（机械制造及其自动化专业论文）活齿端面谐波齿轮啮合副的啮合面积研究.pdf

中文摘要 活齿端面谐波齿轮是在现有的谐波传动和活齿传动的基础上发明的一种新 型传动装置，能从根本上克服现有的谐波齿轮传动中柔轮的变形与其承载能力 之间的矛盾，具有大传动比、并能传递大功率的优点。 本文介绍了谐波齿轮传动和活齿传动的结构和发展状况，并在此基础上介 绍了活齿端面谐波齿轮的结构和工作原理，以及活齿端面谐波齿轮的传动型式 和分类，重点介绍了活齿端面谐波齿轮啮合副啮合状态的几何模型和工作啮合 副啮合总面积的变化规律。本文着重研究了工作啮合副的啮合总面积，得出了 如下的结论： ( 1 ) 分析了可能对活齿端面谐波齿轮工作啮合副啮合总面积产生影响的因 素，确定了真正影响工作啮合副啮合总面积的因素。 ( 2 ) 按照活齿齿数与波发生器波数的关系，将活齿端面谐波齿轮分为活齿 数能被波数整除和活齿数不能被波数整除两大类，并按照这种分类方法，分别 推导出了工作啮合副啮合总面积的计算公式。 ( 3 ) 对活齿数能被波数整除时和活齿数不能被波数整除时的啮合总面积计 算公式进行比较，通过比较可知活齿端面谐波齿轮设计为z ( ，不为整数的情况 较为理想。 ( 4 ) 研究了活齿端面谐波齿轮齿面修形后的工作啮合副啮合总面积的计算 方法，总结出了工作啮合副啮合总面积的变化规律；应用齿面修形后啮合副啮 合状态的几何模型，推导出了相应的工作啮合副啮合总面积的计算公式。 ( 5 ) 对修形前和修形后工作啮合副的啮合总面积进行了比较，讨论修形后 啮合副的啮合总面积发生的变化，以及对整体的影响情况。 ( 6 ) 研究了双边结构的活齿端面谐波齿轮工作啮合副的啮合总面积，为了 保证双边啮合总面积的最小值最大，两边的端面齿轮的齿顶在圆周方向互相错 开的角度为尢，历，波发生器两端端面凸轮齿项应该错开的角度为冗玑 此外，对活齿端面谐波齿轮啮合副的主要研究课题进行了讨论和展望，为 进一步研究活齿端面谐波齿轮啮合副刚度和强度理论奠定了基础。 关键词：活齿，端面谐波齿轮，工作啮合副，啮合总面积 a b s t r a c t c o n t r a d i c t i o nb e t w e e nd e f o r m a t i o na n db e a r i n g - c a p a c i t yo ff l e x i b l eg e a rw h e e l o fc o m m o nh a r m o n i cg e a rd r i v ec a l lb et h o r o u g h l yo v e r c o m eb yi n t r o d u c t i o no f o s c i l l a t i n g - t e e t he n d - f a c eh a r m o n i cg e a r , a na d v a n c e dd r i v i n gd e v i c eb a s e d o n c o m m o nh a r m o n i cg e a rd r i v ea n do s c i l l a t i n gt e e t hd r i v e a n dw i t l la d v a n t a g e so f l a r g e p o w e ra n dh i g l lt r a n s m i s s i o nr a t i o i nt h i sp a p e r , s t r u c t u r ea n dw o r k i n gp r i n c i p l e so fo s c i l l a t i n g - t e e t he n d f a c e h a r m o n i cg e a r , a sw e l la si t st y p e sa n dc l a s s i f i c a t i o na r ei n v e s t i g a t e d b a s e do n s t a t e m e n to ns t r u c t u r ea n dd e v e l o p m e n to f o s c i l l a t i n gd r i v ea n dh a r m o n i cd r i v e t o t u l m e s h i n ga r e ao f w o r k i n gm e s h i n gp a i ri sg i v e ng r e a ti m p o r t a n c e 谢t l lt h er e s e a r c h i n g w o r kb e l o wb e i n gc o n d u c t e d 1 ) p o s s i b l ef a c t o r so nm e s h i n ga r e ao f w o r k i n gm e s h i n gp a i ro f o s c i l l a t i n g t e e t h e n d - f a c eh a r m o n i cg e a ra r el i s t