（系统分析与集成专业论文）随机系统的鲁棒控制及状态估计——线性矩阵不等式方法.pdf

摘要 本文利j | = j 线性矩阵彳；等式力法，在随机框架f 研究了组合系统、“义系统、 脉冲系统、网络化控制系统的鲁棒酸制及状态估计问题。 第一，研究了带有马尔n j 夫跳变过稗的组合系统的鲁棒分散控制问题。基于 l y a p u n o v 稳定性理论，对一类跳变双线件离散时间随机组合系统，设计了分散 状态反馈保成本控制律，使得丰 ! | 应的闭环系统鲁棒随机稳定且满足保成本性能指 标。同时，对于带有马尔q 夫跳变过程的连续时间组台系统，当系统的输入是扇 形非线性函数时，研究了基于观测器的分散输出反馈控制问题。 第二，研究具有非线性扰动的广义马尔可夫跳变系统的状态观测器的设计问 题。在统一的线性矩阵吖i 等式结构卜1 分别设计了全阶状态观测器和降阶状态观测 器，并且均能保证状态估计误差在均方意义r 全局指数稳定。 笫三，对于两类不确定随机脉冲系统，分别研究了鲁棒h 。控制问题和抗十 扰控制问题。基于线性矩阵不等式方法，分别设计了鲁棒e k 控制律和抗干扰控 制律，它们不仅保证了相应的闭坏系统的鲁棒随机稳定性，还保证了闭环系统具有 各自的性能指标。数值例子说明了所给设计方法的有效件。 最后，对两种不同的网络化控制系统f n c s ) 模型，研究了n c s 的随机稳定性分 析与设计问题。首先研究了具有非线十牛扰动的随机系统在出现网络诱导时延和数 据包丢失时的随机稳定性问题。借助于l y u p u n o v - k r a s o v s k i i 泛萄方法和奇异系 统变换，分别设计r 状态反馈控制器和静态输出反馈控制器，使得相应的闭环系 统均方意义下最终有界。然后，研究一类网络化离散时间控制系统当同时考虑嘲 络诱导时延和数据丢失时控制器设计问题。考虑到数据丢失和网络诱导时延的存 在，将n c 8 建模成具有时滞的离散时间随机切换系统。通过构造随机l y a p u n o v 函数，得到了n c s 在均方意义f 渐近稳定的时滞依赖的充分条件。 关键词：鲁榜控制，状态估计，随机系统，组合系统，广义系统，脉冲系统，刚 络化控制系统线性矩阵小等式 a b s t r a c t t h i st h e s i si n v e s t i g a t e sr o b u s tc o n t r o la n de s t i m a t i o no fs e v e r a ld i f f e r e n ts y s t e r n ss u c ha si n t e r c o n n e c t e ds y s t e m s ，s i n g u l a rs y s t e m s ，i m p u l s i v es y s t e m s ，n e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m s ，i ns t o c h a s t i cs e t t i n gv i aal i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t ya p p r o a c h f i r s t l y , t h er o b u s td e c e n t r a l i z e dc o n t r o lp r o b l e mf o ri n t e r c o n n e c t e ds y s t e m s w i t hm a r k o v i a ns w i t c h i n gi ss t u d i e d f o ra ni n t e r c o n n e c t e dd i s c r e t e t i m es y s t e m w i t hf i n i t em a r k o v i a nj u m p ，w ep r e s e n tad e s i g no fag u a r a n t e e dc o s td e c e n t r a l i z e d s t a t ef e e d b a c kc o n t r o ll a w b a s e do nl y a p u n o vm e t h o d ，t h ep r o p o s e dd e e e n t r a l i z e dc o n t r o lg u a r a n t e e st h er o b u s ts t o c h a s t i cs t a b i l i t yo ft h er e s u l t i n gc l o s e d l o o p s y