（机械制造及其自动化专业论文）双三次nurbs曲面拼接及光顺的研究与实现.pdf

摘要 论文题目：双三次n u r b s 曲面拼接及光顺的研究与实现 学科专业：机械制造及其自动化 研究生：李旭 指导教师：李德信副教授 签名：查些 签名：塑薹：j 圭 摘要 随着现代工业的发展和科学技术的不断进步，曲线曲面造型技术也逐渐成熟起来。 非均匀有理b 样条( n u r b s ) 方法作为目前最有发展前景的曲线曲面造型技术，也作为 工业产品几何定义的标准被广泛使用和研究。 本文对双三次n u r b s 曲面的拼接及光顺进行了研究，论文的工作主要包括三部分： ( 1 ) 双三次n u r b s 曲面拼接；( 2 ) 双三次n u r b s 曲面光顺处理；( 3 ) 交互式c a g d 系统的 构造。 第一部分，即论文中的第三章，对于两张双三次n u r b s 曲面共边界拼接的研究， 获得一种两张双三次n u r b s 满足g 1 连续拼接的实用算法，该方法是以双三次n u r b s 曲面为研究对象，可以将此方法推广到n 次n u r b s 曲面，适用范围广，方法简洁明了， 而且计算速度快。与实际情况相结合，本文对双三次n u r b s 曲面拼接做进一步研究， 在结合本文给出的两张双三次n u r b s 曲面共边界拼接满足g 1 连续的算法基础上，获得 基于空间投影的三张双三次n u r b s 曲面共角点拼接满足g 连续的方法，使得两种算法 有机地联系在一起，该方法经实例证明切实可行。 第二部分，即论文中的第四章，在对双三次n u r b s 曲面共边界满足g 1 连续拼接算 法的基础上，根据拼接前后曲面的曲率图与曲面的线框图相结合的方法分析曲面的光顺 性。根据结果查找拼接后曲面上的“坏点”的位置，实现基于剪力跃度的局部曲面光顺 的方法，通过微调邻近点的权因子修改曲面光顺性，该方法直观、速度快。 第三部分，即论文中的第五章，以g l u t 为基础构造c a g d 交互式系统。系统构成 和实现简单明了，并且可移植性强，保证了良好的兼容性，具有很强的扩充能力，系统 各层次问数据的交流更加灵活。 最后，对全文的工作进行了总结并提出了进一步工作的研究方向。 关键词：m 玳b s 曲面，拼接，光顺，曲率图，g l u t a b s t r a c t t i t l e ：s t u d ya n dr e a l i z eo nf a l r i n ga n ds m o o t hj o i n i n g b e t w e e na d j a c e n to fb i c u b i cn u r b ss u r f a c e m a j o r ：m e c h a n i c a le n g i n e e r i n ga n da u t o m a t i o n n a m e ：x ul i s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f d e x i nl i a b s t r a c t s i g n a t u r e ：丕竺兰! s i g n a t u r e ：曼丝尘 a l o n gw i t ht h er a p i di m p r o v e m e n to fm o d e mi n d u s t r ya n ds c i t e c h ，m o d e l i n g t e c h n o l o g yo f c u r v ea n ds u r f a c ea r eb e c o m i n gm o r ea n dm o r em a t u r i t y n o nu n i f o r mr a t i o n a l b s p l i n e ( n u r b s ) i sb e c o m i n gt h em o s to u t l o o k sm o d e l i n gt e c h n o l o g y i th a sb e e ns p e c i f i e d a sas t a n d a r do fi n d u s t r i a lp r o d u c t sg e o m e t r yd e s c r i p t i o nm e t h o da n dh a sb e e nw i d e l yu s e d a n dr e c o m m e n d e d i nt h i s p a p e r , t h ef a i r i n ga n ds m o o t h i n gj o i n i n gb e t w e e na d j a c e n to fb i c u b i cn u r b s s u r f a c e sa r es t u d i e d t h em a i nc o n t e n to ft l l i sp a p e ri n c l u d e st h ef o l l o w i n gf o u rp a r t s ( 1 ) t h e