e d f r o mw h i c ht h ep r i m ea r ee x t r a c t e d 2 1f o r m u l a sc a l c u l a t i n gm e s h i n ga r e ao fm e s h i n gp a i ra r ed e d u c e da sp e r r e l a t i o n s h i pb e t w e e no s c i l l a t i n g - t e e t hn u m b e ra n dw a v en u m b e ro f w a v eg e n e r a t o r 3 1w i t l lt h ec o m p a r i s o nb e t w e e nt h ef o r m u l a sc a l c u l a t i n gt o t a lm e s h i n ga l g ao f t h et w ot y p e so fg e a r s n a m e l y , o n et y p c 诚t i li t sn u m b e ro fo s c i l l a t i r i gt e e t hc a nb e c o n t a i n e db yi t sw a v en u m b e r , a n dt h eo t h e rt y p ew h i c hc a l ln o tb e ，t h em o r ei d e a l t y p ew i t ht h ev a l u eo f z o u b e i n gn o n - i n t e g r a ln u m b e r c a l lb ef i n a l i z e d 4 、o f m o d i f i e dw o r k i n gm e s h i n gp a i ro f o s c i l l a t i n g - t e e t he n d f a c eh a r m o n i cg e a r , c h a n g i n gd i s c i p l i n a r i a n i ss u m m a r i z e da n df o r m u l a so nt o t a lm e s h i n ga r e aa r e d e d u c e d ，r e s p e c t i v e l y 5 、t o t a la r e a so fm e s h i n gp a i r sb e f o r ea n da f t e rm o d i f i c a t i o na r cc o m p a r e df o r d i s c u s s i o no nt o t a lm e s h i n ga r e av a r i a t i o na n di t si n f l u e n c eo n t h ew h o l es y s t e m 6 1t o t a lm e s h i n ga r e ao fm e s h i n gp a i ro fd o u b l e s i d eo s c i l l a t i n g t e e t he n d f a c e g e a ri si n v e s t i g a t e d b e t w e e nt e e t ht o p so fe n d - f a c eg e a r so nt w os i d e s ，t h e r es h o u l d b ea na n g l e 霄，历s t a g g e r e dc i r c u m f e r e n t i a l l y ；a n db e t w e e nt e e t ht o p so fc a m so nt w o e n d f a c e so f w a v cg e n e r a t o r s t h e r es h o u l db e a n a l t e m a t e a n g l e 冗u i n o r d e r f o r t h e m i n i m u mv a l u eo f t o t a lm e s h i n ga r e ao f g e a r so nt w os i d e sb e i n gm a x i m u m f u r t h e r m o r e ，d i s c u s s i o na n dp r o s p e c to nm a i ns u b j e c t so ff u r t h e rs t u d yo n m e s h i n gp a i ro fo s c i l l a t i n g - t e e t he n d f a c eg e a rl a y s af o u n d a t i o nf o rt h e o r e t i c a l r e s e a r c ho nr i g i d i t