s t e mw i t hag u a r a n t e e dc o s tp e r f o r m a n c ei n d e x f u r t h e r m o r e ，t h ep r o b l e mo f t h ed e c e n t r a l i z e do b s e r v e r - b a s e do u t p u tf e e d b a c kc o n t r o li sd e a l tw i t hf o ru n c e r t a i n i n t e r c o n n e c t e dm a r k o v i a nj u m p i n gs y s t e m sw i t hs e c t o rn o n l i n e a r i t i e s s e c o n d l y , t h ep r o b l e ms t u d i e di n v o l v e st h eo b s e r v e rd e s i g nf o rac l a s so fd e - s c r i p t o rm a r k o v i a nj u m p i n gs y s t e m sw i t hn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n s t h ed e s i g no f f u l l o r d e ra n dr e d u c e d - o r d e rs t a t eo b s e r v e r sa r ep r e s e n t e d ，r e s p e c t i v e l y t h ed y - n a n f i e so fe a c he s t i m a t i o ne r r o ri sg u a r a n t e e dt ob eg l o b a l l ye x p o n e n t i a l l ys t a b l ei n t h em e a ns q u a r e i ti ss h o w nt h a tt h ed e s i g no fb o t ht y p e so fs t a t eo b s e r v e r sc a n b er e f o r m u l a t e da st h eu n i f i e dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t ys t r u c t u r e t h i r d l y , f o rt w oc l a s s e so fi m p u l s i v es t o c h a s t i cs y s t e m sw i t hu n c e r t a i n t i e sw e a r ec o n c e r n e dw i t ht h er o b u s th c o n t r o la n dt h ed i s t u r b a n c er e j e c t i o nc o n t r o l p r o b l e m ，r e s p e c t i v e l y b a s e do nl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t ya p p r o a c h e s ，t h er o b u s t 月。c o n t r o ll a wa n dt h ed i s t u r b a n c er e j e c t i o nc o n t r o ll a wa r ed e s i g n e d ，r e s p e c t i v e l y t h e s ec o n t r o l l e r sg u a r a n t e et h er o b u s ts t o c h a s t i cs t a b i l i t yo ft h ec o r r e s p o n d i n g c l o s e d l o o ps y s t e m sw i t ht h e i ro w np r e s c r i b e dp e r f o r m a n c el e v e l t h ee f f e c t i v e n e s s o ft h ep r o p o s e dd e s i g na p p r o a c ha r ei l l u s t r a t e db yn u m e r i c a le x