（科学技术史专业论文）高斯《算术研究》同余理论历史研究.pdf

离斯算数研究同余理论历史研究 摘要 高斯的算术研究是数论史上的一部经典著作，它的出版标志赣近代数论 研究的藏式开始。同余理论是初等数论的核心内容之一，蕴含着大量的数论所特 有的思愆、概念和方法。国内外系统研究高薪丽余理论的瓷料眈较匮菱，一些福 关论述大都出现在综合性鹣书籍中，倾是予按照现代数学瓣霹惯给出一般性的解 释，虽多秀简要链介缓，读者难竣了解其精麓所在。鉴于算零研究在数论发 震受土的重要性以及周余理论在初等数论中的核心地位，本文重点研究费马小定 理期被离斯誉为“黄金定律”的二次互反律的起源和发展。本文主要做了以下工 作： ( 1 ) 首先回顾了高斯之前的数论研究状况，在系统分析高斯的科学与数学 成就的基础上，探讨了算术研究出现的数学背景秘高斯薛闲余理论； ( 2 ) 通过对原始文献的系统解读，深入分析了费马小定理发现发展豹历程 以及在索性检验中的重要箨用，指搬算术研究翦兰繁是高簸在总结著发展了 嚣入对该定理磅究的基础上形成豹，并揭示了费马小定理在初等数论定理证明中 麴核心地位； ( 3 ) 以= 次蕊反律的两个主要来源为线索，详细考察了费马，欧拉，拉格 朗日，勒让德，直到高斯的相关工作，揭示了该定律对十九世纪数论发展豹巨大 推动作用。通过原始文献的深入分析，研究表明：一般互反定律酌寻求可髓是代 数数论发展的最主要动力，两通常文献中主要强调了费马大定理酶作覆。 关键词：赢凝，算术研究，嗣余理论，费马小定理，二次互反律 a h i s t o r i e 越s u r v e yo nt h ec o n g n l e n tm e o r yo f g a u s s s a b s 鞣毡蠛 g a 娃s s s 脱辫掰馘统勰蹦么删蹲嬲鲥酝溯i sac l a s s i c 、o r k 弧t h eh i 双。拶o fn u m b e r t h r 弘l tm ! a r k 尊dl | l eb o g 汛n i n ga fm o d e m 髓u m b 尊rt h e o r y tt h 棼n 舯e 饿t h e o 搿i s o n eo f 嘲ec 0 婶c o n 摭n t so f 釉m b e rt h r y ，c o n t a i n i n gag 糌a t 娃e 耩lo fs p e c 猿lt h o 瓣g h t ， e o 稿p ta n dm e t h o d 。1 奄et 纛。醛g 魏l s o ft l 尊n g 掰黼镪e o 搿嚣瓣瀚害娥纛运纛 s 姆霉掰敲逊鑫l l y 汛e h 赫e s j 拳鑫稚辩鼗鞭l 硪霉鞠i l 弱。黻臻瓣r 赞瓤氛憋e o 燃 e 建e 狂神筘嚣淑撼阉麓镪e 懿i w 埝。砖。蘸鞔撵。鲢娟迹l l 摹端醅i e f 歉t 羚d 毽e 稔黔。 嚣瓠基l 缳e 醢塾埝毽爨d e 躐熬砖熟然s 鼹受r 妊撼瓣鑫d e 轧( 蛔弧g 耄。龇弧p o n 黝e eo f 国旗嘲珏：j ；嬲庙嘲锄恻澎迅h i s t o 搿醴n u m b c rt h e o 秽a l l dt r ep o s t t i o no fm e 投副嫩壤e o 秽犯e l e m e n t a g 渊嫩b e | it h c o 秽，t h i sp a p e ri st o 稻c u so nt 如硒i l o w 血g t 、) l ，ot o p i c s ：m eo r 蛾i r t 锄dd e v e l o p m e n to ff e n l l a t sl i c t l et l l 尊o r c m 猢dt h eq l l 蟠糟t 辩 瓣e 岫e 砖妇诚泌魏懈妯鑫i l 蘸豁判渤b y g 鑫臻s s 。涨魏戳威稻嚣镪： ( 1 ) l 稳滤 毒蜀爹s tp 嚣撼o f 诹i sp 纛p e 矗窭魏i 辩。疽髓ld 耄f v 霉埝p 菝l 激q f | k 嚣疆l 熊l 嚣l h o 搿 巍稻瓣繇s s 弧羚￥i 妫鬻遘。器鑫s 馘娃蹬s 箩羹e 黼鑫凳鞠鑫蜘逸f 氇麟豁s 酾嫩瓤辩轮瓣霉 瓣琏黼a 鼍醅爨魏宅延是速毒醅姆囊鹱。鼍艇l 辫i 攮嚣黻建毫i c 蠢l 瓿c l g r o l 撼d h 越三憾驴鳆嘶冒a 俐 力朔嫩嫩印磐鑫醛鞠dg 秘s s s 豹爨擎辩撼攮戮 ( 2 ) 瓢撼d e v c l o p m e n tp r o c e s so ff e 啪a t si i t t i et h e o r c m 黼d 溉确p o n a n t 淼凇沧搴熏逸娥霉嚣攀o s 酶羲e 醛挺鼓逸e l 鑫酗燃莲l 鼬毽曲键穗i 瓢l 龇臻l 毯瓣。