（机械制造及其自动化专业论文）随机结构分析的加权残值方法.pdf

攘要 摘要 本文基于加权残值法和矩法酌特点，提出了随机结构分析的一种新方法，并 从理论上给出了熬统一的表述。该方法的基本思想是利用加权残值法获得问题解 的近似函数表达式，在此基础上利用球解随机变量函数的炬法求得随机函数的、 二酚矩等统计数字特薤。它具有热牧残毽法窝矩法嚣尝辫窍豹全部挽点，茭簸瑾 简单、计算篱便、怠能够获得陵橇缡梅系统中每一参数豹麓枧性对结摘反波豹影 响。文中将这一方法成功地应用子随机结构的静力学分析、稳定性问题、动力特 征值求解和动力响应分析之中，对随机梁、板结构编制了静力分析计算通刚程序， 证明了此法的藤确性、有效性。此於，基于这一方法，提出了一种对边界条件髓 撬瞧整理豹方法，劳在静力学蠲题分橱孛予麸实瑗。逶避瓣若手算镄豹缝浆势辑， 获得了许多对随枫绪构设计有价值的络论。 【关键词】夔枫结梅翔毅残傻法缝梅分拆耱枫边界祭 孛 b a s e do nm e t h o do f m o m e n ta n dm e t h o do fw 鞋g 秘醴r e s i d u a l s , an e wa n a l y s i s m e t h o df o rt h es t o c h a s t i cs u n c t l l 地si sp r o p o s e da n dd e s c r i b e da sau n i f i e df o r mi nt h i s p a p e r n 把m a i ni d e ao ft h i sm e t h o di n c l u d et w os t e p s ：a tf i r s t , t h ea p p r o x i m a t e e x p r e s s i o no ff u n c t i o ni so b t a i n e db ym e t h o do fw e i g h t e dr e s i d u a l s ；t h e nt h ef i r s ta n d s e c o n dm o m e n to ft h er a n d o mf u n c t i o nc a nb ec a l c u l a t e dw i t hm e t h o do fm o m e n t i t h a sa l lo f t h ea d v a n t a g e so f m e t h o do f m o m e n ta n dm e t h o do f w e i g h t e dr e s i d u a l ss u c h a ss i m p l ep r i n c i p l e , h a n d yc a l c d a f i o | l a n dt h ee f f e c tt os t r u c t u r a lr e a c t i o nf r o m r a n d o m n e s so fe a c hs t r u c t u r a lp a r a m e t e rc a nb eg a i n e d 1 1 l e 托a s i b i l i t ya n dv a l i d i t yo f t h em e t h o dh a v eb e e np r o v e db yt h ee x a m p l e so fs t a t i c a la n a l y s i s , s t a b i l i t yp r o b l e m ， d y n a m i c a le i g e n v a l u ec a l c u l a t i o n a n dd y n a m i c a lm s m ea n a l y s i s n l eg e n e r a l p m e e d m eo fs t a t i c a la n a l y s i sf o rb e a ma n dp l a t ei sp r o g r a m e d b a s e do i lt h em e t h o d ，a 1 1 e ww a yt od e a lw i t ht h e 嫩如m i c i t yo f 酌瑾l 姆c o m l i t i o ni sa d v a n c e da n d i m p l e m e n t e di ns t a t i c a la n a l y s i s b ya n a l y z i n gt h er e s u l t so f t h ee x a m p l e s ，m a n yu s e f u l c o n c l u s i o n sf o rd e s i g no f s t o c h a s t i cs t r u c t u r ea r co b t a i n e d k e y w o r d s s t o c h a s t i cs t r u c t u r em