（金融学专业论文）函数参数随机波动模型.pdf

摘要 摘要 近三十年来，随着金融产品的多样化，尤其是金融衍生产品的不断涌现， 估计分析和预测波动率无论是在业界或是学界均受到广泛的重视。在业界，波 动率被作为一个重要考虑因素用于金融产品定价、金融风险规避、投资决策等 领域；在学界，分析波动率现象、构建波动率模型、预测波动率等均是数理金 融和金融计量所关心的热点问题。对于波动率的分析大致可以分成数理金融 分析和时间序列计量分析两个部分，在本文中我们将重点从后者上来分析波动 率，更具体地说，我们将通过t a y l o r ( 1 9 9 8 ) 【1 】提出的随机波动率一类模型进行 分析。基于传统的随机波动模型，我们提出函数参数随机波动模型( f u n c f i o n a l c o e f f i c i e n ts t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l ) 。函数参数随机波动模型作为非参数一族 的模型不仅涵盖了文献中大部分的参数随机波动模型，以及解释了如波动率“尖 峰厚尾”、“波动聚类”、“长记忆性”的现象，还解决了传统随机波动模型所不能解 释的波动率“结构变化”现象。此外，采用函数参数的表达形式，研究者还可以研 究导致“结构变化”的原因。在模型估计方面，通过模拟试验，我们发现采用马尔 可夫链蒙特卡洛模拟( m c m c ) 和b a y e s i a n 统计分析的方法可以获得一致的估计 结果。在统计推断方面，我们采用p o s t e r i o ro d d sr a k o 进行模型比较。最后在实 证运用中，我们观测到f c s v 模型可以准确的捕捉到人民币汇率2 0 0 5 年7 月改革 对于波动率所产生的影响。 关键词：随机波动；非参数 a b s t r a c t a b s t r a c t t oe s t i m a t ea s s e t s v o l a t i l i t yu t i l i z i n gt i m es e r i e sm o d e l sh a si m p o r t a n tp r a c t i c a l a n da c a d e m i c a lm e a n i n g s u s u a l l y , t h e r ea r et w oa p p r o a c h e so fa n a l y z i n gv o l a t i l i t y , a n do n eo ft h e mi su t i l i z i n gt h et i m es e r i e se c o n o m e t r i c sm o d e lw h i c hw et a k ei nt h i s p a p e r w ep r o p o s e dag e n e r a l i z e ds t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l ，t h ef u n c t i o n a lc o e f f i c i e n ts t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ( f c s vf o rs h o r t ) m o d e lt of o r m u l a t eb e h a v i o ro fv o l a t i l i t y t h ef c s vd o e sb e l o n gt ot h ef a m i l yo fs t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l ，a na l t e r n a t i v et o a r c h g a r c ht y p em o d e l ，h o w e v e r , a sb e i n gs e tu pu n d e rn o n p a r a m e t r i cr e p r e s e n - t a t i o nt h ef c s vg e n e r a l i z e du s u a ls t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l m o r e o v e r , f c s vd o e s n o to n l yi n c l u d es t o c h a s t i cv o l a t i l i 哆m o d e li nt h eh t e r a t u r e ，b u ta l s oe n a b l er e s e a r c h e r s t od e a lw i t ht h es t r u c t u r a lc h a n g e sp h e n o m e n o no fv o l a t i l i t y , w h i c hw a sn o tc a p t u r e d b yp a s ts