懿l 魏弧靶 t h a tt h ef i r s tt 1 1 粥es e c t i o no f 墉卵痢z 疙嬲商嘶锄柳蹈粥i s8 鳓琏蝴鑫搿繇蘸 莲愀论辩e 娃| 船熊e e 蚋心踟永粕越鹣黼蓬l sl 嚣 l 枣疆参瀚鹣嫱o wl 孰鑫耄羚黼瓤霉 黼l el h e o 缁暾p l 鑫弦d 雒溉弦瞧躺趟l e 添攮参藤礅e 嚣| 蠢彩鞠掰融l h e 蟛； 3 ) w 廷纛妻睦潮热嚣囊s 戳l 嚣懿o f 穗棼莲毪露随泌愆e i 争羚棼姆魄瓤辩羹i 鬈蘸遮g 如蹦藏戡1 乞鑫蓼鑫鹋e ，l 罐e 秘撑，毯嫩i l 妇：划鑫嬲粥成o fg a u s s ，t h ew 姆t o 糙a l i z e 懿妇s 觚龄笋纛埝氐d 愀l o p 撤e 继o f 鑫瓣魄逢瓣瓣融鞍猡翘1 9o e 鹏 i e s ，b y 剃i 黜媳c 如l 姆。蟛n a li i t e r a t u 心，i ti s _ p o h l t e do u tt h a tp u r s i l l g am o r eg e n c r a l 糟c i p 婚e 盼l 氇w 掰a 姆氐撇s t 蝴t 黼o f t 硒d o p m 献o f 鼗l g e i cn 弑精b e 壤e o 戮 u s u a im a t 甜i a lm a i n l ye m p h a s i z e st h ef i l n c t b no f f e 咖a t sl a s tt h e o r c m x 错鞠砖：g 躐然，携嘲嬲泓姗力渤锄蹴，n g 撇嘲l k o 巧， f e r m a t si i t t l e l h e o 凇n ，驴a d 瞅i cr e c i p r o c 姆l a w 西北大学学位论文知识产权声龋书 本人完全了解蘸北大学关予收集、保存、使用学攮论文鳇规定。 学校有权缳嚣并懿萤家有关部门或视鞫遴交论文的复印锋和电子舨。 本人允许论文被查烫翻借阕。本人授权嚣就大学可以将本学位论文豹 全部或部分内容缡入有美数据库进行检索，可以采用影印、缩印域扫 攒等复铡手段操存帮汇编本学链论文。圆对授权中匿科学技本信息研 究掰等槐构将本学位论文收录到中冒学位论文垒文数据库或其它 耜关数据库拳 保密论文慧解密蜃适用本声甥鑫 。 学位论文俸蠹签名：盔堡丛 指导教师签名一迭坠遂 黝学年舞力弱 年月旦 西北大学学位论文独创性声晴 本天声畴s 掰至交的学褴谚文惩本天在导蝉指导下蘧稽熬研究篓终爱裴褥瓣磺巍 戚聚。据我所翔，除了文中转鬟熬虢耩注襄致谢熬遗方辩，零论文苓彀禽箕穗天基簸 发袭或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学戚其它教育机构的学位或谥书而 使用过的枣誊料。每我一目工作的同志对本研究衔徽的任何贡献均聪簌论文中作了萌确 羲瀵爨筹寰示落纛。 学位论文律者签名：乃粉、队 哮雾年；爨留强 谣就大学醭壹攀谴论文 1 1 引言 第一章绪论 数论是最古老的数学分支之一，主要研究懿数的性质及其相甄关系。 古希腊入对数论的发展做出了重要贡献。从毕达哥拉斯( p y t h a g o 豫s ，约前 5 鼯约靛4 8 q ) 时代开始，入稍就注嚣发掇数翡神秘关系，其宗簧就是“万裙黉数”。 裢欧凡曼褥( 歉羚l l 莲，生平车详) 熬尼祷漂零蕊l 罄糕翱蝉篓，第七、a 、丸卷 讨论熬是甥等数论，其中就有著名戆冀拳基本定理，绘出了求嚣个或多个整数麴 最丈公因子麴“欧a 里褥算法”，讨论了毖铡、几何级数等。后来，丢番圈 i o 曲麟抛s ，生平不详) 在其算术( a r i t h m _ e t i c a ) 中又研究了大量特殊的不定 方程，但丢誉图的研究停留在算术阶段。缺乏数论特色。古希腊数学蔫作中属予 数论部分的内容考虑的是正熬数的基本乘法往质。 我溺古代，许多数学著俸中都有关予数论蠹容鹣论述，诧絮求最大公鳇数、 整勾黢数，著名黧孛莺剩余定蓬等等。 吉羲藉数学衰落之藩，袭过了一手多年熬嚣寂，黑舞黠翔避簧，蠢大剥数学 家斐波郑契( k 涨鑫糟o f i 羚鳓鑫毛约1 1 7 5 1 2 黝) 匏算经( l i b 娌撕b 撕) ，标惑 潜数论研究逐渐嚣始复苏。 文艺复兴时期几乎所有的代数学家都在数论方面提出些猜测，或指出一些 事实。但近代数论的起源应该鞠功予法霞数学家费马( p i e 魏 f e 黼碱l 国l 1 6 6 5 ) ，正是谴广泛两可磊煎工律缭震来酶数学家措骥了研究翡寿 离。 黧了十岁弋世纪，瑞士数学家欧控接鼯味蠢醛嚣鼙淞，l 始7 。l ? s 赫臻竞了费马提 爨鐾掰骞猜测包括著名辫费萼誊定理帮费马太定理，毽豹系制藏果奠定了近代 数论作建个独立数学分支煞基础。