究内容 在图像编码领域中，商性能的压缩算法一直足人们不懈追求的门标。高散 一6 j p e g 2 0 0 0 中小波变换与t 2 编码器的研究与实现 像压缩方法的硬件实现更是其走向应用领域的关键一步。本文所做的工作包括了 三个部分。第一，研究了不同小波基对图像压缩编码的算法性能上的影响及其硬 件实现复杂度；第二，研究了j p e g 2 0 0 0 算法结构，制定j p e g 2 0 0 0 中小波变换和 t 2 编码器硬件实现方案，第三，采用高速f p g a 芯片v i r t e x 和s p a n t a n 系列 实现了图像压缩。具体内容如下： 】) 在小波多分辨率分解中，各层次的结构相关性十分明显。如何利用这种相关性 是获得高压缩比的一个主要途径。本文中研究了采用不同小波基与e b c o t 算法 楣结合的性能a 试验表明，这种嵌入式( e m b e d d e d ) 的结构能自然逐次浮现传输。 2 ) 分析了小波变换的算法结构，比较了s + p 变换及与( 5 ，3 ) 小波变换的结构以及 使用卷积方法与提升方法复杂度。 3 ) 分析了j p e g 2 0 0 0 中t 2 编码器的算法结构并对其进行硬件化改进，提高n 编码 器处理速度，减少了所用的片内存储器。最后，用高速f p g a 芯片v i r t e x 和 s p a n t a n 系列实现了图像压缩。 本文的安 4 h z n - f ：第一章概况的介绍了图像编码技术的历史、现状与发展趋 势：第二章首先介绍了小波分析中的一些基本概念和理论，分析了小波变换的性 能，然后引出小波变换在图像压缩编码中的应用；第三章介绍了最新的国际标准 j p e g 2 0 0 0 的核- t h , 算法及其特性：第四章给出了小波变换的基本框架和硬件实现方 案：第五章给出了j p e g 2 0 0 0 中t 2 编码器的硬件改进算法及其硬件实现方案。 第二章小波变换基本理论 第二章小波变换基本理论 【摘要1 本章首先简要介绍小波理论的发展历史， 种小波变换、提升整数小渡变换等。在此基础上， 7 然后阐述了小波理论的基本概念，包括各 介绍了图像小波变换的基本知识。 2 1 引言 小波来源于f o u r i e r 分析的不足。在经典信号分析中，f o u r i e r 变换无法同时 得到信号的时域和频域特性，而小波采用可变的时一频窗口可以对信号进行局部 性分析，弥补了f o u r i e r 分析的不足。原则上讲，以往一切f o u r i e r 变换的应用领 域均可通过小波变换来加以应用。在小波的发展历程中，不同领域的许多学者做 出了大量杰出的贡献。 1 9 1 0 年，h a a r 提出了小波规范正交基，这是最早的小波基，当时并没有小波 这一词。1 9 3 6 年l i t t l e w o o d 和p a i e y 对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理 论，对频率按2 进行划分，其傅立叶变换的相位变化并不影响函数的大小，这是 多尺度解析的最早思想来源。1 9 8 1 年，法国地质物理学家m o r l e t t “在分析地质数 据时基于群论首先提出了小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 这一概念，之后他又与法 国理论物理学家g r o s s m a n 共同提出了连续小波变换的几何体系。1 9 8 5 年，法国 大数学家m a y e r r ”首次提出了光滑的小波正交基，后被称为m e y e r 基，对小波理 论做出了重要的贡献。1 9 8 8 年，女数学家d a u b e c h i e d 7 “4 1 提出了具有紧支集光滑 正交小波基- - d a u b e c h i e s 基，加速了小波的应用研究。