（基础数学专业论文）某些三角剖分上的二元二次样条函数的光滑连接问题.pdf

某些三角剖分上的二元二次样条函数的光滑连接问题 研究生：许爽爽 指导教师：王晶昕 聿聃专业：基础数聿 摘要f i 面造型是计算几何领域中一个重要的研究方向，8 样条曲面、b d z i e r 曲 面以及光滑余因子协调泫都是曲面造型的重要方法而曲面片之问的光滑连接是一 个重要而困难的问题奉文运用光滑余冈予方法讨论某些三角剖分上的工元二次多 项式样条函数的光滑连接问题，应用光滑余因子方法，从多元样条卒问的协调方程 出发，研究具有个内网点的多边形区域内分别不存在贯穿三角剖分和存在贯穿三 角剂分条件f 的两个。：元：次多项式样条两数的光滑连接问题，给出了这样两个j ： 元一j 次样条函数自然连接为一个_ 元一j 次样条函数的条件然后，针对定义在矩形 区域l 互小相交的两个二元二次多项式样条函数的光滑连接问题分别在( i ) 内划线 互不相交平uf i i ) 内网线存矩形边界l 相交两种情形下给m 例子说明这种连接取决 于对连接区域所进行的剂分，并且应片j 这些结论给出f | 面光滑连接的演示图最后 说明了在一利r 类1 一型三角剖分上二元二次样条函数s g 的存在性及在其上曲 晰光滑连接的可行性 关键词二元二次多项式样条函数；_ = = 角剖分；光滑连接；光滑余凼子 1 引言 随着c a g d 和c a m 技术的发展，复杂曲线、曲而几何造型成为其重要的研 究方向之一，其。泛应埘于汽车、航空、造船、模具等行n k 的外形设计和制造巾 t 业产品形状的数学描述重在解决曲面的数学描述，山于实际物体的复杂性，用单 一曲而片往往难以实现，必须使用组合曲而，譬如，汽车的顶茄和前而的挡风玻璃 之问就需要一个过渡而将它们光滑连接，在连接处达到几何连续如何把组合曲而 拼接得“天农无缝”烛颂艰臣的j ：作因此在曲线、曲面儿何造型叶1 ，曲面的几何 造型冠得更加重要义由于对曲面的数学描述奉身比较困难，冈此曲面的儿何造型 更加复杂 目前、b 样条曲而、b d z i e r 曲丽阱及光谢余凶于山法是当前曲而造型的土耍 方沾b 样条阱1 面和b e ! z i e r 曲面各有i 丈处，丌相补充b 样条曲面具有连续性高， 拱体配簧顶点的优点b d z i e i 一曲面则有装配灵活，适麻性强的优点将矩形域和三 角域两利b e ! z i e r 曲曲片混合造，他几乎可以构造出任意形状的曲面而这刘b 样 其些三角剖分上的= 元二j f ：样务函数的光滑连接问题 条曲面来说则常常是幽难的，它们的麻烦都在于曲面片之间的光滑连接另外，参 数样条曲面也是通用于曲面造型的方法然而，却很少有人应用光滑余因子方法研 究多元样条函数的光滑连接问题， 光滑余因子方法是研究多元样条函数的一种方法口前在同际上，多元样条雨 数的研究被大家所公认的有三大研究派流，b o x 样条方法、b 网方法以及光滑余 冈予方法( f 3 1 ) 其中光滑余冈予方法是一种经典的代数几何方法，这一方法是王仁 宏教授创立的，光滑余因子方法沟通了多元样条与代数问题的等价转换关系，为用 代数方法研究多元多项式样条提供了条件文献3 1 成功地将样条两数的结构转化 为相应的代数问题在此框架f ，l e 及他的合作者对多元样条酮数空间进行了深入 的研究，取得了一系列研究成果、在多元多项式样条空间及多元有理插值样条等研 究方而做了人量的研究工作，并有。 | 英文著书出版光滑余凼子方法可以研究任意 剂分下的多元样条函数空问，多元样条的一些问题，例如曲面的光滑连接问题，最 终可以归结为对协调条件的研究从光滑余因子方法的观点，任意剖分上的多元样 条函数的结构以及有关的汁算本质上都归结为求解相应剖分上的协调方程组一多项 式环f ：齐次代数方程组f f l l l ) 用光滑余凶子方法研究曲面的光滑连接问题的主要困难在于求解协调方程组 f h 烛，光滑余因子法却为用代数方法研究多元多项式样条函数的光滑连接问题提供 了便利条件本文在给出了多元样条函数的基本理论和曲线曲面的光滑连接理论之 后，主要应用光滑余因子法研究二元二次多项式样条的光滑连接问题旨先应用光 滑余吲子乃法，从多元样条卒闸的协调方程f 发，研究定义在有一个内网点的多边 形区域上的两个二元一：次多项式样祭两数在三角荆分条件f 的光滑连接问题，分别 | 寸论了多边形区域内不存在贯穿剖分和存在贯穿剖分两利”晴形，给出了分别定义在 存在这两种情形的多边形医域上的两个二元二次多项式样条函数光滑连接为一个 二元二次样条函数的条件 其次，针对定义在矩形区域上的两个瓦不相交的二元二次多项式样条甬数光 滑连接成为一个元次样条函数的问题在内网线互不相交和内网线在矩形区域 边界上相交两种情形下给出例了说明这种连接取决于剥连接区域所进行的剖分，井 h 应几 这些结论利用m a t h e m a t i c a 给了演示罔 最后通过计算说明在种类1 一型的三角削分上：元二次样条函数8 岛的 