法国数学家勒让德( a d r i 铋- m a r i e 地鞠托1 7 5 2 1 8 3 3 ) 在1 7 8 5 年发表的论文“不定分析的研究”( r e c h e r c h e s d 粕a l y s ei n d 缸啾i n 6 e ) 中第一次给出了= 次苴反樟的确切公式，弓l 入了著名的 “勒让德符鸯 。 可以说，十九世纪之前数论的研究簸在一种无系统抟状态之中，尼个优秀抟 数学家也获得了一些杰连餐帮是零鼗、程立魏结暴。 西北大学硕士学谴论文 1 8 0 1 年，年仅2 4 岁的高斯( c a r if r i e d r i c hg a u s s ，1 7 7 7 1 8 5 5 ) 如版了巨著算 术研究 进行了历史研究。 f 黻憋l 激璐潮螂r 的互反律；从欧拉到艾森施坦因( r e c i p r o c n y l a w s ：f r o m 嚣e l e rt oe i s t e n s t e 濂) 介绍了二次互反律但主要是研究高次互反律的发 2 西北大学硕士学位谂文 展历史。 吴文俊主编的秦九韶与数书丸章 是一部论文集，收录了3 l 篇优秀论 文，是中国剩余定壤的重要研究文献。 这些书籍和论文对数论吏的研究起了很大的推动作焦，但都没有专题讨论高 舞算术磅究的尉余理论。 由予水平和资料有限，本论文参考文献大多为英、中爨料，在此基础之上， 主要对赞马小定理和= 次置反律作一历史研究，希望能给f i 5 箕发展的个清晰脉 络，有助子从历史的角度对这两个主题有深刻的议识霹理勰。 l 。2 高斯生平简介 高斯1 7 7 7 年4 胃3 0 酋生予德国不论瑞克戆一个工匠家庭，1 7 黼年赢赣进入 圣。觊瑟琳小学，幸运的是，布特纳g g b 馘鑫e 砖是挝称职的好老师。毒特纳的 助手巴特尔凝( j 醢a 赫m 潮睡b a 蹴l s ，1 7 6 9 1s 3 6 ) 是一链数学爱好者，比高斯 大歹k 岁，经常和高娥讨论代数朝分析中的基本原理，因此，高斯在小学时就打下 了坚实的数学基础。 l7 8 8 年高斯进入预科学校，在这里，高斯掌握了当时从事科学研究必不可 少的通用语言拉丁语。少年高新的天赋引起了当时不俭瑞克的统治者费逑南德 ( c a r l 稍l h e l mf e r d i n a l l d ) 公爵的注意，1 7 9 1 年，不伦瑞竞卡罗琳学院( 转糯n s 诚昧 e 矧l e g i 谶lc 鑫l i n 糕趣) 的教授齐默曼( e a w z i m 珏地潮鑫瑟拽) 彝费造南德公爵弓l 荐了离薪，公爵决定资韵赢籁完成全部学业。 1 7 9 2 冬，高新进入卡罗琳学院学习。由予经济上豹独立，使嘉斯能全身心 投入到学习中去。在这里离撅接受的教育与其年龄极不棚称，熟悉了初等几何， 分析，代数，接触戮大量算术及数论知识，掌握了幂指数为有理数的二项式定理 及算术几何平均，形成了他一生启发式的研究模式：将通过经验获褥的结果扩展 剿猜想，而新的深刻的见解爱过来指导更进一步的实验及观察。高薪心耳孛嚣数 学英雄是阿基米德( a r c h i m e 如s ，前2 8 7 前2 2 1 ) 和牛顿( 1 s 鑫a c n e w 沁鑫 l 斟3 。1 7 2 7 ) ， 拖酌研究啜取了苕希艚数学的传统耩神，即糖确的定义，滂楚熊假设，严格瑟完 全鹃证甓三者的缝合，健摈彝了凡籍形式，基本上以代数的方法思考润题。在互 西北大学硕士学位论文 年学习期闻。离额阅读了牛顿，欧拉，拉格朗日( j o s e 曲h u i s l a g 黜g e ，1 7 3 6 一1 8 1 3 ) ，雅各布伯努利( 融o bb e 黼o u i l i ，1 6 5 - 1 7 0 5 ) 等人酌数学著 佟，对多个数学闷题进行恩考。l 彳9 3 年莆詹，高斯开始研究数论阏遂，蕊久窝下 懿大量弧立豹、不完善的结果成为他发挥其超蔑创造力的舞台。在迸入哥廷裰大 学( g 繁a 醛静蜘u 矬i v e 燃玲醴g o 嫩啦辫) 之前，他已褥出许多重凄结论；考虑了 欧凡里得平行公设问题以及素数分布闯遂，给出素数定理的一个猜想：发现了算 术- 几何平均与幂级数的联系；发现了现在数理统计学中最常用的工其最小二乘 法；依靠惊人的计算能力，透过大量实验性计冀剩用归纳法发现了二次互爱律， 僵没给出证瞬。 l 为5 年，高囊离开故乡来到哥廷投( 但公蒜更希望戆够健去本她的海尔姆 囊泰特( & l 撒蜘d ) 大学) ，绪识了数学教授卡耘特纳( w k 嚣s 饿e | ) ，年长健甄岁 懿波约( w b l 蜀静鸭鞫nb o l y a i ，1 7 7 5 * 1 8 5 6 ) ，他们主要研究几何基础。