（应用数学专业论文）广义凸性下的集值优化最优性条件.pdf

a b s t r a d a b s t r a c t t h e s e t - v a l u e d o p t i m i z a t i o n p r o b l e m w i t h c o n s t r a i n t s ( s o p ) i s c o n s i d e r e d i n t h e s e n s e o f s tr ic t e ffi c ie n c y in h a u s d o r ff lo c a ll y c o n v e x l in e a r t o p o lo g ic a l s p a c e s . g i v e n a p r o p e r ty o f t h e i c - c o n e r c o n e v e x l i k e n e s s， u n d e r t h e a s s u m p t i o n o f t h e i c - c o n e - c o n v e x l i k e n e s s a n d c o n d i t i o n ( c q ) , b y a p p l y i n g a l t e rn a t i v e t h e o r e m , k u h n - t u c k e r t y p e ， l a g r a n g e t y p e a n d s a d d l e p o i n t s t y p e o p t i m a li ty c o n d i t i o n s o f v e c t o r s e t - v a l u e d o p t i m i z a t i o n p r o b l e m ( s o p ) a r e d e r i v e d r e s p e c t i v e l y . t h e s u b g a d i e n t , u n d e r t h e s t r i ct e ff c i e n c y , o f a s e t - v a l u e d m a p p i n g i s d e v e l o p e 斌 t h e e x i s t e n ce o f t h e s u b g r a d i e n t i s p r o v e d . o p t i m a li ty c o n d i t i o n s i n t e r m s o f l a g r a n g e m u l t i p li e r s f o r a s t r i c t l y e ff i c i e n t p o i n t a r e e s t a b l i s h e d i n t h e g e n e r a l c a s e a n d i n t h e s - - wi t h i c - c o n e - c o n v e f l i k p d a t a , k e y w o r d s , s t r i ct e f fi c i e n c y , i c c o n e - c o n v e x l i k e n e s s , s e t - v a l u e d o p t i mi z a t i o n , n e a r - s u b c o n v e x t i k e n e s s ; s t r i c t l y e f fi c i e n t s u b g r a d i e n t ; o p t i m a li ty c o n d i t i o n s 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明 所呈交的学 位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的 研究成果。 据我所知，除了 文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中 不包 含其 他 人己 经 发 表 或 撰 写 过的 研 究 成果， 也不 包 含 为 获 得 b a些 或 其 他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学 位 论 文 储签 名 (手 14 ): 杠 勇签 字 日 期 :=o0/ 年 月 2 1 p 07 年 石 月才日 学位论文作者毕业后去向: 工作单位: 通讯地址: 3n # -s 浙 江林i 砚 龙 浙 确! 