存在性及在其上曲面光滑谴接的可行性 2 多元样条函数基本理论及曲线曲面光滑连接理论 奉章肴蘑介绍了多元样条幽数的基本理论和曲线曲面的光滑连接理论 某些三角剖分上的二元二次样条函数的光滑连接问题 2 1 多元样条函数基本理论 所谓样条函数，就是具有一定光滑发的分段或分片定义的函数，如果在每段或 每片上定义的函数都是多项式，则称为多项式样条函数 多元样条函数的研究有着深刻的实际背景和重要的理论意义，随着计算机 和计算机技术的发展，样条甬数成为许多实际问题的工具，广泛的应用于计算 机辅助几何设计( c a g d ) 、曲线和曲面几何造型、计算机辅助几何设计与制造( c a d c a m ) 等诸多领域此外，在散乱数据插值以及拟合中，多元样条也有着广 泛的应用 2 0 世纪6 0 年代至7 0 年代初g b i r k h o f f , h l g a r a b e d i a n 和c a r ld e b o o r 等研究并建立了一系列关于c a r t e s i a n 乘积型的多元样条理论c a s p i a n 乘积型多元样条虽然有一定的应用价值，但有很大的局限性，且在本质上可以看作 是元样条函数的简单推广目前，研究多元样条函数的方法大体上有三种一种 是经典的代数几何方法，亦称光滑余因子方法，这一方法是王仁宏在1 9 7 5 年引进 的，之后王仁宏，s h u m a r k e r ，c h u i 等学者用这种方法进行了大量的研究工作，得 到了丰富的结果此方法深刻的刻划了多元样条光滑连接的内在性质，井建立了光 滑连接所应满足的协调方程，进而使求样条空间的维数和基底等问题归结为求解协 调方程的问题此方法对样条空间的结构研究有重大意义其二是利用单纯形上多 元多项式的b d z i e r 网表示，简称b 网方法其三是投影算子法，亦称b o x 样条法， 由c u r r y 和s c h e o n b e r g 建立的，本质是研究高维多面体在低维多面体空间上的投 影铡度函数 我们先对光滑余凶子方法的相关概念及结论做必要的陈述 光滑余因子方法亦称代数儿何方法为叙述方便，首先引入一些常用记号用 大写字母x ，y ，z ，表示欧氏空问p 巾的向量，用小写字母乩，矾等表示它们的 分量，即x = ( z 1 ，z 2 ，z 。) r 8 ，y = ( y 1 ，可2 ，一，弘) 费，x ，y r 5 的内 积为 x y = ( x ，y ) _ 置叭 4 = 1 若集合acr 3 ，则 ， a i ，v o l 。f 创分别表示a 的线性生成，闭凸包，s 维 勒贝格测度函数 对分量是非负整数的向量o ，卢，r 5 ，则记 o l = 0 r 1 4 - 2 + - - 4 - o 。，x 。= z ? 1 z ；2 。；。 o ! = 口11 d 21 凸s ! 集合r = h i 。c o x 。i c o r ) 表示次数4 ：超过的多项式空问 篡些三序j 剖分上的二元二次样条函数的光滑连接问题 设d 是平面上一个单连通区域，有限条不可约代数曲线将区域d 分割成有 限个子区域，每一个这样的子区域称为一个胞腔形成胞腔边界的曲线段称为嘲线， 网线之间的交点称为网点，所有胞腔，网线和阿点的集合称为区域d 的一个剖分， 记为包含一个网点p 的所有胞腔的并集称为网点p 的关联区域，记为s t ( p ) 定义2 1 1 位于区域d 内部的网点称为内网点，否则称为边界网点；如果一条 网线的内部属于区域d 的内部，则称此网线为内网线，否则称为边界网线 设为区域d 的一个割分，取( 1sist ) 是韵所有胞腔，则空间 碟( ) = 8 c ”( d ) ，s l d 。p k ，1 i t ) 称为k 次p 阶样条函数空间，雕( ) 中的元素称为关于的k 次肛阶样条函数 为阐述光滑余因子方法，介绍下面的b e z o u t 定理： b e z o u t 定理设p l ( z ，) 与p 2 ( 。，y ) 分别是m 与n 次的代数多项式如果它 们的公共零点数多于m n ，则p 1 ( 。，y ) 与p 2 ( z ，g ) 必有非平凡的公共因子存在 基于上面的b e z o u t 定理，王仁宏在文3 1 中指出了多元样条函数光滑连接的 内在本质，表现为下面的定理 定理2 ，1 2 设8 5 譬( ) ，d ，与d ，是剖分中的阿相邻胞腔，不可约 代数曲线r 玎：幻( z ，y ) = 0 且2 玎( z ，y ) 只是n 与b 的一条公扎网线， p i ( x ，y ) = s i d 。，鳓( z ，y ) = s i d ，0 有 p i ( 。，移) 一，o ( 。，y ) = l ( x ，y ) 】”+ 1 口巧( 。，f ) ( 1 ) 其中0 ，) p 七一( 。+ - ) 。