就在这一 年，嵩鞭鳃决了一个两千多年悬褥未决的难题：正多边形的尺规作图| 、羽题，绘如 可用尺规作蹴的正多边形的条件。从此高斯决定献身科学，避来了饨第一个截作 赢峰。 1 7 9 6 年瘁月8 鑫，高斯得到二次互反律的第一个严椿涯明。 1 7 9 s 举秋高赣离_ 开了哥廷禳圈爨不论瑞巍。罨廷报酌三年时润量，离蓑踅 警已经形成了他以后二十五年发表麓许多重要成果的基本思想， l 嚣9 军离赫默健豹媾士论文“单复变量有理整涵数皆胃分髅为一次或二次式 豹定理的新证明( d e 檄o n 鳓a t i on o v at 蚍o r c m a t i so m n e m 如n c t i o n e ma 培e i r a i c a m 域i o n a l 雠i 魏t e g 陀激醢n l u sv 鑫纛如l l i si 菇f k 耄。心s 氆舔sp r i m ；v 鐾ls c c u 懿蕊g 潞d u s 瓣鲥v l p o s s e ，即代数基本定理( f u n d a i n e n 协ln r e mo f a l 静b 嘞的证明) 获得海尔姆斯 泰特大学的博士学位。北后媲叉给出代数基本定理韵三个证明，高斯主要着眼予 代数方程根的存在性，开创了探讨数学中存在性阏题的新途经。 1 踮1 年算术研究正式蹬版，这部著俸早在四年蓠就已经完成。 l8 e 1 年扔，意大剥鞲蔼璧岛天文台台长皮亚兹( g p i a z z i ，l 岁4 6 一1 8 2 6 ) 发现 鬏小行星，但却又失去了它的踪迹，人们将其命名为“豁神星( c e 愆s ) 。嵩斯根 据皮逆兹豹观测数据，运用爨己创造的行星椭圆轨道计算理论，计算出该行星的 运行轨道，并指出它将何时褥次出现。1 8 0 1 年1 2 月7 霞夜。德国天文学家托赫 4 西藏大学硕士学位论文 ( f z a c h ) 在赢耘预言的时间和地点，用望远镳再次发现“舔神星。 算术研究豹出舨秽“谷神星”颥掇馕高辩在科学界一举威名。1 8 0 2 颦襁， 高斯被俄国圣彼得堡科学院饕为辨籍院士，荠获得邀请邀任圣镀褥壁天文螽台 长，但枣子多方菰原因赢簸仍留在了家多。 1 8 0 3 年6 月高叛访蝴了奥尔伯( w o 懒e f s ) ，嚣嚣建议离斯出饪戚在筹餐巾 的哥廷根天文台台长，但未能成行。 1 8 0 5 年l o 月9 日，高斯与约翰娜( j o h a n n ao s t h o 或1 7 8 0 1 8 0 9 ) 缩婚。t 8 酾 年，离斯的资助人费遥南德公爵在与法军决战孛战冤。出予经济上麴考虑，1 8 0 年，高斯出柽掰廷撮天文台台长，从1 8 0 7 年到1 8 5 薹年逝世，他直担任哥廷根 大学教授兼哥廷掇天文念台长。l 霉年l o 胃，妻子在生第三个孩子对难产去避。 1 8 l 年寒曩离赣与约翰娜麓密友米娜( m i 溅a 敞撼e e k1 7 8 8 1 8 3 1 ) 成婚。 1 8 0 9 年，赢新的第二本臣著天体沿圆锥曲线绕目运动的理论( 确e o 嘲 辙熊l se 糟。粼越e l 霉s 专i 稿燃弧s e 谯i o 聃妫醢sc o n i c i ss o l e 激a m b i e n t i 啪) 书正式出 版，一共两卷。第卷主要讨论微分方程，圆锥曲线，椭圆轨道；第三卷主要讨 论了在各种观测情况下，如何计算行星轨道的方法和天体摄动理论。这部著作给 离斯赢得巴黎科学院“优秀著律耱最璧天文观测奖”。离薪对天文学理论豹贡献以 1 8 1 8 年发表的论文“确定行星对任意点豹孳l 力，霰定行星质量按下述魄铡均匀分 布在它懿整条鞔道上，鼯每一部分轨道上的质量正比予行熙通过该段轨道废用的 对阕x 隗稔溅i 藏越i q 旅精斟i 黼i s 曝u a 糙巍辨稳e 纯黻穰粒曲i s 弦s i t i o 琏i sd 糯ee x e 豹c e 俄 p l a n e 纽s ie i u s l l l a s s ap t i rl a 咖o r b i l 舭ll 眦i o n et e l n p o r i s ， q u os i n g u l a ep a n e s 懿s c 尹i b 毽概 ，鼙建i 稻嬲溉fe s 嗽d i 躐e 蠢廷幻为结柬的标志，健他坚持天文观测直捌 7 0 岁。 1 8 1 6 年，应丹麦政府邀请，高簸对丹麦犬遣进行测鬣；l 鸵o 举，汲诺藏政 府批准高新对汉诺威全境进行大蛾测量，直到l 聪7 年完成。 离簸进行大她溺量的+ 年是趣第二个创俸高峰翘。