娇王利 板 对目 珠 “ 介 电 话 :1 3 3 1 7 0 0 8 47 邮 编 : 3 0 3 0 o 第 1 章 引论 第 1 章 引论 集值优化理论在不动点、 变分学、 微分包含、最优控制、数理经济学等领 域有着广泛的应用，因而集值优化理论得到了 广泛的重视与研究。学者们从不 同的角度去深入研究它，并取得一系列丰富的结果。 下面我们从集值优化问 题的最优性条件方面概述一些与本文研究内容密切 相关的结果。 设x为局部凸拓扑线性( 赋范) 空间， y 为h a u s d o r ff的局部凸拓扑线性( 赋 范) 空间，k, e 分别为x, y中的闭、凸、 点 锥。 f : x一2 . g: x一2 z 是 集值映射。 考虑如下的集值优化问题: ( s o p ) m in f (x ) 3 1 g ( x ) f l ( - e ) s # ,x e x , . ( s o p ) 的 嗬集 用 。 表 示 ， 即 v 一 卜 e xg (x ) 门 (- e ) - 好 . 不少的学者对集值优化问题的各种有效解的最优性条件进行研究，l i z .m 建立了 在弱有效意义下 ( s o p )的f r i t z j o h n和k u h n - t u c k e r 型非导数 最 优 性条 件.l i z .f v . 1 建立了 在弱 有效 解 和b e n s o n 真有效 解 意义 下的l a g ra n g e 型 最 优 性 条 件 . x u y h bj 9 1 在 近 似 锥 次 类 凸 假 设 下 给 出 了( s o p ) 超 有 效 元l a g r a n g e 型 最 优性 条 件 及 在近 似锥 次 类凸 假设 下( s o p ) 强有 效元的 k u h n t u c k e r 型非导数最优性条件。 s a c h r h 18 1 在近似锥次类凸 假设下利用鞍点 刻 画 了 弱 有 效 解b e n s o n 真 有 效 解 的 最 优 性 条 件 ， c o r le y h .w e m l 借 助 于 集 值 映射的图给出了集值映射图导数的概念， 并建立了( s o p ) 在弱有效意义下的 最 优 性 条 件. j a h n j .和c h e n c cy n x l进行了 推 广， 建 立 用 映 射的 上 图 代 替 图 而 定 义 的 切 导 数 概 念 ， 但 是2 1.22 1 中 定 义 的 导 数 是 单 值 的 . 盛 宝 怀2 i 借 助 映 射 的 上 图引进了集值影射的上图导数， 利用上图导数给出在b e n s o n 真有效意义下的f r i tz - j o h n 型必要条件和k u h n - t u c k e r 型充分条件;并且引入集值映射的 广义 第 1 章 引论 梯度， 利用广义梯度刻画b e n s o n 真有效元的最优性条件。j a i n k . 定义了 集值 映 射 的 广 义 上 图 导 数间， 并 得 到了 集 值 优 化问 题 局 部 真 极小 解的 导 数 性 最 优 性 条件。 另一方面，由于有效点、弱有效点的范围太大，其他有效性的概念相继被 提 出 . b o r w e in 121 1 9 9 1 提 出 的 超 有 效 点 的 概 念 统 一 了 b e n s o n . h e in g 等 先 后 提出的真有效点，并能用严格正泛函 来标量化，因此引起学者们的极大关注和 兴 趣 . z h e n g l2a 2 71 把 超 有 效 解 的 概 念 从 赋 范 空 间 推 广 至 局 部 凸 拓 扑 线 性 空 间 ， 并研究了 它的 存在性， 标量化， 稠密性等问 题。 但是b o r w e i n 超效点的 存在性 却 很强 ， 即 使 象 紧 凸 集 这 样 的 集 合 都 难以 保证 超 有 效 点 的 存 在. 傅 万 涛12 5 m 提 出了严有效点的概念，它有良 好的性质，即每个严有效点都能用严格正泛函进 行标量化，同时它保持了 超有效点的主要性质，而且存在条件比超有效点弱得 多 . 在 局 部 凸 拓 扑 线 性 空 间 ， c h e n g 29 引 入 了 强 有 效 点 的 概 念 ， 它 推 广 了 超 有 效性和严有效性， 且具有良 好的性质， 即强有效点能用基泛函来标量化。 因此， 研究集值优化问题在超有效解、严有解、强有效解意义下的最优性条件是很有 必要的。 大家知道优化问题充分条件的给出少不了凸性的假设，我国的学者先后给 出类凸性，次类凸性，广义次类凸，近似次类凸，在这些凸性中近似次类凸是 一 种 最 广的 概 念l3 - 7 1 ， 它 能 被 成 功 的 运 用 推导 各 种 有 效 性的 充 分 与 必 要 条 件. 