（基础数学专业论文）c代数约化聚集自由积上条件期望的忠实性.pdf

摘要 c + 一代数约化聚集自由积是c + 代数自由积的一般化。本 文主要讨论聚集自由积条件期望的忠实性。 设b 是一个单位c * 一代数，j 是一个至少含两个元素的指 标集， a ) 魁是一族单位c + 一代数，b 是每一个a 的c + 一子 代数；对于每一个i ，也：a b 是一个条件期望，( a ，) = + 心( a ，也) 是c + 一代数约化聚集自由积。本文证明了：如 果b 是每一个a 的中心，如具有双摸性质并且是忠实的， 则西是忠实的。 关键词：c + 一代数约化聚集自由积、聚集自由积条件期望、中 心、忠实的。 英文摘要 r ，e d u c e da m a l g a m a t e df r e ep r o d u c t so fc 木一a l g e b r a si sg e n e r a l i z a t i o no ff t e e p r o d u c t o f c 半一a l g e b r a w ei n v e s t i - g a t e t h e p r o b l e m o fr e d u c e d a m a l g a m a t e d 矗e e p r o d u c t so f c 木一出g e b r a ss p e c i f i e d c o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n l e tau n i t 出c 丰一a l g e b r a sb ，f o ras e t ，h a s a t1 e a s tt w oe l e m e n t s ，a n de v e r y i ， ，u n i t a lc 术一出g e b r a sa i i sac o n t 毹n i n g ac o p yo f 日a sau n i t a lc 木一s u b a l g e b r a sa n dh a 一 i n gac o n d i t i o n a ie x p e c t a t i o nw h o s eg sr e p r e s e n t a t i o n i s f a i t h f l l l t h e p a p e rp r o v e dt h a t i f e v e r y c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o ni sl e 代一m o d u l ea n dr i 曲t m o d u l e ，b i sc e n t e ro fe v _ e r ya i ，t h e n i nr e d u c e da m a l g a m a t e df r e ep r o d u c t so fc 木一 a l g e b r a so v e rbs p e c 讯e d c o n ( 1 i t i o n a le x p e c t a t i o ni sf a i t h f u l k e yw o r d ：r e d u c e ( 1a m a l g a m a t e df r e e p r o d u c t s o fc 术 a l g e b r a ，c o n d i t i o n a le x p e c t a t i o nf b ra m a l g a 工i l a t e d f r e ep r o d u c t 8o f c 丰一a l g e b r a s ，c e n t e r ，f a i t h m l 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名：杉袒 日期：塑! ! 查：兰 导师签名：糸艰 日期：馊6 ：皇! ! ： c 丰一代数约化聚集自由积上条件期望的忠实。陛 华东师范大学数学系王颖 1 引言和主要结果 在2 0 世纪，随着代数的发展，代数自由积概念随之产 生。2 0 世纪末，、b i c u l e s c u 引入了非交换自由概率论，他的 结果有助于研究与群自由积相关的c + 一代数和冯诺依曼代 数。