（概率论与数理统计专业论文）脂指年金定价问题研究.pdf

橘爨 摘要 股指年金楚类j # 常霞璎的新兴寿除产晶，囱推娃j 以来广受欢迓。尽镑常利 率下股指年会的定价问题已经研究得比较透彻，但是随秽l 利率+ f 的讨论却碰指珂 数，仅钉的砦研究也硒限于v a s i c e k 模型。股指年金保薄累计期长达数年，所以 受到利率波动的影响比较犬，所以研究其定更复杂的利率环境巾的定价是当务之 急。本文尝试利用仿射跳扩散模型解决这个朗题。 第一章是关j ：部分鸯险产晶的介绍，可以嚣到，所有寿险产龋都有一燕不足之处。 第二二常蓬点介绍股指年仑，其有非常好的性质，因此深受投资香喜爱。 第三章引入了个比较简摹但是不阏t - v a s i c e k 的模型，并解决了此模型下年度 煎设法的股指年金的定价问题。 第四章简单介绍了仿射跳扩散模型，并利用f - s 变换及反演变换推出了基予年度 重设法和点对点法的定价公式。 关键词般指年金随机利率仿射跳扩散模型等价鞅测度 a b s t r a c t e i ai sac l a s so fh u m a ni n s u r a n c ew h i c hi sv e r yi m p o r t a n t - i th a sb e e nv e r y p o p u l a rw h e ni ta p p e a r s a l t h o u g h t h ep r i c i n gp r o b l e mo fi ti sv e r yc l e a rl nt h es l l u a l o n o fc o n s t a n li n t e r e s tr a t e ，w h e ni t c o l l i e st ot h es t o c h a s t i co n et h e r ea r ef e wp a p e r s h e t e n no ft h ea n n u i t yc a nb ea sl o n ga ss o m ey e a r s t h e e f f e c to fc h a n g eo fi n t e r e s tr a t e i ss os i g n i f i c a n t i nt h i sp a p e r , t h ea i d m o d e lh a sb e e nu s e dt ot r yt og w e as o l u t l o n i nc h a p t e ri ，s o m eh u m a ni n s u r a n c ep r o d u c t sh a v eb e e ni n t r o d u c e d a l lo f l h e mh a v e w e a kp o i n tm o r eo rl e s s i nc h a p t e r2 ，e i ac o m e s i nc h a p t e r3 ，as i m p l em o d e l h a sb e e ni n t r o d u c e d ， i nc h a p t e r4 。w h i c hi si m p o r t a n ti nt h i sp a p e r ai d m o d e lh a sb e e nu s e d w i t ht h eh e l p o ff st r a n 舶r n la n dt r a n s f o r mi n v e r s i o n t h ep r i c i n gf o r m u l a h a sb e e nf o u n d k e vw o f d se q u i t y - i n d e x e da n n u i t i e s s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t ea f f i n ej u m p d i f f u 。 s i o n s e q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e u 南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位获 得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法规定范围内的学位论文使用权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文( 包 括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论文， 并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库：( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开 的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检索、文 摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务；( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向教育部 指定单位提交公开的学位论文；( 4 ) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和中国学 术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文数据库， 通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图书馆网站：h t t p ：2 0 2 1 1 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 1 i n d e x h t m 。