（应用数学专业论文）关于时滞泛函微分方程的一些结果.pdf

关于时滞泛函微分方程的一些结果 应用数学专业 研究生宋菲指导教师李淼 本文研究了时滞泛函微分方程中的两个问题， 一是研究时滞项中含无界算子的变时滞问题，我们将证明在这种情况下， 方程的基本解仍然可以保持一定的渐近性，这些性质包括稳定性、周期性、概周 期性等 二是研究无限维时滞系统的解的一些性质首先证明这类方程的确存在周 期解，其中不动点定理起了决定性作用，接着对这种解进行了估计，证明了其具 有某种渐近行为 关键词；周期解凝聚算子不动点积分解时滞偏微分方程 t h ep r o p e t i e sa n da p p l i c a t i o n so fr e t a r d e df u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m a j o rla p p l i e dm a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ；s o n gf e i s u p e r v i s o ril im i a o i nt h i st h e s i sw ec o n s i d e rt w or e s p e c t si nr e t a r d e df u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 一w ec o n s i d e rt h eu n b o u n d e do p e r a t o rp e r t u r b e dd y n a m i c a ls y s t e mw i t h s m a l lt i m e - v a r i e dd d a y w ev e r i f yt h a t ，u n d e rt h e s ec o n d i t i o n s ，t h es o l u t i o no f t h ee q u a t i o nm a yh o l ds o m ea 8 y m p t o t i cb e h a v i o r ss u c ht h a ta s y m p t o t i ca l m o s t p e r i o d i c i t y , s t a b i l i t ya n dp e r i o d i c i t y 一w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o no ft h ei n f i n i t ed e l a y e q u a t i o nb yu s i n gf i x e dp o i n tt h e o r e m w ea l s os h o wt h a tu n d e rs o m ec o n d i t i o n s ， t h es o l u t i o no ft h i se q u a t i o ni so fs o m ea s y m p t o t i cb e h a v i o r s k e y w o r d s ：r e t a r d e dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i n t e g r a ls o l u t i o n ，p e r i - o d i c a ls o l u t i o nf i x e dp o i n t ，c o n d e n s i n go p e r a t o r 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导 下取得的，论文成果归四川大学所有，特此声明 导师丕吐 作者蟑 二零零七年四月十日 第一章绪论 1 1 时滞系统概述 由于时间延迟对一个系统所带来的影响，在工程实际自然现象和日常生 活中都是屡见不鲜的例如人们在淋浴开始时，常会把水调得时冷时热，这是因 为调节后的水通过控制开关流到人身上的时间，与在调节时人身的感觉有一段 时滞所至在许多系统中，为了更真实的反映自然，时滞常是一种不应忽略的因 素 1 9 2 8 年，意大利数学家v o l t e r r a 把时滞引入了生态学，他提出了以下关于 猎食者与猎物( p r e d a t o r - p r e y ) 双物种的生态学模型，企图解释亚德里亚海某些 鱼类数量的起伏现象 假设在某一封闭的生态环境，猎食者z 以猎物y 为食物，而猎物，则以 此系统近乎无穷无尽的某种生物为食物( 例如狼吃野兔，野兔吃草) 令x ( t ) 为 物种z 在时间t 的数量，y ( t ) 为物种f 的数量，所有的常数和函数都是非负 的。