t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l s b ya p p l y i n gm c m c a n db a y e s i a na n a l y s i s ，w e a r ea b l et oc o n s i s t e n t l ye s t i m a t et h ef c s v a n dt h es t a t i s t i c a li n f e r e n c ei sm a d eb a s e d o i lp o s t e r i o ro d d sr a t i o a d d i t i o n a l l y , i nt h ee m p i r i c a lt e s t i n g ，t h ef c s v s u c c e s s f u l l y c a p t u r e st h es t r u c t u r er e f o r mo fc h i n e s er m be x c h a n g er a t ea tj u l y , 2 0 0 5 k e yw o r d s ：s t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l ；f u n c t i o n a lc o e f f i c i e n tm o d e l 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以 明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。 声明人( 签名) ： 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电 子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入 学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密 后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密 () ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) 三需差茎i 一三篓： 新獬：缳狱j 醐： 年月日 年月 日 第一章引言 第一章引言 国内外大量的金融研究中，波动率( v o l a t i l i t y ) 在投资决策、产品定价、风 险管理、政策制定等领域都被视为一个至关重要的影响因素，因此针对波动率 的研究有着极其特殊且重要的意义。在投资决策时，波动率常被理解为“不确定 性”而做为一个主要因素来考虑。因为任何一个投资者或是基金管理者都只能承 受一定程度的风险，所以正确分析预测投资产品和投资组合的风险对于任何理 性的投资决策都不失为上策。在产品定价中，例如，股票期权的定价，股票的波 动率更是定价中所不可或缺的。此外，近些年来国外更出现了基于波动率来进 行交易的金融衍生品，对于这类产品，能否准确预测波动率更是能否准确定价的 关键。在风险管理中，巴塞尔协议所规定的v a r ( v a l u e a t r i s k ) 则是银行等金 融机构风险管理的硬性指标。在正态分布的假设中，对于均值、波动率即方差的 预测就等同于对v a r 的预测；在正态分布假设不成立的条件下，波动率的仍然是 模拟资产收益路径所需的重要因素。在政策制定中，由于波动率常常反应市场 的信心，即波动剧烈的时候市场往往较为脆弱，因此政策制定者便以波动率作 为衡量市场和政策稳健程度的重要指标。如g r a n g e r 和p o o n ( 2 0 0 3 ) 2 】中所提到的， 英格兰银行在它的货币政策会议中使用波动率来衡量市场的信心指数。 显而易见，准确分析和预测波动率对于金融领域的研究有着重要 的意义。对于波动率的研究主要有两个方向：一是通过时间序列来 构建计量模型进行预测，现行的计量模型主要有e n g l e ( 1 9 8 2 ) 3 】的a r c h 模 型、b o l l e r s l e v ( 19 8 - - - 。，, 4 的g a r c h 模型和t a y l o r ( i9 8 6 ) 1l 的随机波动( s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y ，简称s v ) 模型；另一则是通过基于b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 5 】期权定 价模型所计算的i m p l i e dv o l a t i l i t y 来分析预测。两个方向的分析各有优劣；基于期 所谓的i r ，即在给定时间段内在l 的置信度下可能产生的损失 第一章引言 权定价模型的计算分析由于具有前瞻性，因此在预测上更为准确，但是缺少计量 模型的结构性，因此不利于解释实证中所观察到的诸多波动率的现象；而计量 模型虽可以解释实证观察到的现象，但是在预测上仍有待提高。