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答辩： 提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。 本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。 作者暨授权人签字： 2 0 年月日 南开大学研究生学位论文作者信息 论文题目 姓名学号答辩日期年月日 论文类别博士口 学历硕士口硕士专业学位口 高校教师口 同等学力硕士口 院系所专业 联系电话e m a i l 通信地址( m g 编) ： 备注：是否批准为非公开论文 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 年月 日 第。旗人群傺除的类艇 1 1 1 定期寿险 第一章人寿保险的类型 1 1 普通型人寿保险 定期鸯险是指以死亡为给付缳险金条件，珏保险期限为阂定年限的入寿保 险。具体来说，定期保险在合同中规定一定时期为保险有效期，若被保险人在约 定期限内死。i = = ，保险入便给付受盏入约定的保险金：若被保险入在保险期限桶满 时仍然生存，合同即终止，保险人无给付义务，且不遐还已收的保险赞。对于被 保险人而言，定期番险竣大的优点是可以用撖其低廉的保险费获得一定期限内较 大的保险保障：l i i i 其缺点楚若被保险入在合同终止时仍然生存，则不能得到保险 给付，枝f ：三缴纳的保赞不能退还。定期寿陵产晶可以没有现金价戗f 1 1 。 i 1 2 终身寿险 终身毒险指以死亡为给付缳险金条件，且保险期限为终身的人寿保险。终身 海险是种小定期的死亡保险，即傺险合同中不规定期限，自合| 司有效之酲起， 至被保险入死亡为止。也虢是说，保险入对被保险入要终身负责，无论被像险人 何时步e 亡， j i ：险入部有给付影i ；险金的义务。终身保险最大的优点楚可以得到永久 性的像障，衙h 有遐费的投剩，若投保人巾途退僳，可以搿刘一定数额的现金价 傻，或退保金。终身保险按照缴爨方式可以分为： 普通终身保险，即保险费终身分壤交付。 限期交费终身保险，其保险赞庄规定期限魂分期交付，期满掰不弭交付保险费， 倍仍摩有保险保障。缴纳期限可以楚年限，也可以规定交费到某特定年龄。 趸交终身保险，在投保时一次全黧交清保险费，毡【w 以认为是限期交费保险的一 种特殊形态。 1 1 3 两全保险 两全保险指在保险期内以死亡或生存为给付保陵金条件的入寿保险。两全保 第酝入群探险船炎爱 险也称为奠死含险，足指将定期贬i ：保险酃生存保险结食起来豹保险形式，两 全保险足指被保险入红保险会阏规定豹年限内死亡或合同规定时点仍生存，保险 人按照仑目均给付保险金黄侄的枉存与死产混合组成的保险。两令保险怒能薷性 极强的。种保险，其净保赞囱危险保险费求 储蓄保险赞组成。危险保险赞朋于当 年死亡给付，鲐蒂保险费剡逐年累移 形成责任准备金，既可以用f 中途遗像时支 付退像金，也w 用j ：生存给付。珏j 予两全缫险既保障死亡又保障生存，因此，两 全保险4 21 q ， 。厂。( 仃( 玑t j ) 一仃( 托! i h l ) ) 矿( 托如) 一仃( ”，。+ i ) ) 函f j o 一 一c r ( u 0 + i ) ) ( 讥t i ) 一a ( u t i + 1 ) ) m l ( 3 2 6 ) 定理3 2 由年度重设法计算的参与率为倍，下限率为f 的年期股指年金在0 时刻的定价公式为： 其中 v 1 ( x f n ) = d ( o ，n ) l l + n f + n f -，v l j = t ( fn ， f + n n 卜r ( 器 ， f 、 n f + n t j ) ) 】 3 2 7 ) 一2 一c ( j 1 歹予量( d l j 。n 凡) ) 一k 巾以( j ? n 凡) ) ( 3 2 8 ) 其中巾( ) 表示标准正态分布的累积分布函数，c ( j 1 j ) 由( 童2 3 1 给出，且 d l ( j v k ) l l lr j l 。j ) l n 凡 d 2 ( j n k ) 一矗l un k ) 一 七o 乃一涉 1 1 0 ) 一疗( 掀t j 十1 ) 】2 + o 1 一a ( u t j + 1 ) 1 2 + 拶； ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 第网强仿穿i 跳扩激摸璎 第四章仿射跳扩散模型 4 1定义 确定一个概率窄问( f 2 罗p ) 及仃代数流，x 为某个状态空问dc 袋”巾的 马氏过程，满足随机微分方程 d x t = ，“x f ) d t + a ( x ) d l i ；+ 馅 ( 4 1 ) 其中l l ，为魏n 中的标准布朗运动，2 为纯跳过程，跳的概率分布为如到达强度 为 a ( ) 。t o 。