1 8 2 s 年，离凝集十年测 她学理论之大成，出版了曲瑟豹一般研究 蕊】，簿嘉，浮鬻教赛懑蔽柽，| 豁， ：鼹三 谣北大学羲圭学莅谂文 欧洲介缨中国剩余问题的文章；1 8 5 2 年，英国基餐教士伟烈强力 ( a w 邓e ，1 8 1 5 - 1 8 8 7 ) 在字林西报熊蕊i 黼h e r a l 蘸) 上发表了中国辩学 耗记：数学( j 祓瓤g s 雠舔es e i 跏o f 镪i 鼗e s e ：a 蒯l 攘采论) ，套缓矜子冀经 中魏嘞不翔数，题，并第滚瓣释了t t 大衍求一术”。f 7 】1 8 7 霹年，德禽人马蒂生 氇。醚鑫戡i e s s 雌) 在数学与巍然科学教商杂志( 瓢i t s e 埘拽m a l l l u n dn a l ：u m ) 上发表文章，其中首次指出了秦九韶的解法和高额算术研究中关于一次同余 式组的解法一致；马蒂生还在数学物理杂志( z e i t s c l l r i 黩m a l 弧孙y s 1 8 7 6 ， x l x ) 中撰文介绍大衍术。l s 8 1 年，马蒂生又撰写文章对大衍术进行了深刻清楚 靛论述，使褥中藿大舔术鬻纛为欧溅大厨理鳃，孛戳黧塞定理状毙定皂。 中禽剩余定理是整数露及其素数幂因予之懿豹一个关键性联系；在数论孛有 重要庭躅。一个毙较重要豹结谂是；羞嚣燃热魏热是不周素数的乘积，如果骚 为模梦麓暴根毫l g 纛，窖为整数，l 苫鬟弹一l ，著星慰每个；篇l ，复，妻， g 器岛豫藤热，瓣害摸鼠豹蹬海岛一l 枣sf 冬尊，并显窖摸箨的陵舞薅一l 麓最小 公倍数。 a 嗽2 和a 硝3 考虑多项鬻余式 a x 瑶器x 耐串m x n 羞0 删爹 ( 1 ) 的解，褥密垮代数基本定理樱戳翡结论：两余方程 ；给出了求原裰的方法，国我稍可戳将之筒化隽下蘧漪单畜效的 程净： 蓄毙茬袋一令整数露，重撑爹，鸳逡臻露2 ，群3 ，熬摸p 嬲余，令 为使 嚣l 撒丽尹瓣最小避整数。如暴雾茹一熏，粼群是模秽戆一个骧掇；罄苇然，然 续下一步； 柽取一个整数舂，l 舂妒著盈基掌爨。莲爹l 茎f s 赫，令豁是满足 扩麓l l l l o 莲p 的最小芷整数，翳翔掰不整除，否瘵警l 爨谰痧，毽氧妫矿，矿 是圊余方程兰l 辩酣p 的f 个摸p 翡不丽解，获褥瞧楚这个方程蘸全部解。予是， 5 躺以卅搬o d p ( 对某个饼，o j ，l ，一l ，褥这与假设矛盾。如果嚣一l ，记妒魏 f 和撕的最小公倍数，则，= 删糟，其中删整除“，”整除甜，并且如，抑) = l 。令 l鼙 警牙磊聪。鑫热扩蓦莎蕊o d 夕，则p = 露秽模p 韵酚茭删= v ；如果v = p l ，剥p 是 模尹嚣一个辣根，否则褥按照上嚣的步骤傲下去。 由予p 爹，所以每步完藏之后，或者绘毖摸p 的一个原根，或誊褥到一个 整数，它模芦有更大麓阶，所瀑这个愚痔宓将箨正于得蓟一个模尹除为尹一l 的 豹整数，这个整数就是模尹熬藤搬。 上面的程序可给出模p 的个原根，餐它可畿不是模p 瓣最，j 、溅根。 高斯给出了如何利用指数与对数的相似豫计算原根( 郎离散对数的计算) 。 为了方便读者，在附录串给出张指数寝。零 在a 矗7 6 中给出了威尔森( 如h 粥l s o n ，l 髓1 1 7 9 3 ) 定理的证麓# l t 2 3 芦一1 ) 麓一l 糟醚，蠹素数 奄戮s q 垃i s i 专i o n e s 袁r 主t h 舶e t i e a 譬，袁r 7 3 ，嚣；本文参考辩涟美文凝算术蓊巍，瑷下彝。 d i s q u i s i t o n e sa r i t 妇e t i c a e ，矗r t 9 l l o 褥托大学硬学位谂文 在觚7 s 中，赢巅推广了藏尔森定理： 如果户是所有与册互素的箍数撇o d 辨剩余瓣乘积，粼p 蓉l 黼磁辨 在这个溺余式串，除了戳下穗形是一l ，其余郝是+ l ： ( 1 ) 磁= 4 ( 2 ) 撬一矿，楚奇素数； ( 3 ) 嬲裂2 矿，p 怒奇素数。 本质圭，第一戮第三节擒成了一个完整的体系，瑟裙等数论酶大部分蠢容， 其露麴是隽了雯辫地勰读第霾，嚣，六，七繁。 对幂剩余本文第三章孛还燕进一步的讨论。 2 3 二次剩余 第醒苇豹孛心论越是二次嚣反襻，这个定律豹名稼来当勒让德的著名公式： 卟t 总) 譬守 假商斯没有使用以上的标准形式，也没裔使用“二次豆反律辩，尽管嚣然它是表达 和乏闻关系的最佳表达式滴斯先举铡说明这个定律对一些素数是成立 魏，然后绘爨了一般祷况下魏完整证鳃 l ，并指出，证明这些观察似乎非常困 难。高斯的猜测引发出一个问题：对给定类数。如何找到确定所有负判别式的有 效算法。高斯对困难的估计是对的，因为悫到1 9 3 4 年，h 萌l b n n 在h e c k e ，m o 磁e l l 和d e u r i n g 的工作基础上得到结果广义黎曼猜想错误意味着当d 专娟时 玑功辛。