ya n ds t r e n g t ho f o s c i l l a t i n g - t e e t he n d f a c eg e a r k e y w o r d s ：o s c i l l a t i n gt e e t h ，e n d f a c eh a r m o n i cg e a r , w o r k i n gm e s h i n gp a i r , t o t a l m e s h i n ga r e a 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 谐波齿轮传动技术概述 1 1 1 谐波齿轮传动的发展 1 绪论 谐波传动是上世纪5 0 年代中期随着空间科学技术的发展，在薄壳弹性变形 理论的基础上发展起来的一种新型传动技术i ”。谐波齿轮传动的传动原理与普通 齿轮传动不同，是利用控制柔性齿轮的弹性变形来实现传递运动和动力的。谐 波齿轮传动一般设有波发生器、柔性齿轮和刚性齿轮三个基本构件。由于波发 生器的连续转动，迫使柔轮节圆上的任意一点随着波发生器角位移的变化，形 成一个上下左右对称的谐和波，称之为“谐波”，因此，这种机械传动型式被 称为谐波齿轮传动。 国外一些国家先后对谐波齿轮传动进行了研究1 2 1 f 卯。从上世纪6 0 年代中期 开始，国内有关的研究枧构开始引进谐波齿轮传动这项薪技术，并开展了该项 目的研究工作。7 0 年代末，我国许多工业部门、机械研究所和有关的工科院校 都先后对谐波齿轮传动进行了理论、试验研究以及设计、试制等工作，研制出 了一些性能较好的谐波齿轮减速器1 6 1 7 。 1 1 2 传统的谐波齿轮传动的结构和工作原理 传统的谐波齿轮传动机构由三个基本构件组成：波发生器( w a v eg e n e r a t o r ) 日、作为挠性构件的柔轮( f l e x i b l es p l i n e ) g 和刚轮( c i r c u l a rs p l i n e ) b ， 柔轮与刚轮在径向啮合，称为径向谐波齿轮传动，其结构示意图如图1 1 所利n 。 l23 图1 i径向谐波齿轮传动的结构示意图 卜波发生器h 2 - 柔轮g 3 - 刚轮b 武汉理工大学硕士学位论文 将波发生器通过柔性轴承装入柔轮内圆时，迫使柔轮产生变形，并使其长 轴两端的齿与刚轮完全啮合，即柔轮的外齿与刚轮的内齿沿齿高啮合；波发生 器短轴两端的柔轮齿与刚轮齿处于完全脱开状态，简称脱开。位于波发生器长 轴与短轴之问的柔轮齿，在沿柔轮周长的不周区段内，有的逐渐进入刚轮齿问， 处在半啮合状态，称之为啮入( 一般有3 0 左右的齿处于完全啮合或半啮合状 态) ；有的逐渐退出刚轮齿间，处在半脱开状态，称之为啮出。当刚轮固定、波 发生器为主动件、柔轮为从动件时，波发生器沿着图示方向旋转，迫使柔轮不 断变形，柔轮的齿相继由啮入转向啮合，由啮合转向啮出，由啮出转向脱开， 由脱开再转囱啮入，从雨使柔轮沿着波发生器帽反的方向旋转。对于双波发生 器的谐波齿轮传动，当波发生器顺时针转动1 8 周时，柔轮齿与刚轮齿就由原 来的啮入状态而成啮合状态，而原来的脱开状态就成为啮入状态，啮出变为脱 开，啮合变为啮出，这样，柔轮相对刚轮就转动( 角位移) 了1 4 齿；同理， 波发生器再转动1 8 周时，重复上述过程，这时柔轮位移一个齿距。依此类推， 波发生器相对剐轮转动一周时，柔轮相对刚轮的位移为两个齿距。若将柔轮固 定，使刚轮为从动件，其啮合过程完全类同，但刚轮将沿着与波发生器相同的 旋转方向旋转i g 】。 1 2 活齿传动技术概述 1 2 1 活齿传动的发展 活齿传动是一种由置一h 一矿型少齿差行星齿轮传动演化而成的新型齿轮 传动。这种传动最初的结构型式是在上世纪3 0 年代由德国人提出来的。国外的 科技工作者在活齿传动这一领域的不断研究，已经取得了若干重要的理论和有 实际意义的成果【9 】。我国对活齿传动的研究起步较晚，2 0 世纪6 0 年代活齿传 动才传入中国。1 9 8 6 年北京航空航天大学陈仕贤教授提出了推杆活齿针齿减速 机，其结构与样机荣获1 9 8 6 年日内瓦国际发明博览会金奖。1 9 8 7 年周有强教授 等人提出了种新型传动型式套筒活齿少齿差传动并申请了国家专利【l o l 。 1 9 8 8 年曲继方教授提出了轴向活齿传动的一种结构型式及齿形设计方法，还提 出了摆动活齿减速机并申报了国家专利【l “。九十年代，江阴东亚减速机厂的严 明工程师也提出了一种新结构活齿传动移位滚柱减速机，该项技术获国家 专利并在全国发瞬博览会积北京国际博览会上均获得银奖i l 引。二十世纪末到二 十一世纪初，江汉石油学院的黄清世教授提出了直动推杆式活齿减速器，该减 2 武汉理t 大学硕士学位论文 速器已经申报了专利 1 3 】。几十年来，国内外已推出了若干种结构型式的活齿传 动，其中比较典型的有摆动活齿传动、套筒活齿传动、滚子活齿传动、推杆活 齿传动和平面钢珠传动、少齿差传动掣1 0 l 叫”】。现在，有些类型的活齿传动减速 器已通过初步试验，并已应用到石油、矿山和冶金等部门。 