e t h o do f w e i g h t e dr e s i d u a l s s t r u c t u r a la n a l y s i ss t o c h a s t i cb o u n d a r yc o n d i t i o n 独创性( 或创新性) 声明 p 5 3 5 7 6 i 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：丝筐兰丝 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保 证毕业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技 大学。学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布 的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密 的论文在解密后遵守此规定) 本人签名：堑筐兰堕 导师签名：日期：趣塑：! ：星 第一章绪论 第一章绪论 1 1 随机结构系统 在工程结构分析与设计中，人们首先遇到的问题往往是如何设定合理的计算模 型。从一般意义上考察这一问题，可以发现两类基本的模型化原则： 1 把客观系统模型化为具有确定性因果关系的系统。 2 把客观系统模型化为不县有确定性因果关系的系统。 根据前一原则得到的模型，通常称为确定性模型。而根据后一原则得到的模 型，则依据系统模型输入与输出之间的关系，分别有随机模型、模糊模型甚至模 糊随机模型的区别。 传统的工程结构分析，通常采用确定性力学模型进行。在这类模型中，所采 用的力学结构计算参数是一些确定的数值。即在这类计算模型中，不承认或完全 忽略了现实结构系统内部的变异性。在具体的分析与计算过程中，本质上是用某 种意义上的均值参数系统代替原来的结构系统。实践表明，只有在本原系统关于 这类模型系统的变异性较小时，上述分析才能给出较为符合实际的结果。否则， 上述分析甚至不能在均值反应意义上把握本原系统的反应。因此，基于确定性的 传统工程结构系统分析、识别和设计结果也必然是对本原系统的一种有偏差的估 计结果。为了能够客观地描述存在于结构系统内部和外部的变异性或模糊性，人 们提出了不确定性的结构分析模型，即具有不确定性参数的结构承受不确定性荷 载的作用。从表面上看来，把过去某些被假定为确定性的量认为不确定性量好象 是一种粗糙化，实际情况恰好相度：过去由于数学处理的困难，把某些不确定量 人为假定为某一确定性量，这才是一种极大的简化和粗糙化，甚至会造成矛盾。 例如地震烈度定量化的定义就和它在工程设计中的使用值有不可克服的矛盾。 在实际的工程系统中，任何一类观测都只能是非完备的观测，任何一种控制都只 能是非完备的控制，这便是引入不确定性结构模型的现实基础。目前对工程设计 中不确定性问题的研究，已形成了两个具有本质区别而又有深刻联系的领域：一 个是用概率论和数理统计学的方法研究与处理由于随机因素造成的不确定性问 题；另一个是用模糊数学的方法研究与处理由于事物本身界限的不明确性而造成 的不确定性问题。在概念上，这两种不确定性是完全不相同的。前者对事物具有 明确的含义，但对事物的发生是不可预知的，因而是一种对因果律掌握不住( 偶 然性) 而造成的不确定性；而后者对事物配制没有明确的“边界”，因而是一种排 中律被破坏而造成的不确定性。为了对事物的随机性进行不确定性研究，在概率 2 随机结构分析的加权残值方法 论中是用概率密度函数或概率分布函数将随机性加以定量化；而在模糊数学中是 用隶属函数将模糊性加以定量化。但是在研究实际问题时也发现，有时用概率论 研究随机现象发生的概率可以是确定的，也可以是模糊的。例如，在某种产品的 设计中，它的主要性能指标z 是一个随机变量，若对一批产品能满足 p z 。z z m s x ，则认为产品的质量是合格的。此时，虽然概率砷 值是可 计算出的且是确定的，但对性能边界值扛血，z 一 的制定又是十分模糊的，特别是 a 。值应规定多大才合理便更有模糊性，因而又派生出了更复杂的所谓模糊概率论 问题，这是随机性和模糊性这两种不确定性互相渗透的结果。 本文主要研究的是随机结构模型。在这一模型中我们是将结构的基本参数部 分或全部地用随机变量或随机场来描述之。显然，在许多场合下，随机结构系统 模型是较之确定性结构系统模型更为科学、合理和更为真实、精确的一类模型。 这是因为此类可如实地考虑某些参数的不确定性，可以使人们对这些量的认识更 加细化和科学化。显然，知道一个随机量的分布律、知道一个模糊量的隶属函数、 知道一个未确定量的可能范围及其信比分布，都将比它假定为一确定的值要合理 精确得多。 在结构系统的模型化过程中，可能遇到的随机性主要分以下几类： 1 材料特性的随机性。由于制造环境、技术条件、材料的多相特征等因素， 使工程材料的弹性模量、泊松比、质量密度、线胀系数、强度和疲劳极限等具有 随机性。 2 几何尺寸的随机性。由于设计、制造、安装等误差使结构构件的几何尺寸， 如杆、梁、柱的长度、横截面积、惯性矩、板的厚度等具有的随机性。 