a m p l e s f i n a l l y ，t h es t o c h a s t i cs t a b i l i t ya n a l y s i sa n dd e s i g no fn e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e r n sa r ei n v e s t i g a t e df o rt w od i f f e r e n tn e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e mm o d e l sw ef i l s t w o r ko i lt h er o b u s ts t a b i l i t yp r o b l e mo fas t o c h a s t i cn e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m s u b j e c tt ot h ep r e s e n c eo fn e t w o r k - i n d u c e dd e l a y ，t r a n s m i t t e dd a t ad r o p o u ta n d au n c e r t a i nn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n b a s e do nal y a p u n o v - k r a s o v s k i if l m e t i o n a l m e t h o da n dad e e c r i p t o rm o d e lt r a n s f o r m a t i o n ，b o t has t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r a n das t a t i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e rw e r ec o n s t r u c t e d ，r e s p e c t i v e l y , i nt e r m so f l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s w i t ht h e s ec o n t r o l l e r s ，t h ec o r r e s p o n d i n gc l o s e d l o o ps y s t e m sw e r es t o c h a s t i c a l l yu l t i m a t e l yb o u n d e di nt h em e a ns q u a r e ，t h e nw ep r e s e n t t h ec o n t r o l l e rd e s i g no f8d i s c r e t e - t i m en e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e mw i t ht h ep r e s - e n c eo fn e t w o r k - i n d u c e dd e l a ya n dt r a n s m i t t e dd a t ad r o p o u t i nv i e wo fd a t al o s s a n dn e t w o r k - i n d u c e dd e l a y , t h en e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e mi sm o d e l l e d8 sas t o c h a s - t i cs w i t c h i n gd i s c r e t e - t i m el i n e a rs y s t e mw i t hd e l a y b yc o n s t r u c t i n gas t o c h a s t i c l y a p u n o vf u n c t i o n ，t h ed e l a y - d e p e n d e n tc o n d i t i o nw h i c hg u a r a n t e e st h en c si s a s y m p t o t i c a l l ys t a b l ei nt h em e a ns q u a r ei so b t a i n e d k