j o i n i n gb e t w e e na d j a c e n to fb i c u b i en u r b ss u r f a c e s ，( 2 ) t h ef a i r i n ga n ds m o o t h i n go f b i c u b i cn u r b s s u r f a c e s ，( 3 ) t h ec o n s t r u c t i o no fi n t e r a c t i v ec a g ds y s t e mb a s e do ng i u t i nt h ef i r s tp a r t t h ec h a p t e r3 ，j o i n i n gb e t w e e nt w ob i c u b i cn u r b ss u r f a c e sw h i c hh a v e t h es a m eb o u n d a r ya r es t u d i e d ，a n dau s e f u l a l g o r i t h mw h i c hs a t i s f yg c o n n e c t i v i t yi s i n t r o d u c e d a l t h o u g hi t sb a s e do nb i c u b i cn u r b ss u r f a c e ，i tc a nb ee a s i l yi m p r o v e dt oh i g h d e g r e ew h i c hc a nb eu s e dw i d e l y t h ea l g o r i t h mi ss i m p l i c i t ya n dr a p i d l yf o rc a l c u l a t i o n s t h e r e a l i s f i ce x p e r i m e n td a t aa n dt h e t h e o r y a r er e f e r e l i c e d a ne f f e c t i v em e t h o do fg 1 c o n n e c t i v i t yo ft h r e eb i c u b i cm 瓜b ss u r f a c e sw h i c hh a v et h es a m ec o m e ri so b t a i n e d i ta l s o r e f e r e n c e st h em e t h o do ft w on u r b ss u r f a c e sj o i n i n ga n db a s e do ns p a c ep r o j e c t i o no f c o n t r o lp o i n t s i tc a nb ep r o v e dt h a ta l la l g o r i t h m sa r ef e a s i b l e i nt h ep a r tt w o c h a p t e r4 。f o c u so nt h eb o u n d a r ya f t e rt h es u r f a c e sh a db e e n j o i n t e d 1 1 1 e c u r v a t u r em a p p i n ga n dt h el i n e f r a m em a po ft h es u r f a c e sa r ep r o d u c e d i nt e r m so ft h e mt h e s m o o t h i n ga t t r i b u t e so fb o u n d a r yi sa n a l y z e d i t se x p l i c i t l y , e f f e c t i v ea n ds u b j e c t i v e a sf o r t h eo b j e c t i v ed e t e c t i o no fs m o o t h i n g ，t h es h e a r i n gf o r c ed e g r e ei su s e dt od e t e c tt h eb a d p o i n t ， w h i c hi sk n o w na st h en o n s m o o t h i n gp o i n t ，a n das m o o t h i n gw a yb a s e do ni ti si n t r o d u c e d 耵l es u r f a c ec a nb es m o o t h e db ym e a n so fc h a n g i n gt h ev a l u eo fw e i g h tw h i c hn e a rt h eb a d p o i n t 1 1 1 望童垩三垄兰堡主兰堡垒墨 t h et h i r dp a r to f p a p e r c h a p t e r5 ，ac a g d g r a p h i cs y s t e mi sc o n s t r u c t e db yu s i n gg l u t i ti su s e f u la n ds i m p l y , a tt h es a m et i m ei tc a nb em e r g e db e t w e e n d i f f e r e n tc o m p u t e rs y s t e m s a n di tc a nb ef l e x i b l ye n l a r g e da n de n h a n c e d e a c hl a y e ro f s y s t e mi ss e a m l e s s t h em a i nc o n c l u s i o n so ft h ed i s s e r t a t i o na r eg i v e ni nt h el a s tc h a p t e r , i na d d i t i o nt o d i r e c t i o no f n e x tr e s e a r c h e s k e yw o r d s ：n u r b ss u r f a c e ，j o i n i n g ，s m o o t h i n g ，c u r v a t u r em a p p i n g ，g l u t 独创性声明 秉承祖国优良道德传统和学校的严谨学风郑重申明：本人所呈交的学位论文是我个 人在导师指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人的研究成果。与我一同工作的同志对本文所论述的工作和成 果的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并已致谢。 本论文及其相关资料若有不实之处，由本人承担一切相关责任 本人冬抄 论文作者签名：务砂 学位论文使用授权声明 p 0 7 年害月四日 在导师的指导下创作完成毕业论文。本人已通过论文的答辩，并 已经在西安理工大学申请博士硕士学位。本人作为学位论文著作权拥有者，同意授权 西安理工大学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生按学校规定提交 印刷版和电子版学位论文，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生上交的 学位沦文，可以将学位论文的全部或部分内容编人有关数据库进行检索；2 ) 为教学和 科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室 等场所或在校园网上供校内师生阅凄、浏览。 本人学位论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权西安理工大学研究生部办 理。 ( 保密的学位沦文在解密后，适用本授权说明) 论文作者签名： 。参丙萝， 导师签巍塞：堡：却审年弓月知日 第一章绪论 1 绪论 1 1 曲线曲面造型技术发展 曲线曲面造型是c a d c a m 和计算机图形学中最活跃、最关键的学科分支之一。从 飞机、汽车、船舶、叶轮的流体动力学分析，工业造型设计、服装、皮鞋等的三维打样 和款式设计，以及自然景物模拟、地理资源描述，到人体外貌和内部器官的c t 扫描数 据的重构，还有科学计算中的应力、应变、温度场、速度场的直观显示等等，无不需要 强有力的曲线曲面造型工具。 计算机辅助几何设计( c o m p u t e r a i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，简称c a g d ) 是随着现代 工业的发展和计算机的出现而产生与发展起来的，是对现代工业的发展起着巨大推动作 用的一门新兴学科。它的产生和发展推动了计算机辅助设计与制造技术的迅猛发展，而 c a d c a m 技术的发展和应用水平已经成为衡量一个国家科技现代化水平的重要标志， 因此，c a g d 与一个国家的发展水平和该国工业发展水平紧密相关。 c a g d 的主要研究对象是工业产品的几何形状，工业产品的形状有些是由初等解析 曲面组成( 如平面、圆柱面、球面、圆锥面等) ，这类形状可以用画法几何与机械制图 方法完全表达和传递其全部形状信息；而有些不能由初等解析曲面组成，例如飞机、汽 车、船舶的外形，这类形状不能单纯用画法几何与机械制图的方法表达清楚。1 9 6 3 年 美国波音飞机公司的f e r g u s o n 首先提出将曲线曲面表示为参数的矢函数方法，并引入参 数三次曲线。从此，曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。1 9 6 4 年美国 麻省理工学院的c o o n s 发表一种具有一般性的曲面描述方法，给定围成封闭曲线的四条 边界就可以定义一块曲面，但这种方法存在形状控制与连接方面的问题。1 9 7 1 年法国雷 诺汽车公司的b e z i e r 提出种由控制多边形设计曲线的新方法。