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苏州大学学位论文使用授权声明 f l i tfi il i f tir lji irlu f y 17 3 2 319 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属在l 月解密后适用本规定。 非涉密论文留 论文作者签名： 导师签名： 日期：加) 9 占、b 日期：业兰兰 关于n 重超空间 中文摘要 关于n 重超空间天十一皇走互仝1 日j 中文摘要 2 0 0 0 年，s e r g i om a c i a s 在他的文章o n t h eh y p e r s p a c e sc n ( 彳) o f ac o n t i n u u m x 中，证明了许多关于c 。( x ) 的新结论本文在s e r g i o m a c i a s 工作的基础上，从五 个方面给出了有关c 。( x ) 的新命题这个五个方面分别是：c n ( x ) 在s e g m e n t 和序弧 方面的性质；c n ( x ) 是n e s t e di n t e r s e c t i o n ；c 。( x ) 在可缩方面的性质；x 满足什么 条件时，c 。( x ) 具有不动点性质；c 。( x ) 与2x 之间连续映射的性质文章最后还 给出了几个有关l ( x ) 、f ( 柳、c o 。( x ) 的结论 关键词连续统r 1 重超空间不动点 n e s t e di n t e r s e c t i o n 作者：任海平 指导老师：周友成( 教授) a b s t r a c to nt h eh y p e r s p a c eg o f ac o n t i n u u mx o nt h eh y p e r s p a c ec 疗( x ) o fac o n t i n u u mx a b s t r a c t i n2 0 0 0 ，s e r g i om a c i a sp r o v e dal o to fn e wc o n c l u s i o n sa b o u tc n ( x ) i nh i sa r t i c l e o nt h eh y p e r s p a c ecn ( x ) o fac o n t i n u u mx b a s e do nt h es e r g i om a c i a s sw o r k ， n e w p r o p o s i t i o n sa b o u tcn ( x ) i nf i v ea s p e c t sa r eg i v e ni nt h i sa r t i c l e t h e s ea s p e c t sa r e t h ep r o p e r t ya b o u ts e g m e n ta n do r d e ra r c ，n e s t e di n t e r s e c t i o n ，c o n t r a c t i b i l i t y ，t h ef i x e d p o i n tp r o p e r t y ，c o n t i n u o u sm a pb e t w e e n c n ( x ) a n d 2x f i n a l l y ，af e wo f p r o p o s i t i o n sa b o u te ( x ) 、f ( 的、e ( x ) a r eg i v e n k e yw o r d ：c o n t i n u u m n f o l dh y p e r s p a c ef i x e dp o i n tn e s t e di n t e r s e c t i o n i i w f i r e nb yr e nh a i p i n g s u p e r v i s e db yp r o f z h o uy o u c h e n g 目录 预备知识1 主要结果5 参考文献19 骛【j 射2 0 关于n 重超空问预备知识 关于r 1 重超空间大于一夏走鱼全1 日j 以h a u s d o r f f 和v i e t o r i s 的工作为基础，超空间理论形成于2 0 世纪初，在1 9 2 0 年至19 4 0 年之间，超空间的基本结构被确定下来这个期间b u r s u k 、m a z u r k i e w i c z 、 w o j d y s l a w s k i 的工作成果占有重要的地位1 9 3 1 年，b u r s u k 和w o j d y s l a w s k i 共同发表 的文章证明了2x 和c ( x ) 是弧连通的连续统，这篇和随后1 9 3 2 年m w o j d y s l a w s k i 发表的文章，一同为理解超空间的弧结构奠定了基础1 9 3 2 年， w o j d y s l a w s k i 发表的文章中还证明了2x 和c ( x ) 都是绝对收缩之后经过k e l l y 、 m i c h a e l 、s e g a l 、t r a n s u e 等等一批数学家的努力，超空间理论得以继续发展 关于n - 重超空间c 。