e y w o r d s ：r o b u s tc o n t r o l ，s t a t ee s t i m a t i o n ，s t o c h a s t i cs y s t e m s ，i n t e r e o n n e c t e ds y s t e m s ，d e s c r i p t o rs y s t e m s ，i m p u l s i v es y s t e m s ，n e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m s ， l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注职引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：幺d ，囊 日期：圣! 堕! ：兰 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论交的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名：瑶小夏 导师签名： 舟毓臻 日期：枷。ks 油 日期 跏z 、占、7 第一章鲁棒控制及状态估计概述与数学准备 1 1鲁棒控制及状态估计概述 鲁棒控制是针对系统中存在一定程度的不确定性，诸如参数误差、数学模型 的4 i 精确、观测噪声以及不确定性的外部干扰等等，设计一个鲁棒控制器，使得 闭环系统不但稳定，而且保证一定的鲁棒性能。不确定性分为两大类，1 ；确定的 外部干扰d 和模型误差。在设计鲁棒控制器时，一般似设属于一个可描述 集，比如增益有界，且上界已知等。对于不确定的干扰信号d 也是如此，d 可以 是刁i 可检测的信号，但必须属于可描述集。鲁棒控制器就是基于这些不确定性的 描述参数和标称系统( 系统精确建模部分) 的数学模型设计的。目前，鲁棒控制 的研究方法主要包括以下三种：( 卡里托诺夫( k h a r i t o n o v ) 于1 9 7 8 年提出的关 于区间多项式族的鲁棒稳定性理论；( 2 ) 加拿大学者z a m e s 于1 9 8 1 年提出的以控 制系统的某些信号间的传递函数矩阵的口。范数作为优化性能指标的设计思想， 并在此基础上发展起来的风。控制理论；( 3 ) 美国学者d o y l e 于1 9 8 2 年首次提出 的“结构奇异值”的概念，并由此发展起来的鲁棒控制系统的“方法。 鲁棒控制理论研究的问题包括控制系统的鲁棒性分析和鲁棒性综合两个方 面。在鲁棒性分析时，要研究系统在各种不确定性情况下，系统受扰后的鲁棒稳 定性和鲁棒性能分析。鲁棒性综合即鲁棒控制器设计问题，是基于鲁棒性分析得 到的结果设计鲁棒控制器，使得存在不确定性的系统在扰动作用下，仍能保证 系统鲁棒稳定并满足期望的鲁棒性能要求。鲁棒控制理论研究的对象有连续f 离 散) 时间线性系统 9 9 1 ，时滞系统【2 5 ，2 6 ，6 5 】，非线性系统1 2 3 】，广义系统1 1 8 ，6 2 】， 随机系统【9 0 ，9 6 ，脉冲系统 5 5 ，3 6 和组合系统【3 2 ，7 1 】等。 在时间域中研究不确定系统的鲁棒稳定性及鲁棒控制问题的主要理论基 础之一足l y a p u n o v 稳定性理论。早期的结果大多是利用r i c c a t i 方程方法处 理7 5 ，7 6 1 将系统的鲁棒分析或综合问题转化为r i c c a t i 型矩阵方程的可解性问 题，进而通过求解p d c c a t i 方程获得系统具有鲁棒性能的条件和鲁棒控制器的设 】 计。虽然应用r i c c a t i 方群方法理论上【u 以给出控制器的设计，但 _ f 于般情况 r ，r i c c a t i 方程的解需嬖事先确定些设计参数，有时需要对方程进行诸如配力 等处理。这需要一定的技巧和数学处理技能，使得r i c c a t i 方程方法的应用具有 一定的局限性。参数的人为给定也会使得分析和没计结果具有一定的保守性。 二十世纪九十年代初，随着求解凸优化问题的内点法的提出，线性矩阵f ；等 式( l m l l 理论及方法受到了控制理论界的广泛关注，并被成功地应用于控制系统 的理论分析和设计中。许多鲁棒控制的分析和没计町以转化为求解一个或一组 线性矩阵不等式的问题( 可行性问题，凸优化问题或广义特征值问题) 。l m i 方法 克服了r i c c a t i 方程处理方法的很多不足。尤其足t 9 9 5 年m a t h w o r k s 公司推出的 m a t l a b 的l m i 工具箱，极大地方便了线性矩阵珂i 等式的求解，进一步推动了 线性矩阵不等式在系统和控制领域中的应用。 