1 9 8 9 年，m a l l a t 创造性地 将计算机视觉领域中的多尺度分析方法引入到小波基的构造中，首次统一了以静 s t o m b e r g 、m e y e r 和b a t t l e 等提出的各种小波的构造方法，并研究了小波变换的 离散形式和给出了m a l l a t 塔式分解和重构算法，从而为小波理论的工程应用铡平 了道路。至1 9 9 0 年日本京都国际数学家大会，小波理论得到了深入和长足的发 展。1 9 9 0 年，c o h e n t ”i 等人构造出具有线性相位的双正交小波。同年。c k c h u i i ”1 1 ”】和w a n g 构造了基于样条分析的单正交小波，并讨论了具有最好局部化 性质的尺度函数和小波函数。1 9 9 1 年c o i f m a n 和w i c k e r h a u s e r 等人捉出丁小激( 旦 的和小波包库的概念，并成功地应用于图像压缩编码中。1 9 9 2 年v e t t e r l i t “1 推导 具有一定正则度的小波i 【 波器组的设计方法。9 0 年代中期以后，小波方i f i i f f , j 研 究主要集中在理沦成果的应用方面。迄今为止，国内外已经出版了大j 硅有关小波 分折方丽的+ 擘：格hj 浮术擘射p 州”i 唧 1 1 。 8j p e g 2 0 0 0 中小波变换与t 2 编码器的研究与实现 在数学家们看柬丛于小波变换的小波分析是泛函分析、数值分析、调和分 析等半个多世纪以来发展的最完美结品。在工程应用领域，特别时在信号分析、 【绷像处理、模糊识别、语音识别、量子物理、地震勘测、c t 成像等领域，它被 队为是近年来在工具及方法上的重大突破。 2 2 小波分析概述 2 2 1 小波变换基本定义 所谓小波变换实际上就是将信号向一系列小波基上投影，它包括连续小波 变换( c w t ) 和离散小波变换( d w t ) 。c w t 理论就实质而言是建立在群论的 基础上的它对信号细微变化的探测非常灵敏：d w t 理论主要是建立在多尺度 分析或滤波器基础之上的，其技术关键在于如何构造正交的小波基。 一连续小波变换( c w t ) 定义1 函数( z ) 在2 ( 尺) 上的连续小波变换定义如下： 哪棚= e 朋) y 【孚卜 1 ) 其中，尺度5 r + ，时间x r 。而对于e ( r ) r ( 月) ，当且仅当其f o u r i e r 变 换( 甜) 满足条件： q = ：等虮。 ( 2 ：) 时，称函数( ，) 为相容小波函数或基本小波函数。由( 2 - 1 ) 可知，小波变换的 实质是原始信号与经过尺度伸缩后小波函数簇的相关运算。通过调整尺度因子， 可以得到具有不同时频宽度的小波以匹配原始信号的不同位置，达到对信号的局 部化分析。 小波变换，( s ，x ) 是尺度因子s 和时间( 位置) 参量x 的二元函数，由变量 ( s ，x ) 定义的平面称为尺度一空间平面，在此平面上可清晰地得到信号在不同频率 和时刻的特性描述。设。为y ( 国) 的中心频率，仃。为其有效频宽，定义为： 盯。2 = r ( 一甜。) 2 l 矿( ) 1 2 如 ( 2 3 ) 则经过尺度伸缩后的小波y ，( ) 的中心频率为甜。s ，有效频宽为o o 肛，在对数 标尺下，所有尺度的小波滤波器具有相同的相对频宽。即： 0 3 0 。o o f l , = l o g ：s 矿sl o g ：篙 _ 4 第二章小波变换基本理论 类似于频域，定义小波函数( x ) 的有效时宽盯，为： 口：= r 工2 i ( 工) 2 出 ( 2 5 ) 则伸缩平移小波矿。( x 一) 的时宽中心为x 。，有效时宽为s g ，。