( x ) ，1 9 3 9 年m w o j d y s l a w s k i 证明了，连续统x 局部连通 的充要条件是对每个正整数n ，c n ( x ) 是绝对收缩自此之后就没有关于c 。( x ) 的新 结论出现，直到2 0 0 0 年，2 0 0 0 年，s e r g i om a c i a s 在他的文章o nt h eh y p e r s p a c e c 。( x ) o f ac o n t i n u u mx 中，证明了许多关于c n ( x ) 的新性质本文在s e r g i om a c i a s 工作的 基础上，从五方面个给出了有关c 。( x ) 的新命题在进入正文之前，我们先给出所需 的基本知识 预备知识 紧统是紧致的度量空间，连续统是连通的紧统x 的子连续统是包含在x 中的连 续统，非退化的连续统即非单点的连续统为了方便以下的x 均代表连续统 给定度量空间( x ，d ) ，x 的子集a ，及g o ，则k ( 彳) = 形( 彳) = x xd ( x ， a ) c 二( x ) = a 2 x i a 有有限多个连通分支) l ( x ) = a 2 j la 至多有n 个元素) f ( = a 2 工i a 有有限多个元素) 其中c 。( x ) 被称作n - 重超空间，一( x ) 被称作n - 重对称积 由以上定义可知c ( x ) = c l ( x ) ，并对每个n n ，我们有 只( x ) f 川( x ) ，l ( x ) c 。( x ) ，c n ( x ) q + l ( x ) ， g ( x ) = uc 一( x ) ，f ( 如= ue ( x ) n = ln = l 定义函数h ：2x 2x _ 【0 ，0 0 ) 使得对于a 、b 2x ，有h ( a ，b ) = i n f 占 o a ce ( b ) kb g 圪( 彳) ) 由 1 中的( o 1 ) 和( o 2 ) 知h 是2x 上的度量，从而 2x 是度量空间且2x ，c ( x ) 是弧连通的连续统( 1 】1 1 3 ) ，c 。( x ) 是弧连 通的连续统( 2 1t h e o r e m 3 1 ) ，l ( x ) 是连续统( 【3 】1 8 8 ) y 、z 是紧统，f 是从y 到z 的连续映射，定义映射2 ，：2 yj 2 z 使得对于 任取的a 2 y ，2 1 ( a ) = 厂( a ) ，我们称2 为2 y 与2 z 之间的诱导映射，由【3 】中 t h e o r e m1 8 2 2 知2 ，是连续的对任意的n en ，我们令c 。( f ) ：c 。( y ) 寸c 。( z ) 使得c 。( 厂) = 2 ，i c ( ” w h i m e ym a p ( 3 11 8 1 7 ) 是一个连续函数：2x 专 o ，l 】，并且使得 ( 1 ) ) = 1 ； ( 2 ) 对每个x x ，( x ) ) = 0 ； ( 3 ) 如果a 、b 2x ，且a 是b 的真子集，则( a ) ( b ) 从a 到b 的序弧( 【3 】1 8 1 9 ) 是一个一一的连续映射口：2 工一【o ，1 ，并且使得 2 关于n 重超空间 预备知识 口( o ) = a ，口( 1 ) = b ，对于s 、t e 【0 ，1 】且s 0 ，如果函数厂：】，专】，对每个y 】，都有 d ( y ，f ( y ) ) o ，存在x 的一个c h a i n 覆盖x ，并使 得每个l i l l l ( 的直径都小于s p s e u d o a r c 是唯一的遗传不可分解的c h a i n a b l e 连续统 x 是一个h a u s d o r f f 连续统，p 是x 中的任意一点，令 k ( p ) = x x ：存在x 的真的h a u s d o r f f 子连续统同时包含p 和x ) ，k ( p ) 就叫做 x 中的p 的c o m p o s a n t 我们称x 的c o m p o s a n t 即x 中的某一点在x 中的c o m p o s a n t x 中的点p 