此外，由于近年 来电脑技术的飞速发展使得金融数据的时间间隔不单单可以以天为单位，更可 以以秒为单位。精确到每笔交易的数据衍生了另一个对波动率分析的方法，称 为实现波动率( r e a l i z e dv o l a t i l i t y ) 方法【如：a n d e r s e n 等( 2 0 0 3 ) 6 】。 本文将采用时间序列计量模型中的随机波动模型( s v ) 方法来研究波动率。 我们的主要贡献在于提出一个一般化的随机波动模型，即函数参数的随机波动 模型( f u n c t i o n a lc o e f f i c i e n ts t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l ，简称f c s v ) ，并给出估计 方法以及统计检验的方法。f c s v 模型属于非参数类s v 模型，该模型有两个明显 优势： ( 1 ) f c s v 模型以非参数的形式一般化y s v 类模型，文献中大部分的s v 模型 均可以作为f c s v 模型的特例给出。 ( 2 ) f c s v 模型不但有利于拟合波动率“结构变化”的现象，还可以作为研究 该变化成因的重要工具。 此外，在统计推断方面我们采用b a y e s i a n 统计中p o s t e r i o ro d d sr a t i o 的方法。根 据该方法，我们可以用概率来量化模型，从而达到模型比较的目的。 本文将分为五个部分：第一部分为导论，介绍波动率研究的重要意义以及 主要的研究方法；第二部分为文献回顾，主要回顾波动率的实证观察结果和文 献中现存的模型和方法；第三部分则具体介绍我们所提出的函数参数随机波动 模型( f c s v 模型) ；第四部分则是实证运用，我们将采用f c s v 模型来检验分析 一些实证问题；第五部分是结论，我们将总结全文并提出下一步的研究方向。 2 第二章文献回顾 2 1 波动率的现象 第二章文献回顾 模型设计往往为了拟合实证所发现的现象。虽不可能用一个模型来解释所 有的实证现象，但是能否解释实证现象是检验一个模型优良以否的重要标准。在 这一节中，我们将首先概括一下实证中所发现的波动率的特殊现象。 ( 1 ) 尖峰厚尾。尖峰厚尾是金融收益率中一个广为人知的现象，早 在m a n d e l b o r t ( 1 9 6 3 ) 7 1 、f a m a ( 1 9 6 5 ) 8 就已经观察到金融收益率这一不符合正 态分布的性质。因此，许多文献针对这一现象提出了采用其他分布，例如，t 分 布、帕累托分布、l 6 v y 分布来构建模型的方法。 ( 2 ) 波动聚类。波动聚类现象( v o l a t i l i t yc l u s t e r i n g ) 是另一个著名的现象。任 选一个金融数据的时间序列，研究者发现剧烈的波动总是伴随剧烈波动出现，轻 微的波动也总是伴随轻微的波动出现，这就是所谓的波动聚类现象。其实，针对 波动率的计量模型，如a r c h g a r c h 类模型和s v 类模型，其出发点就是希望通 过假设波动率自相关的过程来拟合波动聚类现象。此外，波动聚类想象和尖峰 厚尾想象是紧密关联的。尖峰厚尾现象可以看作一个静态的波动聚类，具体说， 在a r c h 模型中通过假设条件波动率的自相关性，我们可以推出收益率的无条 件的峰度( k u r t o s i s ) 大于3 的结论。该结论对应的便是前面所提及的尖峰厚尾现 象。 ( 3 ) 杠杆效应。杠杆效应( 1 e v e r a g ee f f e c t ) 的名称来源于b l a c k ( 1 9 7 6 ) 【9 】所提 出的股票价格同其收益率负相关的实证结果。因为股票价格的下降往往暗示着 3 第二章文献回顾 企业资产组合中杠杆的增加，而杠杆的增加则被认为会产生更多的不确定性，所 以波动率将随即升高。 ( 4 ) 波动率的长记忆性。般说来，波动率是具有长记忆性质的( 1 0 n g m e m o 巧) 。在许多使用a r c h 、g a r c h 对股票市场、汇率市场等市场波 动率的研究文献中，研究者发现g a r c h 效应极为持久。在s v 类模型 中，j a c q u i e r 、p o l s o n 和r o s s i ( 1 9 9 4 ) 【l o l 也发现s v 类模型的估计也反映了波动率 长记忆性的特征。 ( 5 ) 波动率的结构变化。任何一个经济体，任何一个金融市场都不是一成不 变的。各种各样的冲击影响着市场，改变着经济的结构。因此，波动率的结构也 不可能是稳定的。h a m i l t o n 和s u s m e l ( 1 9 9 4 ) 1 1 1 、r a p a c h 和s t r a u s s ( 2 0 0 8 ) 1 2 】都提出 考虑波动率结构变化的模型可以更为准确地预测和分析波动率。 针对这些实证中所发现的现象，计量经济学家构建了不同的计量模型来 解释它们。这些模型大致可以分为两大类：一类是a r c h g a r c h 类模型；一类 是s v 类模型。 