此外他还给出了c * 一代数约化聚集自由积的定义和构 造。( 参见 2 】) k e n n e t h j d y k e m a 已经证明c + 一代数自由积上的一些 结论：对于指标集，以及一族c + 一代数 a ) 赳，( 4 ，砂) = 。触( a ，也) 是 a ) 科的约化c + 一代数自由积，如果每一个 态也都是忠实的，那么西也是忠实的。这里也是忠实的， 意思是：对于任意的n 4 ：；_ ，当暾( o ) = o 时，可以得 出凸= o 。( 参见 1 ) 本文主要是对k e n n e t h j d y k e m a 的结果推广到c + 一代数 约化聚集自由积上的情况，讨论条件期望聚集自由积的忠实 性。首先，我们给m 几个自由积的概念和性质。 定义1 1 自由积群 设指标集，一族群( g i ) 甜，这旅群的自由积群记 为+ 剃g ，它是唯一的一个群g ，具有同态妒。：g 。一g 满 足：对丁- 任意群日以及任意同态也：g 。一日总存在唯的同 态中= 。，如：g 一日使得下图 是可交换的。 我们可以通过约化元素来构造自由积，即 g = 夕1 9 2 - - i 卯g i ， e ) ，n i 2 i 。) u 砂 定义乘法：( 夕1 9 2 蜘) ( 1 2 k ) = 约化( 9 1 9 2 夕礼 1 2 k ) 。 接下来我们给出单位代数上的定义。 定义1 2 单位代数自由积 设一指标集，( a ) 魁是一族单位代数，则它们的单位代 数自由积* 心a 是唯一的单位代数a 具有单位同态毗：a i 一 4 满足：对于任意单位代数b 以及任意单位同态咖：a b 总一个存在唯一的单位同态巾= 觏。，啦：a b 使得下图 也 是可交换的。 a 厂一a 氛屈 b 2 g 0 哦一日 沃 当把+ 州a 看作一个向量空间时，自由积+ i ，a i 是向量空 间y 的商空间，其中y 具有基集合 b = n l n 2 - - o 。i n ，吩a i ，i 1 i 2 j 。) 运算关系为n 1 。2 一1 ( a 秽+ 卢面1 ) + 1 。 = a 。1 n 2 吩一1 n 严哟+ 1 + p n l n 2 哟一1 0 ；1 ) n j + 1 o 忆 ( 其中a ，p c ) = 1 = 争n l n 2 。口n = 1 2 吩一1 + 1 。o n 。 因此不难检验如果a = c lok ( 作为向量空间) ，则* 魁a 同构 于向量空间 c = c 1 0o 。兰l ( i ， 。一牟。k 。qk 。 。 k 。) 。 特别地，如果每一个a 有一个对合运算，那么在单位；一代数 和单位+ 一同态构成的范畴里，4 = + 触a 在定义1 2 中是通用对 象。 设p 是希尔伯特范畴，它的每一个对象都具有奇异单 位向量，以及映射是保单位的压缩映射，即对象( 日，) ， 其中= 1 和态射是线性映射t ：日l 一凰满足| | 丁| | s l ，丁f 1 一2 。 注意：如果丁是一个态射，则丁( 日1e c 1 ) 凰e c 已( 这 里日e 凰是凰的正交补) 。事实上，我们容易得m 丁+ 2 = l 。进一步我们考虑内积空问。 定义13 希尔伯特空间自由积 设指标集，( 且，6 ) 触是一族具有奇异单位向量的希尔伯 3 特空间，则它们的希尔伯特空间自由积屯。，( 凰，是( h ，) ， 记为 日= c 0o 。l ( o i ，判。i 。磁 硪圆o 破) 。 聊= 鼠ec 6 。 定义1 4 单位c + 一代数自由积 如果( a ) 州是一族单位c 4 一代数，那么它们的单位c 8 一 代数自由积谢a 是唯一的一个单位c + 一代数a ，它具有单 位+ 一同态吨：a a 满足：对于任意单位c + 一代数b 以及任意 单位+ 一同态如：a b 都存在唯一的一个单位4 一同态中一 术诞j 咖：a b 使得下图 妒i a r 一4 砂壬 b 是可交换的。 ， 特别地，我们可以要求也是单的。 v o i c u l e s c u 提出“聚集”或者“b 一值”的自由性是如卜- 定 义的： 定义1 5 假设单位c s 一代数b 是单位c + 一代数a 的c + 一子代 数，西：4 一b 是一个条件期望( 等价丁 个范数为1 的 投影) ，对丁每一个a ( i ，) 满足b a 。