活齿传动的结构型式，在转速变换的过程中，具有多齿啮合、承载能力强、 传动比大、传动范围广、传动效率高等特点，并保留了传统谐波齿轮传动的一 些优点，同时使理论计算和设计计算也得以简化。活齿传动机构己应用到能源、 机床、矿山、起重运输、化工、建筑工程、农机、医疗器械、纺织、轻工及食 品机械等工业部门中，如用于锅炉的除渣机构、选矿场的球磨机、矿山的牵引 车等【1 4 1 “【1 9 1 。 1 2 2 活齿传动的结构和工作原理 活齿传动与传统的谐波传动结构组成相似，由波发生器、活齿轮和中心轮三 个基本构件组成。活齿传动也是由k 一日一矿型少齿差行星齿轮传动演化而成的 一种新型齿轮传动，它利用一组中间活动件活齿来实现两轴之问的转速变 换，突破了长期以来谐波齿轮传动中依靠柔轮变形来传递运动和动力的结构模 式，将柔轮轮齿改为一组作循环运动的独立运动体。 活齿传动的结构型式很多，本文用图i 2 所示的滚柱活齿传动的结构模型 和传动原理图为样本，来分析活齿传动的结构和传动原理。 在活齿传动机构中，围绕着中心轴转动或不动的构件称为基本构件。滚柱 活齿传动机构由三个基本构件组成【1 2 1 ； ( 1 ) 激波器h ( 相当于谐波齿轮传动中的波发生器)一般由输入轴、偏 心套、转臂轴承和激波环( 也可以没有激波环) 组成，激波器日的形状是活齿高 副元素g 的共轭曲线。为平衡激波器产生的惯性力和抵消激波器上的径向力， 常采用双排激波器，并使它们的相位差为1 8 0 0 。 ( 2 ) 活齿轮g ( 相当于谐波齿轮传动中的柔轮)由活齿架和一组活齿r 组成。活齿架是一个具有等分槽的构件，它常与输出轴固联。活齿由活齿体r 和 具有高副元素g 的构件所组成，如图1 2 ( a ) 所示。具有高副元素的构件常选用 标准钢球或短圆柱滚子。 ( 3 ) 中心轮k ( 相当于谐波齿轮传动中的刚轮)中心轮足的齿形是活齿 高副元素g 的共轭曲线。 武汉理工大学硕士学位论文 图1 2 滚柱活齿传动的结构模型和传动原理图 滚柱活齿传动的传动原理：如图1 2 ( b ) 所示，当驱动力输入后，输入轴 以等角速度埘h 顺时针转动，它带动偏心圆激波器，使其几何中心b 绕固定中心 d 转动，由于偏心圆激波器径向尺寸的变化，激波器产生径向推力，迫使与中 心轮( 内齿) 齿廓啮合的诸活齿沿着活齿架均布的径向导槽移动。与此同时， 活齿因受活齿架和中心轮齿廓高副的约束，在沿着中心轮( 内齿) 齿廓运动的 过程中，推动活齿架以等角速度转动，于是滚柱活齿传动实现了定速比的转 速变换。在传动的过程中，与中心轮( 内齿) 非工作齿廓啮合的各个活齿，在 活齿架的反推作用下，顺序地退回到活齿的工作起始位置，完成它的一个工作 循环。每个滚柱活齿只能推动从动件转过一定的角度，而滚柱活齿传动的连续 运动，是靠各滚柱活齿的接替工作来实现的。 1 3 活齿端面谐波齿轮概述 1 3 1 活齿端面谐波齿轮传动装置的基本结构 活齿端面谐波齿轮传动装置【2 0 】主要由端面齿轮、波发生器、活齿及槽轮等 四个基本构件组成1 2 1 卜【2 2 】，根据用途的不同，可以采用单边传动或双边传动的型 式，单边传动装置的基本结构如图1 3 所示。这种传动装置在结构上的特点是： 4 武汉理工大学硕士学位论文 将传统的谐波齿轮传动中的刚轮改换为端面齿轮2 ，刚轮的内齿改换为端面上沿 圆周方向均匀分布的轮齿，波发生器6 由径向的圆盘凸轮改换为轴向的圆柱端 面凸轮( 一面或两面) 。将柔轮分成若干块活齿4 ，并将其置于槽轮3 中，可作 轴向的往复运动。活齿4 的一端可与端面齿轮2 进行啮入啮出的错齿运动，其 另一端则与波发生器6 的端面凸轮相接触( 滚动或滑动) 。端面齿轮2 固定在箱 体5 上，波发生器6 作为主动件与输入轴7 相连，槽轮3 作为从动件与输出轴1 相连i 矧。 1234567 图1 3 活齿端面谐波齿轮单边传动的结构示意图( 端面齿轮固定) 1 一输出轴2 一端面齿轮3 一槽轮4 一活齿 5 一箱体6 一波发生器7 一输入轴 活齿端面谐波齿轮还可设计成双边传动的型式。活齿端面谐波齿轮传动装 置的结构型式，除了按照波发生器端面凸轮的数目可分为单边传动和双边传动 之外，还可按照波发生器的波数和活齿块上的齿数进行分类和组合。 参照普通的谐波齿轮定义波数的方法【”，可以定义活齿端面谐波齿轮波发生 器的波数，即波发生器旋转一周，活齿在槽轮中往返一个来回的次数，称为波 数u 。活齿端面谐波齿轮常见的有单波传动( u = 1 ) ，双波传动( u = 2 ) 等结 构型式。 在活齿端面谐波齿轮传动装置中，活齿分为若干块，按照活齿块上的齿数， 活齿端面谐波齿轮传动装置的结构还可分为单齿传动和多齿传动。每块活齿上 只有一个轮齿的传动称为单齿传动，而每块活齿上有多个轮齿的传动称为多齿 传动。 武汉理工大学硕士学位论文 1 3 2 活齿端面谐波齿轮传动装置的工作原理 传统谐波齿轮传动的运动转换，是依靠挠性构件( 柔轮) 的弹性变形来实 现的i l ”，而活齿端面谐波齿轮传动则是依据非定常升力面理论来实现运动的转 换。对于斜面上的物块，只要施加在物块上的外力作用在摩擦角之外，物块就 会在斜面上移动，物块的移动即表明运动转换的可能性。显然，利用升力面理 论进行传动，比依靠变形原理的传动更为简单，也比较容易实现。 