2 2 a r c h - g a r c h 类模型 e n g l e 3 】提出了a r c h ( a u t or e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t y ) 模型： ， i 墨= 佩 e t 一( o ，1 ) 气 【h t = 国+ e j f b # - 歹 当- = 1 的时候，我们称为a r c h ( 1 ) 模型。a r c h 模型将波动率视为不可观测的状 态变量，并假设其服从一个自相关( r 1 3 a u t or e g r e s s i v e ，简称a r ) 的过程，由此 来拟合实证中所观察到的现象。 4 第二章文献回顾 以a r c h ( 1 ) 模型为例，我们可知， ( 砰) = e ( h 2 e 4 ) e ( 砰) = 形= e ( 譬) 2 ( 1n t - 卢1 ) ( i i 1 1 ) ( 1 一e ( ) 3 7 ) e ( h 2 ) e ( 砰) e ( 砰) 3 上篮 。1 3 卢 3 ，当卢l 砺1 当卢1 的a r ( 1 ) 过 程， 群= e ( x 7 i 们+ 孵- e 孵l i t ) 砰= + v t 砰= 国+ j b x 之l + v t 其中v f 服从一个鞅差过程。a r 过程则可以用于解释波动聚类的现象。 虽然，a r c h 模型的横空出世使得学者们在研究波动率时多了一重要工具， 然而在实证研究中，研究人员发现相当一部分数据并不满足四阶矩存在的条件， 更为棘手的是在估计中，研究人员发现需要滞后多期才能获得较好的模型估计。 因此，b o u e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 【4 1 提出了g a r c h ( g e n e r a l i z e da u t or e g r e s s i v ec o n d i t i o n a l h e t e r o s k e d a s t i c i t y ) 模型以解决以上问题。以g a r c h ( 1 ，1 ) 为例， f ix t = 坼溺e t 一( o ，1 ) ih t = t o + 仅翠l + j 3 h t l 5 第二章文献回顾 类似地，我们可以推得，它的峰度为， = 啬瓣3 由此可见，g a r c h 模型也可以拟合尖峰厚尾的现象。同样类似地，我们可以 用a r m a ( i ，1 ) 过程来表示g a r c h ( i ，1 ) ， 砰= e ( 砰j + 孵一e ( 砰i 厶) 砰= h t + v f 砰= 国+ ( 口+ 卢) 贮l + 卢( 胁一l 一晕1 ) + v f 砰= t o + ( a + 卢) 叉：l + v t 一卢v r l 因此g a r c h 模型也可以用于解释波动聚类现象。 瞄x t = v r k e 纛t 嚣，i i d 墨= 诉稿e t 一( o ，1 ) 吃= c o ( s , ) + a ( s , ) x l l + f l ( s t ) h t 一1 p r ( s , ：i l s t 一1 = 歹) = p i j 其中f ，_ = 0 ，1 6 第二章文献回顾 2 3s v 类模型 薹巍 ， xt：=ex+p(卢o协5ht，)+易,：二二三：z c 2 2 ， 7 第二章文献回顾 他提出了s a r v ( s t o c h a s t i ca u t or e g r e s s i v ev a r i a n c e ) 模型，将波动率视为状态变 量以的函数g ( 珥) ，且珥服从一个马尔可夫过程( m a r k o vp r o c e s s ) ， 珥= 缈+ 卢珥一1 + ( 口+ r v , 一1 ) z f 显然地，令珥= h t 、a = l 、y = 0 、舀= 翠1 ，s a r v 便是g a r c h ( 1 ，1 ) 过程；令以= h t 、a = 1 、y = 0 、z t = v t ，s a r v 便是s v 过程。因此，a r c h g a r c h 类模型和s v 类 模型实际上是有机地统一在状态变量这一概念下。 两模型的最大不同之处在于，s v 类模型认为状态变量也应服从一随机过程， 而a r c h g a r c h 类模型则不需要。相比之下，s v 类模型拥有更少的假设，然而 这一优势的代价便是在参数估计上，s v 类模型较a r c h g a r c h 类模型更为复 杂。因为在估计s v 类模型的似然函数时，研究者将遭遇： ， 2 = lf ( x ，h l c o ，v ) d h t ，帔十 的高维积分，且该积分并不存在显示解，所以对于s v 类模型的参数估计一 直阻碍着研究者在s v 模型领域的探索。复杂的参数估计也是s v 类模型在之 前被较少关注的一大重要原因。但是，自9 0 年代开始得利与计算机计算速度 的大幅提高，学者们开始采用马尔可夫链蒙特卡洛模拟的方法( m a r k o v i a n c h a i nm o n t ec a r l o ，简称m c m c 。