ca ，4 i 是a 的 4 单位c + 一子代数，则族 a ) 日是自由的：如果对丁任意的 a jn 七e r 曲且i l i 2 ，i 2 i 3 ，- - ，i 。一1 i 。都有咖( n 1n 2 n n ) = 0 成立。 v o i c u l e s c u 也给出了c + 一代数约化聚集自由积，定义如下： 定义1 6 假设b 是一个单位元c + 一代数，是一个指标 集合，对于每一个i ，b 可以看作单位c 4 一代数a 的一 个c + 一子代数，破：a 一曰是一个条件期望( 蚓b = i 如) 。如 果( a ，也) 的g s 表示是忠实的( 也就是单的) ，则存在唯一 一个单位c + 一代数a b 和唯一一个条件期望咖：a b ，以 及嵌入映射a a ( 限制在b 上是恒等映射) ，使得 ( a ) 对于任意的i ，h = 他； ( b ) 族 a 甜关_ 丁- 是自由的； ( c ) 4 是由u 粗a 生成的； ( d ) 彩的g s 表示在爿上是忠实的。 我们称( a ，西) 就是c + 一代数约化聚集自由积，记作 ( 4 ，) = * 叫( a ，也)( 1 1 ) 特别地，当b = c 时，条件期望正好是态，( 1 1 ) 是通常所 说的约化自由积。 在3 中，已经证明：假设单位c + 一代数日是单位c + 代 数( a ，西i ) 刮的单位c + 一子代数，蛾：a b 是范数为1 的投 影( 等价于条件期望) 。如果a 是 a 。) 心的约化聚集自由 5 积，则存在唯一的一个范数为1 的投影西：a b 使得f a k ， 在( a ，) 中关于b 是自由的。 我们先叙述一卜本文要用到的基本概念。 a 代数b 是代数a 的中心：b 是a 的子代数，并且b 中 的每一个元素都与a 中的元素可交换。 b 单位c + 一代数b 是单位c 。一代数4 的单位c + 子代数， 西：a b 是一个条件期望，如果它满足下面等式就称为具 有b 双模性质： ( 6 1 0 6 2 ) = 6 l ( o ) 6 2 ，( 对丁任意6 l ，6 2 b ，n a ) 。 卜 面介绍本文的主要定理。 定理a ：设b 是一个单位c + 代数，是一个至少含两个 元素的指标集，f a ) 斛是一族单位c + 一代数，b 是每一 个4 i 的c + 子代数；对于每一个i ，办：a b 是一个条件 期望，( a ：) = 。j ( a ，a ) 是c + 一代数约化聚集自由积。如 果b 是每一个a 的中心，每一个如具有b 一双模性质，并 且也是忠实的，则咖是忠实的。这里咖( 或者) 是忠实 的，意思是：对于任意的o a ，当也( n ) = o 时，如果得 m ：0 。 6 2c 术一代数约化聚集自由积的构造 下面主要通过介绍一些记号和常用语，我们来详细叙 述v o i c u l e s c u 在2 中给出的c + 一代数约化聚集自由积的构造。 ( 或者参看 5 、【7 、 8 ) 设b 是一个单位c + 一代数，是一个至少含两个元素的指 标集合，对丁每个i ，a 是单位c + 一代数，b 可以看作每 一个a 的c t 一子代数。假设如：4 。一b 是一个条件期望满足 卜- 面的性质 v 口a i o ) ，| z a i ，使得咖i ( z + n 4 n z ) o( 1 2 ) 贝u( a ，矽) = i ，( a i ，砂i ) 表示c + 一代数约化聚集自由积。 在构造中，如果b c ，我们得借助希尔伯特c * 一模理论 ( 参见书f 6 ) 来完成，如果b = c ，则所有的希尔伯特c + 一 模都可以看成是希尔伯特空间。接下来我们给出c + 代数约化 聚集自由积的具体构造。 1 1 ( 丌i ，蜀，已) = g s ( a ，咖i ) 令。：a b 是条件期望，= n a l 也( 矿n ) = o 是a 。的一个右理想，蜀= 五2 ( a 妒。) 为希尔伯特b 一模 即关于范数完备化，a i 眦是它的稠密子窄间。其巾内 积 e 。是b 一值内积，即 己= 也( n i 2 ) ， 范数 7 为蚓f = f f 最胆。此内积关于第一个变量是共轭线性 的。 定义映射 a _ 晟：n _ a 死：a l ( 蜀) ：n 一死( o ) 死( n ) ( 6 ) = o b 其中死是一个+ 一表示，l ( 置) 表示在晟上的所有有界希尔 伯特b 一模算子全体。