如图1 3 所示，单边传动的活齿端面谐波齿轮传动装置的工作原理是：当 安装在输入轴7 上的波发生器6 旋转时，在其端面凸轮的作用下，活齿4 可在 槽轮3 中作轴向往复运动，并与端面齿轮2 相互啮合，从而带动槽轮3 与端面 齿轮2 作相对的转动，使固装在输出轴l 上的槽轮3 旋转( 也可将槽轮3 固定， 使端面齿轮2 旋转) ，达到传递运动和动力的目的。在传动过程中，利用非定常 升力面原理，使活齿的一端始终与波发生器相接触，而另一端则相应地与端面 齿轮处于啮入或啮出的状态。活齿与端面齿轮在- n 齿面的啮入运动是依靠波 发生器端面凸轮的推动，而其啮出运动则是依靠端面齿轮另一侧齿面的反向推 动作用。在图1 3 所示的单波传动( u ；1 ) 中，波发生器旋转一周，活齿在槽 轮中往返一个来回，活齿与端面齿轮相对转动一个轮齿【2 1 1 。 从理论上讲，活齿端面谐波齿轮传动也可以将波发生器作为输出端，组成 大增速比的谐波齿轮传动装置，但在实际上，由于波发生器的升角很小和摩擦 的存在，在升角小于或者等于摩擦角的情况下，活齿端面谐波齿轮传动机构会 发生自锁。如果加大波发生器的升角，则会导致活齿的轴向行程和端面齿轮的 齿高增大，从而使轮齿变尖，因此，在实际应用中，活齿端面谐波齿轮只能作 为减速装置、不宜作为增速装置使用。在需要增速且功率较小的情况下，可以 采用普通的径向式谐波齿轮作为增速装置。 1 3 3 端面齿轮的齿数z 与活齿的理论总齿数石的关系 在活齿端面谐波齿轮传动装置中，( z e z o ) 可正可负，也就是说，z e 既 可以大于z o ，也可以小于历。在波发生器转向相同的情况下，对于z e z o 和z e o 一( b ) 磊- 7 一o z o ) ，也可以小于z o ( z e z o 和z e z o 时，活齿可以在空间正常排列，但当z e z o 和z e z o 和z e z o( b ) z e z o 还是z e z o 和z e z o ( b ) z e z o 和z e z o 还是z e z o 和z e z o 和z e z o 的参数为u = 3 、z o = 8 、 z e = l l ，z e z o 还是z e z oz e z o 和z e z o 的参数为u = 2 ，历= 7 、z e - - 9 ，z r z o 还是z r z o 和z e z e 还是z o z r 还是z o z o 还是z e z o 和z e z o 这两种情况下的计 算方法是完全相同的，不会受到z o 与z e 大小关系的影响【2 8 】。 2 。3 工作啮合副的啮合面积 活齿端面谐波齿轮的工作啮合副的啮合面积不受传动型式的影响，而且， 在活齿齿数z b 与端面齿轮齿数z e 的大小关系不同时也有相同的计算方法，因此， 武汉理工大学硕士学位论文 只需将工作啮合副的啮合面积分为7 0 u 为偶数、刻u 为奇数和z o u 不为整数 这三种情况研究即可。 当z 0 ，u 为偶数时，每个波上的活齿啮合情况完全相同，即每个波上的啮合 状态几何模型是重叠的，而且在一个波上有一个活齿完全啮合时，必然有另一 个活齿完全脱开：当z o u 为奇数时，每个波上的活齿啮合情况也完全相同，每 个波上的啮合状态几何模型也是重叠的，但是在一个波上有一个活齿完全啮合 时，没有另一个活齿处于完全脱开状态；当历似不为整数时，各个波上的活齿 啮合情况是不相同的，因而每个波上的啮合状态几何模型是完全不重叠的，但 在整个周期上，所有的活齿可以共同组成一个啮合状态几何模型。 2 3 1 ，为整数时各工作啮合副的啮合总面积 2 3 1 12 ，为偶数 历f 为偶数时，每个波上的活齿个数均为偶数个，啮合的状态也是完全一 样的，因而只分析单波时的啮合总面积即可。图2 7 为u = i ，z e = 9 ，z o = 8 时的 情况，从图2 7 ( a ) 中可以看出，活齿l 、6 、7 、8 处于工作啮合状态，若此时 活齿l 处在完全啮合和状态的瞬问，则必有活齿5 处于完全脱开状态。设此时 参加工作啮合的活齿数为z n ，则z n = z 0 2 玑 c a ) 活菡啮合副的啮合状态示( b ) 活齿啮合副啮合状态几何模型 f 泸l z r - - 9z o = s ) 图2 7z u 为偶数时的活齿啮合状态及几何模型 令单个活齿与端面齿轮完全啮合时的啮合面积为。从图2 7 ( b ) 中可以 看出参加工作啮合的底个活齿将啮合状态几何模型的工作边分成了底等份，处 1 6 武汉理工大学硕士学位论文 于工作啮合状态的各啮合副的啮合面积分别为：& 2 n 、2 & z n 、( z n - i ) 艇z n ，z n z n 。对z n 个啮合面积求和，即得到在一个波内啮合总面积的最 大值；对( z n 1 ) 个啮合面积求和( 也就是从最大值中减去s e ) ，即得到一个 波内啮合总瑟积的最小值。根据活齿在各个波上分布的对称性，将一个波内的 啮合总面积乘以波数u ，即得到所有参加工作啮合的各啮合副的啮合总面积。综 上所述，啮合总面积的最大、最小值为【2 6 】 & 。：掣& ( 2 一1 ) s 。