，称( z ，y ) 为网线r ”上的光滑余因子 定理2 1 2 指出了多元样条函数s ( x ，y ) 彤( ) 这个分片解析的函数在各胞 腔上的表达式具有一利，延拓性质：两相邻胞腔的表达式之问只相差一个修正项( 如 ( 1 】式所示) 如果在剖分下存在内嘲点的话，则只有这种延拓性质就不够了 设p 为的一个内网点，p 的关联区域s t ( p ) 有p 个胞腔，记为d 1 ，d 2 ，一， d ，d 。与d 1 的公共网线记为f 。，：2 0 如，y ) = 0 ，i = 1 ，2 ，n ，d n p + 1 = d 1 由( 1 ) 式不难得到 n r , 峨j ( x ，) p q q ( x ，y ) = 0 ( 2 ) 其中q q ( x ，y ) r 一“+ ) 。，( 2 ) 式称为样条函数s 罐( ) 在内网点p 处 朐协调条件 设将所有内叫点列为p 1 ，尸2 ，一，p f ，则 限j ( x ，p ) p q q ( x ，) i0 ，= l 州2 ，m b 某些三南剖分上的二元二次样祭函数的光滑连接问题 称为“整体协调条件”，其中对每个内网点r ，协调条件中各q 。符合( 2 ) 中所作的 说明 下述定理给出了多无样条函数的本质特征 定理2 1 3 对给定剖分，存在非蜕化的样条函数s 础( ) 的充要条件是 在每个内网线上存在非零光滑余因子，且在每个内网点处满足协调条件( 2 ) 式 定理2 1 2 实际上指出了多元样条函数的逐片开拓性质，这种性质使得我们十 分便于给出多元样条函数的表现形式 定理2 1 4 雕( d ，) 中的任一样条函数s 扛，y ) 均可唯一的表示为 s ( 。，) = ，( z ，) + ( z ，g ) 】1 ( g ，g ) ( 为f ) d ( 3 ) c 其中p ( 而y ) 最为s ( 马) 于源胞腔上的表达式，c 表示对所有一切内网 线求和，而且当c 越过r 时恰好从d j 跨入d i ，( z ，y ) 为r 巧：l i j ( ：v ，y ) = 0 上的光滑余因子 结合定理2 1 4 和( 2 1 式，可以建立如下定理： 定理2 l 5 对于给定的剖分和确定的流线g ，多元函数o = s ( x ，y ) 是 钟( d ，) 巾的样条函数，必须且只须( 3 ) 式和整体协调条件( 2 ) 式同时满足： js ( 。，y ) = p ( x ，y ) + c 巧( z ，) 】1 - q i j ( x ，f ) ，( 。，y ) d ， l 只，( z ，y ) 】1 ( z ，y ) = 0 ， 其中r 取遍所有内网点 在文献10 1 巾，王仁宏给出了n 维样条函数的基本理论框架这些结果与上 面关于二元样条的结果类似在专著【3 1 中，详细介绍了光滑余冈子协调法在多元 样条中的理沦及其应用，包括各种多元样条空问的维数，基函数组，特别是具有局 部支集的样条基函数组等等 2 2 曲线曲面光滑连接理论 我们知道单一的曲线曲面不能满足描述复杂形状的需要，因此必须采用组合 的曲线曲面，使得复杂形状的曲线与曲面满足一定的光滑连接条件，以满足实际的 需要凶此对_ ：两个不相连接的样条曲线曲而，如何实现它们之问的光滑连接，就 成为。个在理论和应川上都十分币要的问题 关于连接的光滑度的度量有两种一种是多年来沿用的函数曲线的可微性，即 令曲线曲面在连接处具有直到n 阶连续导矢叫n 次连续可微，这类光滑度称之为 某些三南剖分上的二元二次样条函数的光滑连接问题 e n 或i 1 阶连续性由于c n 不能客观准确度量曲线曲砥的光滑性，取而代之就是 被称为视觉连续性的几何连续性，曲线曲面在连接处满足不同于c 的某一纽约束 条件称之为具有n 阶几何连续性，筒记为g “几何连续性通常用于参数曲线曲丽 几何连续性g n 是对g n 的松弛，但不是对光滑性的松弛组合曲线曲面在连接处 的光滑度与组合曲线曲面整体的光滑度是不矛盾的，前者包含在后者之巾 在这一部分，首先介绍一元样条函数的光滑连接理论我们知道，一元样条函 数的理论已经非常完善在样条空间的定义域中，型值点的选取保证了样条插值的 适定性因此相对于样条节点，型值点的选取在保证样条的插值适定性中起到了重 要的作用1 9 5 3 年，i j s c h o e n b e r g 与a w h i t n e y 给出了重要的样条函数适定 性定理，即著名的s c h o e n b e r g w h i t i l e y 定理( 1 ) 这个定理关于适定性问题给出 了一个很好的描述 s c h o e n b e r g - w h i t n e y 定理若给定点列o o t 1 2 t n + 。+ 1 冬 z _ + 1 和任意的，组实数y l ，珈，- 一，y n + 。+ 1 ，则存在唯一的一个n 次样条函数 5 ( z ) 岛陋o ，1 ，一，。+ 1 】，使得s ( 勺) = 驺0 = 1 ，2 ，- 一，+ n + 1 ) 的充要条 件是t 。 甄 t + 。+ 1 ( i = 1 ，) 但是这个定理并没有给出适定插值结点集的构成规律，王仁宏与王晶昕在 f 2 1 巾给出了与s c h o e n b e r g w h i t n e y 定理等价的。