虽 然近似次类凸的定义对锥d和e不要求任何拓扑性质， 但是当 用它证明最优性 结果时，锥具有非空内部的条件必须满足。然而，这个要求在很多最优化问题 都不 能 被 满 足， 例 如， 空 间 l f 或l p 的 正 锥. 2 0 0 5 年 ， p h s a c h l l ， 介 绍了 一 种 新 的广义凸性， 叫做内部锥类凸“ c - c o n e - c o v e x l i k e n e ss) . 它是近似次类凸的推广。 1 . 1预备知识 以下总是假定x为拓扑线性空间， y , z为h a u s d o r ff局部凸拓扑线性空间， d和e 分别是y 和z中的凸锥. y 和z. 分别为y 和z的 拓扑对偶空间。 设m为 y 中 的任一子集， 我们以c l m加 m和 c o n e m分别 表 示m的闭 包，内 部和生 成 锥 。 凸 锥 d 的 对 偶 锥 定 义 为 d ， 一 y e y : (y ,d ) 二 0 ,v d e d . 一 个 凸 子 集 第1 章 引论 bcd为锥d的基， 如果。 o c l b 且d 1 0 ) - c o n e b - 俩 : .1 o , b g b ) 。令 b 0 - y e y : 存 f1 ， ” 使 得 (y ，岭 - t, v b e b ) . 1 . 1 . 1广义集值谁凸函数 本节以 下假设x, y , z为实 拓扑 线性空间 ， d是y 中的凸 锥， f: x -2 r 是 集值映射。 f的图定义为 g r a p h (f ) := (x , y ) e x . y :. e d o ,4 f y e f ) . f的上图定义为 e p i 洲:= (x ,y )e x x y : x e d o m ( f j y e f ix j + d . d一凸集值函数:m 为x中的任一凸子集，f: x -2 y 。如果对 xx 2 e m , a e o ,1 j ，均有; lf ( x , ) + ( 1 - a ) f ( x , ) c f ( ar , + ( 1 - a ) x 2 ) + d ,称 f ( x ) 在m上是d一 凸的. f : x - + 2 y 称 为 是 在mc x 上 d 一 近 似 次 类 凸 集 值 函 数 ， 如 果 c l ( f ( m) + i n t d ) . 是凸的， 非空集合a 称为内 部凸“ - c o n v e x ) 的t.l， 如果i n t a 是凸的， 且a c c l i n t a . 非空集合a 称为内 部锥凸 ( i c - c o n v e x )的5 . ， 如果c o nca 是内部凸的。 非空集合a 称为 是内 部锥d凸( i c - d一 . n v e x ) 的i s ) ， 如果a + d是内 部 锥凸的。 f :x - + 2 y 称为 是内 部 类凸( 内 部 锥类凸 ，内 部 锥d 类凸) 的1.1 ， 如 果 im f 是 内 部 凸 内 部 锥 凸 ， 内 部 锥 d 凸 ) 的 ， 其 中 im f - f (x ) - 公 f (x ) . 第 1 章 引论 1 . 1 . 2切导数 定 义1 . 1 . 2 . 1 (a ) 设( x， : ) 和( y， ， ) 是 实 赋 范 线 性 空 间 ， f : x - 2 y 是 集 值 映 射 。 集 合 g r a p h (f ) :二 1 (x , y ) e x x y :x e d o m (f y e f (x ) 称 为f的图。 和 ) 设e 是实 赋范 线 性空 间，s 是e 的 一 非空 子 集，m a e c 1s , s 在%的 切 锥 t (s , m o ) 是 所 有 满 足 下 面 条 件 的 h e e 的 集 合 : 存 在 正 数 列 认 i 以 及 序 列 权 c s 使 得 恕w . % 与悠t. (- . 一 % 卜 h . ( ) 设( x， lx ) 和( y， ! u. ) 是 实 赋 范 线 性 空 间 ， f : x 一 2 y 是 集 值 映 射 仅 y 卜 g r a p h (f ) 是 给 定 元 素 ， 集 值 映 射 d f (x ,y ) :x 2 y它 的 图 等 于 f 的 图 在 (x , y ) 处 的 切 锥 ， 即 g r a p h ( d f ( x ,y ) ) - t ( g r a p h ( f ) , (x , y ) ) 称 d f (x , y ) 为 f 在 仅 y ) 处 的 切 导 数 . 定 义1 . 1 . 2 . 2 ( a ) 设( x， u : ) 和( y， ， ) 是 实 赋 范 线 性 空 间 : y 是由 序锥d导出的 偏序线性空间; 设s 是x的 非空 子集，f : s -2 r 是集 值 映射。 