m c m c 是一种计算机模拟技术，它通过建立 一个平稳分布为厂( e j x ) 的马尔可夫链来得到厂( 9 l x ) 的样本，从而进行估计与 统计推断。) 并结合b a y e s i a n 统计方法在研究估计s v 类模型上取得极大的突 破。j a c q u i e r 、p o i s o n 和r o s s i ( 1 9 9 4 ) 1 0 】、k i m 、s h e p h a r d 和c h i b ( 1 9 9 8 ) 1 7 】等人的研 究成果为s v 类模型的研究做出了重大贡献。 8 第三章f c s v 模型 第三章f c s v 模型 我们提出函数参数随机波动模型( f u n c t i o n a lc o e f f i c i e n ts t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ， 3v 以 上 因为对于任意的珥， x f ) 的峰度总是大于3 ，所以f c s v 模型可以捕捉到波动率中 的“尖峰厚尾”现象。波动率中的“波动聚类”和“长记忆性”则由f ( 以) 的实现值来 加入“杠杆效应”的非参数随机波动模型。 有兴趣的读者可以参考y u ( 2 0 0 8 ) t 1 8 】的研究结果 9 第三章f c s v 模型 f c s v 模型除了能够解释传统s v 类模型所解释的波动率现象外，还可以解 释传统s v 类模型所不能解释的“结构变化”的现象。“结构变化”的最直观结果就 是体现在波动率所服从的结构发生变化，- 而f ( u t ) 变可以用于解释这一变化。我 们可以令以为促发变化的因子，则 罗( u t ) = f i ，( u t ) = f 2 当u t = u 1 当u t = u 2 f ( u r ) = f r 当u = u r _ 历 _ 则代表不同环境下( 即不同珥下) ，波动率所服从的过程。 由上可见，f c s v 模型不仅能够涵盖文献中所提及的随机波动模型，还有利 于使用者研究波动模型中的系数变化过程以解释波动率结构变化的成因。 3 1 模型估计方法 ( 1 ) 估计 ，定义估计值为 岛 。 ( 2 ) 用 免) 来估计，( 珥) ，定义估计值为户( 珥) 。 恳三嚣v 峥，。j c ( 毗o , v ， 2 ， 由于结构方程中的l n z 分布并非常见的分布，我们采p f l 7 个不 同均值( p ) 和方差( f ) 的正态分布并赋予相应的权重( t o ) 来拟 l o 第三章f c s v 模型 合 在k i m 、s h e p h a r d 乘l c h i b ( 1 9 9 8 ) 1 7 】中，他们也采用同样的方法来拟合l n z 分 布，并且他们提到通过这样的拟合可以极大地提高估计的效率】。表( 3 1 ) 为对 应的均值和方差。 表3 1 拟合l i l z 所用的7 个正态分布 图( 3 1 ) 为拟合的结果，其中实线为l i l z 分布的密度函数虚线为拟合的密度 函数。通过拟合变换，我们可以将方程( 3 2 ) 写为， 弘以f ) 加刚硝 o ，“f ) 2 】 ( 3 3 ) ih f = f ( u t ) h t l + v f一( o ，v ) 其中f = l n 砰，i = 1 ，7 。显然地，方程( 3 3 ) 属于状态空间方程的范畴，因此 我们可以采用相应状态空间方程的估计方法进行估计。 3 1 2f f b s 的抽样方法 当f ( u t ) i 2 , 知时，我们将从， f ( h r i n r ， ，) 第三章f c s v 模型 图3 】拟台l n 者的结果 分布中抽样取得h r 。其中hr 表示除t h r 以外的状态变量序列，即( h r ) ，o 代 表所有参数所在的向量空间。由此可见，如需最高效地获取札的抽样值，我 们需要h 的信息。f r u h w i n h - s c h n a t t e r ( 1 9 9 4 ) 1 9 1 1 b g 出的f h 3 s ( f o r w a r df i l t e r i n g b a c k w a r ds a m p l i n g ) 算法，采j 羽b l o c ksa r i l p i i n g 的概念有效地解决这一问题。 具体地说， ) “f o r w a r d f i h e r i n g ”是指状态空间的更新过程。通过方程( 33 ) 可得 耳 一1 hl + p ( ! ) ，f ( ) 2 h rh i 旷( “) “v 】 第三章f c s v 模型 其中i 五一l 是指基于五一1 的条件分布。根据多维正态分布定理可得， 胁i 耳，五一1 一, a ( h t ，毋i f ) 吩p = h , i ，一1 十bj ，- 1 暇j ，一1 + f ( f ) 2 _ 1 弦一p ( f ) - h , i ，一1 唧= p tj ，一1 - p , i f 一1 暇+ f ( f ) 2 】一p , i r 一1 由此，我们可以通过更新过程来获取状态变量的序歹l j h t 。然而，这并不足够， 因为状态变量服从的是一个随机过程，通过固定的更新过程不足以有效地估 计 7 z f ) ，所以我们要通过抽样来有效地估计状态变- 星- h r ) 。 ( 2 ) “b a c k w a r ds a m p l i n g ”则是指从相应分布中抽取估计值的方法。更直观地 说，就是从分布厂( 啊一1i h t ，晕1 ) 中估计 一1 ) 。根据贝叶斯定理，可得， f ( h t 一1 i h t ，j 车1 ) f ( h f i h f 一1 ，j 0 2 1 ) f ( h t 一1 l 曷一1 术) 因为， h t i h , 一1 ，翠l j y ( h f 卜1 ，唧一i ) h t 一1f j 尝l 一( 岛一l i t 一1 ，毋一i i f 一1 ) 根据多维正态分布定理，可得， h t if h t , x t * _ l 一( 聊，m ) 其中， ，咒2 m= 置此，我们已可以通过抽样来估计 h t - f 。 ( 3 4 ) 在m c m c 的过程中，我们将采用晶一1 ( 珥) ，即( n 一1 ) 次循环中的估计值，作 为f ( u t ) i 的j 估计值带k f f b s 来估计 ) 。 1 3 卜 一 堆旷阻 卜 l 毋 b + 一 卜 卜 只 第三章f c s v 模型 3 1 3 函数参数估计方法 再获取状态变量 鬼) 的估计值后，方程( 3 1 ) 的估计变转换为估计 h f = f ( 珥) 一1 + v fv t 一( o ，v ) 函数参数模型( f u n t i o n a lc o e f f i c i e n t ) 。 c h e n 和t s a y ( 19 9 3 ) 2 0 】提出了函数自回归模型( f u n c t i o n a lc o e f f i c i e n ta u t o r e g r e s s i v e ) ， 墨= 啦( 奶) 一i 3 t - f 4 f 他们采用循环近似的方法估计该模型。c a i 、f a n 和y a o ( 2 0 0 0 ) 2 1 】则采用局域回 归( 1 0 c a ll i n e a rr e g r e s s i o n ) 的方法估计该模型，并采用b o o t s t r a p 的方法进行统计 检验。两种方法在理念上大同小异，均是采用将数据在格点( g r i dp o i n t ) 珥处重 新处理的方法来估计f ( u t ) 。实际上，在c z h 、f a n 和y a o ( 2 0 0 0 ) 2 1 】的文章中，他们 得出，对于 y = ，( 珥) x + 首先通过对f ( u t ) 在“o 处进行t a y l o r , l 翻：t ：，得到， ，( 珥) = f ( u o ) + ，( “o ) 7 ( 珥u 0 ) 之后通过最小化函数， t k i f ( “。) 一，( “。) ，( 珥一n 。) 墨) 2k 易w ( 珥一“。) f = l 得到估计值： 俐钢计帅班矿训y 5 ， 1 4 第三章f c s v 模型 其中， x ( u o ) w ( u o ) 曷( 仉一u o ) x l x 2 ( 醍一z o ) x 2 赫( 昕一u o ) x r k 咖( 矾一u o ) o 0 o o0 ( 沈一u r ) 0 0k 咖( 蜥一蜘) 其中( ) 为核密度函数，b w 代表所选取的带宽。 f ( u o ) 则被称为“o 的局部估计值( 1 0 c a le s t i m a t o r ) 。通过将“o 用其他的格点“代 钢帅斑叫坝缈 显而易见，估计方法同g l s ( g e n e r l i z e dl i n e a rs q u a r e ) 方法相似。因此，我 们结合g l s 的理念同b a y e s i a i l 估计的方法来估计状态变量的函数参数自回归模 ( 1 ) 由于采用了b a y e s i a i l 的概念，我们保证了m c m c 过程的一致性，从而保 证了估计结果的有效性和一致性。 ( 2 ) 基于b a y e s i a i l 的估计，我们可以在统计检验中采f f j p o s t e r i o ro d d sr a t i o 的 方法进行模型比较。 1 5 第三章f c s v 模型 由等式( 3 5 ) 可知，j f - ( 职) 的一致估计量可以在每个格点“上，通过对y 、x 赋 予权重谚( “) 然后回归获得。因此，我们定义： w ( u 1 = k 咖( u 1 一u ) 0 0 0 k b w ( u 2 一u ) 0 w ( u ) = 谚( “) 形ru ) 趸( “) = 谚r ( 比逑 y ( u ) = 谚丁( “) y 在本文中，我们选取e p a n e c h n i k o v 核密度函数。 