= s e r e - u & = t ( z o - 2 u ) & ( 2 - - 2 ) 2 3 1 2 影为奇数 z u 为奇数时，每个波上的活齿个数均为奇数个，啮合的状态是完全一样 的，同样只分析单波时的啮合总面积即可。图2 8 为u = i ，z z = 8 ，z o = 7 时的情 况，从图2 8 。( a ) 中可以看出。若此时活齿4 处在完全啮合和状态的瞬间，则没 有活齿处于完全脱开状态。 4 - - - 一 ( a ) 活齿啮合副的啮合状态示意圈 ( b ) 活齿啮合副啮合状态的几何模型 “卢l2 # 8z o - - - 7 ) 图2 8 纠u 为奇数时的活齿啮合状态及几何模 在这种情况下，参与工作啮合的活齿数z n = ( z d + u 夕2 玑啮合状态几何模 型的工作区域被分为( 2 z n 一1 ) 等份，因此，处于工作啮合状态的各啮合副的 1 7 武汉理工大学硕士学位论文 啮合面积分别为：s j ( 2 z n 一1 ) ，3 s e ( 2 z n 1 ) ( 2 z n - - 3 ) s e ( 2 z n 1 ) 、( 2 z n 一1 ) s ( 2 z n 一1 ) 。对各啮合副的啮合面积求和，即得到在一个波 内啮合总面积的最大值；用啮合总面积的最大值减去& ，即得到一个波内啮合 总面积的最小值。根据活齿在各个波上分布的对称性，将一个波内的啮合总面 积乘以波数以即得到所有参加工作啮合的各啮合副的啮合总面积。综上所述， 啮合总面积的最大、最小值为2 6 1 & 。：掣峨 ( 2 _ 3 ) 厶d ：s 。彤s e ：竺磐慢 ( 2 - 4 ) t 厶d 2 3 22 y t l 不为整数时各工作啮合副的啮合总面积 一 活齿个数z d 如果不能被波数u 整除( z o u 有余数) ，则各个波上的活齿啮 合情况是不相同的，而不是象z u 能整除的情况那样，会出现几个波的分布状 况重复出现的情况。也就是说，在任一个时刻每一个波上的活齿排布的相对位 置完全不同，它的几何状态模型是完全不重叠的。因而，不能象z o u 为整数那 样只考虑一个波内的活齿啮合状态，此时，将所有的活齿平移到一个虚设的齿 形上，不顺号的活齿恰好可以在一个虚设齿形上完整、均匀地分布，形成一类 新的啮合状态几何模型。在此种情况下，在啮合状态几何模型中的活齿排布将 会与活齿个数历有关，在z b 为奇数和偶数时的排布情况是不同的，因此在z u 除不尽时应分为z o 为奇数和偶数这两种情况来讨论。 2 3 2 1 石为偶数 活齿个数历为偶数时，只要有某一个活齿处于完全啮合状态，同时必有另 一个活齿处于脱歼状态。以图2 9 ( a ) 所示的活齿啮合状态( u = 3 、z o = 8 、z 1 1 ) 为例，将所有的活齿平移到同一个虚设齿形中，则其啮合副的啮合状态几何模 型如图2 9 ( b ) 所示。 在图2 9 中，所有参加工作啮合的活齿数z n = z o 2 ，且将啮合状态几何模型 的工作边分为z n 等份。从图2 9 中可以得出，处于工作啮合状态的各啮合副的 啮合面积分别为：1 & ，z n 、2 s e z n 、( z n 一1 ) s e z n 、z n s f j z n 。对各个工 作啮合副的啮合面积求和，即得到工作啮合副啮合总面积的最大值：用啮合总 武汉瑾工大学硬士学位论文 1 ( a ) 啮合副啮合状态示意图 ( b ) 啮台副啮合状态的几何模型 ( 卢3 z o - - - s ，z ：1 1 ) 图2 9z o ，u 有余数且历为偶数的活齿啮合状态及几何模型 面积的最大值减去一个活齿完全啮合时的啮合面积& ，即得到啮合总面积的最 小值，因此，工作啮合副啮合总面积的最大值和最小值分别为嘲 s e - m 。= 竿韪 ( 2 s 。= ( z 0 4 - 2 ) s 。( 2 - - 6 ) 2 3 2 2 石为奇数 当活齿齿数历为奇数时，如果某一个活齿处于完全啮合状态，此时就不会 有另一个活齿处于脱开状态。以图2 1 0 ( a ) 所示的活齿啮合( u = 2 、7 - o = 7 、 l 。彳 岔 局 涵 3 6 ( a ) 啮合副啮合状态示意图( b ) 啮合副啮台状态的几何模型 ( 居2 z o = 7 ，z l 一) 图2 1 0z o u 有余数且历为奇数的活齿啮合状态及几何模型 1 9 武汉理工大学硕士学位论文 z e = 9 ) 状态为例，将所有的活齿平移到同一个虚设齿形中，则其啮合副的啮合状 态几何模型如图2 1 0 ( b ) 所示。 在图2 1 0 ( b ) 中，所有参加工作啮合的活齿数2 一( 7 - 0 + i ) 2 。且将啮合状 态几何模型的工作边分为( 2 z n - - 1 ) 等份。从图2 1 0 ( b ) 中可以得出，处于工 作啮合状态的各啮合副的啮合面积分别为：1 ( 2 z n - - 1 ) 、3 & ( 2 z n - - 1 ) 、 ( 2 z n - 3 ) & ，( 2 z n 1 ) 、( 2 z n 1 ) 蹄，( 2 z n 一1 ) 。对各个工作啮合副的啮合 面积求和，即得到工作啮合副啮合总面积的最大值；用啮合总面积的最大值减 去一个活齿完全啮合时的啮合面积，即得到啮合总面积的最小值，因此，工 作啮合副啮合总面积的最大值和最小值分别为1 2 硼 = 警& x s e m = ( z 。