3 结构边界条件的随机性。由于结构的复杂性而引起结构与结构的联接、 构件与构件的联接等边界条件具有随机性。 4 结构物理性质的随机性。由于系统的复杂性而引起系统的阻尼特性、磨 擦系数、非线性特性等具有随机性。 5 载荷的随机性。由于外界环境变化、突发事件等引起的结构载荷也常具 有随机性，如风荷、地震等。 一个完整的随机结构模型是能够充分考虑结构的诸多随机性的模型，即可同时 考虑上述各类随机性。而传统的确定性模型以及只考虑了上述几种随机类型中的 一部分的模型都仅是完整随机结构模型中的各种特例。 1 2 随机结构的研究现状 关于随机结构的研究，最早起源于对具有随机系数的微分方程的研究。研究工 、藻一章绪论 作的一个巍接动因可能是在6 0 年代摄动方法的淡超和概率论思想的营及。如s o o n g 和b o g d a n o f f ( 1 9 6 3 ) 关予灏规则线型链的研究【1 1 ，是采用传递矩眸技术与摄动展 开思想榴结合，并且给出了考虑随机参数的频帮解答。几乎与此间时，b o y c e 与 ( b o d 谢n f l 9 6 4 溺究了具有麓枫参数豹弦窝粱豹特缝值阚蘧翻。在稳 f 的研究中， 霹嚣毽怒采雳摄动遥远羲爨戆，整嚣懿考虑了耪籽特征与逮赛条撵瓣隧掇往。魏 后直至7 0 年代，随机结构分析的研究才开始真溅弓l 起广泛的注意秘兴趣。 1 9 6 9 年，c o l l i n s 和t h o m p s o n 采用摄动方法研究了具有随机参数的系统的特 征值问磁【3 】。此项研究的熏鼷意义在于开了随机络构稳定性分析的先例。研究结论 认为结构截面尺寸的交男性对结构稳定蚀影响更为严重。此骺，h a r t 和 c o l l i n s ( 1 9 7 0 ) ，h a s s e l m a n ( 1 9 7 0 ) 秘h a r t ( 1 9 7 2 ) 将上述王终发展必与鸯戳元技术耪结 合，献褥形成了后来人稻称乏为随枫有限元方法( 或概率有限元方法) 的基本思 路【4 】【扪。c o m e l l ( 1 9 7 1 ) ( 1 9 7 2 ) 建议采用摄动法与有限冗技术相结合研究一般随机结构 分析问题【6 l 【7 1 。c h e n 和s o m k a ( 1 9 7 ) , j ! j 用摄动有限元方法研究了随机结构的动力反 应问题 8 1 。而s h i n o z u k a 及冀蹲事们豹工作则较为系统地研究了采用随机模拟方法 邃露薅爨络魏分据夔途径f 9 h l ，获秀形成了两笨鼗蕤瓿绩簿分酝黪繁二拿主导方 法：随机模拟方法。与此间拜尊，也有人开始探索寻求随枫结梅精确分析解答的可 能性( l e e1 9 7 4 ) 1 2 1 ，但后来液明，此方面的探索骚制于整体科学背景的限制而止步 不前。 8 0 年代初，以n a k a g i r i 潮h i s a d a 为代表，对掇动有限元方法及旗应用进行了 大量系绫豹鹾究驻弱 1 4 l 。这熬磺完基本确立了摄凌鸯辍元方法在薅掇绥穆羚力分辑 中的逶瘸性，同对也捂蹬了摄动方法静届隈健：鼯当变异显著时，缀动法静精度 迅速下降。 1 9 7 9 年，s u n 针对具有随机系数微分方程的求解问题，提出了一类基于位移 量取h e r m i t e 正交多项式展歼的逼近方法u ”。假其工作当时并没有弓i 起足够的重 视。壹劐粥年我，人襄右农冀痿发下，采臻爱蔽塞歪交震开豹愚葱磺究随凝结擒 分析闫藤，并形成了敬豫为特煮舻系秘方法f l 。李杰在泛函分辨愚怒的框架 下，发展了一类次序正交分解的思想，并由之姆出了一般随机结构动力系统的扩 阶系统方程，形成了一套独立的方法卜书7 1 。 近馨来，随机结构问鼷这一新领域的研究吸引了更多学者的荧注。林家浩等 基于薅枫摄动法秘虚数激励法绘出了具有藐枧参数戆线性结秘受到乎稳髓极激励 辩，茭隧穰睫虚方差静交雾系数萋于一除摄韵懿莒 算方法1 3 7 1 。易平、棼家法对于 具有随机参数的结构受到韩平稳随机激励的问题，给出了结构随机响应变异系数 的虚拟激励摄动算法，将掇渤法和虚拟激励法相结合实现了线性随机结构受演变 型非平稳随机激励响应方麓的变异性分析1 3 踟。譬杰、廖松涛利用廉拟激励法对随 规结构燕交震开理论进季亍扩艘，并在r i t z 向量予空闺孛对扩阶系绕方程进行动力 4 蘧规翁穗分辑鹃燕蔽残篷方法 缡聚，提出了一熬w 戳快速高效地避符线经璇视结梅复念随机振动分析的谛繇方 法口m 。从上世纪9 0 年代末开始，西安电予科技大学陈建犁教授领导的研究小缀对 于随机结构的静力分析、动力特性分析、动力晌应分析和罄予概率的静、动力优 纯设诗等课题开展了初步冠系统豹研究。c h e n 等对蘧概结褥鹊静、裁努分析据出 了簸撬医予法，并数衔絮结搀秀霹象，研究了筵稳翡耪壤参数纛足籍参数努巅蠛 两辩为随税交虽辩始梅韵力特性魏裰零分辨与求解鹩方法潮 。戴君、陈建军等将 随机因子法与振戮邀加法相结合，撼婚了绪鞠物理参数和作用荷载幅值同时熊脊 隧枫性时结构动力响应随机变量数字特镊的计算表达式，并提出了求解方法脚】。 