这种方法不仅简单易用， 而且漂亮地解决了整体形状控制问题，但b e z i e r 方法仍存在连接问题和局部修改问题。 g o r d o n 和r i e s e n f e l d 于1 9 7 4 年将b 样条理论应用于形状描述，提出了b 样条曲线曲面。 它较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题。 但随着生产的发展，b 样条方法存在不能精确表示圆锥及初等解析曲面的问题。1 9 7 5 年 美国s y r a c u s e 大学的v e r s p r i l 首次提出有理b 样条方法。后来由于p i e g 和t i l l e 等人的 工作，终于使非均匀有理b 样条( m 瓜b s ) 方法成为现代曲面造型中最为广泛流行的技 术【3 7 1 。 n u r b s 方法的出现不但解决了自由曲线曲面与初等解析曲线曲面描述的不相容问 题，克服了b e z i e r 、b 样条方法的不足，同时权因子和非均匀节点矢量使得能够对曲线 曲面的形状进行更加有效地控制，而且能够使得在一个系统中严格地以一种统一的数学 模型定义产品几何形状，使系统得以精简，易于数据管理，便于工程人员使用，同时提 高了曲面造型能力。 国内外学者通过多年来的研究，从研究领域来看，曲面造型技术已从传统的研究曲 西安理工大学硕士学位论文 面表示、曲面求交和曲面拼接扩充到研究曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和 曲面等距性。 传统的m 瓜b s 曲面模型仅允许调整控制顶点或权因子来局部改变曲面形状。一些 简单的基于参数曲线的曲面设计方法，如扫掠法、蒙皮法、旋转法和拉伸法也仅允许调 整生成曲线来改变曲面形状。随着造型技术的发展，产生了自由变形( f f d ) i l 2 】、基于 弹性变形或热弹性力学等物理模型的变形法、基于求解约束的变形法【3 l 、基于几何约束 的变形法等曲面变形技术【4 1 。曲面重建和曲面简化目前也是国际热点之一【5 l 。 在n u r b s 曲面设计系统与多项式曲面系统之间的数据传递、曲面拼接和无纸化生 产工艺中，存在着微分运算繁琐费时、积分运算无法控制误差的局限性。这就要求同一 张曲面可以以不同的数学形式表示。近几年来，国际图形晃对曲面转换的研究主要集中 在：n u r b s 曲面用多项式曲面来逼近的算法及收敛性：b e z i e r 曲线曲面的隐式化【6 】及其 反问题；c o n s u r f 飞机设计系统的b a l l 曲线向高维推广的各种形式比较及相互转化； 有理b e z i e r 曲线曲面的降阶逼近算法及误差估计【”；n u r b s 曲面在三角域上的互相快速 转换。 随着工业生产的发展和需求，形成了一种其他学科技术方法被引进到计算机图形学 中来的融合趋势。 能量化优化法是曲面形状的改变服从物理准则，通过在符合几何及非几何约束条件 的情况下寻找具有最少物理变形能量的曲线曲面。早期加拿大学者t e r z o p o u l o s 等用 l a g r a n g e 方程建立物理能量模型。m o r e t o n n 利用能量优化方法，以曲线曲面的曲率变化 为目标函数，求解用b e z i e r 方法描述的三边、四边网格蒙面曲面。h a g e n 和l e o n 等人 在能量模型选择、能量曲线曲面等方面都作出了比较突出的贡献【s 】。国内能量优化法曲 面造型方面，彭芳瑜、周云飞等人提出了基于能量法的截面曲线自动形状修改算法”。 基于偏微分方程( p d e ) 的曲面造型方法是使用一组椭圆偏微分方程构造曲面。此 方法构造曲面简单易行，所得曲面自然光顺，可通过方程中的一个物理参数来调整曲面 形状，便于功能曲面的设计。p d e 曲面形状完全由边界条件确定，所需形状参量较少， 可以降低计算耗费。船体、飞机、螺旋桨叶片等外形都可用p d e 方法构造。 流曲线曲面造型方法是根据流体力学的原理，依据运动物体所产生的阻力来设计物 体的外形，这样设计出的物体外形不但美观而且运动中所受的阻力减少。 小波分析是f o u r i e r 分析的突破性发展，它既是强有力的分析技术，又是一种快速的 计算工具，兼具重要的理论意义和使用价值。小波是刻画数据内部相关性结构的有力工 具，在数据压缩和逼近方面具有强大威力。近年来，小波分析在计算机图形学中获得日 益广泛的应用。f r i n k e l i s t e i n 和s a l e s i n 研究了闭区间上小波的多分辨分析理论。研究了b 样条曲线和张量积b 样条曲面的多分辩率表示及其在多分辨编辑中的应用。l o u n b e r y 将 多分辨分析及小波理论推广到任意拓扑类型的曲面【l ”。e c k 等给出了将多分辨分析 ( m r a ) 用于任意网格的l o d ( l e v e l o f - d e t a i l ) 逼近方法【1 3 】，使得任一多面体和网格 2 第一章绪论 曲面均可用多分辩率表示。