则v o l t e r r a 模型为： i 士( ) = 陋1 一历( t ) 一月( s ) ! ，o + s ) d 5 】。o ) 。二 “， i 口 ) = 【啦一岛z o ) 一见( s ) z c t + s ) d s h f 0 ) 方程所反映的事实是，在t 时刻物种z 的增长速率毒( ) 不仅与t 时刻物种y 的 数量有关，而且依赖于t 一只0 s r 时刻的物种y 的数量，同样的，物种y 的增长速率也要受物种z 的当前和过去数量的影响 再比如，在最佳控制理论中，k r a s o v s k i i 【2 】2 深入的研究了如下的系统： 圣( t ) = p ( t ) x ( t ) - i - b ( t ) u ( t ) 。( 2 ) 2 z ( 蔓( 1 删 ，0，0 、7 吐0 ) = 【d 口n ( t ，口) - 4 - 0 ) 十【d e t t ( t ，口) 】9 + 口) ，一rj r 由此看来，带有时滞的模型反映了s 所考虑系统的未来状态不仅取决于当 前的状态，而且还依赖于系统过去的状态 四川大学硕士毕业论文第2 页 诸如此类的方程在现实生活中还有很多，以上所述的这些例子都说明了时 滞方程的重要性然而，正是由于这些方程的在自然中广泛存在，不利于对这类 问题进行系统的理论研究，我们首先考虑的就是把这些方程归类的问题，即能 否用一种方程来概括这些具体的方程? 最直接的想法就是把形式上相似的方程 用一个抽象算子方程来描述。然后利用算子半群理论、算子理论等泛函分析的 方法来研究这些抽象算子方程的性质，包括解的存在性、唯性渐近性等等 关于这类的积分微分方程，可以参考【3 】和 4 】 1 2 本文的主要工作 本文利用算子半群理论主要研究了两类带有时滞项的泛函微分方程的一些 性质具体做法如下t 在第二章中，我们主要研究有界变时滞泛函微分方程 裟掣茹g 苫功一芝曼0 n z 【让( o ) = 。，( t ) = ，( t )一r t 0 的某些性质，如渐近性，概周期性等 第三章中，我们主要考虑下面的无限时滞泛函微分方程周期解的存在性问 题t 一( 。) = z ( 。) + f ( t ，。f ) ， 。o ， ( 1 2 2 ) 【z o = i p ， 。 这里a ：d ( a ) x x 是b a n a c h 空间( x ，”| 1 ) 上的线性算子，初值条件妒 是相空间8 的个元素，该空闯将在第三章中将会给出具体的定义，是定义 在【0 ，+ o o ) b 取值在x 内的函数，对任意的z ：( 一，6 】一x 和t 【0 ，6 j ，函 数a ：( 一，o 】一x 定义为( p ) = x ( t + p ) ，其中口( 一，0 1 第二章扰动半群的渐近行为 本章将讨论时滞项中含无界算子的变时滞问题，我们将证明在这种情况下， 方程的基本解仍然可以保持一定的渐近性，这些性质包括稳定性、周期性、概周 期性等等 2 1引言 分布参数系统控制理论是研究用偏微分方程、时滞微分方程和随机微分方 程描述的无限维系统的控制理论，很有科学意义和应用价值极大值原理、动态 规翅f 和卡尔曼滤波理论是上世纪五十年代以后控制论的重大成果现代偏微分 方程和泛函分析的理论成果为分布参数系统建立了严格的理论基础，同时也提 供了有力的工具，使分布参数系统的研究有了很大的进展，成为现代控制理论 的个重要分支无限维线性系统对小时滞的鲁棒稳定性问题一直是诸多学者 关注的热点问题，也是一个具有挑战性的问题它的实质就是考虑系统 ju ( t ) = a u ( t ) + b u ( t ) t 0 lt ( o ) = 一r t 0 和相应的时滞线性系统 j “0 ) = a u ( t ) + b u ( t r ( t ) ) t 0 i ( o ) = 毛t ( t ) = y ( t )一r t 0 的渐近行为的关系，即渐近性对时滞是否鲁棒的问题 设x 是一个b a n a c h 空间，a 是x 中的强连续半群口( t ) ) t ，o 的生成 元，b 是x 中的闭稠定线性算子，它满足一定的条件， ，妒( 【一r o 】，x ) ， 1 p 0 的生成元我们研 究时滞方程( 2 1 1 ) ，其中 0 s ，sr r ( ) 对t 0 是连续的 ( t ) d ( b ) ，一r t 0 ( b ，d ( b ) ) ，d ( a ) cd ( b ) 是x 上的闭算子，满足条件( a 1 ) u ：【一r ，o 。) _ x 下面我们将要用上一节中的方法证明时滞方程( 2 1 1 ) 的积分解与由半群 口( t ) ) t o 给出的一般方程的解具有相同的渐近行为 为了简化证明。