戴嚣、陈建军等程考虑结构物理参数秘嚣用蔫载同对具有髓机牲驹情况下，建立 了莛骞魂瘟秀、秘整移哥靠懂獒素窝浚诗变量土下蓑约窳豹王黎结籍饶琵设诗数 学模型1 3 2 l 。g a o 、c h e n 等糕焉睫秘嚣乎法，在弱对考虑缝糖秘理参数、见 霉参数 和外来施加荷载的随枫性的情况下，研究了随机智能桁架结构的主动杆位霹酝瀚 釉控制增益的优化问题【3 ”。陈建军、辫建文等对随机桁架结构开展了基于概率的 结槐动力特性分析懈l 。j ，tc h e n , 量戳c h e 等对具毫频率殿模态概率约束的粱、檄 缭稳遴荐了动力後纯浚诗鞫。囊蒋j 陈建军等骚究了登鳍擒浆耨理参数、癸耨竣 幅馕戮及阕嚣系统撩裁力霹嚣孪其宥麓橇幢辩，压毫饕鼹输繁缭梅瓣振费圭韵澄截 响应问题。但在目前所构建的模型中，对子动力荷载只考虑了其幅值的随机能， 熟时间因子的变化9 激律还属于确定性的。严格讲，这还并不是通常意义下的随机 激励 3 5 】。 ? o 1 3 擞投残值法 半解析数值方法魁科学计算与工稔分析方法的一个新的分支。鉴于纯解柝的煺 谂分辑方法在数学上靛爨滩，毙瑟决豹闽嚣卡分有羧；两备耱缝数氇方法( 鸯戳 元、迭器元、煮袋蓑分法) 叉墓予垒藩敷藤理，黯菱杂实舔瓣遂簸j 天数据及计算 工作量大、对计算撬簧求商、赞餍可瓣，因此将解析与数饺方法相结合，蚨漆备 两者优点的各种半解析数值方法成为用计算机求解科学与工程分析问题的有效警 殿。这些方法由予翠 入了解析解的方法瞄成果，使数值计辣王作量显著降低，避 合擞极诗算，可收嬲显著熬经济效蘸；网辩又裸蜜了纯数俊方法麓灵活性与遇髑 毪豹特患，荔予工程入受嚣掌握。 半解柝数馥方法楚指在数蓬努橱中滚爝与孕l 入部分勰耩解或解析蘧数，妻h 投羧 值法就是其中最燕搽的一种。该方法用乎解算力学问题和燃问题具有原理的绒 性、方法的一致收敛性( 线性问题有严格的话溯) 和应用的广泛性。 热权残毽法豹整零思想早在上世纪瓣年代裁在数理方程髓直接方法孛提如， 第一章绪论5 但到5 0 年代由于计算技术的发展才得以广泛应用，并正式提出“加权残值法”名 字( m e t h o do f w e i g h t e dr e s i d u a l s ) 【蛐】。最初它主要在流体力学、热传导、化学工 程以及电磁场等方面应用的较为广泛嗍。随后由于这一方法具有简便、计算工作 量少、程序简短、精度高等优点，使得这一方法在固体力学和其它领域也得以快 速的发展。一般认为，在国内首先把加权残值法用于固体力学是于1 9 7 8 年由徐次 达提出的【5 0 j 。 自8 0 年代在我国兴起以来，对加权残值方法的理论与应用研究取得了巨大的 发展，其涉及的领域除早期的固体力学之外，还应用于热传导、静电磁场、航空 测量、光学设计、石油钻井、天文学等；其分析的内容不仅有静力学问题、线性 问题、单相问题、传统力学问题、单纯力学问题和基础理论问题，而且还有动力 学问题、非线性问题、，多相问题、新兴边缘力学问题、交叉耦合问题和工程应用 问题。自1 9 8 2 年以来，中国力学学会已召开过四届全国性的加权残值法学术交流 会，据粗略统计，发表在会议和期刊上的有关论文多达数百蒯5 4 1 。其应用的范围 包括：弹性薄板弯曲问题、复合材料板壳、梁弯曲与稳定性问题、板壳的动力学 问题、板壳的非线性问题、板壳的稳定性问题、厚板厚壳问题、流体力学问题、 弹性平面力学问题、水坝与拱坝问题、有孔板壳问题、热传导问题、静电磁场问 题、网格分析、高层建筑分析、弹性扁壳、板壳等组合结构分析、弹性力学三维 问题、薄板弹塑性分析、扁壳弹塑性分析、壳体静力分析、板壳的极限分析、弹 性杆的扭转、索网力学分析、腾空艇运动稳定性、岩土工程逆分析、圆形隧道力 学问题、壳体蠕变问题、火炮管自紧闯题、双模量迭层扁壳弯曲问题、薄壁杆件 扭弯问题、厚壁筒热粘塑问题、泵阀运动分柝、光弹性问题、腐蚀电场分析、波 动方程分析、天文学中的三体阀题及测量学中测点定位等等。足以可见加权残值 法其应用范围的广泛性。目前国内对加权残值方法的理论与应用的研究工作处于 相对领先地位。然而令人遗憾的是，迄今为止几乎上述所有的应用都是针对确定 性问题的，尚未见至4 将加权残值这一方法应用于随机问题之中。 、 1 4 本文工作的意义及主要内容 综上所述，目前对于随机结构分析的主要方法有：m o n t e c a r l o 模拟方法、随 机有限元方法和基于摄动的分析方法等。m o n t e c a r l o 模拟方法具有普遍性，但其 数字模拟需要海量计算，且存在着数据收敛判据方面的困难。随机有限元方法和 基于摄动的分析方法虽在一定程度上减少了计算工作量，但它们的处理方法均是 将结构系统中各种参数的随机性都笼统地归结为一个摄动小参数予以考虑的，如 此处理将无法反映出系统中每一随机参数对最终结果的影响大小，从而不便对结 6 随机结构分析的加权残值方法 构设计方案进行相应有效的修改和调整。为此，开展对于随机结构分析模型和新 方法的研究是一项具有重要理论和实际意义的工作。 在许多情况下，对于工程应用问题的理论研究最终往往归结为具有一定边界条 件与初始条件的微分方程求解问题。该微分方程可以是常微分方程或偏微分方程， 可以是线性的或非线性的，可以是单个微分方程或微分方程组。