k ( 岛) = ，：z ，可邑，以，( e ) = z 毋) ，容易得出( 蜀) 是l ( 蜀) 的c + 一子代数，此外( 1 2 ) 等 价于死的忠实性。我们令元素& = 五最，由上可知对于 每一个也都有也( n ) = 。 我们称( 巩，局，是( a ，也) 的g s 表示，记 ( 仉，蜀，毛) = g s ( a i ，。) 。 1 2 ( 7 r ，e ，) = g s ( a ，咖) 已b 是肠的子空问，并且它是仉i b 的不变子空间，即 7 r t l b ( 6 ) ( 6 b ) 6 b ( 任意6 b ) 。丌i l b ( 6 ) ( 岛c ) = 订。( b ) ( e ) 一6 c 一 6 6 c 象b ( 任意6 ，c b ) 。另外，毛：蜀一& b 是到上的投 影，即日：已( 矗6 ) = 已6 ，目矗，矗( 蜀一6 b ) = o 。 令聊= 掣蜀是邑b 的补子模，其中砰= 1 一艮。，已l ( 岛) 设 e 一言bo 曰 或b 碳。b 。口碳 n d 1 ，砷， ，2 n ， 。l 。2 ，。2 增，t nl 。” 8 其中b 是把c 4 一代数b 看作了一个希尔伯特b 一模；= l b ，张 量积是内张量积，它是由* 一同态印仉i b ( ) 砰：b l ( 霹) 产 生的。表示通常的正整数全体，我们称希尔伯特b 一模 e 为关于元素毫的自由积，记( e ，) = * 斛( 最，。从而存 在e 上的一个表示丌满足 = ( n ) ，记( 丌，e ，) = g s ( a ，) 。 对于i j ，设 e o ) = 哺b 曰目曰b 磅。b 碳。b 。b 破 n ，。1 屹，i 2 屯， ，i n 一1 2 n ， 一t 其中b 也是把看作希尔伯特b 一模b ，臻= 1 l b 。 定义2 1k ：蜀be ( i ) - e 已。碾一f e 一e 已o ( 臼 白o 圆白) 一6 岛o - t 厶 eo ( ( 1 q 圆- 岛) 一 1 2o 。 厶 由定义可知它是1 个酉算子。这里 霹，白础，i i 1 ，i 1 i 2 ，i 2 i 3 ，。1 如。 定义2 2扎：a ：，l ( e ) n m ( 仃( n ) o1 ) k + 显然九是一个+ 一同态。 9 从而由上可知a 可以定义成由u 甜九( a ) 生成的c + 一代数，： a b 是条件期望并且满足( ) = e 。 注意：对丁二任意的6 b ，算子九( b ) 在e 上是不依赖丁i 的， 也就是九( b ) = a 。( 6 ) ，( 任意i ，s ，) 。 假设n ，i 1 ，i 2 ，i 3 ，i 。一1 ，i 。，并且i 1 i 2 ，i 2 i 3 ，i 。1 i 。，对于任意1 歹n 一1 ，令白域是一个 单位向量，并且满足 = 1 b 。 定义2 3 y = y ( 白，6 ，一，厶一1 ，) ：鼠。一e 6 。一( 1 白o - 圆白1 叼一a 白 - 厶一1 卵 其中叩壤，巨? 。特别地，当n = 1 时 y = y ( i 1 ) ：蜀。一e 毒。一 叼一叼 ( 叩e ：) 显然从定义中可知y 是一个从玩到e 的等距映射。 如果砂是c + 一代数b 上的一个态，我们令b l 2 ( b ：曲) 并 且a ? = 南e r i 。当n 以? ：白e ? ，i 1 ，i 2 ，i 3 ，t 一，i n 一1 ，i n ，如巧+ 1 时，则 九( o ) ( 亭) = m ( n ) 6 。 1 0 麓。芝：急巍譬。确，一 1 + 7 r i 。( ) 白 厶 ( i i 1 ，n 2 ) 【a 。a 。已。厶 ( i i 1 ) 5 3 一些命题 为了更好的证明定理a ，首先给出以下几个命题。 注意：为了书写方便，我们把丌( n ) 简写成o 。以下符号均 采用上而内容所介绍的。 命题3 1 对于任意j ，6 b 都满足& b 一7 r ：( b ) 6 成立。 证明： = 一 = 一 = 也( 1 + b ) 一咖( 1 + b ) = 6 6 = o 所以( 6 6 一啦( b ) 6 ) 聊，即( b 一丌。( 6 ) 已) 磅n 已b = o ) 从而可得& 6 = 玑( 6 ) & 。简记为6 6 = 惦 证毕。 命题3 2 如果b 是a 的中心，则 = 6 ( v 单位元素叩e o ，b b ) 证明：由( 7 r ，e ，) = g s ( 4 ，) 可知 e 是a 关于范数| | a | l 一忖( 矿。) ”的完备化，内积 = ( n + 6 ) 。