我们定义下面的函数t ( 1 ) 将算子t 延拓到整个平面，延拓后的算子记为亍，即： 耻嚣 i 四) f l 大学硕士毕业论文第7 页 ( 2 ) 对回馈函数，我们定义函数，：卜n + o o ) 一x 满足； ，= 莲蓬嚣 在这些假设条件下，我们有； 定理2 4 1 设口( t ) ) t o 是x 上的强连续半群，如果： p 对每个s 0 和所有霉x 和某个常数0 g 1 ， ， 0 b t ( t 一7 ( t ) 一s ) z0d t g i iz0 ； j 0 和纠存在常数m o o ，使得 巾b 忍叫t ) ) i i d t _ m 如果对所有的z x ，迹t t ( t ) x 属于b u c ( r + ，x ) 的闭的齐次子空间爿 则方程偿砂的解t t ( t ) 也属于z 证明，由常数变易法可知，方程( 2 1 1 ) 的积分解可以表示为 “( 归孔咖+ j ( t ( t q ) 凰( 卜小) ) d s “ 而半群丁的迹属于z 。由引理2 3 1 可知，我们只需证明函数b ( r r ( ) ) 属 于l 1 ( r + ，x ) 即可因为积分解可由下面的级数表示 让( ) = t 帕( t ) ，t 0 n = o 这里 = 掰笔 0 ， j 一l - r o ) o q i tz l i + ub ， 一r ( t ) ) ld s q i l z0 + m ， 因此我们可以得到： i lb u ( 0 ( t f 0 ) ) i id t q “+ 1l i z0 + 口“m ( 2 4 1 ) 由三角不等式可知； n 嘻川川薹巾蒯c 川邮哔学 由l e b e s q u e 控制收敛定理可得； ”i ib u ( t 一，( t ) ) d t j 唑丛唑 o i ib u ( t r ( t ) ) i id t j 0 鼍昔产 1 一q 至此，我们证明了r + 弓t 一”( t ) 属于z ，对所有z x 口 如果函数t r ( t ) 是单调的和可导的。则 l i 一 | | ( 一 一 四川大学硕士毕业论文第9 页 ( 1 ) 存在o f o ，r j 使得t r ( t ) 0 ，0 t d 及t t ( 0 0 ，f 口 ( 2 ) 存在t r ( t ) 的可逆函数叩使得t 7 g 1 【一r ，+ o 。) 由这些假设，我们可以得到下面的推论 推论2 4 ，1 设f ( ) ) o 是x 上的强连续半群，假设下述条件成立， ( b z ) 能够找到一个常数0 q 1 ，使得不等式 ， i i b t ( t s ) 茹i i lr i ( t ) id t 口0 。0 j 5 对任意的5 0 、z x 均成立。 ( 6 2 ) 7 存在有莽常数m 0 ：f t 有一个直径小于d 的覆盖 显然，一个集合的非紧性测度为零当且仅当它是紧的 定义3 2 3 设x y 都是b a n a c h 空问，称算子t ：x y 是凝聚算子，如 果该算子是连续的且对于任意的有界非紧集合ncx ，下面的不等式成立t r ( r ( q ) ) o ( 3 2 1 ) 【t ( o ) = z x 、7 解的存在性此处，算子a 满足h i u e - y o s i d a 条件，但不是稠定义的 四川大学硕士毕业论文第1 4 页 引理3 2 2 【黝设a ：d ( a ) x x 是一线性算子并且满足h i l l e y o s i d a 条 件，( s ( t ) ) t o 是由a 生成的积分半群，g ：f 0 ，卅一x ，t 0 是b o c h 住e r - 可 积的那么，如下定义的函数g ： 0 ，明一x g ( 砷= t s o s ) 9 ( 5 ) 如 在【o ，即上是连续可导的，并且满足：对a 。，t f 0 ，邪， 砌，a ) g ( 归z o _ s ) 尉九舢g ( s ) d s ，t 由常数变易公式得，方程( 3 2 1 ) 的解为 ”) = ( 砖z + 岳( z s ( t s ) ，( s ) d s ) t 。 ( 3 2 2 ) 这里s ( t ) 是由a 生成的积分半群 令q 是b 中的非空开集，我们有如下引理， 引理3 2 3 【j 翻设f ：【o ，翻q x 连续，如果 ( 胃1 ) a ：d ( a ) x x 是h i l l e - y o s i d a 算子，即存在常数m 0 和u r 使得，+ o o ) cp ( a ) 并且s u p ( a u p0r ( x ，a ) n 玑n n ，a u ) m 在此假设下，s ，( t ) ：i ，两一i i i 可是一个岛丰群，并且满足； 0 ( t ) 圳肘| | y i i ，t 20 ，y 硒 ( h 2 ) 半群( s ，( t ) ) t o 在( 五吒酉，1 1 1 i ) 上是紧的 假设妒q 满足妒( o ) 万两，则存在b ( 0 ，d j ，使得方程何1 ，存在 积分解石：( 一o o ，6 j x ，并且解的形式为 ，= 黧“班。_ s 沙p 芦叫s 一芝馨 四川大学硕士毕业论文第1 5 页 3 3 无限维时滞方程周期解的存在性 这一节，我们将证明方程( 3 1 1 ) 的周期解的存在性在下文中，总是假定 函数f 和积分半群s ( ) 满足上一节中的条件 定义3 3 1 称系统p j 砂是p 一周期的，若f ( t ，妒) 关于t 是p 一周期的 称函数z ：r x 是方程何j ， 的p 周期解，如果z ( ) 是初值条件为 x o q 的方程p 的积分解并且对于所有的t o 都有z o + p ) = z ( t ) 显然，如果函数霉：皿一x 满足条件勋= 妒q ，而z ( ) 在1 0 ，力上的限 制是连续的且= t o ，则妒在( 一，0 】上是p - 周期的因此，如果系统( 1 ) 是 p - 周期的，不等式( ，妒) = l p 保证了方程( 3 1 1 ) 周期解的存在性 定理3 3 1 假设初值条件为x o = 妒的方程p j j ，的积分解定义在r ，并且 昂( - ，妒) = 妒，则善( ) 是方程的p 一周期解 设e 是q 的非空子集且对于任意的妒e ，方程( 3 1 1 ) 的积分解z ( ，妒) 在【o ，翻上是唯一的定义映射耳：e 一8 ，妒一( ，i p ) ，如果系统( 1 ) 是p 周期的，其积分解存在的充分条件是映射写存在不动点。 定理3 3 2 假设引理3 2 ，的条件f 肌j 成立，并且 f 删f ： 0 ，翻q x 满足l i p s c h i t z 条件， 0 f ( t ，妒) 一f 0 ，妒) 0 l ( i t s f + 0 妒一妒1 1 8 ) v 0 5 ，t p 和识妒q 如果对于所有的妒e ，积分解( ，妒) 定义在【0 ，纠 上，就有映射：e 一日，妒一( ，妒) 是连续的 证明；为了简化证明过程，不失一般性地，我们假设u 0 四川大学硕士毕业论文第1 6 页 利用公理( a 1 ) ，对v n 妒e 。我们做下面的估计： i i 唧( ，纠一( ，妒) 怯 扣) 8 u pi iz o ，妒) 一z o ，妒) i i + p ) 0 妒一妒i i b o t p 曼g ( p ) s u pi i 0 ) 妒( o ) 一o ) 妒( o ) i i + ( p ) 0 妒一妒i l f 0 t “，有 oa r ( a ，a ) 丢j ( s 。一s ) 【f ( s ，( ，妒) ) 一，( s ，以( - ，妒) ) 】d s8 = i i ( 亡一s ) a r q ，a ) 【f ( s ，( ，i p ) ) 一f ( s ，( ，妒) ) 】d si i i 笔m 2 l z i i ( ，妒) 一( ，妒) 怯d s ， 令a o 。，可褥 。 o d o s ( t - s ) 【f ( s ，z 一( ，妒) ) 一f ( 岛z ，( ，妒) ) 】( b i i m 2 l d ”i iz ，( ，妒) 一2 ( ，妒) i i sd s 从而下述不等式成立： h 昂“计一酃( ，妒) 恬( k 肘矿+ ) j i 妒一妒脑 + k ( p ) l m 2 s u p i i ( ，妒) 一轧( ，妒) i i bd s 再利用b e l l m e n g r o n a w l l 引理，即得 0 昂( ，妒) 一l 墨( ，妒) l i b 0 由半群f ( t ) 的性质可知，对于给定仍妒m j 和任意的t 【o ，纠， 0s ( o v ( o ) 一s 0 ) 妒i i 8 0 ) 00v ( o ) 一妒( o ) 0 sm d “0 i p ( o ) 一妒( o ) 8 m h 妒一妒i i s m h d 1 因此， 出8 7 珏( g ) 妒( o ) | f c 嘲：妒h j ) m h e 岬d 1 由r ( q l o ，p 】) u = ：罢l ( s ( t ) i ，o ( o ) l l o , p l ：妒孵j 可知 r ( q 1 ( o ，p 】) s u p d i a m ( s ( ) _ p ( o ) j f 0 p 】：妒w j ) j m h 矿o d l 四川大学硕士毕业论文第1 9 页 又因为r ( q z 【o ，p ) u 器。 