0 ( 坼一u ) 假设3 3 ：对于任意u ，f ( “) 的先验分布( p r i o rd i s t r i b u t i o n ) 为， f ( 蹦) 一( v o ，v h ；1 ) ，v u 假设3 4 ：1 ，= 的先验分布为， 1 ，一j 够( ；c 2 ，九) 根据b a y e s 理论，可得， 厂【f ( “) ，v l h ，】厂旷( m ) 厂( v ) 2 h ；f ( “) ，v ，明 经过计算可得，( 比) 的后验分布( p o s t e r i o rd i s t r i b u t i o n ) 为， f ( “) 一( 户，w 车1 ) ，v u ( 3 6 ) 其中， 岛= 所+ 戈( “) 丁又( “) ，v u 1 6 第三章f c s v 模型 1 ，的后验分布为， 其中， 户( “) = 砟1 陋局+ 趸( “) 7 聃，觇 v 一够( 圣2 ，天) 旯= 九+ 呈! 竺! 二! ! 竺! 茎! 竺2 3 ：2 匡! ! ! 二! ! 竺! 茎! 竺2 3 1 4f c s v 的g i b b ss a m p l i n g 估计方法 ( 3 7 ) 根据两小节的内容，我们可以采用m c m c ，通过g i b b ss a m p l i n g 来估 计f c s v 模型。具体地说， 算法： ( 1 ) 令0 = f ( ) ， ， 。 ( 2 ) 设定h 和0 的初始值 ( 3 ) 基于已知值h 一，和0 ，从方程( 3 4 ) 中随机抽样以取得h ， ( 4 ) 基于己知值h ，从方程( 3 6 ) 、方程( 3 7 ) 中随机抽样以取得0 ( 5 ) 返回第三步。 口通过对算法( 1 ) 进行m 次循环，我们可估计得，f ( u t ) 和1 ，的分布。在本文的模 拟试验以及实证检验中，我们均设定m = 1 1 0 0 次的循环，为了减少初始值对估 计的影响前1 0 0 次的估计值将不记录。此外，我们将采用f l a tp r i o r ( 即方差极大的 1 7 第三章f c s v 模型 分布函数) 作为假设( 3 3 ) 假设( 3 4 ) 的实现值。具体说，我们将令， v o = h f 2 k= 九= o 1 0 8 2xl o s 1 0 8 采用f i a tp r i o r 的、涵义也是为了减少先验分布对后验分布的影响，使得估计得的后 验分布主要基于数据中的信息。 3 2 模型比较及统计检验 我们采用贝叶斯分析中的p o s t e r i o ro d d sr a t i o 来进行统计推断。具体说， 1 4 0 ：f ( u t ) = f xt：=fexp一(o。+5ht)岛三二二：暑 xt：=fex。p以(0，5一ht。)+el三二二暑：z 1 8 第三章f c s v 模型 3 2 1p o s t e r i o ro d d sr a t i o p o s t e r i o ro d d sr a t i o ( 简称p o r ) 是贝叶斯统计中一个用于模型比较的重 要方法。不同于传统统计方法，贝叶斯统计估计的是参数的整体分布，即后验 分布。因此，在得到后验分布后，我们可以得出每个模型为真实数据生成过 程( d a t ag e n e r a t i n gp r o c e s s ，简称d g p ) 的概率 p r ( 1 9 ) = p r o b ：= d g p l 9 其中勿为所观测到的数据。通过比较这些概率，我们可以进行模型比较。该方法 虽然在表现形式同似然值检验( l i k e l i h o o dr a t i ot e s t ，简称l rt e s t ) 有几分相似， 但是其背后的涵义却大相径庭。在l r 检验中，模型估计所得的似然值均为随机 变量，研究者对两模型的比较推断是基于大样本性质下的分布给出；在p o r 检验 中，研究者可以准确地赋每个模型予概率p r ( l e ) ，从而进行比较。 具体说， 嗽= 黼 p r ( 编) 厂僻l 编，o o ) d o o p r ( 确) 如，厂伍i 溺，0 1 ) d 0 1 其中鲡p r ( d e o ) 似们、州j ，。，o d d s r a t i o ，鲁凳揣被称为b a y e j f a c t o r 。p r i o r o d d s r a t i o 代表研究者在未观测到数据前的推断。我们将其赋值为1 ，因为在为观测到 数据前，我们想象编和镅均有可能且是等可能性的为真实的d g p 。 我们采用c h i b ( 19 9 5 ) t 2 2 】的方法来估计b a y e sf a c t o r ： i n f ( x i j l o ) 一i n f ( x i 镅) = i n f ( x i t o ，瞄) + l n f ( i j t o ) 一i n f ( 锩i 编，x ) 一陋，( x i 铂，日) + h l ，( 8 f 兹) 一l n f ( o 1 兹l ，x ) 】 瞄和9 ；为任意值。 ( 1 ) 我们选取0 的均值为0 + 。 1 9 第三章f c s v 模型 ( 2 ) 我们采用蒙特卡罗积分的方法来估计似然函数厂伍i ，8 + ) ： ( x l ，0 + ) = f ( x , h ，9 + ，h ) f ( h l j g ，日+ ) a h = e i o f ( x l - g t ，e + ， ) ，m f ( x _ 1 矿g , 一o * , h m ) 三功i 。旷伍l ，9 + ，厅) 】 嬲 一“j 口ur l r ”，j 其中 m f ( h l j g ，9 + ) 。 ( 3 ) 我们采用非参数的方法来估计f ( o + l ) 和，( o + i ，x ) 。 3 3 模拟试验 3 3 1 模拟试验一 我们从 t l 墨= e x p ( 0 5 h t ) e t岛一( o ，1 ) 【协= 0 9 1 ( 1 n 难。) + o 1 1 ( 1 n 礁。 。) 一1 + u 一( o ，y ) 生成数据。由此可见，f 在l i l 翠1 o 的时候会出现跳跃。图( 3 2 ) 为f 的估计结 果同真实f 的比较。图( 3 3 ) 为m c m c 的估计结果。因为对于每个阢，f ( u ) 的 序列均趋于平稳，所以我们认为m c m c 的估计结果是收敛的。 3 3 2 模拟试验二 x ，t = = e 。x p 9 ( 0 芝曼，+ 。1 ， 二矗f _ mt h o 口 图4 6 隔夜教应的f c s v 模型m c m c l 占计结果 没有出现明显的结构变化。p o r 的结果 p o r = 0 9 5 2 n ( 粕l x ) = 4 8 7 8 州厕】x ) = 5 1 2 2 该结果也说明结构变化的s v 模型确并没有明显优于一般的s v 模型确。 表( 41 ) 为确的估计结果，圈( 47 ) 则是编经过m c m c j 旨的估计结果。 我们发现。大部分的确所估计的f ( 耳i ) 的都在厕所估计f 的5 的h p d i ( u ) ( 卜 0 0 0 9 1 0 1 4 9 4 ) 内。 ot l t g b 醴p m r ；o r l k s i t y i n t e r v a l ，筒蒜i 吼其对应着传统统计学中t 信区同的概台但是，两者的 音义并革完全相同 m m o”邶晰 r 一 | | 。 第四章实证运用 表4 1s v 模型的估计结果 m e a ns t d 2 5 m e d i a n 9 7 5 f0 0 6 9 70 0 4 0 3- o 0 0 9 1 0 0 6 8 30 1 4 9 4 v0 7 8 9 1 0 ，0 4 7 8 0 6 9 2 8 0 7 9 0 60 8 7 8 5 m c m ct i m e s m c m ct i m w s 图4 7 隔夜效应的s v 模型m c m c 估计结果 综上可见，隔夜信息并不会导致日间波动率的结构变化，其对日间波动率的 影响主要体现在预测效应上 详见w u 和z h o n g ( 2 0 0 7 ) 【”1 第五章结论 第五章结论 对于波动率的研究由来已久，其对金融衍生产品定价的重要性更是不 言而喻，因此采用统计模型对波动率的成因进行分析有着重要涵义。不同 于a r c h g a r c h 类模型拥有大量研究成果，受困于复杂的参数估计s v 类模型 在文献中的记载则较为有限。但是随着计算机计算速度的飞速提高，s v 类模型 困扰研究者的问题以逐渐被克服，于是乎，近年来s v 类模型的研究正逐步成为 热点。 在本文中，我们提出了f c s v 模型【表达形式见方程( 3 1 ) 】，该模型基本上 包络了文献中所提出的s v 类模型。f c s v 模型不仅能够用于解释波动率“尖峰厚 尾”、“波动聚类”、“长记忆性”的现象，还能够解释波动率“结构变化”的现象。采 用函数参数的表达形式，研究者还可以研究导致“结构变化”的原因。我们提出了 采用m c m c 的方法来估计f c s v 模型，并且通过模拟试验我们发现该方法能够 较为准确地获得一致的估计值。在统计推断方面，我们使用b a y e s i a l l 统计方法中 的p o s 坨h o r o d d s r a t i o 来进行模型比较。在实证分析中，f c s v 模型准确地判断出 入民币汇率在2 0 0 5 年7 月所出现的结构性交化。 我们相信f c s v 模型将会极大地丰富已有的s v 类模型研究成果。当然对 于f c s v 模型的研究仍存在相当大的空间，我们认为下一步的研究方向大致有 两：一是考虑“杠杆效应”的f c s v 模型；一是考虑多元的f c s v 模型。虽然，s v 类 模型的发展较a r c h g a r c h 类模型缓慢，但是其更为宽松的假设和同数理金融 理论密切的结合将使其成为a r c h g a r c h 类模型以外研究波动率的重要工具。 3 5 参考文献 参考文献 1 】 sj a m e st a y l o r m o d e l i n gf i n a n c i a lt i m es e r i e s c h i c h e s t e r ：j o h nw i l e y 19 8 6 【2 c l i v ew j g r a n g e ra n ds e r - h u a n gp o o n f o r e c a s t i n gv o l a t i l i t yi nf i n a n c i a lm a r k e t s ：ar c v i e w 【j 】，j o u r n a lo f e c o n o m wl i t e r a t u r e ，2 0 0 3 ，4 1 ：4 7 8 - - 5 3 9 【3 】 r o b e