不妨考虑e 的稠密子空间a 。 假设单位向量叩= e 4 ne o ，v n b 。 因为6 e o ，从而j 上b ； 1 2 又因为e = 日o e o ， 所以 一0 。不妨令o = 1 口，则 = ( c ) = 0 ，所以c 南e r 毋。 由上可知 = = ( c 4 b c ) = 咖( 6 c + c ) ( b 是a 的中心) = 劬( c + c ) ( 是b 一双模) = 6 = 6 。 证毕。 命题3 3 设b 是a 的中心，对丁任意的o 七e r 西，6 b ， 则 n ( 曲) = n 6 = b o f 。 证明：= ，显然o ( 曲) = o 蜒。又因为b 是a 的中心，所 以n 6 = 6 0 。从而得到。( 6 ) = n 毖= 6 n 。证毕。 命题3 4 设b 是a ( i ，) 的中心，v6 b ，白职，1 js n ，贝u 6 臼固日( 2 0 b 圆口厶= c 1 b b o b 6 白 b 一 b 厶。 由内积定义直接可以得m 此结论。 命题3 5 设b 是a ( i ，) 的中心，v b b j 白e 2 ，1 j n ，y = y ( 臼，( 2 ，厶1 ，址) ，( 如上定义) ，e 醒。，则 y + 6 = 6 y + 。 证明： 6 v + ( ( 1o 白圆- o 厶1 ) = 6 6 。 6 v + ( 白 ( 2 矗一l8e ) = 6 e 6 y + ( b ) = 0 v + 6 ( 1 白q o 厶一1 ) = 6 已，。= v + ( 6 6 6 圆t 白一1 ) y + 6 ( ( 1 0 q o 矗一1 ( ) = y + ( a ( 2 0 q 厶一l 6 e ) = 6 ( y + b ( b ) = 0 所以y + 6 = 6 y + 。证毕。 5 4 引理和定理证明 引理4 1 设y = y ( 白，白，( n l ：如) 如上定义。 n ，七1 ，乜，岛。，上l 惫1 良2 ，后2 七3 ，- 七m 一1 惫r n 。 令町a 2 。( 1 歹m ) 。 女口果m = 2 p 一1 ( 1 p n ) ，= i 1 = 七l ，南m 一1 = i 2 = 乜，一，饧+ 1 = j p l = 一1 ，b = 绉则 y + n l n 2 n m l n m y = 7 r n ( 6 ) 。 其中6 = ； 女口果m = 2 n 一1 ， = i 1 = 七l ：岛n 一1 = i 2 = 七2 ，- ，惫。+ l 一 葫一1 = k1 ，= 如则 y + 。1 n 2 o m 一1 0 m y = 6 n n 。 其中6 = - - ； 其它情况矿n 1 0 2 n 。一1 0 。y o 。 证明：用数学归纳法证明。 ( i ) 当n = l 时，y = v ( i 1 ) ：岛。* e 邑，一 一 其中 磁 由此可见y ( 最，) = 蜀。型专bo 砩。 1 ) 当。= i l jm 一1 时，v + 。l y n 】； 1 5 2 ) 当蠡。= i 1 ，m22 时， n l n 2 n m = n l n 2 ( m 也。) = a loa 2 。oa m j - ( 亭bo 磁)( 1 ) 1 0 2 - - - n m 一1 凸m ( ( ) = n 1 0 2 - n m l ( o m 1 时， 1 ) 当n 时 a l n 2 - - o 。( 6 0 白 - q 厶一1 ) = a l a 2 0 o a ”。 e l o ( 2o o 厶一1上( y 蜀。) 盘l n 2 o 。( ( 1 q - o 厶一1o 破) = a 1o a 2 固。o a 。 ( 1 已o 厶一1o 醒 上( y 蜀，。) 此时1 旷+ n 1 0 2 - 。m 一1 0 7 n v = 0 。 接着考虑y + n l 血2 n 。l n 。y = o 的共轭v 4 n 荔n 1 同理可知，当惫。i 1 时，y 4 n 麓。麓1 n ；n i v = 0 即 旷n l n 2 n ，。1 n 。v 一0 。因此在这种情况卜i 引理成立。 由上我们只需考虑k = i l 一七1 的情形，并且m n ；n i v 。 l 或 者m 3 。 