在尺度空问平面 内，由k s a ，+ j 吼】x i 堕一旦，堕+ 粤i 定义的矩形窗口反映了小波变换的 l sss5 j 时( 空) 频分辨力。当尺度增加时，小波滤波器的中心频率减小，频宽变窄，而 时窗宽度变宽，这意味着在低频带内有越来越高的频率分辨率。当尺度减小时， 中，i l , 频率增大，频窗变宽，时窗宽度变窄，这意味着在信号高频带将有更好的时 问( 位置) 分辨率。因此，小波变换具有可变分辨率的“自动变焦”性质。它能 在时( 空) 域和频域中同时具有良好的局部化性质，将信号分解成交织在一起的 多种频率成分，并针对不同的频率成分自动调节分辨率，从而精确测量出信号局 部特陛。 二离散小波变换( d w t ) 在实际应用中，尤其是数字信号处理领域，为了计算上的方便，需要使用离 散小波变换进行分解，也就是将f ( x ) 的积分形式展开为离散和形式。所谓离散小 波就是将y 。- 0 ) 的参数a 和b 离散化。参数a 和b 离散为 a = 日：，b = n b o d ? ，m ，九z( 2 - 6 ) 这时，离散小波可表示为 y 。( x ) = l a o l 一2 ( 盯； x - n b 。) ，”z ( 2 7 ) 特殊地，当a o = 2 且6 。= 1 ，可以得到如下二进( d y a d i c ) 小波： y 肌。( x ) = 2 - m 12 矿( 2 一”x 一，z ) ， 晰，胛z ( 2 8 ) 2 2 2 多分辨率分析与m a l l a t 算法 一多分辨率分析( m u l t i - r e s o l u t l o na n a l y s i s ，m r a ) m r a 的概念最早是由m e y e r 和m a l l a t 引入的，后来又由m a l l a t 创造性地将 m r a 理论用于小波分解与重构的算法构造上。首先引入m r a 的定义： 定义2 平方可积空间r ( r ) 中的一系列闭子空间( 一 ，。称为r ( r ) 的一个多分辨 率分析，满足如下条件： ( 1 ) 一致单调性：矿，c y h ，j z ( 2 ) 渐进完全性：q _ = 0 ，望_ = f ( 尺) ( 3 ) 伸缩不变性：f ( x ) 甘f ( 2 x ) y ，+ l ，j z ( 4 ) 平移不变性：f ( x ) 曹f ( x k ) ，- ，ke z 一1 0 j p e g 2 0 0 0 中小波变换与1 2 编码器的研究与实现 ( 5 ) g e i s 丛存在性；存在烈z ) 心，使掰 声0 一女) 。她的r e i s z 基。哪 v o = 甲口n 劬( 工一女) ，k z ( 2 9 ) 菇存在0 a b + o 。，使得对任意序列 a n 。，2 ，有 a 弛f s 莓a ( p ( x - n 2 b 弛1 2 p 功 多分辨率分析( m r a ) 定义了一个对l 2 ( r ) 逐渐逼近的空间序列 ，即有 l i m r ，= 可r ，= l 2 例。由上述定义可知，每个子空间y ，都对应着一组基 ，。l ， ，z 7 o 1j 它们都是由同一个函数( x ) 经过伸缩和平移构成的，生成公式如下： 庐， ( x ) = 2 - j 2 庐( 2 7 x 一) ，k z( 2 1 1 ) 函数( x ) 称为尺度函数。 二m a l l a t 算法与滤波器组 在上述的多分辨率分析的理论框架下，m a l l a t l 2 2 8 3 1 设计出了基于滤波器组的正 交小波分解和重构算法m a l l a t 算法，通过它可以实现信号多分辨的快速分 解。设两个算子分别为： 4 。d ，厂2 。2 巳，。 ”z ( 2 1 2 ) 珑，2 j 。e z2d 。 ”z ( 2 - 1 3 ) 则爿：厂和d ：厂分别对应于厂在吃和空间上的投影系数。