在绝大多数情况 下，对这些问题无法求得精确解，只能采用各种近似的数学方法求解。加权残值 法就是诸多近似数学方法中比较有效的一种。这一方法经多年来在各个领域的应 用实践，人们普遍认为它具有方法简单、原婕统一、计算量小、精度高、易于程 序实现、应用广泛等优点。 概率论中的矩法是求解随机变量函数数字特征的一种有效方法，该法避开了求 解随机变量函数联合概率密度函数的复杂计算，直接利用泰勒( t a y l o r ) 级数将随机 变量的函数展开，进而求得随机变量函数一、二阶矩等统计特征的数学表达式， 故而它能够获得各个变量的随机性对随机函数结果的贡献。 本文结合加权残值法可求得问题的解析解或半解析解，而矩法可获得随机变量 函数数字特征的特点，提出了随机结构分析的一种新方法，其基本作法是首先通 过加权残值法给出问题解的近似函数表达式，在此基础上，利用求解随机变量函 数的矩法求得随机函数的一、二阶矩等统计特征，以达到对随机结构的分析与设 计的目的。该方法具有加权残值法和矩法两者固有的全部优点，能够快捷、方便 地对随机结构进行分析，且能容易的获得结构的各个随机参数及其变化对结构反 应的影响，从而为结构的可靠性分析与预测、结构的设计和静、动力修改提供了 必要的信息。 本文完成的主要工作有以下几个部分： 1 结合加权残值法与矩法的特点，提出了一种分析随机结构的新方法，并 从理论上给出统一的的表述。 2 将这一新的方法拓广应用于随机结构的静力分析、边界条件处理、稳定 性问题、特征值求解和动力响应分析等问题之中，证明了该方法的有效性、简便 性，以及能方便地获得结构中各个随机参数及变化对结构反应的影响。通过对若 干算例的结果分析与比较，获得到了许多对随机结构工程设计有用结论。 3 对随机梁、板结构的静力学问题，编制了的界面友好、通用性强、使用 方便的计算机程序。 4 在对随机结构进行动力响应分析中，首次直接从微分方程入手，用空间 函数与时域上的三次b 样条函数相结合作为试函数，避免了求解结构各阶固有频 率和振型的麻烦。 第二章加权残值法和矩法的理论基础7 第二章加权残值法和矩法的理论基础 2 1 加权残值法 2 1 1 加权残值法简介 在工程技术和科学研究中，轻常会遇到各种各样的定解问题，即在一定的边 界条件或者初始条件下求解问题的控制方程。这些控制方程既有微分方程，也有 积分方程；既有线性方程，也有非线性方程；既有单一的方程，也有耦合的方程 组。目前关于微分方程或积分方程的求解，仅有少数经典问题可获得精确解，而 对于大量工程中的定解问题只能通过各种近似求解方法来实现。加权残值法就是 诸多近似方法中的一种。 加权残值法的思想，远在上个世纪初就已经提出。但直到上世纪2 0 年代，才 由p i c o n e m 用于求解微分方程之中。后来c r a n d a u s h 将这一方法统一定义为 “加权残值法”【4 8 】，并逐步应用到计算流体力学、空气动力学、热传导、化工容 器等各个领域【4 9 l 。在国内，徐次达教授首次将这一方法引入到固体力学计算中使 之在国内有了长足的发展，形成了计算力学的一个新的分支f 5 0 】。 加权残值方法用于求解算力学问题具有原理的统一性、方法的一致收敛性( 线 性阀题已有严格的证明) 和应用的广泛性。用这种方法解微分方程时，首先要假 设一个试函数( t r i a lf i m c t i o n ) 作为方程式的近似解，其中含有已确定的试函数项 和待定的系数或待定的函数。接着将这试函数代入微分方程及其边界条件中，一 般不可能得以满足，便出现了残值( r e s i d u a l s ) 。将试函数代入微分方程所得到的 残值称为内部残值，两将试函数代入边界条件所得到的残值称为边晃残值。为了 使试函数中的待定系数或待定函数所组成的试函数近似解能满足微分方程及其边 界条件，应设法消除这些残值，于是组成了消除残值的方程组。为了体现出一定 的域内按某种平均意义的方式将残值予以消除，人们在消除残值方程中引入一个 权函数( w e i g h t e df u n c t i o n ) 去乘残值，然后在一定的域内消除残值。消除残值方 程组实际上是一组线性的或非线性的代数方程式，联立解这些代数方程式，便得 到了待定的系数，于是试函数形式便被确定，它就是满足控制微分方程及其边界 条件的近似解。 加权残值法求解过程的数学描述如下： 已知结构问题的控制方程和边界条件分别为： 三g ) 一f = o ：f v ( 2 1 ) 曰0 ) 一h = 0 “s ( 2 2 ) 式中：为待求的场函数；和口分别为域内矿上和边界s 上的作用算子；，和， 8 随机结构分析的加权残值方法 分别为定义在域内和边界上不含u 的已知函数。 一般很难精确地通过( 2 - 1 ) 和( 2 2 ) 求得，的函数表达式，为此可假设c ，的近 似解万为： 茚= c j 识g 。，x ：，) ( 2 3 ) i = l 式中：晶( i = l ，2 ，力) 为待定的参数，其中可能包含各种结构参数；矗( i = 1 ，2 ，力) 是一组线性无关的基函数，其中也可能包含有结构的几何参数。 