2 ) 当= i l = 七1 时， a ) 当n = 2 ，m = l 时， 0 1 白= 0 1 ( 1 一毫， + ( 5 ) n 1 ( a e ) = ( n 1 臼一6 。 ) o ( + e ( 6 ) 此时( 5 ) 、( 6 ) 等式中右边第二项均垂直于y 局。，所以y + 作 用在( 5 ) 、( 6 ) 两式可以得到 y + 0 1 y 矗2 = 岛2 = i 。； y + n l y ( e ) = y + ( ao ( ) = e ； y + 0 1 y = 丌i 1 ( ) = 。 b ) 当n = 2 ，m 3 时， 0 1 a 2 f z 。( 臼) 2 o i n 2 - 。m l ( 口m 6 一& 。 + f ) = a loa 2 t 。oa 。一10 ( n 。e 1 6 ， ) + n 1 0 2 。n m1 ( ) ( 7 ) n l n 2 - o 。( e 1 ) = 0 1 0 2 + ( ( n 。6 一矗。 2 ，m 3 时， n l n 2 tn 。( e l 已 厶一1 ) = a 1 o a 2 圆( n 。e 1 6 。 ) q - - 0 厶一1 1 7 + n 1 0 2 ( 白 。o 白1 ) ( 9 ) 8 1 0 2 - n 。( ao ( 2o 厶一1o ( ) = a l o a 2 0 - t q ( 。( 1 6 ， ) 圆白 。o 白1 0 ( + 0 1 0 2 - ( ( 2o o6 z 一1 e ) ( 1 0 ) 此时( 7 ) 、( 8 ) 、( 9 ) 、( 1 0 ) 等式中右边第一项均垂直于y 局。， 所以矿作用在( 7 ) 、( 8 ) 、( 9 ) 、( 1 0 ) 可以得到 y 4 n 1 凸2 嘶n v = v + n l n 2 n m l u 其中u = 矿( 已，6 ，一，厶一l ，) ：置。，e 。 由共轭性可知( ( y + n 1 0 2 n 。一1 u ) + ) + = ( u + n 一1 n ；n i y ) + = ( u + 碥一1 - o ；u ) + = v + n 2 n m 一1 u ( 1 1 ) 由数学归纳法，假设1 ，2 ，礼一1 ( b b + 1 ，1 j5n 一2 ) 成 立，再根据( 1 1 ) 式几也成立。即 当m = 2 p 一1 ( 1 冬p 凡) ，= i 1 = 尼l ，一，b + 1 = 瞄一l2 1 ，b = 如时： y + n 1 口2 - - m l n ”l y = 7 r n ( b ) ； 当m = 2 礼一1 ，七。= i l = 七l ，七r 。+ l = 。n1 = 七。一1 ，南n = i 。时， y + 。1 n 2 - 。m1 。m 1 旷= 7 r n ( 6 ) o n ； 其他情况y + 。1 0 2 n ，。1 a 。v = 0 证毕。 引理4 2 设一指标集合，i ，单位c + 一代数b 是单位c + 一 代数a 的c * 一子代数，即1 b b a 。令( 月，) = + 涮( a 。，也) 是f a ) 触的c + 一代数约化聚集自由积，其中也：a 一_ b 足 1 8 具有双模性质的条件期望，如果b 是每一个a 的中心，n ，i 1 ， 2 ，如j 且i 1 i 2 ：i 2 t 3 ，一1 ，对于 任意1 j n l ，白e ! 是一个单位向量，假设y = y ( 矗，( 2 ，白一1 ，) 是如上定义的等距，则y + a y = a 。 证明：显然y + y = 1 a l 。从引理中可知，y + n 1 口2 n 。一1 。v a 。，其中m j ，1sj m 一1 ，0 j a 2 。，码幻+ l 。由于这 些o 。以及1 的全体线性扩张成a 的一个稠密子空间，从而得到 y + a y a t 。 下面说明另一方面矿a y 4 i 。 首先b 御= 御 “n“n 1 ) b a 曼4 7 。 如果任意6 b ，n a ：。，因为如i a = o ，a 。( b n ) = 6 i 。( o ) = o ， 从而沈戗； 2 ) a 是b a 易。 对丁- 任意口以? ，口= 1 日a b 4 7 。 ”t 。t l 因为 v + 0 1 n 2 - o m l 凸m y 一6 n 。 其中6 = 6 。，n 。 6 2 ，n 。