元n 次适定结点组的构成定理 定理2 2 2a = 南i i = 1 ，2 ，一- + n + 1 ) 是样条空问晶= s n z o ，0 1 ，一， o + 1 1 的一个适定集当且仅当a 是晶的有限个互4 i 相交的完备局部适定集的并， 并且a 的任意两个相邻的完备适定区间都被n 一1 个样条节点分离 由定理2 2 ，2 可知，如果个一元n 次样条的适定结点组是由两个不相交的完 全局部适定结点组构成，则这两个适定结点组所在的适定区间之间必有n 一1 个样 条节点 由定理2 2 2 得到了如下定理( j 6 1 ) 定理2 2 3 对于分别定义在k ，6 】 f c ，d j ( a 6 c d ) 两区间上的两个n 次样条函数s 1 0 ) 和s 2 扛) ，当在( b ，c ) 之问插入n 1 个样条节点时，可以得到 【a ，d 上的一个n 次样条函数s ) ，使得。 o ，6 】时，s ( x ) = s t ( 。) ；z 【c ，棚时， s ( x ) = s 2 ( z ) ， 因此，对于两个一无次样条函数s t ( 。) ，z a ，6 及8 2 ( z ) ，。f c ，棚，其 中b c 若想将s 1 ( - ) 与8 2 ( ) 扩充为【a ，d 上的一元n 次样条函数s ( ) ，使之在 【a ，q 上及【c ，司上的限制分别为8 1 ( ) 与s 。( ) ，只要在( b ，c ) 中添加n 一1 个样条节点 即町这说明，对_ 二给定的两个互不相交的一兀n 次样条函数曲线8 1 ( z ) 和s 2 扛) ， 对于每个南n 一1 个节点组成的对( b ，c ) 的剂分，都存在唯个元n 次样条函 数曲线将：者连接，使之成为一个【a ，d 上的i 2 次样条喃数从粜种意义上来说， 插值就是一种连接 由定理2 2 ：3 可以得到两条不相连接的参数样条曲线的光滑连接条f ，卜 某些三角剖分上的二元二次样条函数的光滑连接问题 推论2 2 1 对于分别定义于f a ，6 ，c ，d 1 ( a b 2 的g ”连续性，在那里几何量少了或根本用不上了，难以看出 g ”连续性有什么实际意义 在8 1 中，作者根据参数 f | 1 面几何连续性的定义，提出了一一种在b 样条 i i 面间 实现g r o 和g ，连续的方法与以往研究- 丁作不同，光滑拼接的实现不是去推导两 邻接曲面控制顶点所席满足的条件，丽是调整已有曲面的边界控制顶点 定义朗b 样条曲而表示为 某些三自剖分上的二元二次样条函数的光滑连接问题 t r l ln 1 p ( s ，) = d b m ( s ) g j ( t ) ，s 8 1 e 1 ，8 m l + 1 ，t t 。，+ t i = 0 j = o q ( t 正， ) t 正 t 正b ，u m ：+ 1 ，u 叻2 ，t k ：+ 1 】 其中，畦，( i = 0 ，1 ，? 9 9 , 1 ；j = 0 ，1 ，7 2 1 ) 和d i f a = 0 ，1 ，m 2 ；= 0 ，1 ，一，n 2 ) 称为控制顶点网格，参数8 与t 的次数为k 1 与z 1 ，两个节点矢量 s = s o ，8 1 ，一，s m l + k ，+ 1 ) 与t = t o ，t l ，t n l + l l + 1 ) ；参数u 与口的次数为乜 与z 2 ，两个节点矢量u = u o ，u l ，- 一，u r n 2 + k 2 + i ) 与v = 口o ， l ，v n 2 + t 2 + 1 ) 各节点矢量按规范化取值，对s 麻有8 0 = s 1 = - = 8 h = 0 ，s 。，+ 1 = s 。，+ 2 一= 8 m l + k ，+ 1 = 1 ，t ，u ，v 的取值与此类似 两参数曲面的g o 连续性指两曲而具有公共连接线，即b 样条曲面应满足 p ( s ，0 ) = q ( t ，1 ) ( 4 ) 则两b 样条曲面的( 严拼接算法为： 首先在两曲面相邻边界曲线q ( u ，1 ) 与p ( s ，0 ) 上布置检查点，并以q ( u ，1 ) 作 为基准，调整p ( s ，0 ) 上各检查点；再使用调整后的检查点列重新拟合p ( s ，0 ) ，利用 p ( s ，o ) 的控制顶点代替曲面p ( s ，t ) 的第o n 控制顶点以修改曲面p ( s ，t ) ；最终实 现两曲面问近似g o 连续如果拼接效果不理想，则调整检查点列并重复进行以上过 程这种方法较为简单，曲面经修改后也没有大的变形，但调整幅度不能过大 对于两b 样条曲面的g 1 光滑拼接，则给出了一种离散算法( 8 1 ) 首先，在曲 面公共边界处布置检查点并计算这些点处两曲面的边界切矢与跨界切矢；再根据参 数曲而几何连续性定义调整边界控制顶点，实现光滑拼接该方法不受曲面次数的 限制，且可以处理复杂拼接问题 文献9 1 巾，作者给出了两个b z i e r 曲面片间j l 何连续的条件，若给定m n 与1 n 次b d z i e r 曲面片 s 1 ：p ( “，”) = a 。