被称作是割点，如果x 一 p ) 不是连通的 4 关于n - 重超空间主要结果 西仕甲-r - 交三口禾 令彩是2x 的一个给定的w h i t n e ym a p ，a o 、a 2x ，函数仃：【o ，1 】一 2 x 称作是从氐到a 1 的关于国的s e g m e n t 如果 ( 1 ) 仃在 0 ，1 】上是连续的； ( 2 ) 仃( 0 ) = 八且仃q ) = a 1 ； ( 3 ) 对每个t o ，1 】，彩 仃( t ) - ( 1 - t ) 缈【仃( o ) + t c o 【盯( 1 ) 】； ( 4 ) 如果0 t l t 2 l ，贝0 文f 1 ) 互t ：r ( t 2 ) 函数盯： o ，1 卜2x 称作是从气到a 1 的s e g m e n t ，如果存在2x 上的w h i m e y m a p 国使得盯是关于缈的从氏到a 1 的s e g m e n t l e m m a1 ( 【l 】1 8 ) 令氏、a l 2 肖且a o a m ，则以下两个命题等价： ( 1 ) 存在2 工中从氏到a l 的序弧； ( 2 ) a o a l 且a l 的每个连通分支都与氏相交 l e m m a 2 ( 【1 】1 1 8 ) 如果盯：【o ，1 】一2x 是非常值的s e g m e n t ，则仃是同胚 映射 l e m m a3 ( 1 】1 2 2 ) 彩是2x 的w h i t n e ym a p ，则2x 的子集a 是关于缈的 s e g m e n t 的像集当且仅当人是序弧或者人= a ) ，其中a 2x t h e o r e m1 如果口是2 x 中的序弧，并以氏c 。( x ) 为起点，则 口c 。( x ) 主要结果关于n 重超空间 证明：任取b 口，且b 氏，因为口是序弧，故a o 互b ，且存在口的子弧 夕从八到b 由l e m m a1 可知b 的每个连通分支都与a o 相交，又a o c n ( x ) ，则八 至多有1 1 个连通分支，从而b 也至多有n 个连通分支，即b c n ( x ) 再由b 的任意 性可知口互c n ( x ) t h e o r e m2 令仃“o ，l 】- - - - ) 2x 是s e g m e n t ，对于t o o ，l 】，盯( t o ) c n ( x ) ， 则对于任意的t t o ，1 】，盯( t ) c n ( x ) ，因此如果仃( 0 ) c 。( x ) ，则 盯( o ，1 1 ) c n ( x ) 证明：若仃为常值的s e g m e n t ，则结论显然成立 当仃是非常值的s e g m e n t 时，由l e m r n a 2 可知口= 仃( o ，1 】) 为序弧，对于t o 【o ，1 】， r t o o 、a o c 。( x ) ，且使得a o x ，h ( a o ，x ) s 从而存在序弧口：【o ，1 1 2x ，使得口( o ) = a o ，a ( 1 ) = x 因a o c n ( x ) ， 故对任取的t e 【o ，l 】，口( t ) c n ( x ) ，即口c 。( x ) 并由h 的定义可知，对于 所有的ae 口有h ( a ，x ) s 事实上因为口是序弧，则八a x ，因h ( a o ，x ) o ，都 存在连续函数：】，- - 9t ，其中匕是y 的子集，且匕具有不动点性质，z 在】，上 的恒等映射的占邻域内，则】，具有不动点性质 t h e o r e m8 假设对每个占 o ，存在连续函数正：x 专k ，其中k 是x 的局部 连通的子连续统，且使得丘在x 上的恒等映射的s 邻域之内，则c 。( x ) 具有不动 点性质， 证明：令d 是x 上的度量，由假设正在x 上的恒等映射k 的占一邻域之内，因此诱 导映射c 。( 五) ：c 。( x ) 寸c 。( x 。) 在c n ( x ) 上的恒等映射乜( 抑s 邻域之内 主要结果 关于n 重超空间 事实上，因为正在的g - 邻域之内，从而对任取的x x ，有d ( 九( x ) ，x ) 占， 则任取a c 。( x ) ，c 。