叠s 一s ) f ( s ，z 。( ，妒) ) 岫捌：妒眠， ，且对于 忆妒- 皈j ，0 t p ， “，我们可以得到 jj 丢j ( ? ( t _ s ) 【f ( s ，乩堋一耶献，】d s i | m 2 l e 。( t - s ) 钆( ，妒) 一z 。( ，妒) f l 目d s 矿l e 【l ( 。帕( ( s ) s u pi iz ( f ，妒) 一z 健，妒) i i + ( s ) 4 妒一妒1 1 8 ) d ； m 2 三去d ”( s u pk ( t ) d i a m ( u , j ) + s u p ( t ) 出8 m ( 冠) ) m 2 l 去护( s u pk ( t ) d 2 + s u pn ( t ) d 1 ) w o s t s po s t s p 从而， r ( q 2 【0 ，纠) m 2 l + d 1 ) - t 由上面的估计可得, e ”( k d 2 r ( q o ，p 】) r ( q 1 【o ，p 1 ) + r ( q ! 【0 ，p 1 ) m h e d 1 + m 2 工三d ”( 露如+ d 1 ) ：m 矿，( 日+m 式) d i + m 2 三矿，露d 2 由d l ，d 2 的任意性， r ( q i o ，纠) 吖扩饵+ 击再三) r ( 研十彤2 l 扣， r r ( q o ，纠) ww 当l 充分小时，有p ：= m 2 l 丢扩露 0 使得 us ( t ) 临m e 一，t 0 定理3 3 4 设函数f ：【o ，+ o o ) 尽一x 满足引理只2 3 的条件如果存在常 薮a 和c i ，使得下面的两个不等式成立； 0 f ( t ，妒) i l c 10 妒0 b + g 知 1 7 ：= m 2 g 瓦 1 p 则，必然存在常数g 和q 使得对于每个妒层和所有的t 【o ，沁) ( 茹( ，妒) 的存在区间) ， h 魏( - ，劝i i s g ”妒怯+ g 证明；记? ( ) ：= z ( ，妒) ，由积分解的定义司知 i i = ( t ) i i - i i s ( ) 妒( o ) 1 1 + 8 墨z ! s ( t s ) f 。，z 。) a s i i 又由 。新踯刊确，x s ) d si i 鲥f e 静砖( o - i i 训s + c 2 ) d s ， 利用公理( a 1 ) ( i i ) 和( a 1 ) ( i i i ) 可得 i i ( t ) o m e 一一日。妒o b + m 2 厂e 一邢一时( c 1 i i l i b + c 2 ) d 5 d 0 m e - p t hi i 妒l i b + 矿c x e - p ( “。) 耳( s ) s u p8z ( f ) i id s ，t j o o 曼f + m 2 c 1 te - a ( t - s ) n 。) 1 1 妒i i s 如+ m 2 c 2 t e - 烈t - , , ) d s 四川大学硕士毕业论文第2 1 页 m e m ho 妒b + m 2 a 耳s u p1 1 z ( s ) 8 o a t + 舻叩知i p l i s + m 2 q ； = q0 妒0 8 + q + ，ys u p0 。( s ) i i ， 0 o t 其中q 和谚为常数再次利用公理( a 1 ) ( i i i ) ，我们得到结论口 参考文献 1 1 】v v o l t r r a ，5 u r 缸t h d o r t em a t h g m a t i q u ed e sp h g n o m e n e sh d r d & t a i r e s , j m a t h p u r s sa p p l 7 ( 1 9 2 8 ) ，2 4 9 - 2 9 8 f 2 】n k r a s o v s k i i ，s t a b i l i t yo ，m o t i o n , m o s c o w ，1 9 5 6 t r a n s l a t i o n ，s t a n f o r du n i v e r s i t y p r e s s ，1 9 6 3 1 3 】a t y c h o n o v ，b u rl e sd q u a t i o n sf o n c t i o n e l l e sd e v o l t e r