鼠，。( u ) b j ，。( ) ，u ( o ，1 ) ，”( o ，1 ) i = 03 = 0 s ? ：q ( “，t j )u ( 0 ，1 ) ，v ( 0 ，1 ) m “m j m 伽 m ：l 岛 ub b 。舢 。：l 菜些三角剖分上的二元二次样奈函数的光滑连接问题 最，岛( 产连续时，p ( “，1 ) = q ( u ，o ) ，它们的控制顶点须相同即 a i ，。= b i ，o ( i = 0 ，1 ，n ) ( 5 ) s l ，s 2 沿公共边界g 1 连续的充要条件是存在函数a ( u ) ，p ( ) 满足 q ( ) = a ( “) p 。+ p ( “) p 。( 6 ) 进一步，为保证两曲面在公共等参数线处不形成尖棱，取a ( u ) 0 ，另外为满足p 和q 在u 方向上次数不变应把函数a ( “) 取为常数，肛( u ) 取为线性函数，即 ( u ) = a ，卢( ) = ( 1 一“) 芦+ u ，y ( 7 ) 将( 7 ) 代入( 6 ) 后经整理( 6 ) 成为 l ( a l j a o j ) = a m ( b m j b 一1 ) j ) + 助( b w b m j 一1 ) + ，y ( n j ) ( b m j + 1 一b m ，)( 8 ) 利用这些条件通过构造过渡曲面来达到光滑拼接两b g z i e r 曲面这种方法为曲面 拼接提供了更多的自由度，将这些自由待定参数称为形状参数，设计人员不用改变 控制多边形，而仅仅改变形状参数就可以达到改变曲面形状的要求文献 9 】所得 结果是对刘鼎元，胡康生等研究成果的改进 3 有一个内网点的多边形区域上的二元二次多项式样条函数 光滑连接问题 3 1 想法与问题 曲面的光滑连接都是基于存种实际应用而做出的，例如在汽车、造船、航 空、模具等行业的外形设计和制造中，曲面造型都有着广泛的应用由于样条函数 本身的性质使得样条函数成为曲而光滑连接的最行之有效的方法，而多项式样条是 样条甬数中表达式最简单的，因此，在这一部分，我们就应j 耵光滑余囚子方法，讨论 有一个内网点的多边形区域d 在三角剖分条件之b - ，定义在其上的二元次多项 式样条函数的光滑连接问题 某些三角剖分上的二元二次样条函数的光滑连接问题 3 2 多边形区域内均为非贯穿剖分的情形 因为平移变换不改变曲线曲面的几何性质，不妨设此内网点为坐标原点o ， 我们有如下约定： 设d 是孵中的一个连通区域令= f k ，：o ) ，其中的诸都是 三角形区域，并且任意两个都没有公共内点j 是一个有限集，d = u 。；， 设d 1 及d 2 分别是由巾有限个连通的三角形区域的并组成的多边形区域， d l n d 2 = 0 ) 设p ( ，- ) 与q ( ，) 分别是定义在d 1 与d 2 上的两个二元二次多 项式样条函数 中诸三角形区域致的公兆边界称为内阿线，由于诸内网线均过原点，则 它们可以表示为8 x + t y = 0 形式从d 1 开始沿逆时针方向依次为三角胞腔 耳。，一，凰一，其中d 1 与蜀的公共内刚线为f l ，玛一。与玛的公共内网线为如 0 = 2 ，k 一1 ) ，甄一1 与d 2 的公共内网线为2 k 在这一= 亿我们讨论当多边形区域d 内不存在贯穿剖分的情形记d 3 = 1 u u 虬一1 我们试图取一个适当的k ，建立。个d 1 u d 2 u d 3 上的一二元： 次样条函数s ( ，- ) ，使之在d - ，_ d z 上的限制分别是p ( ，- ) 与g ( - ，- ) 亦即确定一个 二元二次样条曲面将p ( x ，y ) 和q ( z ，y ) c 1 光滑连接 由样条函数的构造可知，只需考察d l 与d 2 都是三角胞腔的情形( 如图1 ) 图1 ：有一个内网点的多边形区域 由于p ( z ，y ) 和g ( z ，y ) 是过原点的二元二次多项式样条雌面，设 p ( 。，y ) = c l x 2 + c 2 y 2 + c 3 x y + c 4 。+ c s y q ( z ，y ) = d 】z 2 + d 2 y 2 + d 3 x y + d 4 x 十d s y 薹些三鱼型坌圭塑三垄三查堡鱼鱼塾壁垄鲎连垫塑墨 若想保证曲面2 = p ( x ，9 ) 和。= q ( x ，g ) 能够被一个二元二次样条曲面c 1 光滑连接，则p ( x ，y ) 和g ( z ，y ) 在( 0 ，0 ) 点应有相同的偏导数： 故 却鼬却鼬 瓦2 瓦面2 面 即p ( z ，y ) 和q ( x ，y ) 沿着。