( 正) ( a ) = z ( a ) ， 屯( 棚( a ) = a 任取 b c 一( 正) ( a ) = f c ( a ) ，存在口a ，使得正( 口) _ b ，因为正在恒等映射k 的s 一 邻域之内， d ( 厂( 口) ，a ) s ，d ( b ，a ) 占由b 的任意性可知五( a ) k ( 彳) 反之 任取a a ，由正在恒等映射的占一邻域之内知，d ( 正( 口) ，a ) 占，而 正 ) ( a ) ，且a 是a 中的任意一点，故a 圪( 句) 再由h 的定义可知 h ( 正( a ) ，a ) 0 ，则存在收缩映 射名从x 到一个t r e e 上，并且使得名在x 上的恒等映射的占邻域之内，从而我们有： t h e o r e m9 如果x 是s m o o t hd e n d r o i d ，则c n ( x ) 具有不动点性质 证明：由f u g a t e 证明的关于s m o o t hd e n d r o i d 的定理及t h e o r e m8 ，容易推出c n ( x ) 具 有不动点性质 1 2 关于n 重超空间主要结果 af a nx 是一个d e n d r o i d ，并且x 中三个或三个上的弧要么不相交要么只有个 公共点f u g a t e 在 7 d p1 2 0 页证明了定理：如果x 是f 锄，及s o ，则存在收缩映射名 从x 到一个t r e e 上，并且使得名在x 上的恒等映射的g 邻域之内，从而我们有： t h e o r e m1 0 如果x 是f a n ，则c 。( x ) 具有不动点性质 证明：由f u g a t e 证明的关于f a n 的定理及t h e o r e m8 ，容易推出c n ( x ) 具有不动点性 质 】，是度量空间，令g = ( y ，0iy y 且t 0 ，1 ) ) u y 1 ) ) ，则g 是y 【0 ，1 】 的一个分解，】，上的商空间( 】， 0 ，1 】) g ，记作k ( y ) ，( y 0 ，1 】) g 中的元素】， 1 ) 叫做k ( 】，) 的顶点，记作巧 w e a k l yc h a i n a b l e 连续统是p s e u d o a r c 的连续像 x 被称作a r c w i s ed e c o m p o s a b l e ，如果存在x 的两个弧连通的真子连续统a 、b 使得x = a u b l e m m a1 3 ( 【3 6 7 2 ) n 是任一正整数，则对于任何连续统x 存在从2 石到 c 。( x ) 的连续满射 l e m m a1 4 ( 【1 】1 3 3 )2x 和c ( x ) 都是k ( c ) 的连续像，其中c 是c a n t o r 三分 主要结果关于n 重超空间 由l e m m a1 3 、l e m m a1 4 不难得出： l e m m a1 5c 。( x ) 是k ( c ) 的连续像 l e m m a1 6 ( 3 】6 7 1 ) n 是任一正整数，如果x 包含一个有不可数多个连通分 支的开集，则c n ( x ) 也包含一个有不可数多个连通分支的开集 l e m m a1 7 ( 1 】1 3 7 ) 对于连续统】，存在连续满射厂：】，专k ( c ) 当且仅当】， 包含一个有不可数多个连通分支的开集 由l e m m a1 7 我们容易得到： t h e o r e m1 1 对于连续统x ，存在连续满射厂：c n ( x ) - - - - ) k ( c ) 当且仅当c n ( x ) 包含一个有不可数多个连通分支的开集 t h e o r e m1 2 如果x 包含一个有不可数多个连通分支的开集，则存在连续满射 厂：c n ( x ) 专k ( c ) 证明：由l e m m a1 6 和t h e o r e m1 1 易得 t h e o r e m1 3 x 、y 是连续统，并且存在从c 。( x ) 到】，的连续满射，则】，是 w e a k l yc h a i n a b l e 、a r c w i s ed e c o m p o s a b l e 证明：首先由【1 】中的t h e o r e m4 7 证明可知， 宰任何不可分解的连续统都包含一个有不可数多个连通分支的开集 由木和l e m m a1 7 ，我化有 1 4 关于n 重超空间 主要结果 ( 1 ) k ( c ) 是w e a k l yc h a i n a b l e ： ( 2 ) c 。( x ) 是w e a k l y c h a i n a b l e 由假设，x 、】，是连续统，且使得】厂是c 。( x ) 的连续像，则由( 2 ) 可知】，是w e a k l y c h a i n a b l e 以下我们证明y 是a r c w i s ed e c o m p o s a b l e 因】，是c n ( x ) 的连续像，又由l e m m a1 5 存在连续满射厂从k ( c ) 到y 上令氏是k ( c ) 的子连续统，使得厂( a o ) = 】，并且任何包含在气中的k ( c ) 的子连续统a 都不能使 厂( a ) = 】，成立( 由z o r n sl e m m a 可知a 0 是存在的) 如果k ( c ) 的顶点v 是八的割 点，则八是两个弧连通真子连续统的并，如果v 不是a o 的割点，则氏是一个弧， 无论哪种情况，都存在a o 的弧连通的真子连续统a l 、a 使得a o = au 龟则【a 1 】 和厂 如】是y 的弧连通的真子连续统，使得y = f 【a 1 】u 厂【 】即y 是a r c w i s e d e c o m p o s a b l e l e m m a 1 8 ( 【8 】8 1 9 ) 任何两个非退化的局部连通连续统是彼此的连续像 t h e o r e m1 4 如果x 是c h a i n a b l e 的连续统，则x 是c 。