状态估计或观测器设计是控制系统和信号处理中的一个重要问题。当系统中 4 i 是所有的状态都可以量测得到时，状态反馈控制就无法直接实现对系统的控 制，此时对系统状态的估计至关重要。另外，状态观测器还经常用于系统监控、 系统调节及错误检测与分离 2 4 】。在过去三十年里，有关状态估计器观测器的设 计问题受到了极大关注( 7 0 ，2 9 ，3 0 ，6 6 ，3 8 ，8 5 ，5 9 1 0 观测器的设计方法主要有代数 方法 3 】、几何方法( 5 、广义逆 5 0 】和奇异值分解 2 2 等。观测器的类型有降阶观 测器( 9 j 、全阶观测器 1 0 3 、未知输入观测器 1 0 2 】、泛函观测器f l9 、干扰解耦观 测器f 2 2 1 等。 1 2本文的主要工作和章节安排 本文利用线性矩阵不等式方法，在随机框架卜，研究组合系统、广义系统、 脉冲系统和网络化控制系统的鲁棒控制及状态估计问题。全文的内容安排如下： 第一章为全文的绪论部分。第一节概述了鲁棒控制及状态估计问题：第二节 介缁了本文的主要工作和章节安排：第三节给出了本文的符号约定；第四节简要 介绍了线性矩阵不等式的一些基本概念和l m i 工具箱：第五节介绍了本文中将要 剧到的一些数学知识。 2 第，：章研究了马尔可夫跳变组合系统的鲁棒分散控制问题。在第一节中， 针对一类马尔可夫跳变双线性离散时间随机组合系统，基于l y a p u n o v 稳定性理 论，设计了分散状念反馈保成本控制律，使得相应的闭环系统鲁棒随机稳定且满 足保成本性能指标。第二节研究丁具有扇形非线性执行器的马尔可夫跳变组台系 统的分散输出反馈控制问题；第三节为全章小结 第三章研究了具有非线性扰动的广义马尔| ；i ：夫跳变系统的鲁棒状态观测器的 设计问题。第一节研究了全阶状态观测器的设计问题；第二节研究了降阶状态观 测器的设计问题；第三节给出了仿真例子；第四节为全章小结。 第四章研究了不确定随机脉冲系统的鲁棒控制问题。第一节研究了不确定随 机脉冲系统的鲁棒，k 控制问题；第二节研究了含有非线性不确定项和持续作用 的有界外部干扰的随机脉冲系统的抗干扰控制问题：第三节为全章小结。 第五章针对两种不同的网络化控制系统( n c s ) 模型，研究了n c s 的随机稳定 性分析与设计问题。第一节研究了具有非线性扰动的随机系统在出现网络诱导时 延和数据包丢失时的随机稳定性分析与设计问题：第二节基于离散时不变被控对 象，建立了存在数据丢失和网络诱导时延时的n c s 模型，并给出了相应的n c s 的 随机稳定性分析与设计；第三节为全章小结。 第六章对全文进行了总结和展望。第一节总结了全文的主要贡献；第二节指 出了有待进一步研究的问题。 3 r 、r 。r ，” r k 彳7 t r ( m ) m o ( m o ) m n ( m n ) m 一1 a 。( m ) a 。m ( m ) i l 们i i 恻i d i a g l 2 0 ，。) f 2 0 ，。) ”忆 ”忆 ( q ，p ) ) | | | | 如 ，( 挣一) ( ，( 毋十) ) n 1 3符号约定 实数，k 维实向量空间，mxn 阶实矩阵空间。 非负实数。 k 阶单位矩阵。在不致混淆时下标k 可省去。 矩阵m 的转置。 矩阵m 的迹。 矩阵m 对称且正定( 半正定) 。 矩阵m ，对称且m n o ( m n 0 ) 。 矩阵m 的逆( 如果存在的话1 。 对称矩阵m 的最大特征值。 对称矩阵m 的最小特征值。 矩阵 f 的谱范数，即 焉= 币订；j 而。 向量z 的欧氏范数，即、；丐。 分块对角矩阵。 f 0 ，。o ) 上平方可积的向量函数构成的空间。 f 0 ，0 0 ) 上平方可求和的向量序列构成的空间。 l 2 范数。 f 2 范数。 完备概率空间，其中q 为样本空间，为q 的子集构成的口代数 p 为概率度量。 数学期望算子。 l 。( n ，p ) 范数，即i l z l 晚= p ( f 忙( t ) n 2 出) ) 1 胆。 l i m h o + f ( e t ) ( 1 i r a 。o + ( e + ) ) 。 集合 l ，2 ， ，其中是正整数。 4 1 4 线性矩阵不等式 一个线性矩阵小等式可以表“i 为如_ f 的一般形式： n f ( z ) ：= 娲+ r 0 ， ( 1 1 ) ；= 1 的一个表达式。其中，x = z - z 。，一，x 。 是决策向量，只= 巧r 。m ，z = 0 ，l ，2 ，n 是一组给定的对称矩阵。 在许多系统与控制问题中，可以将问题转化成具有( 1 1 ) 形式的一个线性矩 阵不等式问题。例如，关十对称矩阵变量p 的l y a p u n o v 矩阵不等式 a 7 p + p a 。 