集 合e p i ( f ) - ( ( x , y ) e x x y 卜 e s , y e f ( x ) + d ) 是f 的 上 图 . ( b ) 设 ( x , y )e xx y 是给定的 元素， 且x e s , y e f ( x ) ， 一个单 值映 射 d f ( x , y ): x -y ， 它的 上图定义为与f的 上图 在( x , y ) 处的 切锥相 等， 即: e p i ( d f ( x , y ) )一 t ( e p i ( f ) , ( x , y ) ) ， 则称。 f ( x , y ) 为f在 ( x , y ) 导数与切上导数的本质区别在于前者的图被后者的上图代替， 射，后者是单值映射。 的切上导数。切 且前者是集值映 第 1 章 引论 定 义1 . 1 . 2 . 3 一 个 集 值 映 射 几f ( x , y ) : s 一 x 2 r 称 为f在 ( x , y ) 的 广 义切上导数 ( 其中x e s , y e f ( x ) ) ，若 几f ( x , y x x ) - m i n y e y : ( x , y ) e t ( e p if , ( x , y ) ) d x e s - x 其中 m i n u是m的极小元的集合。 2 0 0 3 年， 龚循华和董洪斌为了克服j a h n 和r a u h定义的切上导数不一定 存在的缺陷， 把单值切上导数推广为 集值的 切上导数，其定义为 定 义1 . 1 . 2 . 4 设 (x o , y . ) e b r a p h (f i f 在 (x . , y . ) 的 切 上 导 数 d f (x o , y . ) 是 从x到y 的 集值 映 射， 它的 图 与f 的 上图 在(tx o , y . ) 处的 切 锥相 等， 一 即 g r a p h ( d f ( x o , y o ) ) - t ( e p i ( f ) , ( x o , y o 亦即y e d f ( x o , y o x x ) 当且仅当存在 e p i ( f ) 中 的 序 列 (x . ,y . ) 以 及 正 数 序 列 r. , 使 之 满 足 竺( w ,y . ) 一 (x o , y . ) 及 1im t. (x . 一 x o ,y . - y o ) - (x ,y ) 这个概念的引进使切上导数的存在性得到了保证，去掉了切导数存在的严格条 件，从而得到了 形式简洁的集值优化问题弱有效解的充分必要条件。 1 9 9 0 年 j p a u b i n 给出了 二次切元素集 ( 二次切锥)的 概念其定义为 定义 1 . 1 . 2 . 5设e是一个实赎范空间，g是e的非空子集。设 co e e ,g z e c 1 佑 ) 沿 方 向 。 e e 的 二 次 切 元 素 集 护 俗 ， 又 司 是 满 足 下 面 条 件 的 元素z 的集合: 存 在 序 列 z . c e ,z . .y z ， 存 在 序 列 认i c p 且 人一。 ， 使 得 z + x.ar+ 。 。 . 等 价 定 义二 次 切 元 素 集 : 2 (g ,z ,司 是 所 有 满 足 下 面 条 件 : 的 集 合 : 存 在 a . c p , jo . c p , z. c g , a . 一“ 一 ，( 又) 一 2,z . - z，且 第1 章 引论 、 认 一 刁 一 。 ， 几 仁 . 卜 。 一 刁 一 。 一 : . 从二次切锥的定义可以看出切锥是二次切锥的特殊情形，即当m - 0 时 : ， 仁 z ,0 ) - t (g ,刁 2 19年， j a h n j , i q w n a a , a n d z e i li n g e r p 引 进了 集 值映 射 的 二 次 切 上导 数 的概念，并给出了 无约束的向量集值优化问题的弱有效解的最优性条件。其定 义为 定 义1 . 1 . 2 . 6 设 f: x - y 是 一 个 集 值 映 射 (x o , y o ) e g ra p h f 布 ，卡x x y , f 在 (x o , y . ) 沿 方 向 耘 刁 的 二 次 切 上 导 数 d zf 认 y o ,仄 刁 是 一 个 从 x 到 y 的 集 值 映 射 ， 由 下 式 定 义 : 1 . 1 . 3 d 2f (x o ,y o ,u ,v kx ) - 6 y i(x ,y )e t z p i(f f (x o,y (j 认 0 l 有效性理论 设y为局部凸拓扑线性空间，设mpl 0为y中的任一子集，d是y中的凸 锥，i n t d， 0。 