h 。- 0 1 ) - - - - - - - 竖2 s e 2 3 3 啮合面积的比较 为了计算活齿前端工作啮合副的啮合总面积，按照活齿数与波数可分为 刻u 为整数和z o u 不为整数两大类。在纠为整数时，又可分为z u 为奇数 和z d u 为偶数两种情况；在z u 不为整数时，可分为z b 为奇数和z b 为偶数两 种情况。在实际应用中，当其他条件相同时，希望啮合总面积的最大值与最小 值之差越小越好，因为最大值与最小值之差越小，在接触过程中啮合总面积的 变化就越平缓，接触应力的变化也就随之越小，这样的状态就较为理想。 在表4 ，l 中，将各种情况下的理论公式计算的结果与实际举例计算的结果是 完全吻合的。z o o 为整数时，不论2 u 为奇数还是z o w 为偶数，啮合总面积 的最大值与最小值之差都为u s e ；在z u 不为整数时，不论历u 为奇数还是 z o u 为偶数，啮合总面积的最大值与最小值之差都为& 。因此，在u = - l 时，在 z o u 为整数和z d u 不为整数的情况下，差值都是，在l 1 时，z o w 为整数 时的差值就大于z u 不为整数的情况。在实际应用中，为了抵消一部分应力， 一般不采用单波的情况，所以在实际中，将活齿谐波端面齿轮设计为z u 不为 整数的情况较为理想。 2 0 m 武汉理工大学硕士学位论文 表4 1 啮合总面积的分类比较 理论公式 计算举例 z o l u 最大值! 难。最小值岛。 差值 u 7 o 最大值最小值差值 偶 ( z d + 2 u ) 。 ( z o - 2 u ) c 为 4 0 5 4 o e u s e 28 3 s e韪2 s e 数 整 数 奇 ( z d + u ) 2 。( z d 一【，) 2 。 数 4 z o 。54 z d 0 5 u s e21 0 1 8 s d 5 8 s d 52 s e z o 为z 0 + 2o z o 一2a 不 了t 6 f 品 38 s s d 23 s d 2品 偶 为 数 整 z 0 为 丝盟& 4 z丝韭& 4 z 岛 27 1 6 s 矾9 s r j 数 0 6 d 8 奇 数 2 l 武汉理工大学硕士学位论文 3 齿面修形后工作啮合副的啮合总面积 在活齿端面谐波齿轮传动装置( 单齿 传动) 中，如图3 1 所示，有一个移动副 ( 活齿与槽轮) 和两个啮合副：波发生器 与活齿后端的啮合副a ，活齿前端与端面 齿轮的啮合副b ，这两对啮合副的曲面都 称为齿面。为了设计和加工的方便，活齿 端面谐波齿轮两个啮合副的理论齿面都采 用了母线为直线且与回转中心线垂直相交 的多头阿基米德螺旋面，这样就可以保证 活齿端面谐波齿轮在传动过程中瞬时传动 比不变。 由图3 2 可见，活齿运动的位移 z 1 与波发生器的转角伊，成正比，相 应地，其速度为某一个定值( 正向或 者反向) 。活齿在槽轮中沿轴向作匀 速的直线往复运动时，在波发生器的 齿顶或齿根处，活齿的速度z ，突然反 向，必然会产生理论值为无穷大的加 速度乏，使整个活齿端面谐波齿轮传 动装置受到强烈的惯性冲击，甚至会 破坏整个传动装置的工作。 为了减小活齿作轴向往复运动 时的冲击，必须使活齿在改变运动方 向时，其速度从一个定值逐渐变化到 零，再逐渐变化到反方向的某一定 值。为达此目的，就必须对波发生器 的齿顶和齿底进行适当的修形，使其 齿顶和齿底成为圆滑过渡的齿面。与 1 t 。_ _ _ - _ _ _ 一 图3 1 修形后的啮合示意图 一 1 一 ， i z i 一 r l 乏 r 一 图3 2 活齿运动的位移、速度和加速度示意图 此相对应，端面齿轮和活齿两端的齿面也必须进行相应的修形。 武汉理工大学硕士学位论文 修形后的工作啮合副的啮合总面积就会发生相应的改变，由于端面齿轮的 齿顶和齿底以及活齿的齿顶都成为圆角过渡，在单个活齿的啮合过程中，从活 齿与端面齿轮的完全啮合到完全脱开，啮合面积都会发生变化，因此整个啮合 副的啮合总蕊积也会发生变化。在活齿端面谐波齿轮的实际应用中，修形是十 分必要的，因此啮合总面积的计算也必须将修形的因素考虑在内。 3 1 啮合副齿面的修形 啮合副齿面的修形部分有：端面齿轮齿顶和齿底的修形、活齿前后端的修 形、波发生器齿顶和齿底的修形。采用二次曲线过渡的方法进行修形1 2 ”。设h l 为活齿后端修形段对应的齿高，阮为活齿前端修形段对应的齿高，矗e l 为端面齿 轮齿顶修形段对应的齿高， e 2 为端面齿轮齿底修形段对应的齿高。矗w i 为波发 生器齿顶修形段对应的齿高，梳为波发生器齿底修形段对应的齿高。一般应取 端面齿轮齿底的修形高度大于活齿前端的修形高度。假定修形的切点坐标是 皖，) ，切点处所对应的斜率为k e ，则切点应满足的条件是：k e = d z 。，d 磊研1 a 图3 3 波发生器端面凸轮齿面方程坐标系的规定 如图3 3 所示建立坐标系，以波发生器的中心线为z 轴，并以从波发生器 指向端面齿轮的方向为正方向：以波发生器端面凸轮的某一个齿底所在的直线 为x 轴，x 轴的正方向就是从波发生器的内侧指向外侧；按照数学中对三维坐标 系的规定( 即符合右手定则) 建立y 轴，y 轴的正方向也是从波发生器的内侧指 向外侧。 