31r + 娩 l j +毪矗 z q 现+ rll昂 | | | | p i | = r r ， ， 1j 1j r叫叫叫叫撕 rlll，。l r。，。l卫 = = “ r b 则 a r r a 一 0 r 茁 。 等价f r ( x ) 0 ，q ( ) 一s ( z ) r - 1 ( x ) 5 7x ) 0 。 例1 1 设a ，b ，q q 7 ，r = r 7 0 足适当维数的常数矩阵则应用 s c h u r 补引理，叫蚍把关于对称矩阵变量p 的二次矩阵不等式 a 7 p + p a + p b r 一1 8 7 p + q 。 f 面介绍三类标准的线性矩阵4 i 等式问题： ( 1 ) 可行性问题( f e a s i b i l i t yp r o b l e m ) ：对给定的线性矩阵不等式p ( x ) 0 ， 检验是否存在满足该线性矩阵不等式的z 的问题称为线性矩阵不等式的可行性问 ( 2 ) 凸优化问题( c o n v e xp r o b l e m ) ：也就是具有线性矩阵不等式约束的一个线 性目标函数的最小化问题 s u b j e c tt of ( z ) 0 其中，f ( x ) 是对称矩阵。 ( 3 ) 广义特征值问题( g e n e r a l i z e de i g e n v a l u ep r o b l e m ) ：就是具有线性矩阵不 等式约束的最大广义特征值的晟小化问题 s u b j e c t t oa ( z ) 0 ，c ( x ) 0 其中， ( z ) ，b ( 。) ，0 ( z ) 是对称矩阵。在本文的第五章第一节中，把求最大的r 问 题化为一个广义特征值问题。 以上三种典型问题在m a t l a b 的l m i 工具箱中分别对应f 面的三个求解器： f e q s p ，m i n c x 帮g e v p 。 其中 例1 2 考虑如f 凸优化问题 a = 一1 3 1 s u b j e c tt o 一2 2 2 l 1 1 b = q = 讣。 110 131 2 01 2 - 3 6 因为t r ( x ) 是x 的线性函数，所以可应用m i n c x 求解器解上面的凸优化问题。具 体程序如下： s e t l m i s ( 【 ) x = l m i v a r ( 1 ， 3 1 】) l m i t e r m ( 1 1 1 x ，1 ，a ，s7 ) l m i t e r m ( 111o l ，q ) l m i t e r m ( 122o 】，- 1 ) l m i t e r m ( 12 1x 】，b ，1 ) l m i s = g e t l m i s c = m a t 2 d e c ( l m i s ，e y e ( 3 ) ) o p t i o n s = ( 1 e 5 ，0 ，0 ，0 ，0 c o p t ，x o p t 】= m i n c x ( l m i s ，c ，o p t i o n s ) x o p t ；d e c 2 m a t ( l m i s ，x o p t ，x ) 7 变量x 是三阶对称阵 0 删 卜b 硼榭 rpl 运行结果为 c o p t ：一1 30 6 3 6 x o p t 一4 0 1 5 5 33 5 2 7 2 9 1 7 9 2 2 6 0 5 29 1 7 9 4 8 1 1 4 即目标函数t r ( x ) 的最小值为一1 3 0 6 3 6 ，相应地，矩阵变量x 的最优解为x o p t 。 对广义特征值问题，在调用求解器g e v p 时，必须遵循以下规则： ( 1 ) 确定包含 的线性矩阵小等式：a ( z ) b ( x ) ( 注意没有 ) ； ( 2 ) 总是把a ( z ) b ( x ) 放在线性矩阵不等式组的撮后； ( 3 ) 要求有约束0 b ( z ) ，或者保证0 。 i 时，我们就小能直接应用求解器9 e v p 求解。此时，用 a c z ， 讯+ 1 ) = 0 ，即，如果j z 十1 ，则a ，= 0 。 同理可得，如果s r + 1 ，则珥。= 0 。 1 5 2i t 5 公式及随机微分方程的稳定性 考虑非自治随机微分方程 d x ( t ) = ，( z ( t ) ，t ) d t + g ( 4 t ) ，t ) d b ( t ) ，x ( t o ) = z o ，t t o ，( 1 5 ) 其中z ( ) r “，b ( t ) = ( b l ( t ) ，研( ) ) 7 是概率空间( n ，f ，p ) 上的r 维b r o w n 运动，：舯r + 一舯和g ：础xr + 一甜。