m的有效点记为e ( m, d ) ，即y e e ( m, d ) 当且仅当 ( m一 y ) f l ( - c ) 一 0 1 - m的有弱效点记为w e ( m, d ) ， 即y e w e ( m, d ) 当 且仅当 ( m一 y ) 门 ( - i n t c ) - 么 设b为d的基， m为y 的一个非空子集， x em称为m关于基b的严有 效点，如果存在一个零点的 邻域u使 c l (c o n e (m 一 x ) f l (u 一 b ) 一 td .( 1 . 1 ) 我 们 用f e ( m, b ) 表 示m关于 基b 的 所 有 严有 效点 集. 注1 . 1 19 1 ( 1 . 1 ) 式等价于 co n e 伽一 二 ) 门 少一 川一 护( 1 . 2 ) 第 i 章 引论 而且根据需要，零点的邻域u可取为或开或闭或凸或均衡的。 1 . 1 . 4 集值优化问颐 设f: x一2 , g: x - + 2 ， 为 集值函 数. 考虑下面集 值最优化问 题 ( s o p) s . t m i n f (x ) 翻 云 . r , g ( x ) n ( - e ) o o , x e x , . ( s o p )的可行集用v表示，即v. 在以 下的 部分我们假定x 8 e v , y o 奋 e x . ,g (x ) fl ( 一 : ) * . e f (x . i z o e g (x o ) f l - e . 点( x o , y o ) 称 为 是( s o p ) 的 弱 有 效 元 ， 如 果y o e f e 少 护 ), d ) . 点( x o , y o ) 称 为 是( s o p ) 关 于 基b 的 严 有 效 元 ， 如 果 y o e f e ( f 护 叉 b ) . 第 2 章 内部锥次类凸集值优化问题严有效解的最优性条件 第2 章 内 部锥次类凸集值优化问 题严有效解的最优性条件 本 章 在h a u s d o r ff 局 部 凸 拓扑 线 性空 间 中 考 虑 约 束 集 值 最 优 化问 题 ( s o p ) 的 严有效性. 在内部锥d 类凸的假设下给出了内 部锥次类凸的一个性质， 在内 部锥次 类凸 和条件 ( c q ) 成立的 假设下 ， 利用择一性定理分别得到了向 量集值 优 化问 题 严 有 效 解 的k u h n -t u c k e r 型 ， l a g a n g e 型 和 鞍 点 最 优 性充 分 必 要 条 件。 本章主要结果发表于 南大学报 。 最近一些学者先后提出了凸 性， 类凸性p - 2 1 ， 次类凸 性l 3 4 l ，近 似凸性， 广 义次类凸性， - 6 1 ，近似次类凸性17 1 ， 这其中以 近似次类凸为 最广的概念， 它不 要求锥内 部非空。 但在研究最优性条件时， 锥通常要满足内 部非空的 条件。 然 而有些锥并 不满足这个性质，比 如: l p 0 , 6 e b 。令 b 0 了e y : 存 击， ” 使 得 ( ， ，句 二 t, v b e b . 2 . 1 k u h n - t u c k e r 型最优性条件 定义2 . 1 . 1 ( 9 ) 设b 为d的基， m为y 的 一个非空子集，x * = m称为m关 于基b的 严有效点，如果存在一 个零点的 邻域u使 第2 章 内部锥次类凸集值优化问 题严有效解的 最优性条件 c l (e o n e (m 一 二 门 (u 一 川 一 m . 我们用f e ( m, b ) 表示m关于基b的 所有严有效点 集. ( 2 . 1 . 1 ) 注2 . 1 . 1 91 ( 2 . 1 . 1 )式等价于 伽如 - x ) 门 少- b ) - o . ( 2 .1 .2 ) 而且 根据需 要， 零点的邻域 u 可取为 或开或闭 或凸 或均衡的。 定义2 . 1 . 2 0 i 非空集合a 称为内部凸 “ - c o n v e x ) 的， 如果i n t a 是凸的， 且a cc l i n t a。 定义2 . 1 . 3 i 0 l 非空集合a 称为内 部锥凸 ( i c -c o n v e x ) 的， 如果c o n e a是 内部凸的。 定义2 . 1 a 非空 集合a 称为是内 部锥d凸 ( i c - d - c o n v e x )的， 如果 a + d是内 部锥凸的。 定义2 . 1 . 5 1 1 f : x - + 2 r 称为是内 部类凸( 内部 锥类凸， 内部锥d 类凸) 的 ，如 果 i m f 是 内 部 凸 (内 部 锥 凸 ， 内 部 锥 d 凸 ) 的 ， 其 中 i m f - f ( x ) .u f ( x ) . 