由于玎是假设的近似解，将其代入控制方程( 2 - 1 ) 和边界条件( 2 2 ) 中，一般是 不会精确满足的，这样就将分别在域内啊铂边界s 上产生了残值届和尼，即有： 冠= ( 孑) 一fv( 2 - 4 ) 尼= 占( 茚) 一hs( 2 5 ) 在加权残值法的消残处理中，是通过适当地选取两个权函数鼽和胎，使残值 席r 和胎分别与其相应的权函数的乘积在域内和边界上的积分为零，即： i ，r r d y = 0 v ( 2 - 6 ) 【b 冁嬲= 0 s ( 2 - 7 ) 町 、 解方程( 2 - 6 ) 和( 2 7 ) 可求得待定的参数五( 亡1 ，2 ，n ) ，将它们代回到( 2 3 ) 就可得到待求函数u 的近似解莳，从而问题得以解决。 2 1 2 加权残值法的分类 1 、按试函数分类 根据所选取的试函数是否满足控制方程和边界条件，可将加权残值法分为三种 类型： ( 1 ) 内部法如果选取的试函数石满足边界条件( 2 2 ) 式，而不满足域内微分 方程( 2 - 1 ) 式，我们只需消除微分方程在r 域内的残值，即只考虑消残方程( 2 6 ) 。 这种方法称为内部法。试函数为边界型的。 ( 2 ) 边界法如果选取的试函数茚满足微分方程( 2 - 1 ) 式，而不满足边界条件 ( 2 2 ) 式，我们只需消除边界条件在s 域上的残值，即只考虑消残方程( 2 7 ) 。这 种方法称为边界法。试函数为内部型的。 ( 3 ) 混合法如果选取的试函数石既不满足微分方程( 2 - 1 ) 式，也不满足边界 条件( 2 2 ) 式，则我们需同时考虑消残方程( 2 - 6 ) 和( 2 7 ) 。这种方法称为混合法。 试函数也称为混合型的。 2 、按权函数的形式分类 根据权函数的形式，可以把加权残值法分为以下五类，可称为加权残值法的五 种基本方法。 ( 1 ) 最小二乘法( 1 e a s ts q u a r e sm e t h o d ) 第二黎燕援残值法和矩法懿理论基穑 9 1 ( c j ) = p 2 d v ( 2 - 8 ) 为馒，) 为最小，应用求随数的极值条件： 旦：o( 2 9 ) i 嘭 可得消除残值方程式为： 妞知：0 ( 媳2 ，曰) ( 2 1 0 ) 4 嬲。 ” 蠢魏碍知，最小二乘法巾鹣投蓝数为，进行运算后上式可优为疗个代数 方程式，足以求出厅个待定系数q ( ，= 1 ，2 ，竹) 。 如粱求解的闽题是二缎涧题，炙i j 最小二乘法的消残方程组为： 烀y 甓竽露= e 协吐轧嚣) 园 同样，门维问题的最小二柒消残方程组为门璧积分式。 最初发震的配置法仅是酝点溶如酞c o l l o c a 娃o n ) ，后来在我国发展了配线法、 琵瑟法及瓣域法等。考虑蘩嚣嚣章蒂孛多次蘧翔瓣豢法，在魏篦较谨绥逮论述这 配点法就是以笛拉克6 酾数( n i r a c d e l t a f u n c t i o n ) 作为权函数： 够= 如一_ ) ( 2 1 2 ) 笛授毙s 蘧数又耘单经躲狰嚣数。 一绦耱单位辣渖函数豹激妥毪藏魏下： 、扯d ：雕剖 、p 0 一t 墨= l ( 2 - 1 4 ) 、f 如拈仨譬嚣叫 同 1 0 随机结构分析的加权残值方法 、f 舳胁 一1 鼽= 雌：刻 忉 、rf 万g - - x j 扮( y 一乃谤吣= 1 ，( 口 _ 6 ，及c b 都巅j 融e 彩 巧 q 及 阮 小l 叫 0 0 乃 ：-，i ，f， q 第二奄翔较残蓬法和矩法的壤论基础 伽i 余法是由俄国王糕师伽适拿( g a 予1 9 1 5 年提出来的，窀是里兹( r i t z 。 变分法的推广，就是将试醋数项彗作为权函数的加权残值法。 假设我们选取的试函数魑如下的形式： 籍= g 五e ) ( 2 2 2 ) - t 则( 2 - 6 ) 和( 2 7 ) 由伽辽众法得到的消除残德方程为： 弘，乃g = o ( ，- - 1 ，2 ，h ) ( e 矿) ( 2 - 2 3 ) 皿乃g ：玲= o ( ，= l ，2 ，雄) ( e s ) ( 2 2 4 ) s 泰帮诧辩豹投丞鼗兔； 孵= ，o ) ( 2 2 5 ) 显然，残值方程和试函数的每一个基函数最交，正是这一性质，保证了伽辽金 法的收敛挫。 貘) 、子域法( 翻惑鼬8 i 矗瓢a 瓤茹 将熬个区域测分为t 1 个子域，在每一个予域成令残值酶积分为零，酃： 玛彤一0 巧矿，_ ，= 1 ，2 ，2 ，行) ( 2 - 2 6 ) 显然，随着子域数目的增加，控制方程将在愈来愈小的更多予城内得到近似满 是，因褥求褥豹解也将趋予瑟热耪确。但是，实际划分露必须适可聪止，愿困不 仅是貉饕予蠛数妥懿疆多，谤葵工薅耋麓丈，燹鬟簧魏是缀哥麓逡臻蔟态方程篷， 无法求瓣。 由上面的方程中可以肴剿，子域法中的权函数为： f 1 ，以 w = 。 ( 2 - 2 7 ) 一彗巧 ( 5 ) 、觚量法( m c l h o do f m o m e n t ) 若取权函数为x 。