r ae tl e u r sa p p l i c a t i o n s 口c e r t a i n sp m ，l z e 仃l e 8d el ap h y s i q u em a t h e m a t i q u e , b u l l d el u n i v d e t a td e m o s c o u ，s e t i n t e r n a t s e c t a ，1 ( 1 9 3 8 ) ，1 - 2 5 f 4 ll ，w n e u s t a d t ，o nt h es o l u t i o n so fc e r t a i ni n t e g r a l - l i k eo p e r a t o re q u a t i o n s 如 i s t e n c e ，i t r $ i q u e r t e s a ja n dd e p e n d e n c et h e o r e m s ，a r c h r a t m e c h a n a l 2 8 ( 1 9 7 6 ) ， 1 3 5 - 1 4 3 1 5 1f ，l h u a n g ，o nt h ep r o b l e mo fs t a b i l i t yo fs a l u t t o n s 口，l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sw i t hs m a l ld e l a u 讯b a n a c hs p a c e sj m a t h ( w 妇) 6 ( 1 9 8 s ) 1 8 3 - 1 9 2 ( i n c h t m ) 【6 】w a r e n d t ，c j k b a t t y , m h i e b e ra n df n e u b r a n d e t ，v e c t o r - v a l u e dl a p l a c e t r a n s f o r m sa n dc a , c h yp r o b l e m 8m o n o g r a p h si nm a t h e m a t i c s ，b k k h a u s e r ，2 0 0 1 吲k s l i u ，d i f f e r e n t i a b i l i t yo fi n f i n i t e - d i m e n s i o n a ll i n e a rs y s t e m sw i t ht i m ed e l a y a n di t sa p p l i c a t i o n s 细s t a b i l i t ya n a l y s i s , j s y s t e m s s e i m a t h s c i 1 2 ( 1 9 9 2 ) ， 2 9 7 - 3 0 6 ( i nc h i n e s e ) 1 8 】a b g l t k a i ，o nt h es t a b i l i t y l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e l a y , t i i b i n g e rb e r i c h t ef u n k t i o n a l a n a l y s i s9 ( 1 9 9 9 2 0 0 0 ) ，4 7 - 5 6 f 9 la ，b d t k a im a ds p i a z z e r a , s e m i w o n pa n dl i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t h 出咖，j m a t h a n a l a p p l 2 6 4 ( 2 0 0 1 ) ，1 - 2 0 f l o 】n d u n f o r da u dj s c h w a r t z ，l i n e a ro p e r a t o r s , p a r t 正g e n e r a lt h e o r y , i n t e r - s c i e n c e ，1 9 5 8 【1 1 】c j k b a t t ya n dr c h i l l ，b o u n d e dc o n v o l u t i o n sa n ds o l u t i o n so ，i n h o m o g e n e o t l 5c a u e h yp r o b l e m s ，f o r