轴方向和f 轴方向的切线应该是分别相同的而 塞_ 2 c ，z + c 3 + c 4 ，瓦o q = 2 d l x + 咖+ d 4 ，d z( ，z 宝= 2 c 卅c 3 z + c 5 ，下o q = 2 d 2 y + o y 如“， d j2 c l x + c 3 9 + c 422 d l x + d 3 + d 4 i2 c 2 y + c 3 z + c 5 = 2 d 2 y + d a x + d 5 ， 从而得c 4 = d 4 ，c 5 = d 5 设f ，的方程为s i x + 缸= 0 ( i = 1 ，- 一，) 则由多元样条函数的结构定理 ( 1 】) 知，存在m ，慨r ，使 且有 p ( x ，可) + 尬( s 1 茁+ t 1 掣) 2 + ( s 2 z + t 2 可) 2 + + ( s 女。+ 靠管) 2 = q 扛，可) 整理得 ( 蝎s ；+ 如s ；+ + 慨s ：) z 2 + ( 尬t ：+ m 2 t ；+ + m e t ：) y 2 + 2 ( 磊s l t 】+ 如s 2 2 + + 靠乳“) z 掣= ( d 1 一c 1 ) 卫24 - ( d 2 一c 2 ) 可2 + ( d 3 一c 3 ) z y + ( d 4 一c 4 ) 。+ ( d 5 一c 5 ) 可 由于c 4 = d 4 ，。5 = d 5 ，故 l l + 乱s ； + 缸s ； + f e s k t k d 1 一0 1 d 2 一c 2 j 1 ( d 3 一c 3 ) 2 + 鲈 。慨 。m + 鲈 p | l 可 os k坨砖如如 且 + + + t 埒乱 ， ，、l 采些三角剖分上的二元二次样条函数的光滑连接问题 对于这个以 五( i = 1 ，2 ，k ) 为未知数的方程组，它有唯一解的必要条件是 k = 3 考察 占的系数矩阵为 它的行列式为 + s ； + m 2 t ! + m 2 s 2 2 = a l c 1 = d 2 一c 2 = j 1 、d 3 一c 3 ) ，s i s ；s ； 、 a = i t ；t ； i s l t l s 2 t 2 s 3 t 3 a f = ( s 3 t 1 一s l t 3 ) ( s l t 2 一s 2 t ；) ( s 2 t 3 一s 3 t 2 ) 当s s t l 一s l t 3 ，s l t 2 一s 2 t 1 与s 2 t 3 8 3 t 2 都不为零，即内网线s 。o + t 。f = 0 与 s i x + 白= 0 ( i j ，i ，j = 1 ，2 ，3 ) 不共线时，i a i 0 ，亦即此时存在一个定义 在d 3 上的样条曲面将p ( z ，y ) l iq ( z ，y ) 光滑连接这样就得到下面的定理 定理3 21d 是具有一个内网点的多边形区域，在三角剖分之下，对于定义在 d 内的两个无公共内点的区域d ，d 2 上的两个二元二次多项式样条函数s 1 ( z ，y ) ， s 2 ( z ，g ) ，当d 1 与d 2 之问的部分d 3 中只有一条通过内网点的内网线，且这条内 网线，d 】和d 3 的公共内网线以及d 2 和d 3 的公兆内网线三者中任两者都不共线 时，s 1 ( 。，) ，s 2 ( z ，f ) 必能被d 3 上的一个二元二次样条函数g 1 光滑连接成一个 d 1u d 2u d 3 上的二元二次多项式样条函数 由定理3 2 1 可知，我们确定了= 3 ，则d 3 = k 1u k 2 ，即d 1 与d 2 之间的 部分d 3 中只有一条通过内网点的内网线，且这条内网线与d l 和d 3 的公其内网 线以及d 2 和d 3 的公共内网线三者巾任两者都不共线时，p ( x ，f ) ，口( z ，) 必能够 被d 3 上的一个样条函数e 1 光滑连接成一个d 1ud 2ud 3 上的二元二次样条函 数 接下来我们讨论当d 3 内通过内网点且两两互不共线的内网线的条数不少 于2 条时，是否存在二元二二次样条函数将p ( x ，”) 与q ( x ，y ) c 1 光滑连接成一个 d 】d 2 d 3 上的二元次样条函数 首先我们考虑= 4 ，巳d 3 内有两条通过内嘲点且两两不共线的内嘲线的情 形( 如同2 ) 此时，在f ，上必存在光滑余因子，任取f ，上的。个光滑余因子尬使得定义在 三角胞腔k 1 上的一元_ 次样条函数p ( z ，y ) = p ( x ，y ) + m 1 曩r h 于1 2 ，1 3 与k 两 两互4 i 共线，根据定理3 21 可知，存在一个二元二次样条函数将p ，( o ，y ) 与q ( x ，y ) 1 2 坛霹缝曲慨地慨 + + + 晴印m 舰尬 ，、l 某些三角剖分上的二元二次样条函数的光滑连接问题 图一2 ：有一个内网点的三角剖分 c 1 光滑连接由此可知，当d 3 内有两条通过内嘲点且互1 i 共线的内阿线时，在 d 3 上同样存在二元二次样条函数将p ( x ，y ) 与g ( z ，y ) c 1 光滑连接，井且存在一个 可以调节的自由度m 1 当d 。