( ，= o ，1 ，万弋1 ) ( 一维) ，x y 以k = o ，1 ，一1 ) ( 二维) 时 的加权残值法称为矩量法，缀成的消残方程为： 胁7 d v = o , 0 = 锈l ，n - 1 ) ( 2 2 s ) 或 f f r f x , y , y d r = o , ( ，k = o ，l ，聪一1 ) ( 2 - 2 9 ) 总络匕面的五种基本方法，列表如下： 1 2 随机结构分析的加权残值方法 表2 1 加权残值法的权函数与消残方程 名称消残方程权函数备注 最小二乘法 f r 塑西：0 a 月 i - a c ，a c o = 1 ，2 ，由 配点法 f r 舔一_ k = 如) = 0 如一_ ) 伽辽金法f r n , a v ：0 、沁( ，：1 ，2 曲霰= e c j n j 少 。 = l f 1 ，( v ，内) 子域法 鼽= o ，( ，= 垅由 肚10 ，m ) 划分为n 个子域 矩量法时咖：0 x 7 ( ，= o l n 一1 ) 少 上述五种方法属于加权残值法的基本方法，实际应用时经常是把两种或更多 的基本方法结合起来使用，如最小二乘配点法、伽辽金配点法、最小二乘予域法、 矩量配点法等。值得一提的是，近年来我国学者逐步提出了一类具有中国特色的 新的加权残值法一一杂交加权残值法【5 5 】，即将其他各种近似计算方法和加权残值 法联合使用，如能量配点法、康托洛维奇加权残值法、格林加权残值法、变率加 权残值法、分步迭代加权残值法、摄动加权残值法及数学规划加权残值法等。这 类方法既保持了原来近似方法的基本原理，艾吸收了加权残值法的优点，因而适 用范围更广，使用更方便，效果更好。 2 1 3 加权残值法的解题步骤 在固体力学中，加权残值法的解题步骤可表示为下列框图： 图2 1 加权残值洼的解题步骤 第二章加权残值法和矩法的理论基础1 3 2 2 求解随机变量函数的矩法口4 3 在随机阅题的分析中，常常要求确定随机变量函数的数字特征( 矩) ，如均值、 方差等。下面的定理公式仅利用自变量的分布和函数关系就可求得函数的矩，从 而避免了求解随机变的函数分布的困难。 定理公式： 设：撑维随机向量为j = ，砭，以) ；函数为： z = g 伍) = g o ，l ，x 2 ，x 。) ( 2 - 3 0 ) 则函数的期望为： 占( z ) = e k 傍月 = g g 。，x ：，) 厶妒。g 。，z ：，_ k 。d x ：出。( 2 - 3 1 ) 函数的方差为： d ( z ) = d k 谚) 】 = 一【g “，屯，矗) 一z ( 砌2 厶。i ，屯，毛) 嘲c 也疆k ( 2 3 2 ) 式中：3 5 2 , , x m g 。，x ：，k ) 为随机向量伍。，x2 ，一，x 。) 的联合概率密度函数。若 x ，( f = 1 ，2 ，咒) 彼此独立，则有： 五，。b ，屯，而) = 厶如比) 矗纯) ( 2 3 3 ) 直接应用定理公式求函数的矩有两个难于克服的困难。一是须已知随机向量 ，x ：，以) 的联合概率密度函数，这在许多实际问题中是难于实现的。二是须 进行高维积分运算，特别当被积函数为复杂函数时，即使采用数值积分也并非易 事。 矩法避开了定理公式法的困难，直接将随机变量的函数利用泰勒( t a y l o r ) 级数 展开，从而求得函数的均值和方差。 设随机变量的函数为变量j 当伍，x 2 ，j o ) 的连续可导函数，将其在变量贾 的均值点皿= “即托，以) 处用泰勒级数展开为： z 2 9 k 帅帆) + 车胁伍t 他) + r ( 2 - s a ) 1 4 随机结构分析的加权残值方法 式中：月为余项，表示二阶导数以上各项之翱o 现忽略展开式中的余项月，对两端分别求期望和方差，由期望运算的性质可 推得： e ( z ) = g 如置，如，t ) ( 2 3 5 ) 由方差运算的性质可推得： 。= 孝( 寿l 吒+ 享骞( 毒l f t 堕a x , j 柚饥- 仃丑s e ， 此式即为测量理论中的误差传递公式。 若随机变量出( j 屯z j 功彼此独立，即有p x m = 0 ( j 西户五z “二力) ， 则传递公式可表为： 喇= 李- 吒 s ， 若随机变量彤( j 面z ，力) 彼此完净正相关，即有如，= 1 ( j ， 户五z j 门) ，则传递公式可表为： 喇= 李( 毒0 2 s s ， 第三章骧援续麴闯驻的热投残壤解法 1 5 第三章随机结构问题的加权残值解法 3 1 引斋 在诲多工程实践孛，鳐梅零身参数静随辊瞧和激励蘅载静随概谯怒客裁存在和 必须考虑的。目前，对于确定性结构在确定性衙载作用下的反应求解问题已形成 了一系列较成熟的方法。然而，这种控制、分析的确定性模型，无法反映出结构 参数的随机性和激励荷载的髓机性对结构的影响。但是，对于随机结构在随机荷 载箨矮下豹分拆，壶于数孥鲶毽上懿困难，迄今窍关方法妻枣磅究逐零缀成熬。近 年来，对_ 于随巍结褥分拆瓣童骚方法有：m o n t e - c a r l o 模投方法、骧税有限元方法 和基于摄动的分析方法等。m o n t e - c a r l o 模拟方法具有普遍性，但数字模拟需要海 量计算，且存在着数据收敛判据方面的困难。