近年来，清华大学计算机系研究课题“小波分析在大规模散 乱点数据可视化中的应用”，中科院计算所c a d 丌放实验室研究课题“小波分析在三 维医学图像重建中的应用”等一些部门都在做相关的研究。 1 2 几何连续性问题 在工程实际中所面对的几何形体往往十分复杂，只用一张参数曲面难以实现，通常 将几何形体按照一定的规则分成若干部分，然后每一部分分别用一张参数曲面来拟合， 再依据一定的光滑拼接条件将它们整合起来以形成“光滑”的曲面，这是c a d c a m 曲 面造型中的曲面设计的典型方法，即分片构造法。 人们借助微分几何理论对c a d c a m 造型中普遍使用的“光滑”概念进行了深入的 理论研究和实践探索，使几何连续与切向量( 切平面) 连续，曲率连续与密切面连续等 几何概念完整联系起来，从而在c a d c a m 曲面造型中促使c “参数连续逐渐被g 4 几何 连续所取代。 早在二十世纪六十年代，c a g d 大师s a c o o n s 和p b e z i e r 都曾研究过具有切平面 连续变化的几何连续曲面，而真正引起人们对几何连续性浓厚兴趣的是= 十世纪八十年 代仞期，由b a b a r s k y l 6 4 t 于1 9 8 1 年提出的一种新的样条：b e t a 样条的定义及几何连续 的概念，和j k a h m a n n 6 s - 6 6 于1 9 8 2 年发表的论文中提出用杜潘标形描述相邻曲面片之间 的曲率连续性。k a h m a n n 的工作是c a g d 曲面几何连续性研究中的重要进展，在此之后 人们如何定义曲面的二阶几何连续达成了一致的意见。随后，1 9 8 5 年t d d e r o s e 6 7 1 提 出几何连续性是与参数选择无关的一种度量，对g ”连续的曲线存在一个参数变化，使其 成为9 连续，因而几何连续描述的是曲线内在的性质。将几何连续与双参数变化联系起 来，便将几何连续的概念推广到曲面，得到高阶几何连续的概念。1 9 8 4 年，德国的 o b e r w o l f a e h 召开的“s u r f a c e si nc a g d ”国际学术会议上几何造型大师r e b a m h i l l t 6 8 1 提出了八个有关曲面研究的公开问题，其中：几何连续性问题，封闭曲面的构造，矩形 曲面片与三角曲面片的混和使用。这三个问题的核心技术是几何连续性。在i e e e c o m p u t e rg r a p h i c sa n da p p l i c a t i o n s 杂志1 9 9 3 年的c a g d 专题论述上，a r i z o n a 州立大学 的n i e l s o n l 6 9 提出了c a g d 的十大前沿问题，将几何连续性、散乱点曲面重构、n u r b s 等作为重点问题介绍。并且，h e r r o n 指出，用自由曲面工具基于参数连续性构造闭曲面 是不可能的，然而基于几何连续性则成为可能，因此，研究自由曲面的几何连续性有着 深刻的理论背景和广阔的应用前景。g f a r i n 7 0 1 也曾指出曲面的几何连续性是活跃的研究 领域，因为曲面远比曲线要复杂得多，而且重要得多。从二十世纪八十年代至今，自由 曲面的几何连续性一直是活跃的研究领域。 目前，对于b e z i e r 曲面的光滑拼接 1 4 - 1 5 】问题的研究已经趋于完美，b 样条曲面的光 滑拼接 1 6 - 1 7 1 的研究也有了很大得进展。但是，对n u r b s 曲面拼接的研究还是远远不够， 这是一个有待解决的问题。 西安理工大学硕士学位论文 1 3 光顺技术的发展 随着现代科技进步，工业发展的不断提高，人们对工业生产及日常生活中产品的外 形光顺性有了更高地要求。尤其是在工程设计中，在c a d c a m 中设计模具的几何模型 时，可能由于权因子或控制顶点设置不当或其他原因，都会或多或少出现生成的形状与 想像的有差别，为了将差别减小到最小，为了能够更好地满足设计者的要求，所以需要 对得到的曲线曲面进行光顺处理。 曲线曲面光顺研究大概始于上世纪6 0 年代初。国际上，曲面光顺处理最早是采用最 d x - - 乘法用于船体数学放样。1 9 6 9 年h o s a k a 1 8 j 在能量极值的基础上最早提出了用于空 间三次参数样条曲线光顺和网格光顺的能量法。国内最早是由苏步青1 1 9 1 于1 9 7 4 年开始 研究。1 9 7 4 年，山东大学在船体数学放样中提出了圆率光顺的概念【1 9 1 。1 9 7 7 年，忻云 龙提出了网格基样条法，该方法是基样条法在二维场合的拓展，是一种曲线检查，曲面 修改的方法。但是该方法存在检查与修改的结果不一致，光顺的过程要反复检查修改， 耗时的缺点。1 9 7 8 年，董光哥2 0 蟪出了“回弹法”。1 9 8 3 年，k j e l l a n d e r t 2 1 2 2 1 提出了一 种三次参数样条曲线和双三次参数样条曲面局部光顺的方法。同年，n o w a c k i 和r e e s e 田】 提出用薄板应变能量作为曲面光顺的准则，此方法被公认为是一个比较合理的准则，但 是构造此准则的算法较困难。f a r i n 2 4 】提出一种通过节点删除与插入对b 样条曲线光顺的 方法。