修形前端面齿轮齿面的右旋螺旋面的齿面方程是【2 5 j ： 武汉理工大学硕士学位论文 屯2r c o s y 2 = r s i n 矿等瓴- 2 n 妒e ) r l r r 2 “_ o 1 ，2 z f 1 妒f2 昙0 - 2 懒饥) 式中纯端面齿轮的转角，r a d 缈f 端面齿轮的啮合半角，r a d ；e = ，r z f 修形前端面齿轮齿面的左旋螺旋面的齿面方程是【2 5 】： i x 22 r c o s y 铲2 = 堕r s i n ( 2 6 p e 毗一) 【r l ，s r 2 ( 3 一1 ) ( 3 2 ) ( ”：1 , 2 ，z e ；妒e = 三；o _ 2 n v f 一纯e ) 端面齿轮的修形分为两部分，即端面齿轮齿底的修形和端面齿轮齿顶的修 形。端面齿轮齿底修形段的齿面方程为【2 7 1 ： 工2 2 r c o s 9 e y 22 r s i n 1 2 2 = 一篆2 2 魄飞吻坩咖等 【r l r r 2 ( ，l _ o ，1 ，2 ，五- 1 一： z ： 办一譬) 端面齿轮齿顶修形段的齿面方程为【2 7 l ： ( 3 3 ) 武汉理工大学硕士学位论文 屯2 r c o s y 2 = r s i n 矿e 铲舞- - 2 n 妒e ) 2 + 争 r l ， r 2 ( 一= 。，1 2 ，五- 1 等 邵) 修形后端面齿轮一个齿的的二分之一齿面方程可以归结为 ( 3 4 ) x 2 r c o s 口o , , ( o s 识s 冗| l e ) y = r s i n q o 。，( o 红 t z d 毛= 罴纯+ 冬胚嘞， 之= 坚纯，( 仍纯仍) 3 5 ) 7 t 一篆( 纪一卦肛h 2 e 2 ，。 归： 式中 伊l 端面齿轮齿底修形段与未修形段切点处的转角，m d ； 妒r 端面齿轮未修形段与齿顶修形段切点处的转角，t a d 。 同样，修形前活齿前端与端面齿轮上升段相啮合的齿面方程为拉5 j l 。，c o s i y 42 7 8 1 n 1 毛：一堕 i刀 【r ls ，r 2 ( 一h z 。一h 2 ) 修形前活齿前端与端面齿轮下降段相啮合的齿面方程为1 2 5 】 x 42r c o s 儿= r s i n q o 铲一譬( 2 一) 白一彳1 2 一) r ls ，r 2 ( 3 6 ) ( 3 7 ) 武汉理工大学硕士学位论文 ( - h 毛s 吃) 活齿前端的修形段只有齿顶修形段这部分，因此，活齿前端修形段齿面 方程的表达式为叨 = r c o s 儿= r s i n 够。 铲一关乔等毛2 一互荔一亏 r 1 墨，r 2 ( 一如钇一号1 _ ) 修形高度应满足的条件是1 2 7 ：h e 2 = l + 啊+ 2 = h 目4 - 4 - ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 3 2 啮合副修形后的运动 3 2 1 在修形段活齿与端面齿轮啮合的运动特征 在端面齿轮齿底修形段与活齿修形段的啮合过程中，当活齿进入端面齿轮 齿底修形段时，首先是端面齿轮齿底修形段的修形起始点与活齿的修形起始点 接触，然后，其他的对应点顺次进行接触，由于这些接触点都应该满足 k 。= d z 。街。这个条件，因此，端面齿轮齿底修形段上的点与活齿前端修形段 上的点是一一对应的，在活齿即将离开端面齿轮齿底修形段的瞬间，活齿也即 将进入非修形段的啮合。 同样，在端面齿轮齿顶修形段与活齿的啮合过程中，也是活齿修形段与端 面齿轮齿顶修形段同时进入啮合，在各修形段一一对应的啮合点啮合之后，同 时离开修形段的啮合，并进入非修形段的啮合。 3 2 2 活齿前端与端面齿轮的啮合运动 如图3 4 所示，活齿前端与端面齿轮啮合的一个周期有几种不同的状态：( 1 ) 活齿前端修形段与端面齿轮齿项修形段啮合，就是从活齿前端的修形起始点进 入端面齿轮齿顶的修形起始点到活齿前端修形结束点进入端面齿轮齿顶修形结 束点的啮合过程。即图3 4 中活齿从a 到b 的移动过程，这个啮合过程为线接 武汉理t 大学硕士学位论文 触，啮合面积可以看作是零，并且啮合点 是一一对应的。( 2 ) 活齿| i i 端的未修形段 与端面齿轮的未修形段啮合，就是从活齿 前端的修形结束点进入端面齿轮齿顶修 形结束点到活齿前端修形起始点进入端 面齿轮齿底修形起始点的啮合过程。即图 3 4 中活齿从b 到c 的移动过程，这个啮 合过程为面接触。( 3 ) 活齿前端修形段与 端面齿轮齿底修形段啮合，就是从活齿蔚 图3 4 活齿i ； 端与端面齿轮的啮合过程 端的修形起始点进入端面齿轮齿顶修形起始点到活齿前端修形结束点进入端面 齿轮齿顶修形结束点的啮合过程。即图3 4 中活齿从c 到d 的移动过程，这个 啮合过程为线接触，啮合面积也可以看作是零，啮合点也是一一对应的。 3 2 3 活齿前端啮合副修形后的啮合状态几何模型 为了描述活齿端面谐波齿轮运动副的啮合状态及各运动副的运动接替关 系，可以建立一个修形后的活齿前端啮合副啮合状态的几何模