习 e 万 引理2 . 1 . 1 1 8 1 若f: x 一 2 r 是内 部锥d类凸的， 则下列陈述有且仅有 一个成立。 ( a ) o e in t c o n e (im f + d ) , (b ) 3y e d (0 ) s.t. (y ,y ) “ 引理 2 . 1 . 2 1 8 1 设a 和b 是y 中的非空子集， i n t a :a 护 . 如果 i n t a + b 是凸 集 且a + b c c l 伽 t o + b ) , 则 in t a + b - in t (a + b ) - in t c l (a + b ) , c o n e in t (a + b ) - in t e o n e (a + b ) . 第2 章 内部锥次 类凸集值优化问 题严有效解的最优性条件 记 l (z , y )为 z 到 y 的 连 续 线 性 算 子 空 间 l (z , y ) - t e l (z ,y ) : t (d ) c c ) . 设f : x.2 r ,g : x 一2 ( f , g ) : x 一2 r .z 定 义 为 ( f , g x x ) - f (x ) . g (x ) o f + t g : x 2 r 定 义 为 (f + t g x x ) - f (x ) + t (g (x ) ) 记d o m f :- x e x : f ( 小 对 x o ， 仁 e x : d o m f 门 d o m g ， 时 . 考虑下面集值最优化问 题 ( s o p ) m in f (x ) s .t g (x ) f l ( - e ) # , x e x , . ( s o p ) 的 可 行 集 用 v 表 示 ， 即 v 一 e x . , g (x ) f l ( - e ) o 时 . 在 以 下 的 部 分 我 们 假 定 x o e v , y o e f (x o h z o e g (x a ) fl 一 定 义 2 .1 .6点 ( x o , y o ) 称为 是 ( s o p ) 关于 基b的 严有 效 元， 如 果 y o e f e (f (v h 川. 引 理2 .1 .3 10 1 设 0 a- q c x 0 ,f : q -z y ，则 f e 少 公飞 b ) - f e 份 公) + d ,b ) . 设 沪 # s c y . 歹 e y , ip e y ， 为 方 便 起 见 ， 用 97 灼2 9, ( 歹 ) 表 示p ( y ) 2 4 p 歹 )， v y e s 。 对 任 意 ib e 0 ,1 ) ， 我 们 考 虑 集 值 映 射 h o : x - y x z ， 它 们 有 效 域 为 x o . h a w一 ( f (x ) 一 y o ) 二 ( g (x ) 一 * o ， 二 e x o . 设k. d x e ，在本节我们作如下假设: 假 设( a ) ， 存 在 # e o i ) ， 使 得 h ， 是 内 部 锥 k 类 凸 . 注 2 . 1 . 2 :由于 我们的 假定 对锥d. e 没有内 部非空的 需求， 所以 在不满足 第2 章 内部锥次类凸 集值优化问度严有效解的最优性条 件 i n t d :* 价 ， in t e # is 时， 我 们 也 能 研 究 各 种 真 有 效 性. 假定 ( b ) :如果d c o 叫i m g + e - z， 我们称条件 ( c q ) 满足。 注2 . 1 3 : 对任何夕 o , 若c lc o n e im (g 一 两 . ) + e - z , i m 沁一 声 o ) + e c im g + b e + e c im g + e ，所以 对某9 0 成立，则 ( c q )条 件满足. 注2 . 1 a : 若广义s l a t e r 条件满足， 也就是说i m g r i - i n t e o ， 则条件( c q ) 满足。 ( 实际上， 若 存在t o e i m g门 一 i n t e， 则有。 e i m g + i n t e ， 由于i m g + i n t e 是开 集， 存 在。 点 的 邻 域u c im g + e 则 有 c l c o n e (im g + e ) - z . ) 性 质2 .1 .1 若 假 设( a ) 成 立 且 存 在凸 锥乌， 使 得 d o c i n t d , ， 令 f , (. ) - f (x ) + d , h ,p (x ) - ( f . (x ) - y o ) 二 (g (x ) - z o ) , k , - d , . e . 则h ,， 是 内 部 锥 一 k : 一 类凸 的. 