可以证明分别存在 组具有完全重构特性的低通滤波器 ( ”) 和高通滤波器g ( n ) ( 确切地说应为带通滤 波器) ，满足如下关系式： e f + 1 ，。= ( t 一2 n ) q ，女 n z ( 2 - 1 4 ) 巩扎。= g ( 七一2 n ) c * 疗z e 2 ( 2 - 1 5 ) 相应的合成表达式为： 巴，。= ( 一2 n ) c 。扎女+ g ( k 一2 n ) d 儿女 ”z ( 2 - 1 6 ) 女e zi e z 上式可以得出利用m a l l a l 算法进行信号的正交小波分解与合成的框图，如图 2 】所示。 第二章小波变换基本理论 图2 】m a t l a t 算法的分解与台成 号 由上图，m a l l a t 算法通过一组分解滤波器h 和暑对信号进行滤波，然后对输 出结果进行下二采样来实现正交小波分解，分解的结果是产生长度减半的两个部 分，一个是经低通滤波器产生原始信号的平滑部分，另一个则是经高通滤波器产 生原始信号的细节部分。重构时使用一组合成滤波器万和蚕对小波分解的结果滤 波，再进行上二采样来生成重构信号。多级小波变换可以通过级联的方式进行， 每一级的小波变换都是在前一级分解产生的低频分量上的继续，合成是分解的逆 运算a 算法中，h 、g 滤波器的脉冲响应函数分别用h 。、g 。来表示，它们必须满 足下列条件： ( 1 ) 正交性：e h 。h 。= 5 。，g g 。= 民。 ( 2 1 7 ) tt ( 2 ) 规范性：h 。= 压，g 。= 0 ( 2 18 ) t ( 3 ) g i = ( 一1 ) 。h l k( 2 ，19 ) 上述条件保证了小波分解的精确重构。要想构成正交变换，还须满足： ( 4 ) h k = h 薛= g 一( 2 - 2 0 ) 满足( 4 ) 的两组滤波器互称为正交镜象滤波器( q u a d r a t u r em i r r o rf i l t e r , o m f ) 。 小波分析中的m a l l a t 算法与子带分解中滤波器组( f i l t e rb a n k s ，f b ) 具有完 全相同的形式。实际上，小波与f b 具有非常紧密的联系，或者说本质上是统一 的。离散小波分解可以通过f b 实现，而满足一定正则性( r e g u l a r i t y ) 条件的朋 也可导出连续小波基。与传统的f b 设计方法相比，小波从更深的层次揭示了f b 的内在数学涵义，并从新的角度提供了精确重构滤波器组( p e 啦c tr e c o n s t r u c t i o n f i z | e rb a n k s , p r f b ) 镪构造责法。 2 2 3 提升小波变换 提升步骤是一利一不依靠傅立叶变换构造小波的新方法，通过提升构造小波 包括三个步骤。一个觌范的提升例子包括三个阶段：( 1 ) 分解，即首先通过 l a s y 小波把离敞的输入数据分为两个子集，偶数集合x e 和奇数集合x d ； 1 2 j p e g 2 0 0 0 中小波变换与r 2 编码器的研究与实现 ( 2 ) 预测，保持偶数样本不变，利用插值细分方法柬预测奇数样本；( 3 ) 更 新。小波分解的平滑分盈利用小波系数值进行更新以使最后一级分解所得的系 数等于原始信号的平均值。图2 2 所示为这三个步骤的结构图。在经典的小波 变换中，小波系数通常被认为是浮点数。这是因为使用的变换滤波器组中使用 的滤波系数都是浮点数。而在提升方案中却非常容易的保留整数数据，尽管数 据的动态范围会增加，但是却获得了可逆变换的可能。逆变换可从正变换快速得 出，仅需把加号变为减号、数掘流反向即可提升结构与传统方法的主要区别就是 它不依赖傅立叶变换。这种提升步骤能用来构造第二代小波，即不必从一个母函 数经过平移和伸缩来得到小波函数。 