( x ) 的连续像当且仅当x 是弧 证明：如果x 是c n ( x ) 的连续像，因为c n ( x ) 弧连通，故x 道路连通，又x 是 h a u s d o r f f 的，故x 是弧连通的又弧是唯一的弧连通的c h a i n a b l e 连续统，从而x 是 弧 如果x 是弧，则x 局部连通，又c n ( x ) 局部连通，由l e m m a1 8 可得证 x 被称作c i r c l e 1 i k e ，如果对任意的g 0 ，都存在开集族v _ - h ，屹) 覆盖x ， 并且使得：，： 主要结果 关于n 重超空间 ( 1 ) v 中的元素都是x 的开子集 ( 2 ) 任取i ，j l ，n ) ，当且仅当ii - ji 1 或i ，j 1 ，n ) 时，kn 屹o ( 3 ) 每个v 的直径都小于占，i - 1 ，2 ，n t h e o r e m1 5 如果x 是c i r c l e - l i k e 的连续统，则x 是c n ( x ) 的连续像当且仅当x 是c i r c l e 证明：x 是c n ( x ) 的连续像，由t h e o r e m1 3 可得x 是a r c w i s ed e c o m p o s a b l e 又c i r c l e 是唯一的a r c w i s ed e c o m p o s a b l e 、c i r c l e - l i k e 连续统故x 是c i r c l e x 如果是c i r c l e ，则x 局部连通，由l e m m a1 8 可得x 是c n ( x ) 的连续像 最后我们给出关于只( x ) 、f ( 四、c 二( x ) 的几个结论 t h e o r e m1 6 对于任何连续统( x ，d ) ，c 二( x ) 在x 处是局部弧连通的 证明：证法与t h e o r e m3 类似 t h e o r e m1 7 x 是连续统，则对任意的正整数1 1 ，( x ) 无处稠密于e + 。( 柳， 特别地，l ( x ) 无处稠密于2 x 证明：对于任取的t i en ，假设砌镌h ( x ) ( 只( x ) ) o 取a n k 。( x ) ( e ( x ) ) ，设a = a l ，a 2 ，a k ，其中k n 贝0 存在占 o ，使得 1 6 关于n 重超空间 一三鎏暨堡 二- - 一 一 哆( a ) ne + l ( x ) 砌k ，( x ) ( e ( x ) ) 不失般性，我们可以假设任取j 、 j 1 ，k ) ，使得当且仅当j ，时，曙( 口，) n 曙( q ) = o 假设n - k = m ， 取m + 1 个点五，x m + 1 蟛( q ) a i ) ，令b = a u 五，x m + l ， 则b 只+ l ( x ) c ( x ) ，并且h ( a ，b ) l 时，令q 1 7 、， i 、 x 2 ， 。u 树 主要结果关于n 重超空间 是b 在f ( 抑中的紧邻域取s o ，使得哆( 功nf ( q 并且，任取j 、k 1 ， 2 ，n ) ，当j k 时，蟛( 6 _ ，) n 蟛 ) 锄取c c ( x ) ，使得6 1 cc _ 蟛( 岛) ， 并且 b 1 ) c 令 而) 墨l c ，并且 x ，) 墨。0 r , 敛5 = b l ，对每个，n ，令4 = x a ， 而) ，a o = 西) 墨，u 6 l ，则对每个，n ，b u4 v y ( b ) nf ( ，并且序列 b u4 ) 置，收敛于b ua o ，但是b ua o 芒f ( 幻，矛盾 a f t f ( x ) 不是局部紧 的 1 8 参考文献 1 】s b n a d l e r ，j r ，h y p e r s p a c e so f s e t s m a r c e ld e k k e r n 1 9 7 8 2 】s m a c i a s ，o nt h eh y p e r s ；p a c e s c 。( x ) o fac o n t i n u u mx ，t o p o i 。g y a