1 9 8 7 年，l o u t 2 5 1 等提出了b 样条曲面光顺的能量法。1 9 9 0 年，r a n d o 和r o u l i e r t 2 6 】 改进了l o t t 等人的思想，可是具体算法还没有给出。1 9 9 2 年，彭国华【27 】对此进行了独 到的研究，他研究了有理曲面几何连续性和曲面光顺这两个几何造型中的重要研究问题， 并对非参数曲面光顺提出了一种光顺方法，给出了计算曲面能量的一种简单方法，构造 出参数曲面的光顺方法。1 9 9 9 年，穆国旺、朱心雄【2 8 】等对能量法的进一步研究，给出了 b 样条曲面光顺的分片能量法，减少了存储量和计算量。彭芳瑜、周云飞等人【io l 提出了 基于能量法的截面曲线自动形状修改算法。龙小平【2 9 l 对型值点位置的修改方法做了改 进，使得在坏点附近的局部领域中曲线的能量最优。 随着工业生产的发展和需求，其他学科技术方法也有被引进到计算机图形学中来的 融合趋势。2 0 0 2 年，蔡中义【3 2 魄出的有限元光顺法，为曲线曲面光顺的研究开辟了新 的途径。该方法采用h e r m i t e 单元极小化目标泛函，再现曲面全场c 1 c 2 连续，这种结合 能量光顺的有限元插值计算方法抑制了输入数据中噪音的影响，具有精度高、光顺性好 的特点。甘屹【”1 等人给出了基于遗传算法的曲线曲面光顺方法，大大提高了计算的效率。 近年来还出现了基于偏微分方程( p d e ) 的曲面造型方法是使用一组椭圆偏微分方程构 造曲面。流曲线曲面造型方法是根据流体力学的原理，依据运动物体所产生的阻力来设 计物体的外形，这样设计出的物体外形不但美观而且运动中所受的阻力减少。利用多分 辩率的小波光顺算法【3 5 】效率高，光顺可在线性时间完成，在光顺的同时进行数据压缩。 小波分析是f o u r i e r 分析的突破性发展，它既是强有力的分析技术，又是一种快速的计算 工具，兼具重要的理论意义和实用价值。 4 第一章绪论 1 4 本文的研究目的及内容 1 4 1 研究目的 n u r b s 曲面拼接及光顺一直是c a g d 中的关键技术之一，对该问题的研究具有十 分重要的理论意义和应用价值。本文主要针对目前用较低次数的n u r b s 曲面构造满足 几何连续光滑的任意拓扑结构的曲面并不是十分成熟的问题，研究双三次n u r b s 曲面 的拼接及光顺问题。对两张双三次n u r b s 曲面拼接的连续性做了研究，同时对在实际 中可能遇到的三张共角点双三次n u r b s 曲面拼按时的连续性问题进行研究，并根据曲 面拼接的光顺性分析进行光顺处理，目的是为了寻求使得计算量和存储量小，速度快、 实用且有效钓算法。 1 4 2 研究内容及安排 本文针对双三次n u r b s 曲面拼接及拼接后曲面的光顺问题进行了一些研究。论文 的主要内容分为三部分： ( 1 ) 研究两张具有公共边界线的双三次n u r b s 曲面拼接满足g o g 1 连续问题，并给 出可行的权因子及控制顶点的显式算法。研究三张具有公共角点的双三次n u r b s 曲面 满足在公共角点处g o g 1 连续的问题，获得一种简便实用的拼接方法。 ( 2 ) 研究拼接后在曲面拼接处光顺性的问题。给出采用曲率的颜色亮度映射生成曲面 曲率图与曲面的线框图形相结合的方法，分析拼接后曲面的光顺性；给出基于剪力跃度 方法查找出不光顺点的方法，并通过修改其邻近点的权因子使曲面达到光顺。 ( 3 ) 利用g l u t 构造c a g d 交互式系统平台。 论文一共六章，具体内容安排如下： 第一章，绪论，介绍曲线曲面造型技术的发展，着重从现有掌握的资料和文献出发， 对几何连续性问题和光顺技术的发展进行综述，最后对论文的结构、目的、内容和安排 进行说明。 第二章，理论基础，简要介绍n u r b s 曲面拼接和光顺中所用到的基本的理论知识： 曲率计算、n u r b s 曲线曲面定义及性质、几何连续性、曲线曲面的光顺准则和光顺的 方法等，为本文的研究提供理论依据。 第三章，双三次n u r b s 曲面的拼接，通过对双三次n u r b s 曲面拼接的研究，获 得一种两张共边界双三次n u r b s 曲面拼接满足g 连续的实用算法。以及对曲面拼接的 进一步研究，得出基于空间投影的三张共角点双三次n u r b s 曲面拼接满足g 1 连续的有 效算法。 第四章，双三次n u r b s 曲面的光顺，利用第三章对双三次n u r b s 曲面拼接的结 果，采用曲率的颜色亮度映射生成曲面曲率图与曲面的线框图形相结合的方法，构造出 拼接后曲面光顺性分析的方法。根据曲面光顺性分析的结果，得出基于剪力跃度的曲面 西安理工大学硕士学位论文 局部光顺方法。 第五章，交互式系统的实现，以g l u t 为基础，通过坐标转换等方法开发出交互式 c a g d 系统。 第六章，论文的总结和展望，对全文的研究工作进行归纳、总结，给出本文研究的 主要结论，提出本课题还需进一步完善的内容，对课题今后的研究方向给出建议。 6 第二章基础理论 2 理论基础 根据本文所研究的内容，本章主要介绍本文中要用到的有关曲线和曲面、几何连续 性和光顺技术的有关概念和基本理论，主要内容有：曲率的计算、n u r b s 方法的定义 和性质、参数连续性和几何连续性的概念、光顺准则和光顺方法。 