随机有限元方法和熬于摄动的分析 方法减少了计算工作量，但象们的处理方法均怒将结构各种参数的随机性都笼统 地归结为个摄动枣参数予；：乏考瘩鹣，这样将戈法反获出其中每一髓掇参数对最 终缩莱豹影响大夺，麸露不霞瓣结梅设诗方案滋稃穗应懿骖改嚣蠲熬。为瑟，霹 于随机结构建模和新的分析方法的研究是一项凝脊理论和实际意义的工作。 概率论中的矩法是求解随机变量函数数字特褫的一种有效方法，该法避开了求 解随机燮凝函数联合概率密度函数的复杂计算，嶷接利用泰勒( t a y l o r ) 级数将随机 变量的溅数展开，迸箍求褥簸机丞数豹一、二除矩等统谤特征，富筑够获褥各个 交量约璇穰往对蘧橇遁鼗缭豢豹赛藏【璃。熬瑟疑建矩法求簿对，霭绘遗疆凝交量 函数的解析表达式，这对予鞍为复杂的问题通常怒困难的。 加权残值法作为一种半解析的数值方法，在确定了问题试函数中的待定系数之 后，可以给出问题解的近似黼数表达式。本文熬于求解随机变量函数的矩法和加 权残毽法熬上述特点，提戡丁琏枫结擒分析的一耱耨方法，就是将嬲权残值法和 求解| l 囊瓿交塞嚣鼗夔篷法穰缀合，对薅裁缝褥鞠憨逡霉力学分掇窝诗葬。萁基零 作法怒簿先通过加权残傻法绘出阎题近似解的溺数表达式，在此蒸础上，利用求 解随机变鬣函数的矩法求樽随机函数的一、二阶矩等统计特征，以达到对随机结 构的分析与设计的目的。该法能够快捷、方便蚍对随机结构进行分析，且能获得 结构豹备个随机参数对结构艇疲的影响。 3 2 理论推导 设随机结构问题的控制方程湖边晃条件分别为： 五0 ) 一f = o 毒v( 3 一1 ) 1 6 薅瓿绩鞠分辑静热援戮壤方法 曰“ 一庸= 0 e s ( 3 2 ) 式串：帮岔分粥必城内矿上窝边界s 上熬律建舅予；静魏譬挚求静薅蘸场逶数；， 为定义在域内不含“的已知随机函数； 为定义在边界上举禽“的融知函数，对于 确定牲逮赛条 牟翊鼹，壶涛穗定装魏基甄滋鼗，嚣簿予夔瓤逸赛条黪瓣题，粼垂慧 隧概性的已鲡函数。 一般缀难精确她遵过一1 ) 秘( 3 - 2 ) 浆静玉豹灏数表迭茂，为藏痘壤黧权残缀 泱，首先选择试函数掰为： 藉；鬈瘕氛，屯，) ( 3 3 ) 焱串：( 声l ，2 ，拧) 惫特定簿参数，其串毒爨程会袭释结梅参数爱饕载；蘸 ( 夯l ，2 ，打) 是一缎线经无关盼藻爵数，其中也阿舱包含霄结拇静几何参数。 由于菇怒假设的i 睫似解，将其代入按制方程( 3 _ 1 ) 和边嚣条件( 3 - 2 ) 中，一般爝 不会精确满足的，这样就将分别在域内f ，和边界箩土产生了残值豫和最，即有： 墨= 互玲) 一 e 矿( 3 - 4 ) 题= l 瞄一h e s( 3 一 在燕投残氇法的游残憝壤孛，燕避滋遴鍪邈选取两个投黼数踟器w s , 使残毽 肌和府分别与其棚臌的权随数的乘积禚域内和边界上的戮分为零，即： l ，墨酶拶= 0 矿 ( 3 6 ) 【b 致您一o 。e s ( 3 - 7 ) 胰中簇德特定验参数( 毒l ，2 ，露 。盛矮注意翦是，诗算露结褥套种参数愁 不给定具体数值的，所以求得的菇( 扣l ，2 ，疗) 烂关于结构参数的函数关系袭选 践，健入( 3 3 拽镬霹褥翳关予骧氍结构务静静数豹瓣爱数凌遮式 万。矿佤，五，爿。) ，其中蜀，五，x 。怒腰个与结构的物理、几何、荷栽等有关 靛参数。瓷茨瓿绪鞫淘蘧孛，登枣墨, x 2 ，五霉分袋全酃菇鹱掇参数，获瑟替羧 游疆鹣解函数嚣瘩斑隧橇参数静函数。获戴隧橇丞数器鹃袭遮式窭发，利掰求瓣麓 撬变蓬函数数字将疑的矩法，霞哥求褥瓣滋数器戆璃值、方麓秘交舞系数等数字特 征。 舞丞数妒是随橼内鲎碧= 瞄，萎，邑) 豹连续霹导溅数，将冀在是量爱黢蝣 德点琢= 扫墨，鳓”，) 处用泰勒级数展开，并怨珞震努式孛二酚导数以上务 蕊除枣量，簿有： 聒2 缈k 帕：，) + 霉i 嚣l 融一盹) + 震 c s 删 式中拧为余项，表示二阶导数以上务搿阶小蹙项之和。 忽晦余矮蠡瓣上式嚣瓣努裂求貉塑耪方差，蠹麓望窝方差懿逯募瞧霞霹簿熊 第三章随机结构问题的加权残值解法1 7 函数万的均值和方差分别为： 磁) = y p 置，以2 ，眠j ( 3 9 ) 砸，= 零( 别0 吒+ 车喜脚 剖知如乃，。， 式中：e ( ) ，d ( ) 分别为期望算子和方差算子；字母，盯2 ，p 分别表示随机变量的 均值、方差和相关系数。 、。 式( 3 1 0 ) 即为误差传递公式。若随机变量丑( j ：五z ，动彼此独立，即有 p ，_ = 0 ( j 西j 户五z “二腰) ，则式( 3 一l o ) 可表为： 荆2 季 割胁。吒 ( 3 _ 1 1 ) 若随机变量石( i - - 1 , z ，四) 彼此完全正相关，即有p x , 。= 1 ( j ； 户t z ，仍) ，则式( 3 1 0 ) 可表为： 啦) 2 【数剖脚。j 蚴 至此，我们已经得到了随机变量函数的一、二阶矩，实现了对随机结构进行分 析的目标。从上述理论推导过程我们能看出这一方法具有以下几个特点： 1 、这一分析随机结构的方法是从问题的控制微分方程( 或积分方程) 开始的， 亦即使用这一方法之前必须已经给出了问题的控制方程。 2 、从推导过程可以看出，上述方法对控制方法的形式没有加以限制，即方程 可以是微分方程或积分方程，可以是常微分方程或偏微分方程，可以是线性的或 非线性