是由k 一1 个三角胞腔组成的区域时，此时i ) 3 内有k 一2 条通过内网点 且两两互不共线的内阿线，首先在z 。，“一3 上任取光滑余因子j _ i 磊， 靠“ 使得定义在三角胞胶一3 上的二元二次样条函数p ”( 七，y ) = p ( x ，y ) + m 1 日+ + 慨一3 2 2 3 ，再次应用定理3 2 1 可知，存在一个二元二次样条函数将一( z ，) 与q ( x ，) c 1 光滑连接，并且存在k 3 个可以调节的自由度 定理3 2 2d 是具有一个内阕点的多边形区域，在三角剖分之下，对于定义 在d 内的两个无公共内点的区域d 1 ，d 2 上的两个二元二次样条函数s 1 ( z ，) ， s 2 ( z ，y ) ，无论d 1 与d 2 之间的部分d 3 内有多少条通过此内网点的内网线，只要 这些内网线，d 1 和d 3 的公共内网线以及d 2 和d 3 的公共内网线两两h 不共线，在 d 3 上就存在一个二元二次样条函数( o ，y ) 将s 1 ( z ，y ) 与5 2x ，y ) g 1 光滑连接成 一个d l u d 2 u d 3 上的二元二次样条函数，并且随着d 3 内内恻线条数的增加，可 供过渡曲面s 吖z ，y ) 选择的自由度也相应的增多 以上我们讨论的是多边形区域内不存在贯穿剖分的情形，当如幽1 所示的三 角剖分中2 1 与k 共线时，即如图所示的多边形区域中存在贯穿剖分时，上述结论 却未必成立，在这里我们举一个例子 例1 取p ( x ，y ) = z 2 + 2 + 3 x y + 4 x + 4 y ，g ( z ，y ) = 3 x 2 + 2 y 2 + z y + 4 z + 4 f 取网线为z + y = 0 ，z y = 0 ，z + y = 0 则方程组( 9 ) 的增广矩阵为 塞些兰鱼型坌圭塑三垄三垄堡垒鱼墼塑查登垄焦盟墨一 4 = ( ；一 i i ) ， 易知方程组( 9 ) 的增广矩阵a 中出现矛盾行，此时方程组无解，从而不存在二 元二次样条曲面将p ( x ，y ) 和q ( x ，g ) c 1 光滑连接 3 3 多边形区域内存在贯穿剖分的情形 在这一节，我们讨论当多边形区域d 内f 1 与k 共线，即d 内存在贯穿j 二角剖 分时曲面的光滑连接情况( 如图3 ) 我们试图对_ d 3 进行适当的刑分，即取得合适 的，使得) 3 = k l u u j q 一1 ，从而建立一个d u d 2 u d 3 上的二元二二次样 条函数s ( 丫) ，使之在d l ，d 2 上的限制分别是p ( ，) - 9q ( ，) ，亦即确定一个i ) 3 上的二元二次样条函数将p ( x ，y ) 和g ( 2 ，y ) c 1 光滑连接我们仍然考察d i 与d 2 都是三角胞腔的情形( 如图3 ) 图一3 ：有一个内网点且存在贯穿剖分的多边形区域 如图4 所示，首先在d 3 内任意取一条与f ，不共线且通过内网点的的内网 线1 2 ，则在如上必存在一个光滑余因子m i 使得定义在三角胞腔甄上的二元： 次样条函数p ”( 。，y ) = p ( ，y ) + f 2 j 又由于1 2 与k 币共线，则山定理3 2 1 可 知，如果在f 2 与z k 之阳：| 再有一条通过内嘲点且与f 2 与k 都4 i 共线的内m 线1 3 ，即得 q ( z ，y ) = p ”x ，f ) + 瑶+ 瑶+ a 瑶从而d 3 卜存在一个二元二次样条函数 p ( x ，) + f + 嚏+ + 髫堙将p ( x ，) 与g ( z ，y ) c 1 光滑连接，并且 ，一， 髹 随着 “的变化而变化此时= 4 ，d 3 = 甄u 如u k 3 ，从而可得： 某些三南刊分上的二元二波样条函数的光滑连接问题 定理3 3 1当z ，与k 共线，即多边形区域d 内存在贯穿剖分时，只要在 d 3 内有不少于两条通过内网点的内网线f 2 ，一，k 一1 ，且它们与z - 两两互不共线 时( 如罔4 ) ，在d 3 上就存在一个二元二次样条函数将8 ( 。，) 与s 2 ( x ，y ) c 1 光滑 连接 图5 ：有一个内网点且存在贯穿剖分的三角剖分 取 = 1 ，则在z l ，如，f 3 ，2 k 上的光滑余因子分别为n g = 1 ，肘：= 矗，m j = ：， = 一i 此时，p ( z ，) 和q ( x ，) 在巾f l ，1 2 ，1 3 和l k 组成的三角剖分上实现光 滑连接( 如图6 ) 图一6 ： 爿= 1 由于z ：与强不共线，根据定理3 2 1 ，可得f ；，玛上的光滑余因子，则 p ( z ，y ) 和口( z ，y ) 在图5 所示的三角剖分上实现光滑连接( 如图7 ) 图一7 ：p ( x y ) 和q ( x ，! ，) 的光滑连接 菜些三角剖分上的二元二次样条函数的光滑连接问题 4 矩形区域上的二元二次多项式样条函数光滑连接问题 图8 ：矩形区域d 在这一部分，我们讨论矩形区域上的二元二次多项式样条函数的光滑连接问 题取矩形区域d = f 口，6 】f c ，司，如图8 所示d 由两条直线f l 及k 将其分为三 个部分：d = d 1 u d 2 u d 3 ，d 1 ，d 2 ，d 3 中任意两个区域相互问无公共内点我 们的目标是对d 3 进行剖分，在新的剖分之下，确定一个定义在d 上的二元二次样 条函数s ( ，) ，使之在d 1 ，d 2 上的限制分别是p ( ，) 与q ( ，) ，即确定一个样条曲 面将州，) 与q ( - ，) g 1 光滑连接 4 1 内网线互不相交的情形 首先讨论网线互不相交的的情形设对d 3 进行剖分的嘲线为z ，( 。