满足局部l i p s c h i t z 条件和 线性增长条件，即对任意k = 1 ，2 ，一，存在h 0 ，使得对所有的t t o 以及 “已r ”，怖f fvf i 岛 f k ，有 i ，( 矗，t ) 一，( 已，t ) l + | 1 9 ( l ，t ) 一g ( 岛，t ) f f “f l 一已f f ， 同时，存在h 0 ，使得对所有的t t o 以及r n ，有 l l ，晴，) 1 1 十i i g ( ，t ) l lsh ( 1 + 1 i 1 1 ) 。 此时随机微分方程( 1 5 ) 存在唯一的解z ( t ；t o ，z o ) 【1 1 4 】o 设非负实函数v ( z ，t ) 对2 5 二阶光滑且对t 一阶光滑，则有f 面的i t o 公式 d v ( x ，t ) = c y ，t ) d t + u 扛，t ) 9 0 ) ，t ) d b ( t ) ，( 1 6 ) 其中， c m ，归吣，卅k ( 州) m ，卅矿1 ( g t ( 州) 蹦叫) 出，瑚，帅= 旦 晰，= ( 掣，掣) 儿归( 鬻) 。 没f ( o ，t ) 10 ，9 ( o ，t ) ；0 ，则随机微分方程( 1 5 ) 有零解x ( t ) i0 。 定义1 3 设a 4 胛是包含原点的歼集则v 跏朋 ( 1 ) 如果对十仟意的证数e 0 ，存在正数p ( = ) 0 使得，当e l l x o i l 2 0 和c 0 ，使得方程( 1 5 ) 的解满足 z l l z ( t ；t o ，x o ) l l2 ) 0 ，o , 2 0 ，c 3 0 ，使得 c - l i x l l 2 v ( x ，t ) c 。l l x l l 2 且 c v 扛，t ) 0 ，且满足p e m m r 0 ，有 ( a + m f n ) 7 p 一1 ( a + m f n ) a 7 ( p e m m 7 ) 一1 a + e 一1 r 。 1 1 引理1 2 【9 6 已知z ，y r “，则对仟意的u 0 有 2 x 7 y u 一1 。+ 旷u y 。 引理1 3 6 5 】设a r t “，b f p s 及b ，“u ，则对于任意的满足 x 0 的矩阵x r n “，y 彤“m z r n b x n b 、有 嘞瑚5 川皿x 旷y ：m 第二章马尔可夫跳变组合系统的鲁棒分散控制 在实际控制问题中，存在着许多复杂控制系统，如电力系统、经济系统、 复杂大工业生产过程、计算机集成制造系统等，其中相当一部分足组台系统， 冈此有芙组台系统的控制问题，尤其是分散粹制问题，受到了许多学者的关注 4 4 ，9 5 ，1 4 8 1 ，9 6 ，9 4 】。 马尔可夫跳变系统是一类有多个模态的混杂系统，系统模志之间的切换由 一个马尔可夫链确定。它足描述系统由于元件故障、环境的突然变化等发生结 构上变化的较为台适的数学模型。由于跳变系统在制造系统、航天系统、日标 跟踪、机器人技术和能量系统等领域均有应用，从而引起了研究者的极大兴趣 1 4 2 ，1 6 ，1 7 ，1 2 ，2 8 ，1 5 。 2 1跳变双线性随机离散组合系统的保成本分散控制1 许多工程控制问题如化学反应控制、宏观经济、人口动力学、计算机操作 中的分时和随机四舍五入误差等都可归结为双线性随机系统的控制问题i m a ，囚 而受到了许多学者的关注f 8 2 ，9 0 】o 其中，文献( 9 0 】研究了带有马尔可夫跳跃参数 的不确定双线性连续时间状态时滞i r , o 型随机系统的鲁棒状奄反馈控制问题。 本节研究一类跳变双线性随机离散组合系统的保成本分散控制问题。系统中 的不确定性是时变的，满足范数有界条件系统的关联颈是未知的非线性函数。目 的是设计分散状态反馈保成本控制律，使得相应的闭环系统鲁棒随机稳定且满足 保成本件能指标。 2 1 1 问题描述 考虑概率空间( n ，p ) 上由以卜 考虑概率空间( n ，p ) 上由以下 在控制与秩荒上发表 1 3 个子系统组成的币确定跳变双线性随机 个子系统组成的小确定跳变双线性随机 离散组合系统s ( 七十1 ) = 【a 。( 叩( 南) ) + a a t ( r l ( k ) ，七) 甄( 七) + b 。( 叩( 七) ) 十b ( 叩( 七) ，七) u 。( 七) 吼 n + e a ( l ( k ) ) x d k ) w “( k ) + ( q ( k ) ) + g u ( _ ( k ) ，k ) ( q ( ) ，q ( m f = lj = l z d o ) = x i o ，q ( o ) = 目o ，i n ，( 2 1 ) 其中，舢( 女) r “，u ，( ) r “t 分别是第i 个子系统的状态和输入。 