设仿射折现率函数为r ：d 一瑟”，l 、盯仃r 、a 和押盎i 其系数 ( k 爿f p ) 确定： ，p ) 一k + k i 。r ，对= k j k i ) 魏“酝”枷 ( 仃( 。) 仃( ，) 7 ) f j 一( 魑 ) 。+ f 日1 ) o ? ，对廿一( 髓 - h i ) r 2 x n 袋”x ”x a ( x ) = i t ) 十，l ，对f = ( f f ) ，1 ) 魏建“ r ) 一n + p l ，z ，对p = ( p o p 1 ) 黎r ” 对r e 托，令0 一，e x p ( c ：) 函心) ，它决定了跳的大小的分布。 x 转移半群有无穷小簿予珍豳下式绘h j 。 矧叫= 肌肌，+ 即? ) + 砂1 b z ) 编+ 鼬) + 入( j ? ) f 【，( ，+ ：一凡 渺：) ( 4 。2 ) 4 2 变换 在给定仞值x ( 0 ) 的情况f ，系数k h 1 ，0 ) 决定。j - x 的分布。辫令y 一 ( 凡。h ，0 ，) ，划、完全刻厕了折现攀影响。f 的x ，并鼠确定了变换矿( “，葛，r ) 如下； ，m r 、( o x p ( 一丁躺，) 叫，刁 降3 ， 第阴潦仿射跳扩数横翟 定义4 1 ( 凡。f ，0 p ) 在丁) c n f 0 ) 称为良性的，若满足对下列常微分 方程： _ dj ( _ t ) ：p l 一样。，娴一 1 厂。p l a ；州一 掣。伪一鼬荆一 百2 伽一 i f ( j t t ( o ( ；，1 ) f i i ( ，( ，) ) 一1 ) 在边界奈件为岁( 丁) 一t l 和n ( 丁) 一 情况下，有唯一的解m ，j 强且满足 g ( z rh ) 。c ，其中l - - - - i i j ! ( 琊) ) 一1 ) a ( 为) ( z 协协r 抒) 。，其中绩= 零，。，t ，r 仃t x ， ( 1 彤一 ( 4 5 ) ( 4 6 ) 零，一零。tq , p , l , s ) d s + z 讯f f l ；：+ 矢( 4 7 ) 由，? 和n 满足4 4 和4 5 ，可以得到，l 。= 0 。其中 扣罾咄_ ) _ 厶出 l j r ， ( 4 8 7 - f j ) = i n f t ：= i 代袭x 发生第i 次跳的时刻。从而得到零为鞅。具体步骤 参见fl1 1 。瞄 1 7 f h j 弛 粥 l 了 ? ， r 以 椰 1 2 l一，2 第网或仿射跳扩敞模镬 4 3 期望现值 般期权的期谬现值。h j 以表示为 p e j r 。rx ，= 、( 做p ( 一z r 霸t x 。) d s ) ( e r a r - c ，牛)e 4 9 ， 可以得到 f e d ? r ，z - y ，= 、( t 、x p ( 一f rr ( x 。) d s ) ( ( ；d - x r _ c ，l d x r 乏t n ；，。) 一g , t 一“( 一l l l f r ) ：蕊zx ) 一e g o 一d ( 一l l l ( r ) ：x i rx ) ( 4 1 0 ) 其中在给定_ ( ，。_ 偿，) d 【0 ) 冀n 强”豹情况下，可以得到瓯。6 ：z 。zx ) ：魏_ 豫。的农达式如“f ： 蹦驰j 归、( t 却( 一v 1 1 ( _ ，小) b 郴) t 4 川， g 山：y o rx ) 的f o u r i e r - s t i e i t j e s 变换筑6 ( 线，zx ，) 为： 筑，b ( 1 x ，ri x ) 一 f “w d g “6 ：墨 zy ) 量 = 、e x p ( 一小t 鼍) 出) 嘲嘏a + i r b ，3 ) = 一( n + l i 6 x 】，0 t )( 4 1 2 ) 下l 蠹i 使用l ：c i 反演公式f1 2 1 得到如f 反演变换。 命题4 2 假设对固定的t 【0 。) ，a 臻n ，b 袋”，x 一( 筇h 7 ，挣p 对任意的 z ，袋在( n + j l ? 6 r ) 上良性，并且 ( a + i c b , r o t ) i 如 。 1 8 ( 4 。1 3 ) 第弱灌仿射搿扩散摸裂 则由4 i l 定叉的g 。f j ( ：_ ，t 。、) 定叉明确，并且可以表示为 矧批= 半 一1 。z x 挫坠等业型咖4 1 4 4 4 股指年金定价 以f 以s 袭示，时刻股指，n 凌示参与率，f 表示下限率分j ；l i 汁算点对点法 和年度曛设法指数收菇情况一f 股指年金的价格。 4 4 1 点对点法指数收益 在点肘点法下，丁年期股指年金的终值可以表示为 凇( n 器f ) 令7 ，7 ( s ( ，) ) = 一，可以得到 + f + 南m “叮) 一半) 傩嘲 令 ：一f “+ 埘纾乏( o ) = 1 为状态价格密发，则此股指年金的价格 为 一t u f t ) + b ( i ) x ) ( 1 州 = + 南文c a ( t ) + b ( t ) x ti i i t i x ( , u - x i t ) - - 半半。) ) = ( 1 + 蹄椰j ( 一”姗) 栅印m 州哪脚。( 吲一了i + f ，踯 ) + ) 枷”卜阳。( “z ( 半小f ) ：驸) 一半矿”g 螂_ 一。( 山，( 睾矿矧”) x o t , y o ) ) 1 9 第网錾仿射跳扩散摸塑 其中“= r ( f ) ，为第，个分翳为l ，其余分缝为0 的鼬辍。 4 4 2 年度重设法指数收益 淹游一牵巾的讨论矗j 知，般指年金定价r l 毁火键的朗题魁指数收益的确定， 但是般情况下不释易推得。