当然，这不能算是一个有效的涯鞠，同年，| e ；l 新娜蠡和l ；鞋蚤的t 得到 结果：最多有十个受舞剃式，其类数纛) = l ，郄 d = 一3 ，- 4 ，一7 ，一8 ，一ll ，一l9 q 3 ，一6 7 一l6 3 ，? 。第十个虚二次唯一因子域存在酶可 能性反映了h e i l b r o n n 的证明是不充分性，但如果这样的域存在，也就证明广义黎 曼猜想是错误的，这引发了类数问题广泛而热烈的研究。 1 9 5 2 年，k u r t | e 礓田嚣发表论文“丢番图分析帮模丞数”( d i o 曲鞠蝣s _ 商e a 髓l y s i sh 蕊m o d u 穗壕t i o 酯n ) 声称解决了高簸类数l 翅题，但德的证翡溺翼了 书德 ，缝的芏馆篾型的理论成秀1 9 鸶纪数论瓣圭簧谋题乏一。 2 。s 分圈问题 第七节辫成体系，等莆霹六节基本独立，主要讨论尹阶削黧域翻罗嚣理论熬 代数性质，即分圆理论。 赢薪焉到了蘸根理论欲及多颚式系数霹瑷表示笼对称遁数浆稷，嚣舞经一 。舟心 m o d 一原根的幂对应着量土一拦o 的 一1 个根。 舞凝酋先进行? 一般贪缨，讨论了超越遁数双缴线的周期，长度等阕题。在 讨论更一般的问题时镳得出继论：三角鲢数角丝，毒：o ，l ，磊，嚣一l 霹以表示搀 嚣 一个嚣次多磺式的根，并且指逝这个闻趱霹以简化为考惑更麓单的方程 扩一l 尝0 ，箨是奄素数 豹掇 l 菇 蘸憩大学蘸圭学篷论文 2 勋。2 露霈 r c o s 一十l s l n 嚣撑 随聪给出了证明，在此第次用到了复数。函 高赣将挣限定为素数，则是需要研究方程 x 蹦+ 并渺2 + + 髫辛l = 臻) 穗酌方案是零l 入一系列辘鲂方程，它翻审懿每个方程熬蹬鸯秭一棼熬个寨罴 予，每个方程的系数完全由前一个方程瓣根来确定，丽盛，( ) 戴之狠可表 示戒镬俺一个| 藿定撮r 翡幂鹣形式；弛发瑰，瓣巢g 愚模鼯蕊爨掇，那么 l ，客，9 2 ，窖础包含了所有模箨瓣非零剩余，蠹蘧可黻推惠( ) 式鹘一玲个搬 可以表示成r 。，t 船，- 船融u ，1 ) 。露 用现代术语，高斯对素数群，构造一个域 x 端 + 强x 十- - + 穰。2 善融，璐参f 躺l ，2 ，”，撑一2 为了研究鬈，考虑方程x 抒一l 掣0 根的集合之上的映射 r 卜尹毒，o 磊箨 这是盆土豹焱豹搬罗甄麟；对辫一l 拦乎，引入敛驴，1 ) + 搿2 2 ) + + 敝# ) 的 予域氍，这里鼻j ) 表求赛巅蓑芸赡嬲期，它是根r 7 麴某些和，依次是辅助方程 熬擞。隽了定义溺蓑，离囊没蠢考虑数l ，麓，箨一差，毳是考虑褶窭韵黼翻箨熬剩 余类；嚣免绺是素数，这些类褥成个菜法霪嚣群8 ，对群一l 薛每个因子， 这个群包含潜唯一的，个元的子群努秽) ，勖，) 帮黼l ，乏，# ) 是穗应的嚣驴) 静群 酌傍系，羹| l 褥期五d 定义为； 1 3 1 2 ，毒。， 熹艇避经知道傍系的性成并运用自如。特别地，对给定，的周期的乘积是这些周 期瓣伞线性缝合 。羚i s 建鞋i s i 专i 熊e s 鼢i 量h 攒e 专i e 耱，鼢毒3 3 弘3 3 孽 警d i s 毽u i s i t i o n e sa r i t h m e t i c a e ，a r t 3 4 沪3 蘸3 邋恁丈攀鞭攀攮论文 毪c 警且铰当镪 乞 砼力= 执老) 特掰，对1 6 = 2 ，2 。2 - 2 ，方程善秽一l = 0 的解哥归豹为嚣个二次方程的麟。 a r t 3 5 6 第一次擞现了著名的高新和： 鲻等一溺等= 荔 蛰 y s 添丝一y 渤燮：o _ 嚣 一 箨 这熙倪墩遍所有拧德小于栉二次正剩余，s 取所肖捍的爿耘剩余，惫墩任意不被撑整 除鹣整数。 算术研究对高斯和没有作进步的阐述，只是说这是个优美的定理， 值褥特剃关注，他将在戳惹适警韵时杌予戳考虑。在1 8 0 8 年的论文辐s 雠l m a t i o e 瞻氇掰狂热黻s 积譬黼黻s i n g u l 撕耐中，高斯对此肖更深入的研究。高薪和在镳随 惹发表的关予二淡夏爱律麴溪个涯鹗审扮演了霪要角色。 在算术研究豳舨舞，高斯郓鹣计算阏逛，确切地说是攀) 式符号麴确 定阚题一越困扰者她。1 8 0 s 年9 其在写给舆零德的信中写到； 在过去的蹲牟囊我几乎每周都花一定时趣研究该婚题，最近它叉一次占 据了我很多时间，凡天前，我终于成功了应谊说，不是出于我的势力， 而是上帝的恩宠。翻 在经历了多次试图确定( 辜) 式符号韵努力失败后，高斯终于成功地弓i 迸了 两个缀数 曲 妒 ，饿搬端_ 1 ) 瓴壤 p _ 睡 f 如掰) 渊z i 如，d 赫，矿) = 最终确定了二次高新鞠靛符号，证明是初等瓣，过程霄点歹毛复杂德并不爨难。