u ，；( ) = ( w i l ( k ) ，w i q l ( ) r r q t ；o ) ，i g ，足相互独立的零均值白噪声序列，满 足e w a ( k ) w u ( h ) = 5 ( k 一 ) ，2 = 1 ，q i ，2 n 。q ( ) ，0 是取值于有限集 一f 1 ，2 ，s 上的时齐的离散时间马尔可夫链，转移概率为 j p ( q ( + 1 ) = p p j ( k ) = o ) = p o , f l ，讹，i ，( 2 2 ) 其中，p 。口0 ，v o ，卢! 且p 。口= 1 ，v 。假设毗( ) ，z 。( o ) ，q ( ) ，i n 相 互独立。a ( 叩( 后) ) ，硫( 卵( 七) ) ，e “( 卵( 凫) ) ，g 0 ( 叩( 七) ) ；i ，j n ，f 吼，叼( 七) 旦，七 0 ，足已知的适当维数的实值矩阵；一 ( ”( 女) ，女) ，最( q ( ) ，女) ，g 0 ( k ) ，i ) ； i ，j n ，q ( ) i ，女0 ，是未知的时变矩阵，用于描述系统参数的不确 定性。 ( ) 心j n ) 足未知的向量函数，表示各子系统间的非线性关联 。0 ；i 盟和吼分别是初始状态和初始模态。 设矩阵a ( q ( ) ，) ，鼠( q ( k ) ，k ) 和岛，( q ( ) ，) 具有下述结构： 【a i ( 叼( 血) ，惫) 日i ( 研( 惫) ，惫) l f 23 1 = 觚( 目( 自) ) r ( 1 ( 女) ，) 帆。( q ( 自) ) 眠( q ( ) ) ， 。 a a | i j ( n ( k ) ，k ) = 三；( q ( ) ) f 0 ( q ( 女) ，女) 批，( 町( ) ) ，( 2 4 ) 其中，m d n ( k ) ) ，a ：。( q ( 女) ) ，。( 叩( ) ) ，己i ( 叩( 女) ) ，j ( q ( ) ) ； n ，z 吼，町( ) s ，女2 0 ，是已知的适当维数的实值矩阵，只( q ( ) ，) ，( q ( ) ，) ；t ，j 盟，f 哦，q ( k ) ，女0 ，是未知的时变矩阵函数，满足 碍( ”( b ) ，) r ( ( ) ，) ，( q ( k ) ，女) ( 目( ) ，k ) ，。( 2 5 ) 对未知的非线性关联项，作如下假设： 1 4 假设2 1对于固定的系统模态，存在止知的实值矩阵眦，( q ( a ) ) ，2 ，j 盟 使得v r b ，7 1 ( k ) i ， 吼，( ”( ) ，) 1 1 曼1 l 乞( q ( k ) ) 1 1 ，vi ，j ! 。( 2 6 ) 取成本函数为： j=砉e静酬纠以卅州蝴儿】ixto,1k啪) 仁t ， j = e 阱( 女) q 。( q ( 女) ) 鼢( ) + u 屁( ”( 女) ) 啦( ) 】啪 ， ( 27 ) t = l = 0j 其中，对于q ( ) 虽q i ( q ( ) ) 0 ，r ( q ( 女) ) o 。 设鼢( ；x i o ，t o ) 是状态( ) 从初始状态( z r o ) 出发的轨迹( i 盟) 。下面给 出组合系统s 鲁棒随机稳定的定义。 定义2 1 如果对于所有的满足( 2 3 ) 、( 2 4 ) 的矩阵和满足假设2 1 的未知非 线性关联项。均有 纠抓ck；zio,vo)lvo)btlk = o帅卜 e 2 啪 0 ，使得闭环系统鲁棒随机稳定且j j + ， 则称分散控制律啦( 女) ，i n 是系统s 关于成本函数( 2 7 ) 的保成本分散控制律， ，是系统s 关于成本函数( 2 7 ) 的一个保成本性能指标。 下面的定理给出了系统s 存在关于成本函数( 27 ) 的保成本分散控制律的充 分条件。 定理2 1 考虑由子系统( 2 1 ) 构成的组合系统s 和成本函数( 2 7 ) 。如果存 在分散状态反馈控制律： “。( ) = i ( 叩( ) ) z ( ) ，t n ，( 2 8 ) 使得对于所有的满足( 2 3 ) 、( 2 4 ) 的不确定性参数和满足假设2 1 的未知非线性关 1 5 联项，卜列条件成立 ( j 4 t ( ) + a a i ( n ，南) + ( b i ( o t ) + a b i ( a ，七) ) 心( o ) ) 甄( 恐) + ( g i j ( n ) + a g i j ( 。，南) ) 仁1 j 2 1 g i j ( o l 巧( k ) ) 7p i ( 。) ( a 。( “) + a a i ( c 1 ，k ) 十( b i ( c 1 ) 4 - a b i ( a ，) ) k ( o ) ) z ：( k ) + 十( g ( n ) + g u ( o ，) ) 9 v ( o ，巧( k ) )