2 1 曲率的计算p 叼 曲面上曲线的表达式为 p = p ( ( r ) ，v ( f ) ) = ( ，) ，y ( f ) ，z ( f ) ) ( 2 1 ) 若以s 表示曲面上曲线的弧长，则由复合函数求导公式，得出弧长微分公式： ( a s ) 2 = ( a p ) 2 = ( p d u + pd r ) 2 ( 2 2 ) = ( 幽) 2 + 2 p 。p , d u d v + ( 咖) 2 l = e 令 成以= f( 2 3 ) l p ：= g 则有 ( a s ) 2 = e ( d u ) 2 + 2 f d u d v + g ( d v ) 2( 2 4 ) 因切矢f ：_ d p = 矽，n ：拿，口：宰，由复合函数求导公式可得： a s珊 出 f = p = 字= 字掣+ 宰宰：p u r l + p ，i( 2 5 ) a sd “c l sa va s 却= 窘= 胁誓如埘+ 誓t = p 晡z j 2 + 2 醵，吱母+ p ”帚2 + 见西+ p ，舻 令曲面p 点处曲线的单位主法矢为m ，曲面单位法矢为n ，两者之间的夹角为0 ， 曲率为k ，则有 f 以= o n n = k e o s o ( 2 7 ) 幽2 一l 曲线单位主法矢m 和曲面单位法矢n f i g u r e2 - lu n i tm a i nn o r m a lv e c t o ro f c u r v ea n du n i tn o r m a lv e c t o ro f s u r f a c e 西安理工大学硕士学位论文 将( 2 6 ) 式代入( 2 7 ) 式可以得到 k c o s o = r p u 。西2 + 2 r i p ，西| ，+ ，妒w 帚2 + ，e 以西+ n p ，舻 因为n 与见，n 垂直，所以有n 见= ，l p ，= 0 ，故可得 k c o s o = ，z p 0 西2 + 2 n p 。，i i + n p 。t 2 又因为n 见= 以p ，= 0 ，有关系式 令 n 。p 。+ n p = 0 n v p ，+ n p 。= 0 n 。p 。+ 印。= 0 n p ，+ = 0 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 上= l ( u ，v ) = 一p 。，= n p m = m ( ”= 一三( 见怫+ n ) = ， ( 2 1 1 ) n = n ( u ，v ) = - p v n ，= ，妒。 2 1 1 主曲翠 主曲率毛和k 2 分别为曲面在p 点处的最小法曲率和最大法曲率。其定义为 仁肌呸! ( 2 1 2 ) k = h 一日2 一k 式中 k = ：( l n - h ( e n 一2 f m 缆g l 廿) 2 “( e g f ：) = 一+一2 1 2 1 2 高斯曲率、平均曲率和绝对曲率 高斯曲率( g a u s s 曲率) 也称为全曲率，用大写字母k 表示，其定义为 足= 与如= 丽l n - m 2 ( 2 1 4 ) 平均曲率也称为中曲率，用大写字母h 表示，其定义为 日= 三( 毛+ 岛) = 尘：i 掰 ( z s ) 其实，高斯曲率k 和平均曲率h 就是求主曲率式中的k 和h 。 绝对曲率用k 表示，其定义为 k 。- - i 毛l + l k 2 f ( 2 1 6 ) s 第二章基础理论 绝对曲率反映曲面在一点的弯曲程度。e 。的值越大曲面的弯曲程度就越大，反之 则曲面越平坦。 2 2n u r b s 曲线曲面【3 7 】 b 样条方法虽然在表示和设计自由型曲线曲面时显示了强大的威力，然而在表示与 设计这些由二次曲面构成的初等曲面时遇到了麻烦。因为b 样条曲线( 包括其特例的 b e z i e r 曲线) 都不能精确表示出抛物线和抛物面之外的二次曲线与曲面，而只能给出近 似的表示。专门用于自由型曲线曲面设计的b 样条方法以及b e z i e r 方法适应不了初等曲 线曲面的设计要求。为了精确表示二次曲线与二次曲面，如在飞机外形设计和绝大多数 机械零件中经常会遇到的许多由二次曲线弧或二次曲面表示的形状( 如椭圆弧、抛物线 弧和圆柱面、圆锥面等) ，就不得不启用另外的数学描述方法，例如人们熟知的隐函数 方法。但这样不仅又重新带来了隐函数方程表示所存在的问题，而且将导致在一个几何 系统中并存两种数学方法，增加了系统的复杂度和处理的难度。解决这个问题的方法是 对现有的b 样条方法进行改造，n u r b s 方法就是在这种情况下提出的。 为了找到与描述自由型曲线曲面的b 样条方法相统一且又能精确表示二次曲线弧与 二次曲面的数学方法，非均匀有理b 样条( n o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ，简称n u r b s ) 方法首先在有理b e z i e r 方法，特别是二次曲面弧的有理二次b e z i e r 表示及有理二次b e z i e r 曲线性质的研究上取得突破的。