高 噬瞧意昧蓑歪1 7 逑形霹足规律愿 辫荚译本第二个和式巾丢了“c o s ” l 寒 嚣薯艺大学硕士学位论文 斯没有说明他楚如何找到这两个级数的，健它们明显地与椭阕鲢数有联系，在这 篇论文中高斯对此没有更迸一步的研究。 最麓，离薪解决了歪十七边澎佟蓬阕趱，瞒凌指惠芷十七边形可尺艇律鬻。 更般蟪，琵2 f + l ( 翔莱2 妒书l 是素数 边形霹足瓣作淄，并基若干个这样酶 不弱数瓣乘积逛霹漩。簿 蕊煲系礤究7 懿糍瓣分藏理论，涯鹳彳一般五次方程谢瓣性翔题；他还注意 到蒜凝褒第七节一开鲶所徽豹篱单评论； 本节的穷法可以运麒到更龋次的超越豳数，特别地，与积分总捆联系 的龋毅蓖上豁 蓬是这伞评论孽l 孽鬻受尔走上研究 薷鋈嚣数靛道路。 囊赫磊寒曾爱复提戮毽想霉算术磷究熬续豢，徨这个愿攫最终没有实现。 燕浆蜃来发表的论文主要集中予以下三方面内容： l 、二次嚣反簿的涯臻； 2 、高斯和； 3 、三次以及戒二次剩余 因此，我们可以猜测到德打葬漱版的续篇中的主要遗容。 摩参量s 毽醢主s 主意主o n e s 蠹r 至专h 辍e t 主e 疆嚣，轰r 毫3 鑫暴 零d i s 建u i s i t i o n _ e sa r i t h 搬e t i c 8 e ，a r t 3 3 5 1 9 秘就大攀硬攀霞论文 第兰耄费马小定理 现在我们知道，与”甄素的剩余系m o d ，l ，对于乘法构成个阶为白) 的群， 著越是蔼交换麓，这是令有戳阶阿羹尔群，并常穗为“攥醚羚麴剩余类群”，记 为锨g ) 。f 住l 有限群的个基本性质是( 拉格朗爵定理) ：设x 是一有限群，其阶为激， s 为x 的任一予群，其盼为撑，则，叫柳；特别地，x 的任元索的除盛为磁靛 因数。 结合以上两点，可立瑟掭邈赞骂小定理： 若q ，野) 黼l ，员瓤静燃麟张喾l 辩o d 撵 舞l 耩：酉秣看出蕴禽在费骂枣定理串簿重要性矮，它度映了擞鳓孛元素之麓黪本 斌关系。 若p 为一素数，刚的撒醛p 剩余类群筑酋是一卟尹一1 的循环群。因诧，存 在一个辩o d 的生成类，这一类牵静每个数g 就称掩黼蠢尹的一个原搬，簌委， 若所有g ，9 2 ，g p ”m o d p 互不同余，则黪就是m o d p 的一个原根：当0 ，p 1 ) = l 黠，g ”仍为鞭擞，褥且只有这些原根，即共有白一1 ) 令m o d 矽的原根。 燮一簸避，热果把有理数谂皆鼹余式麓概念推进至理想理论，费舄小定理将 会鬻更麓洁熬表达方式。在乘法复合之下，与理想口互紊的剩余类m o d 口构成一 个阶为囊) 的阿受尔群，将冀记为援0 ) 。对于索理憋p ，瓣妫是循环昀。萋敷0 豹掰翥类均幽一个数尹生成，则称p 是m 砸p 的一个原根。特别对予个素理想 毒域中豹每一个整数壤，擢广的费马小定理 爨裂国量搿瓣舞参 成巍。两翼掳嚣有理剩余类擒或戆子群挺弱予p l 浚幂为单位类熬类群，所以 我们得到：个数口闻杂予个霄理数黼。莲p 酶充簧条粹兔搿尹警g 辩撕爹。 鞭就大学硕士学霞谂文 3 。l 费马小定理的发现 赞马出身法国皮革商人家庭，成年后在图卢兹( t o u l o i l s e ) 以律师为职业， 精通意大铡语，西骧牙语，拉丁语，希膳语等，数学楚其鼗余爱好。绝深入研究 了商希腊数学家阿基米德，阿波罗尾奥酝 。如果p 愚2 菸一l 鹩素霾予，刘l 慧3 7 倍数，嶷我们廷嚣要竣 p m 3 静l ，而p 是奇数，因此暴需验证那螫使l ( 淹偶数翡情形，帮霹我爨2 嚣一l 熬 因予。可以发现，当鼢嗡崤，洋2 3 是2 辩一l 的素因子，正是赞骂我粼麓。 ( 1 i ) 、( m ) 正是我们现称为费马小定理当口篇2 的特殊情形。1 6 4 0 年l o 月 l 嚣西给弗论嚼壳酌倍中，费骂写劐t 我饕告诉你凡何级数证明骑基础，鼯：每一个素数一定整徐任篱建俺赧 数中莱一令幂与l 祷墓，并且这个幂的播敷是这个素数减l 的因子；赫篮鸯这一 矮起，盖曩避套发现满起这全豢辞鳞幂。辔 链珙3 煞幂缀数黎1 3 荛铡进行说骥；3 3 一l 是3 鳇幂级数中第一个被1 3 整除 熬，焉指蒙3 整除1 3 一l 等| 2 ，露簏笋一l 霹鼓裟| 3 整豫。 枣实上，这绘出了赞马小定理翡一般称述： 鞭砉茬意素数争，以及任意缀数l ，岛蹬2 ，鳍3 ，秽定整除一些数一差，著虽 热整除梦一l ；如果帮是满足羰上条律静最小魏数雄蚋藉数，剥尹遣整除嚣一l 。树 国 灿巷蛞龇羹粼瞄嚣 孙搿：觚誓p 8 媳毂l | 飘蚺h 勰。拶一f r o mh 囊m m 搬糊i l o t 。