图2 2 预测和更新提升步骤结构图 2 3 小波变换用于图像编码的优点 d 我们知道，图像信源的最大特点是非平稳特性，也就是不能用一种确定的数 学模型来描述，而小波的多分辨率分析特性使之既可高效地描述图像的平坦区 域，又可有效地表示图像信号的局部突变( 即图像的边缘轮廓部分) ，它在空域 和频域良好的局部性，使之能够聚焦到图像的任意细节，相当于一个具有放大缩 小和平移功能的“数学显微镜”。因此，小波非常适合于进行图像处理。 小波在图像处理中的一个直接应用便是小波图像编码，其出发点在于多尺度 信号分析和基于小波正交基族的信号分解。研究表明，大脑皮层单细胞接受的视 觉信号具有方向性，从视网膜进入大脑皮层的信息处理具有方向滤波环节。小波 变换从多个侧面体现了人眼感知特性，其空间一尺度分层结构与人的视觉系统特 性相似，其多方向梯度提取的特点较为符合视觉生理结构。因此，基于小波的编 码方法可以得到与h v s 相一致的编码质量，为所谓的“感知压缩”提供了客观 依据i 。 在小波理论应用于图像编码之前，变换编码完全由d c t 占统治地位，尤其 是基于d c t 的压缩编码体制已经形成了以j p e g 和h 2 6 1 为主体的国际标准i t u 建泌，并广泛应用于图像压缩和视频处理的各个领域。基于8 8 方块的d c t 变 换能够很大程度上去除块内的数据冗余，但是难以消除图像整体的结构冗余，在 第二章小波变换基本理论 低比特率下，明显的方块效应是其主要缺点。另外，强制的分块不利于综合考虑 人的视觉特性。对比于传统的d c t 块变换，小波变换具有以下优点： 1 ) 小波变换具有熵保持特性，能够有效地改变图像的能量分相，同时不损 伤原始图像所包含的信息i 2 ) 小波分解后大部分能量集中在低频子图的少量系数上；而大量的高频子 圈系数值普遍较小，且存在明显的相关性，有利于获得较高的编码增 益： 3 ) 小波变换作用于图像的整体，既能够去除图像的全局相关性，又可将量 化误差分散到整个图像内，避免了方块效应的产生； 4 ) 多级分解后形成的不同分辨率和频率特征的子带信号，便于在失真编码 中综合考虑视觉特性，同时有利于图像的逐渐浮现传输； 所有上述的特点都表明小波变换比d c t 变换更有利于得到高性能、多用途 的图像编码。目前，基于小波的多分辨率编码方法已经引起了普遍关注，最新的 静止图像压缩标准j p e g 2 0 0 0 中采用的就是小波变换方法。 2 4 图像的二维小波变换 对于二维数字图像信号，离散小波变换可以通过在水平和垂直方向上分别应 用h 、g 滤波器进行维滤波来实现，如图2 3 所示： ( a )二维离散小波分解 图 图 图 圈 一 一兰 一 一 始像一 鼢坠 一1 4 j p e g 2 0 0 0 中小波变换与t 2 编码器的研究与实现 硎滤波 行滤波 ( b )二维离散小波重构 图2 3 二维离散小波变换的m a l l a t 实现 二维离散小波变换每次分解产生一个低频子图l l 和三个高频子图，即水平了 图l h 、垂直子图h l 和对角子图h h 。下一级小波变换是在前级产生的低频子图 l l 的基础上进行的，如此重复三次，可以将原始图像分解成三级十个子图：l l 3 与l h i ，h l i ，h h i ( i = 1 ，2 , 3 ) ，其中l l 3 为最低频带子图。分解过程如图2 4 所 不。 图2 4 三级小波分解示意图 l l 3 l h 3 h l 3 h h 3 由于传统小波变换定义在双边无限的开区间上，对有限长度信号进行加零延 拓或周期延拓，这必然造成图像边界产生不连续的边界效应。该现象反映为分解 系数在边界处呈现突跳的锐峰，使后期量化编码过程对之分配多余的码字，降低 压缩效率，并引起图像边界处产生褶皱和暗斑等失真。为了减少边界效应，在进 行卷积运算之前比较多的文献建议首先对图像数据进行边界对称扩展处理。