n u r b s 方法克服了1 3 e z i e r 和b 样条方法的不足，将b e z i e r 和b 样条方法合适的推广。由操纵控制顶点及权因子来控制曲线曲面的形状，为曲线曲 面的形状设计提供了充分的灵活性。 n u r b s 方法是在c a d c a m 与计算机图形学领域获得最广泛应用的方法。它具有 以下优点：为标准解析形状和自由型曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式； 控制顶点及权因子为各种形状设计提供了充分的灵活性；计算稳定且速度快；n u r b s 有明显的几何解释，对设计人员的设计特别有用；n i 瓜b s 具有很强的几何配套技术( 包 括插入节点、细分、消去、升降阶等) 能用于设计、分析与处理等各个环节；n u r b s 是非有理b 样条形式以及有理与非有理b e z i e r 形式的合适推广。 n u r b s 还存在一些缺点：需要额外的存储以定义传统的曲线和曲面；权因子不合 适将会影响曲面的结构；某些基本算法，例如反求曲线曲面上的点的参数值，存在数值 不稳定性。 2 2 1n u r b $ 曲线 a n u r b s 曲线的定义 n u r b s 曲线方程有三种等价的表示，其三种表示形式分别为有理分式表示、有理 基函数表示、齐次坐标表示。这里只介绍有理分式形式。 一条k 次n u r b s 曲线表示为有理多项式矢函数 9 西安理工大学硕士学位论文 w f l i n ? ( “) z 一 、 p ( “) = 旦) _ 一 ( 2 1 7 ) 哆研 ) 其中o h ( i = o ，l ，自) 称为权因子，分别与控制顶点d i ( i = 0 ，1 ， ) 相对应。首末权因 子q ，吃 0 ，其余q 0 ，且顺序k 个权因子不同时为零，以防止分母为零、保留凸包性 质及曲线不致因权因子而退化为一点。彬u ) 是由节点矢量u = k ，。，】决定的k 次规范b 样条基函数。曲线的定义域为“k ，+ 。】= 【0 ，1 】。 b n u r b s 曲线具有以下性质： ( 1 ) 局部性质 k 次n u r b s 曲线上参数为甜k ，誓+ f 】c k ，+ 。】的一点p ( u ) 至多与k + 1 个控制顶点 d ，及相联系的权因子，( ，= i k , i - k + l ，i ) 有关，与其他控制顶点及权因子无关；若 移动k 次n u r b s 曲线的一个控制顶点d ，或改变所联系的权因子q 将仅影响定义在区间 h ，“。+ 】ck ，u n + 。】上那部分曲线的形状。 ( 2 ) 变差减少性质。 ( 3 ) 强的凸包性质 定义在非零节点区间h ，“。+ 。】ck ，+ 。】上的那条曲线段位于定义它的k + 1 个控制 顶点喀。喀。l ，一，4 的凸包内。整条n u r b s 曲线位于所有定义各曲线段的控制顶点的凸 包的并集内。所有权因子大于零保证凸包性质成立。 ( 4 ) 在仿射与透视变换下的不变性。 ( 5 ) 在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性，即参数连续性。 ( 6 ) 如果某个权因子为零，对应的控制顶点对曲线没有影响。 ( 7 ) 若q 一蝴= 巍吨以“1 ( 8 ) 非有理与有理b e z i e r 曲线和非有理b 样条曲线是n u r b s 曲线的特殊情况。 c 权因子的几何意义及对n u r b $ 曲线的影响 权因子虽然只是个纯数值，但是却有明确的几何意义。p i e g l t 3 ”4 1 揭示了权因子的几 何意义。由于n u r b s 曲线权因子q 只影响参数区间定义在区间k ，+ 。】ck - p o 。】上的那 部分曲线的形状，因此，只考察整条曲线的这一部分。如果固定曲线的参数t ，只改变 权因予以，使所有控制顶点、其他权因子和节点矢量保持不变，则n u r b s 曲线方程变 成以够为参数的直线方程，即n u r b s 曲线上t 值相同的点都位于同一直线上如图2 2 所示。 o 第二章基础理论 p o 一 德、 一。 ， n b 、 p 5 图2 2n 1 3 r b s 曲线中权因子的几何意义 f i g u r e2 - 2g e o m e t r ym e a n i n go f w e i g h to f n u r b sc u r v e 把曲线与有理基函数的记号用如下包含权因子哆变量的记号代替。因为以jo o 时， r i , k ( ；q 专o o ) = l ，故该直线通过控制顶点鼻、b 、n 、e 分别是q = o ，哆= 1 ，哆0 ，1 对 应曲线上的点， 即口= r ，i ( ，；哆= o ) ，n = g t , k ( f ；q = 1 ) ，旦= r s t ( r ；q o ，1 ) ， 只= r i ( f ；q 寸o o ) 。 令 口= r t ( f ；q = 1 ) ，= r i ( “)( 2 1 8 ) n ，旦可以表示为： 端：f 1 ) 曰b ：篙 ( 2 1 9 ) 骂= ( 1 一+ 础 7 用口、口可得到下述比例关系： 半：半s