证明 : i m h ,p + k , - h ,p + o r 二 e + d , 二 o z - im h p + d 二 e + d , 二 o z . 令 a 一 co n e (im h ,p + k , ) , a - c o n e (i m ff p + k ) , b - d , 二 o z 则 人 - a + b . 因为 假设 ( a ) 成立，则 i n t a是非空凸集， 且a c c l i n t a 。因此，i n t a + b 是 非空凸集，且有 a + b c c l in t a + b c d in t a + c lb c c l(i n t a + b ) . 由引理 ( 2 . 1 . 2 )知 in t a + b in t份+ b ) - in t a , . 即in ta : 是 凸 且人c c l i n t 人. 也 就 是 说h ,a 是 内 部 锥 一 凡一 类凸 的 定 理 2 .1 .1 若 假 定 ( ) 和 假定 ( b ) 同 时 成 立， (x o . y o ) 是 ( s o p ) 关 第2 章 内部 锥次 类凸集值优化问 题严有效解的最 优性条件 于基b 的 严 有 效 元 ， 则 存 在儿e b 0 , 成e e ， 使 ( y ; , y ) + ( z o , z ) 二 伽 ; ， ， 。 ) v ( y , z ) e im (f x g ) . ( 2 . 1 .3 ) z ; z o ) 一 0 v z . e g (x o ) n (- c ie ) . ( 2 . 1 .4 ) 证明 : 因 为 ( x o ,y o ) 为 ( s o p ) 关 于 基b 的 严 有 效 元， 于 是 y o e f ( x o ) n f e (f (v i b ) . 由 引 理2 . 1 .3 得y o e f e 伊 加) + d ,b ) ， 因 此 存 在 零 的 邻 域 u( 这 里u 取 为 开 的 凸 邻域)使 c o n e (f (v ) + d 一 y . ) n (u 一 b ) - * . ( 2 .1 5 ) 则有 (f (v ) + d 一 y o ) n c n e (u 一 b ) - / . ( 2 .1 .6 ) ( 实 际 上 若 存 在 。 e 少 加 ) + d - y o ) n c o n e (u - b ) ， 则 存 在 “ , 6 u , b , 6 b , a 0 满 足。 a (u : - b , ) e f 少 ) + d 一 y o ， 于是 (f (v ) + 。 一 y o ) c c o n e (f (v ) + 。 一 y o ) . ，且-几 e u : 一 b , 这 与c o n e (f (v 卜d 一 y . ) n (u 一 b ) - o 矛 盾. ) 由 于u 一 b 是 开 凸 集， 则c o n e (u 一 b ) 是 开 凸 锥 。 且 令f ,(x ) - f (x ) + d , 令 s a - i m ff ,p + c o n e (b - u ) + e ，其 中 h , (x ) - ( f , (x ) 一 ， 0 ) . ( g (x ) 一 o ) 下证 ( 0 ,0 ) v- i n t c o n es . . ( 2 . 1 .7 ) 实 际 上 ， 若(0 ,0 ) e in t c o n es . ， 则 存 在凸 邻 域u ， 和 u z 使 得 u y x u z c c o n es a , ( 2 .1 .8 ) 第 2 章 内部锥次类凸集值优化问题严有效解的最优性条件 因 为c o n e (b - u ) 是具 有非空内 部的凸 锥， 因 此存在d e c o n e ( b - u ) ， 使 得 一 d e u ,. ( 0 ) 。 用 ( 2 .1 .8 ) 且 注 意到 ( - d ,0 ) e u , x u z ， 我 们能 找 到x 0 , x 任f ， ( y , z ) e f (x ) . g (x ) , (d e ) e c o n e (b 一 u ) 二 e 使 得 - d - .1 (y 一 y o + d ) . ( 2 .1 .9 ) 0 - x ( z 一 户。 + e ) . ( 2 . 1 . 1 0 ) 因为a o ，由 ( 2 . 1 . 1 0 )得 z二 承。 一e ( =- -e . 所以 ， z e g (x ) n 卜 e ) ， 也 就 是 说x e v . 另 一 方面 ， 从( 2 .1 .9 ) 我 们 得 到 ， 一 y 。 一 壹 一 e - c on e (b 一 “ ) 一 c o n e(b 一 。 ) c co n e (u 一 b ) ，与 2 .1.6 ) 矛 盾。 因 此( 2 .1 .7 ) 成 立 . 因 为d ( 0 ) c in t c o n e (b - u ) = c o n e (b - u ) .由 性 质2 .1 .1 知 h ， 是 内 部 锥 一 凡一 类 凸 的 ， 其 中 k ， 二 二 (b - u ) x e . 由 引 理2 .1 .1 存 在( y o , ) e c o n e (b - u y x e ( ( 0 ,0 使 得 (y ; ,y ) + (z o ,z ) 二(y ; ,y , ) + ( z a ,6z o ) , v (y , z ) e im 帆x g ) . (2 .1 . 1 1 ) 在 ( 2 .1 .1 1 ) 式中 令y - y o ,z - z o ，有 ( 1 一16 ) (z o ,z o )k o , 即 ( z 石 ,z o ) a 0 . 又 因 为z o e - e , 峪 e e , 所以 ( z a , z o ) = 0 , 这样就有: 第 2 章 内部锥次类凸集值优化问题严有效解的最优性条件 (y o ,y o ) +( z ; , z . ) 二(y ; iy o ) ， v ( y ,z ) e im 仇x g ) . 显然 (y ; ,y . ) +( z o , z o ) 。(y . y . ) ， ( y ,z ) e im (f x g ) . 先证 儿 丐 否 则 从( 2 .1 .1 3 ) 知 ( z o , z o ) a 0 . 又 由 ( z 石 声 ) a o , v e e e得 ( z , , z . 二 0 , v z o e im g + e . 这 样由 z o 的 连 续 性 便 有 ( z .* , z . )二 o , v z e c lc o n e im g + e 一 z . 所以 ， z o = 0 ， 这 与 ( 儿， 峪) :* ( 0 . 0 ) 矛 盾 再 证y o e b 。 由y e c o n e (b 一 u ) 0 ) ， 则 有 y ( b ) “ y * ( u ) ， 且 存在 某 u o e u 使 得 y * (u o ) - i 。 . 即 y * (b ) = r ，于是 ， e b . 因 此( 2 . 1 3 ) 成立 . 最后证 ( 2 . 1 . 4 )成立。 实 际 上 ， 在 ( 2 .1 .3 ) 中 取 y - y o . z = z 1 e g ( x o ) f l 一 1e ， 则 得 到 ( z 二 z o )二 0 . 但 是 ， z 0 任 -c le. 任 m z . ) 0 . ( 2 . 1 . 1 2) ( 2 . 1 . 1 3) 这样便 得到 ( 2 . 1 . 4 ) 0 第z 章 内 部锥次类凸集值优化问 题严有效解的 最优性条件 下面我们在更弱的条件下 建立 严有效 解的 k u h n - t u c k e r 充分条件。 由于 证 明比较简单我们省去其证明。 定理 2 . 1 . 2 在 ( s o p ) 假设 仍x 声v ; ( ii)存 在y , (=- f ( x o ) , y ; e b + z ; e e ， 使 ( 2 .1 3 ) 成 立 . 则 ( x o .y o ) 为( s o p ) 关 于 基b 的 严 有 效 元. 由定理2 . 1 . 1 和由 定理2 . 1 .2 易得到下面推论。 推 论 2 .1 .1若 假 定 ( a ) 和 假定 ( b ) 同 时 成立 ， ( x o ,y o ) 是 ( s o p ) 关 于 基b 的 严 有 效 元的 充 要 条 件 是 存 在儿g b - , e e ， 使 一 in f (y o ,y ) + (z o ,z ) 一 (y oy o). 2 . 2 l a g r a n g e 最优性条件 定 理2 .2 .1 设 ( x o , y o ) 为( s o p ) 关 于 基b 的 严 有效 元， 且 假 设( a ) 和 假 设( b ) 成 立， 则 存在 t e l ( z , y ) ，使 得 ( x o . y o + 孙 。 是 下 面 问 题 关 于 基b 的 严 有 效元 ( p ) 曾l (-, t ) - f (x ) + t (g (x ). 且 t ( z o ) - 0 , v z , e g ( x o ) n ( - c 1e ) . ( 2 .2 .1 ) 证 明 : 对 任 意 的 v z 孟 任 仓 。 ) 门 ( - c 1e ) ， 在( 2 . 1 .3 ) 中 令 y - y o ，二 牙 。 得 (z o ,z