；g 燃l 鼬e ，b o s t o 狂，b i 蚋( l 蕴u s 棼靠1 9 8 3 ，5l l5 0 2 2 滩筵大学琰士喾燕谂文 赞玛憝翔何发现这个定理的2 拖没谢说薅，尽管穗猩黼率说； 这个髅震蹿群霄瓣鼗争鼗霄索薮褰藏壶，裁蒋给豫一个瓣鹱，辩暴稼幂祷太 长酶港。蛰 趟蒸天鼹暴发瑷穗懿谨鹱。爨蠢瑷缝接溅，赘避藏谈是巍磷巍宠垒数时，发现了 ( 嚣) ，然嚣再巍用嬲纳法进锫推广，澍髓拳冀4 ，s 加以验诚，最詹总结出般 缝浚，这熬郝嚣要哭游髑f 深刻麴濒察力。 费马麴男一个著名论颧也与费马小定趱有关，郄费玛猜测2 妒十l 燮数郡怒素 数，矮入将这种数称巍费舄数，记必f ) 尝2 母l 。 要势瓣露i | 一差；爨嚣娑蕊醣，盎予露翱尝掰一l 妊辨牵l ，鞠萎分解拳簿串l 。费 冬撼憋一个勰爨：辩薤意熬嚣鬻餐意素数，是黉慧存在冽，捷撂梦整滁斗l 尊 裁骂发现了皴下事赛；鹭萎嫂粪梦麓蘩滁翡露8 一l 憋囊小憩鼯凳鹈歉魁，尝雀瓣， 谴雾整藤器蒲串l ，彝蘸矮夺鹣这撵蘸瓣簿要。 瓣露掌2 翡祷形，舅一伞霹题爨现了；2 麟串l 帮时舞素数霉懿纂麟霄裔鼗粪予 d ，则2 瓣+ l 必为合数。因为如果黼篇群姥，刚脊 2 耐串l 端丞e 书l 黔s 广。穗e 广+ + l r 意t r + + l j 鼙誊窆2 毒l 墼羚2 崩专薹。邦幺剩下麴糖况鼹裔嬲黼2 ；经验诞，对r 訾魏鼍2 ，3 ，毒， 釜2 串l 罄匙素数拳盔l 鳓年缭弗稔遐巍鳇髅枣，爨马计冀懑越劐数6 的值 3 ，喜，| 爹，嚣芋；醚5 霪掌，就蜚黪繇窆堂擎，l 黼鑫鹊碡潞秘努l 巷l 擎 势鬻溜：彭麓2 y 专l 黪数均势素数。黧实剥爨魏分鳃2 ”一l 熬骞法，可以发现 2 勰争| 蘸索器孑塞鬻影莲醚箨母董，簿嚣粼l ，惫蕊翔戳验谜，帮跛发骥秘l 是2 勰嘻l 蔚豢隧子。鼗莲蓬蘧群翥簧骂煞方法袋瑰了逮个繁慕，谜褥? 2 熬专l 避一全会数， 斌褥推黧了赞骂瓣逡个猜想；送燕费马罐惠瓣众多猜怒警罐一个棱涯囊燕辚诶 国囊糕瓣 龇i l 烈妇钠豢。拶：恕l删魏媳! i l 焖h 幽燃蝴拶一f r o 擞h a n 删i t o k e 黼鞋出爵。艇o n ，转箝心博潲e 蠢1 9 蒜3 ，5 l * l ：粥 羔薹 褥= | 毫大学矮攀链论文 的。 是否存在无穷多费骂素数? 是否存在无穷多费骂数悬念成数2 谴甭爵前的 方法儆乎穰难麓决这巍令鬻题。 l 礤3 年，赞马在遮鳖舞题土翡兴趣似乎开始衰退，罴誉圈随题秘平方释瓣 题扦始成隽他的主要磅究课题。 3 。2 费马小定理的证明及推广 费马小定理自被提出以后，巍至到现狸仍有入不断给出各种各样的证明及推 广，在此，我们只考察一些魄较重要酶缀巢。 最早的诞明已知是由莱布尼兹( g o t t 饿甜w i 糯e l ml e i 两编1 6 碡6 。1 7 l 酚给豳的： 谈荛素数，记菇群露串鑫乎串，裂妒一露尹晨开式孛备矮黧系数将被梦整 除。取搿= 6 c 毒；l ，茭鑫x p x 被p 熬除，x 秀柽一整数。 莱布尼兹的这个证明没有发表，是后来在汉诺威图书馆莱布尼兹的手稿中发 现的。l 遂 旱在l 粥1 年，欧拉就已经嚣始关注这个疑遂，链黠费骂夺定理进行了推广； 懿巢嚣幸 是素数，著基不整滁据寝矗，簧l j 露”一鑫。霹以被嚣专l 整豫；当对毯并没有 给浅证翡。撼还给凄一种推广：如果乎筇秽州一l ，尹是素数，剃被声掰除 籍的剩余为o 或l 。他还指磁：翔采溉豫弘是互幂相同的索数，并蒜不整除撵， 么是麟一l ，撑一l ，一l 的最套公倍数。嬲疗蠢一l 被掰肇整豫。 1 7 3 6 年欧拉第一个正式发表了费马小定理的完整证明： 薄素数p ， 2 嘲甘小尹专防阱一小2 雒， 3 矿嚣臻专2 ；尹蒜 静手2 尹，3 p 一3 一毫尹一塞拦秘， 毫专稳尹) 嚣l 学露尹，枣夸露梦) 一蠢书露穸。露= 擎， 始 霞毒i ：大学蘸士学整谂文 因为如果口p 一矗被p 整除，则0 + 曲声一g + 砖也可被p 整除，戳丽 o + 2 y 一0 + 2 x ，q + 6 y q + 6 ) 都可被p 整除。当口= 2 ，2 ，一2 能被p 整除， 因她，将露+ 舂写作鬈，我们得逝结论，对任意整数x ，x 芦一嚣被p 整除。 欧拉于l 7 年发表了他的第二个证明，与第一个证明相似，使用了二项式 定瑗及弱纳法。 值得注意的是欧拉于1 7 5 8 年发表的第三个证鳃，这个证明没有偻用= 顼式 定理。涯瞬如下： 魏祭尹燕素数，群麓餐整数，p 裕整豫痹，爝尹除缎数l ，婊搽2 ，掰 褥小于p 的不糖弱嚣芷裁余不会超过尹一1 个。不妨设矿鞠嚣壮有穗疑麓歪裂余， 群秽。赚露神- l 被尹整除。设荐炎搜罗整除露毒一l 孛最夺褥正整数，鄹么焉多港 l ，职肆2 ，嫦加可以得到互不相同的剩余，因诧磊蠖p l 。如果名= p 一重，费骂 小定理得证；如果名p l ，则存在一个芷整数意嵇p ) ，并