，y ) = 0 ( i = 2 ，k 一1 ) ，它们在矩形区域r 互不相交，其中b ( z ，y ) = t r l i x + n ，+ p 。( i = 1 ，2 ，女) 设： p ( x ，y ) = a l x 2 + a 2 y 2 + a 3 x y + a 4 x + 。5 + a 6 ， 口0 ，y ) = b l x 2 + b 2 y 2 + b a 童y + b 4 x + b 5 y + b 6 应用光滑余因子条件( 1 】) 可知，在新的剖分条件下的样条函数 k s ( 刑) = p ( 训) + m f 。( 啪) ； t ：1 应满足条件： p ( z ，y ) + n 1 ( m 1 。+ n l y + p 1 ) 2 十+ 。( 7 n k z + n # y + p ) 2 = q ( x ，y ) 墨些三鱼型坌圭堕三垄三盗壁垒鱼堑塑垄煎堡堡i ! 矍 整理得： ( 1 m 2 + m m 2 ) 2 + ( 1 + + n k n ：) y 2 + 2 ( 1 m l n l + + n k m n k ) x y + 2 ( n l m l p l + + n k m k p k ) x + 2 ( l 佗1 p l + + 帆n k p ) + ( 1 p ：+ + ；p ：) = ( 6 l a d x 2 + ( 6 2 一d 2 ) 2 + ( b 3 一a 3 ) x y 十( b 4 一a 4 ) x + ( b 8 一a s ) y + ( b 6 一) - 比较系数可得 1 嘲+ 2 峭 n a n i+ y 2 n ； 1 m l n l + 2 r r k n 2 1 m 1 p 1 + n 2 m 2 p 2 n 1 n i p l+ n 2 n 2 p 2 n i p + 2 姨 + k m 2 + k n l + k m “ + n k r n k p k + n m 印k + 地p 2 0 1 一0 1 b 2 一a 2 ；( 6 3 一a 3 ) j ( 6 4 一n t ) z 1 、b 5 一a 5 ) 6 6 一0 6 对于这个以m ( t = 1 ，2 ，- ，) 为未知数的方程组，它有解的必要条件是 6 在这里我们只讨论k = 6 的情况，由此可得下而的方程组： 1 m 2 l n n 1 m 1 “l 1 m 1 p l 1 ”1 p 1 1 p i 2 m ； + 2 n ： + j “2 “2 十 v 2 “2 p 2 + 2 n 2 p 2 + 2 建 + 方程组( 1 0 ) 的系数矩阵为 a = + 6 m i + 6 n ： + 6 “6 “6 + 6 ”6 m + 6 n b p b + 6 p 2 b 1 一a 1 b 2 一a 2 ；( 6 3 一a 3 ) i ( 6 t a 4 ) ( 6 s a 5 ) b 6 一 m m ；m ；m ；m 2m 3 n n ；n ； n ；札；犯： m l n l m 2 n 2 m 3 n 3m 4 n 4 t r t , 5 d , 5m 6 r r l l p lm 2 mm 3 p a m 4 p 4 r n 8 p 8m 6 p 6 甾1 等n p 3 p ；3n p 4 p i4 葛5 当且仪! 1i a l 0 时，方程组( 1 0 ) 有唯一解i ，； 非奇异时。上述所希望的二元二次样条函数唯一存在 ( 1 0 ) 麓1 - ，；，即：1 且仅”1a 塞些三鱼型坌圭塑三垄三查壁垒堕墼塑垄鲨堡鲎塑墨 然而，由于系数矩阵a 的构造与剖分相关，并不是任意的三角剖分都能保证a 非奇异我们给出的两个例子可以说明这一点 例2取d 7 = 【0 ，9 0 ，1 】，d i ，d ；，d ；如罔9 所示 对d ；进行剖分( 如图1 0 ) 图9 ：矩形区域d 7 图一1 0 ：三- 角吾4 分1 9 其中内网线分别为： f 】：2 z + g 一2 = 0 ，f 2 ：2 z y 一4 = 0 ，2 3 ：2 z + y 一8 = 0 ，f 4 ： 2 z y i o = 0 ，如：2 z + y 一1 4 = 0 ，f 6 ：2 z y 一1 6 = 0 上述内网线中的m 。啦和p 。0 = 1 ，一，