一1 - t 又因为a 。= 日。南e r 也，。= 口o a 曼 显然1 口y + a v ，从而b v + 4 v 对丁任意的6 。，。日a ! ，由引理4 1 可知，对于每一个l js 礼一1 都可以找到凸j ，2 。一j a ：使得 o ， o 并且 6 = 从而6 b a 曼y + a y 。由于屯是a t ，在晟，上的循环元素 并且b a 曼= 4 乏，以上o j ，0 2 。j 以：总是可以找到的。 综上所述p a y = a 。证毕。 以下主要是定理a 的证明。 证明：( 反证法) 如果存在n a ，o o ，且o o 使得( o ) = o ，那么 = ( o ) = o ，所以o e o 。 如果n ：i 1 ，i 2 ，i 。j ，n i 2 ，i 2 i 3 ，一，i 。一1 i 。， 不妨令只一。是从e 到壤。磋o o 雹。上的投影。 因为o20 ，n o ，所以存在讹，i 1 ，i 2 ，如，i 1 i 2 ，i 2 i 3 ，如l 锄使得 只。，一“n 只小。，h o ( 其中n 是使得此式成立的最小的 正整数。1 反之，若对于任意几j v ，i 1 ，i 2 ，i 。，o ( ( 1 q 厶) = o o = f | i | = | | | | = | | n | | 2 = = 争n = o 从而o = o 与已知n o 矛盾。 故而存在咒- 8 1 ，i 2 ，z 。，使得血；( 6o0 o ( n ) o 所以 2 0 = o 即存在n ，i 1 ，i 2 ，j 使得只，m ，i 。n 只。，i 。，i 。0 。 因此存在( j e ! ( 1 j ( 礼一1 ) ) 使y ( a ，白，厶_ 1 ，i n ) 如 前所定义的等距满足v + o v 0 ，又因为y + n 矿o ，根据引 理4 2 可知y + o v a i 。 由于焱。在a i 。上是忠实的，所以 o o 矛盾； 当n 1 时，o 也。( y + n y ) = = 0 此时只。胁。最扣。，h 一。o 与n 的选择矛盾。 证毕。 参考文献 【l 】k 咖e t h j d y k e l a ， f 。甜h ，f n e s sd ，r e ep r 。d u c s 把e 5 j f h n c ta n a l1 9 9 8 ，1 5 4 3 2 3 - 3 2 9 1 2 d ，v b i c u l e s 叫】s 掣m m e t r z e so ，s d m er e d c e d ，r e ep r d d h 矗g ￥ 一1 9 e 打s ，h “o p e r a t o ra l g e b r a sr 衄dt l i e i rc o i e t i 0 1 l sw i 恤。r o p o l o g ya u d e r g o d l ct h e o r y ”，l e c t u r en o t e s 】n m a t 】1 e m 甜1 c sv 。l f 儿3 2 1 9 8 5p p 5 5 6 5 8 8 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n n e wy 0 r k 3 j dv “c l l l e s c u ，kjd y k 唧a ，a n dan i c a ，f r e b r n d o my z o m e s ， c r mm u n o g r a 】曲s e r i e s ，v 0 1 1a m e rm 砒hs o cp f o v l d e i l c e ，( 1 9 9 2 ) 【4 】e b l a n c h a r d ，k j d y k e m a ，e 7 n 拒d 翻l g sd ，r e 也c e d e 。p r o d “c t 5 。，o 坤r n t 胛n f 9 曲r s p a c 访cj m 址h ，1 。9 ( 2 0 0 1 ) 1 1 0 【5 1 gg k a s p 盯0 、r ， h i c 6 e nc 一 t 。出e s 也e o r 吼i l so fs t i u e s p r i n g a n ddv o i c u l e s c u ，jo p e r a t o rt h e o r y ，4 ( 1 9 8 0 ) ，1 3