灏经实际成用中，却可以很容易地通过历史数据 拟合并预测。因此谯这一挪分。不妨缎设指数的对数年收益摩为状态向壤x 一 ( x ( n x “。) 的一个分攮，则有i r , ( s ( t l s i t 1 ) ) 一x 。本节在等价鞅测度 q 下进行讨沦。 在年度曛设法下，丁年期股指年金的终值可以表示为 ，瘩七( 器中) - + n n 戮7 f t删一t ) + 1 + 尸+ n 删一1 ) ，嚣i 、 7 则通过与上- 4 , 节相似的过程，可以掰到襁应的股指年金定价公式 v ：，一( 1 + t f ) g o f j ( o ：，。rx q ) + n 喜1 ( g ，t 臻一。t i ，e 。：z r q ，一( 五；一，t i ，t 。：? 。r 、q ，、) + n g 傅卜嘶陬z r q ) 一酝 - 彬：? 。r 、q ) 坛 2 0 致漾 致谢 酋先我要特别感澍我的导师吴浆教授 年来对我的淳淳教譬，没有她的鼓励 和批评我不可能达到现在的水詈，只是出予学生我水够勤奋刻筹，兼瓷质慰鲁。 没钉取得什么成就，愧对恐师栽培。我j 能在以后的学习工作中，加倍努力争 取优异成绩，除此元以为报。阚时也爱感谢张春囊教授、郭军义教授和王永进教 授，我的成长同样也离不歼您的关怀。 要感谢还钉我的师兄师姐们，宋敏老师、何敬民师咒、房莹师姐、李波师兄、 李津竹师兄、曩：伟师兄、关明华师姐等，感谢锈；们在不同的时候给我无私的帮助， 帮助我点点进步。 要感谢的还有我的嗣门，采稠辉和鲍策，本文的完成离不歼你们的扇发鼓励 和帮助。 其次要感谢我的室友们，槎日升、韩耀华、张利颖、韩其栋、牛云、孙亮、倪 忠浩、盂宪嚣、杨帆，我们一起走过了少则兰年，多则七年，没有你们的包容忍 让，我就不会足现在豹我，我们即将走1 ：不同的工作岗位，但愿我们都会有美好 的前途，希塑我们的友情地久灭长。 最后特别要感 射我的家人，没有你们就没有我。感谢张靖，在酉忙之中祷我 焱阅了犬缓文献，谢谢你。 再次感谢以七提到的霹l 没有提到的老师、朋笈! ! 1 2 l 参考文献 参考文献 f l l 李秀劳一e 编，寿除精箨实务，中阔财政经济粥版社，2 ( x ) 6 【2 ig e r b e r h a n ds h i u e ，p r i c i n gl o o k b a c ko p t i o n sa n dd y n a m i cg u a r a n t e e s n r o t h a m e r i c a na c t u a r i a ij o u m a l7 一l ( 2 ( x b ) ，4 8 6 7 ， 【3 1h a r d y ，m ，r a t c h e te q u i t yi n d e x e da n n u i t i e s 。i n ：t h e1 4 t ha n n u a li n t e r n a t i o n a l a f i rc o l l o q u i u m t h ei n t e r n a t i o n a la c t u a r i a la s s o c i a t i o n 2 0 0 3 f 4 1l e e hp r i c i n ge q u i t y i n d e x e da n n u i t i e sw i t hp a t h d e p e n d e n to p t i o n s ，i n s u r a n c e ： m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s3 3 3 ( 2 0 0 3 ) 6 7 7 6 9 0 5 1t i o n g ，s ，v a l u i n ge q u i t y i n d e x e da n n u i t i e s ，n o r t ha m e r i c a na c t u a r i a lj o u r n a l 4 ( 2 0 t x ) ) 1 4 9 - 17 0 f 6 1j a i m u n g a l ，s ，p r i c i n ga n dh e d g i n ge q u i t yi n d e x e da n n u i t i e sw i t hv a r i a n c eg a m m a d e v i a t e s ，h t t p ：w w w u t s t a t u t o r o n t o c a s j a i m u n p a p e r s e i a v g o j f , 2 x m ， p r e p r i n t 【7 1l i n ，x d a n dt a n ，k s v a l u a t i o no fe q u i t y - i n d e x e da n n u i t i e su n d e rs t o c h a s t i c i n t e r e s tr a t e s ，n o r t ha m e r i c a na t u a r i a lj o u r n a l6 ( 2 ( ) ( ) 3 ) ，7 2 - 91 【8 】k i j i m a m a n dw o n g ，t ，p r i c i n go fr a t c h e te q u i t y i n d e x e da n n u i t i e su n